Multiplication of Vectors Questions in Hindi

(A) दो सदिशों $\vec A$ और $\vec B$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र है: $\cos \theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{|A||B|}$।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) की गणना करें: $\vec A \cdot \vec B = (3)(3) + (4)(4) + (5)(-5) = 9 + 16 - 25 = 0$।
इसके बाद,सदिशों के परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|A| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$ और $|B| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{50}} = \frac{0}{50} = 0$।
चूंकि $\cos \theta = 0$,इसलिए कोण $\theta = 90^\circ$ है।

(B) दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: $\cos \theta = \frac{\vec F_1 \cdot \vec F_2}{|\vec F_1| |\vec F_2|}$.
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $\vec F_1 \cdot \vec F_2 = (5 \times 10) + (10 \times -5) + (-20 \times -15) = 50 - 50 + 300 = 300$.
इसके बाद,परिमाणों की गणना करें: $|\vec F_1| = \sqrt{5^2 + 10^2 + (-20)^2} = \sqrt{25 + 100 + 400} = \sqrt{525} \approx 22.91$.
$|\vec F_2| = \sqrt{10^2 + (-5)^2 + (-15)^2} = \sqrt{100 + 25 + 225} = \sqrt{350} \approx 18.71$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखें: $\cos \theta = \frac{300}{\sqrt{525} \times \sqrt{350}} = \frac{300}{\sqrt{183750}} \approx \frac{300}{428.66} \approx 0.70$.
चूंकि $\cos 45^\circ \approx 0.707$,इसलिए कोण $\theta$ लगभग $45^\circ$ है।

(C) माना कि दो सदिश $\overrightarrow{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}$ और $\overrightarrow{B} = -4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिश लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए,अर्थात $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + 8\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 4\hat{j} + \alpha\hat{k}) = 0$
$(2)(-4) + (3)(4) + (8)(\alpha) = 0$
$-8 + 12 + 8\alpha = 0$
$4 + 8\alpha = 0$
$8\alpha = -4$
$\alpha = -4/8 = -0.5$।

(B) दिया गया व्यंजक $\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$ के रूप में एक अदिश त्रिक गुणनफल है।
सदिश गुणन (cross product) के गुणों के अनुसार,सदिश $\overrightarrow{C} = (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$,$\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि $\overrightarrow{C}$,$\overrightarrow{A}$ के लंबवत है,इसलिए $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{C}$ का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए।
गणितीय रूप से,$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = 0$ क्योंकि सदिश $(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$,$\overrightarrow{A}$ के लंबवत तल में स्थित होता है।

(C) दो सदिशों का सदिश गुणनफल एंटी-कम्यूटेटिव (anti-commutative) होता है,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = -(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A})$।
दी गई शर्त $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = \overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}$ के अनुसार,समीकरण में एंटी-कम्यूटेटिव गुण को प्रतिस्थापित करने पर:
$-(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = \overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}$।
इसका तात्पर्य है कि $2(\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{A}) = 0$,या $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = 0$।
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}| = |A||B| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
सदिश गुणनफल के शून्य होने के लिए,$\sin \theta$ का मान $0$ होना चाहिए,जो $\theta = 0$ या $\theta = \pi$ पर होता है।
दिए गए विकल्पों में से,$\pi$ सही उत्तर है।

(B) सदिश गुणनफल $\overrightarrow A \times \overrightarrow B$ की गणना सारणिक विधि का उपयोग करके की जाती है:
$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{vmatrix}$
$= \hat i(1 \times 4 - 2 \times -2) - \hat j(3 \times 4 - 2 \times 2) + \hat k(3 \times -2 - 1 \times 2)$
$= \hat i(4 + 4) - \hat j(12 - 4) + \hat k(-6 - 2)$
$= 8\hat i - 8\hat j - 8\hat k$
अब,इसका परिमाण इस प्रकार प्राप्त होता है:
$|\overrightarrow A \times \overrightarrow B | = \sqrt{(8)^2 + (-8)^2 + (-8)^2}$
$= \sqrt{64 + 64 + 64}$
$= \sqrt{3 \times 64}$
$= 8\sqrt 3 $

(D) सदिश गुणनफल $\overrightarrow C = \overrightarrow A \times \overrightarrow B$ का परिणाम एक सदिश $\overrightarrow C$ है जो $\overrightarrow A$ और $\overrightarrow B$ दोनों को समाहित करने वाले तल के लंबवत होता है।
चूंकि $\overrightarrow C$ तल के लंबवत है,यह उस तल में स्थित किसी भी सदिश के लंबवत होगा।
$1$. सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार $\overrightarrow C \perp \overrightarrow A$ और $\overrightarrow C \perp \overrightarrow B$ सत्य हैं।
$2$. सदिश योग $(\overrightarrow A + \overrightarrow B)$ भी उसी तल में स्थित होता है जिसमें $\overrightarrow A$ और $\overrightarrow B$ हैं,इसलिए $\overrightarrow C \perp (\overrightarrow A + \overrightarrow B)$ भी सत्य है।
$3$. कथन $\overrightarrow C \perp (\overrightarrow A \times \overrightarrow B)$ का अर्थ है $\overrightarrow C \perp \overrightarrow C$,जो एक अशून्य सदिश के लिए असंभव है क्योंकि कोई भी सदिश स्वयं के लंबवत नहीं हो सकता है। अतः,यह कथन गलत है।

(D) दो सदिशों $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}$ और $\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}$ का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{F}_1 = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{F}_2 = 0\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ दिया गया है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2 = (2)(0) + (0)(3) + (5)(4)$.
$\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2 = 0 + 0 + 20 = 20$.
अतः,अदिश गुणनफल का परिमाण $20$ है।

(C) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो।
माना दिया गया सदिश $\overrightarrow{F} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$ है।
किसी सदिश $\overrightarrow{A}$ के $\overrightarrow{F}$ के लंबवत होने के लिए,$\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{A} = 0$ होना चाहिए।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $\overrightarrow{A} = 7\hat{k}$।
$\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{A} = (4\hat{i} - 3\hat{j}) \cdot (7\hat{k}) = 4(0) - 3(0) + 0(7) = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $7\hat{k}$,$\overrightarrow{F}$ के लंबवत है।

(D) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
यदि सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो $\theta = 90^\circ$ होगा।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos 90^\circ$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 90^\circ = 0$ होता है,इसलिए अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ होगा।

(B) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{A} = -2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ हैं।
दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{A} \cdot \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(-4) = -2 + 6 - 4 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = 90^\circ$ है।

(C) माना $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{B} = \hat{j} + \hat{k}$ है।
उनका अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{B} = (\hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{j} + \hat{k}) = (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) = 1$ है।
उनके परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ और $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ हैं।
दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ है।
मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$ होगा।

(A) दो सदिशों $\overrightarrow{P}$ और $\overrightarrow{Q}$ का अदिश गुणनफल $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{Q} = PQ \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ दोनों सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{Q} = PQ$ है।
परिभाषा को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PQ \cos \theta = PQ$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $PQ$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $P, Q \neq 0$),हमें $\cos \theta = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos 0^\circ = 1$ होता है,इसलिए कोण $\theta = 0^\circ$ होगा।

(C) दो सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण $\theta$ डॉट प्रोडक्ट के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = |\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}| \cos \theta$.
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (5\hat{i} + 5\hat{j}) \cdot (5\hat{i} - 5\hat{j}) = (5 \times 5) + (5 \times -5) = 25 - 25 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए $0 = |\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}| \cos \theta$.
इसका तात्पर्य है कि $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^\circ$।

(A) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\overrightarrow P \cdot \overrightarrow Q = 0$.
दिया गया है $\overrightarrow P = a\hat i + a\hat j + 3\hat k$ और $\overrightarrow Q = a\hat i - 2\hat j - \hat k$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(a)(a) + (a)(-2) + (3)(-1) = 0$.
इसे सरल करने पर: $a^2 - 2a - 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a - 3)(a + 1) = 0$.
इससे $a = 3$ या $a = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में $a$ का धनात्मक मान पूछा गया है,इसलिए $a = 3$ सही उत्तर है।

(D) दो सदिशों $\overrightarrow A$ और $\overrightarrow B$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल (cross product) के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात $Area = |\overrightarrow A \times \overrightarrow B|$.
दिया गया है $\overrightarrow A = 2\hat i + 3\hat j$ और $\overrightarrow B = \hat i + 4\hat j$.
$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = (2\hat i + 3\hat j) \times (\hat i + 4\hat j)$.
सदिश गुणनफल के नियमों का उपयोग करते हुए $(\hat i \times \hat i = 0, \hat j \times \hat j = 0, \hat i \times \hat j = \hat k, \hat j \times \hat i = -\hat k)$:
$\overrightarrow A \times \overrightarrow B = 2(4)(\hat i \times \hat j) + 3(1)(\hat j \times \hat i) = 8\hat k - 3\hat k = 5\hat k$.
इसका परिमाण $|\overrightarrow A \times \overrightarrow B| = |5\hat k| = 5$.
अतः,क्षेत्रफल $5 \text{ units}^2$ है।

(D) सदिश $\overrightarrow{F}_1$ धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए इसे $\overrightarrow{F}_1 = a\hat{i}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $a > 0$ है।
दो सदिशों का सदिश गुणनफल शून्य तभी होता है जब सदिश संरेख (समांतर या प्रति-समांतर) हों।
चूँकि $\overrightarrow{F}_1 \times \overrightarrow{F}_2 = 0$ है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{F}_2$ को $X$-अक्ष के समांतर या प्रति-समांतर होना चाहिए।
अतः,$\overrightarrow{F}_2$ को $k\hat{i}$ के रूप में होना चाहिए,जहाँ $k$ कोई भी शून्येतर अदिश है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$-4\hat{i}$ ही एकमात्र ऐसा सदिश है जो $X$-अक्ष के समांतर है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दो सदिशों का सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B} = |A||B| \sin \theta \hat{n}$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $\vec{A} \times \vec{B} = 0$,इसका अर्थ है कि $|A||B| \sin \theta = 0$ है।
चूंकि सदिश शून्य नहीं हैं,इसलिए $\sin \theta = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\theta = 0^\circ$ या $\theta = 180^\circ$ है।
अतः,सदिश एक-दूसरे के समांतर हैं।

(B) दो सदिशों का सदिश गुणनफल एंटी-कम्यूटेटिव (क्रमविनिमेय नहीं) होता है,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow {A} \times \overrightarrow {B} = -(\overrightarrow {B} \times \overrightarrow {A})$।
यह दर्शाता है कि सदिश $(\overrightarrow {A} \times \overrightarrow {B})$ का परिमाण समान है लेकिन दिशा सदिश $(\overrightarrow {B} \times \overrightarrow {A})$ के विपरीत है।
चूंकि ये दोनों सदिश एक-दूसरे के प्रति-समांतर (anti-parallel) हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ या $\pi$ रेडियन है।

(B) सदिश योग $(\overrightarrow P + \overrightarrow Q)$,$\overrightarrow P$ और $\overrightarrow Q$ सदिशों द्वारा निर्मित तल में स्थित होता है।
सदिश गुणन (क्रॉस प्रोडक्ट) की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $(\overrightarrow P \times \overrightarrow Q)$ हमेशा उस तल के लंबवत होता है जिसमें $\overrightarrow P$ और $\overrightarrow Q$ दोनों स्थित हैं।
चूंकि $(\overrightarrow P + \overrightarrow Q)$ तल में स्थित है और $(\overrightarrow P \times \overrightarrow Q)$ तल के लंबवत है,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।

(D) माना कि दो सदिशों के परिमाण $A = 2$ और $B = 3$ हैं। परिणामी $R$ का सूत्र $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$2^2 + 3^2 + 2(2)(3) \cos \theta = 1^2$ प्राप्त होता है।
$4 + 9 + 12 \cos \theta = 1$.
$13 + 12 \cos \theta = 1$.
$12 \cos \theta = -12$,जिससे $\cos \theta = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = 180^\circ$ है।
दो सदिशों का सदिश गुणनफल $|\vec{A} \times \vec{B}| = AB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\theta = 180^\circ$ है,इसलिए $\sin 180^\circ = 0$ होता है।
अतः,$|\vec{A} \times \vec{B}| = 2 \times 3 \times 0 = 0$।

(D) माना $\vec{A} = 6\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{B} = 7\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{B} = (6)(7) + (6)(4) + (-3)(4) = 42 + 24 - 12 = 54$ है।
$\vec{A}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{6^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9$ है।
$\vec{B}$ का परिमाण $|\vec{B}| = \sqrt{7^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$ है।
सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos \theta = \frac{54}{9 \times 9} = \frac{54}{81} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{2}{3}$,हम $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (2/3)^2} = \sqrt{1 - 4/9} = \sqrt{5/9} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ज्ञात कर सकते हैं।
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$।

(B) मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा को इकाई सदिश $\hat{k}$ द्वारा दर्शाया गया है। अतः,$\vec{A} = A\hat{k}$.
मान लीजिए कि उत्तर दिशा को इकाई सदिश $\hat{j}$ द्वारा दर्शाया गया है। अतः,$\vec{B} = B\hat{j}$.
सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B} = (A\hat{k}) \times (B\hat{j})$ द्वारा दिया जाता है।
इकाई सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट नियमों का उपयोग करते हुए,$\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$.
इसलिए,$\vec{A} \times \vec{B} = AB(-\hat{i}) = -AB\hat{i}$.
चूंकि इकाई सदिश $\hat{i}$ पूर्व दिशा को दर्शाता है,इसलिए $-\hat{i}$ पश्चिम दिशा को दर्शाता है।
अतः,$\vec{A} \times \vec{B}$ की दिशा पश्चिम की ओर है।

(D) माना $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\vec{B} = \hat{i} - \hat{k}$ है।
डॉट प्रोडक्ट (अदिश गुणन) $\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(-1) = 1$ द्वारा प्राप्त होता है।
इनके परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ और $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ हैं।
सदिशों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$ है।

(B) दिया गया है कि $|\overrightarrow A \times \overrightarrow B | = |\overrightarrow A \cdot \overrightarrow B |$ है।
सदिश गुणन और अदिश गुणन की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$|\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \sin \theta = |\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \cos \theta$.
दोनों पक्षों को $|\overrightarrow A | |\overrightarrow B | \cos \theta$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $\overrightarrow A, \overrightarrow B \neq 0$):
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$.
$\tan \theta = 1$.
चूंकि $\tan 45^\circ = 1$ होता है,इसलिए कोण $\theta = 45^\circ$ होगा।

(A) दाएं हाथ की कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में,इकाई सदिश $\hat i, \hat j, \hat k$ चक्रीय क्रम $\hat i \times \hat j = \hat k$,$\hat j \times \hat k = \hat i$,और $\hat k \times \hat i = \hat j$ का पालन करते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $\hat j \times \hat k = \hat i$ सही है।
विकल्प $B$ के लिए: $\hat i \cdot \hat i = 1$ ($0$ नहीं)।
विकल्प $C$ के लिए: $\hat j \times \hat j = 0$ ($1$ नहीं)।
विकल्प $D$ के लिए: $\hat k \cdot \hat j = 0$ (क्योंकि वे लंबवत हैं,$1$ नहीं)।
अतः,विकल्प $A$ सही संबंध है।

(D) दिया गया है कि $\vec a \cdot \vec b = 0$,इसका अर्थ है कि सदिश $\vec a$,सदिश $\vec b$ के लंबवत है।
दिया गया है कि $\vec a \cdot \vec c = 0$,इसका अर्थ है कि सदिश $\vec a$,सदिश $\vec c$ के लंबवत है।
सदिश गुणन (cross product) की परिभाषा के अनुसार,$\vec b \times \vec c$ एक ऐसा सदिश है जो $\vec b$ और $\vec c$ दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि $\vec a$,$\vec b$ और $\vec c$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\vec a$,$\vec b \times \vec c$ के समानांतर होगा।

(C) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल,जिसके विकर्ण $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ हैं,का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$।
यहाँ $\vec{d_1} = 2\,\hat{i}$ और $\vec{d_2} = 2\,\hat{j}$ दिया गया है।
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (2\,\hat{i}) \times (2\,\hat{j}) = 4(\hat{i} \times \hat{j}) = 4\,\hat{k}$।
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4\,\hat{k}| = \frac{1}{2} \times 4 = 2\,\text{वर्ग इकाई}$।

(C) माना $\vec A = 2\hat i + 2\hat j - \hat k$ और $\vec B = 6\hat i - 3\hat j + 2\hat k$ है।
$\vec A$ और $\vec B$ दोनों के लंबवत सदिश उनके क्रॉस गुणनफल $\vec C = \vec A \times \vec B$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec C = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat i(4 - 3) - \hat j(4 + 6) + \hat k(-6 - 12) = \hat i - 10\hat j - 18\hat k$ है।
इकाई सदिश $\hat n = \frac{\vec C}{|\vec C|}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec C| = \sqrt{1^2 + (-10)^2 + (-18)^2} = \sqrt{1 + 100 + 324} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17}$ है।
अतः,$\hat n = \frac{\hat i - 10\hat j - 18\hat k}{5\sqrt{17}}$ है।

(B) मान लीजिए कि समांतर चतुर्भुज की भुजाओं को निरूपित करने वाले दो सदिश $\vec{A} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{B} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल (cross product) के परिमाण के बराबर होता है: $\text{Area} = |\vec{A} \times \vec{B}|$.
सबसे पहले,सारणिक विधि का उपयोग करके सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((1)(-1) - (3)(2)) - \hat{j}((0)(-1) - (3)(1)) + \hat{k}((0)(2) - (1)(1))$
$= \hat{i}(-1 - 6) - \hat{j}(0 - 3) + \hat{k}(0 - 1)$
$= -7\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}$.
अब,प्राप्त सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-7)^2 + (3)^2 + (-1)^2}$
$= \sqrt{49 + 9 + 1} = \sqrt{59}$ वर्ग इकाई।

(D) हम सदिश गुणन (cross product) के वितरण नियम का उपयोग करते हैं:
$(\vec A + \vec B) \times (\vec A - \vec B) = \vec A \times \vec A - \vec A \times \vec B + \vec B \times \vec A - \vec B \times \vec B$
चूंकि किसी भी सदिश का स्वयं के साथ सदिश गुणन शून्य होता है ($\vec A \times \vec A = 0$ और $\vec B \times \vec B = 0$):
$= 0 - (\vec A \times \vec B) + (\vec B \times \vec A) - 0$
सदिश गुणन के प्रति-क्रमविनिमेय गुण (anticommutative property) का उपयोग करते हुए $(\vec A \times \vec B = -(\vec B \times \vec A))$:
$= -(\vec A \times \vec B) + (\vec B \times \vec A) = (\vec B \times \vec A) + (\vec B \times \vec A) = 2(\vec B \times \vec A)$

(D) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec A \cdot \vec B = 0$।
दिया गया है कि $\vec A = 5\hat i + 7\hat j - 3\hat k$ और $\vec B = 2\hat i + 2\hat j - a\hat k$ है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(5\hat i + 7\hat j - 3\hat k) \cdot (2\hat i + 2\hat j - a\hat k) = 0$
$(5)(2) + (7)(2) + (-3)(-a) = 0$
$10 + 14 + 3a = 0$
$24 + 3a = 0$
$3a = -24$
$a = -8$.

(B) दो आसन्न सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल (cross product) के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात $\text{Area} = |\vec{A} \times \vec{B}|$.
मान लीजिए $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{B} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
सदिश गुणनफल की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(2(1) - 3(-2)) - \hat{j}(1(1) - 3(3)) + \hat{k}(1(-2) - 2(3))$
$= \hat{i}(2 + 6) - \hat{j}(1 - 9) + \hat{k}(-2 - 6)$
$= 8\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}$
इसका परिमाण है:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64 + 64} = \sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3} = 8\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
चूंकि सदिश परस्पर लंबवत हैं,इसलिए कोण $\theta = 90^\circ$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $\vec{A} \cdot \vec{B} = |A||B| \cos 90^\circ$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 90^\circ = 0$ होता है,इसलिए अदिश गुणनफल $|A||B| \times 0 = 0$ होगा।

(D) दिया गया है: $|\vec A \times \vec B| = \sqrt 3 (\vec A \cdot \vec B)$
सदिश गुणन और अदिश गुणन की परिभाषा का उपयोग करने पर: $AB \sin \theta = \sqrt 3 AB \cos \theta$
दोनों पक्षों को $AB \cos \theta$ से विभाजित करने पर: $\tan \theta = \sqrt 3$
अतः,$\theta = 60^\circ$
परिणामी सदिश $|\vec A + \vec B|$ का परिमाण: $|\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
$\theta = 60^\circ$ रखने पर: $|\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos 60^\circ}$
चूंकि $\cos 60^\circ = 1/2$ है: $|\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1/2)}$
अतः,$|\vec A + \vec B| = (A^2 + B^2 + AB)^{1/2}$

(C) दो सदिशों $\vec A$ और $\vec B$ का सदिश गुणनफल $\vec A \times \vec B = AB \sin \theta \, \hat{n}$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है और $\hat{n}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec A$ और $\vec B$ वाले तल के लंबवत है।
यदि दो सदिश समानांतर हैं,तो उनके बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ होता है।
चूंकि $\sin(0^\circ) = 0$ होता है,इसलिए सदिश गुणनफल का परिमाण $AB \sin(0^\circ) = 0$ हो जाता है।
दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश राशि होती है। इसलिए,दो समानांतर सदिशों के सदिश गुणनफल का परिणाम शून्य सदिश होता है,जिसे $\vec{0}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -6 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-6)(-2) - (2)(1)) - \hat{j}((3)(-2) - (2)(2)) + \hat{k}((3)(1) - (-6)(2))$
$= \hat{i}(12 - 2) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(3 + 12)$
$= 10\hat{i} + 10\hat{j} + 15\hat{k}$.
अब,इसका परिमाण $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \sqrt{10^2 + 10^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 100 + 225} = \sqrt{425} = \sqrt{25 \times 17} = 5\sqrt{17}$.
अतः,$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 5\sqrt{17} = \frac{5}{2}\sqrt{17}$ वर्ग इकाई।

(D) सदिश $\vec{A}$ का सदिश $\vec{B}$ की दिशा में घटक ज्ञात करने का सूत्र: $\vec{A}_{\text{along } B} = \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} \right) \hat{B} = \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|^2} \right) \vec{B}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{B} = (3\hat{i} + \hat{j}) \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}) = (3)(0) + (1)(1) + (0)(2) = 1$ प्राप्त करें।
इसके बाद,$\vec{B}$ के परिमाण का वर्ग $|\vec{B}|^2 = (0)^2 + (1)^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$ प्राप्त करें।
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\vec{A}_{\text{along } B} = \frac{1}{5} (\hat{j} + 2\hat{k})$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B} = |A||B| \sin(\theta) \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि सदिश गुणनफल शून्य है,तो $\sin(\theta) = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\theta = 0^\circ$ या $\theta = 180^\circ$।
इसका मतलब है कि दोनों सदिश संरेख (समांतर या प्रति-समांतर) होने चाहिए।
दिया गया है कि $\vec{F_1}$ धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\vec{F_1} = c\hat{i}$ जहाँ $c > 0$ है।
$\vec{F_2}$ को $\vec{F_1}$ के साथ संरेख होने के लिए,इसे किसी भी अदिश $k$ के लिए $k\hat{i}$ के रूप में होना चाहिए।
विकल्पों को देखने पर,विकल्प $D$ $-4\hat{i}$ है,जो $X$-अक्ष के समानांतर (प्रति-समानांतर) है।
इसलिए,सदिश गुणनफल $\vec{F_1} \times \vec{F_2} = (c\hat{i}) \times (-4\hat{i}) = -4c(\hat{i} \times \hat{i}) = 0$ होगा।

(A) दिया गया है कि $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}$,इसका अर्थ है कि $\vec{A}$,$\vec{B}$ के समांतर है $(\vec{A} \parallel \vec{B})$.
दिया गया है कि $\vec{B} \times \vec{C} = \vec{0}$,इसका अर्थ है कि $\vec{B}$,$\vec{C}$ के समांतर है $(\vec{B} \parallel \vec{C})$.
चूंकि $\vec{A}$ और $\vec{C}$ दोनों एक ही सदिश $\vec{B}$ के समांतर हैं,इसलिए $\vec{A}$,$\vec{C}$ के समांतर होगा $(\vec{A} \parallel \vec{C})$.
अतः,$\vec{A}$ और $\vec{C}$ के बीच का कोण $0$ है।

(A) सदिश $\vec{a}$ की दिशा में सदिश $\vec{r}$ का घटक,$\vec{r}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप (projection) होता है।
यह एक सदिश राशि है जिसे प्रक्षेप सदिश कहा जाता है।
$\vec{r}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप का सूत्र है:
$\text{घटक} = (\vec{r} \cdot \hat{a}) \hat{a}$
चूंकि इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{a}$ है,इसलिए हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\text{घटक} = \left( \vec{r} \cdot \frac{\vec{a}}{a} \right) \frac{\vec{a}}{a}$
$\text{घटक} = \frac{(\vec{r} \cdot \vec{a}) \vec{a}}{a^2}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$।
यहाँ $\vec{d_1} = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{d_2} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(12 - (-2)) + \hat{k}(-9 - 1) = -2\hat{i} - 14\hat{j} - 10\hat{k}$।
अब,इस सदिश का परिमाण (magnitude) ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-14)^2 + (-10)^2} = \sqrt{4 + 196 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$।
अंत में,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(D) माना कि $\vec{C} = \vec{B} \times \vec{A}$ है।
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,सदिश $\vec{C}$,$\vec{B}$ और $\vec{A}$ दोनों के लंबवत होता है।
इसलिए,$\vec{C} \cdot \vec{A} = 0$,क्योंकि दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल हमेशा शून्य होता है।
अतः,$(\vec{B} \times \vec{A}) \cdot \vec{A} = 0$।

(D) माना कि $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{B} = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos\theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणन (dot product) की गणना करने पर: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(-3) + (3)(0) + (1)(6) = -6 + 0 + 6 = 0$.
चूँकि अदिश गुणन $0$ है,इसलिए $\cos\theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^\circ$ है।

(B) मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा को इकाई सदिश $\hat{k}$ द्वारा और उत्तर दिशा को इकाई सदिश $\hat{j}$ द्वारा दर्शाया गया है।
अतः,$\vec{A} = A\hat{k}$ और $\vec{B} = B\hat{j}$ है।
सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B} = (A\hat{k}) \times (B\hat{j})$ द्वारा दिया जाता है।
इकाई सदिशों के क्रॉस गुणनफल के नियमों का उपयोग करते हुए,$\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ होता है।
इसलिए,$\vec{A} \times \vec{B} = -AB\hat{i}$ प्राप्त होता है।
इकाई सदिश $-\hat{i}$ पश्चिम दिशा की ओर इंगित करता है। अतः,सदिश गुणनफल पश्चिम की ओर है।

(B) सदिशों $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n}$ को $\hat{n} = \frac{\vec{P} \times \vec{Q}}{|\vec{P} \times \vec{Q}|}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हम जानते हैं कि क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण $|\vec{P} \times \vec{Q}| = PQ \sin \theta$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $\hat{n} = \frac{\vec{P} \times \vec{Q}}{PQ \sin \theta}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\hat{P} = \frac{\vec{P}}{P}$ और $\hat{Q} = \frac{\vec{Q}}{Q}$ है,इसलिए हम इस व्यंजक को $\hat{n} = \frac{\vec{P}}{P} \times \frac{\vec{Q}}{Q} \cdot \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\hat{P} \times \hat{Q}}{\sin \theta}$ के रूप में लिख सकते हैं।

(C) $\vec{A}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{A} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 \times 2 - 0 \times 1) - \hat{j}(3 \times 2 - 0 \times 0) + \hat{k}(3 \times 1 - 1 \times 0) = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{2\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}}{7} = \frac{2}{7}\hat{i} - \frac{6}{7}\hat{j} + \frac{3}{7}\hat{k}$ है।

(A) व्यंजक $(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$ है।
डॉट प्रोडक्ट के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) + \vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$.
पद $\vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$ सदिशों $\vec{A}, \vec{A}$ और $\vec{B}$ का अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) है। चूंकि दो सदिश समान हैं,इसलिए बनने वाले समांतर षट्फलक का आयतन शून्य होगा,अतः $\vec{A} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = 0$.
इसी प्रकार,$\vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$ सदिशों $\vec{B}, \vec{A}$ और $\vec{B}$ का अदिश त्रिक गुणन है। दो सदिश समान होने के कारण,$\vec{B} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = 0$.
अतः,कुल मान $0 + 0 = 0$ है।

(D) दो सदिशों का सदिश गुणनफल एंटी-कम्यूटेटिव (anti-commutative) होता है,जिसका अर्थ है $\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$।
दी गई शर्त $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{A}$ में एंटी-कम्यूटेटिव गुण को प्रतिस्थापित करने पर:
$-(\vec{B} \times \vec{A}) = \vec{B} \times \vec{A}$।
इसका तात्पर्य है कि $2(\vec{B} \times \vec{A}) = 0$,इसलिए $\vec{B} \times \vec{A} = 0$।
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{B} \times \vec{A}| = |B||A| \sin(\theta) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सदिश शून्य नहीं हैं,इसलिए $\sin(\theta) = 0$,जिसका अर्थ है $\theta = 0$ या $\theta = \pi$।
हालाँकि,सदिश गुणनफल के लिए $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{B} \times \vec{A}$ समानता को संतुष्ट करने के लिए,दोनों पक्षों को शून्य सदिश होना चाहिए। यह तब होता है जब सदिश समानांतर $(\theta = 0)$ या प्रति-समानांतर $(\theta = \pi)$ हों। दिए गए विकल्पों में से,$\pi$ सही विकल्प है।