Maxima and Minima Questions in Hindi

(C) माना $a$ प्रथम पद है और $x$ $A.P.$ का सार्व अंतर है।
दिया है कि छठा पद $a_6 = a + 5x = 2$,इसलिए $a = 2 - 5x$.
माना गुणनफल $P = a_1 a_4 a_5 = a(a + 3x)(a + 4x)$.
$a = 2 - 5x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P = (2 - 5x)(2 - 5x + 3x)(2 - 5x + 4x) = (2 - 5x)(2 - 2x)(2 - x)$.
$P = -10x^3 + 34x^2 - 32x + 8$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$\frac{dP}{dx} = -30x^2 + 68x - 32 = 0$ रखें।
$15x^2 - 34x + 16 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $x = \frac{34 \pm 14}{30}$.
अतः,$x = \frac{8}{5}$ या $x = \frac{2}{3}$.
द्वितीय अवकलज $\frac{d^2P}{dx^2} = -60x + 68$.
$x = \frac{2}{3}$ के लिए,$\frac{d^2P}{dx^2} = 28 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
अतः,$x = \frac{2}{3}$ के लिए गुणनफल न्यूनतम है।

(A) माना $f(x) = e^x - x - 1$.
मूल ज्ञात करने के लिए,हम फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं।
अवकलन $f'(x) = e^x - 1$ है।
$f'(x) = 0$ रखने पर $e^x = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0$.
$x = 0$ पर,$f(0) = e^0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
चूंकि $x < 0$ के लिए $f'(x) < 0$ और $x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ का $x = 0$ पर न्यूनतम मान $f(0) = 0$ है।
अतः,सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) \ge 0$ है,और $f(x) = 0$ केवल $x = 0$ पर होता है।
इस प्रकार,समीकरण का केवल एक वास्तविक मूल $x = 0$ है।

(A) गति का समीकरण $s(t) = 490t - 4.9t^2$ दिया गया है।
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हम $s(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v(t)$ ज्ञात करते हैं:
$v(t) = \frac{ds}{dt} = 490 - 9.8t$.
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग $v(t) = 0$ होता है:
$490 - 9.8t = 0 \implies 9.8t = 490 \implies t = \frac{490}{9.8} = 50 \text{ सेकंड}$.
अब,$t = 50$ को $s$ के समीकरण में रखने पर:
$s(50) = 490(50) - 4.9(50)^2$
$s(50) = 24500 - 4.9(2500)$
$s(50) = 24500 - 12250 = 12250$.
अतः,पत्थर द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $12250$ इकाई है।

(C) गति का समीकरण $s = ut - 6.3t^2$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(ut - 6.3t^2) = u - 12.6t$.
अधिकतम ऊँचाई पर,पत्थर का वेग शून्य होता है:
$v = 0$.
यह दिया गया है कि पत्थर $t = 3$ $sec$ पर अपनी अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचता है,इसलिए हम इन मानों को वेग समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 = u - 12.6(3)$.
$0 = u - 37.8$.
$u = 37.8$ $cm/sec$.

(D) पहले पत्थर के लिए,$s_1 = 19.6t - 4.9t^2$। वेग $v_1 = \frac{ds_1}{dt} = 19.6 - 9.8t$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,$v_1 = 0$,इसलिए $19.6 - 9.8t = 0$,जिससे $t = 2 \, s$ प्राप्त होता है।
अधिकतम ऊँचाई $h = s_1(2) = 19.6(2) - 4.9(2^2) = 39.2 - 19.6 = 19.6 \, m$ है।
अब,दूसरे पत्थर के लिए,$s_2 = 9.8t - 4.9t^2$।
$t = 2 \, s$ पर,दूसरे पत्थर की ऊँचाई $s_2(2) = 9.8(2) - 4.9(2^2) = 19.6 - 19.6 = 0 \, m$ है।
अतः,जब पहला पत्थर अपनी अधिकतम ऊँचाई पर होता है,तब दूसरा पत्थर जमीन पर होता है।

(D) दिया गया वक्र $y = 12x - x^3$ है।
जहाँ प्रवणता शून्य है,उन बिंदुओं को खोजने के लिए,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ की गणना करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं।
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(12x - x^3) = 12 - 3x^2$.
प्रवणता को शून्य रखने पर: $12 - 3x^2 = 0$.
$3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
$x = 2$ के लिए,$y = 12(2) - (2)^3 = 24 - 8 = 16$. अतः,बिंदु $(2, 16)$ है।
$x = -2$ के लिए,$y = 12(-2) - (-2)^3 = -24 - (-8) = -24 + 8 = -16$. अतः,बिंदु $(-2, -16)$ है।
इस प्रकार,बिंदु $(2, 16)$ और $(-2, -16)$ हैं।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 9$ प्राप्त होता है।
चूँकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{dy}{dx} = 0$।
अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x^2 - 6x - 9 = 0$।
$3$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - 2x - 3 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 3)(x + 1) = 0$।
अतः,भुज $x = 3$ और $x = -1$ हैं।

(D) दिया गया है $f(x) = (x - 1)(x - 2)^2$.
फलन का विस्तार करने पर: $f(x) = (x - 1)(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 5x^2 + 8x - 4$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,प्रथम अवकलज निकालते हैं: $f'(x) = 3x^2 - 10x + 8$.
$f'(x) = 0$ रखने पर: $3x^2 - 10x + 8 = 0$,जिसके गुणनखंड $(3x - 4)(x - 2) = 0$ हैं।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = \frac{4}{3}$ और $x = 2$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज निकालते हैं: $f''(x) = 6x - 10$.
$x = \frac{4}{3}$ पर मान जाँचने पर: $f''(\frac{4}{3}) = 6(\frac{4}{3}) - 10 = 8 - 10 = -2 < 0$. चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन का $x = \frac{4}{3}$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।
$x = 2$ पर मान जाँचने पर: $f''(2) = 6(2) - 10 = 2 > 0$. फलन का $x = 2$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
उच्चतम मान $f(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3} - 1)(\frac{4}{3} - 2)^2 = (\frac{1}{3})(-\frac{2}{3})^2 = (\frac{1}{3})(\frac{4}{9}) = \frac{4}{27}$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x - 1)(x + 2)^2$ है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 1 \cdot (x + 2)^2 + (x - 1) \cdot 2(x + 2)$
$f'(x) = (x + 2)(x + 2 + 2x - 2) = (x + 2)(3x) = 3x(x + 2)$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$3x(x + 2) = 0 \implies x = 0$ या $x = -2$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 6x) = 6x + 6$ ज्ञात करें।
$x = -2$ पर: $f''(-2) = 6(-2) + 6 = -6 < 0$,अतः $x = -2$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $f(-2) = (-2 - 1)(-2 + 2)^2 = 0$ है।
$x = 0$ पर: $f''(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0$,अतः $x = 0$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है।
स्थानीय निम्नतम मान $f(0) = (0 - 1)(0 + 2)^2 = -4$ है।
अतः,स्थानीय उच्चतम और निम्नतम मान क्रमशः $0$ और $-4$ हैं।

(C) स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले फलन $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$ का अवकलन करते हैं।
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$
$5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$.
अतः क्रांतिक बिंदु $x = 0, x = 1, x = 3$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$ ज्ञात करते हैं।
क्रांतिक बिंदुओं की जाँच करने पर:
$x = 1$ के लिए: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10$.
चूँकि $f''(1) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = 1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + x^2 + x - 4$ है।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम प्रथम अवकलज की गणना करते हैं: $f'(x) = 3x^2 + 2x + 1$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं,जिससे $3x^2 + 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8$ है।
चूंकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए समीकरण $f'(x) = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
इसका अर्थ है कि फलन $f(x)$ सभी वास्तविक $x$ के लिए निरंतर वर्धमान है क्योंकि त्रिघात बहुपद का मुख्य गुणांक धनात्मक है।
अतः,फलन $f(x)$ का वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में कोई स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) माना $f(x) = x^2 \log x$.
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x(2 \log x + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in (1, e)$,इसलिए $x \neq 0$. अतः,$2 \log x + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $\log x = -\frac{1}{2}$,या $x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
चूंकि $\frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.606$,यह मान अंतराल $(1, e)$ में स्थित नहीं है।
अंतराल $(1, e)$ में,$f'(x) = x(2 \log x + 1)$ हमेशा धनात्मक है क्योंकि $x > 1$ के लिए,$\log x > 0$,इसलिए $2 \log x + 1 > 1$.
चूंकि सभी $x \in (1, e)$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन इस अंतराल में निरंतर वर्धमान है।
अतः,फलन का अंतराल $(1, e)$ में न तो कोई उच्चिष्ठ बिंदु है और न ही कोई निम्निष्ठ बिंदु।

(C) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
स्थानीय उच्चतम या निम्नतम के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \implies 1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$.
अब,बिंदु की प्रकृति की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज $f''(x)$ की जाँच करते हैं:
$f''(x) = \frac{x^2 \cdot (-\frac{1}{x}) - (1 - \log x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
$x = e$ पर,$f''(e) = \frac{2 \log e - 3}{e^3} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3}$.
चूंकि $f''(e) < 0$,इसलिए फलन का $x = e$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।
स्थानीय उच्चतम मान $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(D) दिया गया है कि $x + y = 16$,हम $y$ को $y = 16 - x$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $f(x) = x^2 + y^2$. $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$f(x) = x^2 + (16 - x)^2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$f(x) = x^2 + 256 - 32x + x^2 = 2x^2 - 32x + 256$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 4x - 32$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$4x = 32$,जिसका अर्थ है $x = 8$।
चूंकि $f''(x) = 4 > 0$ है,इसलिए फलन $x = 8$ पर न्यूनतम है।
$y = 16 - x$ में $x = 8$ रखने पर,$y = 16 - 8 = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 8$ और $y = 8$ अभीष्ट मान हैं।

(A) माना $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{1 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x)$
$f'(x) = \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - x^2 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $1 - 2x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = \frac{1}{2}$,अतः $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि प्रांत $x > 0$ है,हम $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ पर विचार करते हैं।
अब,हम द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं:
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = \frac{(-4x)(\sqrt{1 - x^2}) - (1 - 2x^2)(\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}})}{1 - x^2}$
$f''(x) = \frac{-4x(1 - x^2) + x(1 - 2x^2)}{(1 - x^2)^{3/2}} = \frac{-4x + 4x^3 + x - 2x^3}{(1 - x^2)^{3/2}} = \frac{2x^3 - 3x}{(1 - x^2)^{3/2}}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ पर मान रखने पर:
$f''\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2(\frac{1}{2\sqrt{2}}) - 3(\frac{1}{\sqrt{2}})}{(1 - 1/2)^{3/2}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{2}}}{(1/2)^{3/2}} = \frac{-2/\sqrt{2}}{(1/2)^{3/2}} < 0$.
चूंकि $f''\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) < 0$,फलन का $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है।

(D) माना त्रिभुज की दो दी गई भुजाएँ $a$ और $b$ हैं,और उनके बीच का कोण $C$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \frac{1}{2}ab \sin C$
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $C$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dC} = \frac{1}{2}ab \cos C$
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dC} = 0$
$\frac{1}{2}ab \cos C = 0$
चूँकि $a$ और $b$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं,$a, b \neq 0$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\cos C = 0$
$C = \frac{\pi}{2}$ या $90^\circ$
अतः,क्षेत्रफल अधिकतम होता है जब दी गई भुजाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ हो।

(C) माना $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 1$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$
$5x^2(x - 3)(x - 1) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 0, 1, 3$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$.
क्रांतिक बिंदुओं पर $f''(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f''(0) = 0$.
$f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = -10 < 0$ ($x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम)।
$f''(3) = 20(3)^3 - 60(3)^2 + 30(3) = 90 > 0$ ($x = 3$ पर स्थानीय न्यूनतम)।
$x = 0$ के लिए,चूंकि $f''(0) = 0$,हम तृतीय अवकलज $f'''(x) = 60x^2 - 120x + 30$ की जाँच करते हैं।
$f'''(0) = 30 \neq 0$.
चूंकि $x = 0$ पर पहला गैर-शून्य अवकलज विषम क्रम ($3$ रा क्रम) का है,इसलिए $x = 0$ एक नति परिवर्तन बिंदु है।
अतः,फलन $x = 0$ पर न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम।

(C) माना आयत की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया परिमाप $P = 2(x + y) = 100 \, cm$ है,जिसे सरल करने पर $x + y = 50$ या $y = 50 - x$ प्राप्त होता है।
आयत का क्षेत्रफल $A = xy$ है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$A(x) = x(50 - x) = 50x - x^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dA}{dx} = 50 - 2x$।
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,$50 - 2x = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $x = 25 \, cm$ मिलता है।
चूँकि $x + y = 50$ है,इसलिए $y = 50 - 25 = 25 \, cm$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल के लिए भुजाएँ $25 \, cm$ और $25 \, cm$ हैं।

(C) किसी फलन $f(x)$ के लिए बिंदु $x = c$ पर स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान होने के लिए,प्रथम अवकलज $f'(c) = 0$ होना आवश्यक है।
इसे प्रथम कोटि की आवश्यक शर्त कहा जाता है।
हालाँकि,केवल $f'(x) = 0$ होना अधिकतम या न्यूनतम मान की गारंटी देने के लिए पर्याप्त नहीं है,क्योंकि यह नतिपरिवर्तन बिंदु (point of inflection) भी हो सकता है।
चरम बिंदु की प्रकृति की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं:
यदि $f''(c) < 0$ है,तो फलन का $x = c$ पर स्थानीय अधिकतम मान होता है।
यदि $f''(c) > 0$ है,तो फलन का $x = c$ पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है।
इसलिए,$f'(x) = 0$ एक आवश्यक शर्त है लेकिन यह पर्याप्त नहीं है।

(C) मान लीजिए कि आयत की भुजाएँ $x$ और $y$ हैं। परिधि $S$ को $S = 2(x + y)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इससे,हमें $y = \frac{S}{2} - x$ प्राप्त होता है।
आयत का क्षेत्रफल $A$ है $A = x \times y = x \left( \frac{S}{2} - x \right) = \frac{Sx}{2} - x^2$।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dx} = \frac{S}{2} - 2x$।
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $\frac{S}{2} = 2x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{S}{4}$।
$y$ के समीकरण में $x = \frac{S}{4}$ रखने पर,हमें $y = \frac{S}{2} - \frac{S}{4} = \frac{S}{4}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x = y = \frac{S}{4}$ है,इसलिए आयत एक वर्ग है।
साथ ही,$\frac{d^2A}{dx^2} = -2$,जो कि ऋणात्मक है,यह पुष्टि करता है कि $x = \frac{S}{4}$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(C) माना त्रिभुज का परिमाप $P$ है। हेरॉन के सूत्र के अनुसार,$a, b, c$ भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ होता है,जहाँ $s = P/2$ अर्ध-परिमाप है।
एक निश्चित $s$ के लिए,$(s-a)(s-b)(s-c)$ का गुणनफल तब अधिकतम होता है जब $s-a = s-b = s-c$ हो,जिसका अर्थ है $a = b = c$।
अतः,दिए गए परिमाप के लिए,अधिकतम क्षेत्रफल वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है।

(C) किसी फलन $f(x)$ के $x = a$ पर स्थानीय उच्चतम होने के लिए,उसका प्रथम अवकलज शून्य होना चाहिए,अर्थात $f'(a) = 0$।
इसके अतिरिक्त,द्वितीय अवकलज परीक्षण (second derivative test) के अनुसार यदि $f'(a) = 0$ और $f''(a) < 0$ है,तो फलन $f(x)$ का $x = a$ पर स्थानीय उच्चतम मान होता है।
अतः,पर्याप्त शर्तें $f'(a) = 0$ और $f''(a) < 0$ हैं।

(D) माना $36$ के दो गुणनखंड $x$ और $\frac{36}{x}$ हैं।
माना गुणनखंडों का योग $S(x) = x + \frac{36}{x}$ है।
न्यूनतम योग ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $S(x)$ का अवकलन करते हैं:
$S'(x) = 1 - \frac{36}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $S'(x) = 0$ रखने पर:
$1 - \frac{36}{x^2} = 0 \implies x^2 = 36 \implies x = 6$ (चूंकि गुणनखंड धनात्मक हैं)।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर:
$S''(x) = \frac{72}{x^3}$.
$x = 6$ पर,$S''(6) = \frac{72}{216} > 0$,जो न्यूनतम मान की पुष्टि करता है।
अतः गुणनखंड $x = 6$ और $\frac{36}{6} = 6$ हैं।
इस प्रकार,गुणनखंड $6, 6$ हैं,जो विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं दिए गए हैं।

(D) अंतराल $[-2, 4]$ पर $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन को शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$
$f'(x) = 0$ रखने पर,$6(x^2 - x - 2) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $6(x - 2)(x + 1) = 0$ हैं।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = -1$ हैं,जो दोनों अंतराल $[-2, 4]$ में स्थित हैं।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-2) = 2(-8) - 3(4) - 12(-2) + 5 = -16 - 12 + 24 + 5 = 1$
$f(-1) = 2(-1) - 3(1) - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$
$f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$
$f(4) = 2(64) - 3(16) - 12(4) + 5 = 128 - 48 - 48 + 5 = 37$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $37$ है,जो $x = 4$ पर प्राप्त होता है।

(A) दिया गया फलन $y = f(x) = x e^x$ है।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^x + x \cdot \frac{d}{dx}(e^x) = 1 \cdot e^x + x e^x = e^x(1 + x)$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें:
$e^x(1 + x) = 0$.
चूंकि $e^x$ कभी शून्य नहीं होता है,इसलिए $1 + x = 0$,जिससे $x = -1$ प्राप्त होता है।
अगला,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(e^x + x e^x) = e^x + (1 \cdot e^x + x e^x) = e^x(2 + x)$.
$x = -1$ पर द्वितीय अवकलज का मान ज्ञात करें:
$f''(-1) = e^{-1}(2 - 1) = e^{-1}(1) = \frac{1}{e}$.
चूंकि $\frac{1}{e} > 0$,इसलिए फलन का $x = -1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।

(A) माना $f(x) = \sin x + \sin x \cos x = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$.
प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = \cos x + \cos 2x$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = -\sin x - 2 \sin 2x$.
$x = \frac{\pi}{3}$ पर:
$f''\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - 2 \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
चूँकि $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$f''\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $f''\left(\frac{\pi}{3}\right) < 0$,इसलिए फलन का $x = \frac{\pi}{3}$ पर उच्चिष्ठ मान है।

(B) माना $f(x) = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^x} = {x^{-x}}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(f(x)) = -x \ln(x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{f'(x)}{f(x)} = -(\ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}) = -(\ln(x) + 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = -f(x)(\ln(x) + 1) = -{\left( {\frac{1}{x}} \right)^x}(\ln(x) + 1)$ है।
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,जिससे $\ln(x) + 1 = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $\ln(x) = -1$,जिससे $x = {e^{-1}} = \frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{1}{e}$ पर फलन का मान ज्ञात करने पर,हमें $f\left( \frac{1}{e} \right) = {\left( {\frac{1}{1/e}} \right)^{1/e}} = {e^{1/e}}$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का अधिकतम मान ${e^{1/e}}$ है।

(C) दिया गया है $x + y = 10$,इसलिए $y = 10 - x$।
मान लीजिए $f(x) = xy = x(10 - x) = 10x - x^2$।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 10 - 2x$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$10 - 2x = 0 \implies x = 5$।
अब,अधिकतम मान की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = -2$।
चूँकि $f''(5) = -2 < 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = 5$ पर अधिकतम है।
$x = 5$ को $y = 10 - x$ में रखने पर,हमें $y = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$xy$ का अधिकतम मान $5 \times 5 = 25$ है।

(A) मान लीजिए कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि उनका योग निश्चित है,मान लीजिए $x + y = s$,जहाँ $s$ एक स्थिरांक है।
तब $y = s - x$.
मान लीजिए गुणनफल $f(x) = xy = x(s - x) = sx - x^2$ है।
अधिकतम गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = s - 2x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$s - 2x = 0 \Rightarrow x = s/2$.
चूंकि $f''(x) = -2 < 0$,फलन का मान $x = s/2$ पर अधिकतम है।
$y = s - x$ में $x = s/2$ रखने पर,हमें $y = s - s/2 = s/2$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनफल तब अधिकतम होता है जब प्रत्येक संख्या योग की आधी हो।

(B) माना कि दो भाग $x$ और $(100 - x)$ हैं।
माना कि पहला भाग $(100 - x)$ है और दूसरा भाग $x$ है।
न्यूनतम करने के लिए फलन $f(x) = 2(100 - x) + x^2$ है।
$f(x) = x^2 - 2x + 200$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 2x - 2$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$2x - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$.
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f''(x) = 2$.
चूँकि $f''(x) = 2 > 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = 1$ पर न्यूनतम है।
अतः,दूसरा भाग $1$ है और पहला भाग $100 - 1 = 99$ है।
इसलिए वे दो भाग $99$ और $1$ हैं।

(C) मान लीजिए कि संख्या $x$ है। हम फलन $f(x) = x - x^2$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज लेते हैं:
$f'(x) = 1 - 2x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर:
$1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज लेते हैं:
$f''(x) = -2$.
चूंकि $f''(x) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = \frac{1}{2}$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अतः,वह संख्या जो अपने वर्ग से सबसे अधिक मात्रा में अधिक है,वह $\frac{1}{2}$ है।

(C) किसी फलन $f(x)$ के लिए,$f'(a) = 0$ और $f''(a) = 0$ की स्थिति नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) के लिए एक आवश्यक शर्त है,लेकिन यह निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त नहीं है कि $x = a$ एक चरम बिंदु (स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम) है।
यदि $f'(a) = 0$ और $f''(a) = 0$ है,तो $x = a$ स्थानीय अधिकतम,स्थानीय न्यूनतम,या नति परिवर्तन बिंदु हो सकता है (जैसे $f(x) = x^3$ में $x = 0$ पर)।
इसलिए,उच्च-क्रम के अवकलजों या $a$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न परिवर्तन के बारे में अतिरिक्त जानकारी के बिना,हम इसे निश्चित रूप से चरम बिंदु के रूप में वर्गीकृत नहीं कर सकते हैं।
अतः,दिए गए विकल्पों में से सबसे सटीक सामान्य कथन यह है कि यह आवश्यक रूप से चरम बिंदु नहीं है।

(B) माना कि धनात्मक वास्तविक संख्या $x$ है,जहाँ $x > 0$ है।
हम फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना चाहते हैं।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर $1 - \frac{1}{x^2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$।
चूँकि $x$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है,इसलिए हम $x = 1$ लेते हैं।
अब,न्यूनतम मान की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$f''(x) = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ पर,$f''(1) = 2 > 0$,जो पुष्टि करता है कि $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ है।
वैकल्पिक रूप से,समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका द्वारा,$x > 0$ के लिए,$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1$,इसलिए $x + \frac{1}{x} \ge 2$।

(B) माना $y = x^x$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$x > 0$ के लिए $\log y = x \log x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x)$ है।
स्थिर बिंदु के लिए,हम $\frac{dy}{dx} = 0$ रखते हैं।
चूँकि $x^x > 0$ है,इसलिए $1 + \log x = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\log x = -1$।
अतः,$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ है।
सत्यापन के लिए,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2} = x^x(1 + \log x)^2 + x^x \cdot \frac{1}{x}$ है।
$x = \frac{1}{e}$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = (\frac{1}{e})^{1/e}(0)^2 + (\frac{1}{e})^{1/e} \cdot e = e \cdot (\frac{1}{e})^{1/e} > 0$ होता है।
चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $x = \frac{1}{e}$ पर $y$ का मान न्यूनतम है।

(B) दिया गया है $x + y = 8$,जिसे हम $y = 8 - x$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $f(x) = xy = x(8 - x) = 8x - x^2$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 8 - 2x$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$8 - 2x = 0 \implies x = 4$।
चूंकि $f''(x) = -2 < 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = 4$ पर अधिकतम है।
$x = 4$ को समीकरण $y = 8 - x$ में रखने पर,हमें $y = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$xy$ का अधिकतम मान $4 \times 4 = 16$ है।

(A) माना पहली संख्या $3 - x$ है और दूसरी संख्या $x$ है।
हमें गुणनफल $P(x) = (3 - x)x^2 = 3x^2 - x^3$ को अधिकतम करना है।
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $P(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$P'(x) = 6x - 3x^2$.
$P'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3x(2 - x) = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $x = 0$ या $x = 2$ मिलता है।
अब,हम द्वितीय अवकलज $P''(x) = 6 - 6x$ ज्ञात करते हैं।
$x = 2$ के लिए,$P''(2) = 6 - 6(2) = -6 < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज $x = 2$ पर ऋणात्मक है,इसलिए फलन का $x = 2$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $P(2) = (3 - 2)(2^2) = 1 \times 4 = 4$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 30$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 6x^2 - 42x + 36$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$6(x^2 - 7x + 6) = 0 \Rightarrow 6(x - 1)(x - 6) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = 6$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = 12x - 42$.
क्रांतिक बिंदुओं पर $f''(x)$ का मान ज्ञात करें:
$x = 1$ के लिए: $f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0$. चूँकि $f''(1) < 0$ है,इसलिए $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x = 6$ के लिए: $f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0$. चूँकि $f''(6) > 0$ है,इसलिए $f(x)$ का $x = 6$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
अतः,$f(x)$ का $x = 1$ पर अधिकतम मान है।

(D) माना $f(x) = 2x^3 - 24x + 107$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 6x^2 - 24 = 0$
$6(x^2 - 4) = 0$
$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2, -2$.
दोनों क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = -2$ अंतराल $[-3, 3]$ के भीतर स्थित हैं।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-3) = 2(-3)^3 - 24(-3) + 107 = 2(-27) + 72 + 107 = -54 + 72 + 107 = 125$.
$f(3) = 2(3)^3 - 24(3) + 107 = 2(27) - 72 + 107 = 54 - 72 + 107 = 89$.
$f(2) = 2(2)^3 - 24(2) + 107 = 2(8) - 48 + 107 = 16 - 48 + 107 = 75$.
$f(-2) = 2(-2)^3 - 24(-2) + 107 = 2(-8) + 48 + 107 = -16 + 48 + 107 = 139$.
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $139$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^4 - 62x^2 + ax + 9$ है।
किसी फलन का $x = c$ पर स्थानीय उच्चतम या निम्नतम मान होने के लिए,उसका प्रथम अवकलज $f'(x)$ उस बिंदु पर शून्य होना चाहिए।
सबसे पहले,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 62x^2 + ax + 9) = 4x^3 - 124x + a$.
चूंकि फलन $x = 1$ पर अधिकतम है,इसलिए हम $f'(1) = 0$ रखेंगे:
$4(1)^3 - 124(1) + a = 0$.
समीकरण को सरल करने पर:
$4 - 124 + a = 0$.
$-120 + a = 0$.
$a = 120$.
अतः,$a$ का मान $120$ है।

(C) मान लीजिए $f(x) = 11x^2 - 20x + 7$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज निकालते हैं $f'(x) = 22x - 20$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $22x = 20$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 20/22 = 10/11$।
चूंकि $f''(x) = 22 > 0$ है,इसलिए फलन का $x = 10/11$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(10/11) = 11(10/11)^2 - 20(10/11) + 7$ है।
$f(10/11) = 11(100/121) - 200/11 + 7$।
$f(10/11) = 100/11 - 200/11 + 77/11$।
$f(10/11) = (100 - 200 + 77) / 11 = -23/11$।

(B) दिया गया है $f(x) = x(1 - x)^2 = x^3 - 2x^2 + x$.
अवकलन करने पर,$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$3x^2 - 3x - x + 1 = 0$,अर्थात $(3x - 1)(x - 1) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 1/3$ और $x = 1$ हैं।
अंतराल $[0, 2]$ के लिए मानों की जाँच करने पर:
$f(0) = 0$.
$f(1/3) = 4/27$.
$f(1) = 0$.
$f(2) = 2$.
यहाँ $4/27$ स्थानीय अधिकतम मान है।

(B) माना आयत की भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। आयत का परिमाप $2(a + b) = 36 \ m$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $a + b = 18$,या $b = 18 - a$।
आयत का क्षेत्रफल $A = a \times b = a(18 - a) = 18a - a^2$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{da} = 18 - 2a$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए अवकलज को शून्य के बराबर रखने पर:
$18 - 2a = 0 \implies a = 9$।
$a = 9$ का मान $b$ के समीकरण में रखने पर:
$b = 18 - 9 = 9$।
चूंकि द्वितीय अवकलज $\frac{d^2A}{da^2} = -2 < 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल $a = 9$ और $b = 9$ पर अधिकतम है। अतः,आसन्न भुजाएँ $9 \ m$ और $9 \ m$ हैं।

(C) माना $f(x) = 2x^2 + x - 1$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(x) = 4x + 1$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $4x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = -\frac{1}{4}$.
अब,हम द्वितीय अवकलज $f''(x) = 4$ की जाँच करते हैं। चूँकि $f''(x) > 0$ है,इसलिए फलन का $x = -\frac{1}{4}$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(-\frac{1}{4}) = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) - 1$ है।
$f(-\frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{9}{8}$.

(A) दिया गया है,$f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 6x^2 - 42x + 36$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$6(x^2 - 7x + 6) = 0$
$6(x - 1)(x - 6) = 0$
अतः,$x = 1$ और $x = 6$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = 12x - 42$.
क्रांतिक बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करें:
$x = 1$ के लिए,$f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = 6$ के लिए,$f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
इसलिए,न्यूनतम मान $x = 6$ पर प्राप्त होता है:
$f(6) = 2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) - 20$
$f(6) = 2(216) - 21(36) + 216 - 20$
$f(6) = 432 - 756 + 216 - 20$
$f(6) = -128$.
अतः,न्यूनतम मान $-128$ है।

(C) माना कि दो शून्येतर संख्याएँ $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x + y = 4$,इसलिए $y = 4 - x$.
हमें उनके व्युत्क्रमों के योग $S = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ को न्यूनतम करना है।
$y = 4 - x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $S(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x} = \frac{4 - x + x}{x(4 - x)} = \frac{4}{4x - x^2}$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $S(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$S'(x) = \frac{d}{dx} [4(4x - x^2)^{-1}] = -4(4x - x^2)^{-2} \cdot (4 - 2x) = \frac{-4(4 - 2x)}{(4x - x^2)^2} = \frac{8(x - 2)}{(4x - x^2)^2}$.
$S'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x - 2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 2$.
यदि $x = 2$ है,तो $y = 4 - 2 = 2$.
अतः,न्यूनतम मान $S(2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ है।

(C) माना $f(x) = \frac{(5 + x)(2 + x)}{1 + x}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \frac{x^2 + 7x + 10}{x + 1} = \frac{x(x + 1) + 6(x + 1) + 4}{x + 1} = x + 6 + \frac{4}{x + 1}$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 1 - \frac{4}{(x + 1)^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$1 = \frac{4}{(x + 1)^2} \implies (x + 1)^2 = 4 \implies x + 1 = \pm 2$.
चूंकि $x$ अऋण है,$x + 1 = 2$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर:
$f''(x) = \frac{8}{(x + 1)^3}$.
$x = 1$ पर,$f''(1) = \frac{8}{8} = 1 > 0$,अतः $x = 1$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
न्यूनतम मान $f(1) = \frac{(5 + 1)(2 + 1)}{1 + 1} = \frac{6 \times 3}{2} = 9$ है।

(A) माना $y = {\sin ^p}x{\cos ^q}x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = p{\sin ^{p - 1}}x(\cos x){\cos ^q}x + {\sin ^p}x(q{\cos ^{q - 1}}x)(-\sin x)$
$\frac{dy}{dx} = p{\sin ^{p - 1}}x{\cos ^{q + 1}}x - q{\cos ^{q - 1}}x{\sin ^{p + 1}}x$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$p{\sin ^{p - 1}}x{\cos ^{q + 1}}x = q{\cos ^{q - 1}}x{\sin ^{p + 1}}x$
दोनों पक्षों को ${\sin ^{p - 1}}x{\cos ^{q - 1}}x$ से विभाजित करने पर:
$p{\cos ^2}x = q{\sin ^2}x$
$\frac{{\sin ^2}x}{{\cos ^2}x} = \frac{p}{q}$
${\tan ^2}x = \frac{p}{q}$
$\tan x = \sqrt{\frac{p}{q}}$
$x = {\tan ^{ - 1}}\sqrt{\frac{p}{q}}$

(D) माना दो भाग $x$ और $y$ हैं ताकि $x + y = 20$,जिसका अर्थ है $y = 20 - x$.
हम गुणनफल $P = x^3 y^2$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
$y$ का मान रखने पर,$P(x) = x^3 (20 - x)^2 = x^3 (400 - 40x + x^2) = 400x^3 - 40x^4 + x^5$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष $P$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dx} = 1200x^2 - 160x^3 + 5x^4$.
$\frac{dP}{dx} = 0$ रखने पर:
$5x^2 (240 - 32x + x^2) = 0$.
$5x^2 (x - 12)(x - 20) = 0$.
अतः,$x = 0, 12, 20$. चूंकि भाग धनात्मक होने चाहिए,हम $x = 12$ लेते हैं।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $\frac{d^2P}{dx^2} = 2400x - 480x^2 + 20x^3$.
$x = 12$ पर,$\frac{d^2P}{dx^2} = 2400(12) - 480(144) + 20(1728) = 28800 - 69120 + 34560 = -5760 < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,$x = 12$ उच्चिष्ठ बिंदु है।
अतः,भाग $x = 12$ और $y = 20 - 12 = 8$ हैं।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \cos x + \cos (\sqrt{2} x)$ है।
उच्चिष्ठ (maxima) ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज निकालते हैं: $f'(x) = -\sin x - \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\sin x + \sqrt{2} \sin (\sqrt{2} x) = 0$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$f'(0) = -\sin(0) - \sqrt{2} \sin(0) = 0$.
अब,द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f''(x) = -\cos x - 2 \cos (\sqrt{2} x)$.
$x = 0$ पर,$f''(0) = -\cos(0) - 2 \cos(0) = -1 - 2 = -3$.
चूँकि $f''(0) < 0$ है,फलन $x = 0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ प्राप्त करता है।
चूँकि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है,फलन $f(x)$ आवर्ती (periodic) नहीं है। $\cos x$ और $\cos (\sqrt{2} x)$ दोनों का मान एक साथ $1$ केवल $x = 0$ पर ही हो सकता है। किसी अन्य $x \neq 0$ के लिए,योग $\cos x + \cos (\sqrt{2} x)$ का मान $2$ से कम होगा। अतः,$x = 0$ ही वह एकमात्र बिंदु है जहाँ अधिकतम मान $2$ प्राप्त होता है।

(C) माना $y = e^{(2x^2 - 2x + 1)\sin^2 x}$ है।
चूंकि चरघातांकी फलन $e^u$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $y$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब घातांक $f(x) = (2x^2 - 2x + 1)\sin^2 x$ का मान न्यूनतम हो।
यहाँ $2x^2 - 2x + 1 = 2(x - 1/2)^2 + 1/2$,जो हमेशा धनात्मक है (न्यूनतम मान $1/2$ है)।
साथ ही,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\sin^2 x \ge 0$ होता है।
चूंकि दोनों गुणनखंड अ-ऋणात्मक हैं,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान $0$ है,जो $\sin^2 x = 0$ (अर्थात $x = n\pi$) पर प्राप्त होता है।
अतः,$y$ का न्यूनतम मान $e^0 = 1$ है।