Maximum and minimum values of trigonometrical functions, Conditional trigonometrical identities Questions in Gujarati

(C) $3 \cos \theta - 4 \sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$ છે. તેથી,$a = 5$.
આપેલ છે કે $\alpha = 5 \sin^2 \theta \cos^3 \theta$ અને $\beta = 5 \sin^3 \theta \cos^2 \theta$.
તેથી $\alpha^2 + \beta^2 = 25 \sin^4 \theta \cos^6 \theta + 25 \sin^6 \theta \cos^4 \theta = 25 \sin^4 \theta \cos^4 \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 25 \sin^4 \theta \cos^4 \theta$.
તેથી,$(\alpha^2 + \beta^2)^5 = (25 \sin^4 \theta \cos^4 \theta)^5 = 5^{10} \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta$.
વળી,$\alpha \beta = 25 \sin^5 \theta \cos^5 \theta$.
તેથી $(\alpha \beta)^4 = (25 \sin^5 \theta \cos^5 \theta)^4 = 5^8 \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta$.
અંતે,$\sqrt{\frac{(\alpha^2 + \beta^2)^5}{(\alpha \beta)^4}} = \sqrt{\frac{5^{10} \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta}{5^8 \sin^{20} \theta \cos^{20} \theta}} = \sqrt{5^2} = 5$.

(B) આપણી પાસે છે,
$A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$
$= (1 - \cos^2 \theta) + \cos^4 \theta$
$= \cos^4 \theta - \cos^2 \theta + 1$
ધારો કે $x = \cos^2 \theta$,જ્યાં $x \in [0, 1]$.
તેથી $A = x^2 - x + 1$.
આ $x$ માં એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે જેનું શિરોબિંદુ $x = 1/2$ પર છે.
$1/2 \in [0, 1]$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x = 1/2$ પર મળે છે:
$A_{min} = (1/2)^2 - (1/2) + 1 = 3/4$.
મહત્તમ કિંમત સીમાઓ $x=0$ અથવા $x=1$ પર મળે છે:
$x = 0$ માટે,$A = 1$.
$x = 1$ માટે,$A = 1$.
આમ,$A$ નો વિસ્તાર $[3/4, 1]$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$\cos A + \cos B + \cos C = 0$ $(i)$
$\sin A + \sin B + \sin C = 0$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\cos A + \cos B + \cos C)^2 + (\sin A + \sin B + \sin C)^2 = 0$
$(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2\cos A \cos B + 2\cos B \cos C + 2\cos C \cos A) + (\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C + 2\sin A \sin B + 2\sin B \sin C + 2\sin C \sin A) = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$(\cos^2 A + \sin^2 A) + (\cos^2 B + \sin^2 B) + (\cos^2 C + \sin^2 C) + 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) + 2(\cos B \cos C + \sin B \sin C) + 2(\cos C \cos A + \sin C \sin A) = 0$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ અને $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + 1 + 1 + 2[\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A)] = 0$
$3 + 2[\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A)] = 0$
$\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A) = -\frac{3}{2}$

(C) આપેલ છે કે $A+B+C=270^{\circ}$.
આપણે $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C + 4 \sin A \sin B \sin C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos 2B + \cos 2C = 2 \cos(B+C) \cos(B-C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \cos 2A + 2 \cos(B+C) \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$.
અહીં $B+C = 270^{\circ} - A$ હોવાથી,$\cos(B+C) = \cos(270^{\circ} - A) = -\sin A$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= \cos 2A + 2(-\sin A) \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= (1 - 2 \sin^2 A) - 2 \sin A \cos(B-C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1 - 2 \sin A [\sin A + \cos(B-C)] + 4 \sin A \sin B \sin C$.
$\sin A = \sin(270^{\circ} - (B+C)) = -\cos(B+C)$ હોવાથી:
$= 1 - 2 \sin A [-\cos(B+C) + \cos(B-C)] + 4 \sin A \sin B \sin C$.
નિત્યસમ $-\cos(B+C) + \cos(B-C) = 2 \sin B \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 - 2 \sin A (2 \sin B \sin C) + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1 - 4 \sin A \sin B \sin C + 4 \sin A \sin B \sin C$
$= 1$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha+\beta+\gamma=2 \theta$,તેથી $\theta = \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}$.
ધારો કે $S = \cos \theta + \cos (\theta-\alpha) + \cos (\theta-\beta) + \cos (\theta-\gamma)$.
સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$S = [\cos \theta + \cos (\theta-\alpha)] + [\cos (\theta-\beta) + \cos (\theta-\gamma)]$
$S = 2 \cos \frac{2\theta-\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \frac{2\theta-\beta-\gamma}{2} \cos \frac{\beta-\gamma}{2}$
$2\theta = \alpha+\beta+\gamma$ હોવાથી,$2\theta-\beta-\gamma = \alpha$ થાય.
$S = 2 \cos \frac{\beta+\gamma}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\gamma}{2}$
$S = 2 \cos \frac{\alpha}{2} [\cos \frac{\beta+\gamma}{2} + \cos \frac{\beta-\gamma}{2}]$
$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2 \cos \frac{\alpha}{2} [2 \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}]$
$S = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$.

(A) આપેલ છે $A+B+C=\frac{3 \pi}{2} \ldots(1)$
પદાવલિ $E = 4 \sin A \sin B \sin C+\cos 2 A+\cos 2 B+\cos 2 C$ ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ અને $\cos 2C = 1 - 2 \sin^2 C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 2 \cos(A+B) \cos(A-B) + 1 - 2 \sin^2 C$.
$(1)$ પરથી,$A+B = \frac{3 \pi}{2} - C$,તેથી $\cos(A+B) = \cos(\frac{3 \pi}{2} - C) = -\sin C$.
આ કિંમત મૂકતા:
$= 2(-\sin C) \cos(A-B) + 1 - 2 \sin^2 C$
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) + \sin C]$
કારણ કે $\sin C = \sin(\frac{3 \pi}{2} - (A+B)) = -\cos(A+B)$:
$= 1 - 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 - 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 1 - 4 \sin A \sin B \sin C$.
આમ,$4 \sin A \sin B \sin C + \cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = 1$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$-\sin(A+B+C) = -\sin(\frac{3 \pi}{2}) = -(-1) = 1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે $A+B+C=\frac{\pi}{2}$. આપણે $S = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-A\right)+\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-B\right)+\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-C\right)+1$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નોંધો કે $1 = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)$.
તેથી,$S = \sqrt{2} [\cos(\frac{\pi}{4}-A) + \cos(\frac{\pi}{4}-B) + \cos(\frac{\pi}{4}-C) + \cos(\frac{\pi}{4})]$.
$\cos X + \cos Y = 2 \cos \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2\sqrt{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A+B+C=4S$.
હવે,પદાવલિ $\cos (2S-A)+\cos (2S-B)-\cos (2S-C)-\cos 2S$ ધ્યાનમાં લો.
$= [\cos (2S-A)+\cos (2S-B)] - [\cos (2S-C)+\cos 2S]$.
સૂત્ર $\cos \theta + \cos \phi = 2 \cos \left(\frac{\theta+\phi}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \cos \left(\frac{4S-A-B}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - 2 \cos \left(\frac{4S-C}{2}\right) \cos \left(\frac{-C}{2}\right)$.
$A+B+C=4S$ હોવાથી,$4S-A-B=C$ અને $4S-C=A+B$ થાય.
$= 2 \cos \left(\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{C}{2}\right)$.
$= 2 \cos \left(\frac{C}{2}\right) \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \right]$.
$\cos \theta - \cos \phi = 2 \sin \left(\frac{\theta+\phi}{2}\right) \sin \left(\frac{\phi-\theta}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \cos \left(\frac{C}{2}\right) \left[ 2 \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{A}{2}\right) \right]$.
$= 4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{C}{2}\right)$.

(B) આપેલ છે: $A+B+C=2S$,જે સૂચવે છે કે $S-C = \frac{A+B}{2}$ અને $C = 2S-(A+B)$.
પદાવલિ ધ્યાનમાં લો: $\sin(S-A)+\sin(S-B)-\sin C$.
સરવાળા-થી-ગુણાકારના સૂત્ર $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \sin \left(\frac{2S-A-B}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - \sin C$
$= 2 \sin \left(\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$= 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) - \cos \frac{C}{2} \right]$
$\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 4 \sin \frac{S-A}{2} \sin \frac{S-B}{2} \sin \frac{C}{2}$.

(D) આપેલ છે,$A+B+C=\frac{\pi}{3}$.
આપણે $S = \sin \left(\frac{\pi-6A}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi-6B}{6}\right)+\sin C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સૂત્ર $\sin X + \sin Y = 2 \sin \left(\frac{X+Y}{2}\right) \cos \left(\frac{X-Y}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2 \sin \left(\frac{\frac{\pi-6A}{6} + \frac{\pi-6B}{6}}{2}\right) \cos \left(\frac{\frac{\pi-6A}{6} - \frac{\pi-6B}{6}}{2}\right) + \sin C$
$S = 2 \sin \left(\frac{2\pi - 6(A+B)}{12}\right) \cos \left(\frac{6(B-A)}{12}\right) + \sin C$
$A+B = \frac{\pi}{3} - C$ હોવાથી,$6(A+B) = 2\pi - 6C$.
$S = 2 \sin \left(\frac{2\pi - (2\pi - 6C)}{12}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \sin C$
$S = 2 \sin \left(\frac{6C}{12}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$S = 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \cos \frac{C}{2} \right]$
$C = \frac{\pi}{3} - (A+B)$ હોવાથી,$\frac{C}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{A+B}{2}$.
$S = 2 \sin \frac{C}{2} \left[ \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{6} - \frac{A+B}{2}\right) \right]$
$\cos X + \cos Y = 2 \cos \left(\frac{X+Y}{2}\right) \cos \left(\frac{X-Y}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 4 \sin \frac{C}{2} \cos \left(\frac{\pi - 6A}{12}\right) \cos \left(\frac{\pi - 6B}{12}\right)$.

(C) ધારો કે $f(\theta) = 3-\cos \theta+\cos \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$.
નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = 3-\cos \theta + \left(\cos \theta \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{3}\right)$
$f(\theta) = 3-\cos \theta + \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$
$f(\theta) = 3 - \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$
$f(\theta) = 3 - \left(\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right)$
$f(\theta) = 3 - \left(\sin \frac{\pi}{6} \cos \theta + \cos \frac{\pi}{6} \sin \theta\right)$
$f(\theta) = 3 - \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$
કારણ કે $-1 \leq \sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) \leq 1$,તેથી $f(\theta)$ નો વિસ્તાર $[3-1, 3-(-1)]$ એટલે કે $[2, 4]$ છે.

(B) આપેલ છે,$f(x) = 1 + 2 \sin x + 3 \cos^2 x$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ મૂકતા,આપણને મળે:
$f(x) = 1 + 2 \sin x + 3(1 - \sin^2 x) = 4 + 2 \sin x - 3 \sin^2 x$.
ધારો કે $t = \sin x$. $0 \leq x \leq \frac{2\pi}{3}$ હોવાથી,$t$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
$f(t) = -3t^2 + 2t + 4$.
આ એક નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $t = \frac{1}{3}$ પર છે.
$\frac{1}{3} \in [0, 1]$ હોવાથી,મહત્તમ કિંમત $f(\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$ છે.
અંતરાલ $[0, 1]$ માં ન્યૂનતમ કિંમત અંતિમ બિંદુઓ $t = 0$ અથવા $t = 1$ પર મળે છે.
$f(0) = 4$ અને $f(1) = 3$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમનો ગુણોત્તર $\frac{13/3}{3} = \frac{13}{9}$ એટલે કે $13 : 9$ છે.

(D) ધારો કે $E = \left(2 \cos^2 18^{\circ} - \sin 18^{\circ}\right) \left(\cos \theta + 3 \sqrt{2} \cos \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) + 3\right)$.
પ્રથમ,અચળ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $2 \cos^2 18^{\circ} - \sin 18^{\circ} = (1 + \cos 36^{\circ}) - \sin 18^{\circ}$.
$\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ અને $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 + \frac{\sqrt{5} + 1}{4} - \frac{\sqrt{5} - 1}{4} = 1 + \frac{2}{4} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
હવે,બીજા પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\cos \theta + 3 \sqrt{2} \left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{4} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{4}\right) + 3$.
$= \cos \theta + 3 \sqrt{2} \left(\cos \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3$.
$= \cos \theta + 3 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3 = 4 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3$.
આમ,$E = \frac{3}{2} (4 \cos \theta - 3 \sin \theta + 3)$.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
અહીં,$4 \cos \theta - 3 \sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ છે.
તેથી,$E$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{3}{2} (5 + 3) = \frac{3}{2} \times 8 = 12$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $A+B+C = 2S$.
તેથી $2S-A = B+C$,$2S-B = A+C$,અને $2S-C = A+B$.
પદાવલિ $\sin(2S-A) + \sin(2S-B) + \sin(2S-C) - \sin(2S)$ બને છે.
ત્રિકોણમિતિના નિત્યસમ મુજબ,જ્યારે $A+B+C = 2S$ હોય,ત્યારે તેનું મૂલ્ય $4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ થાય છે.

(B) ધારો કે $f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \cos \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
કોસાઇન પદનું વિસ્તરણ કરતા: $f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \left(\cos \theta \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \sin \frac{\pi}{3}\right) + 3$.
$f(\theta) = 5 \sin \theta + 3 \left(\frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta\right) + 3$.
$f(\theta) = \left(5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \sin \theta + \frac{3}{2} \cos \theta + 3$.
આ $A \sin \theta + B \cos \theta + C$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A = 5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}$,$B = \frac{3}{2}$,અને $C = 3$.
$A \sin \theta + B \cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ છે.
$A^2 + B^2 = \left(5 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 25 - 15\sqrt{3} + \frac{27}{4} + \frac{9}{4} = 34 - 15\sqrt{3}$.
તેથી $f(\theta)$ નો વિસ્તાર $[3 - \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}, 3 + \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}]$ છે.
આમ,$\alpha = 3 - \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$ અને $\beta = 3 + \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$.
તેથી $\alpha + \beta = 6$ અને $\alpha - \beta = -2\sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$.
અભિવ્યક્તિમાં કિંમત મૂકતા: $(\alpha - \beta)(\alpha + \beta - 6) = (-2\sqrt{34 - 15\sqrt{3}})(6 - 6) = 0$.

(B) વિધેય $f(x) = A \cos x + B \sin x + C$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A = 2 \sqrt{6} + 1$,$B = 2 \sqrt{2} - \sqrt{3}$,અને $C = -6$ છે.
$A \cos x + B \sin x$ ના અંતિમ મૂલ્યો $\pm \sqrt{A^2 + B^2}$ છે.
પ્રથમ,$A^2 + B^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = (2 \sqrt{6} + 1)^2 = 25 + 4 \sqrt{6}$.
$B^2 = (2 \sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = 11 - 4 \sqrt{6}$.
$A^2 + B^2 = 36$.
આમ,$A \cos x + B \sin x$ નો વિસ્તાર $[-6, 6]$ છે.
$f(x)$ નો વિસ્તાર $[-12, 0]$ છે.
તેથી,$m = -12$ અને $M = 0$.
આપણે $\sqrt{|M^2 - m^2|} = \sqrt{|0^2 - (-12)^2|} = \sqrt{144} = 12$ મેળવીએ છીએ.

(D) આપેલ છે $f(x) = \cos(\sinh(\log x) + \cosh(\log x))$.
$\sinh(u) = \frac{e^u - e^{-u}}{2}$ અને $\cosh(u) = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$\sinh(\log x) + \cosh(\log x) = \frac{e^{\log x} - e^{-\log x}}{2} + \frac{e^{\log x} + e^{-\log x}}{2} = \frac{2e^{\log x}}{2} = x$.
તેથી,$f(x) = \cos(x)$.
$\cos(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ છે.
તેથી,$k = -1$.
હવે,$\cosh(k+1) = \cosh(-1+1) = \cosh(0)$.
કારણ કે $\cosh(0) = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$.

(A) આપેલ છે $A+B+C=60^{\circ}$,તેથી $\sin(A+B+C) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(30^{\circ})$.
ધારો કે $S = \cos(30^{\circ}-A)+\cos(30^{\circ}-B)+\cos(30^{\circ}-C)+\cos(30^{\circ})$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos X + \cos Y = 2 \cos \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2 \cos \left(30^{\circ}-\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{B-A}{2}\right) + 2 \cos \left(30^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \cos \left(\frac{C}{2}\right)$.
$A+B = 60^{\circ}-C$ હોવાથી,$30^{\circ}-\frac{A+B}{2} = 30^{\circ}-\frac{60^{\circ}-C}{2} = \frac{C}{2}$.
$S = 2 \cos \frac{C}{2} \cos \frac{B-A}{2} + 2 \cos \left(30^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \cos \frac{C}{2}$.
$S = 2 \cos \frac{C}{2} \left[ \cos \frac{B-A}{2} + \cos \left(30^{\circ}-\frac{C}{2}\right) \right]$.
$30^{\circ}-\frac{C}{2} = 30^{\circ}-\frac{60^{\circ}-A-B}{2} = \frac{A+B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$S = 2 \cos \frac{C}{2} \left[ \cos \frac{B-A}{2} + \cos \frac{A+B}{2} \right] = 2 \cos \frac{C}{2} \left[ 2 \cos \frac{B}{2} \cos \frac{A}{2} \right]$.
$S = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.

(C) આપેલ છે કે,$A+B+C=\pi$.
આપણે $\sin A - \sin B + \sin C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$ અને $\sin B = 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$A+C = \pi - B$ હોવાથી,$\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$,તેથી $\sin \left(\frac{A+C}{2}\right) = \cos \frac{B}{2}$.
આમ,$\sin A + \sin C = 2 \cos \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
હવે,$\sin A - \sin B + \sin C = 2 \cos \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$.
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - \sin \frac{B}{2} \right]$.
$\frac{B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2}$ હોવાથી,$\sin \frac{B}{2} = \cos \left(\frac{A+C}{2}\right)$.
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) - \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \right]$.
$\cos X - \cos Y = 2 \sin \left(\frac{X+Y}{2}\right) \sin \left(\frac{Y-X}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \cos \frac{B}{2} \left[ 2 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} \right] = 4 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.

(A) For Assertion $(A)$: Given $\alpha=12^{\circ}, \beta=15^{\circ}, \gamma=18^{\circ}$.
We check if $\tan 2 \alpha \tan 2 \beta+\tan 2 \beta \tan 2 \gamma+\tan 2 \gamma \tan 2 \alpha=1$.
This is equivalent to $\tan 2 \alpha (\tan 2 \beta + \tan 2 \gamma) = 1 - \tan 2 \beta \tan 2 \gamma$.
$\tan 2 \alpha = \frac{1 - \tan 2 \beta \tan 2 \gamma}{\tan 2 \beta + \tan 2 \gamma} = \frac{1}{\tan(2 \beta + 2 \gamma)} = \cot(2 \beta + 2 \gamma)$.
Since $2 \alpha + 2 \beta + 2 \gamma = 2(12^{\circ} + 15^{\circ} + 18^{\circ}) = 2(45^{\circ}) = 90^{\circ}$,we have $2 \alpha = 90^{\circ} - (2 \beta + 2 \gamma)$.
Thus,$\tan 2 \alpha = \tan(90^{\circ} - (2 \beta + 2 \gamma)) = \cot(2 \beta + 2 \gamma)$.
So,Assertion $(A)$ is true.
For Reason $(R)$: In $\triangle ABC$,$A+B+C = 180^{\circ}$,so $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^{\circ}$.
Then $\frac{A}{2} + \frac{C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$.
Taking tangent on both sides: $\tan(\frac{A}{2} + \frac{C}{2}) = \tan(90^{\circ} - \frac{B}{2}) = \cot \frac{B}{2}$.
$\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{B}{2}}$.
$\tan \frac{B}{2} (\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2}) = 1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$.
$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$.
Reason $(R)$ is true and it provides the general identity that explains the specific case in $(A)$.

(B) આપેલ છે કે $A+B+C=\frac{\pi}{4}$,તેથી $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{\pi}{8}$.
પદાવલિ $E = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}-\cos \frac{\pi}{8}$ ધ્યાનમાં લો.
$2 \cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2 \left[ \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) + \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \right] \cos \frac{C}{2} - \cos \frac{\pi}{8}$.
કારણ કે $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{8} - \frac{C}{2}$,તેથી:
$E = 2 \cos \left( \frac{\pi}{8} - \frac{C}{2} \right) \cos \frac{C}{2} + 2 \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \cos \frac{C}{2} - \cos \frac{\pi}{8}$.
ફરીથી $2 \cos x \cos y = \cos(x+y) + \cos(x-y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \left[ \cos \frac{\pi}{8} + \cos \left( \frac{\pi}{8} - C \right) \right] + \left[ \cos \left( \frac{A-B+C}{2} \right) + \cos \left( \frac{A-B-C}{2} \right) \right] - \cos \frac{\pi}{8}$.
અહીં $\frac{A-B+C}{2} = \frac{\pi}{8} - B$ અને $\frac{A-B-C}{2} = A - \frac{\pi}{8}$ હોવાથી,$\cos(A-\frac{\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8}-A)$ મળે છે.
તેથી $E = \cos \left( \frac{\pi}{8} - C \right) + \cos \left( \frac{\pi}{8} - B \right) + \cos \left( \frac{\pi}{8} - A \right)$.

(B) આપેલ છે કે $5 \cos x + 12 \cos y = 13$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(5 \cos x + 12 \cos y)^2 = 169$.
ધારો કે $S = 5 \sin x + 12 \sin y$.
$A = (5 \cos x + 12 \cos y)^2 + (5 \sin x + 12 \sin y)^2$ લો.
$A = 25(\cos^2 x + \sin^2 x) + 144(\cos^2 y + \sin^2 y) + 120(\cos x \cos y + \sin x \sin y)$.
$A = 25 + 144 + 120 \cos(x - y) = 169 + 120 \cos(x - y)$.
તેથી $169 + S^2 = 169 + 120 \cos(x - y)$,એટલે કે $S^2 = 120 \cos(x - y)$.
$\cos(x - y)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી $S^2$ ની મહત્તમ કિંમત $120$ થાય.
આમ,$S$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{120}$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $\theta \in \mathbb{R}$ માટે,$\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેથી,$-1 \leq \cos (4x - 5) \leq 1$.
અસમતાને $3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$-3 \leq 3 \cos (4x - 5) \leq 3$.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $4$ ઉમેરતા,આપણને મળે:
$-3 + 4 \leq 3 \cos (4x - 5) + 4 \leq 3 + 4$.
$1 \leq 3 \cos (4x - 5) + 4 \leq 7$.
તેથી,આ પદાવલિ $[1, 7]$ અંતરાલમાં આવેલી છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $7 \cos x + 5 \sin x = 2k + 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cos x + b \sin x$ પદાવલિનો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$a = 7$ અને $b = 5$ છે,તેથી વિસ્તાર $[-\sqrt{7^2 + 5^2}, \sqrt{7^2 + 5^2}] = [-\sqrt{74}, \sqrt{74}]$ થાય.
કારણ કે $\sqrt{64} < \sqrt{74} < \sqrt{81}$,તેથી $8 < \sqrt{74} < 9$,જે આશરે $8.6$ છે.
સમીકરણનો ઉકેલ મળે તે માટે,$-\sqrt{74} \leq 2k + 1 \leq \sqrt{74}$ હોવું જોઈએ.
આશરે કિંમત મૂકતા: $-8.6 \leq 2k + 1 \leq 8.6$.
બધા પદોમાંથી $1$ બાદ કરતા: $-9.6 \leq 2k \leq 7.6$.
$2$ વડે ભાગતા: $-4.8 \leq k \leq 3.8$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k$ ની શક્ય કિંમતો $\{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે.
આમ,$k$ ના કુલ $8$ પૂર્ણાંક મૂલ્યો મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A+B+C=2S$,તેથી $S-C = A+B-S$ અને $2S-C = A+B$.
પદાવલિ $E = \sin(S-A) \cos(S-B) - \sin(S-C) \cos S$ છે.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $E = \frac{1}{2} [2 \sin(S-A) \cos(S-B) - 2 \sin(S-C) \cos S]$.
$2 \sin X \cos Y = \sin(X+Y) + \sin(X-Y)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} [(\sin(2S-A-B) + \sin(B-A)) - (\sin(2S-C) + \sin(-C))]$.
$2S-A-B = C$ અને $2S-C = A+B$ હોવાથી:
$E = \frac{1}{2} [\sin C + \sin(B-A) - \sin(A+B) + \sin C]$.
આનું સાદું રૂપ $\sin B \cos A$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A+B=C$.
આપણે પદાવલિ $E = \cos ^2 A+\cos ^2 B+\cos ^2 C-2 \cos A \cos B \cos C$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1+\cos 2A}{2} + \frac{1+\cos 2B}{2} + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A+B) \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 1 + \cos(A+B) \cos(A-B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$A+B=C$ હોવાથી,$\cos(A+B) = \cos C$ મૂકતા:
$E = 1 + \cos C \cos(A-B) + \cos ^2 C - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \cos C [\cos(A-B) + \cos C] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$\cos C = \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ મૂકતા:
$E = 1 + \cos C [\cos A \cos B + \sin A \sin B + \cos A \cos B - \sin A \sin B] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + \cos C [2 \cos A \cos B] - 2 \cos A \cos B \cos C$
$E = 1 + 2 \cos A \cos B \cos C - 2 \cos A \cos B \cos C = 1$.

(D) આપેલ છે કે $A+C=2B$ ...$(i)$
આપણે $\frac{\cos C-\cos A}{\sin A-\sin C}$ પદાવલિનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos C - \cos A = 2 \sin\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$
$\sin A - \sin C = 2 \cos\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos C-\cos A}{\sin A-\sin C} = \frac{2 \sin\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{A+C}{2}\right) \sin\left(\frac{A-C}{2}\right)}$
સમાન પદો $2$ અને $\sin\left(\frac{A-C}{2}\right)$ ને દૂર કરતા:
$= \frac{\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)}$
$= \tan\left(\frac{A+C}{2}\right)$
કારણ કે $A+C=2B$,તેથી $\frac{A+C}{2} = B$.
આમ,પદાવલિની કિંમત $\tan B$ થાય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 3 \sin^{12} x + 4 \cos^{16} x$ છે.
કારણ કે $0 \le \sin^2 x \le 1$ અને $0 \le \cos^2 x \le 1$,તેથી ઘાત $\sin^{12} x$ અને $\cos^{16} x$ પણ અંતરાલ $[0, 1]$ માં આવે છે.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની સીમા શરતો ચકાસીએ:
કિસ્સો $1$: જો $\sin^2 x = 1$ (એટલે કે $\cos^2 x = 0$),તો $f(x) = 3(1)^6 + 4(0)^8 = 3$.
કિસ્સો $2$: જો $\cos^2 x = 1$ (એટલે કે $\sin^2 x = 0$),તો $f(x) = 3(0)^6 + 4(1)^8 = 4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $4$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$.
ધારો કે $u = \cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$.
$u$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\cosh y$ વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ.
$\cosh y$ એ એક પ્રમાણિત હાયપરબોલિક વિધેય છે જે $\cosh y = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $y$ માટે,$e^y > 0$ અને $e^{-y} > 0$ થાય.
એરિથમેટિક મીન-જ્યોમેટ્રિક મીન ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,$\frac{e^y + e^{-y}}{2} \ge \sqrt{e^y \cdot e^{-y}} = \sqrt{e^0} = 1$.
સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $e^y = e^{-y}$ થાય,જેનો અર્થ છે $e^{2y} = 1$,તેથી $y = 0$.
કારણ કે $y = \log_2 \sin x$,આપણે તપાસીએ કે શું $y=0$ શક્ય છે. $y=0 \implies \log_2 \sin x = 0 \implies \sin x = 2^0 = 1$.
કારણ કે $x = \frac{\pi}{2}$ માટે $\sin x = 1$ શક્ય છે,તેથી $y=0$ કિંમત મેળવી શકાય છે.
તેથી,$\cosh y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $AM-GM$ અસમતા મુજબ,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ થાય.
$2^{\sin x}$ અને $2^{\cos x}$ માટે આ લાગુ પાડતા:
$\frac{2^{\sin x}+2^{\cos x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$
$\Rightarrow 2^{\sin x}+2^{\cos x} \geq 2 \cdot 2^{\frac{\sin x+\cos x}{2}} = 2^{1+\frac{\sin x+\cos x}{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x+\cos x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ છે.
$2^{1+\frac{\sin x+\cos x}{2}}$ પદને ન્યૂનતમ કરવા માટે,ઘાતાંક $1+\frac{\sin x+\cos x}{2}$ ને ન્યૂનતમ કરવો પડે.
$\sin x+\cos x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{2}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,ન્યૂનતમ કિંમત $2^{1+\frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $P = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n$.
તેથી $\frac{1}{P^2} = \sec^2 \alpha_1 \sec^2 \alpha_2 \ldots \sec^2 \alpha_n = (1 + \tan^2 \alpha_1)(1 + \tan^2 \alpha_2) \ldots (1 + \tan^2 \alpha_n)$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$1 + \tan^2 \alpha_i \geq 2 \tan \alpha_i$.
તેથી,$\frac{1}{P^2} \geq 2^n (\tan \alpha_1 \tan \alpha_2 \ldots \tan \alpha_n) = 2^n$.
આમ,$P^2 \leq \frac{1}{2^n}$,એટલે કે $P \leq \frac{1}{2^{n/2}}$.
મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2^{n/2}}$ છે.

(A) ધારો કે $f(\theta) = \sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta$.
નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)(\sin^{4} \theta - \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta + \cos^{4} \theta)$.
$\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ હોવાથી,આ સાદું રૂપ આપે છે:
$f(\theta) = (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)^{2} - 3 \sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$.
$f(\theta) = 1 - 3(\sin \theta \cos \theta)^{2}$.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ હોવાથી,$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ મળે.
$f(\theta) = 1 - 3 \left(\frac{1}{2} \sin 2\theta\right)^{2} = 1 - \frac{3}{4} \sin^{2} 2\theta$.
$0 \leq \sin^{2} 2\theta \leq 1$ હોવાથી,$f(\theta)$ નો વિસ્તાર:
$\sin^{2} 2\theta = 0$ માટે,$f(\theta) = 1 - 0 = 1$ (મહત્તમ).
$\sin^{2} 2\theta = 1$ માટે,$f(\theta) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ (ન્યૂનતમ).
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો અનુક્રમે $1$ અને $\frac{1}{4}$ છે.

(D) ધારો કે $x = \sin^2 \theta$. કારણ કે $0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$,તેથી $0 \leq x \leq 1$.
$f(\theta) = (1 + x)(2 - x) = 2 - x + 2x - x^2 = -x^2 + x + 2$.
વિસ્તાર શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરો:
$f(\theta) = -(x^2 - x) + 2 = -(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2$.
કારણ કે $0 \leq x \leq 1$,પદ $(x - \frac{1}{2})^2$ ની કિંમત $0$ (જ્યારે $x = \frac{1}{2}$) થી $\frac{1}{4}$ (જ્યારે $x = 0$ અથવા $x = 1$) સુધી બદલાય છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $\frac{9}{4} - 0 = \frac{9}{4}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{9}{4} - \frac{1}{4} = 2$ છે.
આમ,$2 \leq f(\theta) \leq \frac{9}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2+4+3 \cos (ax+b)=2x$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x^2-2x+1) + 3 + 3 \cos (ax+b) = 0$ મળે.
આથી $(x-1)^2 + 3(1 + \cos (ax+b)) = 0$ થાય.
$(x-1)^2 \geq 0$ અને $1 + \cos (ax+b) \geq 0$ હોવાથી,બંને પદો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$x = 1$ અને $\cos (ax+b) = -1$ મળે.
આથી $ax+b = (2n+1)\pi$ થાય.
$x=1$ મૂકતા,$a+b = (2n+1)\pi$ મળે.
$0 \leq a, b \leq 3$ હોવાથી,$0 \leq a+b \leq 6$ થાય.
તેથી,$a+b = \pi$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \sin x(\sin x + \cos x) = \sin^2 x + \sin x \cos x$.
નિત્યસમ $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ અને $\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{1-\cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\sin 2x - \cos 2x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $\theta$ માટે,$-\sqrt{a^2+b^2} \leq a \sin \theta + b \cos \theta \leq \sqrt{a^2+b^2}$.
$\sin 2x - \cos 2x$ માટે,$a=1, b=-1$ લેતા,$-\sqrt{1^2+(-1)^2} \leq \sin 2x - \cos 2x \leq \sqrt{1^2+(-1)^2}$,જેનું સાદું રૂપ $-\sqrt{2} \leq \sin 2x - \cos 2x \leq \sqrt{2}$ થાય છે.
$2$ વડે ભાગતા,$-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \frac{\sin 2x - \cos 2x}{2} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$.
બધા પદોમાં $\frac{1}{2}$ ઉમેરતા:
$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sin 2x - \cos 2x}{2} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
આમ,$\frac{1-\sqrt{2}}{2} \leq f(x) \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
$f(x) = k$ હોવાથી,$k$ નો વિસ્તાર $\frac{1-\sqrt{2}}{2} \leq k \leq \frac{1+\sqrt{2}}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે $P = \frac{1}{2} \sin^2 \theta + \frac{1}{3} \cos^2 \theta$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \frac{1}{2} \sin^2 \theta + \frac{1}{3} (1 - \sin^2 \theta)$
$P = \frac{1}{3} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) \sin^2 \theta$
$P = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \sin^2 \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$,તેથી:
$0 \leq \frac{1}{6} \sin^2 \theta \leq \frac{1}{6}$
બધા પદોમાં $\frac{1}{3}$ ઉમેરતા:
$\frac{1}{3} \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \sin^2 \theta \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} \leq P \leq \frac{1}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $-1 \leq \cos \theta \leq 1$ છે.
બધી બાજુ $5$ વડે ગુણતા,આપણને $-5 \leq 5 \cos \theta \leq 5$ મળે છે.
અસમતાના દરેક ભાગમાં $12$ ઉમેરતા,આપણને $-5 + 12 \leq 5 \cos \theta + 12 \leq 5 + 12$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $7 \leq 5 \cos \theta + 12 \leq 17$ થાય છે.
આમ,$5 \cos \theta + 12$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $7$ છે.

(A) ધારો કે $f(\theta) = \cos \theta + \sin \theta + \frac{2}{\sin 2 \theta}$.
ધારો કે $x = \sin \theta + \cos \theta$. તેથી $x^2 = 1 + \sin 2 \theta$,એટલે કે $\sin 2 \theta = x^2 - 1$.
$\theta \in (0, \pi / 2)$ હોવાથી,$x = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi / 4) \in (1, \sqrt{2}]$.
પદાવલિ $f(x) = x + \frac{2}{x^2 - 1}$ બને છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં $f(x)$ નું વિકલન કરીએ:
$f'(x) = 1 - \frac{4x}{(x^2 - 1)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$(x^2 - 1)^2 = 4x$.
$x = \sqrt{2}$ માટે,$f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \frac{2}{2 - 1} = \sqrt{2} + 2$.
અંતરાલ $(1, \sqrt{2}]$ માં તપાસતા,જેમ $x$ એ $\sqrt{2}$ ની નજીક જાય છે તેમ વિધેય ઘટે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2 + \sqrt{2}$ છે.

(C) ધારો કે $f(\theta) = cos^{2}\theta - 6sin\theta cos\theta + 3sin^{2}\theta + 2$.
નિત્યસમ $cos^{2}\theta = \frac{1+cos 2\theta}{2}$,$sin^{2}\theta = \frac{1-cos 2\theta}{2}$,અને $2sin\theta cos\theta = sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = \frac{1+cos 2\theta}{2} - 3sin 2\theta + 3(\frac{1-cos 2\theta}{2}) + 2$
$f(\theta) = 4 - 3sin 2\theta - cos 2\theta$
$a sin x + b cos x$ પદ $[-\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \sqrt{a^{2}+b^{2}}]$ અંતરાલમાં હોય છે.
અહીં,$a = -3$ અને $b = -1$,તેથી $\sqrt{(-3)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{10}$.
આમ,$f(\theta) \in [4-\sqrt{10}, 4+\sqrt{10}]$.
ન્યૂનતમ કિંમત $4-\sqrt{10}$ છે.

(B) આપેલ છે $f(\theta)=4(\sin^{4}(\frac{7\pi}{2}-\theta)+\sin^{4}(11\pi+\theta)) - 2(\sin^{6}(\frac{3\pi}{2}-\theta)+\sin^{6}(9\pi-\theta))$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\frac{7\pi}{2}-\theta) = \cos\theta$ અને $\sin(11\pi+\theta) = -\sin\theta$.
$\sin(\frac{3\pi}{2}-\theta) = -\cos\theta$ અને $\sin(9\pi-\theta) = \sin\theta$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f(\theta) = 4(\cos^{4}\theta + \sin^{4}\theta) - 2(\cos^{6}\theta + \sin^{6}\theta)$.
$\sin^{4}\theta + \cos^{4}\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$ અને $\sin^{6}\theta + \cos^{6}\theta = 1 - 3\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = 4(1 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta) - 2(1 - 3\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta) = 2 - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta$.
$\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta = \frac{\sin^{2}(2\theta)}{4}$ હોવાથી:
$f(\theta) = 2 - \frac{\sin^{2}(2\theta)}{2}$.
મહત્તમ કિંમત $\alpha$ જ્યારે $\sin^{2}(2\theta) = 0$ હોય ત્યારે મળે,તેથી $\alpha = 2$.
ન્યૂનતમ કિંમત $\beta$ જ્યારે $\sin^{2}(2\theta) = 1$ હોય ત્યારે મળે,તેથી $\beta = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\alpha + 2\beta = 2 + 2(\frac{3}{2}) = 5$.

(C) ધારો કે $u = \cos x$,જ્યાં $u \in [-1, 1]$.
આપેલ સમીકરણ $3(1 - u^2) + 12u - 3 = p$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,$3 - 3u^2 + 12u - 3 = p$,જે $-3u^2 + 12u = p$ આપે છે.
ધારો કે $g(u) = -3u^2 + 12u$. $u \in [-1, 1]$ માટે $g(u)$ નો વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે અંતિમ બિંદુઓ પર કિંમત શોધીએ.
વિકલન $g'(u) = -6u + 12$. $g'(u) = 0$ લેતા $u = 2$ મળે છે,જે અંતરાલ $[-1, 1]$ ની બહાર છે.
આમ,વિધેય $g(u)$ એ $[-1, 1]$ પર સતત વધતું વિધેય છે.
$u = -1$ માટે,$g(-1) = -3(-1)^2 + 12(-1) = -3 - 12 = -15$.
$u = 1$ માટે,$g(1) = -3(1)^2 + 12(1) = -3 + 12 = 9$.
તેથી,$p$ નો વિસ્તાર $[-15, 9]$ છે.
$-15$ થી $9$ સુધીના તમામ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો સમાંતર શ્રેણીના સૂત્ર મુજબ: $\frac{n}{2}(a + l) = \frac{25}{2}(-15 + 9) = \frac{25}{2}(-6) = -75$ થાય છે.

(B) ધારો કે $t = \frac{x}{2}$. $0 \le x \le \pi$ હોવાથી,$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ મળે.
આપણે $f(t) = 16 \sin^2 t \cos^3 t$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવું છે.
વિકલન કરતા,$f'(t) = 16(2 \sin t \cos t \cos^3 t - 3 \sin^2 t \cos^2 t \sin t) = 16 \sin t \cos^2 t (2 \cos^2 t - 3 \sin^2 t)$.
$f'(t) = 0$ લેતા,$2 \cos^2 t = 3 \sin^2 t$ મળે,એટલે કે $\tan^2 t = \frac{2}{3}$.
તેથી $\sin^2 t = \frac{2}{5}$ અને $\cos^2 t = \frac{3}{5}$.
મહત્તમ મૂલ્ય $16 \times \frac{2}{5} \times (\frac{3}{5})^{3/2} = \frac{96\sqrt{3}}{25\sqrt{5}}$ થાય.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,$3\sqrt{3}$ એ સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ જણાય છે.