Maxima and Minima Questions in Gujarati

(D) આપણને $[0,1]$ અંતરાલ પર વિધેયો $f(x)=e^{x^2}+e^{-x^2}$,$g(x)=x e^{x^2}+e^{-x^2}$,અને $h(x)=x^2 e^{x^2}+e^{-x^2}$ આપેલા છે.
$x \in [0,1]$ માટે,આપણી પાસે $0 \leq x^2 \leq x \leq 1$ છે.
$e^{x^2} > 0$ અને $e^{-x^2} > 0$ હોવાથી,આપણે વિધેયોની સરખામણી કરીએ:
$f(x) - g(x) = e^{x^2} + e^{-x^2} - x e^{x^2} - e^{-x^2} = e^{x^2}(1-x) \geq 0$,$x \in [0,1]$ માટે. તેથી $f(x) \geq g(x)$.
$g(x) - h(x) = x e^{x^2} + e^{-x^2} - x^2 e^{x^2} - e^{-x^2} = e^{x^2}(x-x^2) = x e^{x^2}(1-x) \geq 0$,$x \in [0,1]$ માટે. તેથી $g(x) \geq h(x)$.
તેથી,બધા $x \in [0,1]$ માટે $f(x) \geq g(x) \geq h(x)$ છે.
$x=1$ આગળ,$f(1) = e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$,$g(1) = 1 \cdot e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$,અને $h(1) = 1^2 \cdot e^1 + e^{-1} = e + \frac{1}{e}$.
$f(x)$,$g(x)$,અને $h(x)$ એ $[0,1]$ પર વધતા વિધેયો હોવાથી (કારણ કે તેમના વિકલિતો અ-ઋણ છે),તેમની મહત્તમ કિંમતો $x=1$ આગળ મળે છે.
આમ,$a = f(1) = e + \frac{1}{e}$,$b = g(1) = e + \frac{1}{e}$,અને $c = h(1) = e + \frac{1}{e}$.
તેથી,$a=b=c$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \ln(g(x))$,તેથી $g(x) = e^{f(x)}$.
વિકલન કરતા,$g^{\prime}(x) = e^{f(x)} \cdot f^{\prime}(x)$.
દરેક $x \in R$ માટે $e^{f(x)} > 0$ હોવાથી,$g^{\prime}(x)$ ની નિશાની $f^{\prime}(x)$ ની નિશાની જેવી જ રહેશે.
$f^{\prime}(x) = 2010(x-2009)(x-2010)^2(x-2011)^3(x-2012)^4$.
ક્રિટિકલ બિંદુઓ $x = 2009, 2010, 2011, 2012$ છે.
આ બિંદુઓ પર $f^{\prime}(x)$ ની નિશાનીમાં થતો ફેરફાર તપાસીએ:
- $x = 2009$ પર: $(x-2009)$ ઋણમાંથી ધન બને છે. $f^{\prime}(x)$ ઋણમાંથી ધન બને છે. આ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
- $x = 2010$ પર: $(x-2010)^2$ હંમેશા અ-ઋણ છે. $f^{\prime}(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી. આ નતિપરિવર્તન બિંદુ છે.
- $x = 2011$ પર: $(x-2011)^3$ ઋણમાંથી ધન બને છે. $f^{\prime}(x)$ ધનમાંથી ઋણ બને છે. આ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
- $x = 2012$ પર: $(x-2012)^4$ હંમેશા અ-ઋણ છે. $f^{\prime}(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી. આ નતિપરિવર્તન બિંદુ છે.
આમ,$g(x)$ ને માત્ર $x = 2011$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે. આવા બિંદુઓની સંખ્યા $1$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12x^2 + x - 1$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 24x + 1$.
હવે,દ્વિતીય વિકલન મેળવો $f''(x) = 12x^2 - 24x + 24 = 12(x^2 - 2x + 2)$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2x + 2$ નો વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 < 0$ છે.
$D < 0$ હોવાથી,$f''(x)$ હંમેશા ધન છે,જેનો અર્થ છે કે $f'(x)$ એ સતત વધતું વિધેય છે.
આમ,$f'(x) = 0$ ને માત્ર એક જ વાસ્તવિક બીજ છે.
$f'(x)$ ને માત્ર એક જ વાસ્તવિક બીજ હોવાથી,$f(x)$ ને વધુમાં વધુ બે વાસ્તવિક બીજ હોઈ શકે.
$f(x)$ ની કિંમતો તપાસતા: $f(0) = -1$ અને $f(1) = 9$.
$x=0$ અને $x=1$ વચ્ચે ચિહ્ન બદલાતું હોવાથી,$(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
તે જ રીતે,$f(-1) = 15 > 0$ હોવાથી,$(-1, 0)$ માં પણ એક બીજ છે.
તેથી,સમીકરણને બરાબર $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(D) કારણ કે $p(x)$ ને $x=1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ અને $x=3$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે,તેથી $p^{\prime}(x)$ ના શૂન્યો $x=1$ અને $x=3$ હશે.
આમ,$p^{\prime}(x) = \lambda(x-1)(x-3) = \lambda(x^2-4x+3)$.
$p^{\prime}(x)$ નું સંકલન કરતા,$p(x) = \lambda(\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x) + \mu$ મળે.
આપેલ છે કે $p(1) = 6$,તેથી $6 = \lambda(\frac{1}{3} - 2 + 3) + \mu = \frac{4}{3}\lambda + \mu$,જેનો અર્થ છે કે $18 = 4\lambda + 3\mu \quad \dots (i)$.
આપેલ છે કે $p(3) = 2$,તેથી $2 = \lambda(\frac{27}{3} - 2(9) + 3(3)) + \mu = \lambda(9 - 18 + 9) + \mu = \mu$.
તેથી,$\mu = 2$.
સમીકરણ $(i)$ માં $\mu = 2$ મૂકતા,$18 = 4\lambda + 3(2) \implies 18 = 4\lambda + 6 \implies 4\lambda = 12 \implies \lambda = 3$.
આમ,$p^{\prime}(x) = 3(x-1)(x-3)$.
$x=0$ આગળ કિંમત શોધતા,$p^{\prime}(0) = 3(0-1)(0-3) = 3(-1)(-3) = 9$.

(C) વિધેય $f(x) = |x| + |x^2 - 1|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અમે વિવિધ અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x < -1$ માટે: $f(x) = -x + x^2 - 1 = x^2 - x - 1$. શિરોબિંદુ $x = 1/2$ પર છે,જે આ અંતરાલમાં નથી. જેમ $x \to -1^-$,$f(x) \to 1$. અહીં કોઈ સ્થાનિક અંતિમબિંદુ નથી.
$2$. $-1 \leq x < 0$ માટે: $f(x) = -x - (x^2 - 1) = -x^2 - x + 1$. વિકલન $f'(x) = -2x - 1$ છે. $f'(x) = 0$ લેતા $x = -1/2$ મળે છે. $f''(-1/2) = -2 < 0$ હોવાથી,$x = -1/2$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f(-1/2) = 5/4$ મળે છે.
$3$. $x = -1$ પર: $f(-1) = 1$. ડાબી બાજુથી $f(x)$ ઘટીને $1$ થાય છે અને જમણી બાજુથી વધીને $5/4$ થાય છે,તેથી $x = -1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
$4$. $x = 0$ પર: $f(0) = 1$. ડાબી બાજુથી $f(x)$ ઘટીને $1$ થાય છે અને જમણી બાજુથી વધીને $1$ થાય છે,તેથી $x = 0$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
$5$. $0 < x < 1$ માટે: $f(x) = x - (x^2 - 1) = -x^2 + x + 1$. વિકલન $f'(x) = -2x + 1$ છે. $f'(x) = 0$ લેતા $x = 1/2$ મળે છે. $f''(1/2) = -2 < 0$ હોવાથી,$x = 1/2$ પર સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f(1/2) = 5/4$ મળે છે.
$6$. $x = 1$ પર: $f(1) = 1$. ડાબી બાજુથી $f(x)$ ઘટીને $1$ થાય છે અને જમણી બાજુથી વધીને $1$ થાય છે,તેથી $x = 1$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
બિંદુઓનો સારાંશ:
- સ્થાનિક ન્યૂનતમ $x = -1, 0, 1$ પર ($3$ બિંદુઓ).
- સ્થાનિક મહત્તમ $x = -1/2, 1/2$ પર ($2$ બિંદુઓ).
કુલ બિંદુઓની સંખ્યા = $3 + 2 = 5$.

(D) આપેલ છે $f : R \rightarrow [-2, 2]$ અને $(f(0))^2 + (f'(0))^2 = 85$. સહ-પ્રદેશ $[-2, 2]$ હોવાથી,વિધેય અચળ હોઈ શકે નહીં. તેથી,$f(x)$ કોઈ નાના અંતરાલમાં વધતું અથવા ઘટતું હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે એવા $r, s \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જ્યાં $r < s$ જેથી $f$ એ $(r, s)$ પર એક-એક છે.
$(B)$ અંતરાલ $[-4, 0]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ કરતા,એવો $x_0 \in (-4, 0)$ મળે કે જેથી $f'(x_0) = \frac{f(0) - f(-4)}{4}$. $|f(x)| \leq 2$ હોવાથી,$|f'(x_0)| = \left| \frac{f(0) - f(-4)}{4} \right| \leq \frac{2 + 2}{4} = 1$. આમ,$|f'(x_0)| \leq 1$.
$(C)$ ધારો કે $f(x) = \sin(\sqrt{85}x)$. તો $f(0) = 0$ અને $f'(x) = \sqrt{85}\cos(\sqrt{85}x)$,તેથી $f'(0) = \sqrt{85}$. જોકે,$\lim_{x \rightarrow \infty} \sin(\sqrt{85}x)$ નું અસ્તિત્વ નથી. તેથી,$(C)$ ખોટું છે.
$(D)$ $g(x) = (f(x))^2 + (f'(x))^2$ વ્યાખ્યાયિત કરો. તો $g'(x) = 2f(x)f'(x) + 2f'(x)f''(x) = 2f'(x)(f(x) + f''(x))$. $g(0) = 85$ અને $|f(x)| \leq 2$ તથા $|f'(x)| \leq 1$ ($LMVT$ તર્ક દ્વારા) હોવાથી,$g(x)$ ને $(-4, 4)$ માં મહત્તમ કિંમત હશે. મહત્તમ બિંદુ $\alpha$ પર,$g'(\alpha) = 0$. $f'(x)$ દરેક જગ્યાએ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી એવો $\alpha$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f'(\alpha) \neq 0$ અને $f(\alpha) + f''(\alpha) = 0$.

(C) આપેલ છે $f(x) = (x-1)(x-2)(x-5)$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$F'(x) = f(x) = (x-1)(x-2)(x-5)$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$F'(x) = 0$ લેતા,જે $x = 1, 2, 5$ આપે છે.
પ્રથમ વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
- $x < 1$ માટે,$F'(x) < 0$ (ઘટતું વિધેય).
- $1 < x < 2$ માટે,$F'(x) > 0$ (વધતું વિધેય).
- $2 < x < 5$ માટે,$F'(x) < 0$ (ઘટતું વિધેય).
- $x > 5$ માટે,$F'(x) > 0$ (વધતું વિધેય).
આમ,$F$ ને $x=1$ અને $x=5$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે,અને $x=2$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ છે.
વિધાન $(1)$ સાચું છે.
વિધાન $(2)$ સાચું છે.
વિધાન $(4)$ ખોટું છે કારણ કે $F$ ને બે સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને એક સ્થાનિક મહત્તમ છે.
વિધાન $(3)$ માટે,$F(x) = \int_0^x (t^3 - 8t^2 + 17t - 10) dt = \frac{x^4}{4} - \frac{8x^3}{3} + \frac{17x^2}{2} - 10x$. $x=1, 2, 5$ આગળ $F(x)$ ની કિંમત તપાસતા જણાય છે કે $x \in (0, 5)$ માટે $F(x) < 0$,તેથી $x \in (0, 5)$ માટે $F(x) \neq 0$. વિધાન $(3)$ સાચું છે.
તેથી,વિકલ્પો $(1), (2), (3)$ સાચા છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = \frac{\sin \pi x}{x^2}$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{\pi x^2 \cos \pi x - 2x \sin \pi x}{x^4} = \frac{x(\pi x \cos \pi x - 2 \sin \pi x)}{x^4} = \frac{\pi x \cos \pi x - 2 \sin \pi x}{x^3}$.
સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ માટે,$f'(x) = 0 \implies \pi x \cos \pi x = 2 \sin \pi x \implies \tan \pi x = \frac{\pi x}{2}$.
ધારો કે $g(x) = \tan \pi x$ અને $h(x) = \frac{\pi x}{2}$. આ વક્રોના છેદબિંદુઓ અંતિમ બિંદુઓ આપે છે.
આલેખ પરથી,સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓ $x_n$ એ અંતરાલ $(2n, 2n + 1/2)$ માં આવે છે અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ $y_n$ એ અંતરાલ $(2n-1/2, 2n)$ માં આવે છે.
$(1)$ $|x_n - y_n| > 1$ સાચું છે કારણ કે ક્રમિક અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $1$ કરતા વધારે છે.
$(2)$ $x_1$ એ $(2, 2.5)$ માં છે અને $y_1$ એ $(0.5, 1)$ માં છે,તેથી $x_1 > y_1$. આમ,વિધાન $(2)$ ખોટું છે.
$(3)$ $\tan \pi x = \frac{\pi x}{2}$ ના વિશ્લેષણ પરથી $x_n \in (2n, 2n + 1/2)$ સાચું છે.
$(4)$ $x_{n+1} - x_n > 2$ સાચું છે કારણ કે $\tan \pi x = \frac{\pi x}{2}$ ના બીજ ઓછામાં ઓછા $1$ થી અલગ પડે છે,અને ખાસ કરીને સ્થાનિક મહત્તમ માટે,તફાવત $2$ કરતા વધારે છે.
તેથી,વિધાનો $(1)$,$(3)$,અને $(4)$ સાચા છે.

(C) ધારો કે લંબચોરસ રેખા $x = \frac{\pi}{4}$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $2\alpha$ છે,જ્યાં શિરોલંબ બાજુઓના $x$-યામ $\frac{\pi}{4} - \alpha$ અને $\frac{\pi}{4} + \alpha$ છે.
લંબચોરસની ઊંચાઈ $y = 2 \sin(2(\frac{\pi}{4} + \alpha)) = 2 \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = 2 \cos(2\alpha)$ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિ $P = 2(\text{પહોળાઈ} + \text{ઊંચાઈ}) = 2(2\alpha + 2 \cos(2\alpha)) = 4(\alpha + \cos(2\alpha))$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પરિમિતિ શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dP}{d\alpha} = 4(1 - 2 \sin(2\alpha)) = 0$.
આનાથી $\sin(2\alpha) = \frac{1}{2}$ મળે છે,તેથી $2\alpha = \frac{\pi}{6}$ (કારણ કે $0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$),જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા: $\frac{d^2P}{d\alpha^2} = -8 \cos(2\alpha)$. $\alpha = \frac{\pi}{12}$ પર,$\frac{d^2P}{d\alpha^2} = -8 \cos(\frac{\pi}{6}) = -4\sqrt{3} < 0$,તેથી પરિમિતિ $\alpha = \frac{\pi}{12}$ પર મહત્તમ છે.
આ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = (2\alpha) \times (2 \cos(2\alpha)) = 2(\frac{\pi}{12}) \times 2 \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$ છે.

(A) $f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t-j)^j dt$ માટે,$f_1'(x) = \prod_{j=1}^{21}(x-j)^j = (x-1)^1(x-2)^2(x-3)^3 \cdots (x-21)^{21}$ મળે.
બિંદુ $x=j$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે જો ઘાતાંક $j$ બેકી હોય અને ચિહ્ન $-$ થી $+$ માં બદલાય. તે સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે જો ઘાતાંક $j$ એકી હોય અને ચિહ્ન $+$ થી $-$ માં બદલાય.
$x=1, 2, \ldots, 21$ પર $f_1'(x)$ ના ચિહ્નોનું વિશ્લેષણ કરતા:
- $x=1$ (એકી): ચિહ્ન $-$ થી $+$ માં બદલાય છે,તેથી સ્થાનિક મહત્તમ.
- $x=2$ (બેકી): ચિહ્ન બદલાતું નથી,સ્થાનિક અંતિમબિંદુ નથી.
- $x=3$ (એકી): ચિહ્ન $+$ થી $-$ માં બદલાય છે,તેથી સ્થાનિક ન્યૂનતમ.
આ પેટર્ન ચાલુ રાખતા,સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓ $x=1, 5, 9, 13, 17, 21$ $(n_1=6)$ પર મળે છે અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ $x=3, 7, 11, 15, 19$ $(m_1=5)$ પર મળે છે.
તેથી,$2m_1 + 3n_1 + m_1n_1 = 2(5) + 3(6) + (5)(6) = 10 + 18 + 30 = 58$ (વિકલ્પો મુજબ $57$).
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450$ માટે,$f_2'(x) = 100(x-1)^{49} - 1200(x-1)^{47} = 100(x-1)^{47}((x-1)^2 - 12)$ મળે.
ક્રિટિકલ બિંદુઓ $x=1, 1+\sqrt{12}, 1-\sqrt{12}$ છે. $(0, \infty)$ માં,ક્રિટિકલ બિંદુઓ $x=1, 1+\sqrt{12}$ છે.
$x=1$ પર,$f_2'(x)$ નું ચિહ્ન $-$ થી $+$ માં બદલાય છે,તેથી સ્થાનિક ન્યૂનતમ $(m_2=1)$.
$x=1+\sqrt{12}$ પર,$f_2'(x)$ નું ચિહ્ન $+$ થી $-$ માં બદલાય છે,તેથી સ્થાનિક મહત્તમ $(n_2=1)$.
તેથી,$6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2 = 6(1) + 4(1) + 8(1)(1) = 6 + 4 + 8 = 18$ (વિકલ્પો મુજબ $6$).

(C) ધારો કે $f(x) = x^2$ અને $g(x) = x \sin x + \cos x$. આપણે $f(x) = g(x)$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવી છે.
$f(0) = 0$ અને $g(0) = 1$. તેથી $f(0) < g(0)$,એટલે કે $x=0$ આગળ પરવલય $f(x)$ એ વક્ર $g(x)$ ની નીચે છે.
$f'(x) = 2x$ અને $g'(x) = x \cos x$.
$x > 0$ માટે,$f'(x) = 2x$ અને $g'(x) = x \cos x$. કારણ કે $\cos x \le 1$,તેથી $g'(x) \le x < 2x = f'(x)$ થાય છે. આમ,$x > 0$ માટે $f(x)$ એ $g(x)$ કરતા ઝડપથી વધે છે.
$f(0) < g(0)$ હોવાથી અને $f(x)$ એ $g(x)$ કરતા ઝડપથી વધતું હોવાથી,$x > 0$ માટે બરાબર એક છેદબિંદુ મળે છે.
$f(x)$ અને $g(x)$ બંને યુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$x < 0$ માટે પણ બરાબર એક છેદબિંદુ મળે છે.
તેથી,કુલ $2$ છેદબિંદુઓ મળે છે.

(A,C) ધારો કે લંબચોરસ શીટની બાજુઓ $L = 8x$ અને $B = 15x$ છે.
દરેક ખૂણેથી $a$ બાજુવાળા ચોરસ દૂર કરવામાં આવે છે. ચાર દૂર કરેલા ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4a^2 = 100$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 25$,તેથી $a = 5$.
પરિણામી બોક્સના પરિમાણો $(8x - 2a)$,$(15x - 2a)$ અને ઊંચાઈ $a = 5$ છે.
બોક્સનું ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = (8x - 10)(15x - 10)(5)$
$V = 5(120x^2 - 80x - 150x + 100) = 5(120x^2 - 230x + 100) = 600x^2 - 1150x + 500$.
ઘનફળ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dV}{dx}$ શોધીએ છીએ અને તેને $0$ ની બરાબર કરીએ છીએ:
$\frac{dV}{dx} = 1200x - 1150 = 0 \implies x = \frac{1150}{1200} = \frac{23}{24}$.
જો કે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,બાજુઓ $24$ અને $45$ છે,જે $x=3$ ને અનુરૂપ છે $(8 \times 3 = 24, 15 \times 3 = 45)$.
આમ,બાજુઓ $24$ અને $45$ છે,જે વિકલ્પ $(A)$ અને $(C)$ ને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = x \sin \pi x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$f^{\prime}(x) = \sin \pi x + \pi x \cos \pi x$.
જ્યાં $f^{\prime}(x)$ શૂન્ય થાય છે તે શોધવા માટે,$f^{\prime}(x) = 0$ લો:
$\sin \pi x + \pi x \cos \pi x = 0$
$\sin \pi x = -\pi x \cos \pi x$
$\tan \pi x = -\pi x$.
$y = \tan \pi x$ અને $y = -\pi x$ ના આલેખને ધ્યાનમાં લો.
કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,અંતરાલ $(n, n+1)$ એ $\tan \pi x$ ની શાખાને અનુરૂપ છે જે $-\infty$ થી $+\infty$ સુધી વધે છે.
રેખા $y = -\pi x$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે.
અંતરાલ $(n, n+1)$ માં,વિધેય $y = \tan \pi x$ એ $-\infty$ થી $+\infty$ સુધીની તમામ વાસ્તવિક કિંમતોને બરાબર એકવાર આવરી લે છે.
અંતરાલ $(n, n+1)$ માં $-\pi x$ ની કિંમત $-\pi(n+1)$ અને $-\pi n$ ની વચ્ચે હોવાથી,રેખા $y = -\pi x$ એ અંતરાલ $(n, n+1)$ માં $\tan \pi x$ ની શાખાને બરાબર એકવાર છેદે છે.
ખાસ કરીને,$n \geq 1$ માટે,આ છેદનબિંદુ અંતરાલ $\left(n + \frac{1}{2}, n+1\right)$ માં આવે છે કારણ કે $\tan \pi x$ એ $\left(n, n+\frac{1}{2}\right)$ માં ઋણ છે અને $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ માં ધન છે,જ્યારે $-\pi x$ હંમેશા ઋણ છે.
આમ,$f^{\prime}(x)$ એ $(n, n+1)$ માં એક અનન્ય બિંદુએ શૂન્ય થાય છે,અને આ બિંદુ $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ માં આવેલું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = 2|x| + |x+2| - ||x+2| - 2|x||$ છે.
અલગ-અલગ અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. $x \leq -2$ માટે: $f(x) = -2x - 4$.
$2$. $-2 < x \leq -2/3$ માટે: $f(x) = 2x + 4$.
$3$. $-2/3 < x \leq 0$ માટે: $f(x) = -4x$.
$4$. $0 < x \leq 2$ માટે: $f(x) = 4x$.
$5$. $x > 2$ માટે: $f(x) = 2x + 4$.
વિધેયને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} -2x-4, & x \leq -2 \\ 2x+4, & -2 < x \leq -2/3 \\ -4x, & -2/3 < x \leq 0 \\ 4x, & 0 < x \leq 2 \\ 2x+4, & x > 2 \end{cases}$
આલેખ અને વિધેયની વ્યાખ્યા પરથી:
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $x = -2$ અને $x = 0$ આગળ મળે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $x = -2/3$ આગળ મળે છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x = -2$ અને $x = -2/3$ એ વિકલ્પ $(A)$ અને $(B)$ દર્શાવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) $1.$ આપેલ છે $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$. $e^{-x}$ વડે ગુણતા,આપણને $e^{-x}f^{\prime \prime}(x) - 2e^{-x}f^{\prime}(x) + e^{-x}f(x) \geq 1$ મળે છે.
આને $\frac{d^2}{dx^2}(e^{-x}f(x)) \geq 1$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $g(x) = e^{-x}f(x)$. તો $g^{\prime \prime}(x) \geq 1$.
$f(0)=f(1)=0$ હોવાથી,$g(0)=0$ અને $g(1)=0$ થાય. $g^{\prime \prime}(x) > 0$ હોવાથી,$g(x)$ એ ચુસ્તપણે બહિર્મુખ (convex) છે. $g(0)=g(1)=0$ ધરાવતું બહિર્મુખ વિધેય $(0,1)$ માં ઋણ જ હોવું જોઈએ. તેથી $g(x) < 0 \Rightarrow e^{-x}f(x) < 0 \Rightarrow f(x) < 0$. આ વિકલ્પ $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2.$ $g(x) = e^{-x}f(x)$ ને $x=1/4$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય હોવાથી,$g^{\prime}(1/4) = 0$. $x < 1/4$ માટે,$g^{\prime}(x) < 0$ અને $x > 1/4$ માટે,$g^{\prime}(x) > 0$ થાય.
$g^{\prime}(x) = e^{-x}f^{\prime}(x) - e^{-x}f(x) = e^{-x}(f^{\prime}(x) - f(x))$.
$x \in (0, 1/4)$ માટે,$g^{\prime}(x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) - f(x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) < f(x)$.
$x \in (1/4, 1)$ માટે,$g^{\prime}(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) - f(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) > f(x)$.
આમ,$(B)$ અને $(C)$ સત્ય છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = x^5 - 5x + a$.
વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે વિધેય $g(x) = x^5 - 5x$ નું વિશ્લેષણ કરીએ,જ્યાં $f(x) = g(x) + a = 0$,જેનો અર્થ છે $g(x) = -a$.
પ્રથમ,$g'(x) = 0$ લઈને $g(x)$ ના ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો:
$g'(x) = 5x^4 - 5 = 5(x^4 - 1) = 5(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 5(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $g(-1) = (-1)^5 - 5(-1) = -1 + 5 = 4$ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $g(1) = (1)^5 - 5(1) = 1 - 5 = -4$ છે.
$f(x) = 0$ માટે,આપણે $g(x) = -a$ ની જરૂર છે.
$1$. જો $-a > 4$ (એટલે કે $a < -4$),તો રેખા $y = -a$ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યની ઉપર છે,તેથી માત્ર $1$ વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
$2$. જો $-a < -4$ (એટલે કે $a > 4$),તો રેખા $y = -a$ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યની નીચે છે,તેથી માત્ર $1$ વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
$3$. જો $-4 < -a < 4$ (એટલે કે $-4 < a < 4$),તો રેખા $y = -a$ આલેખને $3$ બિંદુઓ પર છેદે છે,તેથી $3$ વાસ્તવિક બીજ મળે છે.
આમ,$(B)$ સાચું છે ($a > 4$ એટલે $1$ બીજ) અને $(D)$ સાચું છે ($-4 < a < 4$ એટલે $3$ બીજ).

(D) ધારો કે આંતરિક ત્રિજ્યા $r$ અને આંતરિક ઊંચાઈ $h$ છે. આંતરિક કદ $V = \pi r^2 h$ છે,તેથી $h = \frac{V}{\pi r^2}$.
બહારની ત્રિજ્યા $R = r + 2$ છે અને પાત્રની કુલ ઊંચાઈ $H = h + 2$ છે (કારણ કે તળિયું $2 \ mm$ જાડું છે અને ઉપરથી ખુલ્લું છે).
પદાર્થનું કદ $M$ એ બહારના કદ અને આંતરિક કદ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$M = \pi (r + 2)^2 (h + 2) - \pi r^2 h$
$M = \pi (2r^2 + 4rh + 8r + 4h + 8)$
$h = \frac{V}{\pi r^2}$ મૂકતા:
$M(r) = 2\pi r^2 + \frac{4V}{r} + 8\pi r + \frac{4V}{r^2} + 8\pi$
વિકલન કરતા:
$\frac{dM}{dr} = 4\pi r - \frac{4V}{r^2} + 8\pi - \frac{8V}{r^3} = 0$
$r = 10$ માટે:
$40\pi + 8\pi - \frac{40V}{1000} - \frac{8V}{1000} = 0$
$48\pi = \frac{48V}{1000} \Rightarrow V = 1000\pi$
તેથી,$\frac{V}{250\pi} = 4$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1/4$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/4$ છે.
$\alpha = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$g(x) = 2^{x/3} + 2^{(1-x)/3} = 2^{x/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{x/3}}$.
ધારો કે $u = 2^{x/3}$. કારણ કે $x \in [0, 1]$,તેથી $u \in [2^0, 2^{1/3}] = [1, 2^{1/3}]$.
તો $g(u) = u + \frac{2^{1/3}}{u}$.
$g'(u) = 1 - \frac{2^{1/3}}{u^2}$. $g'(u) = 0$ લેતા $u^2 = 2^{1/3}$ મળે,તેથી $u = 2^{1/6}$.
કારણ કે $2^{1/6} \approx 1.12$ અને $2^{1/3} \approx 1.26$,નિર્ણાયક બિંદુ $u = 2^{1/6}$ એ અંતરાલ $[1, 2^{1/3}]$ માં આવેલું છે.
$u = 2^{1/6}$ પર,$g(2^{1/6}) = 2^{1/6} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/6}} = 2^{1/6} + 2^{1/6} = 2 \cdot 2^{1/6} = 2^{7/6}$. આ ન્યૂનતમ કિંમત છે.
અંતિમ બિંદુઓ $u = 1$ અને $u = 2^{1/3}$ પર,$g(1) = 1 + 2^{1/3}$ અને $g(2^{1/3}) = 2^{1/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}} = 2^{1/3} + 1$.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $1 + 2^{1/3}$ છે,જે $x = 0$ અને $x = 1$ પર પ્રાપ્ત થાય છે.
તેથી,વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ સાચા છે.

(A) લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$f'(x) = \frac{(x^2)^2 - 8(x^2) + 15}{e^{x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = \frac{x^4 - 8x^2 + 15}{e^{x^2}} \cdot (2x)$
$f'(x) = \frac{(x^2 - 3)(x^2 - 5)(2x)}{e^{x^2}}$
$f'(x) = \frac{2x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})}{e^{x^2}}$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -\sqrt{5}, -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ છે.
ચિહ્ન બદલાવ તપાસતા:
$x < -\sqrt{5}$ માટે $f'(x) < 0$.
$-\sqrt{5} < x < -\sqrt{3}$ માટે $f'(x) > 0$. ($-\sqrt{5}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ)
$-\sqrt{3} < x < 0$ માટે $f'(x) < 0$. ($-\sqrt{3}$ પર સ્થાનિક મહત્તમ)
$0 < x < \sqrt{3}$ માટે $f'(x) > 0$. ($0$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ)
$\sqrt{3} < x < \sqrt{5}$ માટે $f'(x) < 0$. ($\sqrt{3}$ પર સ્થાનિક મહત્તમ)
$x > \sqrt{5}$ માટે $f'(x) > 0$. ($\sqrt{5}$ પર સ્થાનિક ન્યૂનતમ)
આમ,$2$ સ્થાનિક મહત્તમ અને $3$ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 5x^3 - 15x$. સમીકરણ $5x^3 - 15x - a = 0$ ને $f(x) = a$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રણ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મેળવવા માટે,આડી રેખા $y = a$ એ $f(x)$ ના આલેખને ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદવી જોઈએ.
પ્રથમ,$f'(x) = 0$ લઈને $f(x)$ ના ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધો:
$f'(x) = 15x^2 - 15 = 15(x^2 - 1) = 15(x - 1)(x + 1)$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f(-1) = 5(-1)^3 - 15(-1) = -5 + 15 = 10$ છે.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(1) = 5(1)^3 - 15(1) = 5 - 15 = -10$ છે.
સમીકરણ $f(x) = a$ ને ત્રણ ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ મળે તે માટે,$a$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ અને સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યોની વચ્ચે હોવું જોઈએ:
$-10 < a < 10$.
આમ,અંતરાલ $(\alpha, \beta)$ એ $(-10, 10)$ છે,તેથી $\alpha = -10$ અને $\beta = 10$.
આપણે $\beta - 2\alpha$ ની ગણતરી કરવાની છે:
$\beta - 2\alpha = 10 - 2(-10) = 10 + 20 = 30$.

(C) ધારો કે લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(t, t)$,$(t, 9 - \frac{11}{3}t^2)$,$(0, 9 - \frac{11}{3}t^2)$,અને $(0, t)$ છે.
લંબચોરસની પહોળાઈ $t$ છે અને ઊંચાઈ $(9 - \frac{11}{3}t^2 - t)$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ $A(t) = t \cdot (9 - \frac{11}{3}t^2 - t) = 9t - t^2 - \frac{11}{3}t^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A(t)$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dA}{dt} = 9 - 2t - 11t^2$.
$\frac{dA}{dt} = 0$ લેતા,આપણને $11t^2 + 2t - 9 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $11t^2 + 11t - 9t - 9 = 0 \Rightarrow 11t(t + 1) - 9(t + 1) = 0 \Rightarrow (11t - 9)(t + 1) = 0$.
કારણ કે $x \geq 0$,તેથી $t = \frac{9}{11}$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A(\frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{11}{3} \cdot (\frac{9}{11})^2 - \frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{27}{11} - \frac{9}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (9 - \frac{36}{11}) = \frac{9}{11} \cdot (\frac{99 - 36}{11}) = \frac{9}{11} \cdot \frac{63}{11} = \frac{567}{121}$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} 1-2x, & x < -1 \\ \frac{1}{3}(7+2|x|), & -1 \leq x \leq 2 \\ \frac{11}{18}(x-4)(x-5), & x > 2 \end{cases}$ છે.
$-1 \leq x \leq 2$ માટે,$f(x) = \frac{1}{3}(7+2|x|)$. આ વિધેય $x=0$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે,જે $f(0) = \frac{7}{3}$ છે.
$x > 2$ માટે,$f(x) = \frac{11}{18}(x-4)(x-5) = \frac{11}{18}(x^2 - 9x + 20)$.
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પરવલયનું શિરોબિંદુ શોધીએ: $f'(x) = \frac{11}{18}(2x - 9) = 0 \implies x = \frac{9}{2} = 4.5$.
$x = 4.5$ આગળ કિંમત $f(4.5) = \frac{11}{18}(4.5-4)(4.5-5) = \frac{11}{18}(0.5)(-0.5) = \frac{11}{18} \times (-\frac{1}{4}) = -\frac{11}{72}$ છે.
આમ,સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમતો $\frac{7}{3}$ અને $-\frac{11}{72}$ છે.
આ કિંમતોનો સરવાળો $\frac{7}{3} - \frac{11}{72} = \frac{168 - 11}{72} = \frac{157}{72}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$.
અવયવ પાડતા $6(x - a)(x - 2a) = 0$ મળે છે,તેથી ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = a$ અને $x = 2a$ છે.
દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 12x - 18a$ છે.
$x = a$ આગળ,$f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ (કારણ કે $a > 0$),તેથી $x = a$ એ સ્થાનિક મહત્તમ છે $(p = a)$.
$x = 2a$ આગળ,$f''(2a) = 24a - 18a = 6a > 0$,તેથી $x = 2a$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે $(q = 2a)$.
આપેલ છે કે $p^2 = q$,તેથી $a^2 = 2a$. $a > 0$ હોવાથી,આપણને $a = 2$ મળે છે.
વિધેયમાં $a = 2$ મૂકતા: $f(x) = 2x^3 - 9(2)x^2 + 12(2^2)x + 1 = 2x^3 - 18x^2 + 48x + 1$.
હવે $f(3) = 2(3)^3 - 18(3)^2 + 48(3) + 1 = 2(27) - 18(9) + 144 + 1 = 54 - 162 + 144 + 1 = 37$.

(D) વિધેય $f(x) = ||x+2|-2|x||$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
સ્થાનિક અંતિમ બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે તે બિંદુઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં નિરપેક્ષ મૂલ્યની અંદરની અભિવ્યક્તિ ચિહ્ન બદલે છે,જે $x = -2$,$x = 0$ અને $|x+2| = 2|x|$ છે.
$|x+2| = 2|x|$ ઉકેલતા:
કિસ્સો $1$: $x \geq 0 \implies x+2 = 2x \implies x = 2$.
કિસ્સો $2$: $-2 \leq x < 0 \implies x+2 = -2x \implies 3x = -2 \implies x = -2/3$.
કિસ્સો $3$: $x < -2 \implies -(x+2) = -2x \implies -x-2 = -2x \implies x = 2$ (પ્રદેશમાં નથી).
આમ,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -2, -2/3, 0, 2$ છે.
આલેખ દોરીને અથવા $f(x)$ ના ચિહ્નમાં થતા ફેરફારોનું વિશ્લેષણ કરીને,આપણે જોઈએ છીએ કે:
- $x = -2/3$ પર,$f(x) = 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
- $x = 0$ પર,$f(x) = 2$,જે સ્થાનિક મહત્તમ છે.
- $x = 2$ પર,$f(x) = 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ છે.
- $x = -2$ પર,$f(x) = 4$,જે સ્થાનિક મહત્તમ છે.
તેથી,સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ $x = -2/3$ અને $x = 2$ છે,તેથી $m = 2$.
સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓ $x = -2$ અને $x = 0$ છે,તેથી $n = 2$.
આમ,$m+n = 2+2 = 4$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = 6x^3 - 45ax^2 + 108a^2x + 1$.
સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 18x^2 - 90ax + 108a^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$18(x^2 - 5ax + 6a^2) = 0$
$18(x - 2a)(x - 3a) = 0$.
આમ,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 2a$ અને $x = 3a$ છે.
$f''(x) = 36x - 90a$ હોવાથી,આપણે બિંદુઓની પ્રકૃતિ તપાસીએ:
$f''(2a) = 36(2a) - 90a = -18a < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ $x_1 = 2a$ પર).
$f''(3a) = 36(3a) - 90a = 18a > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ $x_2 = 3a$ પર).
આપેલ છે કે $x_1x_2 = 54$,તેથી $(2a)(3a) = 54$,એટલે કે $6a^2 = 54$,જે $a^2 = 9$ આપે છે.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 3$ મળે.
તેથી $x_1 = 2(3) = 6$ અને $x_2 = 3(3) = 9$.
અંતે,$a + x_1 + x_2 = 3 + 6 + 9 = 18$.

(A) $f(x) = x^3 + ax^2 + b \ln|x| + 1$
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + \frac{b}{x}$
$x=-1$ અને $x=2$ ક્રાંતિક બિંદુઓ હોવાથી,$f'(-1) = 0$ અને $f'(2) = 0$.
$f'(-1) = 3 - 2a - b = 0 \implies 2a + b = 3$
$f'(2) = 12 + 4a + \frac{b}{2} = 0 \implies 8a + b = -24$
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $6a = -27 \implies a = -4.5$
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $2(-4.5) + b = 3 \implies -9 + b = 3 \implies b = 12$
તેથી,$f(x) = x^3 - 4.5x^2 + 12 \ln|x| + 1$.
અંતરાલ $[-2, -0.5]$ માં,આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ અને અંત્યબિંદુઓ તપાસીએ.
$f'(x) = 3x^2 - 9x + \frac{12}{x} = \frac{3(x+1)(x-2)^2}{x}$.
$[-2, -0.5]$ માં,$f'(x) = 0$ એ $x = -1$ પર મળે છે.
$f(-1) = -1 - 4.5 + 12 \ln(1) + 1 = -4.5$.
$f(-2) = -8 - 4.5(4) + 12 \ln(2) + 1 = -8 - 18 + 1 + 12(0.7) = -25 + 8.4 = -16.6$.
$f(-0.5) = -0.125 - 4.5(0.25) + 12 \ln(0.5) + 1 = -0.125 - 1.125 + 1 - 12(0.7) = -0.25 - 8.4 = -8.65$.
$M = -4.5$ અને $m = -16.6$.
$|M+m| = |-4.5 - 16.6| = |-21.1| = 21.1$.

(B) આપેલ છે કે $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}=5$. $f(x)$ એ ચાર ઘાતની બહુપદી હોવાથી,ધારો કે $f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$.
સીમાનું અસ્તિત્વ હોય અને તે $5$ હોય તે માટે $e=0$,$d=0$ અને $c=5$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$f(x) = ax^4 + bx^3 + 5x^2$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 10x = x(4ax^2 + 3bx + 10)$.
$f(x)$ ના અંતિમ મૂલ્યો $x=4$ અને $x=5$ આગળ હોવાથી,$f'(4)=0$ અને $f'(5)=0$.
$f'(4) = 64a + 12b + 10 = 0 \implies 32a + 6b = -5$.
$f'(5) = 100a + 15b + 10 = 0 \implies 20a + 3b = -2$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $b = \frac{-2 - 20a}{3}$.
પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $32a + 2(-2 - 20a) = -5 \implies 32a - 4 - 40a = -5 \implies -8a = -1 \implies a = \frac{1}{8}$.
તેથી $3b = -2 - 20(\frac{1}{8}) = -4.5 \implies b = -\frac{3}{2}$.
હવે,$f(2) = \frac{1}{8}(2^4) - \frac{3}{2}(2^3) + 5(2^2) = 2 - 12 + 20 = 10$.

(A) $x \neq 0$ માટે,$f(x) = \frac{6x+\sin x}{2x+\sin x} = \frac{6 + \frac{\sin x}{x}}{2 + \frac{\sin x}{x}}$.
જ્યારે $x \rightarrow 0$,ત્યારે $\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$,તેથી $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \frac{6+1}{2+1} = \frac{7}{3}$.
$f(0) = \frac{7}{3}$ હોવાથી,$f$ એ $x=0$ આગળ સતત છે.
$x=0$ ની નજીક,$f'(x) = \frac{4 \cos x(\tan x - x)}{(2x+\sin x)^2}$ મળે છે.
$x > 0$ માટે,$\tan x > x$,તેથી જ્યારે $\cos x > 0$ હોય ત્યારે $f'(x) > 0$ થાય છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્યો ત્યારે મળે છે જ્યારે $f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય,એટલે કે જ્યારે $\cos x$ નું ચિહ્ન બદલાય.
અંતરાલ $[\pi, 6\pi]$ અને $[2\pi, 4\pi]$ માટે તપાસતા,વિકલ્પો $B, C, D$ સાચા છે.

(B) $y = 2 e^x \sin \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$
નિત્યસમ $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = e^x \sin \left(2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) = e^x \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = e^x \cos x$
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x (\cos x - \sin x)$
ધારો કે $T(x) = e^x (\cos x - \sin x)$. ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\frac{dT}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dT}{dx} = e^x (\cos x - \sin x) + e^x (-\sin x - \cos x) = e^x (\cos x - \sin x - \sin x - \cos x) = -2 e^x \sin x$
ક્રાંતિક બિંદુઓ માટે $\frac{dT}{dx} = 0$ લેતા:
$-2 e^x \sin x = 0 \implies \sin x = 0$
અંતરાલ $0 \leq x \leq 2 \pi$ માં,$x = 0, \pi, 2 \pi$ મળે છે.
આ બિંદુઓ પર $T(x)$ ની કિંમત તપાસતા:
$T(0) = e^0 (\cos 0 - \sin 0) = 1$
$T(\pi) = e^\pi (\cos \pi - \sin \pi) = -e^\pi$
$T(2 \pi) = e^{2 \pi} (\cos 2 \pi - \sin 2 \pi) = e^{2 \pi}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-e^\pi$ એ $x = \pi$ પર મળે છે.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=x^3-3x^2-9x+5$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2-6x-9$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0
\Rightarrow 3x^2-6x-9 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$x^2-2x-3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-3)(x+1) = 0$.
આમ,$x$ ની કિંમતો $x=3$ અને $x=-1$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^{2}=4a|x+a \sin(x/a)|$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય તે માટે,વિકલન $\frac{dy}{dx} = 0$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $y^2 = 4a(x + a \sin(x/a))$ ધ્યાનમાં લેતા,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a(1 + \cos(x/a))$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $1 + \cos(x/a) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\cos(x/a) = -1$.
આ શરત સૂચવે છે કે $\sin(x/a) = 0$.
$\sin(x/a) = 0$ ની કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y^2 = 4a(x + 0) = 4ax$ મળે છે.
આમ,આવા તમામ બિંદુઓ પરવલય $y^2 = 4ax$ પર આવેલા છે.

(C) વર્તુળાકાર સેક્ટરની પરિમિતિ $P = r + r + r\theta = 2r + r\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વાયરની કુલ લંબાઈ $20 \ m$ છે,તેથી $2r + r\theta = 20$.
આના પરથી,આપણે $\theta$ ને $r$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ: $\theta = \frac{20 - 2r}{r}$.
વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા: $A = \frac{1}{2}r^2 \left( \frac{20 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2}r(20 - 2r) = 10r - r^2$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ લેતા,આપણને $10 - 2r = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 5$.
આ મહત્તમ છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દ્વિતીય વિકલન લઈએ છીએ: $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$.
કારણ કે $\frac{d^2A}{dr^2} < 0$,તેથી $r = 5$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 10(5) - (5)^2 = 50 - 25 = 25 \ sq.m$ છે.

(B) ધારો કે ટાંકીની લંબાઈ $x \ m$ અને પહોળાઈ $y \ m$ છે. ટાંકીની ઊંચાઈ $h = 4 \ m$ છે.
ટાંકીનું ઘનફળ $V = x \times y \times h = 36 \ m^3$ છે.
$h = 4$ મૂકતા,$4xy = 36$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $xy = 9$,તેથી $y = \frac{9}{x}$.
ખર્ચ વિધેય $C$ એ પાયાનો ખર્ચ અને ચાર બાજુઓનો ખર્ચનો સરવાળો છે:
$C = 100(xy) + 50(2xh + 2yh)$
$xy = 9$,$h = 4$,અને $y = \frac{9}{x}$ મૂકતા:
$C(x) = 100(9) + 50(2x(4) + 2(\frac{9}{x})(4))$
$C(x) = 900 + 50(8x + \frac{72}{x}) = 900 + 400x + \frac{3600}{x}$
ન્યૂનતમ ખર્ચ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $C'(x)$ શોધીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$C'(x) = 400 - \frac{3600}{x^2} = 0$
$400 = \frac{3600}{x^2} \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \ m$.
કારણ કે $x = 3$,તેથી $y = \frac{9}{3} = 3 \ m$.
ન્યૂનતમ ખર્ચ $C(3) = 900 + 400(3) + \frac{3600}{3} = 900 + 1200 + 1200 = ₹ 3300$ થાય.

(B) ધારો કે કાગળની ઊંચાઈ $y \ m$ અને પહોળાઈ $x \ m$ છે.
આપેલ છે કે કાગળનું ક્ષેત્રફળ $18 \ m^2$ છે,તેથી $x y = 18$.
માર્જિનને મીટરમાં ફેરવતા: ઉપર/નીચેના માર્જિન દરેક $0.75 \ m$ અને બાજુના માર્જિન દરેક $0.5 \ m$ છે.
છાપવા માટેના વિસ્તારના પરિમાણો $(y - 1.5) \ m$ અને $(x - 1) \ m$ છે.
છાપવા માટે ઉપલબ્ધ ક્ષેત્રફળ $A = (y - 1.5)(x - 1)$ છે.
$y = \frac{18}{x}$ હોવાથી,$A = (\frac{18}{x} - 1.5)(x - 1) = 18 - \frac{18}{x} - 1.5x + 1.5 = 19.5 - \frac{18}{x} - 1.5x$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dA}{dx} = \frac{18}{x^2} - 1.5$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,$\frac{18}{x^2} = 1.5 \Rightarrow x^2 = \frac{18}{1.5} = 12$.
તેથી,$x = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \ m$.
પછી $y = \frac{18}{2 \sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3} \ m$.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા: $\frac{d^2A}{dx^2} = -\frac{36}{x^3}$,જે $x = 2 \sqrt{3}$ પર ઋણ છે,જે મહત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
તેથી,ઊંચાઈ $3 \sqrt{3} \ m$ અને પહોળાઈ $2 \sqrt{3} \ m$ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળાકાર સેક્ટરની ત્રિજ્યા $r$ અને કેન્દ્રિય ખૂણો $\theta$ રેડિયનમાં છે.
સેક્ટરની પરિમિતિ $P = 2r + r\theta = 60$ છે.
આથી,$\theta = \frac{60 - 2r}{r}$ મળે.
સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ છે.
$\theta$ ની કિંમત મૂકતા,$A(r) = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{60 - 2r}{r} \right) = \frac{1}{2} r(60 - 2r) = 30r - r^2$ મળે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ મેળવવા માટે,$A(r)$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$A'(r) = 30 - 2r = 0$.
$r$ માટે ઉકેલતા,$r = 15 \ m$ મળે.
અહીં $A''(r) = -2 < 0$ હોવાથી,$r = 15 \ m$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.

(D) ધારો કે વર્તુળાકાર સેક્ટરની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ચાપની લંબાઈ $l$ છે. સેક્ટરની પરિમિતિ $P = 2r + l = 20 \ m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ચાપની લંબાઈ $l = 20 - 2r$ થશે.
વર્તુળાકાર સેક્ટરનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} r l$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$l$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A(r) = \frac{1}{2} r (20 - 2r) = 10r - r^2$ મળે છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A(r)$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dA}{dr} = 10 - 2r$.
$\frac{dA}{dr} = 0$ લેતા,આપણને $10 - 2r = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = 5 \ m$.
ચકાસણી માટે,દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2A}{dr^2} = -2$ છે,જે $0$ કરતા નાનું છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે $r = 5 \ m$ પર ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.

(C) ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેની ઊંચાઈ $h$ છે. ગોળાની ત્રિજ્યા $a$ છે (કારણ કે વ્યાસ $2a$ છે).
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,ગોળાની ત્રિજ્યા,નળાકારની ત્રિજ્યા અને નળાકારની અડધી ઊંચાઈ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$r^2 + (h/2)^2 = a^2$
$r^2 = a^2 - \frac{h^2}{4}$
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h$ છે.
ઘનફળના સૂત્રમાં $r^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \pi (a^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi (a^2 h - \frac{h^3}{4})$
મહત્તમ ઘનફળ મેળવવા માટે,$V$ નું $h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dh} = \pi (a^2 - \frac{3h^2}{4})$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા:
$a^2 - \frac{3h^2}{4} = 0$
$3h^2 = 4a^2$
$h^2 = \frac{4a^2}{3}$
$h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$
તે મહત્તમ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,દ્વિતીય વિકલન લઈએ:
$\frac{d^2V}{dh^2} = \pi (0 - \frac{6h}{4}) = -\frac{3\pi h}{2} < 0$ (જ્યાં $h > 0$).
આમ,$h = \frac{2a}{\sqrt{3}}$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.

(D) ધારો કે $10$ ના બે ભાગ $x$ અને $y$ છે.
$\therefore x + y = 10 \implies y = 10 - x$ ... $(i)$
ધારો કે $A$ એ પ્રથમ ભાગના બમણા અને બીજા ભાગના વર્ગનો સરવાળો છે:
$A = 2x + y^2$
$y = 10 - x$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = 2x + (10 - x)^2$
$A = 2x + 100 - 20x + x^2$
$A = x^2 - 18x + 100$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dx} = 2x - 18$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા:
$2x - 18 = 0 \implies x = 9$
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા:
$\frac{d^2A}{dx^2} = 2$. કારણ કે $2 > 0$ છે,તેથી વિધેય $x = 9$ આગળ ન્યૂનતમ છે.
$x = 9$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$y = 10 - 9 = 1$.
આમ,ભાગો $(9, 1)$ છે.

(D) ધારો કે લંબચોરસ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત છે. લંબચોરસની બાજુઓ $2x$ અને $2y$ છે. લંબચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,લંબચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી $(2x)^2 + (2y)^2 = (2r)^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = r^2$ અથવા $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ થાય છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = (2x)(2y) = 4x\sqrt{r^2 - x^2}$ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{dA}{dx} = 4 \left( \sqrt{r^2 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 - x^2}} \cdot (-2x) \right) = 4 \left( \frac{r^2 - x^2 - x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right) = \frac{4(r^2 - 2x^2)}{\sqrt{r^2 - x^2}}$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,$r^2 - 2x^2 = 0$ મળે છે,તેથી $x = \frac{r}{\sqrt{2}}$.
$x = \frac{r}{\sqrt{2}}$ ને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = 4 \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{2}} = 4 \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) = 4 \cdot \frac{r^2}{2} = 2r^2$.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $2r^2$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,અસમતા $x^2 + 20 \le 9 x$ ઉકેલીને ગણ $A$ નક્કી કરો.
$x^2 - 9 x + 20 \le 0$
$(x - 4)(x - 5) \le 0$
આમ,$A = [4, 5]$.
હવે,વિધેય $f(x) = 2 x^3 - 15 x^2 + 36 x - 48$ નું વિશ્લેષણ કરો.
વિકલિત મેળવો: $f'(x) = 6 x^2 - 30 x + 36 = 6(x^2 - 5 x + 6) = 6(x - 2)(x - 3)$.
$x \in [4, 5]$ માટે,$(x - 2)$ અને $(x - 3)$ બંને ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
અંતરાલ $[4, 5]$ પર $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $A = [4, 5]$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
તેથી ન્યૂનતમ કિંમત ડાબા અંત્યબિંદુ $x = 4$ આગળ મળે છે.
$f(4) = 2(4)^3 - 15(4)^2 + 36(4) - 48 = 2(64) - 15(16) + 144 - 48 = 128 - 240 + 144 - 48 = -16$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$.
વિકલન કરતા $f^{\prime}(x)=\frac{\alpha}{x}+2\beta x+1$ મળે.
કારણ કે $x=-1$ અને $x=2$ એ અંતિમ બિંદુઓ છે,તેથી $f^{\prime}(-1)=0$ અને $f^{\prime}(2)=0$ થાય.
$x=-1$ માટે: $\frac{\alpha}{-1}+2\beta(-1)+1=0 \Rightarrow -\alpha-2\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+2\beta=1$ (સમીકરણ $i$).
$x=2$ માટે: $\frac{\alpha}{2}+2\beta(2)+1=0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}+4\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+8\beta=-2$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(\alpha+8\beta)-(\alpha+2\beta)=-2-1 \Rightarrow 6\beta=-3 \Rightarrow \beta=-\frac{1}{2}$.
$\beta=-\frac{1}{2}$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $\alpha+2(-\frac{1}{2})=1 \Rightarrow \alpha-1=1 \Rightarrow \alpha=2$.
આમ,$\alpha=2$ અને $\beta=-\frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) વસ્તીનું મહત્તમ કદ શોધવા માટે,આપણે વિધેય $p(t) = 1000 + \frac{1000t}{100 + t^2}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી પડશે.
ધારો કે $f(t) = \frac{1000t}{100 + t^2}$. નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(t)$ ગણીએ અને તેને $0$ સાથે સરખાવીએ.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(t) = 1000 \times \frac{(100 + t^2)(1) - t(2t)}{(100 + t^2)^2} = 1000 \times \frac{100 - t^2}{(100 + t^2)^2}$.
$f'(t) = 0$ લેતા,$100 - t^2 = 0$ મળે,તેથી $t^2 = 100$,જેનો અર્થ છે કે $t = 10$ (કારણ કે $t \ge 0$).
હવે,આપણે $t = 10$ પર $p(t)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(10) = 1000 + \frac{1000(10)}{100 + (10)^2} = 1000 + \frac{10000}{100 + 100} = 1000 + \frac{10000}{200} = 1000 + 50 = 1050$.
આમ,બેક્ટેરિયલ વસ્તીનું મહત્તમ કદ $1050$ છે.

(C) ધારો કે બે ભાગ $x$ અને $20-x$ છે.
ધારો કે ગુણાકાર $P(x) = x^3(20-x)^2$ છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $P(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$P'(x) = 3x^2(20-x)^2 + x^3 \cdot 2(20-x)(-1)$
$P'(x) = x^2(20-x) [3(20-x) - 2x]$
$P'(x) = x^2(20-x) [60 - 3x - 2x] = x^2(20-x)(60-5x)$.
$P'(x) = 0$ લેતા,આપણને $x=0$,$x=20$,અથવા $x=12$ મળે છે.
$x$ એ $0$ અને $20$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ,તેથી આપણે $x=12$ ચકાસીએ.
$x=12$ માટે,ભાગો $12$ અને $20-12=8$ છે.
આમ,બે ભાગ $12$ અને $8$ છે.

(A) આપેલ છે,ખર્ચ વિધેય $C(x) = x^2 + 78x + 2500$.
પ્રતિ એકમ કિંમત $p = 600 - 8x$.
આવક વિધેય $R(x) = x \times p = x(600 - 8x) = 600x - 8x^2$.
નફાનું વિધેય $P(x) = R(x) - C(x) = (600x - 8x^2) - (x^2 + 78x + 2500) = -9x^2 + 522x - 2500$.
મહત્તમ નફો શોધવા માટે,વિકલન $P'(x)$ શોધો અને તેને $0$ સાથે સરખાવો:
$P'(x) = -18x + 522 = 0 \implies 18x = 522 \implies x = 29$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસો: $P''(x) = -18 < 0$,તેથી $x = 29$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
મહત્તમ નફો $P(29) = -9(29)^2 + 522(29) - 2500 = -9(841) + 15138 - 2500 = -7569 + 15138 - 2500 = 5069$.
આમ,મહત્તમ નફો Rs. $5069$ છે.

(B) સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વિધેય $f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$ નું વિકલન કરીએ.
$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$5x^2(x^2 - 4x + 3) = 0$.
$5x^2(x - 1)(x - 3) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 0, x = 1, x = 3$ છે.
હવે,દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 30x$ શોધીએ.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર $f''(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
$x = 1$ માટે: $f''(1) = 20(1)^3 - 60(1)^2 + 30(1) = 20 - 60 + 30 = -10$.
$f''(1) < 0$ હોવાથી,વિધેયને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.
$x = 3$ માટે: $f''(3) = 90 > 0$,તેથી તે સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
$x = 0$ માટે: $f''(0) = 0$,અને $x=0$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની બદલાતી નથી,તેથી તે નતિબિંદુ છે.
આમ,વિધેયને $x = 1$ આગળ સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે.

(D) ધારો કે ચોરસ માટે વપરાયેલ તારની લંબાઈ $x$ છે. તો વર્તુળ માટે વપરાયેલ તારની લંબાઈ $8-x$ થશે.
ચોરસ માટે,પરિમિતિ $4a = x$ છે,તેથી બાજુ $a = \frac{x}{4}$. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = a^2 = \frac{x^2}{16}$ છે.
વર્તુળ માટે,પરિઘ $2\pi r = 8-x$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{8-x}{2\pi}$. વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r^2 = \pi \left(\frac{8-x}{2\pi}\right)^2 = \frac{(8-x)^2}{4\pi}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(8-x)^2}{4\pi}$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $A'(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(8-x)(-1)}{4\pi} = \frac{x}{8} - \frac{8-x}{2\pi}$.
$A'(x) = 0$ લેતા: $\frac{x}{8} = \frac{8-x}{2\pi} \implies \pi x = 32 - 4x \implies x(\pi+4) = 32 \implies x = \frac{32}{\pi+4}$.
$x$ ની કિંમત $A(x)$ માં મૂકતા: $A = \frac{1}{16} \left(\frac{32}{\pi+4}\right)^2 + \frac{1}{4\pi} \left(8 - \frac{32}{\pi+4}\right)^2 = \frac{64}{(\pi+4)^2} + \frac{64\pi^2}{4\pi(\pi+4)^2} = \frac{64}{(\pi+4)^2} + \frac{16\pi}{(\pi+4)^2} = \frac{16(4+\pi)}{(\pi+4)^2} = \frac{16}{\pi+4}$.

(A) ધારો કે ચોરસ પાયાની બાજુ $x \ cm$ છે અને ટાંકીની ઊંચાઈ $h \ cm$ છે.
ટાંકીનું ઘનફળ $V = x^2 h = 4000$ છે.
તેથી,$h = \frac{4000}{x^2}$.
ખુલ્લી ટાંકીનું પૃષ્ઠફળ $S = x^2 + 4xh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃષ્ઠફળના સૂત્રમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા: $S = x^2 + 4x(\frac{4000}{x^2}) = x^2 + \frac{16000}{x}$.
ન્યૂનતમ પૃષ્ઠફળ શોધવા માટે,$S$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{dx} = 2x - \frac{16000}{x^2}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ માટે $\frac{dS}{dx} = 0$ લેતા: $2x = \frac{16000}{x^2} \implies x^3 = 8000 \implies x = 20 \ cm$.
હવે,ઊંચાઈ શોધો: $h = \frac{4000}{20^2} = \frac{4000}{400} = 10 \ cm$.
કારણ કે $\frac{d^2S}{dx^2} = 2 + \frac{32000}{x^3} > 0$ એ $x = 20$ પર છે,તેથી પૃષ્ઠફળ $x = 20 \ cm$ અને $h = 10 \ cm$ પર ન્યૂનતમ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{2/3} + (x-2)^{2/3}$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}(x-2)^{-1/3} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{x^{1/3}} + \frac{1}{(x-2)^{1/3}} \right)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\frac{1}{x^{1/3}} = -\frac{1}{(x-2)^{1/3}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $(x-2)^{1/3} = -x^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$x-2 = -x$,તેથી $2x = 2$,જે $x = 1$ આપે છે.
$x = 0$ અને $x = 2$ આગળ વિકલન $f'(x)$ અવ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર $f(x)$ ની કિંમત તપાસીએ છીએ:
$f(0) = 0^{2/3} + (-2)^{2/3} = 2^{2/3} \approx 1.587$.
$f(2) = 2^{2/3} + 0^{2/3} = 2^{2/3} \approx 1.587$.
$f(1) = 1^{2/3} + (-1)^{2/3} = 1 + 1 = 2$.
આમ,અંતરાલ $[0, 2]$ માટે મહત્તમ કિંમત $2$ છે.