निकाय $x + y + z = \lambda ,$ $5x - y + \mu z = 10$, $2x + 3y - z = 6$ के अद्वितीय हल का अस्तित्व निर्भर करता है

$\left|\begin{array}{cc}x & x+1 \\ x-1 & x\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\Delta_{1}=\left|\begin{array}{ccc} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & - x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{array}\right|$ तथा $\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ccc}x & \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \\ -\sin 2 \theta & -x & 1 \\ \cos 2 \theta & 1 & x\end{array}\right|, x \neq 0$; तो सभी $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए 

यदि रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z =5$, $x +2 y +2 z =6$, $x +3 y +\lambda z =\mu,(\lambda, \mu \in R )$ के अनन्त हल है, तो $\lambda+\mu$ का मान है

यदि $x + y - z = 0,\,3x - \alpha y - 3z = 0,\,\,x - 3y + z = 0$ का अशून्य हल हो, तो $\alpha  = $

यदि निम्न रैखिक समीकरण निकाय $2 x+2 a y+a z=0$, $2 x+3 b y+b z=0$, $2 x+4 c y+c z=0$ जहाँ $a , b , c \in R$ विभिन्न शून्येतर वास्तविक संख्याएँ है; का एक शून्येतर हल है, तो