Maximum and minimum values of trigonometrical functions, Conditional trigonometrical identities Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $f(\theta) = 8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$.
ધન પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta}{2} \ge \sqrt{8 \sec^2 \theta \times 2 \cos^2 \theta}$
$\frac{8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta}{2} \ge \sqrt{16 \sec^2 \theta \cos^2 \theta}$
કારણ કે $\sec^2 \theta \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$\frac{8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta}{2} \ge \sqrt{16}$
$8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta \ge 2 \times 4$
$8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta \ge 8$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $8$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,સમાંતર મધ્યક એ ગુણોત્તર મધ્યક કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોય છે,એટલે કે $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
ધારો કે $a = \sqrt{\frac{x}{y}}$ અને $b = \sqrt{\frac{y}{x}}$.
તેથી $\frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right) \ge \sqrt{\sqrt{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt{\frac{y}{x}}} = \sqrt{1} = 1$.
કારણ કે $\sin \theta = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right)$ અને આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $\theta \in \mathbb{R}$ માટે $\sin \theta \le 1$,તેથી આ પદાવલિની એકમાત્ર શક્ય કિંમત $1$ છે.
તેથી,$\frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} \right) = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = 4$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2$ થાય છે.
$xy$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + y^2 = 2xy$ મળે છે,અથવા $(x-y)^2 = 0$.
આમ,$x = y$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = \pi \implies \alpha = \pi - \beta \implies \tan \alpha = -\tan \beta$.
વળી,$\beta + \gamma = \alpha$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(\beta + \gamma) = \tan \alpha$.
$\frac{\tan \beta + \tan \gamma}{1 - \tan \beta \tan \gamma} = \tan \alpha$.
$\tan \beta = -\tan \alpha$ મૂકતા:
$\frac{-\tan \alpha + \tan \gamma}{1 - (-\tan \alpha) \tan \gamma} = \tan \alpha$.
$-\tan \alpha + \tan \gamma = \tan \alpha(1 + \tan \alpha \tan \gamma) = \tan \alpha + \tan^2 \alpha \tan \gamma$.
$\tan^2 \alpha \tan \gamma = -2 \tan \alpha + \tan \gamma$.
$\tan \alpha = -\tan \beta$ હોવાથી,$\tan^2 \alpha \tan \gamma = 2 \tan \beta + \tan \gamma$.
$\tan^2 \alpha = \frac{2 \tan \beta + \tan \gamma}{\tan \gamma}$.
$\alpha = \pi - \beta$ હોવાથી અને $\beta, \gamma$ ધન હોવાથી,$\alpha$ બીજા ચરણમાં છે,તેથી $\tan \alpha$ ઋણ હશે.
તેથી,$\tan \alpha = -\sqrt{\frac{2 \tan \beta + \tan \gamma}{\tan \gamma}}$.

(B) આપેલ છે $E = \frac{25\sec^4 x - 50\sec^2 x + 74}{\tan^2 x}$.
નિત્યસમ $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{25(\sec^2 x - 1)^2 + 49}{\tan^2 x}$
$\sec^2 x - 1 = \tan^2 x$ હોવાથી:
$E = \frac{25(\tan^2 x)^2 + 49}{\tan^2 x}$
$E = 25\tan^2 x + \frac{49}{\tan^2 x}$
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક અસમતા $(AM \ge GM)$ મુજબ:
$E \ge 2 \sqrt{25\tan^2 x \cdot \frac{49}{\tan^2 x}}$
$E \ge 2 \sqrt{25 \cdot 49}$
$E \ge 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $70$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,સમાંતર મધ્યક એ ગુણોત્તર મધ્યક કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોય છે,એટલે કે $\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{(x+y)^2}{4} \geq xy$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{4xy}{(x+y)^2} \leq 1$.
બધી વાસ્તવિક $\theta$ માટે $cosec^2 \theta \geq 1$ હોવાથી,સમીકરણ $cosec^2 \theta = \frac{4xy}{(x+y)^2}$ ત્યારે જ શક્ય છે જો બંને બાજુ $1$ હોય.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\frac{4xy}{(x+y)^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $4xy = (x+y)^2$ અથવા $(x-y)^2 = 0$ થાય છે,એટલે કે $x = y$.
વધુમાં,$cosec^2 \theta$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x$ અને $y$ શૂન્ય ન હોવા જોઈએ (કારણ કે $x=y$,$x \neq 0$ નો અર્થ છે $y \neq 0$ અને $x+y \neq 0$).

(B) ધારો કે $E = \sin \theta + \cos \theta + \sin 2\theta$.
ધારો કે $t = \sin \theta + \cos \theta$. તો $t^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta$,તેથી $\sin 2\theta = t^2 - 1$.
$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે.
$t$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $E = t + t^2 - 1 = t^2 + t - 1$ મળે છે.
આ $t$ માં એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે જે ઉપરની તરફ ખુલે છે. $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ અંતરાલ પર મહત્તમ કિંમત સીમા $t = \sqrt{2}$ પર મળે છે.
$E_{\max} = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$.
નોંધો કે $1 + \sqrt{2} = \tan(\frac{3\pi}{8})$.

(C) $99 \cos 2\theta - 20 \sin 2\theta$ પદ $a \cos x + b \sin x$ સ્વરૂપમાં છે,જેનો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$a = 99$ અને $b = -20$.
$\sqrt{99^2 + (-20)^2} = \sqrt{9801 + 400} = \sqrt{10201} = 101$.
આમ,$-101 \leq 99 \cos 2\theta - 20 \sin 2\theta \leq 101$.
સમીકરણનો ઉકેલ મળે તે માટે,$-101 \leq 20p + 35 \leq 101$ હોવું જોઈએ.
બધી બાજુથી $35$ બાદ કરતા: $-136 \leq 20p \leq 66$.
$20$ વડે ભાગતા: $-6.8 \leq p \leq 3.3$.
$p$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
આવા પૂર્ણાંક મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $10$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2 + 5}{2} = x - 2\cos(ax + b)$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$2\cos(ax + b) = x - \frac{x^2 + 5}{2}$ મળે.
$-\frac{1}{2}$ વડે ગુણતા,$-\cos(ax + b) = \frac{x^2 - 2x + 5}{4}$ મળે.
આને $-\cos(ax + b) = \frac{(x - 1)^2}{4} + 1$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-\cos(ax + b) \in [-1, 1]$.
વળી,$\frac{(x - 1)^2}{4} + 1 \geq 1$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે.
સમીકરણનો ઉકેલ મેળવવા માટે,બંને બાજુ $1$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$\frac{(x - 1)^2}{4} + 1 = 1 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ ને $-\cos(ax + b) = 1$ માં મૂકતા,$\cos(ax + b) = -1$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $ax + b = (2k + 1)\pi$,જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે.
$x = 1$ માટે,$a + b = (2k + 1)\pi$ મળે.
$k = 0$ લેતા,$a + b = \pi$ મળે.

(B) આપેલ છે $y = \frac{7 + 6 \tan x - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$.
$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = (7 + 6 \tan x - \tan^2 x) \cos^2 x$.
$y = 7 \cos^2 x + 6 \sin x \cos x - \sin^2 x$.
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$,$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$,અને $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 7 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + 3 \sin 2x - \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)$.
$y = \frac{7 + 7 \cos 2x - 1 + \cos 2x}{2} + 3 \sin 2x = 4 \cos 2x + 3 \sin 2x + 3$.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
અહીં,મહત્તમ કિંમત $\sqrt{4^2 + 3^2} + 3 = 5 + 3 = 8$ છે.
તેથી,$\lambda = 8$.
આપણે $\log_{\sqrt{2}}(8) = \log_{\sqrt{2}}((\sqrt{2})^6) = 6$ મેળવીએ છીએ.

(D) ધારો કે $p = \sin x + \cos x$. તેથી $p^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x \cos x = \frac{p^2 - 1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{p^2 - 1}$.
વળી,$\sec x + \csc x = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} = \frac{2p}{p^2 - 1}$.
વિધેયમાં આ કિંમતો મૂકતા: $f(x) = |p + \frac{2}{p^2 - 1} + \frac{2p}{p^2 - 1}| = |p + \frac{2(1 + p)}{(p - 1)(p + 1)}| = |p + \frac{2}{p - 1}|$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $f(x) = |(p - 1) + \frac{2}{p - 1} + 1|$.
$p - 1 > 0$ માટે,$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$(p - 1) + \frac{2}{p - 1} \geq 2\sqrt{2}$.
આમ,$f(x) \geq 2\sqrt{2} + 1$.

(B) વિધેય $f(x) = \cos(\tan x)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
કારણ કે સાઈન વિધેય $g(u) = \sin u$ એ અંતરાલ $[-1, 1]$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી સંયોજિત વિધેય $\sin(\cos(\tan x))$ ની મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળશે જ્યારે અંદરના વિધેય $\cos(\tan x)$ ની કિંમત મહત્તમ હોય.
$\cos(\tan x)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે (જે $\tan x = 0$ હોય ત્યારે મળે છે).
તેથી,$\sin(\cos(\tan x))$ ની મહત્તમ કિંમત $\sin(1)$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \sin x$,જ્યાં $x \in (0, \pi)$.
$f''(x) = -\sin x < 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ અંતર્મુખ વિધેય છે.
જેન્સનના અસમતા મુજબ,$\frac{\sin A + \sin B + \sin(C - \frac{\pi}{2})}{3} \leq \sin\left(\frac{A + B + C - \frac{\pi}{2}}{3}\right)$.
$A + B + C = \pi$ હોવાથી,$\frac{\sin A + \sin B - \cos C}{3} \leq \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\sin A + \sin B - \cos C \leq \frac{3}{2}$.
મહત્તમ કિંમત $\frac{3}{2}$ છે.

(A) ધારો કે $S = \cos 2\theta + \cos \theta$.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2\cos^2 \theta - 1 + \cos \theta$.
$\cos \theta$ ના પદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$S = 2(\cos^2 \theta + \frac{1}{2}\cos \theta) - 1$.
$S = 2(\cos^2 \theta + \frac{1}{2}\cos \theta + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) - 1$.
$S = 2(\cos \theta + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - 1$.
$S = 2(\cos \theta + \frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8}$.
કારણ કે $(\cos \theta + \frac{1}{4})^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે (જે $\cos \theta = -1/4$ હોય ત્યારે મળે છે,જે $\cos \theta$ માટે શક્ય છે),તેથી $S$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-9/8$ છે.

(A) ધારો કે $f(\theta) = 2\sin^2\theta - 3\sin\theta$. ધારો કે $x = \sin\theta$,જ્યાં $x \in [-1, 1]$.
તેથી પદાવલિ $g(x) = 2x^2 - 3x$ બને છે.
આ પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -b/(2a) = 3/4$ પર છે.
$3/4 \in [-1, 1]$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x = 3/4$ પર મળે છે:
$g(3/4) = 2(9/16) - 9/4 = -9/8$.
મહત્તમ કિંમત અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ $x = -1$ અને $x = 1$ પર મળે છે.
$x = -1$ માટે: $g(-1) = 2 + 3 = 5$.
$x = 1$ માટે: $g(1) = 2 - 3 = -1$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $5$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $-9/8$ છે.

(A) આપણે $0 < \theta < \pi$ માટે $f(\theta) = 3 \sin \theta + \text{cosec}^3 \theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે.
ચાર ધન પદો $\sin \theta, \sin \theta, \sin \theta, \text{cosec}^3 \theta$ માટે $A.M. \ge G.M.$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin \theta + \sin \theta + \sin \theta + \text{cosec}^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{(\sin \theta \cdot \sin \theta \cdot \sin \theta \cdot \text{cosec}^3 \theta)}$
$\frac{3 \sin \theta + \text{cosec}^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{(\sin^3 \theta \cdot \text{cosec}^3 \theta)}$
કારણ કે $\sin \theta \cdot \text{cosec} \theta = 1$,તેથી:
$\frac{3 \sin \theta + \text{cosec}^3 \theta}{4} \ge \sqrt[4]{1^3} = 1$
$3 \sin \theta + \text{cosec}^3 \theta \ge 4$
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sin^2 \theta = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta \leq 1$,તેથી $\frac{x^2 + y^2}{2xy} \leq 1$ હોવું જોઈએ.
વળી,$\sin^2 \theta$ અઋણ હોવાથી,$x$ અને $y$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ,તેથી $\frac{x^2 + y^2}{2xy} > 0$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા મુજબ,ધન $x, y$ માટે,$\frac{x^2 + y^2}{2} \geq \sqrt{x^2 y^2} = |xy|$.
આમ,જ્યારે $x, y$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય ત્યારે $\frac{x^2 + y^2}{2xy} \geq 1$ થાય.
આપણે $\frac{x^2 + y^2}{2xy} \leq 1$ અને $\frac{x^2 + y^2}{2xy} \geq 1$ બંને શરતોનું પાલન કરવું પડે,તેથી $\frac{x^2 + y^2}{2xy} = 1$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ થાય કે $x^2 + y^2 = 2xy$,જેનું સાદું રૂપ $(x - y)^2 = 0$ થાય,તેથી $x = y$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \geq 1$ અને $x \in \mathbb{R}$ માટે,$0 \leq \sin^2 x \leq 1$ અને $0 \leq \cos^2 x \leq 1$ છે.
$0 \leq \sin^2 x \leq 1$ હોવાથી,$0 \leq \sin^{2n} x \leq \sin^2 x$ મળે.
તે જ રીતે,$0 \leq \cos^{2n} x \leq \cos^2 x$ મળે.
આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,$0 \leq \sin^{2n} x + \cos^{2n} x \leq \sin^2 x + \cos^2 x$ મળે.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી $0 < \sin^{2n} x + \cos^{2n} x \leq 1$ થાય.
ચોક્કસ રીતે,ન્યૂનતમ કિંમત $1/2^{n-1}$ ($x = \pi/4$ પર) અને મહત્તમ કિંમત $1$ ($x = 0$ અથવા $x = \pi/2$ પર) છે.

(D) આપેલ છે કે $\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3 = 3$.
સાઇન વિધેયની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,આ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin \theta_1 = 1$,$\sin \theta_2 = 1$,અને $\sin \theta_3 = 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \frac{\pi}{2}$.
હવે,કોસાઇનનો સરવાળો ગણતા:
$\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3 = \cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 + 0 + 0 = 0$.

(B) ધારો કે $f(\theta) = 12 \sin \theta - 9 \sin^2 \theta$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$x = \sin \theta$ લો,જ્યાં $x \in [-1, 1]$.
તેથી $f(x) = 12x - 9x^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f'(x) = 12 - 18x$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$12 - 18x = 0$,તેથી $x = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
કારણ કે $\frac{2}{3} \in [-1, 1]$,આપણે આ બિંદુએ વિધેયની કિંમત શોધીએ:
$f\left(\frac{2}{3}\right) = 12\left(\frac{2}{3}\right) - 9\left(\frac{2}{3}\right)^2 = 8 - 9\left(\frac{4}{9}\right) = 8 - 4 = 4$.
કારણ કે $f''(x) = -18 < 0$,વિધેયને $x = \frac{2}{3}$ પર સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત મળે છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $4$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$.
ધારો કે $a = \sin^2x$ અને $b = \cos^2x$.
તેથી $K = (\sin^2x + \cos^2x)^3 - 3\sin^2x\cos^2x(\sin^2x + \cos^2x)$.
કારણ કે $\sin^2x + \cos^2x = 1$,તેથી $K = 1 - 3\sin^2x\cos^2x$.
$4$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે $K = 1 - \frac{3}{4}(4\sin^2x\cos^2x) = 1 - \frac{3}{4}(\sin 2x)^2$.
કારણ કે $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$,તેથી $0 \leq \frac{3}{4}\sin^2 2x \leq \frac{3}{4}$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $-\frac{3}{4} \leq -\frac{3}{4}\sin^2 2x \leq 0$.
બધા ભાગમાં $1$ ઉમેરતા,આપણને મળે $1 - \frac{3}{4} \leq 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x \leq 1 + 0$.
આમ,$\frac{1}{4} \leq K \leq 1$.
તેથી,$K \in [\frac{1}{4}, 1]$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \cos \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right) - 1$
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \left( \cos \theta \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{3} \right) - 1$
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$f(\theta) = 5 \cos \theta + 3 \left( \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \right) - 1$
$f(\theta) = \frac{13}{2} \cos \theta - \frac{3\sqrt{3}}{2} \sin \theta - 1$
આ પદાવલિ $a \cos \theta + b \sin \theta + c$ સ્વરૂપમાં છે,જેની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2} + c$ થાય:
$\text{મહત્તમ કિંમત} = \sqrt{\left( \frac{13}{2} \right)^2 + \left( -\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2} - 1$
$\text{મહત્તમ કિંમત} = \sqrt{\frac{169}{4} + \frac{27}{4}} - 1 = \sqrt{49} - 1 = 6$

(C) આપેલ છે કે $A + B + C = \frac{\pi}{2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $A + B = \frac{\pi}{2} - C$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan(A + B) = \tan(\frac{\pi}{2} - C)$.
નિત્યસમ $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ અને $\tan(\frac{\pi}{2} - C) = \cot C = \frac{1}{\tan C}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{1}{\tan C}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$\tan C(\tan A + \tan B) = 1 - \tan A \tan B$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$\tan C \tan A + \tan B \tan C = 1 - \tan A \tan B$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1$.

(A) ધારો કે $f(\theta) = 2 \sin^2 \theta + 8 \csc^2 \theta$.
અહીં $x = \sin^2 \theta$ લેતા,જ્યાં $x \in (0, 1]$.
$f(x) = 2x + \frac{8}{x}$.
$f'(x) = 2 - \frac{8}{x^2}$.
$f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય $x \in (0, 1]$ માટે ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x = 1$ આગળ મળે.
$f(1) = 2(1) + \frac{8}{1} = 10$.

(A) ધારો કે $f(x) = 4 + \frac{1}{2} \sin^2 2x - 2 \cos^4 x$.
$\sin^2 2x = 4 \cos^2 x (1 - \cos^2 x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 4 + 2 \cos^2 x - 4 \cos^4 x$.
$t = \cos^2 x$ લેતા,જ્યાં $t \in [0, 1]$.
$g(t) = -4t^2 + 2t + 4$.
મહત્તમ કિંમત $M$ માટે $t = \frac{1}{4}$ લેતા,$M = \frac{17}{4}$.
ન્યૂનતમ કિંમત $m$ માટે $t = 1$ લેતા,$m = 2$.
$M - m = \frac{17}{4} - 2 = \frac{9}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $A + B = \frac{\pi}{6}$. ધારો કે $y = \tan A + \tan B$.
નિત્યસમ $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{y}{1 - \tan A \tan B}$.
તેથી,$\tan A \tan B = 1 - \sqrt{3}y$.
$A, B > 0$ અને $A+B = \frac{\pi}{6}$ હોવાથી,$\tan A$ અને $\tan B$ બંને ધન છે,તેથી $\tan A \tan B > 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 - \sqrt{3}y > 0$,એટલે કે $y < \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$AM \ge GM$ મુજબ,$\frac{\tan A + \tan B}{2} \ge \sqrt{\tan A \tan B}$.
$y$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{y}{2} \ge \sqrt{1 - \sqrt{3}y}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{y^2}{4} \ge 1 - \sqrt{3}y$,તેથી $y^2 + 4\sqrt{3}y - 4 \ge 0$.
$y^2 + 4\sqrt{3}y - 4 = 0$ ના બીજ $y = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{48 + 16}}{2} = -2\sqrt{3} \pm 4$ છે.
$y > 0$ હોવાથી,$y \ge 4 - 2\sqrt{3}$ મળે.

(C) આપણને પદાવલિ $E = \frac{x^m y^n}{(1 + x^{2m})(1 + y^{2n})}$ આપેલ છે.
આ પદાવલિને આપણે $E = \frac{x^m}{1 + x^{2m}} \times \frac{y^n}{1 + y^{2n}}$ તરીકે લખી શકીએ.
દરેક અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને અનુક્રમે $x^m$ અને $y^n$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$E = \frac{1}{\left( \frac{1}{x^m} + x^m \right)} \times \frac{1}{\left( \frac{1}{y^n} + y^n \right)}$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ માટે,$a + \frac{1}{a} \ge 2$,જ્યાં સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $a = 1$ હોય.
તેથી,$x^m + \frac{1}{x^m} \ge 2$ અને $y^n + \frac{1}{y^n} \ge 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{x^m + \frac{1}{x^m}} \le \frac{1}{2}$ અને $\frac{1}{y^n + \frac{1}{y^n}} \le \frac{1}{2}$.
આ અસમતાઓનો ગુણાકાર કરતા,આપણને $E$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{6} \right)$.
નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{6} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{6} \right)$
$f(\theta) = 3 \cos \theta + 5 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta \right)$
$f(\theta) = \frac{5\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta$.
$a \sin \theta + b \cos \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
મહત્તમ કિંમત $= \sqrt{\left( \frac{5\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19}$.

(B) આ પદાવલિ $y = a \sin x + b \cos x$ ના સ્વરૂપમાં છે.
આ પદાવલિની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $h(x) = \sin(2x) + 5$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $-1 \leq \sin(2x) \leq 1$.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $5$ ઉમેરતા:
$-1 + 5 \leq \sin(2x) + 5 \leq 1 + 5$.
$4 \leq \sin(2x) + 5 \leq 6$.
આમ,$h(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $6$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = |\sin 4x + 3|$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈન વિધેયનો વિસ્તાર $-1 \leq \sin \theta \leq 1$ છે.
તેથી,$-1 \leq \sin 4x \leq 1$.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $3$ ઉમેરતા:
$-1 + 3 \leq \sin 4x + 3 \leq 1 + 3$
$2 \leq \sin 4x + 3 \leq 4$.
અંતરાલ $[2, 4]$ માંની તમામ કિંમતો ધન હોવાથી,માનાંક વિધેય વિસ્તારમાં કોઈ ફેરફાર કરશે નહીં:
$|2| \leq |\sin 4x + 3| \leq |4|$
$2 \leq f(x) \leq 4$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $4$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \sin x + \cos x$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિધેયને $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ મળે છે.
કારણ કે $\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ થશે.

આપણી પાસે છે $\text{L.H.S.} = \cos ^{2} x+\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\text{L.H.S.} = \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos(2x + \frac{2\pi}{3})}{2} + \frac{1 + \cos(2x - \frac{2\pi}{3})}{2}$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + \cos(2x + \frac{2\pi}{3}) + \cos(2x - \frac{2\pi}{3})]$
સૂત્ર $\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + 2\cos 2x \cos \frac{2\pi}{3}]$
કારણ કે $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x + 2\cos 2x(-\frac{1}{2})]$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2x - \cos 2x]$
$= \frac{3}{2} = \text{R.H.S.}$

(A) $AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2 \cdot 2^{\frac{\sin x + \cos x}{2}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x} + 2^{\cos x} \geq 2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x + \cos x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{2}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા:
$\min(2^{\sin x} + 2^{\cos x}) = 2^{1 + \frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}$

(A) આપેલ સમીકરણ $3 \sin x + 4 \cos x = k + 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $f(x) = a \sin x + b \cos x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે,તેથી વિસ્તાર $[-5, 5]$ થાય.
સમીકરણનો ઉકેલ મળે તે માટે $k + 1$ ની કિંમત આ વિસ્તારમાં હોવી જોઈએ:
$-5 \le k + 1 \le 5$
બધી બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$-6 \le k \le 4$
$k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ છે.
આવા પૂર્ણાંક મૂલ્યોની કુલ સંખ્યા $11$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = a^{a^{x}} + a^{1-a^{x}}$ છે.
બીજા પદને $a^{1-a^{x}} = \frac{a}{a^{a^{x}}}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$f(x) = a^{a^{x}} + \frac{a}{a^{a^{x}}}$.
અહીં $a > 0$ હોવાથી,$a^{a^{x}}$ અને $\frac{a}{a^{a^{x}}}$ બંને ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ ની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $u$ અને $v$ માટે,$u + v \geq 2\sqrt{uv}$.
ધારો કે $u = a^{a^{x}}$ અને $v = \frac{a}{a^{a^{x}}}$.
તેથી $f(x) = u + v \geq 2\sqrt{u \cdot v} = 2\sqrt{a^{a^{x}} \cdot \frac{a}{a^{a^{x}}}} = 2\sqrt{a}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2\sqrt{a}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha = \max \{8^{2 \sin 3x} \cdot 4^{4 \cos 3x}\}$ અને $\beta = \min \{8^{2 \sin 3x} \cdot 4^{4 \cos 3x}\}$.
આ પદને $2^{6 \sin 3x} \cdot 2^{8 \cos 3x} = 2^{6 \sin 3x + 8 \cos 3x}$ તરીકે લખી શકાય.
$6 \sin 3x + 8 \cos 3x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{6^2 + 8^2}, \sqrt{6^2 + 8^2}] = [-10, 10]$ છે.
તેથી,$\alpha = 2^{10}$ અને $\beta = 2^{-10}$.
તેથી $\alpha^{1/5} = (2^{10})^{1/5} = 2^2 = 4$ અને $\beta^{1/5} = (2^{-10})^{1/5} = 2^{-2} = 1/4$.
$8x^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $4$ અને $1/4$ છે.
બીજનો સરવાળો: $4 + 1/4 = 17/4 = -b/8 \Rightarrow b = -34$.
બીજનો ગુણાકાર: $4 \cdot 1/4 = 1 = c/8 \Rightarrow c = 8$.
તેથી,$c - b = 8 - (-34) = 42$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \cos 5x + A \cos 4x + B \cos 3x + C \cos 2x + D \cos x + E$.
$f(x) = f(2\pi - x)$ હોવાથી,$f\left(\frac{\pi}{5}\right) = f\left(\frac{9\pi}{5}\right)$,$f\left(\frac{2\pi}{5}\right) = f\left(\frac{8\pi}{5}\right)$,$f\left(\frac{3\pi}{5}\right) = f\left(\frac{7\pi}{5}\right)$,અને $f\left(\frac{4\pi}{5}\right) = f\left(\frac{6\pi}{5}\right)$ થાય.
પદ $T$ ને $T = f(0) - 2f\left(\frac{\pi}{5}\right) + 2f\left(\frac{2\pi}{5}\right) - 2f\left(\frac{3\pi}{5}\right) + 2f\left(\frac{4\pi}{5}\right) - f(\pi)$ તરીકે લખી શકાય.
આ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમતો મૂકતા,$A, C, E$ વાળા પદો $\pi$ ની આસપાસ કોસાઇન વિધેયની સંમિતિને કારણે ઉડી જાય છે.
ખાસ કરીને,$f(0) - f(\pi) = 2(1 + B + D)$.
બાકીના પદોમાં પણ માત્ર $B$ અને $D$ સહગુણકો જ રહે છે.
આમ,$T$ એ $B$ અને $D$ પર આધાર રાખે છે પરંતુ $A, C, E$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) ધારો કે $P = \sqrt{|x-y|} + \sqrt{|y-z|} + \sqrt{|z-x|}$.
સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના,ધારો કે $0 \leq x \leq y \leq z \leq 1$.
તેથી $P = \sqrt{y-x} + \sqrt{z-y} + \sqrt{z-x}$.
$P$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $x=0$ અને $z=1$ લઈએ છીએ,જે $P = \sqrt{y} + \sqrt{1-y} + 1$ આપે છે.
ધારો કે $f(y) = \sqrt{y} + \sqrt{1-y} + 1$,જ્યાં $y \in [0, 1]$.
$y = \sin^2 \theta$ આદેશ લેતા,જ્યાં $\theta \in [0, \pi/2]$,આપણને $f(\theta) = \sin \theta + \cos \theta + 1$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi/4)$,જેની મહત્તમ કિંમત $\theta = \pi/4$ પર $\sqrt{2}$ છે.
આમ,$P$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2} + 1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\lambda = \cos ^2 2x - 2 \sin ^4 x - 2 \cos ^2 x$
બધા પદોને $\cos x$ માં ફેરવો:
$\lambda = (2 \cos ^2 x - 1)^2 - 2(1 - \cos ^2 x)^2 - 2 \cos ^2 x$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\lambda = (4 \cos ^4 x - 4 \cos ^2 x + 1) - 2(1 - 2 \cos ^2 x + \cos ^4 x) - 2 \cos ^2 x$
સાદુરૂપ આપતા:
$\lambda = 2 \cos ^4 x - 2 \cos ^2 x - 1$
ધારો કે $t = \cos ^2 x$,જ્યાં $t \in [0, 1]$:
$f(t) = 2t^2 - 2t - 1$
$t \in [0, 1]$ માટે $f(t)$ નો વિસ્તાર શોધો:
$f'(t) = 4t - 2$. $f'(t) = 0$ લેતા $t = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$f(0) = -1$
$f(1) = -1$
$f(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$
તેથી,$\lambda$ નો વિસ્તાર $[-\frac{3}{2}, -1]$ છે.

(B) ધારો કે $x = \cos^2 \theta$,જ્યાં $x \in [0, 1]$.
તેથી $\sin^4 \theta = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2$.
$f(\theta) = \frac{(1 - 2x + x^2) + 3x}{(1 - 2x + x^2) + x} = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1}$.
ધારો કે $y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1}$.
$y(x^2 - x + 1) = x^2 + x + 1 \implies x^2(y - 1) - x(y + 1) + (y - 1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \ge 0$.
$D = (y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \ge 0$.
$(y + 1 - 2(y - 1))(y + 1 + 2(y - 1)) \ge 0$.
$(3 - y)(3y - 1) \ge 0 \implies (y - 3)(3y - 1) \le 0$.
તેથી,$y \in [1/3, 3]$.
આમ,$\alpha = 1/3$ અને $\beta = 3$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1/3}{3} = 1/9$.
અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{64}{1 - 1/9} = \frac{64}{8/9} = 64 \times \frac{9}{8} = 72$.

(A) ધારો કે $f(\theta) = \sin^2 \theta + 3 \sin \theta \cos \theta + 5 \cos^2 \theta$.
$\frac{1}{f(\theta)}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(\theta)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી પડશે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} + \frac{3}{2} \sin 2\theta + 5 \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$
$f(\theta) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{3}{2} \sin 2\theta + \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cos 2\theta$
$f(\theta) = 3 + 2 \cos 2\theta + \frac{3}{2} \sin 2\theta$.
પદાવલિ $a \cos x + b \sin x$ ની કિંમત $-\sqrt{a^2 + b^2}$ અને $\sqrt{a^2 + b^2}$ ની વચ્ચે હોય છે.
અહીં,$2 \cos 2\theta + \frac{3}{2} \sin 2\theta$ ની કિંમત $-\sqrt{2^2 + (\frac{3}{2})^2} = -\sqrt{4 + \frac{9}{4}} = -\sqrt{\frac{25}{4}} = -\frac{5}{2}$ અને $\frac{5}{2}$ ની વચ્ચે છે.
તેથી,$f(\theta)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,$\frac{1}{f(\theta)}$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{1/2} = 2$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $x+y=\frac{\pi}{2}$,તેથી $y=\frac{\pi}{2}-x$ થાય.
આ કિંમતને $\sin x \cdot \sin y$ માં મૂકતા,આપણને મળે:
$\sin x \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x \cdot \cos x$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{2 \sin x \cdot \cos x}{2} = \frac{\sin 2x}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,$\frac{\sin 2x}{2}$ નો વિસ્તાર $\left[\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ થાય.
આમ,મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = a^{2} \cos^{2} x + b^{2} \sin^{2} x$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ અને $\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = a^{2} \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) + b^{2} \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)$
$f(x) = \frac{a^{2} + a^{2} \cos 2x + b^{2} - b^{2} \cos 2x}{2}$
$f(x) = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + \left( \frac{a^{2} - b^{2}}{2} \right) \cos 2x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1 \leq \cos 2x \leq 1$,તેથી જ્યારે $\cos 2x = -1$ હોય ત્યારે $f(x)$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે (કારણ કે $a^{2} > b^{2}$ હોવાથી $\frac{a^{2} - b^{2}}{2} > 0$).
$\cos 2x = -1$ મૂકતા:
$f_{\text{min}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + \left( \frac{a^{2} - b^{2}}{2} \right) (-1)$
$f_{\text{min}} = \frac{a^{2} + b^{2} - a^{2} + b^{2}}{2} = \frac{2b^{2}}{2} = b^{2}$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $b^{2}$ છે.

(B) $a \cos x + b \sin x$ પદાવલિનો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
સમીકરણ $7 \cos x + 5 \sin x = 2k + 1$ માટે,ડાબી બાજુનો વિસ્તાર $[-\sqrt{7^2 + 5^2}, \sqrt{7^2 + 5^2}] = [-\sqrt{74}, \sqrt{74}]$ છે.
અહીં $\sqrt{74} \approx 8.602$ હોવાથી,$-8.602 \leq 2k + 1 \leq 8.602$.
બધી બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $-9.602 \leq 2k \leq 7.602$.
$2$ વડે ભાગતા: $-4.801 \leq k \leq 3.801$.
$k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
આ મૂલ્યોની સંખ્યા $8$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha+\beta+\gamma=\pi$,તેથી $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$.
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = \sin^2 \alpha + \sin(\beta+\gamma)\sin(\beta-\gamma)$
કારણ કે $\beta+\gamma = \pi - \alpha$,તેથી $\sin(\beta+\gamma) = \sin(\pi-\alpha) = \sin \alpha$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= \sin^2 \alpha + \sin \alpha \sin(\beta-\gamma)$
$= \sin \alpha [\sin \alpha + \sin(\beta-\gamma)]$
$= \sin \alpha [\sin(\beta+\gamma) + \sin(\beta-\gamma)]$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin(x+y) + \sin(x-y) = 2 \sin x \cos y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin \alpha [2 \sin \beta \cos \gamma]$
$= 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$.

(C) આપેલ છે કે,$\alpha = \beta + \gamma$.
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ થાય.
$\tan \gamma = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$
$\tan \beta = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ મૂકતા,
$\tan \gamma = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha (\frac{1}{\tan \alpha})} = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{2}$.
તેથી,$2 \tan \gamma = \tan \alpha - \tan \beta$,એટલે કે $\tan \alpha = \tan \beta + 2 \tan \gamma$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\cos^4 \theta + \sin^4 \theta + \lambda = 0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \lambda = 0$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2 2\theta}{4}$.
તેથી,$1 - 2 \left(\frac{\sin^2 2\theta}{4}\right) + \lambda = 0$,જેનું સાદું રૂપ $1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2} + \lambda = 0$ થાય.
આમ,$\lambda = \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1$.
ચૂકી $0 \leq \sin^2 2\theta \leq 1$,તેથી $0 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} \leq \frac{1}{2}$.
બધા પદોમાંથી $1$ બાદ કરતા,$-1 \leq \frac{\sin^2 2\theta}{2} - 1 \leq -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\lambda \in \left[-1, -\frac{1}{2}\right]$.