Maximum and minimum values of trigonometrical functions, Conditional trigonometrical identities Questions in Gujarati

(D) સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \ge GM)$ મુજબ:
$\frac{2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta}}{2} \ge \sqrt{2^{\sin \theta} \cdot 2^{\cos \theta}}$
$2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta} \ge 2 \cdot 2^{(\sin \theta + \cos \theta)/2} = 2^{1 + \frac{\sin \theta + \cos \theta}{2}}$
કારણ કે $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi/4)$,$\sin \theta + \cos \theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$2^{\sin \theta} + 2^{\cos \theta} \ge 2^{1 + \frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}$.

(B) આપણને સમીકરણ $(a + b)^2 = 4ab \sin^2 \theta$ આપેલ છે.
$\sin^2 \theta$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ હોવાથી,આપણે $\sin^2 \theta = \frac{(a + b)^2}{4ab} \le 1$ મેળવીએ છીએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(a + b)^2 \le 4ab$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(a + b)^2 - 4ab \le 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(a - b)^2 \le 0$ થાય છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી એકમાત્ર શક્યતા $(a - b)^2 = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = b$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે,$\sec^2 \theta \ge 1$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $\sec^2 \theta = \frac{4xy}{(x + y)^2}$ માટે,$\frac{4xy}{(x + y)^2} \ge 1$ હોવું જોઈએ.
$(x + y)^2 > 0$ હોવાથી,આપણને મળે $4xy \ge (x + y)^2$.
$4xy \ge x^2 + 2xy + y^2$.
$0 \ge x^2 - 2xy + y^2$.
$0 \ge (x - y)^2$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $(x - y)^2$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$x - y = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = y$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે,$0 \le \sin^2 \theta \le 1$ થાય.
આપેલ છે કે $\sin^2 \theta = \frac{x^2 + y^2 + 1}{2x}$,તેથી $\frac{x^2 + y^2 + 1}{2x} \le 1$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $x > 0$,તો $x^2 + y^2 + 1 \le 2x$,જેનું સાદુરૂપ $(x - 1)^2 + y^2 \le 0$ થાય.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,આ અસમતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $(x - 1)^2 = 0$ અને $y^2 = 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$ અને $y = 0$.
જો $x < 0$ હોય,તો પદ $\frac{x^2 + y^2 + 1}{2x}$ ઋણ થઈ જાય,જે $\sin^2 \theta \ge 0$ ની વિરુદ્ધ છે.
આમ,$x$ ની કિંમત $y$ પર આધારિત છે,તેથી વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $\cos 2B = \frac{\cos(A + C)}{\cos(A - C)}$.
$\cos(A+C)$ અને $\cos(A-C)$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$\cos 2B = \frac{\cos A \cos C - \sin A \sin C}{\cos A \cos C + \sin A \sin C}$.
અંશ અને છેદને $\cos A \cos C$ વડે ભાગતા,$\cos 2B = \frac{1 - \tan A \tan C}{1 + \tan A \tan C}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2B = \frac{1 - \tan^2 B}{1 + \tan^2 B}$.
બંને પદોને સરખાવતા: $\frac{1 - \tan^2 B}{1 + \tan^2 B} = \frac{1 - \tan A \tan C}{1 + \tan A \tan C}$.
સાદુરૂપ આપતા $2 \tan^2 B = 2 \tan A \tan C$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 B = \tan A \tan C$.
આમ,$\tan A, \tan B, \tan C$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) આપેલ છે: $\cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = 2\cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$
વિસ્તરણ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = 2 \left( \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \right)$
$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}$
પદોને ગોઠવતા:
$3 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}$
બંને બાજુ $3 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}$ વડે ભાગતા:
$\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} = \frac{1}{3}$

(D) ધારો કે $f(\theta) = a \cos \theta + b \sin \theta$.
આપણે તેને $f(\theta) = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin \theta \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ અને $\sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
તેથી $f(\theta) = \sqrt{a^2 + b^2} (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi) = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\theta - \phi)$.
કારણ કે $\cos(\theta - \phi)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $f(\theta)$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
તેથી,$a \cos \theta + b \sin \theta$ ની કિંમત $-\sqrt{a^2 + b^2}$ અને $\sqrt{a^2 + b^2}$ ની વચ્ચે હોય છે.

(C) આ પદ $a\cos \theta + b\sin \theta$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 3$ અને $b = -4$ છે.
$a\cos \theta + b\sin \theta$ પદની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
મહત્તમ કિંમત $= \sqrt{3^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $5$ છે.

(D) ધારો કે $f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ લખી શકીએ.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4(1 - \sin^2 \theta)$
$f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4 - 4 \sin^2 \theta$
$f(\theta) = 4 + \sin^2 \theta$.
કારણ કે $\sin^2 \theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે,તેથી $f(\theta)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4 + 0 = 4$ થશે.

(C) નિત્યસમ $\cos^2 A - \cos^2 B = \sin(B - A) \sin(B + A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $A = \frac{\pi}{3} - x$ અને $B = \frac{\pi}{3} + x$.
તેથી $B - A = 2x$ અને $B + A = \frac{2\pi}{3}$.
આમ,$\cos^2 \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - \cos^2 \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \sin(2x) \sin\left( \frac{2\pi}{3} \right)$.
$\sin\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,પદાવલિ $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x)$ બને છે.
$\sin(2x)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી,પદાવલિની મહત્તમ કિંમત $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x \neq 0$ માટે,$(x - \frac{1}{x})^2 \ge 0$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \ge 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$.
ધારો કે $x = \tan \theta$. કારણ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,આપણે અસમતામાં $x = \tan \theta$ મૂકીએ છીએ:
$\tan^2 \theta + \frac{1}{\tan^2 \theta} \ge 2$
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta \ge 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = a \cos x + b \sin x$.
આ પદને આપણે $f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ અને $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
તેથી $f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} (\cos \alpha \cos x + \sin \alpha \sin x) = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(x - \alpha)$.
જેમ કે $\cos(x - \alpha)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ થાય.

(D) આ પદાવલિ $a \cos x + b \sin x + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 3$,$b = 4$,અને $c = 5$ છે.
$a \cos x + b \sin x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
કિંમતની ગણતરી: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
આમ,$3 \cos x + 4 \sin x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-5$ છે.
તેથી,$3 \cos x + 4 \sin x + 5$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-5 + 5 = 0$ થાય.

(B) ધારો કે $f(x) = \sin x \cos x$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને $f(x) = \frac{2 \sin x \cos x}{2} = \frac{\sin 2x}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $-1 \le \sin 2x \le 1$.
અસમતાને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $-\frac{1}{2} \le \frac{\sin 2x}{2} \le \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $-\frac{1}{2}$ છે.

(B) ધારો કે $f(\theta) = \cos \theta + \sin \theta$.
આપણે તેને $f(\theta) = \sqrt{2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$-1 \le \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) \le 1$ થાય.
$\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,$-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) \le \sqrt{2}$ મળે.
આમ,$f(\theta)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{2}$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 4\sin^2 x + 3\cos^2 x$.
નિત્યસમ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $f(x) = 4\sin^2 x + 3(1 - \sin^2 x) = 4\sin^2 x + 3 - 3\sin^2 x = \sin^2 x + 3$.
કારણ કે $\sin^2 x$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે,તેથી $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $\sin^2 x = 1$ હોય.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $1 + 3 = 4$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$.
આપણે તેને $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{5\pi}{12} \right)$ મળે છે.
$\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે $\theta = \frac{\pi}{2}$ હોય ત્યારે મળે છે.
$x + \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$ લેતા,આપણને $x = \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi - 5\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{\pi}{12}$ એ અંતરાલ $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ માં આવેલું છે,તેથી મહત્તમ કિંમત $x = \frac{\pi}{12}$ પર મળે છે.

(D) આપણે બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે જણાવે છે કે $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
ધારો કે $a = 9 \tan^2 \theta$ અને $b = 4 \cot^2 \theta$.
તેથી,$\frac{9 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta}{2} \ge \sqrt{9 \tan^2 \theta \cdot 4 \cot^2 \theta}$.
કારણ કે $\tan^2 \theta \cdot \cot^2 \theta = 1$,આપણને મળે છે $\frac{9 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta}{2} \ge \sqrt{36}$.
$\frac{9 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta}{2} \ge 6$.
$9 \tan^2 \theta + 4 \cot^2 \theta \ge 12$.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $12$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ માટે,સાઈનનો સરવાળો $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\gamma}{2})$ થાય છે.
કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma$ ત્રિકોણના ખૂણાઓ છે,દરેક ખૂણો $(0, \pi)$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}, \frac{\gamma}{2} \in (0, \frac{\pi}{2})$.
$(0, \frac{\pi}{2})$ અંતરાલમાં,કોસાઈન વિધેય હંમેશા ધન હોય છે.
તેથી,$4 \cos(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\gamma}{2}) > 0$.
આમ,પદાવલિ $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$ હંમેશા ધન રહે છે.

(D) આ પદાવલિ $a\sin \theta + b\cos \theta$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 3$ અને $b = 4$ છે.
$f(\theta) = a\sin \theta + b\cos \theta$ વિધેયનો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને વિસ્તાર $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-\sqrt{9 + 16}, \sqrt{9 + 16}] = [-5, 5]$ મળે છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $-5$ છે.

(A) આ પદ $a \sin x + b \cos x$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 1$ અને $b = -1$ છે.
$a \sin x + b \cos x$ પદની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \cos^2 \theta + \sin^4 \theta$.
કારણ કે $\sin^2 \theta \le 1$,તેથી $A = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cdot \sin^2 \theta \le \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
આમ,$A \le 1$.
હવે,$A$ ને $\sin^2 \theta$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$A = (1 - \sin^2 \theta) + \sin^4 \theta = \sin^4 \theta - \sin^2 \theta + 1$.
ધારો કે $x = \sin^2 \theta$,જ્યાં $0 \le x \le 1$. તો $A = x^2 - x + 1$.
પૂર્ણ વર્ગ બનાવતા: $A = (x - 1/2)^2 + 3/4$.
કારણ કે $(x - 1/2)^2 \ge 0$,તેથી $A$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $3/4$ છે જ્યારે $x = 1/2$ (એટલે કે $\sin^2 \theta = 1/2$).
તેથી,$3/4 \le A \le 1$.

(B) આપેલ છે કે $A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$.
કારણ કે $\cos^2 \theta \le 1$,તેથી $\cos^4 \theta \le \cos^2 \theta$.
તેથી,$A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta \le \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
આમ,$A \le 1$.
હવે,$A$ ને $\cos^2 \theta$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$A = (1 - \cos^2 \theta) + \cos^4 \theta = \cos^4 \theta - \cos^2 \theta + 1$.
ધારો કે $x = \cos^2 \theta$,જ્યાં $0 \le x \le 1$.
તેથી $A = x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.
કારણ કે $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{3}{4}$ છે જ્યારે $x = \frac{1}{2}$.
આમ,$\frac{3}{4} \le A \le 1$.

(C) ધારો કે $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$.
આપણે તેને $f(x) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = 2 \sin(x + 30^\circ)$ મળે છે.
$\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે $\theta = 90^\circ$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,$x + 30^\circ = 90^\circ$.
$x = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha + \beta - \gamma = \pi ,$ તેથી $\gamma = \alpha + \beta - \pi .$
પદાવલિ $E = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma$ ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A - B)\sin(A + B)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$E = \sin^2 \alpha + \sin(\beta - \gamma)\sin(\beta + \gamma).$
$\beta - \gamma = \pi - \alpha$ હોવાથી,$\sin(\beta - \gamma) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha.$
વધુમાં,$\gamma = \alpha + \beta - \pi$ મૂકતા,
$E = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2(\alpha + \beta - \pi) = \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2(\alpha + \beta).$
$\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$E = \sin^2 \alpha - \sin \alpha \sin(\alpha + 2\beta).$
$E = \sin \alpha [\sin \alpha - \sin(\alpha + 2\beta)].$
$\sin C - \sin D = 2\cos(\frac{C+D}{2})\sin(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,
$E = -2\sin \alpha \sin \beta \cos(\alpha + \beta).$
$\alpha + \beta = \pi + \gamma$ હોવાથી,$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi + \gamma) = -\cos \gamma.$
તેથી,$E = 2\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma.$

(C) આપેલ છે કે $A + B + C = \pi$.
ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{\cos A}{\sin B \sin C} + \frac{\cos B}{\sin C \sin A} + \frac{\cos C}{\sin A \sin B}$ છે.
સામાન્ય છેદ $\sin A \sin B \sin C$ લેતા:
$E = \frac{\cos A \sin A + \cos B \sin B + \cos C \sin C}{\sin A \sin B \sin C}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{2 \sin A \cos A + 2 \sin B \cos B + 2 \sin C \cos C}{2 \sin A \sin B \sin C} = \frac{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}{2 \sin A \sin B \sin C}$.
$A + B + C = \pi$ માટે નિત્યસમ $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{4 \sin A \sin B \sin C}{2 \sin A \sin B \sin C} = 2$.

(B) ત્રિકોણ $\Delta ABC$ માં,$A + B + C = 180^\circ$ છે.
$\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$\frac{A+B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$ હોવાથી,$\sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2}$ થાય.
તે જ રીતે,$\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A+B}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$= 2\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A+B}{2}$
$= 2\cos \frac{C}{2} \left[ \cos \frac{A-B}{2} + \cos \frac{A+B}{2} \right]$
$\cos(x-y) + \cos(x+y) = 2\cos x \cos y$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2\cos \frac{C}{2} \left( 2\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \right)$
$= 4\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $x + y + z = 180^\circ$,તેથી $x + y = 180^\circ - z$.
પદાવલી $\cos 2x + \cos 2y - \cos 2z$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2x + \cos 2y = 2 \cos(x + y) \cos(x - y)$.
$x + y = 180^\circ - z$ હોવાથી,$\cos(x + y) = \cos(180^\circ - z) = -\cos z$.
નિત્યસમ $\cos 2z = 2 \cos^2 z - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2x + \cos 2y - \cos 2z = 2(-\cos z) \cos(x - y) - (2 \cos^2 z - 1)$
$= 1 - 2 \cos z \cos(x - y) - 2 \cos^2 z$
$= 1 - 2 \cos z (\cos(x - y) + \cos z)$.
$z = 180^\circ - (x + y)$ હોવાથી,$\cos z = \cos(180^\circ - (x + y)) = -\cos(x + y)$.
$= 1 - 2 \cos z (\cos(x - y) - \cos(x + y))$.
નિત્યસમ $\cos(A - B) - \cos(A + B) = 2 \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 - 2 \cos z (2 \sin x \sin y)$
$= 1 - 4 \sin x \sin y \cos z$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \pi$ મળે છે.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2}) = \tan(\pi) = 0$.
નિત્યસમ $\tan(A+B+C) = \frac{\sum \tan A - \prod \tan A}{1 - \sum \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2}}{1 - (\tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2} + \tan \frac{\gamma}{2}\tan \frac{\alpha}{2})} = 0$.
છેદ શૂન્ય ન હોવાથી,અંશ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma}{2} = 0$.
તેથી,$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} = \tan \frac{\alpha}{2}\tan \frac{\beta}{2}\tan \frac{\gamma }{2}$.

(C) આપેલ છે કે $A + B + C = \pi$,તેથી $A + B = \pi - C$.
$L.H.S. = \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C$
$= 2 \cos (A + B) \cos (A - B) + (2 \cos^2 C - 1)$
$= 2 \cos (\pi - C) \cos (A - B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= - 2 \cos C \cos (A - B) + 2 \cos^2 C - 1$
$= - 1 - 2 \cos C [\cos (A - B) - \cos C]$
કારણ કે $C = \pi - (A + B)$,તેથી $\cos C = - \cos (A + B)$.
$= - 1 - 2 \cos C [\cos (A - B) + \cos (A + B)]$
$= - 1 - 2 \cos C [2 \cos A \cos B]$
$= - 1 - 4 \cos A \cos B \cos C$.

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = 180^\circ$.
અંશ: $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C = 32 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$.
છેદ: $\cos A + \cos B + \cos C - 1 = 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.
અંશને છેદ વડે ભાગતા:
$\frac{32 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}}{4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}} = 8 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.

(C) કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,નિત્યસમ $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ સાચું છે.
આપેલ છે કે $\tan A + \tan B + \tan C = 6$ અને $\tan A \tan B = 2$.
આ કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા: $6 = 2 \tan C \Rightarrow \tan C = 3$.
હવે,$\tan A + \tan B = 6 - 3 = 3$.
આપણી પાસે $\tan A + \tan B = 3$ અને $\tan A \tan B = 2$ છે.
$\tan A$ અને $\tan B$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 3x + 2 = 0$ છે.
$(x - 1)(x - 2) = 0$ ઉકેલતા,આપણને $x = 1$ અથવા $x = 2$ મળે છે.
આમ,કિંમતો $(\tan A, \tan B, \tan C) = (1, 2, 3)$ અથવા $(2, 1, 3)$ છે.

(B) ધારો કે $x = \tan \frac{A}{2}, y = \tan \frac{B}{2}, z = \tan \frac{C}{2}$.
$A + B + C = \pi$ હોવાથી,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
નિત્યસમ $\tan(\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2}) = \frac{x+y+z-xyz}{1-(xy+yz+zx)} = \tan \frac{\pi}{2} = \infty$ નો ઉપયોગ કરતા.
આનો અર્થ એ છે કે $1 - (xy + yz + zx) = 0$,તેથી $xy + yz + zx = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $2(x^2 + y^2 + z^2) - 2(xy + yz + zx) \ge 0$ મળે.
$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$.
$xy + yz + zx = 1$ હોવાથી,$x^2 + y^2 + z^2 \ge 1$ મળે.
આમ,$\tan ^2 \frac{A}{2} + \tan ^2 \frac{B}{2} + \tan ^2 \frac{C}{2} \ge 1$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $A + B + C = 180^\circ$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ માટે અથવા કોઈપણ ત્રણ ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોય ત્યારે,નિત્યસમ $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$ સાચું છે.
તેથી,પદાવલિ $\frac{\tan A + \tan B + \tan C}{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C} = \frac{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C}{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C} = 1$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\cos A = \cos B \cos C$ અને $A + B + C = \pi.$
$A + B + C = \pi$ હોવાથી,$B + C = \pi - A$ થાય.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\cos(B + C) = \cos(\pi - A).$
નિત્યસમ $\cos(B + C) = \cos B \cos C - \sin B \sin C$ અને $\cos(\pi - A) = -\cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos B \cos C - \sin B \sin C = -\cos A.$
$\cos A = \cos B \cos C$ ની કિંમત મૂકતા:
$\cos B \cos C - \sin B \sin C = -\cos B \cos C.$
પદોને ગોઠવતા:
$2 \cos B \cos C = \sin B \sin C.$
બંને બાજુ $\sin B \sin C$ વડે ભાગતા:
$\frac{\cos B \cos C}{\sin B \sin C} = \frac{1}{2}.$
તેથી,$\cot B \cot C = \frac{1}{2}.$

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = 180^o.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot B + \cot C = \frac{\sin C \cos B + \sin B \cos C}{\sin B \sin C} = \frac{\sin(B + C)}{\sin B \sin C}.$
કારણ કે $B + C = 180^o - A,$ તેથી $\sin(B + C) = \sin(180^o - A) = \sin A.$
આમ,$\cot B + \cot C = \frac{\sin A}{\sin B \sin C}.$
તે જ રીતે,$\cot C + \cot A = \frac{\sin B}{\sin C \sin A}$ અને $\cot A + \cot B = \frac{\sin C}{\sin A \sin B}.$
આ ત્રણેય પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$(\cot B + \cot C)(\cot C + \cot A)(\cot A + \cot B) = \left(\frac{\sin A}{\sin B \sin C}\right) \left(\frac{\sin B}{\sin C \sin A}\right) \left(\frac{\sin C}{\sin A \sin B}\right)$
$= \frac{\sin A \sin B \sin C}{(\sin A \sin B \sin C)^2} = \frac{1}{\sin A \sin B \sin C} = \csc A \csc B \csc C.$

(C) આપેલ છે કે $A + B + C = 180^o$,તેથી $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 90^o - \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ $\cot$ લેતા: $\cot(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \cot(90^o - \frac{C}{2})$.
સૂત્ર $\cot(x+y) = \frac{\cot x \cot y - 1}{\cot x + \cot y}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\frac{\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} - 1}{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}} = \tan \frac{C}{2}$.
કારણ કે $\tan \frac{C}{2} = \frac{1}{\cot \frac{C}{2}}$,તેથી $\frac{\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} - 1}{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}} = \frac{1}{\cot \frac{C}{2}}$.
ગુણાકાર કરતા,$(\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} - 1) \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}$.
આને વિસ્તૃત કરતા,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} - \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}$.
પદોને ગોઠવતા,$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = 270^o.$ ધારો કે $A = B = C = 90^o.$
તેથી,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C + 4\sin A \sin B \sin C$
$= \cos 180^o + \cos 180^o + \cos 180^o + 4\sin 90^o \sin 90^o \sin 90^o$
$= (-1) + (-1) + (-1) + 4(1)(1)(1)$
$= -3 + 4 = 1.$

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = 180^o$,તેથી $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^o$.
તેથી,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 90^o - \frac{C}{2}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tan(90^o - \frac{C}{2}) = \cot \frac{C}{2}$.
સૂત્ર $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$.
ગુણાકાર કરતા: $\tan \frac{C}{2} (\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}) = 1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}$.
પદોને ગોઠવતા: $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$.
આમ,$\sum \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} = 1$.

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = \pi$,તેથી $A + B = \pi - C$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(A + B) = \tan(\pi - C)$.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C$.
ચૂક $C$ એ ગુરુકોણ છે $(90^{\circ} < C < 180^{\circ})$,તેથી $\tan C < 0$,જેનો અર્થ છે કે $-\tan C > 0$.
તેથી,$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} > 0$.
$A, B, C$ એ ત્રિકોણના ખૂણા છે અને $C$ ગુરુકોણ હોવાથી,$A$ અને $B$ લઘુકોણ હશે,તેથી $\tan A > 0$ અને $\tan B > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\tan A + \tan B > 0$.
અપૂર્ણાંક ધન હોવા માટે,છેદ ધન હોવો જોઈએ: $1 - \tan A \tan B > 0$.
આમ,$\tan A \tan B < 1$.

(A) આપેલ છે કે $A + B + C = \pi$,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
$A, B, C$ લઘુકોણ હોવાથી,$\tan A, \tan B, \tan C > 0$. સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \ge GM)$ અસમતા મુજબ:
$\frac{\tan A + \tan B + \tan C}{3} \ge (\tan A \tan B \tan C)^{1/3}$
$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ મૂકતા:
$\frac{\tan A \tan B \tan C}{3} \ge (\tan A \tan B \tan C)^{1/3}$
ધારો કે $P = \tan A \tan B \tan C$. તો $\frac{P}{3} \ge P^{1/3}$ $\Rightarrow P^{2/3} \ge 3$ $\Rightarrow P \ge 3^{3/2} = 3\sqrt{3}$.
$K = \cot A \cot B \cot C = \frac{1}{\tan A \tan B \tan C} = \frac{1}{P}$ હોવાથી:
$K = \frac{1}{P} \le \frac{1}{3\sqrt{3}}$.

(D) આપેલ છે: $A + B + C = \frac{3\pi}{2} \implies A + B = \frac{3\pi}{2} - C$.
પદાવલિ ધ્યાનમાં લો: $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C$.
સૂત્ર $\cos X + \cos Y = 2\cos\left(\frac{X+Y}{2}\right)\cos\left(\frac{X-Y}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2A + \cos 2B = 2\cos(A+B)\cos(A-B)$.
$A+B = \frac{3\pi}{2} - C$ મૂકતા:
$2\cos\left(\frac{3\pi}{2} - C\right)\cos(A-B) = 2(-\sin C)\cos(A-B) = -2\sin C \cos(A-B)$.
હવે,$\cos 2C = 1 - 2\sin^2 C$.
તેથી,$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 1 - 2\sin C \cos(A-B) - 2\sin^2 C$.
$= 1 - 2\sin C [\cos(A-B) + \sin C]$.
કારણ કે $C = \frac{3\pi}{2} - (A+B)$,$\sin C = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - (A+B)\right) = -\cos(A+B)$.
$= 1 - 2\sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 - 2\sin C [2\sin A \sin B] = 1 - 4\sin A \sin B \sin C$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin x + \cos x$ છે.
આપણે તેને $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ મળે છે.
કારણ કે $\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ થાય.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ છે.
$x$-અક્ષથી મહત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે વિધેયનું મહત્તમ નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|f(x)|_{max}$ શોધવું પડે.
$f(x) = a \sin x + b \cos x$ સ્વરૂપના વિધેય માટે,મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{a^2 + b^2}$ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-\sqrt{a^2 + b^2}$ થાય છે.
અહીં,$a = \sqrt{3}$ અને $b = 1$ છે.
મહત્તમ મૂલ્ય $= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $= -\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = -2$.
$x$-અક્ષથી મહત્તમ અંતર એ $|f(x)|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય છે,જે $|2| = 2$ અથવા $|-2| = 2$ થાય.
તેથી,મહત્તમ અંતર $2$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = a \sin x + b \cos x$ સ્વરૂપમાં છે.
આ વિધેયની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ છે.

(B) ધારો કે $f(\theta) = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta \right) = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$.
$\sin(\alpha)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,વિધેય $f(\theta)$ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે પ્રાપ્ત કરે છે જ્યારે $\sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = 1$ થાય.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ હોય.
$\theta$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
અંશમાં ફેરવતા,$\theta = 45^o$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ માટે,$(a - \frac{1}{a})^2 \ge 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \ge 0$,અથવા $a^2 + \frac{1}{a^2} \ge 2$.
ધારો કે $a = \cos x$. કારણ કે $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,તેથી $f(x) = \cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x}$ મળે.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક અસમતા ($AM$ $\ge$ $GM$) મુજબ,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $u$ અને $v$ માટે,$\frac{u+v}{2} \ge \sqrt{uv}$ થાય.
અહીં,$f(x) = \cos^2 x + \sec^2 x \ge 2 \sqrt{\cos^2 x \cdot \sec^2 x} = 2 \sqrt{1} = 2$.
આમ,$f(x) \ge 2$ થાય.

(C) ધારો કે $f(\theta) = \cos 2\theta + 2\cos \theta$.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 + 2\cos \theta$
$f(\theta) = 2(\cos^2 \theta + \cos \theta) - 1$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$f(\theta) = 2(\cos^2 \theta + \cos \theta + \frac{1}{4}) - 1 - \frac{1}{2}$
$f(\theta) = 2(\cos \theta + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$
આમ,$-1 \le \cos \theta \le 1$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ માટે મળે છે,જે $f(\theta) = -\frac{3}{2}$ છે.
મહત્તમ કિંમત $\cos \theta = 1$ માટે મળે છે,જે $f(\theta) = 2(1 + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2} = 3$ છે.
તેથી,$-\frac{3}{2} \le \cos 2\theta + 2\cos \theta \le 3$.

(B) આપેલ છે કે $A + B + C = \pi,$ તેથી $A = \pi - (B + C).$
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\cos A = \cos(\pi - (B + C)).$
$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ હોવાથી,$\cos A = -\cos(B + C).$
આપેલ છે કે $\cos A = \cos B \cos C,$ તેથી:
$-\cos(B + C) = \cos B \cos C.$
$\cos(B + C) = \cos B \cos C - \sin B \sin C$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$-(\cos B \cos C - \sin B \sin C) = \cos B \cos C.$
$-\cos B \cos C + \sin B \sin C = \cos B \cos C.$
$\sin B \sin C = 2 \cos B \cos C.$
બંને બાજુ $\cos B \cos C$ વડે ભાગતા,
$\frac{\sin B \sin C}{\cos B \cos C} = 2.$
$\tan B \tan C = 2.$

(B) ધારો કે $u = \cos \theta \left\{ \sin \theta + \sqrt{\sin^2 \theta + \sin^2 \alpha} \right\}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$u^2 \tan^2 \theta - 2u \tan \theta + (u^2 - \sin^2 \alpha) = 0$.
$\tan \theta$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \ge 0$:
$4u^2 - 4u^2(u^2 - \sin^2 \alpha) \ge 0$.
$1 - u^2 + \sin^2 \alpha \ge 0$.
$u^2 \le 1 + \sin^2 \alpha$.
તેથી,$|u| \le \sqrt{1 + \sin^2 \alpha}$.
આમ,$k = \sqrt{1 + \sin^2 \alpha}$.