Addition and Subtraction of Vectors Questions in Hindi

(C) कोणीय वेग एक सदिश राशि है। मान लीजिए कि पहली डिस्क का कोणीय वेग $\vec{\omega}_1 = 3 \hat{i} \, rad/s$ है और दूसरी डिस्क का कोणीय वेग $\vec{\omega}_2 = 4 \hat{j} \, rad/s$ है।
चूंकि डिस्क के तल लंबवत हैं,इसलिए उनकी घूर्णन अक्ष भी लंबवत हैं।
परिणामी कोणीय वेग $\vec{\omega}_{res}$ दोनों व्यक्तिगत कोणीय वेगों के सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$\vec{\omega}_{res} = \vec{\omega}_1 + \vec{\omega}_2$.
परिणामी कोणीय वेग का परिमाण इस प्रकार है:
$|\vec{\omega}_{res}| = \sqrt{\omega_1^2 + \omega_2^2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{\omega}_{res}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, rad/s$.

(C) माना प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = 50 \; \text{km/h}$ उत्तर दिशा में है।
$90^{\circ}$ बाईं ओर मुड़ने के बाद,अंतिम वेग $\vec{v}_2 = 50 \; \text{km/h}$ पश्चिम दिशा में है।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = \vec{v}_2 + (-\vec{v}_1)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$-\vec{v}_1 = 50 \; \text{km/h}$ दक्षिण दिशा में है।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v_2^2 + v_1^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = \sqrt{2500 + 2500} = \sqrt{5000} \approx 70.7 \; \text{km/h}$ है।
$\Delta \vec{v}$ की दिशा पश्चिम और दक्षिण दिशा के सदिशों का परिणामी है,जो दक्षिण-पश्चिम दिशा में है।

(A) परिणामी सदिश $\vec{R}$ को $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर: $\vec{R} = (4\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) + (-\hat{i} + 3\hat{j} - 8\hat{k})$.
घटकों को जोड़ने पर: $\vec{R} = (4-1)\hat{i} + (3+3)\hat{j} + (6-8)\hat{k} = 3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{R}$ के समानांतर इकाई सदिश $\hat{R} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$ है।
सबसे पहले,परिमाण $|\vec{R}|$ की गणना करें: $|\vec{R}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,इकाई सदिश $\hat{R} = \frac{3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k}}{7} = \frac{1}{7}(3\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k})$ है।

(C) दी गई शर्त $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक का विस्तार करने पर:
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
दोनों पक्षों से $|\vec{a}|^2$ और $|\vec{b}|^2$ को हटाने पर,हमें $2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$,इसलिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
चूंकि दो अशून्य सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए सदिश एक-दूसरे के लंबवत होने चाहिए।
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) यहाँ,दो बल $F_1 = 3 \ N$ और $F_2 = 4 \ N$ दिए गए हैं।
उनके बीच का कोण $\theta = 180^\circ$ है।
चूँकि कोण $180^\circ$ है,इसलिए बल प्रति-समांतर (विपरीत दिशाओं में) कार्य कर रहे हैं।
परिणामी बल $R$ दोनों बलों के परिमाणों के अंतर के बराबर होता है:
$R = |F_2 - F_1| = |4 \ N - 3 \ N| = 1 \ N$.
परिणामी बल की दिशा बड़े बल की दिशा में (अर्थात $4 \ N$ बल की दिशा में) होती है।

(D) जब दो सदिशों के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ होता है,तो सदिश समानांतर होते हैं और एक ही दिशा में कार्य करते हैं।
परिणामी बल $R$ दोनों बलों के परिमाणों के योग द्वारा प्राप्त होता है:
$R = F_1 + F_2$
यहाँ $F_1 = 3\;N$ और $F_2 = 4\;N$ दिया गया है,
$R = 3\;N + 4\;N = 7\;N$.
परिणामी बल की दिशा व्यक्तिगत बलों की दिशा के समान ही होती है।

(C) माना कि दो बल $F_1 = F$ और $F_2 = F$ हैं।
परिणामी बल $R$ का परिमाण $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बलों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $R^2 = 3(F_1 \times F_2) = 3F^2$.
सूत्र में मान रखने पर:
$F^2 + F^2 + 2F^2 \cos \theta = 3F^2$
$2F^2 + 2F^2 \cos \theta = 3F^2$
$2F^2 \cos \theta = F^2$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = 60^o$।

(D) दो सदिशों $A$ और $B$ के परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ का परिमाण $|A - B| \leq R \leq A + B$ की सीमा में होना चाहिए।
यहाँ $A = 10 \ N$ और $B = 6 \ N$ दिया गया है,इसलिए सीमा $|10 - 6| \leq R \leq 10 + 6$ अर्थात $4 \leq R \leq 16$ होगी।
इसका अर्थ है कि परिणामी बल का परिमाण $4 \ N$ और $16 \ N$ के बीच (दोनों को शामिल करते हुए) होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,$2 \ N$ का मान $4 \ N$ से कम है,इसलिए यह परिणामी सदिश का परिमाण नहीं हो सकता है।

(A) परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q} = (2\hat{i} + 7\hat{j} - 10\hat{k}) + (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$.
$\vec{R} = (2+1)\hat{i} + (7+2)\hat{j} + (-10+3)\hat{k} = 3\hat{i} + 9\hat{j} - 7\hat{k}$.
माना कि आवश्यक सदिश $\vec{S}$ है। हमें दिया गया है कि $\vec{R} + \vec{S} = \hat{i}$ ($X$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश)।
अतः,$\vec{S} = \hat{i} - \vec{R} = \hat{i} - (3\hat{i} + 9\hat{j} - 7\hat{k})$.
$\vec{S} = (1-3)\hat{i} - 9\hat{j} + 7\hat{k} = -2\hat{i} - 9\hat{j} + 7\hat{k}$.

(B) सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 110^\circ - 20^\circ = 90^\circ$ है।
परिणामी सदिश $\vec{R}$ का परिमाण:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(90^\circ)} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \ m$.
मान लीजिए कि परिणामी सदिश $\vec{R}$,सदिश $\vec{A}$ के साथ $\alpha$ कोण बनाता है।
परिणामी सदिश की दिशा के लिए सूत्र:
$\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta} = \frac{12 \sin 90^\circ}{5 + 12 \cos 90^\circ} = \frac{12 \times 1}{5 + 12 \times 0} = \frac{12}{5}$.
अतः,$\alpha = \tan^{-1}(12/5)$.
चूंकि सदिश $\vec{A}$ स्वयं $x$-अक्ष के साथ $20^\circ$ का कोण बनाता है,इसलिए परिणामी सदिश $\vec{R}$ का $x$-अक्ष के साथ कोण $\alpha + 20^\circ = \tan^{-1}(12/5) + 20^\circ$ होगा।

(A) दिया गया है: सदिशों का परिमाण $A = B = 5$ इकाई,कोण $\theta = 60^\circ$.
$(a)$ सदिशों के योग का परिमाण: $R_s = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2(5)(5) \cos 60^\circ} = \sqrt{25 + 25 + 50(0.5)} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ इकाई।
$(b)$ सदिशों के अंतर का परिमाण: $R_d = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta} = \sqrt{5^2 + 5^2 - 2(5)(5) \cos 60^\circ} = \sqrt{25 + 25 - 50(0.5)} = \sqrt{25} = 5$ इकाई।

(C) दिया गया है कि $\vec{R_1} = \vec{A} + \vec{B}$।
परिमाण का वर्ग लेने पर: $R_1^2 = |\vec{A} + \vec{B}|^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
जब सदिश $\vec{B}$ को उलट दिया जाता है,तो नया परिणामी सदिश $\vec{R_2} = \vec{A} - \vec{B}$ हो जाता है।
परिमाण का वर्ग लेने पर: $R_2^2 = |\vec{A} - \vec{B}|^2 = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$R_1^2 + R_2^2 = (A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta) + (A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta)$।
$R_1^2 + R_2^2 = 2A^2 + 2B^2 = 2(A^2 + B^2)$।

(B) मान लीजिए कि दो बल $\vec{F}_1$ और $\vec{F}_2$ हैं।
सदिश योग $(\vec{F}_1 + \vec{F}_2)$ है और सदिश अंतर $(\vec{F}_1 - \vec{F}_2)$ है।
यह दिया गया है कि योग अंतर के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$(\vec{F}_1 + \vec{F}_2) \cdot (\vec{F}_1 - \vec{F}_2) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_1 - \vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2 + \vec{F}_2 \cdot \vec{F}_1 - \vec{F}_2 \cdot \vec{F}_2 = 0$
चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय है $(\vec{F}_1 \cdot \vec{F}_2 = \vec{F}_2 \cdot \vec{F}_1)$,इसलिए बीच के पद कट जाएंगे:
$|\vec{F}_1|^2 - |\vec{F}_2|^2 = 0$
अतः,$|\vec{F}_1|^2 = |\vec{F}_2|^2$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{F}_1| = |\vec{F}_2|$।
इस प्रकार,बलों का परिमाण समान है।

(A) माना परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ है।
दिया गया है कि $\vec{R} \perp \vec{A}$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\vec{R} \cdot \vec{A} = 0$ होगा।
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\vec{A} + \vec{B}) \cdot \vec{A} = 0$ प्राप्त होता है।
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर: $\vec{A} \cdot \vec{A} + \vec{B} \cdot \vec{A} = 0$।
यह समीकरण $A^2 + AB \cos \theta = 0$ में बदल जाता है,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta$ के लिए हल करने पर: $\cos \theta = -\frac{A^2}{AB} = -\frac{A}{B}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{A}{B}\right)$।

(A) शून्य परिणामी सदिश प्राप्त करने के लिए,सदिशों को जब एक-दूसरे के शीर्ष-से-पुच्छ (head-to-tail) क्रम में रखा जाता है,तो उन्हें एक बंद बहुभुज बनाना चाहिए।
समान परिमाण वाले सदिशों के लिए,एक बंद बहुभुज बनाने के लिए आवश्यक सदिशों की न्यूनतम संख्या $2$ है (यदि वे विपरीत दिशाओं में हों,अर्थात $\vec{A} + (-\vec{A}) = 0$)।
अतः,शून्य परिणामी सदिश प्राप्त करने के लिए समान परिमाण वाले सदिशों की न्यूनतम संख्या $2$ है।

(B) मान लीजिए $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ के बीच का कोण $\theta$ है। परिणामी $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ है।
जब $\vec{Q}$ को दोगुना किया जाता है,तो नया परिणामी $\vec{R}' = \vec{P} + 2\vec{Q}$ होता है।
यह दिया गया है कि $\vec{R}'$,$\vec{P}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\vec{P} + 2\vec{Q}) \cdot \vec{P} = 0$
$\vec{P} \cdot \vec{P} + 2(\vec{Q} \cdot \vec{P}) = 0$
$P^2 + 2PQ \cos \theta = 0$
$2PQ \cos \theta = -P^2$
अब,मूल परिणामी $\vec{R}$ का परिमाण है:
$R = |\vec{P} + \vec{Q}| = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta}$
समीकरण में $2PQ \cos \theta = -P^2$ रखने पर:
$R = \sqrt{P^2 + Q^2 - P^2}$
$R = \sqrt{Q^2} = Q$

(B) मान लीजिए $n$ सदिश $\vec{A}_1, \vec{A}_2, ..., \vec{A}_n$ हैं,जिनके $x$-घटक $A_{1x}, A_{2x}, ..., A_{nx}$ और परिमाण $|\vec{A}_1|, |\vec{A}_2|, ..., |\vec{A}_n|$ हैं।
परिणामी सदिश $\vec{R} = \sum_{i=1}^{n} \vec{A}_i$ है।
परिणामी का $x$-घटक $R_x = \sum_{i=1}^{n} A_{ix}$ होता है। अतः,कथन $(a)$ सही है।
चूंकि $|A_{ix}| \le |\vec{A}_i|$,इसलिए $x$-घटकों का योग $\sum A_{ix} \le \sum |\vec{A}_i|$ होता है। अतः,परिणामी का $x$-घटक सामान्यतः सदिशों के परिमाणों के योग से छोटा या उसके बराबर होता है। अतः,कथन $(b)$ सही है।
कथन $(c)$ गलत है क्योंकि किसी सदिश का $x$-घटक उसके स्वयं के परिमाण से अधिक नहीं हो सकता है,और परिणामस्वरूप,$x$-घटकों का योग परिमाणों के योग से अधिक नहीं हो सकता है।
कथन $(d)$ केवल तभी सत्य है यदि सभी सदिश धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में हों। सामान्यतः,यह सत्य नहीं है। अतः,कथन $(d)$ गलत है।
अतः,सही कथन $(a)$ और $(b)$ हैं।

(C) दिया गया है कि परिमाण $P = 5$,$Q = 12$ और $R = 13$ हैं।
चूंकि $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$,इसलिए ये सदिश एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ $\vec R$ कर्ण है।
सदिशों $\vec P$,$\vec Q$ और $\vec R$ द्वारा निर्मित त्रिभुज में,कोण $\theta$,$\vec Q$ और $\vec R$ के बीच स्थित है।
समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{Q}{R}$ होता है।
मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{12}{13})$ होगा।

(B) सदिश $\vec{A}$ और सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 110^\circ - 20^\circ = 90^\circ$ है।
परिणामी सदिश $R$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
दिए गए मान $A = 5 \, m$,$B = 12 \, m$ और $\theta = 90^\circ$ रखने पर:
$R = \sqrt{5^2 + 12^2 + 2(5)(12) \cos 90^\circ}$
चूंकि $\cos 90^\circ = 0$ है:
$R = \sqrt{25 + 144 + 0} = \sqrt{169} = 13 \, m$.
अतः,परिणामी सदिश का परिमाण $13 \, m$ है।

(B) माना प्रारंभिक सदिश $\vec{\ell}_1$ है और अंतिम सदिश $\vec{\ell}_2$ है। दोनों का परिमाण $\ell$ है,इसलिए $|\vec{\ell}_1| = |\vec{\ell}_2| = \ell$ है।
शीर्ष के स्थिति सदिश में परिवर्तन $\Delta \vec{\ell} = \vec{\ell}_2 - \vec{\ell}_1$ द्वारा दिया जाता है।
इस परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{\ell}| = \sqrt{|\vec{\ell}_2|^2 + |\vec{\ell}_1|^2 - 2|\vec{\ell}_2||\vec{\ell}_1| \cos \theta}$ है।
परिमाण रखने पर,$|\Delta \vec{\ell}| = \sqrt{\ell^2 + \ell^2 - 2\ell^2 \cos \theta}$ प्राप्त होता है।
$|\Delta \vec{\ell}| = \sqrt{2\ell^2(1 - \cos \theta)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$|\Delta \vec{\ell}| = \sqrt{2\ell^2 \cdot 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} = \sqrt{4\ell^2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}$.
$|\Delta \vec{\ell}| = 2\ell \sin \frac{\theta}{2}$.

(C) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ होता है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}|$.
यह सरल होकर $|2\overrightarrow{AC}| = 2|\overrightarrow{AC}|$ हो जाता है।
चूंकि समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई $a$ है,इसलिए $|\overrightarrow{AC}| = a$ है।
अतः,$|2\overrightarrow{AC}| = 2a$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए व्यंजक $na$ के साथ तुलना करने पर,$na = 2a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $n = 2$।

(B) यहाँ,दो बल $A = 3 \, N$ और $B = 4 \, N$ हैं और उनके बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
चूंकि बल लंबवत हैं,इसलिए परिणामी बल $R$ इस प्रकार होगा:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
$R = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2(3)(4) \cos 90^\circ}$
चूंकि $\cos 90^\circ = 0$ है,इसलिए:
$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, N$
$4 \, N$ के बल के साथ परिणामी बल का कोण:
$\tan \alpha = \frac{3}{4} \implies \alpha = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$.

(A) परिणामी सदिश $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ का परिमाण $C = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $C = A + B$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$A + B = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(A + B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$
$A^2 + B^2 + 2AB = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$
दोनों पक्षों से $A^2 + B^2$ घटाने पर:
$2AB = 2AB \cos \theta$
मान लीजिए $A, B \neq 0$,तो $2AB$ से भाग देने पर:
$1 = \cos \theta$
अतः,$\theta = 0$.

(A) चरण $1$: सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करना.
मान लीजिए मूल बिंदु $O$ है। तो $\vec{a} = \vec{P}$,$\vec{b} = \vec{Q}$ और $\vec{c} = \vec{R}$ होगा।
चरण $2$: मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करना.
चूँकि $R, PQ$ का मध्य-बिंदु है,मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार:
$\vec{R} = \frac{\vec{P} + \vec{Q}}{2}$
$\vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
अतः,$\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{c}$.

(B) मान लीजिए $|\vec{A}| = |\vec{B}| = A$.
दिया गया है कि $|\vec{A} + \vec{B}| = A$.
परिणामी सदिश का परिमाण ज्ञात करने का सूत्र: $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $A = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \theta$.
$A^2$ से भाग देने पर: $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
$-1 = 2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -1/2$.
अतः,$\theta = 120^o$.

(B) सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 110^\circ - 20^\circ = 90^\circ$ है।
परिणामी सदिश $\vec{R}$ का परिमाण:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos 90^\circ} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, m$.
मान लीजिए कि परिणामी सदिश $\vec{R}$,सदिश $\vec{A}$ के साथ $\alpha$ कोण बनाता है।
सूत्र $\tan \alpha = \frac{B \sin \theta}{A + B \cos \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \alpha = \frac{12 \sin 90^\circ}{5 + 12 \cos 90^\circ} = \frac{12 \times 1}{5 + 12 \times 0} = \frac{12}{5}$.
अतः,$\alpha = \tan^{-1}(12/5)$.
चूंकि सदिश $\vec{A}$,$X$-अक्ष के साथ $20^\circ$ का कोण बनाता है,इसलिए परिणामी सदिश $\vec{R}$ का $X$-अक्ष के साथ कोण $\alpha + 20^\circ = \tan^{-1}(12/5) + 20^\circ$ होगा।

(A) दो सदिशों $A$ और $B$ के बीच $\theta$ कोण पर परिणामी $R$ का परिमाण $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = (x + y)$,$B = (x - y)$,और $R = \sqrt{x^2 + y^2}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$.
मान रखने पर: $x^2 + y^2 = (x + y)^2 + (x - y)^2 + 2(x + y)(x - y) \cos \theta$.
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 = (x^2 + y^2 + 2xy) + (x^2 + y^2 - 2xy) + 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
सरल करने पर: $x^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 - 2x^2 - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
$-(x^2 + y^2) = 2(x^2 - y^2) \cos \theta$.
अतः,$\cos \theta = \frac{-(x^2 + y^2)}{2(x^2 - y^2)}$.
इस प्रकार,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{-(x^2 + y^2)}{2(x^2 - y^2)} \right)$.

(C) मान लीजिए मूल बिंदु $(0, 0)$ है।
पहला विस्थापन सदिश $\vec{d_1}$,पूर्व (x-अक्ष) के साथ $45^\circ$ के कोण पर $6 \, km$ है।
$\vec{d_1} = 6 \cos 45^\circ \hat{i} + 6 \sin 45^\circ \hat{j} = 6 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{i} + 6 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{j} = 3\sqrt{2} \hat{i} + 3\sqrt{2} \hat{j}$.
दूसरा विस्थापन सदिश $\vec{d_2}$,पूर्व के साथ $135^\circ$ के कोण पर $4 \, km$ है।
$\vec{d_2} = 4 \cos 135^\circ \hat{i} + 4 \sin 135^\circ \hat{j} = 4 \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{i} + 4 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{j} = -2\sqrt{2} \hat{i} + 2\sqrt{2} \hat{j}$.
परिणामी विस्थापन सदिश $\vec{s} = \vec{d_1} + \vec{d_2} = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) \hat{i} + (3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \hat{j} = \sqrt{2} \hat{i} + 5\sqrt{2} \hat{j}$.
विस्थापन का परिमाण $|\vec{s}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 50} = \sqrt{52} \, km$.

(D) मान लीजिए कि सदिशों के परिमाण $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}| = x$ और $|\overrightarrow{C}| = x\sqrt{2}$ हैं।
दिया गया है कि $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} = 0$,जिसका अर्थ है $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = -\overrightarrow{C}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\overrightarrow{A}|^2 + |\overrightarrow{B}|^2 + 2|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}|\cos(\theta_{AB}) = |\overrightarrow{C}|^2$.
मान रखने पर: $x^2 + x^2 + 2x^2\cos(\theta_{AB}) = (x\sqrt{2})^2 = 2x^2$.
$2x^2 + 2x^2\cos(\theta_{AB}) = 2x^2$,जिससे $\cos(\theta_{AB}) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\theta_{AB} = 90^\circ$.
चूंकि सदिश एक बंद त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए सदिशों के बीच के कोण $90^\circ, 135^\circ, 135^\circ$ हैं।

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow A = 4\hat i - 3\hat j$ और $\overrightarrow B = 6\hat i + 8\hat j$ हैं।
सदिशों का योग: $\overrightarrow A + \overrightarrow B = (4+6)\hat i + (-3+8)\hat j = 10\hat i + 5\hat j$.
परिमाण: $|\overrightarrow A + \overrightarrow B| = \sqrt{(10)^2 + (5)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.
दिशा: $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1/2)$.

(D) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = 20\hat{j} \, m/s$ (उत्तर दिशा में) है।
मुड़ने के बाद,अंतिम वेग $\vec{v}_2 = -20\hat{i} \, m/s$ (पश्चिम दिशा में) है।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta \vec{v} = -20\hat{i} - 20\hat{j} = -20(\hat{i} + \hat{j}) \, m/s$.
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-20)^2 + (-20)^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \, m/s$ है।
दिशा $\tan \theta = \frac{|\Delta v_y|}{|\Delta v_x|} = \frac{20}{20} = 1$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\theta = 45^\circ$ है।
चूंकि दोनों घटक ऋणात्मक हैं,इसलिए दिशा दक्षिण-पश्चिम $(S-W)$ है।

(B) माना दो इकाई सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं,जहाँ $|\vec{A}| = 1$ और $|\vec{B}| = 1$ है।
दिया गया है कि उनका योग भी एक इकाई सदिश है: $|\vec{A} + \vec{B}| = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{A} + \vec{B}|^2 = 1^2$.
$|\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 + 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta = 1$,जहाँ $\theta$ उनके बीच का कोण है।
$1 + 1 + 2(1)(1) \cos \theta = 1 \implies 2 + 2 \cos \theta = 1 \implies 2 \cos \theta = -1 \implies \cos \theta = -1/2$.
अब,हमें उनके अंतर का परिमाण ज्ञात करना है: $|\vec{A} - \vec{B}|$.
$|\vec{A} - \vec{B}|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta$.
मान रखने पर: $|\vec{A} - \vec{B}|^2 = 1 + 1 - 2(1)(1)(-1/2)$.
$|\vec{A} - \vec{B}|^2 = 2 + 1 = 3$.
अतः,$|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{3}$.

(D) $x = 0$ की रेखा $y$-अक्ष के अनुरूप है। इसलिए,$y$-अक्ष की दिशा में कार्य करने वाले बल ${F_1} = 1\,N$ को ${\overrightarrow F _1} = 1\hat j$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$y = 0$ की रेखा $x$-अक्ष के अनुरूप है। इसलिए,$x$-अक्ष की दिशा में कार्य करने वाले बल ${F_2} = 2\,N$ को ${\overrightarrow F _2} = 2\hat i$ के रूप में दर्शाया जाता है।
परिणामी बल $\overrightarrow F$ दोनों बलों का सदिश योग है:
$\overrightarrow F = {\overrightarrow F _1} + {\overrightarrow F _2} = 2\hat i + 1\hat j$.

(B) दिए गए सदिश $\overrightarrow A = 2\hat i + \hat j$,$\overrightarrow B = 3\hat j - \hat k$,और $\overrightarrow C = 6\hat i - 2\hat k$ हैं।
हमें व्यंजक $\overrightarrow A - 2\overrightarrow B + 3\overrightarrow C$ की गणना करनी है।
दिए गए सदिशों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= (2\hat i + \hat j) - 2(3\hat j - \hat k) + 3(6\hat i - 2\hat k)$
$= 2\hat i + \hat j - 6\hat j + 2\hat k + 18\hat i - 6\hat k$
$\hat i$,$\hat j$ और $\hat k$ के घटकों को समूहित करने पर:
$= (2 + 18)\hat i + (1 - 6)\hat j + (2 - 6)\hat k$
$= 20\hat i - 5\hat j - 4\hat k$.

(D) दो सदिशों $A$ और $B$ के अंतर का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|A-B| = \sqrt{|A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|\cos\theta}$
यहाँ $|A| = 2$,$|B| = 4$,और $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$|A-B| = \sqrt{2^2 + 4^2 - 2(2)(4)\cos(60^{\circ})}$
$|A-B| = \sqrt{4 + 16 - 16 \times \frac{1}{2}}$
$|A-B| = \sqrt{20 - 8}$
$|A-B| = \sqrt{12}$
$|A-B| = 2\sqrt{3}$

(D) मान लीजिए सदिश $A$ और $B$ का परिमाण $|A| = |B| = a$ है। मान लीजिए $A$ और $B$ के बीच का कोण $\theta$ है।
सदिश $R = A - B$ पर विचार करें। इसे $R = A + (-B)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सदिश $-B$ का परिमाण सदिश $B$ के परिमाण के बराबर है,जो $a$ है।
$A$ और $-B$ के बीच का कोण $(180^{\circ} - \theta)$ है।
सदिश योग के नियम का उपयोग करते हुए,परिणामी सदिश $R$,$A$ और $-B$ के साथ एक त्रिभुज बनाता है।
चूंकि $|A| = |-B| = a$,इसलिए $A$,$-B$ और $R$ द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
$A$ और $R$ (जो $A - B$ है) के बीच का कोण $\alpha$ इस समद्विबाहु त्रिभुज का आधार कोण है।
त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। $A$ और $-B$ के बीच का कोण $(180^{\circ} - \theta)$ है।
अतः,$2\alpha + (180^{\circ} - \theta) = 180^{\circ}$।
$\alpha$ के लिए हल करने पर,हमें $2\alpha = \theta$ प्राप्त होता है,या $\alpha = \frac{\theta}{2}$।
चूंकि कोण $\alpha$,$\theta$ ($A$ और $B$ के बीच का कोण) पर निर्भर करता है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दो बलों $F_1$ और $F_2$ का परिणामी बल $R$,जो $\theta$ कोण पर कार्य कर रहे हैं,का सूत्र $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$ है।
$6\,N$ और $8\,N$ के दो बलों के लिए,अधिकतम परिणामी बल $F_1 + F_2 = 6 + 8 = 14\,N$ है (जब $\theta = 0^\circ$ हो)।
न्यूनतम परिणामी बल $|F_1 - F_2| = |6 - 8| = 2\,N$ है (जब $\theta = 180^\circ$ हो)।
अतः,परिणामी बल $[2\,N, 14\,N]$ की सीमा में होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $11\,N$ इस सीमा के भीतर आता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ हैं,जहाँ $|\vec{P}| = |\vec{Q}| = A$ है।
परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ का परिमाण $R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta} = \sqrt{2A^2(1 + \cos \theta)}$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$R = \sqrt{2A^2 \cdot 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \sqrt{4A^2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} = 2A \cos \frac{\theta}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों सदिशों के परिमाण समान हैं,इसलिए परिणामी सदिश उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। अतः,दिशा कोण समद्विभाजक की दिशा में होती है।

(B) दिया गया सदिश समीकरण $P + Q + R = 0$ है।
हम इसे $P + Q = -R$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का परिमाण (magnitude) लेने पर,हमें $|P + Q| = |-R|$ प्राप्त होता है।
चूंकि सदिश का परिमाण हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $|-R| = |R|$ होता है।
अतः,$|P + Q| = |R|$।
इस प्रकार,सही कथन $|P + Q| = |R|$ है।

(C) परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
दिया गया है: $A = 3$,$B = 4$,और $\theta = 60^{\circ}$।
मान रखने पर:
$R = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2(3)(4) \cos 60^{\circ}}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$:
$R = \sqrt{9 + 16 + 24(0.5)}$
$R = \sqrt{25 + 12}$
$R = \sqrt{37} \text{ units}$।

(C) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,जब दो सदिशों को एक त्रिभुज की दो भुजाओं द्वारा क्रम में दर्शाया जाता है,तो उनका योग विपरीत क्रम में ली गई तीसरी भुजा द्वारा दर्शाया जाता है।
दिए गए चित्र से,यदि हम सदिश $\overrightarrow e$ की पूंछ को सदिश $\overrightarrow d$ के शीर्ष पर रखें,तो परिणामी सदिश $\overrightarrow f$ सदिश $\overrightarrow d$ की पूंछ को सदिश $\overrightarrow e$ के शीर्ष से जोड़ता है।
इसलिए,$\overrightarrow d + \overrightarrow e = \overrightarrow f$.

(A) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं।
$\vec{A}$ और $\vec{B}$ के योग का परिमाण इस प्रकार है: $|\vec{A} + \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$.
$\vec{A}$ और $\vec{B}$ के अंतर का परिमाण इस प्रकार है: $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta}$.
दिया गया है कि $|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}|$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$.
दोनों पक्षों से $A^2 + B^2$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2AB \cos \theta = -2AB \cos \theta$.
$4AB \cos \theta = 0$.
चूंकि $A$ और $B$ शून्यतर सदिश हैं,$4AB \neq 0$,इसलिए $\cos \theta = 0$.
इसका अर्थ है कि $\theta = 90^o$।

(C) मान लीजिए कि प्रारंभिक बिंदु मूल बिंदु $(0,0)$ है।
पहला विस्थापन सदिश $\vec{d_1} = 6 \cos(45^o) \hat{i} + 6 \sin(45^o) \hat{j} = 3\sqrt{2} \hat{i} + 3\sqrt{2} \hat{j}$ है।
दूसरा विस्थापन सदिश $\vec{d_2} = 4 \cos(135^o) \hat{i} + 4 \sin(135^o) \hat{j} = -2\sqrt{2} \hat{i} + 2\sqrt{2} \hat{j}$ है।
परिणामी विस्थापन $\vec{R} = \vec{d_1} + \vec{d_2} = (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) \hat{i} + (3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \hat{j} = \sqrt{2} \hat{i} + 5\sqrt{2} \hat{j}$ है।
परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 50} = \sqrt{52} \, km$ है।
पूर्व दिशा के साथ कोण $\theta = \tan^{-1}(\frac{R_y}{R_x}) = \tan^{-1}(\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = \tan^{-1}(5)$ है।

(A) दो सदिशों $A$ और $B$ के बीच $\theta$ कोण होने पर उनके परिणामी सदिश $R$ का परिमाण $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = (x + y)$,$B = (x - y)$ और $R = \sqrt{x^2 + y^2}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $x^2 + y^2 = (x + y)^2 + (x - y)^2 + 2(x + y)(x - y) \cos \theta$।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) + 2(x^2 - y^2) \cos \theta$।
सरल करने पर: $x^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2(x^2 - y^2) \cos \theta$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 - 2x^2 - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) \cos \theta$।
$- (x^2 + y^2) = 2(x^2 - y^2) \cos \theta$।
अतः,$\cos \theta = -\frac{x^2 + y^2}{2(x^2 - y^2)}$।
इस प्रकार,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{x^2 + y^2}{2(x^2 - y^2)}\right)$।

(C) दिया गया है,$\vec{R}_1 = \vec{A} + \vec{B}$ और $\vec{R}_2 = \vec{A} - \vec{B}$।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करते हुए,परिणामी का परिमाण $R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{R}_1$ के लिए,परिमाण का वर्ग $R_1^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ है।
$\vec{R}_2$ के लिए,$\vec{A}$ और $-\vec{B}$ के बीच का कोण $(180^\circ - \theta)$ है,इसलिए $R_2^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos(180^\circ - \theta) = A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$R_1^2 + R_2^2 = (A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta) + (A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta)$
$R_1^2 + R_2^2 = 2(A^2 + B^2)$।

(B) दिए गए सदिश $A = 2 \hat{i} + \hat{j}$,$B = 3 \hat{j} - \hat{k}$ और $C = 6 \hat{i} - 2 \hat{k}$ हैं।
हमें $A - 2B + 3C$ की गणना करनी है।
दिए गए सदिशों को व्यंजक में रखने पर:
$A - 2B + 3C = (2 \hat{i} + \hat{j}) - 2(3 \hat{j} - \hat{k}) + 3(6 \hat{i} - 2 \hat{k})$
पदों का विस्तार करने पर:
$= 2 \hat{i} + \hat{j} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k} + 18 \hat{i} - 6 \hat{k}$
$\hat{i}$,$\hat{j}$ और $\hat{k}$ के घटकों को समूहित करने पर:
$= (2 + 18) \hat{i} + (1 - 6) \hat{j} + (2 - 6) \hat{k}$
$= 20 \hat{i} - 5 \hat{j} - 4 \hat{k}$

(C) दो सदिशों $F_1$ और $F_2$ के बीच $\theta$ कोण होने पर उनका परिणामी बल $R$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \theta}$।
यहाँ $F_1 = 3 \ N$,$F_2 = 5 \ N$ और $\theta = 60^o$ दिया गया है।
मान रखने पर: $R = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos 60^o}$।
चूँकि $\cos 60^o = 0.5$,इसलिए $R = \sqrt{9 + 25 + 30(0.5)} = \sqrt{34 + 15} = \sqrt{49} = 7 \ N$।
इन दो बलों को संतुलित करने वाला बल परिणामी बल के बराबर परिमाण और विपरीत दिशा में होना चाहिए।
अतः,संतुलित करने वाले बल का परिमाण $7 \ N$ है।

(A) मान लीजिए कि दो बल $F_1 = P + Q$ और $F_2 = P - Q$ हैं। उनके बीच का कोण $2 \alpha$ है। समद्विभाजक इसे प्रत्येक $\alpha$ के दो कोणों में विभाजित करता है।
यदि परिणामी बल समद्विभाजक के साथ $\theta$ का कोण बनाता है,तो परिणामी बल और $F_1$ के बीच का कोण $(\alpha - \theta)$ होगा और परिणामी बल और $F_2$ के बीच का कोण $(\alpha + \theta)$ होगा।
परिणामी बल के लंबवत घटकों को लेने पर,वे एक-दूसरे को निरस्त कर देंगे:
$(P + Q) \sin (\alpha - \theta) = (P - Q) \sin (\alpha + \theta)$
पदों का विस्तार करने पर:
$P \sin (\alpha - \theta) + Q \sin (\alpha - \theta) = P \sin (\alpha + \theta) - Q \sin (\alpha + \theta)$
$P$ और $Q$ को अलग करने पर:
$Q [\sin (\alpha + \theta) + \sin (\alpha - \theta)] = P [\sin (\alpha + \theta) - \sin (\alpha - \theta)]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ और $\sin(A+B) - \sin(A-B) = 2 \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$Q [2 \sin \alpha \cos \theta] = P [2 \cos \alpha \sin \theta]$
दोनों पक्षों को $2 \cos \alpha \cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$Q \tan \alpha = P \tan \theta$
अतः,$P \tan \theta = Q \tan \alpha$.

(C) मान लीजिए कि दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं,जिनका परिमाण $A = 3$ और $B = 4$ है। मान लीजिए $\vec{R}$ उनका परिणामी सदिश है।
यदि हम दोनों सदिशों को परिणामी सदिश $\vec{R}$ के लंबवत दिशा में वियोजित करते हैं,तो इन घटकों का योग शून्य होना चाहिए क्योंकि परिणामी सदिश का स्वयं के लंबवत कोई घटक नहीं होता है।
अतः,$3$ परिमाण वाले सदिश का $\vec{R}$ के लंबवत घटक और $4$ परिमाण वाले सदिश का $\vec{R}$ के लंबवत घटक परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
इसलिए,$3 \sin \alpha = 4 \sin \beta$ होगा।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
उनके बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
सदिशों के योग के लिए,परिमाण $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos 60^{\circ}} = \sqrt{1 + 1 + 2(0.5)} = \sqrt{3} \approx 1.732$ है।
चूंकि $1.732 > 1$,इसलिए $|\vec{a} + \vec{b}| > 1$ होता है।
सदिशों के अंतर के लिए,परिमाण $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 - 2(1)(1) \cos 60^{\circ}} = \sqrt{1 + 1 - 2(0.5)} = \sqrt{1} = 1$ है।
अतः,सही कथन $|\vec{a} + \vec{b}| > 1$ है।