Addition and Subtraction of Vectors Questions in Hindi

(B) माना कि आवश्यक सदिश $\vec{R}$ है।
दिए गए सदिश $\vec{A} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{B} = 3\hat{i} + 6\hat{j} - 7\hat{k}$ हैं।
परिणामी सदिश $y$-अक्ष की दिशा में एक इकाई सदिश है,जो $\hat{j}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\vec{A} + \vec{B} + \vec{R} = \hat{j}$ है।
सबसे पहले,$\vec{A}$ और $\vec{B}$ का योग ज्ञात करें:
$\vec{A} + \vec{B} = (1+3)\hat{i} + (-3+6)\hat{j} + (2-7)\hat{k} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$।
अब,इस मान को समीकरण में रखें:
$4\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k} + \vec{R} = \hat{j}$।
$\vec{R} = \hat{j} - (4\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k})$।
$\vec{R} = -4\hat{i} + (1-3)\hat{j} + 5\hat{k}$।
$\vec{R} = -4\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$।

(B) सदिशों के एक समूह का परिणामी शून्य होने के लिए,उन्हें हेड-टू-टेल (head-to-tail) रखने पर एक बंद बहुभुज बनाना चाहिए।
यदि हमारे पास विभिन्न परिमाण वाले दो सदिश हैं,तो उनका परिणामी कभी भी शून्य नहीं हो सकता क्योंकि वे एक बंद आकृति नहीं बना सकते (यदि वे संरेख हैं तो वे एक रेखाखंड बनाएंगे या यदि वे संरेख नहीं हैं तो वे एक खुली भुजा वाला त्रिभुज बनाएंगे)।
विभिन्न परिमाण वाले तीन समतलीय सदिशों के साथ,हम एक त्रिभुज बना सकते हैं ताकि सदिशों का योग शून्य हो (उदाहरण के लिए,$\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$)।
इसलिए,शून्य परिणामी प्राप्त करने के लिए आवश्यक विभिन्न परिमाण वाले समतलीय सदिशों की न्यूनतम संख्या $3$ है।

(A) सबसे पहले,सदिशों $\vec A$ और $\vec B$ को जोड़कर परिणामी सदिश $\vec R$ ज्ञात करें:
$\vec R = \vec A + \vec B = (4\hat i + 3\hat j + 6\hat k) + (- \hat i + 3\hat j - 8\hat k)$
$\vec R = (4 - 1)\hat i + (3 + 3)\hat j + (6 - 8)\hat k = 3\hat i + 6\hat j - 2\hat k$
इसके बाद,परिणामी सदिश का परिमाण $|\vec R|$ ज्ञात करें:
$|\vec R| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$
अंत में,इकाई सदिश $\hat R$ को $\hat R = \frac{\vec R}{|\vec R|}$ सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\hat R = \frac{3\hat i + 6\hat j - 2\hat k}{7} = \frac{1}{7}(3\hat i + 6\hat j - 2\hat k)$

(A) दिए गए सदिश $\vec a = 4\hat i - \hat j$,$\vec b = -3\hat i + 2\hat j$ और $\vec c = -\hat k$ हैं।
मान लीजिए कि इन सदिशों का योग $\vec r = \vec a + \vec b + \vec c$ है।
$\vec r = (4\hat i - \hat j) + (-3\hat i + 2\hat j) + (-\hat k)$.
घटकों को समूहित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\vec r = (4 - 3)\hat i + (-1 + 2)\hat j - \hat k = \hat i + \hat j - \hat k$.
सदिश $\vec r$ का परिमाण $|\vec r| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ है।
$\vec r$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat r = \frac{\vec r}{|\vec r|}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\hat r = \frac{\hat i + \hat j - \hat k}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat i + \hat j - \hat k)$.

(B) परिणामी सदिश $\vec{R}$,सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के योग द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (4\hat{i} - 3\hat{j}) + (8\hat{i} + 8\hat{j})$
$\vec{R} = (4 + 8)\hat{i} + (-3 + 8)\hat{j} = 12\hat{i} + 5\hat{j}$
परिणामी सदिश का परिमाण:
$|\vec{R}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$
परिणामी के समांतर इकाई सदिश $\hat{R}$ इस प्रकार है:
$\hat{R} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|} = \frac{12\hat{i} + 5\hat{j}}{13}$

(A) दो सदिशों $A$ और $B$ का परिणामी $R$,$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $R = 17\, N$ के लिए: चूंकि $17 = 5 + 12$,सदिश एक ही दिशा में होने चाहिए। अतः,$\theta = 0^o$ है।
$2$. $R = 7\, N$ के लिए: चूंकि $7 = 12 - 5$,सदिश विपरीत दिशा में होने चाहिए। अतः,$\theta = 180^o$ है।
$3$. $R = 13\, N$ के लिए: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\, N$। यह तब होता है जब सदिश एक-दूसरे के लंबवत हों,इसलिए $\theta = 90^o$ है।

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow A = 4\hat i - 3\hat j$ और $\overrightarrow B = 6\hat i + 8\hat j$ हैं।
सबसे पहले,परिणामी सदिश $\overrightarrow R = \overrightarrow A + \overrightarrow B$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow R = (4\hat i - 3\hat j) + (6\hat i + 8\hat j) = (4+6)\hat i + (-3+8)\hat j = 10\hat i + 5\hat j$.
परिणामी सदिश का परिमाण इस प्रकार है:
$|\overrightarrow R| = \sqrt{(10)^2 + (5)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.
$x$-अक्ष के साथ दिशा $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{R_y}{R_x} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1/2)$.

(D) माना प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = 20\hat{j} \, m/s$ (उत्तर की ओर) है।
पश्चिम की ओर मुड़ने के बाद,अंतिम वेग $\vec{v}_2 = -20\hat{i} \, m/s$ (पश्चिम की ओर) है।
वेग में परिवर्तन $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\Delta\vec{v} = -20\hat{i} - 20\hat{j} = -20(\hat{i} + \hat{j}) \, m/s$ प्राप्त होता है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{(-20)^2 + (-20)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \, m/s$ है।
दिशा $\tan\theta = \frac{|\Delta v_y|}{|\Delta v_x|} = \frac{20}{20} = 1$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\theta = 45^\circ$ है।
चूंकि दोनों घटक ऋणात्मक हैं,इसलिए दिशा दक्षिण-पश्चिम $(S-W)$ है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) मान लीजिए $\hat{n}_1$ और $\hat{n}_2$ दो इकाई सदिश हैं। उनके योग का परिमाण $|\hat{n}_1 + \hat{n}_2|^2 = |\hat{n}_1|^2 + |\hat{n}_2|^2 + 2|\hat{n}_1||\hat{n}_2|\cos\theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि योग एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\hat{n}_1 + \hat{n}_2| = 1$ है। परिमाण $|\hat{n}_1| = 1$ और $|\hat{n}_2| = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1^2 = 1^2 + 1^2 + 2(1)(1)\cos\theta$ प्राप्त होता है।
$1 = 2 + 2\cos\theta \implies 2\cos\theta = -1 \implies \cos\theta = -1/2$.
इसका अर्थ है $\theta = 120^\circ$ है।
अंतर सदिश का परिमाण $|\hat{n}_1 - \hat{n}_2| = \sqrt{|\hat{n}_1|^2 + |\hat{n}_2|^2 - 2|\hat{n}_1||\hat{n}_2|\cos\theta}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$|\hat{n}_1 - \hat{n}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2 - 2(1)(1)(-1/2)} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$।

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow A = 2\hat i + \hat j$,$\overrightarrow B = 3\hat j - \hat k$,और $\overrightarrow C = 6\hat i - 2\hat k$ हैं।
हमें $\overrightarrow A - 2\overrightarrow B + 3\overrightarrow C$ की गणना करनी है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow A - 2\overrightarrow B + 3\overrightarrow C = (2\hat i + \hat j) - 2(3\hat j - \hat k) + 3(6\hat i - 2\hat k)$
$= 2\hat i + \hat j - 6\hat j + 2\hat k + 18\hat i - 6\hat k$
$\hat i$,$\hat j$,और $\hat k$ के घटकों को समूहित करने पर:
$= (2 + 18)\hat i + (1 - 6)\hat j + (2 - 6)\hat k$
$= 20\hat i - 5\hat j - 4\hat k$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दो सदिशों $A$ और $B$ के बीच $\theta$ कोण होने पर उनका परिणामी सदिश $R$ ज्ञात करने का सूत्र: $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ है।
यहाँ दिया गया है कि दोनों बलों के परिमाण $A = F$ और $B = F$ हैं,और उनका परिणामी परिमाण $R = F$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $F = \sqrt{F^2 + F^2 + 2(F)(F) \cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $F^2 = F^2 + F^2 + 2F^2 \cos \theta$.
$F^2 = 2F^2 + 2F^2 \cos \theta$.
$F^2$ से भाग देने पर: $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
$-1 = 2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 120^\circ$ प्राप्त होता है।

(D) जब दो बल $\vec{F}_1$ और $\vec{F}_2$ एक कण पर कार्य करते हैं,तो परिणामी बल $R$ का परिमाण उनके बीच के कोण $\theta$ पर निर्भर करता है।
अधिकतम परिणामी बल तब होता है जब बल एक ही दिशा में हों $(\theta = 0^\circ)$:
$R_{\text{max}} = F_1 + F_2 = 4\, N + 3\, N = 7\, N$.
न्यूनतम परिणामी बल तब होता है जब बल विपरीत दिशाओं में हों $(\theta = 180^\circ)$:
$R_{\text{min}} = |F_1 - F_2| = |4\, N - 3\, N| = 1\, N$.
अतः,कण पर कार्य करने वाला कुल बल $1\, N$ और $7\, N$ के बीच कोई भी मान ले सकता है,जो बलों के बीच के कोण पर निर्भर करता है।

(D) मान लीजिए दो बल $\vec{F_1}$ और $\vec{F_2}$ हैं जिनके परिमाण $F_1$ और $F_2$ हैं,जहाँ $F_1 > F_2$ है।
परिणामी बल $R$ का परिमाण $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बलों के बीच का कोण है।
हमें दिया गया है कि $R < F_1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta < F_1^2$ प्राप्त होता है।
यह $F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta < 0$ में सरल हो जाता है।
$F_2$ से विभाजित करने पर ($F_2 > 0$ होने के कारण),$F_2 + 2F_1 \cos \theta < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos \theta < -\frac{F_2}{2F_1}$।
चूंकि $F_1 > F_2$ है,$\frac{F_2}{2F_1}$ का मान $0$ और $0.5$ के बीच होता है।
अतः,$\cos \theta$ ऋणात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि कोण $\theta$ अधिक कोण $(90^\circ < \theta \le 180^\circ)$ है।
दिए गए विकल्पों में से,यह शर्त कि बल विपरीत दिशाओं में इंगित करते हैं (या उनके बीच अधिक कोण होता है),एकमात्र ऐसी स्थिति है जो परिणामी बल को बड़े बल से छोटा होने की आवश्यकता को पूरा करती है।

(C) जब दो सदिश एक-दूसरे के साथ $\theta$ कोण पर कार्य करते हैं,तो उनका परिणामी परिमाण $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
सूत्र में $\cos 90^\circ = 0$ रखने पर:
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2(0)}$
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है कि $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण $\theta = 120^{\circ}$ है।
परिणामी सदिश $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ का परिमाण इस प्रकार है:
$|\overrightarrow{C}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \cos 120^{\circ}} = \sqrt{A^{2} + B^{2} - AB}$.
अंतर सदिश $|\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}|$ का परिमाण इस प्रकार है:
$|\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cos 120^{\circ}} = \sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB (-1/2)} = \sqrt{A^{2} + B^{2} + AB}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,चूंकि $A$ और $B$ शून्येतर परिमाण हैं,इसलिए $\sqrt{A^{2} + B^{2} - AB} < \sqrt{A^{2} + B^{2} + AB}$.
अतः,$|\overrightarrow{C}| < |\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}|$।

(C) दिया गया है कि परिमाण $|\overrightarrow{A}| = 12$,$|\overrightarrow{B}| = 5$ और $|\overrightarrow{C}| = 13$ हैं।
चूंकि $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = \overrightarrow{C}$ है,हम जांच सकते हैं कि क्या परिमाण पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करते हैं: $|\overrightarrow{A}|^2 + |\overrightarrow{B}|^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 = |\overrightarrow{C}|^2$।
चूंकि $|\overrightarrow{A}|^2 + |\overrightarrow{B}|^2 = |\overrightarrow{C}|^2$ है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ एक-दूसरे के लंबवत होने चाहिए।
अतः,$\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण $\pi / 2$ रेडियन (या $90^{\circ}$) है।

(C) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{A} = 6\hat{i} + 7\hat{j}$ और $\vec{B} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ हैं।
परिणामी सदिश $\vec{R}$,$\vec{A}$ और $\vec{B}$ का योग है:
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (6\hat{i} + 7\hat{j}) + (3\hat{i} + 4\hat{j})$
$\vec{R} = (6 + 3)\hat{i} + (7 + 4)\hat{j} = 9\hat{i} + 11\hat{j}$
परिणामी सदिश $\vec{R}$ का परिमाण इस प्रकार है:
$|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$
$|\vec{R}| = \sqrt{9^2 + 11^2}$
$|\vec{R}| = \sqrt{81 + 121}$
$|\vec{R}| = \sqrt{202}$

(C) सबसे पहले,यह जांचें कि क्या सदिशों का योग शून्य है। $\vec A + \vec B + \vec C = 6\hat i - 4\hat j + 2\hat k \neq 0$। यदि हम इन सदिशों के परिमाण को त्रिभुज की भुजाओं के रूप में लेते हैं,तो परिमाण की गणना इस प्रकार है:
$|\vec A| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{14}$
$|\vec B| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{35}$
$|\vec C| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{21}$
यहाँ,$|\vec A|^2 + |\vec C|^2 = 14 + 21 = 35 = |\vec B|^2$। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,ये भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं।

(C) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,यदि दो सदिशों को एक त्रिभुज की दो भुजाओं द्वारा क्रम में दर्शाया जाता है,तो उनका योग विपरीत क्रम में ली गई तीसरी भुजा द्वारा दर्शाया जाता है।
दी गई आकृति में,सदिश $\overrightarrow C$ और $\overrightarrow A$ क्रम में (एक का शीर्ष दूसरे की पूंछ के साथ) व्यवस्थित हैं।
परिणामी सदिश $\overrightarrow B$ है,जो $\overrightarrow C$ की पूंछ को $\overrightarrow A$ के शीर्ष से जोड़ता है।
इसलिए,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,हमें प्राप्त होता है: $\overrightarrow C + \overrightarrow A = \overrightarrow B$.

(B) परिणामी सदिश $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ का परिमाण $|\vec{C}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
परिणामी सदिश के परिमाण की सीमा $|A - B| \le |\vec{C}| \le A + B$ होती है।
यदि $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$ अधिक कोण (अर्थात $90^\circ < \theta \le 180^\circ$) है,तो परिणामी सदिश $\vec{C}$ का परिमाण $|\vec{A}|$ या $|\vec{B}|$ में से किसी से भी छोटा हो सकता है। उदाहरण के लिए,यदि $\vec{A}$ और $\vec{B}$ समान परिमाण $A=B$ के सदिश हैं और उनके बीच का कोण $120^\circ$ है,तो $|\vec{C}| = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos(120^\circ)} = \sqrt{2A^2 - A^2} = A$ होगा। यदि कोण $120^\circ$ से अधिक है,तो $|\vec{C}|$,$A$ और $B$ से छोटा होगा। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का परिणामी सदिश $\vec{R}$,सदिश योग के नियम के अनुसार $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ होता है।
परिणामी सदिश का परिमाण सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।
परिणामी परिमाण $R$ के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$R = |\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$,जहाँ $A$ और $B$ क्रमशः सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के परिमाण हैं और $\theta$ उनके बीच का कोण है।

(A) माना कि दो बल $A$ और $B$ हैं,जहाँ $A < B$ है। दिया गया है $A + B = 16$ (समीकरण $i$)।
चूँकि परिणामी बल $R = 8\, N$ छोटे बल $A$ के लंबवत है,इसलिए $R$ और $A$ के बीच का कोण $\alpha = 90^\circ$ है।
परिणामी बल की दिशा का सूत्र $\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta} = \tan 90^\circ$ है।
इसका अर्थ है $A + B \cos \theta = 0$,अतः $\cos \theta = -A/B$ (समीकरण $ii$)।
परिणामी बल का परिमाण $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ है।
$\cos \theta = -A/B$ को परिणामी बल के सूत्र में रखने पर: $8^2 = A^2 + B^2 + 2AB(-A/B) = A^2 + B^2 - 2A^2 = B^2 - A^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$B^2 - A^2 = 64$,जिसका गुणनखंड $(B - A)(B + A) = 64$ है।
चूँकि $B + A = 16$ है,इसलिए $(B - A)(16) = 64$,जिससे $B - A = 4$ प्राप्त होता है।
$A + B = 16$ और $B - A = 4$ को हल करने पर $2B = 20$ मिलता है,अतः $B = 10\, N$ और $A = 6\, N$।

(C) दिए गए परिमाण $|\overrightarrow P| = 5$,$|\overrightarrow Q| = 12$,और $|\overrightarrow R| = 13$ हैं।
चूंकि $\overrightarrow P + \overrightarrow Q = \overrightarrow R$,ये सदिश एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं क्योंकि $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ होता है।
इन सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज में,$\overrightarrow Q$ और $\overrightarrow R$ के बीच का कोण $\theta$ है।
समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow Q$ और $\overrightarrow R$ के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन (cosine),आसन्न भुजा और कर्ण का अनुपात होता है।
$\cos \theta = \frac{|\overrightarrow Q|}{|\overrightarrow R|} = \frac{12}{13}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{12}{13})$।

(B) माना कि आवश्यक सदिश $\vec{R}$ है।
प्रश्न के अनुसार,दिए गए सदिशों और $\vec{R}$ का योग $X$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश अर्थात $\hat{i}$ के बराबर है।
$(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) + (2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \vec{R} = \hat{i}$
दिए गए सदिशों को जोड़ने पर:
$(1+2)\hat{i} + (-2+1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} + \vec{R} = \hat{i}$
$3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} + \vec{R} = \hat{i}$
अब,$\vec{R}$ के लिए हल करने पर:
$\vec{R} = \hat{i} - (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$
$\vec{R} = \hat{i} - 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
$\vec{R} = -2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$

(A) माना कि परिणामी सदिश $\vec R$ है।
दिए गए सदिश $\vec A = \vec P + \vec Q$ और $\vec B = \vec P - \vec Q$ हैं।
परिणामी सदिश $\vec R$ इन दो सदिशों का योग है:
$\vec R = \vec A + \vec B = (\vec P + \vec Q) + (\vec P - \vec Q) = 2\vec P$.
चूंकि $\vec R = 2\vec P$,परिणामी सदिश $\vec P$ की दिशा में ही है।
इसलिए,$\vec P$ और परिणामी सदिश $\vec R$ के बीच का कोण $0$ डिग्री है।

(B) मान लीजिए कि सदिशों $\overrightarrow P$ और $\overrightarrow Q$ के बीच का कोण $\theta$ है।
परिणामी सदिश $\overrightarrow R = \overrightarrow P + \overrightarrow Q$,$\overrightarrow P$ के साथ $\alpha$ कोण बनाता है,जो $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि परिणामी सदिश $\overrightarrow P$ के लंबवत है,इसलिए कोण $\alpha = 90^\circ$ है।
अतः,$\tan 90^\circ = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$।
चूंकि $\tan 90^\circ$ अपरिभाषित है,इसलिए हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$P + Q \cos \theta = 0$
$Q \cos \theta = -P$
$\cos \theta = -\frac{P}{Q}$
$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{P}{Q}\right)$।

(A) दो सदिशों $P$ और $Q$ के परिणामी का अधिकतम परिमाण $R_{max} = P + Q$ द्वारा दिया जाता है।
दो सदिशों $P$ और $Q$ के परिणामी का न्यूनतम परिमाण $R_{min} = |P - Q|$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम और न्यूनतम परिमाण का अनुपात $3:1$ है,इसलिए $\frac{P + Q}{P - Q} = \frac{3}{1}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर,हमें $P + Q = 3(P - Q)$ प्राप्त होता है।
समीकरण का विस्तार करने पर,$P + Q = 3P - 3Q$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4Q = 2P$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $P = 2Q$ मिलता है।

(C) माना छोटा बल $F_1 = F$ है और बड़ा बल $F_2 = 2F$ है।
दिया गया है कि परिणामी बल $R$ बड़े बल के बराबर है,इसलिए $R = 2F$ है।
दो सदिशों के परिणामी का सूत्र $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2F = \sqrt{F^2 + (2F)^2 + 2(F)(2F) \cos \theta}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2F)^2 = F^2 + 4F^2 + 4F^2 \cos \theta$।
$4F^2 = 5F^2 + 4F^2 \cos \theta$।
दोनों पक्षों से $5F^2$ घटाने पर: $-F^2 = 4F^2 \cos \theta$।
$4F^2$ से भाग देने पर: $\cos \theta = -1/4$।
अतः,कोण $\theta = \cos^{-1}(-1/4)$ है।

(C) माना प्रारंभिक विस्थापन $\vec{d_1} = 25\hat{i} - 6\hat{j} \text{ m}$ है।
माना आवश्यक विस्थापन जिसे जोड़ा जाना है,वह $\vec{d_x}$ है।
परिणामी विस्थापन $\vec{d_R} = 7.0\hat{i} \text{ m}$ दिया गया है।
सदिश योग के नियम के अनुसार: $\vec{d_1} + \vec{d_x} = \vec{d_R}$।
अतः,$\vec{d_x} = \vec{d_R} - \vec{d_1}$।
मान रखने पर: $\vec{d_x} = (7.0\hat{i}) - (25\hat{i} - 6\hat{j})$।
$\vec{d_x} = 7.0\hat{i} - 25\hat{i} + 6\hat{j}$।
$\vec{d_x} = -18\hat{i} + 6\hat{j} \text{ m}$।

(D) पिंड दो परस्पर लंबवत दिशाओं में गति करता है: पूर्व और उत्तर।
मान लीजिए पूर्व की ओर वेग $\vec{v}_1 = 20 \, km/h$ ($x$-अक्ष पर) है और उत्तर की ओर वेग $\vec{v}_2 = 15 \, km/h$ ($y$-अक्ष पर) है।
परिणामी वेग $\vec{v}_R$ सदिश योग द्वारा दिया जाता है: $\vec{v}_R = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$।
चूंकि सदिश लंबवत हैं,इसलिए परिणामी वेग का परिमाण पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके निकाला जाता है:
$v_R = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$
$v_R = \sqrt{20^2 + 15^2}$
$v_R = \sqrt{400 + 225}$
$v_R = \sqrt{625}$
$v_R = 25 \, km/h$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है कि परिमाण $|vec A| = 3$,$|vec B| = 4$,और $|vec C| = 5$ हैं।
चूंकि $\vec A + \vec B = \vec C$,हम जांच सकते हैं कि क्या परिमाण पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करते हैं: $|vec A|^2 + |\vec B|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = |\vec C|^2$.
चूंकि $|vec A|^2 + |\vec B|^2 = |\vec C|^2$ है,इसलिए सदिश $\vec A$ और $\vec B$ एक-दूसरे के लंबवत होने चाहिए।
अतः,$\vec A$ और $\vec B$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(C) मान लीजिए शुरुआती बिंदु मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
पहला विस्थापन: $75 \, km$ उत्तर $\rightarrow \vec{d_1} = 75 \hat{j}$.
दूसरा विस्थापन: $60 \, km$ उत्तर-पूर्व $\rightarrow \vec{d_2} = 60 \cos 45^{\circ} \hat{i} + 60 \sin 45^{\circ} \hat{j} = 30\sqrt{2} \hat{i} + 30\sqrt{2} \hat{j}$.
तीसरा विस्थापन: $20 \, km$ पूर्व $\rightarrow \vec{d_3} = 20 \hat{i}$.
कुल विस्थापन सदिश $\vec{R} = \vec{d_1} + \vec{d_2} + \vec{d_3} = (30\sqrt{2} + 20) \hat{i} + (75 + 30\sqrt{2}) \hat{j}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर,$x = 30(1.414) + 20 = 62.42 \, km$.
$y = 75 + 30(1.414) = 117.42 \, km$.
न्यूनतम दूरी (विस्थापन का परिमाण) $S = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(62.42)^2 + (117.42)^2} \approx \sqrt{17683} \approx 132.97 \, km$.
निकटतम पूर्णांक में,दूरी $132 \, km$ है।

(D) दो बलों $A$ और $B$ का परिणामी बल $R$,$(A - B) \le R \le (A + B)$ की सीमा में होता है।
विकल्प $A$ के लिए: $2 \, N$ और $2 \, N$,सीमा $(2 - 2) \le R \le (2 + 2)$ अर्थात $0 \le R \le 4 \, N$ है। चूँकि $2 \, N$ इस सीमा में है,यह संभव है।
विकल्प $B$ के लिए: $1 \, N$ और $1 \, N$,सीमा $(1 - 1) \le R \le (1 + 1)$ अर्थात $0 \le R \le 2 \, N$ है। चूँकि $2 \, N$ इस सीमा में है,यह संभव है।
विकल्प $C$ के लिए: $1 \, N$ और $3 \, N$,सीमा $(3 - 1) \le R \le (3 + 1)$ अर्थात $2 \le R \le 4 \, N$ है। चूँकि $2 \, N$ इस सीमा में है,यह संभव है।
विकल्प $D$ के लिए: $1 \, N$ और $4 \, N$,सीमा $(4 - 1) \le R \le (4 + 1)$ अर्थात $3 \le R \le 5 \, N$ है। चूँकि $2 \, N$ इस सीमा में नहीं है,इसलिए $2 \, N$ का परिणामी बल प्राप्त करना असंभव है।

(D) माना कि दो बल $F_1 = 3\,N$ और $F_2 = 2\,N$ हैं। परिणामी बल $R$ का सूत्र $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ है।
मान रखने पर,$R = \sqrt{3^2 + 2^2 + 2(3)(2) \cos \theta} = \sqrt{9 + 4 + 12 \cos \theta} = \sqrt{13 + 12 \cos \theta}$ ... $(i)$.
जब पहले बल को बढ़ाकर $F_1' = 6\,N$ कर दिया जाता है,तो नया परिणामी बल $2R$ हो जाता है। अतः,$(2R)^2 = (F_1')^2 + F_2^2 + 2F_1'F_2 \cos \theta$.
$4R^2 = 6^2 + 2^2 + 2(6)(2) \cos \theta = 36 + 4 + 24 \cos \theta = 40 + 24 \cos \theta$.
समीकरण $(i)$ से,$R^2 = 13 + 12 \cos \theta$. इस मान को $4R^2$ के समीकरण में रखने पर:
$4(13 + 12 \cos \theta) = 40 + 24 \cos \theta$.
$52 + 48 \cos \theta = 40 + 24 \cos \theta$.
$24 \cos \theta = -12$.
$\cos \theta = -\frac{12}{24} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 120^\circ$.

(C) दो सदिशों $A$ और $B$ का परिणामी बल $R$,$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
परिणामी बल के अधिकतम होने के लिए,दोनों बलों के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ होना चाहिए।
अतः,$R_{\max} = A + B$ होगा।
यहाँ $A = 12 \, N$ और $B = 8 \, N$ दिया गया है।
इसलिए,$R_{\max} = 12 + 8 = 20 \, N$।

(C) दो सदिशों $A$ और $B$ का परिणामी $R$,जो $\theta$ कोण पर झुके हैं,का सूत्र है:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
यहाँ दिया गया है कि दोनों बल समान हैं,$A = B = P$,और उनके बीच का कोण $\theta = 120^\circ$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = \sqrt{P^2 + P^2 + 2(P)(P) \cos(120^\circ)}$
चूंकि $\cos(120^\circ) = -1/2$ होता है:
$R = \sqrt{2P^2 + 2P^2(-1/2)}$
$R = \sqrt{2P^2 - P^2}$
$R = \sqrt{P^2} = P$
अतः,परिणामी बल का परिमाण $P$ है।

(A) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{A} = 5\hat{i} + 8\hat{j}$ और $\vec{B} = 2\hat{i} + 7\hat{j}$ हैं।
इन सदिशों को जोड़ने पर,हमें परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (5+2)\hat{i} + (8+7)\hat{j} = 7\hat{i} + 15\hat{j}$ प्राप्त होता है।
परिणामी सदिश $\vec{R}$ का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$|\vec{R}| = \sqrt{7^2 + 15^2} = \sqrt{49 + 225} = \sqrt{274}$।

(D) दिया गया समीकरण: $\vec{A} + \vec{B} = \vec{A} - \vec{B}$ है।
समीकरण के दोनों पक्षों से $\vec{A}$ घटाने पर:
$(\vec{A} - \vec{A}) + \vec{B} = -\vec{B}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर: $0 + \vec{B} = -\vec{B}$ मिलता है।
दोनों पक्षों में $\vec{B}$ जोड़ने पर:
$\vec{B} + \vec{B} = 0$ हो जाता है।
$2\vec{B} = 0$।
अतः,$\vec{B} = 0$।

(A) दिया गया है कि $(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})$ सदिश $(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})$ के लंबवत है।
चूंकि दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है,इसलिए:
$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{A} - \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} + \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{B} = 0$
अदिश गुणनफल के क्रमविनिमेय गुण (commutative property) के अनुसार,$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A}$,इसलिए बीच के पद कट जाएंगे:
$|\overrightarrow{A}|^2 - |\overrightarrow{B}|^2 = 0$
$|\overrightarrow{A}|^2 = |\overrightarrow{B}|^2$
$|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}|$
अतः,उनके परिमाणों का अनुपात $\frac{|\overrightarrow{A}|}{|\overrightarrow{B}|} = 1$ है।

(C) दिया गया है: $|{\vec V_1} + {\vec V_2}| = |{\vec V_1} - {\vec V_2}|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|{\vec V_1} + {\vec V_2}|^2 = |{\vec V_1} - {\vec V_2}|^2$
गुणधर्म $|\vec A \pm \vec B|^2 = |\vec A|^2 + |\vec B|^2 \pm 2(\vec A \cdot \vec B)$ का उपयोग करने पर:
$|{\vec V_1}|^2 + |{\vec V_2}|^2 + 2(\vec V_1 \cdot \vec V_2) = |{\vec V_1}|^2 + |{\vec V_2}|^2 - 2(\vec V_1 \cdot \vec V_2)$
$2(\vec V_1 \cdot \vec V_2) = -2(\vec V_1 \cdot \vec V_2)$
$4(\vec V_1 \cdot \vec V_2) = 0$
$\vec V_1 \cdot \vec V_2 = 0$
यह दर्शाता है कि सदिश ${\vec V_1}$ और ${\vec V_2}$ परस्पर लंबवत हैं।

(A) दिया गया है कि $|\vec{A}| = |\vec{B}|$।
मान लीजिए $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ और $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$।
अदिश गुणनफल $\vec{R} \cdot \vec{D} = (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B})$ पर विचार करें।
$= \vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B}$।
$= |\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2$।
चूंकि $|\vec{A}| = |\vec{B}|$,इसलिए अदिश गुणनफल $0$ है।
अतः,$\vec{A} + \vec{B}$ सदिश $\vec{A} - \vec{B}$ के लंबवत है।

(C) $2$ सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का परिणामी $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
परिणामी को शून्य होने के लिए,$\vec{A} + \vec{B} = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{A} = -\vec{B}$।
इसका मतलब है कि दोनों सदिशों का परिमाण समान $(|A| = |B|)$ होना चाहिए और उन्हें विपरीत दिशाओं में होना चाहिए (उनके बीच $180^{\circ}$ या $\pi$ रेडियन का कोण)।
अतः,सही स्थिति यह है कि $2$ सदिश परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत हों।

(C) माना $P$ छोटा बल है और $Q$ बड़ा बल है। प्रश्न के अनुसार:
$P + Q = 18$......$(i)$
दिया गया है कि परिणामी बल $R = 12 \; N$,छोटे बल $P$ के लंबवत है,इसलिए $R$ और $P$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
परिणामी बल की दिशा के लिए सूत्र: $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$.
चूंकि $\alpha = 90^{\circ}$,$\tan 90^{\circ} = \infty$,जिसका अर्थ है कि $P + Q \cos \theta = 0$,इसलिए $Q \cos \theta = -P$......$(ii)$
परिणामी बल का परिमाण $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$R = 12$ और $Q \cos \theta = -P$ को समीकरण में रखने पर:
$12^2 = P^2 + Q^2 + 2P(-P)$
$144 = P^2 + Q^2 - 2P^2$
$144 = Q^2 - P^2$
$144 = (Q - P)(Q + P)$
चूंकि $Q + P = 18$,इसलिए $144 = (Q - P)(18)$,जिससे $Q - P = 8$ प्राप्त होता है......$(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $2Q = 26 \implies Q = 13 \; N$.
समीकरण $(i)$ से $(iii)$ को घटाने पर: $2P = 10 \implies P = 5 \; N$.
अतः,बलों के परिमाण $5 \; N$ और $13 \; N$ हैं।

(B) मान लीजिए कि सदिशों को एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में दर्शाया गया है जहाँ $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है।
सदिश $\overrightarrow{OA}$ धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश है: $\overrightarrow{OA} = R\hat{i}$.
सदिश $\overrightarrow{OC}$ धनात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश है: $\overrightarrow{OC} = R\hat{j}$.
सदिश $\overrightarrow{OB}$ $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है: $\overrightarrow{OB} = R\cos(45^{\circ})\hat{i} + R\sin(45^{\circ})\hat{j} = \frac{R}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{R}{\sqrt{2}}\hat{j}$.
परिणामी सदिश $\vec{R}_{net} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = (R + \frac{R}{\sqrt{2}})\hat{i} + (R + \frac{R}{\sqrt{2}})\hat{j}$.
इसका परिमाण $|\vec{R}_{net}| = \sqrt{(R + \frac{R}{\sqrt{2}})^2 + (R + \frac{R}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{2(R + \frac{R}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{2}(R + \frac{R}{\sqrt{2}}) = R\sqrt{2} + R = R(\sqrt{2} + 1)$.

(B) $F_1$ और $F_2$ परिमाण के दो बलों का परिणामी बल $R$,जिनके बीच का कोण $\theta$ है,का सूत्र है: $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$।
यहाँ दिया गया है कि $F_1 = F$,$F_2 = F$ और परिणामी बल $R = F$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $F = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos \theta}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $F^2 = 2F^2 + 2F^2 \cos \theta$।
$F^2$ से भाग देने पर: $1 = 2 + 2 \cos \theta$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2 \cos \theta = 1 - 2 = -1$।
अतः,$\cos \theta = -1/2$।
चूँकि $\cos(120^\circ) = -1/2$,इसलिए दोनों बलों के बीच का कोण $\theta = 120^\circ$ है।

(A) दो सदिशों $F_1$ और $F_2$ के बीच $\theta$ कोण होने पर उनके परिणामी बल $R$ का परिमाण ज्ञात करने का सूत्र है: $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta$।
यहाँ दिया गया है कि $F_1 = F_2 = F$ और $R = F/3$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(F/3)^2 = F^2 + F^2 + 2(F)(F)\cos\theta$।
$F^2/9 = 2F^2 + 2F^2\cos\theta$।
दोनों पक्षों को $F^2$ से विभाजित करने पर:
$1/9 = 2 + 2\cos\theta$।
$1/9 - 2 = 2\cos\theta$।
$-17/9 = 2\cos\theta$।
$\cos\theta = -17/18$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(-17/18)$।

(C) दो सदिशों $A$ और $B$ का परिणामी बल $R$,$|A - B| \le R \le |A + B|$ की सीमा में होता है।
यहाँ $A = 5 \, N$ और $B = 10 \, N$ दिया गया है।
अधिकतम परिणामी बल $F_{\max} = 10 + 5 = 15 \, N$ है।
न्यूनतम परिणामी बल $F_{\min} = 10 - 5 = 5 \, N$ है।
अतः,परिणामी बल $5 \, N \le R \le 15 \, N$ की सीमा में होना चाहिए।
चूंकि $4 \, N$ न्यूनतम संभव परिणामी बल $5 \, N$ से कम है,इसलिए परिणामी बल $4 \, N$ नहीं हो सकता है।

(B) मान लीजिए कि दोनों बलों के बीच का कोण $\theta$ है।
सदिशों के समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करते हुए,परिणामी बल $R$ इस प्रकार है:
$R^2 = (3P)^2 + (2P)^2 + 2(3P)(2P) \cos \theta$
$R^2 = 9P^2 + 4P^2 + 12P^2 \cos \theta = 13P^2 + 12P^2 \cos \theta$ ... $(i)$
जब पहले बल को दोगुना किया जाता है,तो यह $6P$ हो जाता है। नया परिणामी बल $2R$ है:
$(2R)^2 = (6P)^2 + (2P)^2 + 2(6P)(2P) \cos \theta$
$4R^2 = 36P^2 + 4P^2 + 24P^2 \cos \theta = 40P^2 + 24P^2 \cos \theta$ ... (ii)
समीकरण (ii) को $4$ से विभाजित करने पर:
$R^2 = 10P^2 + 6P^2 \cos \theta$ ... (iii)
समीकरण $(i)$ और (iii) की तुलना करने पर:
$13P^2 + 12P^2 \cos \theta = 10P^2 + 6P^2 \cos \theta$
$3P^2 = -6P^2 \cos \theta$
$\cos \theta = -3/6 = -1/2$
अतः,$\theta = 120^\circ$।

(B) मान लीजिए कि दो बल $F_1$ और $F_2$ हैं,जहाँ $F_1$ बड़ा बल है और $F_2$ छोटा बल है।
दिया गया है: $F_1 + F_2 = 18 \,N$ $(i)$
मान लीजिए कि परिणामी बल $R = 12 \,N$ छोटे बल $F_2$ के लंबवत है।
परिणामी बल $R$ और बल $F_2$ के बीच का कोण $\alpha = 90^\circ$ है।
परिणामी बल की दिशा के लिए सूत्र $\tan \alpha = \frac{F_1 \sin \theta}{F_2 + F_1 \cos \theta} = \tan 90^\circ$ है।
इसका अर्थ है कि हर $F_2 + F_1 \cos \theta = 0$,इसलिए $\cos \theta = -\frac{F_2}{F_1}$।
परिणामी बल का परिमाण $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos \theta$ है।
$\cos \theta = -\frac{F_2}{F_1}$ रखने पर,हमें $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 (-F_2/F_1) = F_1^2 - F_2^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $R = 12$,इसलिए $144 = F_1^2 - F_2^2 = (F_1 + F_2)(F_1 - F_2)$।
$(i)$ का उपयोग करने पर,$144 = 18(F_1 - F_2)$,जिससे $F_1 - F_2 = 8 \,N$ प्राप्त होता है (ii)।
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर: $2F_1 = 26 \,N \implies F_1 = 13 \,N$।
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $2F_2 = 10 \,N \implies F_2 = 5 \,N$।
अतः,बलों के परिमाण $13 \,N$ और $5 \,N$ हैं।

(D) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,यदि दो सदिशों को एक त्रिभुज की दो भुजाओं द्वारा क्रम में (एक का शीर्ष दूसरे की पूंछ पर) दर्शाया जाता है,तो उनका योग (परिणामी सदिश) त्रिभुज की तीसरी भुजा द्वारा विपरीत क्रम में (पहले की पूंछ से दूसरे के शीर्ष तक) दर्शाया जाता है।
विकल्प $D$ में,सदिश $\overrightarrow {{F_2}} $ को इस प्रकार रखा गया है कि उसकी पूंछ $\overrightarrow {{F_1}} $ के शीर्ष पर है। परिणामी सदिश $\overrightarrow {{F_3}} $ $\overrightarrow {{F_1}} $ की पूंछ से शुरू होता है और $\overrightarrow {{F_2}} $ के शीर्ष पर समाप्त होता है। यह सही ढंग से $\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} $ को दर्शाता है।
अतः,सही व्यवस्था $D$ है।