समीकरण निकाय ${x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = a$,$2{x_1} + 3{x_2} + {x_3} = b$,और $3{x_1} + {x_2} + 2{x_3} = c$ का:

यदि मान $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ सभी $3$ समीकरणों $x+2y+3z=4$,$3x+y+z=3$ और $x+3y+3z=2$ को संतुष्ट करते हैं,तो $3\alpha+\gamma=$

यदि $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ है,तो $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए। $A^{-1}$ का उपयोग करके समीकरण निकाय को हल कीजिए: $2x - 3y + 5z = 11$,$3x + 2y - 4z = -5$,और $x + y - 2z = -3$.

मान लीजिए $\beta$ एक वास्तविक संख्या है। आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। यदि $A^7 - (\beta - 1)A^6 - \beta A^5$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है,तो $9\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक वास्तविक संख्या $\alpha$ के लिए,यदि रैखिक समीकरणों की प्रणाली $\begin{bmatrix} 1 & \alpha & \alpha^2 \\ \alpha & 1 & \alpha \\ \alpha^2 & \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ के अनंत हल हैं,तो $1+\alpha+\alpha^2=$

$3$ अज्ञात चरों में $2$ रैखिक समीकरणों की प्रणाली $AX=B$ और $CX=D$ पर विचार करें। यदि $AX=B$ का अद्वितीय हल $D$ है और $CX=D$ का अद्वितीय हल $B$ है,तो $(A-C^{-1})X=O$ का हल क्या है?