Addition and Subtraction of Vectors Questions in Hindi

(B) माना $\theta = 60^{\circ}$ सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है। माना $\alpha = 45^{\circ}$ परिणामी सदिश $\overrightarrow{R}$ और $\overrightarrow{a}$ के बीच का कोण है।
परिणामी सदिश की दिशा के सूत्र का उपयोग करने पर: $\tan \alpha = \frac{b \sin \theta}{a + b \cos \theta}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\tan 45^{\circ} = \frac{2 \sin 60^{\circ}}{a + 2 \cos 60^{\circ}}$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$1 = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2})}{a + 2(\frac{1}{2})}$
$1 = \frac{\sqrt{3}}{a + 1}$
$a + 1 = \sqrt{3}$
$a = \sqrt{3} - 1$.

(C) परिणामी सदिश $R$ का परिमाण सूत्र द्वारा दिया जाता है: $|R| = \sqrt{|P|^2 + |Q|^2 + 2|P||Q| \cos \theta}$,जहाँ $\theta$ सदिशों $P$ और $Q$ के बीच का कोण है।
दिया गया है: $|P| = |Q| = \sqrt{3}$ और $|R| = 3$।
सूत्र में मान रखने पर:
$3 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{3}) \cos \theta}$
$3 = \sqrt{3 + 3 + 6 \cos \theta}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9 = 6 + 6 \cos \theta$
$3 = 6 \cos \theta$
$\cos \theta = 3 / 6 = 1 / 2$
चूँकि $\cos \theta = 1 / 2$,इसलिए कोण $\theta = 60^{\circ}$ या $\pi / 3$ रेडियन होगा।

(C) और $B$ परिमाण वाले दो सदिशों का परिणामी $R$ असमिका $|A - B| \leq R \leq A + B$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$13 \, cm$ का परिणामी सदिश संभव होने के लिए,दिए गए परिमाणों को $|A - B| \leq 13 \leq A + B$ को संतुष्ट करना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A) \, |4 - 16| = 12$ और $4 + 16 = 20$. चूँकि $12 \leq 13 \leq 20$,यह संभव है।
$B) \, |20 - 7| = 13$ और $20 + 7 = 27$. चूँकि $13 \leq 13 \leq 27$,यह संभव है।
$C) \, |1 - 15| = 14$ और $1 + 15 = 16$. चूँकि $14 \leq 13 \leq 16$ गलत है,इसलिए यह संभव नहीं है।
$D) \, |6 - 8| = 2$ और $6 + 8 = 14$. चूँकि $2 \leq 13 \leq 14$,यह संभव है।
अतः,वह जोड़ा जो $13 \, cm$ का परिणामी सदिश नहीं दे सकता,वह $1 \, cm$ और $15 \, cm$ है।

(A) परिणामी सदिश $\overrightarrow C = \overrightarrow A + \overrightarrow B$ का परिमाण $|\overrightarrow C| = \sqrt{|\overrightarrow A|^2 + |\overrightarrow B|^2 + 2|\overrightarrow A||\overrightarrow B| \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों $\overrightarrow A$ और $\overrightarrow B$ के बीच का कोण है।
कथन $(A)$: यदि $\overrightarrow A$ और $\overrightarrow B$ ऐसे सदिश हैं कि उनका योग $\overrightarrow C$ दोनों से छोटा परिमाण रखता है,तो यह संभव है यदि उनके बीच का कोण अधिक कोण (obtuse angle) हो (विशेष रूप से,$90^\circ < \theta \le 180^\circ$)। अतः,$(A)$ सही है।
कथन $(B)$: यह गलत है क्योंकि यदि $\overrightarrow B$ एक शून्य सदिश है या यदि कोण $\theta$ ऐसा है कि परिणामी परिमाण कम हो जाता है,तो $|\overrightarrow C|$ का मान $|\overrightarrow A|$ से कम या उसके बराबर हो सकता है।
कथन $(C)$: यदि $\overrightarrow A$ और $\overrightarrow B$ एक ही दिशा में हैं $(\theta = 0^\circ)$,तो $|\overrightarrow C| = |\overrightarrow A| + |\overrightarrow B|$ होता है। अतः,$(C)$ सही है।
कथन $(D)$: यह $(C)$ का निषेध है और इसलिए यह गलत है।
चूंकि $(A)$ और $(C)$ सही हैं,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए $\vec{A} + \vec{B} = \vec{R}$ है।
दिया गया है कि $\vec{A}$ के घटक $A_x = 7$ और $A_y = 6$ हैं।
परिणामी सदिश $\vec{R}$ के घटक $R_x = 11$ और $R_y = 9$ हैं।
चूंकि $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$,इसलिए $\vec{B} = \vec{R} - \vec{A}$ होगा।
$\vec{B}$ के घटक इस प्रकार हैं:
$B_x = R_x - A_x = 11 - 7 = 4$
$B_y = R_y - A_y = 9 - 6 = 3$
$\vec{B}$ का परिमाण $|\vec{B}| = \sqrt{B_x^2 + B_y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{B}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(B) परिणामी सदिश $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\vec{C}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
दिए गए मान $|\vec{A}| = 4, |\vec{B}| = 5$ और $|\vec{C}| = \sqrt{61}$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(\sqrt{61})^2 = 4^2 + 5^2 + 2(4)(5) \cos \theta$
$61 = 16 + 25 + 40 \cos \theta$
$61 = 41 + 40 \cos \theta$
$61 - 41 = 40 \cos \theta$
$20 = 40 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,इसलिए कोण $\theta = 60^o$ होगा।

(A) माना सदिशों का परिमाण $|\vec A| = |\vec B| = A$ है।
दिया गया है कि $|\vec A + \vec B| = n |\vec A - \vec B|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec A + \vec B|^2 = n^2 |\vec A - \vec B|^2$ प्राप्त होता है।
सदिश सर्वसमिका $|\vec A \pm \vec B|^2 = A^2 + B^2 \pm 2AB \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta = n^2 (A^2 + A^2 - 2A^2 \cos \theta)$.
$2A^2 (1 + \cos \theta) = n^2 [2A^2 (1 - \cos \theta)]$.
दोनों पक्षों को $2A^2$ से विभाजित करने पर:
$1 + \cos \theta = n^2 (1 - \cos \theta)$.
$1 + \cos \theta = n^2 - n^2 \cos \theta$.
$\cos \theta (1 + n^2) = n^2 - 1$.
$\cos \theta = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1} \left[ \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} \right]$।

(A) माना परिमाण $P = 2F$ और $Q = 3F$ हैं। दो सदिशों $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ का परिणामी बल $R_1$ इस प्रकार है: $R_1^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$.
मान रखने पर: $R_1^2 = (2F)^2 + (3F)^2 + 2(2F)(3F) \cos \theta = 4F^2 + 9F^2 + 12F^2 \cos \theta = F^2(13 + 12 \cos \theta)$.
जब बल $Q$ को दोगुना किया जाता है,तो नया बल $Q' = 2Q = 6F$ होता है। नया परिणामी बल $R_2 = 2R_1$ है,इसलिए $R_2^2 = 4R_1^2$ होगा।
नया परिणामी बल $R_2$ इस प्रकार है: $R_2^2 = P^2 + (Q')^2 + 2P(Q') \cos \theta$.
मान रखने पर: $R_2^2 = (2F)^2 + (6F)^2 + 2(2F)(6F) \cos \theta = 4F^2 + 36F^2 + 24F^2 \cos \theta = F^2(40 + 24 \cos \theta)$.
$R_2^2 = 4R_1^2$ को बराबर करने पर: $F^2(40 + 24 \cos \theta) = 4 \times F^2(13 + 12 \cos \theta)$.
$4F^2$ से भाग देने पर: $10 + 6 \cos \theta = 13 + 12 \cos \theta$.
$-3 = 6 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta = -1/2$.
अतः,$\theta = 120^o$।

(A) दिए गए सदिश $A = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $B = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $(A - B)$ की गणना करें:
$A - B = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (-\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$
$A - B = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} + \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$A - B = 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2A$
चूंकि $(A - B)$,$A$ का एक धनात्मक अदिश गुणज है,इसलिए सदिश $(A - B)$,$A$ के समानांतर है।
अतः,$(A - B)$ और $A$ के बीच का कोण $0^{\circ}$ है।

(A) दो सदिशों का परिणामी ज्ञात करने के लिए,हमें उनके बीच का वह कोण लेना चाहिए जब वे पूंछ-से-पूंछ जुड़े हों।
दिए गए चित्र में,दो सदिशों के बीच का कोण $120^{\circ}$ है।
परिणामी $R$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta}$
यहाँ,$P = 10$ $dyne$,$Q = 10$ $dyne$,और $\theta = 120^{\circ}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \sqrt{(10)^2 + (10)^2 + 2(10)(10) \cos 120^{\circ}}$
चूंकि $\cos 120^{\circ} = -1/2$:
$R = \sqrt{100 + 100 + 200(-1/2)}$
$R = \sqrt{100 + 100 - 100}$
$R = \sqrt{100} = 10$ $dyne$.

(C) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं।
दिया गया है कि उनके योग का परिमाण उनके अंतर के परिमाण के बराबर है: $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A} - \vec{B}|^2$.
$|\vec{a} \pm \vec{b}|^2 = A^2 + B^2 \pm 2AB \cos \theta$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$.
दोनों पक्षों से $A^2 + B^2$ घटाने पर: $2AB \cos \theta = -2AB \cos \theta$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $4AB \cos \theta = 0$.
चूंकि $A$ और $B$ शून्यतर सदिश हैं,इसलिए $\cos \theta = 0$.
अतः,$\theta = 90^{\circ}$।

(D) कुल विस्थापन $\vec{d}$ व्यक्तिगत विस्थापनों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ के योग द्वारा प्राप्त होता है।
सबसे पहले,दी गई दिशाओं के लिए इकाई सदिश ज्ञात करें:
पहले सदिश $\vec{v_1} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ के लिए,परिमाण $|\vec{v_1}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$ है।
इकाई सदिश $\hat{u_1} = \frac{6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}}{7}$ है।
अतः,$\vec{d_1} = 21 \times \hat{u_1} = 21 \times \frac{6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}}{7} = 3(6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 18\hat{i} + 6\hat{j} + 9\hat{k}$।
दूसरे सदिश $\vec{v_2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}$ के लिए,परिमाण $|\vec{v_2}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
इकाई सदिश $\hat{u_2} = \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7}$ है।
अतः,$\vec{d_2} = 14 \times \hat{u_2} = 14 \times \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7} = 2(3\hat{i} - 2\hat{j} + 6\hat{k}) = 6\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}$।
कुल विस्थापन $\vec{d} = \vec{d_1} + \vec{d_2} = (18\hat{i} + 6\hat{j} + 9\hat{k}) + (6\hat{i} - 4\hat{j} + 12\hat{k}) = 24\hat{i} + 2\hat{j} + 21\hat{k}$।

(B) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के परिणामी का अधिकतम परिमाण $R_{\text{max}} = |\vec{a}| + |\vec{b}| = a + b$ द्वारा दिया जाता है।
परिणामी का न्यूनतम परिमाण $R_{\text{min}} = |\vec{a}| - |\vec{b}| = a - b$ (मान लीजिए $a > b$) द्वारा दिया जाता है।
दिया गया अनुपात $\frac{R_{\text{max}}}{R_{\text{min}}} = \frac{3}{1}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{a + b}{a - b} = \frac{3}{1}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर,$a + b = 3(a - b)$ प्राप्त होता है।
$a + b = 3a - 3b$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$4b = 2a$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 2b$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a}| = 2|\vec{b}|$।

(C) दो बलों $F_1$ और $F_2$ का परिणामी बल $R$,$|F_1 - F_2| \leq R \leq F_1 + F_2$ की सीमा में होता है।
यहाँ $F_1 = 5\, N$ और $F_2 = 7\, N$ दिया गया है।
न्यूनतम परिणामी बल $F_{min} = |7 - 5| = 2\, N$ है।
अधिकतम परिणामी बल $F_{max} = 7 + 5 = 12\, N$ है।
इसलिए,परिणामी बल $[2\, N, 12\, N]$ की सीमा में होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,$14\, N$ इस सीमा से बाहर है,इसलिए यह परिणामी बल नहीं हो सकता है।

(C) दो सदिशों $A$ और $B$ का परिणामी सदिश $C$,जिनके बीच का कोण $\theta$ है,का परिमाण $C = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\theta = 120^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\cos 120^{\circ} = -0.5$ होगा।
अतः,$C = \sqrt{A^2 + B^2 - AB}$।
अब,अंतर सदिश $D = |A - B| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta} = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos 120^{\circ}} = \sqrt{A^2 + B^2 + AB}$।
$C = \sqrt{A^2 + B^2 - AB}$ और $D = \sqrt{A^2 + B^2 + AB}$ की तुलना करने पर,यह स्पष्ट है कि $C < D$ है,लेकिन सदिशों के परिमाण के संदर्भ में सही संबंध $C > |A - B|$ है।

(B) स्थिति $1$: दिया गया है $\vec A + \vec B = \vec C$ और $A = B = C$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\vec A + \vec B|^2 = |\vec C|^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = C^2$,जहाँ $\theta$ $\vec A$ और $\vec B$ के बीच का कोण है। चूँकि $A=B=C$ है,इसलिए $A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta = A^2$,जिससे $2A^2 \cos \theta = -A^2$ प्राप्त होता है,अर्थात $\cos \theta = -1/2$,तो $\theta = 120^\circ$। $\vec A$ और $\vec C$ के बीच का कोण $\theta_1 = 60^\circ$ है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)।
स्थिति $2$: दिया गया है $\vec A + \vec B + \vec C = 0$ और $A = B = C$। यह एक समबाहु त्रिभुज बनाता है। $\vec A$ और $\vec C$ के बीच का कोण बाह्य कोण है,जो $\theta_2 = 120^\circ$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$\theta_2 = 2\theta_1$,या $\theta_1 = \theta_2 / 2$।

(B) माना $\vec P = P \hat{i}$ और $\vec Q = Q_x \hat{i} + Q_y \hat{j}$ है।
दिया गया है कि परिणामी सदिश $\vec R = \vec P + \vec Q$,$y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-घटक शून्य है।
$R_x = P + Q_x = 0 \implies Q_x = -P$।
$\vec Q$ का परिमाण $8$ है,इसलिए $Q_x^2 + Q_y^2 = 8^2 = 64$।
$Q_x = -P$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P^2 + Q_y^2 = 64$ प्राप्त होता है।
परिणामी सदिश $\vec R$,$y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए $\vec R = R_y \hat{j} = (P + Q_y) \hat{j}$ (चूंकि $P+Q_x=0$,$x$-घटक शून्य है)।
दिया गया है कि $|\vec R| = 2|\vec P| = 2P$,इसलिए $Q_y = 2P$।
$Q_y = 2P$ को $P^2 + Q_y^2 = 64$ में रखने पर:
$P^2 + (2P)^2 = 64$
$P^2 + 4P^2 = 64$
$5P^2 = 64$
$P^2 = \frac{64}{5}$
$P = \sqrt{\frac{64}{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$।

(A) दिए गए सदिश $A = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $B = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $C = A - B$ की गणना करें:
$C = (2 - 2)\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (1 - 3)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
इसके बाद,सदिश $C$ का परिमाण (magnitude) ज्ञात करें:
$|C| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}$.
दिक्-कोज्या $(l, m, n)$ सदिश के घटकों को उसके परिमाण से विभाजित करने पर प्राप्त होते हैं:
$l = \frac{C_x}{|C|} = \frac{0}{\sqrt{5}} = 0$.
$m = \frac{C_y}{|C|} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$n = \frac{C_z}{|C|} = \frac{-2}{\sqrt{5}}$.
अतः,दिक्-कोज्या $0, \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{-2}{\sqrt{5}}$ हैं।

(C) मान लीजिए $\vec B$,$x$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए $\vec B = 1 \hat{i}$.
दिया गया है कि $\vec A$ का परिमाण $2$ है और $\vec A$ तथा $\vec B$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं $\vec A = 2(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \sin 60^{\circ} \hat{j}) = 2(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}) = \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}$.
अब,सदिश $\vec C = \frac{\vec A}{2} - \vec B$ की गणना करते हैं:
$\vec C = \frac{1}{2}(\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) - \hat{i} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j} - \hat{i} = -\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}$.
$\vec C$ का परिमाण $|\vec C| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$ है.
अतः,सदिश का परिमाण $1$ है।

(B) मान लीजिए पूर्व दिशा का इकाई सदिश $\hat{i}$ और उत्तर दिशा का इकाई सदिश $\hat{j}$ है।
$s_1 = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} \hat{i} + \sqrt{2} \sin 45^{\circ} \hat{j} = \hat{i} + \hat{j}$
$s_2 = -2 \hat{j}$ (क्योंकि यह दक्षिण दिशा में है)
$s_3 = 4 \cos 150^{\circ} \hat{i} + 4 \sin 150^{\circ} \hat{j} = 4(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \hat{i} + 4(\frac{1}{2}) \hat{j} = -2\sqrt{3} \hat{i} + 2 \hat{j}$
कुल विस्थापन $\vec{s} = s_1 + s_2 + s_3 = (1 - 2\sqrt{3}) \hat{i} + (1 - 2 + 2) \hat{j} = (1 - 2\sqrt{3}) \hat{i} + \hat{j}$
परिमाण $|\vec{s}| = \sqrt{(1 - 2\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 12 - 4\sqrt{3} + 1} = \sqrt{14 - 4\sqrt{3}} \ m$.

(D) सदिशों के एक समूह का परिणामी शून्य सदिश होने के लिए,उन्हें एक बंद बहुभुज बनाना चाहिए जब उन्हें एक के बाद एक रखा जाए।
यदि $n = 2$ है,तो शून्य सदिश प्राप्त करने के लिए सदिशों के परिमाण समान और दिशाएँ विपरीत होनी चाहिए। चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि सदिशों के परिमाण अलग-अलग हैं,इसलिए $n = 2$ संभव नहीं है।
यदि $n = 3$ है,तो सदिश एक त्रिभुज बना सकते हैं,जो एक बंद बहुभुज है,बशर्ते कि किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा से अधिक हो।
किसी भी $n \ge 3$ के लिए,अलग-अलग परिमाण वाले सदिशों के साथ एक बंद बहुभुज बनाना संभव है।
इसलिए,$n$ का मान $2$ नहीं हो सकता है।

(A) $\triangle OAB$ में,$C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\triangle OAC$ में,$\vec{p} = \vec{r} + \vec{AC} \implies \vec{AC} = \vec{p} - \vec{r}$.
$\triangle OBC$ में,$\vec{q} = \vec{r} + \vec{BC} \implies \vec{BC} = \vec{q} - \vec{r}$.
चूंकि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,सदिश $\vec{AC}$ सदिश $\vec{CB}$ के बराबर है।
इसलिए,$\vec{AC} = -\vec{BC}$.
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\vec{p} - \vec{r} = -(\vec{q} - \vec{r})$.
$\vec{p} - \vec{r} = -\vec{q} + \vec{r}$.
$\vec{p} + \vec{q} = 2\vec{r}$.
अतः,सही संबंध $p+q=2r$ है।

(D) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,यदि दो सदिशों को एक त्रिभुज की दो भुजाओं द्वारा क्रम में दर्शाया जाता है,तो उनका योग विपरीत क्रम में तीसरी भुजा द्वारा दर्शाया जाता है।
चित्र से,सदिश $Z$ के लिए,यह उनके द्वारा बने त्रिभुज में सदिश $B$ और $C$ का परिणामी है। अतः,$Z = B + C$। यह पुष्टि करता है कि विकल्प $(c)$ सही है।
सदिश $Y$ के लिए,$A$,$Y$ और सदिश $Z$ (जो $B+C$ है) द्वारा बने त्रिभुज पर विचार करने पर,हमारे पास $A + Y = Z$ है। इसलिए,$Y = Z - A = B + C - A$। यह पुष्टि करता है कि विकल्प $(b)$ सही है।
चूंकि $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं,इसलिए विकल्प $(d)$ सही उत्तर है।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक बिंदु मूल बिंदु $(0,0)$ है।
पहला विस्थापन सदिश $\vec{d_1} = 6 \cos(45^\circ) \hat{i} + 6 \sin(45^\circ) \hat{j} = 3\sqrt{2} \hat{i} + 3\sqrt{2} \hat{j} \, km$.
दूसरा विस्थापन सदिश $\vec{d_2} = 4 \cos(135^\circ) \hat{i} + 4 \sin(135^\circ) \hat{j} = -2\sqrt{2} \hat{i} + 2\sqrt{2} \hat{j} \, km$.
परिणामी विस्थापन $\vec{R} = \vec{d_1} + \vec{d_2} = \sqrt{2} \hat{i} + 5\sqrt{2} \hat{j} \, km$.
परिमाण $R = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 50} = \sqrt{52} \, km$.
पूर्व के साथ कोण $\theta$: $\tan \theta = \frac{R_y}{R_x} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5 \implies \theta = \tan^{-1}(5)$.

(C) मान लीजिए कि दो बल $\vec{F}_1$ (पूर्व की ओर) और $\vec{F}_2$ (उत्तर की ओर) हैं।
चूंकि परिमाण समान हैं,इसलिए $|\vec{F}_1| = |\vec{F}_2| = F$ लें।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,परिणामी बल $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ होता है।
चूंकि पूर्व और उत्तर दिशाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए परिणामी बल इन दो सदिशों द्वारा निर्मित वर्ग के विकर्ण के अनुदिश कार्य करेगा।
यह विकर्ण ठीक उत्तर-पूर्व दिशा में इंगित करता है।
इसलिए,वस्तु उत्तर-पूर्व दिशा में विस्थापित होगी।

(B) दिया गया है: सदिशों के परिमाण $P = x$ और $Q = x$ हैं। उनके बीच का कोण $\theta = 45^\circ$ है। परिणामी सदिश का परिमाण $R = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ है।
सदिश योग के सूत्र का उपयोग करने पर: $R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta}$.
मान रखने पर: $R = \sqrt{x^2 + x^2 + 2(x)(x) \cos 45^\circ}$.
चूंकि $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $R = \sqrt{2x^2 + 2x^2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $R = \sqrt{2x^2 + \sqrt{2}x^2} = \sqrt{x^2(2 + \sqrt{2})} = x\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
इसे दिए गए परिणामी के साथ बराबर करने पर: $x\sqrt{2 + \sqrt{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
अतः,$x = 1$.

(B) दिया गया है कि $|\overrightarrow{P} + \overrightarrow{Q}| = |\overrightarrow{P}|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta = P^2$ प्राप्त होता है,जहाँ $\theta$,$\overrightarrow{P}$ और $\overrightarrow{Q}$ के बीच का कोण है।
यह $Q^2 + 2PQ \cos \theta = 0$ या $Q(Q + 2P \cos \theta) = 0$ में सरल हो जाता है।
चूँकि $Q \neq 0$,इसलिए $Q + 2P \cos \theta = 0$ है।
अब,मान लीजिए $\overrightarrow{R'} = 2\overrightarrow{P} + \overrightarrow{Q}$ है। $\overrightarrow{R'}$ द्वारा $\overrightarrow{Q}$ के साथ बनाया गया कोण $\alpha$,$\tan \alpha = \frac{|2\overrightarrow{P}| \sin \theta}{|\overrightarrow{Q}| + |2\overrightarrow{P}| \cos \theta} = \frac{2P \sin \theta}{Q + 2P \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q + 2P \cos \theta = 0$ का मान रखने पर,हमें $\tan \alpha = \frac{2P \sin \theta}{0} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = 90^{\circ}$ है।

(N/A) मान लीजिए कि $OP$ और $OQ$ दो सदिश $A$ और $B$ को दर्शाते हैं जो $\theta$ कोण बनाते हैं। सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करते हुए,$OS$ परिणामी सदिश $R = A + B$ को दर्शाता है। $SN$ को $OP$ के बढ़ाए गए भाग पर लंब खींचा गया है। आकृति की ज्यामिति से:
$ON = OP + PN = A + B \cos \theta$
$SN = B \sin \theta$
समकोण त्रिभुज $\Delta OSN$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OS^2 = ON^2 + SN^2$
$R^2 = (A + B \cos \theta)^2 + (B \sin \theta)^2$
$R^2 = A^2 + B^2 \cos^2 \theta + 2AB \cos \theta + B^2 \sin^2 \theta$
$R^2 = A^2 + B^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 2AB \cos \theta$
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
दिशा के लिए,मान लीजिए कि $\alpha$ वह कोण है जो परिणामी सदिश $R$,सदिश $A$ के साथ बनाता है। $\Delta OSN$ में:
$\tan \alpha = \frac{SN}{ON} = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$
$\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta} \right)$

(N/A) मान लीजिए कि हम दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ पर विचार करते हैं जो एक तल में स्थित हैं,जैसा कि चित्र $(a)$ में दिखाया गया है।
इन सदिशों को निरूपित करने वाले रेखाखंडों की लंबाई सदिशों के परिमाण के समानुपाती होती है।
योग $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ ज्ञात करने के लिए,हम सदिश $\vec{B}$ को इस प्रकार रखते हैं कि उसकी पूंछ (tail) सदिश $\vec{A}$ के शीर्ष (head) पर हो,जैसा कि चित्र $(b)$ में दिखाया गया है।
फिर,हम $\vec{A}$ की पूंछ को $\vec{B}$ के शीर्ष से जोड़ते हैं।
यह रेखाखंड $\vec{OQ}$ परिणामी सदिश $\vec{R}$ को दर्शाता है,जो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का योग है।
चूंकि सदिश योग की इस प्रक्रिया में सदिशों को हेड-टू-टेल (शीर्ष-से-पूंछ) व्यवस्थित किया जाता है,इसलिए इस ग्राफिकल विधि को हेड-टू-टेल विधि कहा जाता है।
चूंकि दो सदिश और उनका परिणामी एक त्रिभुज की तीन भुजाएं बनाते हैं,इसलिए इस विधि को सदिश योग की त्रिभुज विधि के रूप में भी जाना जाता है।

(N/A) $1$. चित्र $(a)$ में दिखाए अनुसार दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ पर विचार करें।
$2$. समांतर चतुर्भुज विधि का उपयोग करके उन्हें जोड़ने के लिए,दोनों सदिशों की पूंछ को चित्र $(b)$ में दिखाए अनुसार एक सामान्य बिंदु $O$ पर रखें।
$3$. एक समांतर चतुर्भुज $OPSQ$ की रचना करें ताकि $\vec{A}$ और $\vec{B}$ उसकी आसन्न भुजाएँ हों। $O$ से शुरू होने वाला विकर्ण $OS$ परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ को दर्शाता है।
$4$. त्रिभुज विधि में,हम $\vec{B}$ की पूंछ को $\vec{A}$ के शीर्ष पर रखते हैं। परिणामी सदिश,$\vec{A}$ की पूंछ से $\vec{B}$ के शीर्ष तक का सदिश होता है,जैसा कि चित्र $(c)$ में दिखाया गया है।
$5$. चूंकि समांतर चतुर्भुज में भुजा $PS$,$OQ$ (जो $\vec{B}$ है) के समानांतर और बराबर है,इसलिए समांतर चतुर्भुज विधि में बनने वाला त्रिभुज $OPS$,त्रिभुज विधि में बनने वाले त्रिभुज के समान है।
$6$. इस प्रकार,दोनों विधियाँ समान परिणामी सदिश $\vec{R}$ देती हैं।
$7$. परिणामी सदिश का परिमाण त्रिभुज असमिका का पालन करता है: $|\vec{R}| \leq |\vec{A}| + |\vec{B}|$.

(N/A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ पर विचार करें। सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,हम एक समांतर चतुर्भुज $OPRQ$ की रचना कर सकते हैं जहाँ $\vec{OP} = \vec{A}$ और $\vec{OR} = \vec{B}$ है।
$\Delta OPQ$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम से:
$\vec{A} + \vec{B} = \vec{OP} + \vec{PQ} = \vec{OQ} \quad \dots (i)$
$\Delta ORQ$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम से:
$\vec{B} + \vec{A} = \vec{OR} + \vec{RQ} = \vec{OQ} \quad \dots (ii)$
चूँकि एक समांतर चतुर्भुज में $\vec{PQ} = \vec{OR} = \vec{B}$ और $\vec{RQ} = \vec{OP} = \vec{A}$ होता है,समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$
यह सिद्ध करता है कि सदिश योग क्रमविनिमेय है।

(N/A) सदिश योग के साहचर्य नियम $(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})$ को सिद्ध करने के लिए,तीन सदिशों $\vec{A}, \vec{B}$ और $\vec{C}$ पर विचार करें जो एक बहुभुज की भुजाओं द्वारा दर्शाए गए हैं।
माना $\vec{A} = \overrightarrow{OP}$,$\vec{B} = \overrightarrow{PQ}$ और $\vec{C} = \overrightarrow{QR}$ है।
$\Delta OPQ$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{A} + \vec{B} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ}$।
अब,दोनों पक्षों में $\vec{C} = \overrightarrow{QR}$ जोड़ने पर:
$(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} \quad \dots (i)$।
अब,$\Delta PQR$ पर विचार करें:
$\vec{B} + \vec{C} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$।
अब,दोनों पक्षों में $\vec{A} = \overrightarrow{OP}$ जोड़ने पर:
$\vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} \quad \dots (ii)$।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})$।
इस प्रकार,सदिश योग का साहचर्य नियम सिद्ध होता है।

(N/A) सदिशों के व्यवकलन (घटाव) को सदिशों के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
हम दो सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के अंतर को दो सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $-\overrightarrow{B}$ के योग के रूप में परिभाषित करते हैं।
$\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} + (-\overrightarrow{B})$
इस प्रकार,सदिशों के घटाव का अर्थ है एक सदिश में दूसरे सदिश के विपरीत सदिश को जोड़ना।
चित्र $(a)$ में,$\vec{A}$,$\vec{B}$ और $-\vec{B}$ को दर्शाया गया है।
चित्र $(b)$ में,$-\vec{B}$ को $\vec{A}$ में जोड़ा गया है।
सदिश योग की त्रिभुज विधि के अनुसार,
$\overrightarrow{R_{2}} = \overrightarrow{A} + (-\overrightarrow{B})$
$\therefore \overrightarrow{R_{2}} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$
(तुलना के लिए,$\overrightarrow{R_{1}} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ को दिखाया गया है)।

(N/A) सदिश योग की दो सामान्य विधियाँ निम्नलिखित हैं:
$1$. सदिश योग का त्रिभुज नियम।
$2$. सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम।
सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम यह बताता है कि यदि किसी बिंदु पर एक साथ कार्य करने वाले दो सदिशों को एक बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा परिमाण और दिशा में निरूपित किया जाता है,तो उनका परिणामी सदिश उसी बिंदु से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा परिमाण और दिशा में निरूपित होता है।

दो सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के परिणामी सदिश $\overrightarrow{R}$ का परिमाण $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
$(i)$ जब सदिश समान दिशा में होते हैं,तो $\theta = 0^{\circ}$ होता है। अतः,$R = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos 0^{\circ}} = \sqrt{16 + 9 + 24(1)} = \sqrt{49} = 7$ इकाई।
$(ii)$ जब सदिश विपरीत दिशा में होते हैं,तो $\theta = 180^{\circ}$ होता है। अतः,$R = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos 180^{\circ}} = \sqrt{16 + 9 + 24(-1)} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1} = 1$ इकाई।

(B) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,परिणामी सदिश $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ का परिमाण $|\overrightarrow{R}| = \sqrt{|\overrightarrow{A}|^2 + |\overrightarrow{B}|^2 + 2|\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}| \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
चूंकि $\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ है (जब $\theta = 0^\circ$ हो),इसलिए $|\overrightarrow{R}|$ का अधिकतम मान $|\overrightarrow{A}| + |\overrightarrow{B}|$ होता है।
किसी भी अन्य कोण के लिए,$|\overrightarrow{R}|$ का मान $|\overrightarrow{A}| + |\overrightarrow{B}|$ से कम होगा।
अतः,संबंध $|\overrightarrow{R}| \leq |\overrightarrow{A}| + |\overrightarrow{B}|$ है।

(A) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के घटाव को सदिश $\vec{A}$ और सदिश $\vec{B}$ के ऋणात्मक सदिश के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$.
यहाँ,$(-\vec{B})$ एक ऐसा सदिश है जिसका परिमाण $\vec{B}$ के समान है लेकिन दिशा विपरीत है।
इसलिए,$\vec{A}$ से $\vec{B}$ को घटाना,$\vec{A}$ में सदिश $(-\vec{B})$ को जोड़ने के बराबर है।

(N/A) सदिश योग के दो गुण निम्नलिखित हैं:
$1$. क्रमविनिमेय नियम (Commutative Law): सदिश योग क्रमविनिमेय होता है,जिसका अर्थ है कि योग का क्रम बदलने पर परिणामी सदिश नहीं बदलता है। गणितीय रूप से,$\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A}$।
$2$. साहचर्य नियम (Associative Law): सदिश योग साहचर्य होता है,जिसका अर्थ है कि तीन सदिशों को जोड़ते समय,सदिशों के समूह बनाने से परिणामी सदिश नहीं बदलता है। गणितीय रूप से,$(\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C})$।

(N/A) सदिश योग के लिए विश्लेषणात्मक विधि में सदिशों के संगत घटकों को जोड़ना शामिल है।
मान लीजिए $xy$-समतल में दो सदिश $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ हैं,जिनके घटक क्रमशः $(A_{x}, A_{y})$ और $(B_{x}, B_{y})$ हैं।
$\overrightarrow{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}$
$\overrightarrow{B} = B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j}$
मान लीजिए $\overrightarrow{R}$ परिणामी सदिश है,ताकि $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ हो।
घटक रूपों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow{R} = (A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}) + (B_{x} \hat{i} + B_{y} \hat{j})$
चूंकि सदिश योग क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों का पालन करता है,हम घटकों को समूहित कर सकते हैं:
$\overrightarrow{R} = (A_{x} + B_{x}) \hat{i} + (A_{y} + B_{y}) \hat{j}$
यदि हम $\overrightarrow{R} = R_{x} \hat{i} + R_{y} \hat{j}$ लिखें,तो घटकों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है:
$R_{x} = A_{x} + B_{x}$
$R_{y} = A_{y} + B_{y}$
इस प्रकार,परिणामी सदिश $\overrightarrow{R}$ का प्रत्येक घटक $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के संगत घटकों का योग होता है।

(N/A) दो सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ का योग ज्ञात करने के लिए,हम उनके संगत घटकों को जोड़ते हैं:
$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = (3\widehat{i} + 2\widehat{j}) + (1\widehat{i} + 1\widehat{j} - 2\widehat{k})$
$\widehat{i}$,$\widehat{j}$,और $\widehat{k}$ के घटकों को समूहित करने पर:
$= (3 + 1)\widehat{i} + (2 + 1)\widehat{j} + (0 - 2)\widehat{k}$
$= 4\widehat{i} + 3\widehat{j} - 2\widehat{k}$

दो सदिशों $\overrightarrow A$ और $\overrightarrow B$ का घटाव ज्ञात करने के लिए,हम उनके संगत घटकों को घटाते हैं।
दिया गया है: $\overrightarrow A = 2\widehat i + 3\widehat j + 4\widehat k$ और $\overrightarrow B = \widehat i - \widehat j + \widehat k$.
घटाव को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: $\overrightarrow A - \overrightarrow B = (A_x - B_x)\widehat i + (A_y - B_y)\widehat j + (A_z - B_z)\widehat k$.
मान रखने पर:
$\overrightarrow A - \overrightarrow B = (2 - 1)\widehat i + (3 - (-1))\widehat j + (4 - 1)\widehat k$.
$\overrightarrow A - \overrightarrow B = 1\widehat i + (3 + 1)\widehat j + 3\widehat k$.
$\overrightarrow A - \overrightarrow B = \widehat i + 4\widehat j + 3\widehat k$.

(A) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ एक समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा दर्शाए गए हैं। परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है।
$1$. परिणामी सदिश का परिमाण: सदिशों द्वारा निर्मित त्रिभुज में कोज्या नियम (law of cosines) का उपयोग करने पर,परिमाण $R$ का मान $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ होता है,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
$2$. परिणामी सदिश की दिशा: यदि $\alpha$ वह कोण है जो परिणामी सदिश $\vec{R}$,सदिश $\vec{A}$ के साथ बनाता है,तो दिशा $\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$ द्वारा दी जाती है।

(C) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के परिणामी सदिश $R$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
$R$ को न्यूनतम करने के लिए,$\cos \theta$ का मान यथासंभव छोटा होना चाहिए।
$\cos \theta$ का न्यूनतम मान $-1$ होता है,जो $\theta = 180^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
सूत्र में $\cos \theta = -1$ रखने पर:
$R_{\min} = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB} = \sqrt{(A - B)^2} = |A - B|$
अतः,परिणामी सदिश को न्यूनतम होने के लिए कोण $\theta = 180^{\circ}$ होना चाहिए।

(C) माना प्रत्येक सदिश का परिमाण $A$ है। परिणामी सदिश $R$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta}$
दिया गया है कि $R = A$,इसलिए हम समीकरण में मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$A = \sqrt{2A^2 + 2A^2 \cos \theta}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \theta$
$A^2$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $A \neq 0$):
$1 = 2 + 2 \cos \theta$
$-1 = 2 \cos \theta$
$\cos \theta = -1/2$
अतः,$\theta = 120^{\circ}$।

(B) $\vec{A} - \vec{B}$ का परिमाण $|\vec{A} - \vec{B}|$ है और $\vec{B} - \vec{A}$ का परिमाण $|\vec{B} - \vec{A}|$ है। चूंकि $|\vec{A} - \vec{B}| = |-(\vec{B} - \vec{A})| = |\vec{B} - \vec{A}|$ होता है,इसलिए उनके परिमाण समान हैं।
हालाँकि,$\vec{A} - \vec{B} = -(\vec{B} - \vec{A})$ है,जो यह दर्शाता है कि सदिश विपरीत दिशाओं में इंगित करते हैं।
अतः,उनके परिमाण समान हैं,लेकिन दिशाएँ विपरीत हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\vec{A} + \vec{B} = \vec{A} - \vec{B}$.
दोनों पक्षों से $\vec{A}$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $\vec{B} = -\vec{B}$.
दोनों पक्षों में $\vec{B}$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है: $2\vec{B} = 0$.
अतः,$\vec{B} = 0$.
इसका अर्थ है कि यह समीकरण तभी संभव है जब $\vec{B}$ एक शून्य सदिश हो।

(B) दो सदिशों के योग का परिमाण $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
दो सदिशों के अंतर का परिमाण $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
इन दोनों को बराबर रखने पर: $\sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$.
इसे सरल करने पर $4AB \cos \theta = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A$ और $B$ शून्य-इतर सदिश हैं,इसलिए $\cos \theta = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\theta = 90^\circ$.
अतः,जब $\vec{A}$ और $\vec{B}$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,तब उनके परिमाण समान होते हैं।

(N/A) दो सदिशों $A$ और $B$ के बीच $\theta$ कोण होने पर परिणामी सदिश $R$ का परिमाण $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$(i)$ $\theta = 0^{\circ}$ के लिए,$\cos 0^{\circ} = 1$.
$R = \sqrt{8^2 + 6^2 + 2(8)(6)(1)} = \sqrt{64 + 36 + 96} = \sqrt{196} = 14$ इकाई।
$(ii)$ $\theta = 180^{\circ}$ के लिए,$\cos 180^{\circ} = -1$.
$R = \sqrt{8^2 + 6^2 + 2(8)(6)(-1)} = \sqrt{64 + 36 - 96} = \sqrt{4} = 2$ इकाई।
$(iii)$ $\theta = 90^{\circ}$ के लिए,$\cos 90^{\circ} = 0$.
$R = \sqrt{8^2 + 6^2 + 2(8)(6)(0)} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ इकाई।
$(iv)$ $\theta = 120^{\circ}$ के लिए,$\cos 120^{\circ} = -0.5$.
$R = \sqrt{8^2 + 6^2 + 2(8)(6)(-0.5)} = \sqrt{64 + 36 - 48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ इकाई।

(A) अधिकतम परिणामी सदिश $\vec{R}_{max} = \vec{P} + \vec{Q}$ तब प्राप्त होता है जब $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ के बीच का कोण $0^{\circ}$ होता है। इस स्थिति में, दोनों सदिश एक ही दिशा में होते हैं।
न्यूनतम परिणामी सदिश $\vec{R}_{min} = \vec{P} - \vec{Q}$ तब प्राप्त होता है जब $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ के बीच का कोण $180^{\circ}$ होता है। इस स्थिति में, $\vec{Q}$, $\vec{P}$ की विपरीत दिशा में होता है।
चूंकि $|\vec{P}| > |\vec{Q}|$ है, इसलिए सदिश $\vec{R}_{max}$, $\vec{P}$ की दिशा में इंगित करता है, और सदिश $\vec{R}_{min}$ भी $\vec{P}$ की दिशा में ही इंगित करता है।
अतः, दोनों परिणामी सदिश एक ही दिशा में हैं, जिससे उनके बीच का कोण $0^{\circ}$ है।