Maxima and Minima Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે $f(x) = 2\sqrt{2} \sin x - \tan x$,અંતરાલ $[0, \pi/3]$ પર.
પ્રથમ,વિકલિત શોધો: $f'(x) = 2\sqrt{2} \cos x - \sec^2 x$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો:
$2\sqrt{2} \cos x = \frac{1}{\cos^2 x} \implies \cos^3 x = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3$.
આથી,$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જે $x = \pi/4$ આપે છે.
હવે,ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંત્યબિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(0) = 2\sqrt{2}(0) - 0 = 0$.
$f(\pi/4) = 2\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - 1 = 2 - 1 = 1$.
$f(\pi/3) = 2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \sqrt{3} = \sqrt{6} - \sqrt{3} \approx 0.72$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $m = 0$ અને $M = 1$.
તેથી,$m + M = 0 + 1 = 1$.

(B) ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે એવા બિંદુઓ શોધવા પડશે જ્યાં વિકલન $f'(x) = 0$ થાય.
આપેલ છે $f(x) = 2 \cos x - \sin 2x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = -2 \sin x - 2 \cos 2x$.
$f'(x) = 0$ લેતા:
$-2 \sin x - 2 \cos 2x = 0$
$\sin x + \cos 2x = 0$.
નિત્યસમ $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x + 1 - 2 \sin^2 x = 0$
$2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0$.
ધારો કે $u = \sin x$,તો $2u^2 - u - 1 = 0$.
$(2u + 1)(u - 1) = 0$.
તેથી,$\sin x = 1$ અથવા $\sin x = -1/2$.
$[-\pi, \pi]$ માં $\sin x = 1$ માટે,$x = \pi/2$.
$[-\pi, \pi]$ માં $\sin x = -1/2$ માટે,$x = -\pi/6$ અને $x = -5\pi/6$.
આમ,આપેલ અંતરાલમાં કુલ $3$ ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સ છે.

(C) અંતરાલ $[-1, 4]$ પર $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x - 30$ ની નિરપેક્ષ મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધવા માટે,આપણે $f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ છીએ.
$f'(x) = 6x^2 - 30x + 36 = 6(x^2 - 5x + 6) = 6(x - 2)(x - 3)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 2$ અને $x = 3$ છે,જે બંને $[-1, 4]$ માં આવેલા છે.
હવે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-1) = 2(-1)^3 - 15(-1)^2 + 36(-1) - 30 = -2 - 15 - 36 - 30 = -83$.
$f(2) = 2(8) - 15(4) + 36(2) - 30 = 16 - 60 + 72 - 30 = -2$.
$f(3) = 2(27) - 15(9) + 36(3) - 30 = 54 - 135 + 108 - 30 = -3$.
$f(4) = 2(64) - 15(16) + 36(4) - 30 = 128 - 240 + 144 - 30 = 2$.
નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $2$ છે અને નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $-83$ છે.
તફાવત $2 - (-83) = 85$ થાય છે.

(A) ધારો કે $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
અંતિમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x-1)(x^2+x+1) - (2x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+x+1)^2} = 0$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1) - (2x^3 - 2x^2 + 2x + x^2 - x + 1) = 0$.
$(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1) = 0$.
$2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
$x = -1$ માટે,$y = \frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = \frac{3}{1} = 3$.
$x = 1$ માટે,$y = \frac{1^2 - 1 + 1}{1^2 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $\alpha = 3$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $\beta = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

(B) ધારો કે લંબચોરસ ભાગની લંબાઈ $x$ છે અને અર્ધવર્તુળાકાર છેડાઓની ત્રિજ્યા $r$ છે. ટ્રેકની કુલ પરિમિતિ $P = 2x + 2\pi r = 500 \ ft$. દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણને $x + \pi r = 250$ મળે છે,તેથી $x = 250 - \pi r$.
લંબચોરસ ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A = x \times (2r) = (250 - \pi r)(2r) = 500r - 2\pi r^2$ છે.
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dA}{dr} = 500 - 4\pi r = 0 \Rightarrow r = \frac{125}{\pi}$.
હવે,$r$ ની કિંમત $x$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = 250 - \pi \left(\frac{125}{\pi}\right) = 250 - 125 = 125 \ ft$.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે લંબચોરસ ભાગની લંબાઈ $125 \ ft$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = px^3 + qx^2 + rx + t$.
વિકલન કરતા $f'(x) = 3px^2 + 2qx + r$ ... $(i)$
કારણ કે $f(x)$ એ $x = -2$ અને $x = 2$ આગળ સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્યો ધરાવે છે,તેથી $f'(x) = k(x+2)(x-2) = k(x^2 - 4)$ ... (ii)
$(i)$ અને (ii) ની સરખામણી કરતા,આપણને $3p = k$,$2q = 0$,અને $r = -4k$ મળે છે.
આમ,$q = 0$ અને $r = -4(3p) = -12p$.
દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 6px + 2q = 6px$.
$x = -2$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ માટે,$f''(-2) = -12p > 0$,જે સૂચવે છે કે $p < 0$.
આપેલ છે કે $p$ એ $9x^2 - 1 = 0$ નું બીજ છે,તેથી $x = \pm \frac{1}{3}$.
કારણ કે $p < 0$,તેથી $p = -\frac{1}{3}$.
હવે $r = -12(-\frac{1}{3}) = 4$.
તેથી,$p + q + r = -\frac{1}{3} + 0 + 4 = \frac{11}{3}$.

(D) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ છે.
આપેલ છે કે પરિમિતિ $48 \text{ cm}$ છે.
$2(l + b) = 48 \Rightarrow l + b = 24 \Rightarrow b = 24 - l$ ... $(i)$
જ્યારે લંબચોરસને બાજુ $b$ ની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે નળાકારની ત્રિજ્યા $r = l$ અને ઊંચાઈ $h = b$ થાય છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi l^2 b$ છે.
$(i)$ માંથી $b$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \pi l^2(24 - l) = 24\pi l^2 - \pi l^3$.
મહત્તમ ઘનફળ મેળવવા માટે,$l$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dl} = 48\pi l - 3\pi l^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $\frac{dV}{dl} = 0$ લેતા:
$3\pi l(16 - l) = 0 \Rightarrow l = 0$ અથવા $l = 16$.
$l$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $l = 16$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા: $\frac{d^2V}{dl^2} = 48\pi - 6\pi l$.
$l = 16$ માટે,$\frac{d^2V}{dl^2} = 48\pi - 96\pi = -48\pi < 0$.
દ્વિતીય વિકલન ઋણ હોવાથી,$l = 16$ આગળ ઘનફળ મહત્તમ છે.
તેથી $b = 24 - 16 = 8$.
આમ,લંબચોરસના પરિમાણો $8 \text{ cm}$ અને $16 \text{ cm}$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{4}{3}x^3 - 4x$ અંતરાલ $[0, 2]$ પર છે.
પ્રથમ,વિકલન શૂન્ય કરીને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો:
$f'(x) = 4x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
અંતરાલ $[0, 2]$ ને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે ફક્ત $x = 1$ ને ક્રાંતિક બિંદુ તરીકે લઈશું.
હવે,ક્રાંતિક બિંદુ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત શોધો:
$f(0) = \frac{4}{3}(0)^3 - 4(0) = 0$.
$f(1) = \frac{4}{3}(1)^3 - 4(1) = \frac{4}{3} - 4 = -\frac{8}{3}$.
$f(2) = \frac{4}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32 - 24}{3} = \frac{8}{3}$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,વૈશ્વિક ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{8}{3}$ છે અને વૈશ્વિક મહત્તમ કિંમત $\frac{8}{3}$ છે.
વૈશ્વિક ન્યૂનતમ અને વૈશ્વિક મહત્તમ કિંમતોનો સરવાળો $\frac{8}{3} + (-\frac{8}{3}) = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $A(1,15), B(3,-12), C(6,12)$ એ સતત વક્ર $y=f(x)$ ના ત્રણ ક્રમિક વળાંક બિંદુઓ છે અને વક્ર $x$-અક્ષને $x=\alpha$ અને $x=\beta$ પર છેદે છે.
આપેલ આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે:
$1 < \alpha < 3$ અને $3 < \beta < 6$.
આપણે $|\beta-\alpha|$ માટેની રેન્જ શોધવા માંગીએ છીએ.
કારણ કે $1 < \alpha < 3$,તેથી આપણને $-3 < -\alpha < -1$ મળે છે.
વળી,$3 < \beta < 6$.
આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$3 - 3 < \beta - \alpha < 6 - 1$
$0 < \beta - \alpha < 5$.
તેથી,$|\beta-\alpha| < 5$.

(B) આપેલ છે $f(x) = x^2 + \frac{54}{x}$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 2x - \frac{54}{x^2}$.
$x \in (-\infty, 0)$ માટે,$x^2 > 0$ અને $x < 0$ છે,તેથી $2x < 0$ અને $-\frac{54}{x^2} < 0$ થાય. આમ,$f'(x) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ $(-\infty, 0)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લો: $2x - \frac{54}{x^2} = 0 \Rightarrow 2x^3 = 54 \Rightarrow x^3 = 27 \Rightarrow x = 3$.
કારણ કે એકમાત્ર ક્રિટિકલ પોઈન્ટ $x = 3$ એ $(0, \infty)$ માં આવેલ છે,તેથી $(-\infty, 0)$ માં કોઈ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ નથી.
તેથી,$f(x)$ ને $(-\infty, 0)$ માં કોઈ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત નથી.

(B) બે ધન પદો $a^2 x^4$ અને $b^2 y^4$ માટે $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a^2 x^4 + b^2 y^4}{2} \ge \sqrt{(a^2 x^4)(b^2 y^4)}$
આપેલ છે કે $a^2 x^4 + b^2 y^4 = c^6$,તેથી:
$\frac{c^6}{2} \ge \sqrt{a^2 b^2 x^4 y^4}$
$\frac{c^6}{2} \ge ab x^2 y^2$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{c^{12}}{4} \ge a^2 b^2 x^4 y^4$
$x^4 y^4 \le \frac{c^{12}}{4 a^2 b^2}$
આમ,મહત્તમ કિંમત $\frac{c^{12}}{4 a^2 b^2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 3x + \frac{12}{x}$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 3 - \frac{12}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$3 - \frac{12}{x^2} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2, -2$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = \frac{24}{x^3}$.
$x = 2$ માટે,$f''(2) = \frac{24}{8} = 3 > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$x = -2$ માટે,$f''(-2) = \frac{24}{-8} = -3 < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $M = f(-2) = 3(-2) + \frac{12}{-2} = -6 - 6 = -12$.
આપણે $\lim_{x \rightarrow M} f(x) = \lim_{x \rightarrow -12} (3x + \frac{12}{x})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$x = -12$ મૂકતા: $3(-12) + \frac{12}{-12} = -36 - 1 = -37$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{4}{\sin x} + \frac{1}{1-\sin x}$.
અંતિમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$f'(x) = -\frac{4 \cos x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$-\frac{4 \cos x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} = 0$.
$x \in (0, \pi/2)$ હોવાથી,$\cos x \neq 0$,તેથી આપણે $\cos x$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$-\frac{4}{\sin^2 x} + \frac{1}{(1-\sin x)^2} = 0$.
$\frac{1}{(1-\sin x)^2} = \frac{4}{\sin^2 x}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{1-\sin x} = \frac{2}{\sin x}$ (કારણ કે આપેલ અંતરાલમાં $\sin x > 0$ અને $1-\sin x > 0$ છે).
$\sin x = 2 - 2 \sin x$.
$3 \sin x = 2 \Rightarrow \sin x = \frac{2}{3}$.
હવે,$f(x)$ માં $\sin x = \frac{2}{3}$ મૂકતા:
$f(x) = \frac{4}{2/3} + \frac{1}{1-2/3} = 4 \times \frac{3}{2} + \frac{1}{1/3} = 6 + 3 = 9$.

(A) ધારો કે શંકુની ઊંચાઈ $h$ છે અને તેના પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે. ગોળામાં અંતર્ગત શંકુની ભૂમિતિ પરથી,આપણને સંબંધ મળે છે $r^2 = R^2 - (h - R)^2 = 2hR - h^2$.
શંકુનું ઘનફળ $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2hR - h^2) h = \frac{1}{3} \pi (2Rh^2 - h^3)$ છે.
મહત્તમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3} \pi (4Rh - 3h^2) = 0$.
$h \neq 0$ હોવાથી,આપણને $4R - 3h = 0$ મળે છે,જે $h = \frac{4R}{3}$ આપે છે.
આમ,$k = \frac{4}{3}$.
$h = \frac{4R}{3}$ પર શંકુનું ઘનફળ $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi (2R(\frac{4R}{3})^2 - (\frac{4R}{3})^3) = \frac{1}{3} \pi (\frac{32R^3}{9} - \frac{64R^3}{27}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{96R^3 - 64R^3}{27}) = \frac{32}{81} \pi R^3$ થાય.
ગોળાનું ઘનફળ $V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
શંકુના ઘનફળ અને ગોળાના ઘનફળનો ગુણોત્તર $\frac{\frac{32}{81} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{32}{81} \times \frac{3}{4} = \frac{8}{27}$ થાય.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{4 + x + x^2}$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{(4 + x + x^2)(1) - x(1 + 2x)}{(4 + x + x^2)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + x + x^2 - x - 2x^2}{(4 + x + x^2)^2} = \frac{4 - x^2}{(4 + x + x^2)^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે,$f'(x) = 0$ લેતા,જેનો અર્થ છે $4 - x^2 = 0$,તેથી $x = \pm 2$.
કારણ કે $x = \pm 2$ એ અંતરાલ $[-1, 1]$ માં નથી,તેથી આપેલ અંતરાલમાં વિધેયને કોઈ ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ નથી.
કારણ કે તમામ $x \in [-1, 1]$ માટે $4 - x^2 > 0$ છે,તેથી $f'(x) > 0$,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ $[-1, 1]$ પર સતત વધતું વિધેય છે.
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય અંતિમ બિંદુ $x = 1$ પર મળે છે:
$f(1) = \frac{1}{4 + 1 + 1^2} = \frac{1}{6}$.

(D) આપેલ વિધેય: $f(x) = x + \frac{4}{x + 2}$,જ્યાં $x > -2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ અને તેને $0$ સાથે સરખાવીએ:
$f'(x) = 1 - \frac{4}{(x + 2)^2}$
$f'(x) = 0$ લેતા:
$1 = \frac{4}{(x + 2)^2} \implies (x + 2)^2 = 4$
કારણ કે $x > -2$,તેથી $x + 2 = 2$,જે આપણને $x = 0$ આપે છે.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = \frac{8}{(x + 2)^3}$ તપાસીએ.
$x = 0$ આગળ,$f''(0) = \frac{8}{2^3} = 1 > 0$.
કારણ કે $f''(0) > 0$ છે,તેથી વિધેયને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(0) = 0 + \frac{4}{0 + 2} = \frac{4}{2} = 2$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ છે.
અંતિમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
વિધેયને કોઈ અંતિમ મૂલ્ય ન હોય જો તેનું વિકલન $f'(x)$ ચિહ્ન બદલે નહીં,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી અથવા સમાન બીજ છે જેથી ચિહ્ન બદલાતું નથી.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3ax^2 + 2bx + c = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોય તે માટે,તેનો વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2b)^2 - 4(3a)(c) < 0$.
$4b^2 - 12ac < 0$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $b^2 - 3ac < 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 < 3ac$.

(A) ધારો કે બંધ નળાકારની ઊંચાઈ $h$ અને પાયાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે,જેનો અર્થ છે કે $h = \frac{V}{\pi r^2}$.
બંધ નળાકારનું કુલ પૃષ્ઠફળ $S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$ છે.
પૃષ્ઠફળના સૂત્રમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા: $S = 2 \pi r (\frac{V}{\pi r^2}) + 2 \pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2 \pi r^2$.
ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે,આપણે $S$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dS}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4 \pi r = 0$.
આનાથી આપણને $4 \pi r = \frac{2V}{r^2}$ મળે છે,તેથી $V = 2 \pi r^3$.
આ સમીકરણમાં $V = \pi r^2 h$ મૂકતા: $\pi r^2 h = 2 \pi r^3$.
બંને બાજુને $\pi r^2$ વડે ભાગતા,આપણને $h = 2r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે ગુણોત્તર $h : r = 2 : 1$ છે.

(A) કણોના યામ $P(t, t^3 - 16t - 3)$ અને $Q(t + 1, t^3 - 6t - 6)$ છે.
બે કણો વચ્ચેનું અંતર $PQ$ અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$PQ = \sqrt{((t + 1) - t)^2 + ((t^3 - 6t - 6) - (t^3 - 16t - 3))^2}$
$PQ = \sqrt{(1)^2 + (t^3 - 6t - 6 - t^3 + 16t + 3)^2}$
$PQ = \sqrt{1 + (10t - 3)^2}$
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,આપણે અંતરના વર્ગ $y = PQ^2 = 1 + (10t - 3)^2$ ને ન્યૂનતમ બનાવીએ.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dy}{dt} = 2(10t - 3) \times 10 = 20(10t - 3) = 0$
આનાથી $10t - 3 = 0$ મળે છે,એટલે કે $t = \frac{3}{10}$.
$t = \frac{3}{10}$ ને $PQ$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$PQ_{min} = \sqrt{1 + (10(\frac{3}{10}) - 3)^2} = \sqrt{1 + (3 - 3)^2} = \sqrt{1 + 0} = 1$.
આમ,ન્યૂનતમ અંતર $1$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $y = \frac{b^2}{a-x} + \frac{a^2}{x}$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{b^2}{(a-x)^2} - \frac{a^2}{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $\frac{b^2}{(a-x)^2} = \frac{a^2}{x^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a-x} = \pm \frac{a}{x}$.
$0 < x < a$ અને $a, b > 0$ હોવાથી,આપણે ધન મૂળ લઈએ: $\frac{b}{a-x} = \frac{a}{x} \Rightarrow bx = a^2 - ax \Rightarrow x(a+b) = a^2 \Rightarrow x = \frac{a^2}{a+b}$.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2b^2}{(a-x)^3} + \frac{2a^2}{x^3}$.
$x = \frac{a^2}{a+b}$ એ $(0, a)$ માં હોવાથી,બંને પદો ધન છે,તેથી $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$,જે ન્યૂનતમ કિંમત દર્શાવે છે.
$x = \frac{a^2}{a+b}$ ને $y$ માં મૂકતા:
$y_{\min} = \frac{b^2}{a - \frac{a^2}{a+b}} + \frac{a^2}{\frac{a^2}{a+b}} = \frac{b^2}{\frac{a^2+ab-a^2}{a+b}} + (a+b) = \frac{b^2(a+b)}{ab} + (a+b) = \frac{b(a+b)}{a} + (a+b) = (a+b)(\frac{b}{a} + 1) = (a+b)(\frac{a+b}{a}) = \frac{(a+b)^2}{a}$.

(A) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ છે જેમાં કર્ણ $AC = h$ છે. ધારો કે $\angle A = \theta$.
તેથી બાજુઓ $AB = h \cos \theta$ અને $BC = h \sin \theta$ થશે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} (h \cos \theta)(h \sin \theta)$.
$A = \frac{h^2}{2} \sin \theta \cos \theta = \frac{h^2}{4} (2 \sin \theta \cos \theta) = \frac{h^2}{4} \sin 2\theta$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2\theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $2\theta = 90^{\circ}$ અથવા $\theta = 45^{\circ}$ હોય ત્યારે $1$ થાય છે.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $\frac{h^2}{4} \times 1 = \frac{h^2}{4}$ થાય.

(D) આપેલ વિધેય $f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ છે.
અંતિમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(a \sin x + \frac{1}{3} \sin 3x) = a \cos x + \frac{1}{3} \cdot 3 \cos 3x = a \cos x + \cos 3x$.
વિધેયને $x = \frac{\pi}{3}$ આગળ અંતિમ મૂલ્ય હોવાથી,$f'(\frac{\pi}{3}) = 0$ થવું જોઈએ.
વિકલિતમાં $x = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા:
$a \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 0$.
$a(\frac{1}{2}) + \cos(\pi) = 0$.
કારણ કે $\cos(\pi) = -1$,તેથી:
$\frac{a}{2} - 1 = 0$.
$\frac{a}{2} = 1 \implies a = 2$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણની બે આપેલી બાજુઓ $a$ અને $b$ છે,અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ સૂત્ર $A = \frac{1}{2} ab \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બાજુઓ $a$ અને $b$ નિશ્ચિત હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A$ માત્ર $\sin \theta$ પર આધાર રાખે છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય તે માટે $\sin \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2} \text{ રેડિયન}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ માટે આપેલી બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(B) કણનો વેગ $V$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે:
$V = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6t - \frac{t^3}{2}) = 6 - \frac{3}{2}t^2$
મહત્તમ વેગ શોધવા માટે,આપણે સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(6 - \frac{3}{2}t^2) = -3t$
$\frac{dV}{dt} = 0$ લેતા,આપણને $t = 0$ મળે છે.
અહીં $\frac{d^2V}{dt^2} = -3 < 0$ હોવાથી,$t = 0$ સમયે વેગ મહત્તમ છે.
વેગના સમીકરણમાં $t = 0$ મૂકતા:
$V_{max} = 6 - \frac{3}{2}(0)^2 = 6$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=x^2+\frac{1}{x^2}$ અને $g(x)=x-\frac{1}{x}$.
આપણે $f(x)$ ને $g(x)$ ના સ્વરૂપમાં $f(x)=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $t=x-\frac{1}{x}$. તો $f(x)=t^2+2$ અને $g(x)=t$ થાય.
આપણે $h(t)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{t^2+2}{t}=t+\frac{2}{t}$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ $h'(t)=1-\frac{2}{t^2}$.
$h'(t)=0$ લેતા,આપણને $1-\frac{2}{t^2}=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t^2=2$,તેથી $t=\pm \sqrt{2}$.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$h''(t)=\frac{4}{t^3}$.
$t=\sqrt{2}$ માટે,$h''(\sqrt{2})=\frac{4}{(\sqrt{2})^3} > 0$,તેથી $t=\sqrt{2}$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $h(\sqrt{2})=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ છે.

(D) ધારો કે $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ રેડિયનમાં સેક્ટરનો ખૂણો છે. સેક્ટરની પરિમિતિ $P = 2r + r\theta = r(2 + \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિમિતિ અચળ હોવાથી,ધારો કે $P = k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
તેથી,$r(2 + \theta) = k$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{k}{2 + \theta}$.
સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $A = \frac{1}{2} \left(\frac{k}{2 + \theta}\right)^2 \theta = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(2 + \theta)^2}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નું વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^2}{2} \left[ \frac{(2 + \theta)^2(1) - \theta(2)(2 + \theta)}{(2 + \theta)^4} \right] = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{(2 + \theta) - 2\theta}{(2 + \theta)^3} = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{2 - \theta}{(2 + \theta)^3}$.
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ લેતા,આપણને $2 - \theta = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 2$.
$\theta = 2$ માટે,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2A}{d\theta^2}$ ઋણ છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે $\theta = 2^c$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=2 x^3-9 a x^2+12 a^2 x+1$ છે જ્યાં $a>0$.
સૌ પ્રથમ,વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધો:
$f^{\prime}(x)=6 x^2-18 a x+12 a^2$
$f^{\prime}(x)=6(x^2-3 a x+2 a^2)=6(x-a)(x-2 a)$
સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ માટે,$f^{\prime}(x)=0$ લો:
$6(x-a)(x-2 a)=0 \Rightarrow x=a, 2 a$
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા,$f^{\prime\prime}(x)=12 x-18 a$:
$x=a$ આગળ,$f^{\prime\prime}(a)=12 a-18 a=-6 a < 0$ ($a>0$ હોવાથી),તેથી $x=a$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x=2 a$ આગળ,$f^{\prime\prime}(2 a)=24 a-18 a=6 a > 0$ ($a>0$ હોવાથી),તેથી $x=2 a$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
આમ,$p=a$ અને $q=2 a$.
શરત $p^2=q$ મુજબ:
$a^2=2 a$
$a^2-2 a=0$
$a(a-2)=0$
$a>0$ હોવાથી,આપણને $a=2$ મળે છે.

(A) ધારો કે વક્ર પરનું બિંદુ $P(x, y) = (x, x^2-4)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી અંતરનો વર્ગ $D^2 = S = x^2 + y^2 = x^2 + (x^2-4)^2$ છે.
$S = x^2 + x^4 - 8x^2 + 16 = x^4 - 7x^2 + 16$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$S$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$\frac{dS}{dx} = 4x^3 - 14x = 0$.
$2x(2x^2 - 7) = 0$.
આનાથી $x = 0$ અથવા $x^2 = \frac{7}{2}$ મળે છે.
જો $x = 0$,તો $S = 16$. જો $x^2 = \frac{7}{2}$,તો $S = (\frac{7}{2})^2 - 7(\frac{7}{2}) + 16 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16 = 16 - \frac{49}{4} = \frac{64-49}{4} = \frac{15}{4}$.
ન્યૂનતમ અંતર $\sqrt{S} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ છે.

(A) ધારો કે પાયાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને ઊંચાઈ $H$ છે. ખુલ્લા નળાકારનું પૃષ્ઠફળ $A = 2\pi RH + \pi R^2$ છે.
આના પરથી,આપણે $H$ ને $H = \frac{A - \pi R^2}{2\pi R}$ તરીકે લખી શકીએ.
ઘનફળ $V = \pi R^2 H = \pi R^2 \left( \frac{A - \pi R^2}{2\pi R} \right) = \frac{R}{2}(A - \pi R^2) = \frac{AR}{2} - \frac{\pi R^3}{2}$ છે.
મહત્તમ ઘનફળ મેળવવા માટે,આપણે $V$ નું $R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dV}{dR} = \frac{A}{2} - \frac{3\pi R^2}{2}$.
$\frac{dV}{dR} = 0$ લેતા,આપણને $A = 3\pi R^2$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા,$\frac{d^2V}{dR^2} = -3\pi R$,જે $R > 0$ માટે ઋણ છે,જે મહત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
$A = 3\pi R^2$ ને પૃષ્ઠફળના સૂત્રમાં મૂકતા: $3\pi R^2 = 2\pi RH + \pi R^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2\pi R^2 = 2\pi RH$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $R = H$.
આમ,ત્રિજ્યા એ નળાકારની ઊંચાઈ જેટલી છે.

(C) આપેલ છે કે $x+y=k$,જ્યાં $x>0$ અને $y>0$.
આપણે $y=k-x$ લખી શકીએ.
ધારો કે $f(x) = x^2+y^2 = x^2+(k-x)^2$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = x^2+k^2-2kx+x^2 = 2x^2-2kx+k^2$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$f'(x) = 4x-2k = 0 \Rightarrow x = \frac{k}{2}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ:
$f''(x) = 4 > 0$.
દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,વિધેય $x = \frac{k}{2}$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$x = \frac{k}{2}$ ને $y = k-x$ માં મૂકતા,આપણને $y = k - \frac{k}{2} = \frac{k}{2}$ મળે છે.
આમ,$x=y=\frac{k}{2}$ એ $x^2+y^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય આપે છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે. લંબચોરસ $R = 10 \text{ cm}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે,તેથી $x^2 + y^2 = (2R)^2 = (20)^2 = 400$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = xy$ છે. ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^2 = x^2y^2$ ને મહત્તમ કરીએ.
ધારો કે $u = x^2$ અને $v = y^2$,તો $u + v = 400$. આપણે $uv$ ને મહત્તમ કરવા માંગીએ છીએ.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{u+v}{2} \geq \sqrt{uv}$,તેથી $\sqrt{uv} \leq \frac{400}{2} = 200$.
આમ,$uv \leq (200)^2 = 40000$.
વૈકલ્પિક રીતે,વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે તે ચોરસ હોય.
જો તે $a$ બાજુ ધરાવતો ચોરસ હોય,તો $a^2 + a^2 = (20)^2 \Rightarrow 2a^2 = 400 \Rightarrow a^2 = 200$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^2 = 200 \text{ cm}^2$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$.
પ્રથમ,પ્રથમ વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = -\sin x + x - x^2$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = -\cos x + 1 - 2x$.
$x=0$ આગળ કિંમત મેળવો:
$f'(0) = -\sin(0) + 0 - 0^2 = 0$.
$f''(0) = -\cos(0) + 1 - 2(0) = -1 + 1 = 0$.
કારણ કે $f'(0)=0$ અને $f''(0)=0$ છે,આપણે તૃતીય વિકલિત $f'''(x)$ તપાસીએ:
$f'''(x) = \sin x - 2$.
$x=0$ આગળ કિંમત મેળવો:
$f'''(0) = \sin(0) - 2 = -2$.
કારણ કે $x=0$ આગળ પ્રથમ શૂન્યતર વિકલિત એકી ક્રમનું (તૃતીય વિકલિત) છે,તેથી $x=0$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflection) છે અને અંતિમ બિંદુ નથી.
તેથી,$x=0$ આગળ $f(x)$ ની કોઈ અંતિમ કિંમત નથી.

(B) આપેલ છે,$a > 0$.
$f(x) = 2 x^3 - 9 a x^2 + 12 a^2 x + 1$.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6 x^2 - 18 a x + 12 a^2$.
વિકલનના અવયવ પાડો: $f'(x) = 6 (x^2 - 3 a x + 2 a^2) = 6 (x - 2 a) (x - a)$.
$f'(x) = 0$ લેતા ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = a$ અને $x = 2 a$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = 6 (2 x - 3 a) = 12 x - 18 a$.
સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ માટે તપાસો:
$x = a$ આગળ,$f''(a) = 6 (2 a - 3 a) = -6 a < 0$ ($a > 0$ હોવાથી),તેથી $\alpha = a$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x = 2 a$ આગળ,$f''(2 a) = 6 (4 a - 3 a) = 6 a > 0$ ($a > 0$ હોવાથી),તેથી $\beta = 2 a$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
શરત $2 \alpha + \beta = 8$ આપેલ છે,$\alpha = a$ અને $\beta = 2 a$ મૂકતા:
$2(a) + 2 a = 8$.
$4 a = 8$.
$a = 2$.

(B) આપેલ છે: $xy = 6$
$\implies y = \frac{6}{x}$
ધારો કે $f(x) = 2x + 3y = 2x + 3 \left( \frac{6}{x} \right) = 2x + \frac{18}{x}$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$f'(x) = 2 - \frac{18}{x^2}$
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે $f'(x) = 0$ લો:
$2 - \frac{18}{x^2} = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$ (ધારી લો કે $x > 0$)
હવે,દ્વિતીય વિકલન શોધો:
$f''(x) = \frac{36}{x^3}$
$x = 3$ પર,$f''(3) = \frac{36}{27} > 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત દર્શાવે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $f(3) = 2(3) + \frac{18}{3} = 6 + 6 = 12$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
$x$ ની સાપેક્ષે $f(x)$ નું વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$ મળે છે.
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$
$6(x - a)(x - 2a) = 0$
તેથી,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = a$ અને $x = 2a$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 12x - 18a$ મેળવીએ.
$x = a$ આગળ,$f''(a) = 12a - 18a = -6a$. કારણ કે $a > 0$,તેથી $f''(a) < 0$,એટલે કે $f(x)$ ને $p = a$ આગળ મહત્તમ કિંમત મળે છે.
$x = 2a$ આગળ,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a$. કારણ કે $a > 0$,તેથી $f''(2a) > 0$,એટલે કે $f(x)$ ને $q = 2a$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
શરત $p^2 = q$ મુજબ:
$a^2 = 2a$
$a^2 - 2a = 0$
$a(a - 2) = 0$
કારણ કે $a > 0$,તેથી $a = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^4-x^2-2x+5$.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 4x^3-2x-2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $4x^3-2x-2 = 0 \Rightarrow 2x^3-x-1 = 0$.
ઘન સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^3-2x^2+2x^2-2x+x-1 = 0 \Rightarrow 2x^2(x-1) + 2x(x-1) + 1(x-1) = 0 \Rightarrow (x-1)(2x^2+2x+1) = 0$.
વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 1$ છે. દ્વિઘાત અવયવ $2x^2+2x+1$ નો વિવેચક ઋણ $(D = 4-8 = -4)$ હોવાથી,તેના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
દ્વિતીય વિકલન તપાસો: $f''(x) = 12x^2-2$.
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = 12(1)^2-2 = 10 > 0$.
$f''(1) > 0$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે.
જેમ $x \to \pm \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$,તેથી આ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત જ નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત છે.
કિંમતની ગણતરી: $f(1) = (1)^4-(1)^2-2(1)+5 = 1-1-2+5 = 3$.
આમ,નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(B) આપેલ છે કે,વર્તુળાકાર વૃતાંશની પરિમિતિ $P = 60 \ m$ છે.
ધારો કે ત્રિજ્યા $r \ m$ છે અને ચાપની લંબાઈ $l \ m$ છે.
વર્તુળાકાર વૃતાંશની પરિમિતિ $P = l + 2r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પરિમિતિ મૂકતા,$60 = l + 2r$,જેનો અર્થ છે કે $l = 60 - 2r$.
વર્તુળાકાર વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}lr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $l = 60 - 2r$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A = \frac{1}{2}(60 - 2r)r = 30r - r^2$.
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(30r - r^2) = 30 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ લેતા,$30 - 2r = 0$ મળે છે,તેથી $2r = 30$,જેનો અર્થ છે કે $r = 15 \ m$.
આ મહત્તમ મૂલ્ય છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન લઈએ છીએ: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$,જે $0$ કરતા નાનું છે,તેથી $r = 15 \ m$ એ મહત્તમ ક્ષેત્રફળ આપે છે.

(D) આપેલ છે $y = x(\log x)^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot (2 \log x \cdot \frac{1}{x}) + (\log x)^2 \cdot 1 = 2 \log x + (\log x)^2$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$\log x (2 + \log x) = 0$.
આથી $\log x = 0$ અથવા $\log x = -2$.
તેથી,$x = e^0 = 1$ અથવા $x = e^{-2}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{x} + 2 \log x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 + 2 \log x}{x}$.
$x = 1$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 + 0}{1} = 2 > 0$,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$x = e^{-2}$ આગળ,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2 + 2(-2)}{e^{-2}} = \frac{-2}{e^{-2}} < 0$,તેથી $x = e^{-2}$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ કિંમત $y(e^{-2}) = e^{-2}(\log e^{-2})^2 = e^{-2}(-2)^2 = 4e^{-2}$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 - 12x - 3$ છે.
પ્રથમ વિકલન મેળવતા: $f'(x) = 3x^2 - 12x - 12$.
બીજું વિકલન મેળવતા: $f''(x) = 6x - 12$.
$x = 2$ આગળ બીજા વિકલનની કિંમત: $f''(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0$.
અહીં $f''(x)$ એ $x=2$ આગળ ચિહ્ન બદલે છે (જ્યારે $x < 2$ હોય ત્યારે $f''(x) < 0$ અને $x > 2$ હોય ત્યારે $f''(x) > 0$),તેથી $x=2$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ (point of inflection) છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{40} - x^{20}$ અંતરાલ $[0, 1]$ પર છે.
નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ છીએ.
$f'(x) = 40x^{39} - 20x^{19} = 20x^{19}(2x^{20} - 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ અથવા $2x^{20} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x^{20} = \frac{1}{2}$,તેથી $x = (\frac{1}{2})^{1/20}$.
હવે,ક્રાંતિક બિંદુ અને અંત્યબિંદુઓ $x=0$ અને $x=1$ પર $f(x)$ નું મૂલ્ય શોધીએ:
$f(0) = 0^{40} - 0^{20} = 0$.
$f(1) = 1^{40} - 1^{20} = 1 - 1 = 0$.
$f((\frac{1}{2})^{1/20}) = ((\frac{1}{2})^{1/20})^{40} - ((\frac{1}{2})^{1/20})^{20} = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
મૂલ્યો $f(0)=0$,$f(1)=0$,અને $f((\frac{1}{2})^{1/20}) = -\frac{1}{4}$ ની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ મૂલ્ય $0$ છે.

(B) ધારો કે લંબચોરસની બાજુઓ $x$ અને $y$ છે.
આપેલ છે કે,પરિમિતિ $20$ એકમ છે.
$2(x + y) = 20 \Rightarrow x + y = 10 \Rightarrow y = 10 - x$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = xy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = x(10 - x) = 10x - x^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dx} = 10 - 2x$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $10 - 2x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 5$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન તપાસીએ: $\frac{d^2A}{dx^2} = -2$.
કારણ કે $\frac{d^2A}{dx^2} < 0$ છે,તેથી $x = 5$ આગળ ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
જ્યારે $x = 5$ હોય,ત્યારે $y = 10 - 5 = 5$.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 5 \times 5 = 25$ ચોરસ એકમ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$.
પ્રથમ,વિકલન $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ માટે,$f'(x) = 0$ લો:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0
\Rightarrow 5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 0, 1, 3$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ શોધો:
$f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સની પ્રકૃતિ તપાસો:
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10 < 0$. તેથી,$x = 1$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે. એટલે કે,$a = 1$.
$x = 3$ માટે: $f''(3) = 20(27) - 60(9) + 30(3) = 540 - 540 + 90 = 90 > 0$. તેથી,$x = 3$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે. એટલે કે,$b = 3$.
$x = 0$ માટે: $f''(0) = 0$,જે નતિપરિવર્તન બિંદુ છે.
અંતે,$2a + b$ ની ગણતરી કરો:
$2a + b = 2(1) + 3 = 5$.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x) = a \sin(x) + \frac{1}{3} \sin(3x)$.
પ્રથમ,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = a \cos(x) + \frac{1}{3} \cos(3x) \cdot 3 = a \cos(x) + \cos(3x)$.
વિધેય $x = \frac{\pi}{3}$ આગળ મહત્તમ કિંમત ધરાવે છે,તેથી આ બિંદુએ પ્રથમ વિકલિત શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$.
$x = \frac{\pi}{3}$ ને વિકલિતમાં મૂકતા:
$a \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = 0$.
$a \cdot \frac{1}{2} + \cos(\pi) = 0$.
કારણ કે $\cos(\pi) = -1$,તેથી:
$\frac{a}{2} - 1 = 0$.
$\frac{a}{2} = 1$.
$a = 2$.

(B) આપેલ છે કે,$y = \frac{ax - b}{(x - 1)(x - 4)} . . . . . . (i)$ ને ટર્નિંગ પોઈન્ટ $P(2, -1)$ છે.
બિંદુ $P$ વક્ર પર હોવાથી,તે સમીકરણ $(i)$ નું સમાધાન કરશે:
$-1 = \frac{2a - b}{(2 - 1)(2 - 4)} = \frac{2a - b}{-2}$
$2a - b = 2 . . . . . . (ii)$
ટર્નિંગ પોઈન્ટ પર,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$y(x^2 - 5x + 4) = ax - b$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y(2x - 5) + (x^2 - 5x + 4) \frac{dy}{dx} = a$.
$x = 2$ અને $y = -1$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 0$ મૂકતા:
$-1(2(2) - 5) + (2^2 - 5(2) + 4)(0) = a$
$-1(4 - 5) = a$
$a = 1$.
સમીકરણ $(ii)$ માં $a = 1$ મૂકતા:
$2(1) - b = 2$
$b = 0$.
આમ,$a = 1$ અને $b = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $R = 22 \ cm$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ તેમાં અંતર્ગત નળાકારની ઊંચાઈ છે. ધારો કે $r$ એ નળાકારની ત્રિજ્યા છે.
ગોળાની ભૂમિતિ મુજબ,$r^2 + (h/2)^2 = R^2$,જેનો અર્થ થાય છે $r^2 = R^2 - h^2/4$.
નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2\pi rh = 2\pi h \sqrt{R^2 - h^2/4} = \pi h \sqrt{4R^2 - h^2}$ છે.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^2 = \pi^2 h^2 (4R^2 - h^2) = \pi^2 (4R^2h^2 - h^4)$ ને મહત્તમ કરીએ.
ધારો કે $f(h) = 4R^2h^2 - h^4$. $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(h) = 8R^2h - 4h^3$ મળે છે.
$f'(h) = 0$ લેતા,$4h(2R^2 - h^2) = 0$ મળે છે. $h > 0$ હોવાથી,$h^2 = 2R^2$,તેથી $h = R\sqrt{2}$ થાય.
અહીં $R = 22 \ cm$ આપેલ હોવાથી,ઊંચાઈ $h = 22\sqrt{2} \ cm$ થશે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = -x + \sin 2x$ અંતરાલ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ પર છે.
પ્રથમ,$f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો.
$f'(x) = -1 + 2 \cos 2x = 0$
$\cos 2x = \frac{1}{2}$
અહીં $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,$2x \in [-\pi, \pi]$ થાય.
તેથી,$2x = \pm \frac{\pi}{3}$,જે આપણને $x = \pm \frac{\pi}{6}$ આપે છે.
હવે,ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(-\frac{\pi}{2}) = -(-\frac{\pi}{2}) + \sin(-\pi) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$
$f(-\frac{\pi}{6}) = -(-\frac{\pi}{6}) + \sin(-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{\pi}{6}) = -(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{\pi}{2}) = -(\frac{\pi}{2}) + \sin(\pi) = -\frac{\pi}{2} + 0 = -\frac{\pi}{2}$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $M = \frac{\pi}{2}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $m = -\frac{\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી તફાવત $M - m = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$ થાય.

(C) ધારો કે બે ધન સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે. આપેલ છે કે $x + y = t$,તેથી $y = t - x$.
આપણે તેમના વર્ગોનો સરવાળો $S = x^2 + y^2$ ન્યૂનતમ કરવો છે.
$y = t - x$ મૂકતા,આપણને $S(x) = x^2 + (t - x)^2 = x^2 + t^2 - 2tx + x^2 = 2x^2 - 2tx + t^2$ મળે છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dS}{dx} = 4x - 2t$.
$\frac{dS}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $4x = 2t$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{t}{2}$.
કારણ કે $\frac{d^2S}{dx^2} = 4 > 0$,તેથી વિધેય $x = \frac{t}{2}$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
ત્યારબાદ $y = t - \frac{t}{2} = \frac{t}{2}$.
આમ,બે સંખ્યાઓ $\frac{t}{2}$ અને $\frac{t}{2}$ છે.

(B) અંતરાલ $[0, 1]$ પર $f(x) = x^{40} - x^{20}$ નું નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ છીએ.
$f'(x) = 40x^{39} - 20x^{19} = 20x^{19}(2x^{20} - 1)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ અથવા $2x^{20} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^{20} = 1/2$,તેથી $x = (1/2)^{1/20}$.
કારણ કે $(1/2)^{1/20}$ એ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુ અને અંતિમ બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = 1$ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ છીએ.
$f(0) = 0^{40} - 0^{20} = 0$.
$f(1) = 1^{40} - 1^{20} = 0$.
$f((1/2)^{1/20}) = ((1/2)^{1/20})^{40} - ((1/2)^{1/20})^{20} = (1/2)^2 - (1/2)^1 = 1/4 - 1/2 = -1/4$.
$0, 0,$ અને $-1/4$ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-1/4$ છે.