Mix Examples-Vectors Questions in Hindi

(A) जब $n$ समान परिमाण $F$ के बल एक ही तल में एक बिंदु पर इस प्रकार कार्य करते हैं कि क्रमिक बलों के बीच का कोण समान हो,तो उनके बीच का कोण $\theta = \frac{360^\circ}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 5$ और $F = 10 \, N$ है।
क्रमिक बलों के बीच का कोण $\theta = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$ है।
सदिश योग के बहुभुज नियम के अनुसार,यदि एक बिंदु पर कार्य करने वाले सदिशों के समूह को एक बंद बहुभुज की भुजाओं द्वारा क्रम में दर्शाया जा सकता है,तो उनका परिणामी बल शून्य होता है।
चूँकि ये पाँचों समान बल सममित हैं और एक तल में समान रूप से वितरित हैं,इसलिए जब उन्हें एक-दूसरे के सिरे से जोड़ा जाता है,तो वे एक बंद नियमित पंचभुज बनाते हैं।
अतः,परिणामी बल $0 \, N$ होगा।

(B) माना परिणामी सदिश $R$ है। दिया गया है कि $R \perp A$,अतः $R$ और $A$ के बीच का कोण $90^\circ$ है।
सदिश योग के सूत्र के अनुसार,परिणामी सदिश $R$ द्वारा सदिश $A$ के साथ बनाया गया कोण $\alpha$ इस प्रकार है: $\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$।
चूंकि $\alpha = 90^\circ$ है,$\tan 90^\circ$ अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है कि हर शून्य होना चाहिए: $A + B \cos \theta = 0$,इसलिए $\cos \theta = -\frac{A}{B}$।
परिणामी सदिश का परिमाण $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ है।
दिया गया है कि $R = \frac{B}{2}$,इसलिए $\frac{B^2}{4} = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$।
समीकरण में $\cos \theta = -\frac{A}{B}$ रखने पर: $\frac{B^2}{4} = A^2 + B^2 + 2AB(-\frac{A}{B}) = A^2 + B^2 - 2A^2 = B^2 - A^2$।
इसे हल करने पर $A^2 = B^2 - \frac{B^2}{4} = \frac{3B^2}{4}$,अतः $A = \frac{\sqrt{3}}{2}B$ प्राप्त होता है।
अंत में,$\cos \theta = -\frac{A}{B} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$\theta = 150^\circ$।

(C) माना सदिशों $\overrightarrow{P}$ और $\overrightarrow{Q}$ के बीच का कोण $\alpha$ है। परिणामी $\overrightarrow{R}$ का परिमाण इस प्रकार है:
$R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \alpha \quad \dots(1)$
जब $\overrightarrow{Q}$ को दोगुना करके $2\overrightarrow{Q}$ किया जाता है,तो नया परिणामी $\overrightarrow{R_1}$ प्राप्त होता है। इसके परिमाण का वर्ग:
$R_1^2 = P^2 + (2Q)^2 + 2P(2Q) \cos \alpha = P^2 + 4Q^2 + 4PQ \cos \alpha \quad \dots(2)$
दिया गया है कि नया परिणामी $\overrightarrow{R_1}$,$\overrightarrow{P}$ के लंबवत है,अतः सदिश योग $\overrightarrow{R_1} = \overrightarrow{P} + 2\overrightarrow{Q}$ से $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{R_1} = 0$ होगा। $\overrightarrow{P} \cdot (\overrightarrow{P} + 2\overrightarrow{Q}) = 0$ लेने पर,$P^2 + 2PQ \cos \alpha = 0$,अर्थात $2PQ \cos \alpha = -P^2 \quad \dots(3)$
समीकरण $(3)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$R^2 = P^2 + Q^2 + (-P^2) = Q^2$
अतः,$R = Q$.

(C) दिया गया है $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = \overrightarrow{C}$,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{B} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}$.
चूंकि $\overrightarrow{C} \perp \overrightarrow{A}$,सदिश $\overrightarrow{C}$ और $-\overrightarrow{A}$ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसमें $\overrightarrow{B}$ कर्ण है।
अतः,$B^2 = C^2 + A^2$.
दिया गया है कि $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{C}|$,इसलिए $C = A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$B^2 = A^2 + A^2 = 2A^2$,अर्थात $B = \sqrt{2}A$.
सदिश योग $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ के लिए कोज्या नियम (law of cosines) का उपयोग करने पर:
$C^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$,जहाँ $\theta$,$\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण है।
$C^2 = A^2$ और $B^2 = 2A^2$ रखने पर:
$A^2 = A^2 + 2A^2 + 2A(\sqrt{2}A) \cos \theta$.
$A^2 = 3A^2 + 2\sqrt{2}A^2 \cos \theta$.
$-2A^2 = 2\sqrt{2}A^2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\theta = \frac{3\pi}{4} \text{ रेडियन}$।

(D) मान लीजिए कि दो सदिशों के परिमाण $A$ और $B$ हैं।
परिणामी का अधिकतम परिमाण $R_{\max} = A + B = 17$ है।
परिणामी का न्यूनतम परिमाण $R_{\min} = |A - B| = 7$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(A + B) + (A - B) = 17 + 7 \implies 2A = 24 \implies A = 12$.
$A = 12$ को पहले समीकरण में रखने पर: $12 + B = 17 \implies B = 5$.
जब दो सदिश एक-दूसरे के लंबवत होते हैं $(\theta = 90^\circ)$,तो उनके परिणामी $R$ का परिमाण $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ इकाई।

(B) दिया गया है $P = Q = R$।
स्थिति $1$: $\vec{P} + \vec{Q} = \vec{R} \implies \vec{Q} = \vec{R} - \vec{P}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $Q^2 = R^2 + P^2 - 2RP \cos \theta_1$।
चूंकि $P = Q = R$,हमारे पास है $P^2 = P^2 + P^2 - 2P^2 \cos \theta_1 \implies P^2 = 2P^2(1 - \cos \theta_1) \implies 1 = 2 - 2 \cos \theta_1 \implies 2 \cos \theta_1 = 1 \implies \cos \theta_1 = 1/2 \implies \theta_1 = 60^\circ$।
स्थिति $2$: $\vec{P} + \vec{Q} + \vec{R} = \vec{0} \implies \vec{P} + \vec{R} = -\vec{Q}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $P^2 + R^2 + 2PR \cos \theta_2 = Q^2$।
चूंकि $P = Q = R$,हमारे पास है $P^2 + P^2 + 2P^2 \cos \theta_2 = P^2 \implies 2P^2 + 2P^2 \cos \theta_2 = P^2 \implies 2 \cos \theta_2 = -1 \implies \cos \theta_2 = -1/2 \implies \theta_2 = 120^\circ$।
अतः,$\theta_2 = 2\theta_1$,जिसका अर्थ है $\theta_1 = \theta_2 / 2$।

(D) दिया गया है कि $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{0}$. मान लीजिए $|A| = |B| = x$. तो $|C| = \sqrt{2}x$.
$\vec{A} + \vec{B} = -\vec{C}$ से,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta_1 = C^2$.
मान रखने पर: $x^2 + x^2 + 2x^2 \cos \theta_1 = (\sqrt{2}x)^2$.
$2x^2 + 2x^2 \cos \theta_1 = 2x^2 \Rightarrow 2x^2 \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow \cos \theta_1 = 0 \Rightarrow \theta_1 = 90^\circ$.
अब,$\vec{B} + \vec{C} = -\vec{A}$ पर विचार करें। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $B^2 + C^2 + 2BC \cos \theta_2 = A^2$.
मान रखने पर: $x^2 + 2x^2 + 2(x)(\sqrt{2}x) \cos \theta_2 = x^2$.
$2x^2 + 2\sqrt{2}x^2 \cos \theta_2 = 0 \Rightarrow 2\sqrt{2}x^2 \cos \theta_2 = -2x^2$.
$\cos \theta_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta_2 = 135^\circ$.
चूंकि $|A| = |B|$,समरूपता के कारण,$\vec{A}$ और $\vec{C}$ के बीच का कोण भी $\theta_3 = 135^\circ$ होगा।
अतः,सदिशों के बीच के कोण $90^\circ, 135^\circ, 135^\circ$ हैं।

(C) दिया गया है $\vec{A} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ और $\vec{B} = 6\hat{i} + 8\hat{j}$।
परिमाण $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ और $B = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ हैं।
विकल्प $(A)$ की जाँच करें: $\vec{A} \times \vec{B} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) \times (6\hat{i} + 8\hat{j}) = (3 \times 8 - 4 \times 6)\hat{k} = (24 - 24)\hat{k} = 0$। यह सही है।
विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $\frac{A}{B} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$। यह सही है।
विकल्प $(C)$ की जाँच करें: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (3)(6) + (4)(8) = 18 + 32 = 50$। विकल्प में $40$ दिया गया है,जो गलत है।
अतः,गलत कथन विकल्प $(C)$ है।

(B) सबसे पहले,सदिशों के परिमाण की गणना करें:
$A = |\overrightarrow A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$B = |\overrightarrow B| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
अब,प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करें:
$A$: $\overrightarrow A \times \overrightarrow B = (3\hat i + 4\hat j) \times (6\hat i + 8\hat j) = (3 \times 8 - 4 \times 6)\hat k = (24 - 24)\hat k = 0$. यह सत्य है।
$B$: $\frac{A}{B} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. कथन $\frac{A}{B} = \frac{1}{4}$ असत्य है।
$C$: $\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B = (3)(6) + (4)(8) = 18 + 32 = 50$. यह सत्य है।
$D$: $A = 5$. यह सत्य है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $\frac{A}{B} = \frac{1}{4}$ है।

(C) सबसे पहले,सदिश $A$ और $B$ के परिमाण (magnitudes) की गणना करें:
$|A| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
$|B| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$
अब,कथन $(b)$ की जाँच करें: $\frac{|A|}{|B|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. यह सही है।
इसके बाद,ध्यान दें कि $B = 2(3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 2A$ है। चूँकि $B$,$A$ का एक अदिश गुणज है,इसलिए सदिश समांतर हैं।
समांतर सदिशों के लिए,उनका क्रॉस गुणनफल शून्य होता है: $A \times B = 0$. यह भी सही है।
चूँकि $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(c)$ है।

(D) जब समान परिमाण $F$ के $n$ समतलीय बल इस प्रकार व्यवस्थित होते हैं कि प्रत्येक बल पिछले बल के साथ समान कोण $\Delta\theta$ बनाता है,तो वे एक बंद बहुभुज बनाते हैं यदि कुल कोण $2\pi$ का गुणज हो।
यहाँ,बलों की संख्या $n = 100$ है।
लगातार बलों के बीच का कोण $\Delta\theta = \pi/50$ है।
बलों द्वारा कवर किया गया कुल कोण $\theta_{total} = n \times \Delta\theta = 100 \times (\pi/50) = 2\pi$ है।
चूंकि बल समतलीय हैं और कुल कोण $2\pi$ है,इसलिए ये बल सदिश योग में एक बंद बहुभुज बनाते हैं।
अतः,इन बलों का सदिश योग (परिणामी बल) $0 \ N$ है।

(A) $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}| \implies AB \cos \theta = AB \sin \theta \implies \tan \theta = 1 \implies \theta = 45^{\circ}$ या $135^{\circ}$। अतः,$A \rightarrow p$।
$(B)$ $\vec{A} \cdot \vec{B} = B^2 \implies AB \cos \theta = B^2 \implies A \cos \theta = B$। यदि $A=B$ है,तो $\cos \theta = 1 \implies \theta = 0^{\circ}$। अतः,$B \rightarrow q, r$।
$(C)$ $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}| \implies A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta \implies 4AB \cos \theta = 0 \implies \theta = 90^{\circ}$। अतः,$C \rightarrow s$।
$(D)$ $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB \implies AB \sin \theta = AB \implies \sin \theta = 1 \implies \theta = 90^{\circ}$। अतः,$D \rightarrow s$।

(A) दिया गया है: $|A| = |B| = x$ और $\theta = 60^{\circ}$।
$(A) |A+B| = \sqrt{x^2 + x^2 + 2x^2 \cos(60^{\circ})} = \sqrt{2x^2 + 2x^2(0.5)} = \sqrt{3x^2} = \sqrt{3}x$। अतः,$(A \rightarrow r)$।
$(B) |A-B| = \sqrt{x^2 + x^2 - 2x^2 \cos(60^{\circ})} = \sqrt{2x^2 - 2x^2(0.5)} = \sqrt{x^2} = x$। अतः,$(B \rightarrow q)$।
$(C) A \cdot B = |A||B| \cos(60^{\circ}) = x \cdot x \cdot 0.5 = \frac{x^2}{2}$। अतः,$(C \rightarrow s)$।
$(D) |A \times B| = |A||B| \sin(60^{\circ}) = x \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2$। अतः,$(D \rightarrow p)$।
अतः,सही मिलान $(A \rightarrow r, B \rightarrow q, C \rightarrow s, D \rightarrow p)$ है।

$(1)$ समान परिमाण वाले दो सदिशों के लिए,परिणामी सदिश उनके बीच के कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है। यदि परिमाण असमान हैं,तो परिणामी बड़े सदिश के करीब होता है। सामान्यतः,इस प्रकार के प्रश्नों में परिणामी सदिश की दिशा को कोण के समद्विभाजक के साथ जोड़ा जाता है।
$(2)$ सदिश गुणनफल $\overrightarrow A \times \overrightarrow B$ की परिभाषा के अनुसार,यह $\overrightarrow A$ और $\overrightarrow B$ दोनों को समाहित करने वाले तल के लंबवत होता है (दाएं हाथ के नियम के अनुसार)। अतः,$(2)$ का मिलान $(c)$ से होता है।

(C) दिया गया है: $\overrightarrow{ F }=2 \hat{ i }+\hat{ j }-\hat{ k }$ और $\overrightarrow{ r }=3 \hat{ i }+2 \hat{ j }-2 \hat{ k }$.
$1$. अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट):
$\overrightarrow{ F } \cdot \overrightarrow{ r } = (2)(3) + (1)(2) + (-1)(-2) = 6 + 2 + 2 = 10$.
$2$. सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट):
$\overrightarrow{ F } \times \overrightarrow{ r } = \begin{vmatrix} \hat{ i } & \hat{ j } & \hat{ k } \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{ i }((1)(-2) - (-1)(2)) - \hat{ j }((2)(-2) - (-1)(3)) + \hat{ k }((2)(2) - (1)(3))$
$= \hat{ i }(-2 + 2) - \hat{ j }(-4 + 3) + \hat{ k }(4 - 3)$
$= 0 \hat{ i } + 1 \hat{ j } + 1 \hat{ k } = \hat{ j } + \hat{ k }$.
$3$. सदिश गुणनफल का परिमाण:
$|\overrightarrow{ F } \times \overrightarrow{ r }| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
अतः,परिमाण $10$ और $\sqrt{2}$ हैं।

(B) दिया गया है कि कण मूल बिंदु से समान दूरी पर हैं,इसलिए उनके परिमाण समान हैं: $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}|$.
$|\overrightarrow{A}|^2 = |\overrightarrow{B}|^2 \implies 2^2 + (3n)^2 + 2^2 = 2^2 + (-2)^2 + (4p)^2$.
$4 + 9n^2 + 4 = 4 + 4 + 16p^2 \implies 8 + 9n^2 = 8 + 16p^2 \implies 9n^2 = 16p^2$.
वर्गमूल लेने पर,$3n = \pm 4p$,अतः $p = \pm \frac{3n}{4}$.
चूंकि सदिश लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$.
$(2)(2) + (3n)(-2) + (2)(4p) = 0 \implies 4 - 6n + 8p = 0$.
स्थिति $1$: $p = \frac{3n}{4}$ को अदिश गुणनफल के समीकरण में रखने पर: $4 - 6n + 8(\frac{3n}{4}) = 0 \implies 4 - 6n + 6n = 0 \implies 4 = 0$ (असंभव)।
स्थिति $2$: $p = -\frac{3n}{4}$ को अदिश गुणनफल के समीकरण में रखने पर: $4 - 6n + 8(-\frac{3n}{4}) = 0 \implies 4 - 6n - 6n = 0 \implies 12n = 4 \implies n = \frac{1}{3}$.
अतः,$n^{-1} = \frac{1}{n} = 3$.

(D) प्रारंभिक विस्थापन सदिश $\vec{S}_1$,$3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ की दिशा में है। इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{3 \hat{i} + 4 \hat{j}}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{3 \hat{i} + 4 \hat{j}}{5}$ है।
अतः,$\vec{S}_1 = 30 \times \left(\frac{3 \hat{i} + 4 \hat{j}}{5}\right) = 18 \hat{i} + 24 \hat{j} \ m$.
माना दूसरा विस्थापन $\vec{S}_2 = d \hat{n}$ है,जहाँ $\hat{n}$,$\vec{S}_1$ के लंबवत इकाई सदिश है। चूँकि $\vec{S}_1 = 18 \hat{i} + 24 \hat{j}$ है,एक लंबवत सदिश $4 \hat{i} - 3 \hat{j}$ के समानुपाती होगा।
अतः,$\vec{S}_2 = k(4 \hat{i} - 3 \hat{j})$। इसका परिमाण $d = |k| \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5|k|$ है।
कुल विस्थापन $\vec{S}_{net} = \vec{S}_1 + \vec{S}_2 = (18 + 4k) \hat{i} + (24 - 3k) \hat{j}$ है।
चूँकि कुल विस्थापन $x$-अक्ष के अनुदिश है,$y$-घटक शून्य होना चाहिए:
$24 - 3k = 0 \implies k = 8$.
तब $\vec{S}_2 = 8(4 \hat{i} - 3 \hat{j}) = 32 \hat{i} - 24 \hat{j}$।
इसका परिमाण $d = |\vec{S}_2| = \sqrt{32^2 + (-24)^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40 \ m$.

(D) दिए गए सदिश $\vec{A}=3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}$,$\vec{B}=\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{k}$,और $\vec{C}=2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-4 \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश योग संबंध की जाँच करें:
$\vec{B}+\vec{C} = (\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{k}) + (2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-4 \hat{k}) = 3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k} = \vec{A}$.
इस प्रकार,$\vec{A}=\vec{B}+\vec{C}$ संतुष्ट होता है।
अब,परिमाण के वर्गों की गणना करें:
$A^2 = |\vec{A}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$.
$B^2 = |\vec{B}|^2 = 1^2 + (-3)^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35$.
$C^2 = |\vec{C}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-4)^2 = 4 + 1 + 16 = 21$.
मानों को देखने पर,$B^2 = 35$ और $A^2 + C^2 = 14 + 21 = 35$.
इसलिए,$B^2 = A^2 + C^2$ संतुष्ट होता है।
अतः,सही विकल्प $\vec{A}=\vec{B}+\vec{C}$ और $B^2=A^2+C^2$ है।

(C) मान लीजिए $\vec{B} = B\hat{i}$ और $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$ है। दिया गया है $|\vec{A}| = 6$,इसलिए $A_x^2 + A_y^2 = 36$ है।
चूंकि परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B)\hat{i} + A_y\hat{j}$ $y$-अक्ष पर है,इसलिए इसका $x$-घटक शून्य होना चाहिए: $A_x + B = 0$,अतः $A_x = -B$ है।
$A_x = -B$ को परिमाण समीकरण में रखने पर: $(-B)^2 + A_y^2 = 36$,जिससे $A_y^2 = 36 - B^2$ प्राप्त होता है।
परिणामी सदिश $\vec{R} = A_y\hat{j}$ है,इसलिए इसका परिमाण $|\vec{R}| = |A_y| = \sqrt{36 - B^2}$ है।
दिया गया है $|\vec{R}| = 3B$,इसलिए $\sqrt{36 - B^2} = 3B$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $36 - B^2 = 9B^2$,जो सरल होकर $10B^2 = 36$ हो जाता है।
अतः,$B^2 = 3.6$,इसलिए $B = \sqrt{3.6}$ इकाई है।

(C) सबसे पहले,$\vec{P} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = (1-1+2)\hat{i} + (1+1-2)\hat{j} + (3+4-8)\hat{k} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{Q} = \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(4+3) + \hat{k}(1+1) = 1\hat{i} - 7\hat{j} + 2\hat{k}$ की गणना करें।
अब,डॉट प्रोडक्ट $\vec{P} \cdot \vec{Q} = (2)(1) + (0)(-7) + (-1)(2) = 2 + 0 - 2 = 0$ ज्ञात करें।
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या सदिश एक त्रिभुज बनाते हैं,हम जांचते हैं कि क्या उनका योग शून्य है या क्या उन्हें हेड-टू-टेल व्यवस्थित किया जा सकता है।
सबसे पहले,सदिशों का योग ज्ञात करें: $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = (3+1+2) \hat{i} + (-2-3-1) \hat{j} + (1+5+4) \hat{k} = 6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 10 \hat{k} \neq 0$.
चूंकि योग शून्य नहीं है,इसलिए वे एक बंद लूप नहीं बनाते हैं।
वैकल्पिक रूप से,जांचें कि क्या कोई सदिश अन्य दो का योग है।
$\vec{A} + \vec{B} = 4 \hat{i} - 5 \hat{j} + 6 \hat{k} \neq \vec{C}$.
$\vec{A} + \vec{C} = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k} \neq \vec{B}$.
$\vec{B} + \vec{C} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 9 \hat{k} \neq \vec{A}$.
चूंकि कोई भी सदिश अन्य दो का परिणामी नहीं है,इसलिए ये सदिश त्रिभुज नहीं बना सकते हैं।