Resolution of a Vector into Rectangular Components Questions in Hindi

(D) किसी विशिष्ट अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले सदिश $\vec{F}$ का उस अक्ष पर घटक $F \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,बल $F = 5\, N$ ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $\theta = 60^\circ$ का कोण बनाता है।
इसलिए,बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F_v = F \cos 60^\circ$ होगा।
मान रखने पर,हमें $F_v = 5 \times \frac{1}{2} = 2.5\, N$ प्राप्त होता है।
अतः,ऊर्ध्वाधर घटक $2.5\, N$ है।

(B) सदिश $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ दिया गया है।
यहाँ,$x$-घटक $A_x = 2$ है और $y$-घटक $A_y = 3$ है।
सदिश $\vec{A}$ और $y$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$,संबंध $\tan \theta = \frac{A_x}{A_y}$ द्वारा परिभाषित होता है।
मान रखने पर,हमें $\tan \theta = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,कोण $\theta = \tan^{-1}(2/3)$ है।

(C) दिया गया सदिश $\vec{R} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$XY$ तल में सदिश की लंबाई ज्ञात करने के लिए,हम केवल सदिश के $x$ और $y$ घटकों पर विचार करते हैं।
$x$-घटक $R_x = 3$ है और $y$-घटक $R_y = 1$ है।
$XY$ तल में लंबाई का सूत्र $\sqrt{R_x^2 + R_y^2}$ है।
मान रखने पर: $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$।

(B) दिया गया सदिश $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j}$ है।
इसकी तुलना $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$ से करने पर,हमें $A_x = 1$ और $A_y = 1$ प्राप्त होता है।
सदिश द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{A_y}{A_x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \frac{1}{1} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan 45^\circ = 1$,इसलिए कोण $\theta = 45^\circ$ है।

(C) एक सदिश को दो या दो से अधिक सदिशों में इस प्रकार विभाजित करने की प्रक्रिया कि उनका सदिश योग मूल सदिश के बराबर हो,सदिश का वियोजन कहलाती है।
किसी भी सदिश $\vec{A}$ को $\vec{A_1}, \vec{A_2}, \dots, \vec{A_n}$ जैसे किसी भी संख्या के सदिशों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,ताकि $\vec{A} = \vec{A_1} + \vec{A_2} + \dots + \vec{A_n}$ हो।
इन घटक सदिशों का एक-दूसरे के लंबवत या समांतर होना आवश्यक नहीं है।
इसलिए,किसी भी सदिश को दो या तीन स्वेच्छ सदिशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिनका परिणामी मूल सदिश होता है।

(A) दिया गया है: $v_y = 20$ और $v_x = 10$.
वेग सदिश $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} = 10 \hat{i} + 20 \hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षैतिज ($X$-अक्ष) के साथ गति की दिशा $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \theta = \frac{20}{10} = 2$
अतः,कोण $\theta$ है:
$\theta = \tan^{-1}(2)$.

(B) दिया गया है,$F_x = 5 \, N$ और $F_y = 5 \, N$।
परिणामी बल $F$ का परिमाण इस प्रकार है:
$|\vec{F}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, N$।
$X$-अक्ष के साथ दिशा $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{F_y}{F_x} = \frac{5}{5} = 1$।
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = \pi/4$ रेडियन (या $45^\circ$) होगा।
अतः,परिणामी बल का परिमाण $5\sqrt{2} \, N$ और दिशा $\pi/4$ है।

(A) दिया गया है कि तीन सदिशों का योग शून्य है,अर्थात $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 0$।
चित्र से,$\vec{OA}$ नीचे की ओर $10 \, N$ के परिमाण के साथ कार्य कर रहा है।
$\vec{OC}$ के ऊर्ध्वाधर घटक को संतुलित करने के लिए,$\vec{OC}$ का ऊर्ध्वाधर घटक $\vec{OA}$ के परिमाण के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $\theta = 45^\circ$ वह कोण है जो $\vec{OC}$ क्षैतिज अक्ष $OD$ के साथ बनाता है।
$\vec{OC}$ का ऊर्ध्वाधर घटक $OC \sin(45^\circ) = OA = 10 \, N$ है।
इसलिए,$OC = \frac{10}{\sin(45^\circ)} = \frac{10}{1/\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \, N$।
$\vec{OC}$ का क्षैतिज घटक $OC \cos(45^\circ) = (10\sqrt{2}) \times (1/\sqrt{2}) = 10 \, N$ है।
चूंकि सदिशों का योग शून्य है,इसलिए $\vec{OC}$ का क्षैतिज घटक $\vec{OB}$ द्वारा संतुलित होना चाहिए।
अतः,$OB = 10 \, N$।
इसलिए,परिमाण $OB = 10 \, N$ और $OC = 10\sqrt{2} \, N$ हैं।

(A) एक द्विविमीय समतल में स्थित सदिश को दो परस्पर लंबवत घटकों में वियोजित किया जा सकता है,जो आमतौर पर $x$ और $y$ अक्षों के अनुदिश होते हैं।
यद्यपि एक सदिश को विभिन्न दिशाओं में किसी भी संख्या में घटकों में वियोजित किया जा सकता है,लेकिन एक समतल में मानक वियोजन में ठीक $2$ आयताकार घटक होते हैं।
अतः,एक समतल में आयताकार घटकों की अधिकतम संख्या $2$ है।

(C) दो सदिश परस्पर लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) शून्य हो।
मान लीजिए $\vec{B} = B_x \hat{i} + B_y \hat{j}$ है।
$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ के लिए,$(A \cos \theta)(B_x) + (A \sin \theta)(B_y) = 0$ होगा।
इसका अर्थ है $B_x \cos \theta = -B_y \sin \theta$,या $\frac{B_x}{B_y} = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$।
अतः,हम $B_x = B \sin \theta$ और $B_y = -B \cos \theta$ चुन सकते हैं।
इसलिए,$\vec{B} = \hat{i} B \sin \theta - \hat{j} B \cos \theta$ होगा।

(A) दिया गया है: क्षैतिज घटक $F_x = 40 \ N$,कोण $\theta = 60^\circ$ है।
क्षैतिज घटक का सूत्र $F_x = F \cos \theta$ है।
मान रखने पर: $40 = F \cos 60^\circ = F \times (1/2)$।
अतः,बल का परिमाण $F = 40 \times 2 = 80 \ N$ है।
ऊर्ध्वाधर घटक का सूत्र $F_y = F \sin \theta$ है।
मान रखने पर: $F_y = 80 \sin 60^\circ = 80 \times (\sqrt{3}/2) = 40\sqrt{3} \ N$।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$F_y = 40 \times 1.732 = 69.28 \ N$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सदिश $\vec{A} = \hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2} \hat{k}$ है।
$Z$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश $\hat{k}$ है,इसलिए $\vec{B} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ लें।
दो सदिशों के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र: $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}$ है।
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(0) + (1)(0) + (\sqrt{2})(1) = \sqrt{2}$।
इसके बाद,$\vec{A}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2$।
$\vec{B}$ का परिमाण $|\vec{B}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2 \times 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45^{\circ}$।

(B) मान लीजिए सदिश $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \dots$ हैं,जिनके $x$-घटक $A_x, B_x, C_x, \dots$ और परिमाण $A, B, C, \dots$ हैं।
परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \dots$ है।
परिणामी का $x$-घटक $R_x = A_x + B_x + C_x + \dots$ होता है।
अतः,कथन $(a)$ सही है।
चूंकि किसी भी सदिश का $x$-घटक हमेशा उसके परिमाण से कम या उसके बराबर होता है $(A_x \le A)$,इसलिए $x$-घटकों का योग $R_x = \sum A_x \le \sum A$ होता है।
इसका अर्थ है कि $R_x$ हमेशा सदिशों के परिमाणों के योग से कम या उसके बराबर होता है।
इसलिए,$R_x$ परिमाणों के योग से कम हो सकता है (कथन $(b)$ सही है)।
हालाँकि,$R_x$ परिमाणों के योग से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए कथन $(c)$ गलत है।
$R_x$ का परिमाणों के योग के बराबर होना आवश्यक नहीं है (कथन $(d)$ गलत है)।
अतः,कथन $(a)$ और $(b)$ सही हैं।

(A) सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{A} = 50(\cos 45^{\circ} \hat{i} + \sin 45^{\circ} \hat{j}) = 50(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$
$\vec{B} = 50(\cos 135^{\circ} \hat{i} + \sin 135^{\circ} \hat{j}) = 50(-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$
$\vec{C} = 50(\cos 315^{\circ} \hat{i} + \sin 315^{\circ} \hat{j}) = 50(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$
सदिशों का योग करने पर:
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 50(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{i} + 50(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{j}$
$\vec{R} = 50(\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$
परिणामी सदिश का परिमाण:
$|\vec{R}| = \sqrt{(50/\sqrt{2})^2 + (50/\sqrt{2})^2} = \sqrt{1250 + 1250} = \sqrt{2500} = 50 \text{ units}$.

(B) त्रिविमीय (three-dimensional) अंतरिक्ष में एक सदिश को तीन परस्पर लंबवत अक्षों: $x$-अक्ष,$y$-अक्ष और $z$-अक्ष के अनुदिश घटकों में वियोजित किया जा सकता है।
इन घटकों को आयताकार घटक (rectangular components) कहा जाता है।
चूंकि हमारा भौतिक अंतरिक्ष त्रिविमीय है,इसलिए एक सदिश के अधिकतम $3$ आयताकार घटक हो सकते हैं।

(D) एक सदिश को विभिन्न दिशाओं में अनंत संख्या के घटकों में वियोजित किया जा सकता है।
हालाँकि हम आमतौर पर एक $3D$ कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में एक सदिश को $3$ परस्पर लंबवत (ऑर्थोगोनल) घटकों में वियोजित करते हैं,लेकिन गणितीय रूप से,एक सदिश को किसी भी दिशा में कितनी भी संख्या के घटकों में विभाजित किया जा सकता है।

(D) माना सदिश $\vec{r}$ है और इसका परिमाण $r$ है।
दिया गया है कि $Y$-अक्ष के अनुदिश घटक $r_y = 10$ इकाई है।
$X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
$Y$-अक्ष के अनुदिश घटक $r_y = r \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $10 = r \sin(30^{\circ})$.
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $10 = r \times 0.5$.
अतः,$r = \frac{10}{0.5} = 20$ इकाई।

(D) माना कि $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$ है।
$\vec{b}$ की दिशा में $\vec{a}$ का घटक ज्ञात करने का सूत्र: $\vec{a}_{\text{parallel}} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(1) + (4)(1) = 3 + 4 = 7$ है।
इसके बाद,$\vec{b}$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (1)^2 = 1 + 1 = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\vec{a}_{\text{parallel}} = \left( \frac{7}{2} \right) (\hat{i} + \hat{j})$ प्राप्त होता है।
अतः,सही घटक $\frac{7}{2}(\hat{i} + \hat{j})$ है।

(D) $xy$-समतल पर सदिश $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ का प्रक्षेप $\vec{r}_{xy} = x\hat{i} + y\hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिश $\vec{r} = 3\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ के लिए,$xy$-समतल पर प्रक्षेप $\vec{r}_{xy} = 3\hat{i} + 1\hat{j}$ है।
इस प्रक्षेप का परिमाण $|\vec{r}_{xy}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$ है।

(D) ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले बल $\vec{F}$ का ऊर्ध्वाधर घटक $F_y = F \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$F = 5 \, N$ और $\theta = 60^\circ$ दिया गया है।
इसलिए,ऊर्ध्वाधर घटक $F_y = 5 \cos 60^\circ$ होगा।
चूंकि $\cos 60^\circ = 0.5$ है,इसलिए $F_y = 5 \times 0.5 = 2.5 \, N$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि सदिश $\overrightarrow{A}$ द्वारा $x$,$y$ और $z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha$,$\beta$ और $\gamma$ हैं।
यह दिया गया है कि सदिश अक्षों के साथ समान कोण बनाता है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।
सदिश के दिक-कोज्या (direction cosines) संबंध $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ को संतुष्ट करते हैं।
$\alpha = \beta = \gamma$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3 \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
सदिश $\overrightarrow{A}$ के घटक $A_x = A \cos \alpha$,$A_y = A \cos \beta$ और $A_z = A \cos \gamma$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,$A_x = A_y = A_z = A \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{A}{\sqrt{3}}$।

(B) मान लीजिए कि $\theta$ वह कोण है जो कण का पथ $x$-अक्ष के साथ बनाता है।
दिए गए निर्देशांक $(x, y) = (\sqrt{3}, 3)$ से,रेखा की ढाल $\tan \theta = \frac{y}{x}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\tan \theta = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$।

(B) माना $AC = b$ और $AB = c$ है। बल $F_1 = 1/b$ भुजा $AC$ के अनुदिश और $F_2 = 1/c$ भुजा $AB$ के अनुदिश कार्य कर रहे हैं।
चूंकि $\angle A = 90^{\circ}$ है,परिणामी बल $F_{\text{net}}$ इस प्रकार होगा:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}} = \sqrt{\frac{b^2 + c^2}{b^2 c^2}}$
$\Delta ABC$ में,$BC^2 = b^2 + c^2$,इसलिए $F_{\text{net}} = \frac{\sqrt{BC^2}}{bc} = \frac{BC}{bc}$।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times b \times c = \frac{1}{2} \times BC \times AD$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $AD$ कर्ण $BC$ पर डाला गया लंब है।
अतः,$bc = BC \times AD$,जिसका अर्थ है कि $\frac{BC}{bc} = \frac{1}{AD}$।
इस प्रकार,$F_{\text{net}} = \frac{1}{AD}$।

(B) मान लीजिए कि बलों $P$ और $Q$ के बीच का कोण $\theta$ है।
परिणामी $R$ सदिश योग $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ द्वारा दिया जाता है।
$P$ की दिशा में $R$ का वियोजित भाग $P + Q \cos \theta$ है।
प्रश्न के अनुसार,यह वियोजित भाग $Q$ के बराबर है।
इसलिए,$P + Q \cos \theta = Q$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $Q \cos \theta = Q - P$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \theta = \frac{Q - P}{Q} = 1 - \frac{P}{Q}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \theta = 1 - 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$1 - 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \frac{P}{Q}$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर,$-2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) = -\frac{P}{Q}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{P}{2Q}$.
वर्गमूल लेने पर,$\sin \left(\frac{\theta}{2}\right) = \left(\frac{P}{2Q}\right)^{1/2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,कोण $\theta = 2 \sin^{-1} \left(\frac{P}{2Q}\right)^{1/2}$ है।

(B) सदिश $\vec{A} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 10\hat{k}$ दिया गया है।
$x-y$ समतल में सदिश का घटक इसके $x$ और $y$ घटकों का परिणामी होता है,जो $\sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ प्राप्त होता है।
$z$-अक्ष पर सदिश का घटक $A_z = 10$ है।
$x-y$ समतल पर घटक के परिमाण और $z$-अक्ष पर घटक का अनुपात $\frac{5}{10} = 0.5$ है।

(C) सदिश $P = P_x \hat{i} + P_y \hat{j} + P_z \hat{k}$ द्वारा $z$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\gamma$,$\cos \gamma = \frac{P_z}{|P|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $P = 6 \hat{i} + 4 \sqrt{2} \hat{j} + 4 \sqrt{2} \hat{k}$ दिया गया है।
सदिश $P$ का परिमाण $|P| = \sqrt{(6)^2 + (4 \sqrt{2})^2 + (4 \sqrt{2})^2}$ है।
$|P| = \sqrt{36 + (16 \times 2) + (16 \times 2)} = \sqrt{36 + 32 + 32} = \sqrt{100} = 10$.
$z$-घटक $P_z = 4 \sqrt{2}$ है।
अतः,$\cos \gamma = \frac{4 \sqrt{2}}{10} = \frac{2 \sqrt{2}}{5}$.
इस प्रकार,$\gamma = \cos^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{5}\right)$.

(D) बल $F = 5 \ N$,ऊर्ध्वाधर दिशा के साथ $\theta = 60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले सदिश $F$ का ऊर्ध्वाधर घटक $F_V = F \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$F_V = 5 \times \cos 60^{\circ}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$,हमें प्राप्त होता है:
$F_V = 5 \times 0.5 = 2.5 \ N$.
अतः,ऊर्ध्वाधर घटक $2.5 \ N$ है।

(A) व्यक्ति पूर्व से उत्तर की ओर $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर $d = 20\,m$ की दूरी तय करता है।
पूर्व की दिशा में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,हम विस्थापन सदिश के क्षैतिज घटक की गणना करेंगे।
क्षैतिज घटक $d_x = d \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $d_x = 20 \cos(60^{\circ})$.
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $d_x = 20 \times 0.5 = 10\,m$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यक्ति ने पूर्व की दिशा में $10\,m$ की दूरी तय की है।

(A) सदिश $\vec{A} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}$ का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
मान लीजिए कि $\alpha, \beta, \text{ और } \gamma$ वे कोण हैं जो सदिश $x, y, \text{ और } z$ अक्षों के साथ बनाता है।
दिक् कोज्याएं (direction cosines) इस प्रकार दी जाती हैं: $\cos \alpha = \frac{A_x}{|\vec{A}|}, \cos \beta = \frac{A_y}{|\vec{A}|}, \text{ और } \cos \gamma = \frac{A_z}{|\vec{A}|}$.
मान रखने पर: $\cos \alpha = \frac{3}{7}, \cos \beta = \frac{6}{7}, \text{ और } \cos \gamma = \frac{2}{7}$.
अतः,कोण $\alpha = \cos^{-1}(\frac{3}{7}), \beta = \cos^{-1}(\frac{6}{7}), \text{ और } \gamma = \cos^{-1}(\frac{2}{7})$ हैं।

(C) चित्र से,बल $\vec{F}$ चौथे चतुर्थांश में धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
इसलिए,धनात्मक $x$-अक्ष के साथ कोण $\theta = -45^{\circ}$ है।
बल के घटक हैं:
$F_x = F \cos(-45^{\circ}) = 100 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{2}$
$F_y = F \sin(-45^{\circ}) = 100 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -50\sqrt{2}$
अतः,इकाई सदिश संकेतन में बल है:
$\vec{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j} = 50\sqrt{2} \hat{i} - 50\sqrt{2} \hat{j} = 50\sqrt{2}(\hat{i} - \hat{j})$

(N/A) माना $\vec{P} = \hat{i} + \hat{j}$। इसका परिमाण $|\vec{P}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है। इसकी दिशा $x$-अक्ष के साथ $\theta = \tan^{-1}(1/1) = 45^{\circ}$ है।
माना $\vec{Q} = \hat{i} - \hat{j}$। इसका परिमाण $|\vec{Q}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है। इसकी दिशा $x$-अक्ष के साथ $\theta = \tan^{-1}(-1/1) = -45^{\circ}$ है।
सदिश $\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ का सदिश $\vec{V}$ की दिशा में घटक ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\text{Component} = \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{V}}{|\vec{V}|} \right) \hat{V}$ का उपयोग करते हैं।
$\vec{V}_1 = \hat{i} + \hat{j}$ के लिए,$|\vec{V}_1| = \sqrt{2}$ है। इकाई सदिश $\hat{u}_1 = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ है।
घटक $= (\vec{A} \cdot \hat{u}_1) \hat{u}_1 = \left( \frac{(2\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j})}{\sqrt{2}} \right) \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} = \left( \frac{2+3}{2} \right) (\hat{i} + \hat{j}) = 2.5(\hat{i} + \hat{j})$।
$\vec{V}_2 = \hat{i} - \hat{j}$ के लिए,$|\vec{V}_2| = \sqrt{2}$ है। इकाई सदिश $\hat{u}_2 = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$ है।
घटक $= (\vec{A} \cdot \hat{u}_2) \hat{u}_2 = \left( \frac{(2\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (\hat{i} - \hat{j})}{\sqrt{2}} \right) \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} = \left( \frac{2-3}{2} \right) (\hat{i} - \hat{j}) = -0.5(\hat{i} - \hat{j})$।

(N/A) चित्र $(a)$ में,$\vec{A}$ और $\vec{B}$ समतलीय और गैर-समानांतर सदिश हैं।
हम सदिश $\vec{R}$ को $\vec{A}$ और $\vec{B}$ की दिशा में घटकों में वियोजित करना चाहते हैं।
मान लीजिए $\vec{OQ}$,$\vec{R}$ को दर्शाता है।
चित्र $(b)$ में,$O$ से $\vec{A}$ के समानांतर एक रेखा खींचिए और $Q$ से $\vec{B}$ के समानांतर दूसरी रेखा खींचिए। ये दोनों रेखाएं बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार:
$\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{PQ}$
यहाँ,$\vec{OP} \parallel \vec{A}$ है,इसलिए हम $\vec{OP} = \lambda \vec{A}$ लिख सकते हैं।
और $\vec{PQ} \parallel \vec{B}$ है,इसलिए हम $\vec{PQ} = \mu \vec{B}$ लिख सकते हैं।
(यहाँ,$\lambda$ और $\mu$ अदिश स्थिरांक हैं)।
अतः,$\vec{R} = \lambda \vec{A} + \mu \vec{B}$।
इसका अर्थ है कि $\vec{R}$ को $\vec{A}$ और $\vec{B}$ की दिशाओं में उसके घटकों के योग के रूप में व्यक्त किया गया है।

(N/A) चित्र में दर्शाए अनुसार $O$-$XY$ द्विविमीय कार्तीय निर्देशांक पद्धति पर विचार करें।
मान लीजिए बिंदु $P$ का स्थिति सदिश $\vec{A}$ है।
$P$ से $X$-अक्ष पर प्रक्षेप (projection) खींचने पर हमें $OM$ प्राप्त होता है,जहाँ $\vec{OM} = \vec{A}_x = A_x \hat{i}$,$\vec{A}$ का $X$-घटक है।
$P$ से $Y$-अक्ष पर प्रक्षेप खींचने पर हमें $ON$ प्राप्त होता है,जहाँ $\vec{ON} = \vec{A}_y = A_y \hat{j}$,$\vec{A}$ का $Y$-घटक है,जहाँ $A_x$ और $A_y$ वास्तविक संख्याएँ हैं।
चित्र से,सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार:
$\vec{A} = \vec{A}_x + \vec{A}_y$
$\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$
मान लीजिए $\vec{A}$,$X$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
समकोण त्रिभुज $\Delta OMP$ में:
$\cos \theta = \frac{A_x}{A} \implies A_x = A \cos \theta$
$\sin \theta = \frac{A_y}{A} \implies A_y = A \sin \theta$
इन समीकरणों से यह स्पष्ट है कि कोण $\theta$ के आधार पर घटक धनात्मक,ऋणात्मक या शून्य हो सकते हैं।
सदिशों को एक समतल में दो तरीकों से दर्शाया जा सकता है:
$(i)$ उनके परिमाण और दिशा द्वारा।
$(ii)$ उनके घटकों ($X$ और $Y$ घटकों) द्वारा।

(B) सदिश का वियोजन एक सदिश को विशिष्ट दिशाओं (आमतौर पर $x$ और $y$ जैसे लंबवत अक्षों पर) में दो या अधिक घटकों में विभाजित करने की प्रक्रिया है।
यह तकनीक मुख्य रूप से सदिशों के योग और घटाव को सरल बनाने के लिए आवश्यक है।
सदिशों को उनके आयताकार घटकों में वियोजित करके,हम उनके संबंधित $x$ और $y$ घटकों को जोड़कर या घटाकर उन्हें बीजगणितीय रूप से हल कर सकते हैं,जो प्रत्येक संक्रिया के लिए समांतर चतुर्भुज नियम या त्रिभुज नियम का उपयोग करने की तुलना में बहुत आसान है।

(A) मान लीजिए कि कुल तय की गई दूरी $d = 500 \,m$ है जो क्षैतिज रन-वे के साथ $\theta = 60^o$ का कोण बनाती है।
दूरी का क्षैतिज घटक $d_x = d \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
$d_x = 500 \cos(60^o) = 500 \times (1/2) = 250 \,m$.
दूरी का ऊर्ध्वाधर घटक $d_y = d \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
$d_y = 500 \sin(60^o) = 500 \times (\sqrt{3}/2) = 250 \sqrt{3} \,m$.
अतः,क्षैतिज दूरी $250 \,m$ है और ऊर्ध्वाधर दूरी $250 \sqrt{3} \,m$ है।

(N/A) नहीं। मान लीजिए कि एक सदिश $\vec{A}$ के द्विविमीय तल में आयताकार घटक $A_x$ और $A_y$ हैं।
ये घटक इस प्रकार दिए जाते हैं:
$A_x = A \cos \theta$
$A_y = A \sin \theta$
जहाँ $A$ सदिश का परिमाण है और $\theta$ वह कोण है जो यह $x$-अक्ष के साथ बनाता है।
चूंकि $\sin \theta$ और $\cos \theta$ दोनों का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए घटकों $A_x$ और $A_y$ का अधिकतम मान केवल $A$ के बराबर हो सकता है (जब $\theta = 0^\circ$ या $90^\circ$ हो)।
गणितीय रूप से,चूंकि $|\cos \theta| \le 1$ और $|\sin \theta| \le 1$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $|A_x| \le |A|$ और $|A_y| \le |A|$।
अतः,किसी आयताकार घटक का परिमाण कभी भी मूल सदिश के परिमाण से अधिक नहीं हो सकता है।

(N/A) मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ और $\gamma$ क्रमशः सदिश $\overrightarrow{A}$ और $x, y$ तथा $z$-अक्षों के बीच के कोण हैं।
$x, y$ और $z$-अक्षों के अनुदिश सदिश $\overrightarrow{A}$ के घटक इस प्रकार हैं:
$A_{x} = A \cos \alpha$
$A_{y} = A \cos \beta$
$A_{z} = A \cos \gamma$
सामान्य रूप में,सदिश $\overrightarrow{A}$ को उसके घटकों के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$\overrightarrow{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} + A_{z} \hat{k}$
सदिश $\overrightarrow{A}$ का परिमाण इस प्रकार है:
$|\overrightarrow{A}| = A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2} + A_{z}^{2}}$
इसी प्रकार,एक स्थिति सदिश (position vector) $\vec{r}$ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
$\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$
जहाँ $x, y$ और $z$ क्रमशः $x, y$ और $z$-अक्षों के अनुदिश $\vec{r}$ के घटक हैं।
स्थिति सदिश $\vec{r}$ का परिमाण:
$|\vec{r}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

(A) मान लीजिए कि बल $\overrightarrow{P}$ बिंदु $A$ पर नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर दिशा में लगाया गया है। हमें इस बल को छड़ों $AB$ और $AC$ की दिशाओं में वियोजित करने की आवश्यकता है।
मान लीजिए $\overrightarrow{F_{AB}}$ और $\overrightarrow{F_{AC}}$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के अनुदिश बल $\overrightarrow{P}$ के घटक हैं।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,$\overrightarrow{P} = \overrightarrow{F_{AB}} + \overrightarrow{F_{AC}}$.
चित्र से,ऊर्ध्वाधर बल $\overrightarrow{P}$ और छड़ $AC$ के बीच का कोण $35^{\circ}$ है।
छड़ $AC$ की दिशा में बल $\overrightarrow{P}$ का घटक $P \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बल सदिश और छड़ के बीच का कोण है।
अतः,$AC$ के अनुदिश घटक का परिमाण $x = 100 \cos(35^{\circ}) \; N$ है।
दिया गया है कि $\cos(35^{\circ}) = 0.819$.
$x = 100 \times 0.819 = 81.9 \; N$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $x = 82$ प्राप्त होता है।

(A) माना प्रत्येक सदिश का परिमाण $\lambda$ है।
$\overrightarrow{ OA } = \lambda (\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j}) = \lambda (\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j})$
$\overrightarrow{ OB } = \lambda (\cos 60^{\circ} \hat{i} - \sin 60^{\circ} \hat{j}) = \lambda (\frac{1}{2} \hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j})$
$\overrightarrow{ OC } = \lambda (\cos 45^{\circ} (-\hat{i}) + \sin 45^{\circ} \hat{j}) = \lambda (-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$
अब,$\overrightarrow{ R } = \overrightarrow{ OA } + \overrightarrow{ OB } - \overrightarrow{ OC }$ की गणना करें।
$\overrightarrow{ R } = \lambda [(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) \hat{i} + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{j}]$
$\overrightarrow{ R } = \lambda [(\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{2}}{2}) \hat{i} + (\frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}) \hat{j}]$
$x$-अक्ष के साथ कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{R_y}{R_x}$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \frac{\frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{2}}{2}} = \frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
अतः,$\theta = \tan ^{-1} \frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}$।

(A) परिणामी बल ज्ञात करने के लिए,प्रत्येक बल को उसके $x$ और $y$ घटकों में वियोजित करते हैं:
$F_x = 10 \cos 30^\circ + 20 \sin 30^\circ + 20 \cos 45^\circ - 15 \cos 45^\circ - 15 \sin 60^\circ$
$F_x = 10(0.85) + 20(0.5) + 20(0.7) - 15(0.7) - 15(0.85) = 8.5 + 10 + 14 - 10.5 - 12.75 = 9.25 \text{ N}$
$F_y = 10 \sin 30^\circ + 20 \cos 30^\circ + 15 \cos 60^\circ - 20 \sin 45^\circ - 15 \sin 45^\circ$
$F_y = 10(0.5) + 20(0.85) + 15(0.5) - 20(0.7) - 15(0.7) = 5 + 17 + 7.5 - 14 - 10.5 = 5 \text{ N}$
अतः,परिणामी बल $9.25 \hat{i} + 5 \hat{j} \text{ N}$ है।

(D) व्यक्ति का विस्थापन सदिश $r = 3.18 \,km$ है जो पूर्व से उत्तर की ओर $\theta = 25.0^{\circ}$ के कोण पर है।
उत्तर दिशा में और फिर पूर्व दिशा में चलकर उसी स्थान पर पहुँचने के लिए,हमें विस्थापन सदिश को उसके आयताकार घटकों में वियोजित करना होगा।
पूर्व दिशा (x-अक्ष) के अनुदिश घटक $x = r \cos \theta = 3.18 \times \cos 25.0^{\circ} \approx 3.18 \times 0.9063 = 2.88 \,km$ है।
उत्तर दिशा (y-अक्ष) के अनुदिश घटक $y = r \sin \theta = 3.18 \times \sin 25.0^{\circ} \approx 3.18 \times 0.4226 = 1.34 \,km$ है।
अतः,उसी स्थान पर पहुँचने के लिए व्यक्ति को $1.34 \,km$ उत्तर की ओर और $2.88 \,km$ पूर्व की ओर चलना होगा।
इस प्रकार,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) दिया गया है,विस्थापन सदिश का परिमाण $|\vec{d}| = 4$ और $x$-अक्ष के साथ कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
सदिश $\vec{d}$ के आयताकार घटक इस प्रकार हैं:
$d_x = |\vec{d}| \cos \theta$
$d_y = |\vec{d}| \sin \theta$
मान रखने पर:
$d_x = 4 \cos 30^{\circ} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
$d_y = 4 \sin 30^{\circ} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$
अतः,आयताकार घटक $2\sqrt{3}$ और $2$ हैं।

(D) $10 \, N$ परिमाण वाले सदिश के लिए,यदि इसके आयताकार घटक $F_x$ और $F_y$ हैं,तो इसे $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$ शर्त को पूरा करना चाहिए,जिसका अर्थ है $F^2 = F_x^2 + F_y^2 = 10^2 = 100$।
प्रत्येक विकल्प की जाँच करने पर:
$A$: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$। (संभव है)
$B$: $7^2 + (\sqrt{51})^2 = 49 + 51 = 100$। (संभव है)
$C$: $(6\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{7})^2 = (36 \times 2) + (4 \times 7) = 72 + 28 = 100$। (संभव है)
$D$: $9^2 + 1^2 = 81 + 1 = 82 \neq 100$। (संभव नहीं है)
अतः,$9 \, N$ और $1 \, N$ का युग्म आयताकार घटक नहीं हो सकता है।

(D) माना सदिश $\vec{A}$ है। $y$-घटक $A_y = A \cos 30^{\circ}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $A_y = 2 \sqrt{3}$,इसलिए:
$A \cos 30^{\circ} = 2 \sqrt{3}$
$A \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \sqrt{3}$
$A = 4$
अब,$x$-घटक $A_x = A \sin 30^{\circ}$ द्वारा दिया जाता है।
$A_x = 4 \times \sin 30^{\circ} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
अतः,$x$-घटक का परिमाण $2$ है।

(D) माना सदिश $\overrightarrow{OP}$,$x$-अक्ष की दिशा में है,$\overrightarrow{OP} = A \hat{i}$.
सदिश $\overrightarrow{OQ}$,$\overrightarrow{OP}$ से $90^\circ$ पर है,इसलिए $\overrightarrow{OQ} = A \hat{j}$.
सदिश $\overrightarrow{OR}$,$x$-अक्ष के नीचे $45^\circ$ पर है,इसलिए $\overrightarrow{OR} = A \cos(45^\circ) \hat{i} - A \sin(45^\circ) \hat{j} = \frac{A}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{A}{\sqrt{2}} \hat{j}$.
परिणामी सदिश $\vec{R} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} = (A + \frac{A}{\sqrt{2}}) \hat{i} + (A - \frac{A}{\sqrt{2}}) \hat{j}$.
परिणामी का परिमाण $|\vec{R}| = \sqrt{(A + \frac{A}{\sqrt{2}})^2 + (A - \frac{A}{\sqrt{2}})^2}$.
$|\vec{R}| = \sqrt{A^2(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + A^2(1 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2} = A \sqrt{(1 + \frac{1}{2} + \sqrt{2}) + (1 + \frac{1}{2} - \sqrt{2})} = A \sqrt{1 + 0.5 + 1 + 0.5} = A \sqrt{3}$.
$A \sqrt{3}$ की तुलना $A \sqrt{x}$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) सदिश $\vec{A} = \sqrt{3} \hat{i} - \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
इसे $\vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A_x = \sqrt{3}$ और $A_y = -1$ प्राप्त होता है।
सदिश द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{A_y}{A_x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\tan \theta = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\tan(-30^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ होता है।
अतः,$\theta = -30^{\circ}$।

(D) $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर कार्य करने वाले बल $F$ के घटक $F_{x} = F \cos \theta$ और $F_{y} = F \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए:
$F_{x} = F \cos 30^{\circ} = F \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} F$.
$F_{y} = F \sin 30^{\circ} = F \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} F$.
अतः,$X$ और $Y$ घटक क्रमशः $\frac{\sqrt{3}}{2} F$ और $\frac{1}{2} F$ हैं।

(A) सदिश $\vec{r}$ का $x$-अक्ष के अनुदिश घटक $r_x = r \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{r}$ और $x$-अक्ष के बीच का कोण है।
घटक $r_x$ का मान अधिकतम होने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सदिश $\vec{r}$ का $x$-अक्ष के अनुदिश घटक तब अधिकतम होता है जब सदिश $\vec{r}$ धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में हो।

(B) एक बल $F$ जिसके आयताकार घटक $F_x$ और $F_y$ हैं,के लिए संबंध $F^2 = F_x^2 + F_y^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया है कि परिणामी बल $F = 40 \ N$ है और एक घटक $F_x = 20 \sqrt{3} \ N$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(40)^2 = (20 \sqrt{3})^2 + F_y^2$
$1600 = (400 \times 3) + F_y^2$
$1600 = 1200 + F_y^2$
$F_y^2 = 1600 - 1200 = 400$
$F_y = \sqrt{400} = 20 \ N$.
अतः,दूसरा आयताकार घटक $20 \ N$ है।

(B) प्रारंभिक सदिश $\vec{A} = 4\hat{i} + 10\hat{j}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{(4)^2 + (10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \,m$ है।
जब सदिश को घुमाया जाता है, तो उसका परिमाण स्थिर रहता है।
मान लीजिए नया सदिश $\vec{A}' = 8\hat{i} + n\hat{j}$ है, जहाँ $x$-घटक दोगुना $(4 \times 2 = 8)$ हो जाता है।
चूँकि परिमाण संरक्षित रहता है, $|\vec{A}'| = |\vec{A}|$.
$\sqrt{8^2 + n^2} = \sqrt{116}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $64 + n^2 = 116$ प्राप्त होता है।
$n^2 = 116 - 64 = 52$.
$n = \sqrt{52} \approx 7.21 \,m$.
अतः, नया $y$-घटक लगभग $7.2 \,m$ है।