Maximum and minimum values of trigonometrical functions, Conditional trigonometrical identities Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $f(A) = \cos A \sin \left( A - \frac{\pi}{6} \right)$.
નિત્યસમ $2 \sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(A) = \frac{1}{2} \left[ \sin \left( 2A - \frac{\pi}{6} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) \right]$
$f(A) = \frac{1}{2} \sin \left( 2A - \frac{\pi}{6} \right) + \frac{1}{4}$.
$f(A)$ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin \left( 2A - \frac{\pi}{6} \right)$ મહત્તમ એટલે કે $1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$2A - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.
$2A = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow A = \frac{\pi}{3}$.

(A) $A.M.-G.M.$ અસમતા મુજબ,$\frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2} \ge \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$.
આનું સાદું રૂપ $2^{\sin x} + 2^{\cos x} \ge 2 \cdot 2^{\frac{\sin x + \cos x}{2}} = 2^{1 + \frac{\sin x + \cos x}{2}}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$,જેની ન્યૂનતમ કિંમત $-\sqrt{2}$ છે.
તેથી,$2^{\sin x} + 2^{\cos x}$ પદની ન્યૂનતમ કિંમત $2^{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = 2^{1 - (1/\sqrt{2})}$ છે.
અસમતા $2^{\sin x} + 2^{\cos x} > 2^{1 - (1/\sqrt{2})}$ એ $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું છે સિવાય કે જ્યાં $\sin x + \cos x = -\sqrt{2}$ હોય.
$\sin x + \cos x = -\sqrt{2}$ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$,જેનો અર્થ છે કે $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$,તેથી $x = \frac{5\pi}{4}$.

(C) આપેલ છે કે $A + B + C = 180^{\circ}$,તેથી $A + B = 180^{\circ} - C$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(A + B) = \tan(180^{\circ} - C)$.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ અને $\tan(180^{\circ} - C) = -\tan C$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C$.
બંને બાજુ $(1 - \tan A \tan B)$ વડે ગુણતા:
$\tan A + \tan B = -\tan C(1 - \tan A \tan B)$.
$\tan A + \tan B = -\tan C + \tan A \tan B \tan C$.
પદોને ગોઠવતા:
$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = a \cos(bx + c) + d$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,એટલે કે $-1 \le \cos(bx + c) \le 1$.
$a$ વડે ગુણતા (ધારો કે $a > 0$),આપણને $-a \le a \cos(bx + c) \le a$ મળે છે.
દરેક પદમાં $d$ ઉમેરતા,આપણને $d - a \le a \cos(bx + c) + d \le d + a$ મળે છે.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[d - a, d + a]$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $f(x) = a \cos x + b \sin x$ સ્વરૂપના કોઈપણ વિધેયને $f(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(x + \alpha)$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $\tan \alpha = \frac{b}{a}$ છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = -1$ છે.
તેથી,$f(x) = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \cos(x + \alpha) = \sqrt{2} \cos(x + \alpha)$.
કારણ કે $\cos(x + \alpha)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $f(x)$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ થાય.

(B) આપેલ છે $f(x) = \cos 2x - \sin 2x$.
આપણે તેને $f(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2x \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \sqrt{2} \cos\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)$ મળે.
$\cos\theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $f(x)$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ થાય.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,અંતરાલ $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ એ આશરે $[-1.414, 1.414]$ છે.
આમ,ગણ $[-1, 1]$ એ $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ નો ઉપગણ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(\theta) = \sec^2 \theta + \cos^2 \theta$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
અહીં,$f(\theta) = \sec^2 \theta + \cos^2 \theta \ge 2 \sqrt{\sec^2 \theta \cdot \cos^2 \theta} = 2 \sqrt{1} = 2$.
$\theta > \frac{\pi}{3}$ હોવાથી,$\sec \theta > \sec(\frac{\pi}{3}) = 2$,તેથી $\sec^2 \theta > 4$.
જેમ $\theta$ વધે છે,તેમ $\sec^2 \theta$ અનંત $(\infty)$ તરફ વધે છે અને $\cos^2 \theta$ એ $[0, 1)$ અંતરાલમાં રહે છે.
આમ,ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2$ છે અને વિધેય $\infty$ સુધીની કોઈપણ કિંમત લઈ શકે છે.
તેથી,અંતરાલ $[2, \infty)$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = |\sin 4x + 3|$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે,$\sin 4x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\sin 4x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ મૂકીએ છીએ:
$f_{\text{min}} = |-1 + 3| = |2| = 2$.
$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $\sin 4x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ મૂકીએ છીએ:
$f_{\text{max}} = |1 + 3| = |4| = 4$.
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો અનુક્રમે $4$ અને $2$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 2\cos 2x - \cos 4x$.
નિત્યસમ $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વિધેયને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = 2\cos 2x - (2\cos^2 2x - 1) = -2\cos^2 2x + 2\cos 2x + 1$.
ધારો કે $t = \cos 2x$. કારણ કે $0 \le x \le \pi$,તેથી $2x$ નો વિસ્તાર $0 \le 2x \le 2\pi$ છે,તેથી $t = \cos 2x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
હવે,આપણી પાસે $t \in [-1, 1]$ માટે દ્વિઘાત વિધેય $g(t) = -2t^2 + 2t + 1$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંતરાલ $[-1, 1]$ ના અંત્યબિંદુઓ તપાસીએ છીએ કારણ કે પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
$t = 1$ માટે: $g(1) = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$.
$t = -1$ માટે: $g(-1) = -2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -2 - 2 + 1 = -3$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $-3$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(A) = \cos A \cos B = \cos A \cos \left( \frac{\pi}{2} - A \right) = \cos A \sin A = \frac{1}{2} \sin 2A.$
$\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,$\frac{1}{2} \sin 2A$ ની મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $\sin 2A = 1$ હોય.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,વિકલનનો ઉપયોગ કરતા: $f'(A) = \cos 2A.$
$f'(A) = 0$ લેતા $2A = \frac{\pi}{2},$ એટલે કે $A = \frac{\pi}{4}.$
$f''(A) = -2 \sin 2A$ હોવાથી,$A = \frac{\pi}{4}$ આગળ $f''(\frac{\pi}{4}) = -2 \sin \frac{\pi}{2} = -2 < 0$ મળે છે,જે મહત્તમ કિંમત દર્શાવે છે.
આમ,મહત્તમ કિંમત $\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ થાય.

(C) ધારો કે $f(x) = 2 + \sqrt{3} \cos x + \sin x$.
$e^{f(x)}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી પડશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પદાવલિ $a \cos x + b \sin x$ એ $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ અંતરાલમાં હોય છે.
અહીં,$a = \sqrt{3}$ અને $b = 1$ છે.
તેથી,$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$\sqrt{3} \cos x + \sin x$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે.
તેથી,$f(x) = 2 + (\sqrt{3} \cos x + \sin x)$ ની મહત્તમ કિંમત $2 + 2 = 4$ થાય.
આમ,$e^{f(x)}$ ની મહત્તમ કિંમત $e^{4}$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $P = \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i + a_i^2)$ છે,જ્યાં $\prod_{i=1}^{n} a_i = 1$ અને $a_i > 0$ છે.
સમાંતર મધ્યક-ગુણોત્તર મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,દરેક પદ $(1 + a_i + a_i^2)$ માટે:
$\frac{1 + a_i + a_i^2}{3} \ge \sqrt[3]{1 \cdot a_i \cdot a_i^2} = \sqrt[3]{a_i^3} = a_i$.
તેથી,$1 + a_i + a_i^2 \ge 3a_i$.
આ અસમતાઓનો $i = 1$ થી $n$ સુધી ગુણાકાર કરતા:
$P = \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i + a_i^2) \ge \prod_{i=1}^{n} (3a_i) = 3^n \prod_{i=1}^{n} a_i$.
કારણ કે $\prod_{i=1}^{n} a_i = 1$,તેથી $P \ge 3^n \cdot 1 = 3^n$.
સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $1 = a_i = a_i^2$,એટલે કે દરેક $i$ માટે $a_i = 1$.
આમ,લઘુત્તમ મૂલ્ય $3^n$ છે.

(D) આપેલ છે કે $p^2 + q^2 = 1$ જ્યાં $p, q > 0$.
સમાંતર મધ્યક અને વર્ગ મધ્યક વચ્ચેની અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{p + q}{2} \leq \sqrt{\frac{p^2 + q^2}{2}}$
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$\frac{p + q}{2} \leq \sqrt{\frac{1}{2}}$
$\frac{p + q}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
$p + q \leq \frac{2}{\sqrt{2}}$
$p + q \leq \sqrt{2}$
આમ,$p + q$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{2}$ છે.

(C) ધારો કે $y = a \sec x + b \csc x$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = a \sec x \tan x - b \csc x \cot x$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ માટે $\frac{dy}{dx} = 0$ લેતા:
$a \sec x \tan x = b \csc x \cot x$.
સાઈન અને કોસાઈનમાં રૂપાંતર કરતા:
$\frac{a \sin x}{\cos^2 x} = \frac{b \cos x}{\sin^2 x} \implies a \sin^3 x = b \cos^3 x \implies \tan^3 x = \frac{b}{a}$.
આમ,$\tan x = (b/a)^{1/3}$.
નિત્યસમ $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ અને $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sec x = \sqrt{1 + (b/a)^{2/3}} = \frac{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}{a^{1/3}}$ અને $\csc x = \sqrt{1 + (a/b)^{2/3}} = \frac{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}{b^{1/3}}$.
આ કિંમતોને $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = a \left( \frac{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}{a^{1/3}} \right) + b \left( \frac{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}{b^{1/3}} \right)$.
$y = a^{2/3} \sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}} + b^{2/3} \sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}$.
$y = (a^{2/3} + b^{2/3}) \sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}} = (a^{2/3} + b^{2/3})^{3/2}$.

(C) ધારો કે $f(x) = \sin x + \cos 2x$.
નિત્યસમ $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \sin x + 1 - 2\sin^2 x$.
ધારો કે $t = \sin x$,જ્યાં $t \in [-1, 1]$.
તેથી $f(t) = -2t^2 + t + 1$.
આ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે. તેનું શિરોબિંદુ $t = -b/(2a) = -1/(2 \times -2) = 1/4$ પર મળે છે.
કારણ કે $1/4 \in [-1, 1]$,મહત્તમ કિંમત $f(1/4) = -2(1/4)^2 + (1/4) + 1$ થશે.
$f(1/4) = -2(1/16) + 1/4 + 1 = -1/8 + 2/8 + 8/8 = 9/8$.

(A) આપેલ છે કે $A + B = \frac{\pi}{2}$,તેથી $B = \frac{\pi}{2} - A$ થાય.
ધારો કે $f(A) = \cos A \cos B = \cos A \cos(\frac{\pi}{2} - A) = \cos A \sin A$ છે.
આ પદને આપણે $f(A) = \frac{1}{2} \sin(2A)$ તરીકે લખી શકીએ.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(2A)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી,$f(A)$ ની મહત્તમ કિંમત $= \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ થાય.

(A) આપેલ પદાવલિ $f(x) = 27^{\cos 2x} 81^{\sin 2x}$ છે.
આપણે તેને $f(x) = (3^3)^{\cos 2x} (3^4)^{\sin 2x} = 3^{3 \cos 2x + 4 \sin 2x}$ તરીકે લખી શકીએ.
$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ઘાતાંક $g(x) = 3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી પડશે.
વિધેય $a \cos \theta + b \sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે,તેથી $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $= -\sqrt{3^2 + 4^2} = -\sqrt{9 + 16} = -\sqrt{25} = -5$ થાય.
તેથી,$f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $= 3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$ થાય.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 3^{x+1} + 3^{-(x+1)}$ છે.
આપણે તેને $f(x) = 3^{x+1} + \frac{1}{3^{x+1}}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બધી વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે $3^{x+1} > 0$ હોવાથી,આપણે સમાંતર મધ્યક-સમગુણોત્તર મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$,જેનો અર્થ છે કે $a+b \geq 2\sqrt{ab}$.
ધારો કે $a = 3^{x+1}$ અને $b = \frac{1}{3^{x+1}}$.
તેથી $f(x) = a + b \geq 2\sqrt{a \cdot b}$.
$f(x) \geq 2\sqrt{3^{x+1} \cdot \frac{1}{3^{x+1}}}$.
$f(x) \geq 2\sqrt{1}$.
$f(x) \geq 2$.
આમ,વિધેયનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $2$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = a \sin x + b \cos x$. આ પદાવલિની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે.
મહત્તમ કિંમત $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
વૈકલ્પિક રીતે,વિકલનનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = 3 \cos x - 4 \sin x$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$\tan x = 3/4$ મળે છે.
$\tan x = 3/4$ માટે,$\sin x = 3/5$ અને $\cos x = 4/5$ થાય (પ્રથમ ચરણમાં).
આ કિંમતો મૂકતા,$f(x) = 3(3/5) + 4(4/5) = 9/5 + 16/5 = 25/5 = 5$.

(D) આપેલ છે કે $u = \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta} + \sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$u^2 = (a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta) + (a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta) + 2\sqrt{(a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta)(a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta)}$.
$u^2 = a^2 + b^2 + 2\sqrt{a^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta + a^2 b^2 \cos^4 \theta + a^2 b^2 \sin^4 \theta + b^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}$.
$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2 2\theta}{4}$ અને $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u^2 = a^2 + b^2 + 2\sqrt{a^2 b^2 (1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2}) + (a^4 + b^4) \frac{\sin^2 2\theta}{4}}$.
$u^2 = a^2 + b^2 + \sqrt{4a^2 b^2 + (a^2 - b^2)^2 \sin^2 2\theta}$.
મહત્તમ કિંમત માટે,$\sin^2 2\theta = 1$: $u^2_{\max} = a^2 + b^2 + \sqrt{(a^2 + b^2)^2} = 2(a^2 + b^2)$.
ન્યૂનતમ કિંમત માટે,$\sin^2 2\theta = 0$: $u^2_{\min} = a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$.
તફાવત $u^2_{\max} - u^2_{\min} = 2a^2 + 2b^2 - (a^2 + b^2 + 2ab) = (a - b)^2$.

(C) આ પદાવલિ $a \sin x + b \cos x$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 5$ અને $b = 12$ છે.
$a \sin x + b \cos x$ પદાવલિની મહત્તમ કિંમત શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
મહત્તમ કિંમત $= \sqrt{5^2 + 12^2}$
$= \sqrt{25 + 144}$
$= \sqrt{169}$
$= 13$.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $13$ છે.

(C) પદાવલિ $2^{((x^2 - 3)^3 + 27)}$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે ધારણ કરે છે જ્યારે ઘાતાંક $((x^2 - 3)^3 + 27)$ ન્યૂનતમ હોય.
ધારો કે $f(x) = (x^2 - 3)^3 + 27$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $(x^2 - 3)^3$ ના વર્તનની તપાસ કરીએ.
પદ $(x^2 - 3)^3$ કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે કારણ કે $x^2 - 3$ નો વિસ્તાર $[-3, \infty)$ છે,અને ઘન વિધેય (cube function) સતત વધતું વિધેય છે.
જો આપણે $x$ નો પ્રદેશ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ લઈએ,તો જેમ $x^2$ ની કિંમત $0$ ની નજીક જાય,તેમ $(x^2 - 3)^3$ ની કિંમત $(-3)^3 = -27$ સુધી પહોંચી શકે છે.
આમ,$(x^2 - 3)^3 + 27$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $(-27) + 27 = 0$ થાય.
તેથી,પદાવલિની ન્યૂનતમ કિંમત $2^0 = 1$ થાય.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 2(\cos 3x + \cos \sqrt{3} x)$ છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 4 \cos(\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x) \cos(\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x)$.
$\cos \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.
$f(x) = 4$ થવા માટે,$\cos(\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x)$ અને $\cos(\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x)$ બંને $1$ હોવા જોઈએ અથવા બંને $-1$ હોવા જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $\cos(\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x) = 1$ અને $\cos(\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x) = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{3 + \sqrt{3}}{2} x = 2n\pi$ અને $\frac{3 - \sqrt{3}}{2} x = 2m\pi$,જ્યાં $n, m$ પૂર્ણાંક છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} = \frac{n}{m}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{(3 + \sqrt{3})^2}{9 - 3} = 2 + \sqrt{3}$.
$2 + \sqrt{3}$ અસંમેય હોવાથી,કોઈ શૂન્યતર પૂર્ણાંકો $n, m$ આનું સમાધાન કરતા નથી. તેથી,$n=0, m=0$ એ એકમાત્ર ઉકેલ છે,જે $x=0$ આપે છે.
કિસ્સો $2$: બંને $-1$ હોય. આ પણ સમાન વિરોધાભાસ તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,$x$ નું એકમાત્ર મૂલ્ય $x=0$ છે જેના માટે વિધેય મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે. આમ,મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) ધારો કે $y = 27^{\cos 2x} \cdot 81^{\sin 2x}$ છે.
$y = (3^3)^{\cos 2x} \cdot (3^4)^{\sin 2x} = 3^{3 \cos 2x + 4 \sin 2x}$.
જ્યારે $3 \cos 2x + 4 \sin 2x$ ન્યૂનત્તમ હશે,ત્યારે $y$ ન્યૂનત્તમ હશે.
$a \cos \theta + b \sin \theta$ નું મૂલ્ય $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ અંતરાલમાં હોય છે.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે,તેથી $z$ નો વિસ્તાર $[-5, 5]$ છે.
$z$ નું ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય $-5$ છે.
તેથી,$y$ નું ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય $3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $p = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \sin^2 \theta + (1 - \sin^2 \theta)^2$
$p = \sin^2 \theta + 1 + \sin^4 \theta - 2 \sin^2 \theta$
$p = \sin^4 \theta - \sin^2 \theta + 1$.
ધારો કે $x = \sin^2 \theta$. $\theta$ વાસ્તવિક હોવાથી,$0 \le x \le 1$ થાય.
તેથી $p = f(x) = x^2 - x + 1$.
આ એક ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $x = -b/(2a) = -(-1)/(2 \times 1) = 1/2$ પર છે.
$1/2$ એ અંતરાલ $[0, 1]$ માં હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $f(1/2) = (1/2)^2 - (1/2) + 1 = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4$ થશે.
મહત્તમ કિંમત અંતરાલ $[0, 1]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર મળે છે.
$f(0) = 0^2 - 0 + 1 = 1$.
$f(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$.
આમ,$p$ નો વિસ્તાર $\frac{3}{4} \le p \le 1$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિને $f(x) = 2 \left( \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \right)$ તરીકે લખી શકીએ.
$f(x) = 2 \left( \sin x \cos 60^\circ + \cos x \sin 60^\circ \right) = 2 \sin(x + 60^\circ)$.
વિધેય $\sin(x + 60^\circ)$ ત્યારે મહત્તમ હોય જ્યારે તેનો ખૂણો $90^\circ$ હોય.
$x + 60^\circ = 90^\circ \Rightarrow x = 30^\circ$.
વૈકલ્પિક રીતે,વિકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \cos x - \sqrt{3} \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = 30^\circ$.
$x = 30^\circ$ આગળ,$f''(x) = -\sin x - \sqrt{3} \cos x = -\sin 30^\circ - \sqrt{3} \cos 30^\circ = -\frac{1}{2} - \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2 < 0$.
બીજું વિકલન ઋણ હોવાથી,વિધેય $x = 30^\circ$ આગળ મહત્તમ છે.

(A) આપેલ છે કે $A + B = \pi / 2$,તેથી $B = \pi / 2 - A$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$\cos A \cos B = \cos A \cos(\pi / 2 - A) = \cos A \sin A$ મળે.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,$\frac{1}{2} (2 \sin A \cos A) = \frac{1}{2} \sin(2A)$ મળે.
ધારો કે $f(A) = \frac{1}{2} \sin(2A)$.
સાઇન વિધેય $\sin(2A)$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી,$f(A)$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2} (1) = 1/2$ થાય.

(C) આપેલ છે $A = \sin^2 x + \cos^4 x$.
ધારો કે $t = \sin^2 x$,તો $0 \le t \le 1$. કારણ કે $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t$,તેથી $\cos^4 x = (1 - t)^2$.
આ કિંમતો $A$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = t + (1 - t)^2 = t + 1 - 2t + t^2 = t^2 - t + 1$.
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જ્યાં $t \in [0, 1]$.
પરવલય $f(t) = t^2 - t + 1$ નું શિરોબિંદુ $t = 1/2$ પર છે.
$1/2$ એ અંતરાલ $[0, 1]$ માં હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $f(1/2) = 3/4$ છે.
મહત્તમ કિંમત સીમાઓ $t=0$ અથવા $t=1$ પર મળે છે:
$f(0) = 1$ અને $f(1) = 1$.
આમ,$A$ નો વિસ્તાર $\frac{3}{4} \le A \le 1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(\cos x + \sin x)^2 + k \sin x \cos x - 1 = 0, \forall x$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $(\cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x) + k \sin x \cos x - 1 = 0, \forall x$
નિત્યસમ $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 + 2 \sin x \cos x + k \sin x \cos x - 1 = 0, \forall x$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $(2 + k) \sin x \cos x = 0, \forall x$
આ નિત્યસમ હોવા માટે (બધા $x$ માટે સત્ય),સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$2 + k = 0$
$k = -2$

(A) આપેલ છે: $\frac{\sin^4 A}{a} + \frac{\cos^4 A}{b} = \frac{1}{a + b}$
$\sin^2 A = \frac{1 - \cos 2A}{2}$ અને $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(1 - \cos 2A)^2}{4a} + \frac{(1 + \cos 2A)^2}{4b} = \frac{1}{a + b}$
સાદુરૂપ આપતા:
$((a + b) \cos 2A + (a - b))^2 = 0$
તેથી,$\cos 2A = \frac{b - a}{a + b}$
હવે,$\sin^2 A = \frac{a}{a + b}$ અને $\cos^2 A = \frac{b}{a + b}$
તેથી,$\frac{\sin^8 A}{a^3} + \frac{\cos^8 A}{b^3} = \frac{(\frac{a}{a + b})^4}{a^3} + \frac{(\frac{b}{a + b})^4}{b^3} = \frac{a + b}{(a + b)^4} = \frac{1}{(a + b)^3}$

(A) ધારો કે $y = \sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$.
અહીં $\alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ હોવાથી,$\tan^2 \alpha > 0$ છે.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \ge GM)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}{2} \ge \sqrt{\sqrt{x^2 + x} \cdot \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}$
$\frac{\sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}{2} \ge \sqrt{\tan^2 \alpha}$
$\sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}} \ge 2 \tan \alpha$.

(A) આપેલ છે કે $\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \cdots \cot \alpha_n = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n = \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n$.
ધારો કે $P = \cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n$.
તેથી $P^2 = (\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n) \cdot (\sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n)$.
$\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $P^2 = \frac{1}{2^n} \sin 2\alpha_1 \cdot \sin 2\alpha_2 \cdots \sin 2\alpha_n$ મળે છે.
દરેક $i$ માટે $\sin 2\alpha_i \le 1$ હોવાથી,$P^2 \le \frac{1}{2^n}$ થાય.
વર્ગમૂળ લેતા,$P \le \sqrt{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2^{n/2}}$.
મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{1}{2^{n/2}}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \sin^8\theta + \cos^{14}\theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $0 \le \sin^2\theta \le 1$ અને $0 \le \cos^2\theta \le 1$,તેથી $\sin^8\theta \le \sin^2\theta$ અને $\cos^{14}\theta \le \cos^2\theta$ થાય.
આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,$A = \sin^8\theta + \cos^{14}\theta \le \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ મળે.
વળી,$\sin^2\theta$ અને $\cos^2\theta$ બંને એકસાથે શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $A > 0$.
આમ,$0 < A \le 1$.

(A) ધારો કે $f(\theta) = a \sin^2 \theta + b \sin \theta \cos \theta + c \cos^2 \theta - \frac{1}{2}(a + c)$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ અને $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(\theta) = \frac{1}{2} [b \sin 2\theta - (a - c) \cos 2\theta]$
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \sin x + B \cos x$ સ્વરૂપના પદનો વિસ્તાર $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ છે.
તેથી,$|b \sin 2\theta - (a - c) \cos 2\theta| \le \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.
આમ,$|f(\theta)| \le \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.
આપેલ અસમતા સાથે સરખાવતા,$k = \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$k^2 = b^2 + (a - c)^2$.

(A) આપેલ છે $u = \sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta } + \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta } $.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
${u^2} = ({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta ) + ({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta ) + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta )({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta )} $
${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta )({a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta )} $
ધારો કે $t = {a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta $. તો ${a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta = {a^2} + {b^2} - t$.
તેથી,${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {t({a^2} + {b^2} - t)} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt { - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t} $.
ધારો કે $f(t) = - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t$. $f(t)$ ની મહત્તમ કિંમત $t = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$ પર મળે છે,જે $f\left( \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \right) = \frac{{{({a^2} + {b^2})^2}}}{4}$ છે.
આમ,${({u^2})_{\max }} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {\frac{{{({a^2} + {b^2})^2}}}{4}} = {a^2} + {b^2} + ({a^2} + {b^2}) = 2({a^2} + {b^2})$.
$f(t)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $t$ ની સીમાઓ પર મળે છે,એટલે કે $t = {a^2}$ અથવા $t = {b^2}$.
$t = {a^2}$ પર,$f({a^2}) = - {a^4} + ({a^2} + {b^2}){a^2} = {a^2}{b^2}$.
આમ,${({u^2})_{\min }} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {{a^2}{b^2}} = {a^2} + {b^2} + 2ab = {(a + b)^2}$.
તફાવત ${({u^2})_{\max }} - {({u^2})_{\min }} = 2{a^2} + 2{b^2} - ({a^2} + {b^2} + 2ab) = {a^2} + {b^2} - 2ab = {(a - b)^2}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $a^2 + 2a + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 0$ છે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$(a + 1)^2 + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 1$ મળે.
નિત્યસમ $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a + 1)^2 + \cot^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 0$ મળે.
બંને પદો વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગ હોવાથી,તેમનો સરવાળો ત્યારે જ શૂન્ય થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય.
તેથી,$(a + 1)^2 = 0 \Rightarrow a = -1$.
$a = -1$ મૂકતા,$\cot^2 \left( \frac{\pi}{2}(x - 1) \right) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x}{2} \in I$ વિકલ્પ $B$ મુજબ સાચું છે.

(D) આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = \frac{1}{2}(x + y + z)[(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2]$.
$x = \sin A$,$y = \sin B$,અને $z = \sin C$ મૂકતા:
$\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C - 3 \sin A \sin B \sin C = \frac{1}{2}(\sin A + \sin B + \sin C)[(\sin A - \sin B)^2 + (\sin B - \sin C)^2 + (\sin C - \sin A)^2]$.
આપેલ સમીકરણ મુજબ,આ પદ $0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $\sin A + \sin B + \sin C = 0$ (જે ત્રિકોણ માટે શક્ય નથી) અથવા $(\sin A - \sin B)^2 + (\sin B - \sin C)^2 + (\sin C - \sin A)^2 = 0$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin A = \sin B = \sin C$,જેનો અર્થ છે કે $A = B = C = 60^\circ$.
તેથી,$\Delta ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) આપેલ છે $\sin \left( A + \frac{C}{2} \right) = k \sin \frac{C}{2}$.
યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (Componendo and Dividendo) લેતા:
$\frac{\sin (A + C/2) + \sin (C/2)}{\sin (A + C/2) - \sin (C/2)} = \frac{k + 1}{k - 1}$.
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A}{2}}{2 \cos \frac{A+C}{2} \sin \frac{A}{2}} = \frac{k + 1}{k - 1}$.
$\tan \left( \frac{A+C}{2} \right) \cot \frac{A}{2} = \frac{k + 1}{k - 1}$.
$A + B + C = \pi$ હોવાથી,$\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$.
તેથી,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{A}{2} = \frac{k + 1}{k - 1}$.
આમ,$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} = \frac{k - 1}{k + 1}$.

(A) ધારો કે $x = \tan \frac{A}{2}$,$y = \tan \frac{B}{2}$,$z = \tan \frac{C}{2}$.
કોઈપણ $\Delta ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$.
આપેલ પદાવલિ $E = \frac{\frac{1}{x^2 y^2} + \frac{1}{y^2 z^2} + \frac{1}{z^2 x^2}}{\frac{1}{x^2 y^2 z^2}} = x^2 + y^2 + z^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$.
$xy + yz + zx = 1$ હોવાથી,$x^2 + y^2 + z^2 \ge 1$.
સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $x = y = z = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જે સમબાજુ ત્રિકોણ દર્શાવે છે.
આમ,ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1$ છે.

(C) ધારો કે $y = (7 \cos\theta + 24 \sin\theta)(7 \sin\theta - 24 \cos\theta)$.
આ પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$y = r^2 \cos(\theta - \phi) \sin(\theta - \phi)$,જ્યાં $r = 25$.
$y = \frac{r^2}{2} \sin(2(\theta - \phi)) = \frac{625}{2} \sin(2(\theta - \phi))$.
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{625}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ કોટિકોણ છે,તેથી $A + B = 90^{\circ}$ અથવા $A + B = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા: $\tan(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
સૂત્ર $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan(A/2) + \tan(B/2)}{1 - \tan(A/2)\tan(B/2)} = 1$.
$\tan(A/2) + \tan(B/2) = 1 - \tan(A/2)\tan(B/2)$.
પદોને ગોઠવતા: $1 + \tan(A/2) + \tan(B/2) + \tan(A/2)\tan(B/2) = 2$.
અવયવ પાડતા: $(1 + \tan(A/2))(1 + \tan(B/2)) = 2$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$.
અહીં $t = \cos^2 x$ લેતા,જ્યાં $t \in (0, 1]$,આપણને $y = 8t + \frac{18}{t}$ મળે છે.
વિધેય $f(t) = 8t + \frac{18}{t}$ નું વિકલન $f'(t) = 8 - \frac{18}{t^2}$ છે.
$t \in (0, 1]$ માટે $f'(t) < 0$ હોવાથી,વિધેય ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $t = 1$ પર મળે છે.
$y_{min} = 8(1) + \frac{18}{1} = 26$.

(D) દરેક વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $f(x) = sin^2 x - cos^2 x = -cos 2x$ માટે,વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે. મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.
$2$. $f(x) = \frac{\sin 2x - \cos 2x}{\sqrt{2}}$ માટે,આને $\sin(2x - \frac{\pi}{4})$ તરીકે લખી શકાય. વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે. મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.
$3$. $f(x) = -\frac{\sin 2x - \cos 2x}{\sqrt{2}}$ માટે,આને $-\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4} - 2x)$ તરીકે લખી શકાય. વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે. મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.
બધા જ વિધેયોનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $E = 1 + 4 \sin \theta + 3 \cos \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \sin \theta + b \cos \theta$ પદાવલિ $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ અંતરાલમાં હોય છે.
અહીં,$a = 4$ અને $b = 3$ છે,તેથી $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
આમ,$4 \sin \theta + 3 \cos \theta$ ની કિંમત $-5$ થી $5$ ની વચ્ચે હોય છે.
આખી પદાવલિમાં $1$ ઉમેરતા,$1 + (-5) \leq E \leq 1 + 5$.
તેથી,$-4 \leq E \leq 6$.
આમ,અંતિમ મૂલ્યો $-4$ અને $6$ છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{\tan(x + \frac{\pi}{6})}{\tan x}$.
સૂત્ર $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y = \frac{\tan x + \tan(\frac{\pi}{6})}{\tan x (1 - \tan x \tan(\frac{\pi}{6}))} = \frac{\tan x + \frac{1}{\sqrt{3}}}{\tan x (1 - \frac{\tan x}{\sqrt{3}})} = \frac{\sqrt{3} \tan x + 1}{\tan x (\sqrt{3} - \tan x)}$.
વૈકલ્પિક રીતે,સાઈન અને કોસાઈનનો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{\sin(x + \frac{\pi}{6}) \cos x}{\cos(x + \frac{\pi}{6}) \sin x} = \frac{2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) \cos x}{2 \sin x \cos(x + \frac{\pi}{6})} = \frac{\sin(2x + \frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{6})}{\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - \sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\sin(2x + \frac{\pi}{6}) + 1/2}{\sin(2x + \frac{\pi}{6}) - 1/2}$.
ધારો કે $u = \sin(2x + \frac{\pi}{6})$. તો $y = \frac{u + 1/2}{u - 1/2} = 1 + \frac{1}{u - 1/2}$.
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sin x + 4} - \frac{1}{\cos x - 4}$ છે.
વિકલન કરીને અને $f'(x) = 0$ લઈને અંતિમ બિંદુઓ મેળવતા,આપણને $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
જ્યારે $x = 2n\pi + \frac{3\pi}{4}$ હોય,ત્યારે $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$f(x) = \frac{1}{4 + 1/\sqrt{2}} - \frac{1}{-1/\sqrt{2} - 4} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2} + 1} + \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2} + 1} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2} + 1}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{\cos x}{\sin^2 x(\cos x - \sin x)}$.
$t = \tan x$ લેતા,જ્યાં $t \in (0, 1)$,પદાવલિ $\frac{1}{t^2(1-t)}$ બને છે.
$h(t) = t^2 - t^3$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $t = 2/3$ આગળ $4/27$ મળે છે.
તેથી,પદાવલિનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $27/4 = 6.75$ છે.
આમ,પદાવલિ $6.75$ થી મોટી કોઈપણ કિંમત ધારણ કરી શકે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\left(\frac{a^{4}+a^{2}+1}{a^{2}}\right)\left(\frac{b^{4}+7 b^{2}+1}{b^{2}}\right)\left(\frac{c^{4}+11 c^{2}+1}{c^{2}}\right)$ છે.
આને $\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+1\right)\left(b^{2}+\frac{1}{b^{2}}+7\right)\left(c^{2}+\frac{1}{c^{2}}+11\right)$ તરીકે લખી શકાય છે.
નિત્યસમ $x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\left[(a-\frac{1}{a})^{2}+3\right]\left[(b-\frac{1}{b})^{2}+9\right]\left[(c-\frac{1}{c})^{2}+13\right]$.
$(x - \frac{1}{x})^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે,જે $x^2 = 1$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,પદાવલિની ન્યૂનતમ કિંમત $3 \times 9 \times 13 = 351$ થાય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\sin A \cos B \cos C + \sin B \cos C \cos A + \sin C \cos A \cos B$
પદાવલિમાંથી $\cos A \cos B \cos C$ સામાન્ય લેતા:
$= \cos A \cos B \cos C (\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B} + \frac{\sin C}{\cos C})$
$= \cos A \cos B \cos C (\tan A + \tan B + \tan C)$
કોઈપણ $\Delta ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \cos A \cos B \cos C (\tan A \tan B \tan C)$
$= \cos A \cos B \cos C (\frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\sin B}{\cos B} \cdot \frac{\sin C}{\cos C})$
$= \sin A \sin B \sin C$