Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Gujarati

(D) આપેલ રેખા $3x + 4y = 12$ છે.
$12$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$ મળે છે.
આમ,$x-$અંતઃખંડ $4$ છે અને $y-$અંતઃખંડ $3$ છે.
ધારો કે રેખા $L$ નો $x-$અંતઃખંડ $a$ અને $y-$અંતઃખંડ $b$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$a = 2 \times 4 = 8$ અને $b = \frac{3}{2}$.
રેખા $L$ નું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જે $\frac{x}{8} + \frac{y}{3/2} = 1$ થાય છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x}{8} + \frac{2y}{3} = 1$ થાય છે.
$24$ વડે ગુણતા,આપણને $3x + 16y = 24$ મળે છે.
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં લખતા,$16y = -3x + 24$,એટલે કે $y = -\frac{3}{16}x + \frac{24}{16}$.
તેથી,$L$ નો ઢાળ $-\frac{3}{16}$ છે.

(A) ધારો કે બે થાંભલા $OA$ અને $BC$ સમક્ષિતિજ સમતલ $OB$ પર છે. $OA = 20\,m$ અને $BC = 80\,m$. તેમની વચ્ચેનું અંતર $OB = a$ છે.
યામ પદ્ધતિ મુજબ $O(0, 0)$,$A(0, 20)$,$B(a, 0)$,અને $C(a, 80)$ લઈએ.
પ્રથમ થાંભલાની ટોચ $A(0, 20)$ ને બીજા થાંભલાના પાયા $B(a, 0)$ સાથે જોડતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{20 - 0}{0 - a}(x - a) \Rightarrow y = -\frac{20}{a}(x - a) \quad \dots(1)$
બીજા થાંભલાની ટોચ $C(a, 80)$ ને પ્રથમ થાંભલાના પાયા $O(0, 0)$ સાથે જોડતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{80 - 0}{a - 0}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{80}{a}x \quad \dots(2)$
છેદબિંદુ $M$ શોધવા માટે,$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{80}{a}x = -\frac{20}{a}(x - a)$
$80x = -20x + 20a$
$100x = 20a \Rightarrow x = \frac{a}{5}$
$x = \frac{a}{5}$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$y = \frac{80}{a} \times \frac{a}{5} = 16\,m$.
આમ,છેદબિંદુની ઊંચાઈ $16\,m$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા બિંદુ $P(-3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને આ બિંદુ અક્ષો વચ્ચેના અંતઃખંડિત ભાગને દુભાગે છે,તેથી અંતઃખંડો $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ,$P = \left( \frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right).$
આપેલ $P(-3, 4)$ પરથી,$\frac{a}{2} = -3 \implies a = -6$ અને $\frac{b}{2} = 4 \implies b = 8.$
આ કિંમતોને અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x}{-6} + \frac{y}{8} = 1.$
$24$ વડે ગુણતા,આપણને $-4x + 3y = 24$ અથવા $4x - 3y + 24 = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે રેખાનો ઢાળ $m = \tan \theta$ છે. $P(2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x = 2 + r \cos \theta$ અને $y = 3 + r \sin \theta$ છે,જ્યાં $r = 4$ છે.
આ કિંમતો $x + y = 7$ માં મૂકતા:
$(2 + 4 \cos \theta) + (3 + 4 \sin \theta) = 7$
$4(\cos \theta + \sin \theta) = 2$
$\cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$
$\sin 2\theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$
$\sin 2\theta = \frac{2m}{1 + m^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2m}{1 + m^2} = -\frac{3}{4}$
$8m = -3 - 3m^2 \Rightarrow 3m^2 + 8m + 3 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$m = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$
$\frac{1 - \sqrt{7}}{1 + \sqrt{7}}$ નું સંમેયીકરણ કરતા તે $\frac{-4 + \sqrt{7}}{3}$ મળે છે.

(A) રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p = 4$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\alpha$ એ અભિલંબ દ્વારા $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
રેખા $x + y = 0$ નો ઢાળ $-1$ છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $135^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ઉગમબિંદુથી રેખા $L$ પરનો લંબ $x + y = 0$ સાથે $60^o$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$\alpha = 135^o \pm 60^o$.
કિસ્સો $1$: $\alpha = 135^o - 60^o = 75^o$.
$\cos 75^o = \frac{\sqrt 3 - 1}{2\sqrt 2}$ અને $\sin 75^o = \frac{\sqrt 3 + 1}{2\sqrt 2}$.
સમીકરણ $(\sqrt 3 - 1)x + (\sqrt 3 + 1)y = 8\sqrt 2$ મળે છે.

(C) રેખાનો ઢાળ $m = \tan(135^\circ) = -1$ છે.
આપેલ $y$-અંતઃખંડ $c = -2$ છે.
રેખાનું ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = (-1)x + (-2)$ મળે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y = -x - 2$ છે.

(B) રેખાનું ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં $m$ એ ઢાળ છે અને $c$ એ $y$-અંતઃખંડ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,રેખા દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta = 60^\circ$ છે.
તેથી,ઢાળ $m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
રેખા $y$-અક્ષને ઉગમબિંદુથી $3$ એકમ ઉપર છેદે છે,તેથી $y$-અંતઃખંડ $c = 3$.
આ કિંમતોને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં મૂકતા,આપણને $y = \sqrt{3}x + 3$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
આપેલ બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (3, -2)$ અને $(x_2, y_2) = (-1, 4)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$m = \frac{4 - (-2)}{-1 - 3}$
$m = \frac{4 + 2}{-4}$
$m = \frac{6}{-4}$
$m = -\frac{3}{2}$

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
આપેલ બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (3, -2)$ અને $(x_2, y_2) = (7, -2)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{-2 - (-2)}{7 - 3}$
$m = \frac{-2 + 2}{4}$
$m = \frac{0}{4} = 0$
તેથી,રેખાનો ઢાળ $0$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
આપેલા બિંદુઓ $(3, -2)$ અને $(3, 4)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{4 - (-2)}{3 - 3} = \frac{6}{0}$
શૂન્ય વડે ભાગાકાર શક્ય ન હોવાથી,રેખાનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત છે.

(C) રેખાનો ખૂણો (inclination) $\alpha = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
રેખાનો ઢાળ $m$ એ $m = \tan(\alpha)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા,આપણને $m = \tan(60^{\circ})$ મળે છે.
તેથી,ઢાળ $m = \sqrt{3}$ થાય.

(A) ધારો કે પ્રથમ રેખાનો ઢાળ $m_{1}$ છે અને બીજી રેખાનો ઢાળ $m_{2}$ છે.
બિંદુઓ $(-2, 6)$ અને $(4, 8)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ:
$m_{1} = \frac{8 - 6}{4 - (-2)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
બિંદુઓ $(8, 12)$ અને $(x, 24)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ:
$m_{2} = \frac{24 - 12}{x - 8} = \frac{12}{x - 8}$.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$m_{1} \times m_{2} = -1$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{3} \times \frac{12}{x - 8} = -1$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{4}{x - 8} = -1$.
બંને બાજુ $(x - 8)$ વડે ગુણતા:
$4 = -(x - 8)$.
$4 = -x + 8$.
$x = 8 - 4$.
$x = 4$.

(N/A) બિંદુઓ $P$,$Q$ અને $R$ સમરેખ હોવાથી,રેખાખંડ $PQ$ નો ઢાળ એ રેખાખંડ $QR$ ના ઢાળ જેટલો જ હોય.
$PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{y_{1}-k}{x_{1}-h}$ છે.
$QR$ નો ઢાળ $m_{QR} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{y_{1}-k}{x_{1}-h} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$.
ડાબી બાજુના અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા: $\frac{k-y_{1}}{h-x_{1}} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(h-x_{1})(y_{2}-y_{1}) = (k-y_{1})(x_{2}-x_{1})$.
આમ,બિંદુઓ સમરેખ છે.

(N/A) ધારો કે $(T, D)$ એ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,જ્યાં $D$ એ સમય $T$ પરનું અંતર દર્શાવે છે.
બિંદુઓ $(0, 2)$,$(3, 8)$ અને $(T, D)$ સમરેખ હોવાથી,કોઈપણ બે બિંદુઓની જોડી વચ્ચેનો ઢાળ સમાન હોવો જોઈએ.
ઢાળ $= \frac{8 - 2}{3 - 0} = \frac{D - 8}{T - 3}$
$\frac{6}{3} = \frac{D - 8}{T - 3}$
$2 = \frac{D - 8}{T - 3}$
$2(T - 3) = D - 8$
$2T - 6 = D - 8$
$D = 2T + 2$
$D = 2(T + 1)$
આ જરૂરી સંબંધ છે.

(A) જો કોઈ રેખા $y$-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે,તો તે રેખા $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવશે.
આમ,આપેલ રેખાનો ઢાળ $m = \tan 120^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan 60^{\circ} = -\sqrt{3}$ થાય.

(A) જો બિંદુઓ $A(x, -1), B(2, 1)$ અને $C(4, 5)$ સમરેખ હોય,તો $AB$ નો ઢાળ એ $BC$ ના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{1 - (-1)}{2 - x} = \frac{2}{2 - x}$
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{5 - 1}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{2}{2 - x} = 2$
$\Rightarrow 2 = 2(2 - x)$
$\Rightarrow 2 = 4 - 2x$
$\Rightarrow 2x = 2$
$\Rightarrow x = 1$
આમ,$x$ ની જરૂરી કિંમત $1$ છે.

(A) બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (3, -1)$ અને $(x_2, y_2) = (4, -2)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$m = \frac{-2 - (-1)}{4 - 3} = \frac{-2 + 1}{1} = -1$.
રેખાનો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = m$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\tan \theta = -1$.
કારણ કે $\tan 135^{\circ} = -1$,તેથી ખૂણો $\theta = 135^{\circ}$ છે.

(N/A) $(x_{1}, y_{1})$ અને $(h, k)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{k - y_{1}}{h - x_{1}}$
આપેલ છે કે રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
તેથી,આપણને મળે છે:
$\frac{k - y_{1}}{h - x_{1}} = m$
બંને બાજુ $(h - x_{1})$ વડે ગુણતા:
$k - y_{1} = m(h - x_{1})$
આમ,સમીકરણ સાબિત થાય છે.

(N/A) જો બિંદુઓ $A(h, 0), B(a, b),$ અને $C(0, k)$ એક રેખા પર આવેલા હોય,તો $AB$ નો ઢાળ = $BC$ નો ઢાળ.
$AB$ નો ઢાળ = $\frac{b - 0}{a - h} = \frac{b}{a - h}$
$BC$ નો ઢાળ = $\frac{k - b}{0 - a} = \frac{k - b}{-a}$
બંને ઢાળને સરખાવતા: $\frac{b}{a - h} = \frac{k - b}{-a}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $-ab = (k - b)(a - h)$
સાદુરૂપ આપતા: $-ab = ka - kh - ab + bh$
તેથી: $ka + bh = kh$
બંને બાજુને $kh$ વડે ભાગતા: $\frac{ka}{kh} + \frac{bh}{kh} = \frac{kh}{kh}$
પરિણામ: $\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$.

(N/A) રેખા $AB$ બિંદુઓ $A(1985, 92)$ અને $B(1995, 97)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ઢાળ
$\frac{97-92}{1995-1985} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
ધારો કે વર્ષ $2010$ માં વસ્તી $y$ છે. તો,આપેલ આલેખ મુજબ,રેખા $AB$ બિંદુ $C(2010, y)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ.
$\therefore$ $AB$ નો ઢાળ $= BC$ નો ઢાળ
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{y-97}{2010-1995}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{y-97}{15}$
$\Rightarrow \frac{15}{2} = y-97$
$\Rightarrow y-97 = 7.5$
$\Rightarrow y = 7.5 + 97 = 104.5$
આમ,રેખા $AB$ નો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે,જ્યારે વર્ષ $2010$ માં વસ્તી $104.5$ કરોડ હશે.

(N/A) રેખાઓનું સ્થાન આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
$x$-અક્ષને સમાંતર રેખા માટે,રેખા પરના દરેક બિંદુનો $y$-યામ અચળ રહે છે. રેખા $(-2, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$y$-યામ $3$ છે. તેથી,$x$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $y = 3$ છે.
તે જ રીતે,$y$-અક્ષને સમાંતર રેખા માટે,રેખા પરના દરેક બિંદુનો $x$-યામ અચળ રહે છે. રેખા $(-2, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x$-યામ $-2$ છે. તેથી,$y$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x = -2$ છે.

(A) અહીં ઢાળ $m = -4$ અને આપેલ બિંદુ $(x_{0}, y_{0}) = (-2, 3)$ છે.
રેખાના બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપના સૂત્ર $y - y_{0} = m(x - x_{0})$ નો ઉપયોગ કરતા:
કિંમતો મૂકતા,$y - 3 = -4(x - (-2))$.
$y - 3 = -4(x + 2)$
$y - 3 = -4x - 8$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax + By + C = 0$ માં ગોઠવતા:
$4x + y - 3 + 8 = 0$
$4x + y + 5 = 0$
આમ,રેખાનું માંગેલ સમીકરણ $4x + y + 5 = 0$ છે.

(A) આપેલા બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1}) = (1, -1)$ અને $(x_{2}, y_{2}) = (3, 5)$ છે.
રેખાના સમીકરણના બે-બિંદુ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા: $y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}(x - x_{1})$.
કિંમતો મૂકતા: $y - (-1) = \frac{5 - (-1)}{3 - 1}(x - 1)$.
$y + 1 = \frac{6}{2}(x - 1)$.
$y + 1 = 3(x - 1)$.
$y + 1 = 3x - 3$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $3x - y - 4 = 0$ મળે છે.

(A) રેખાનો ઢાળ $m = \tan \theta = \frac{1}{2}$ છે.
$y$-અંતઃખંડ $c = -\frac{3}{2}$ છે.
રેખાના ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ નો ઉપયોગ કરતા,કિંમતો મૂકતા:
$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.
આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$2y = x - 3$.
પદોને ગોઠવતા,રેખાનું સમીકરણ મળે છે:
$x - 2y - 3 = 0$.

(B) અહીં આપેલ છે કે ઢાળ $m = \tan \theta = \frac{1}{2}$ અને $x$-અંતઃખંડ $d = 4$ છે.
$m$ ઢાળ અને $d$ $x$-અંતઃખંડ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = m(x - d)$ છે.
$m = \frac{1}{2}$ અને $d = 4$ ની કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$y = \frac{1}{2}(x - 4)$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2y = x - 4$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x - 2y - 4 = 0$
આમ,જરૂરી સમીકરણ $x - 2y - 4 = 0$ છે.

(A) રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ અને $b$ અનુક્રમે $x$-અંતઃખંડ અને $y$-અંતઃખંડ છે.
અહીં $a = -3$ અને $b = 2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x}{-3} + \frac{y}{2} = 1$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $6$ વડે ગુણતા:
$-2x + 3y = 6$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax + By + C = 0$ માં ગોઠવતા:
$2x - 3y + 6 = 0$

(N/A) રેખાના સમીકરણનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\omega$ એ અભિલંબ દ્વારા $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $p = 4$ અને $\omega = 15^{\circ}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ અને $\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને અભિલંબ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} \right) + y \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) = 4$.
બંને બાજુ $2\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$(\sqrt{3} + 1)x + (\sqrt{3} - 1)y = 8\sqrt{2}$.

(A) $F$ ને $x$-અક્ષ પર અને $K$ ને $y$-અક્ષ પર લેતા,આપણી પાસે $XY$-સમતલમાં બે બિંદુઓ $(32, 273)$ અને $(212, 373)$ છે.
બે-બિંદુ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $(F, K)$ સમીકરણનું પાલન કરે છે:
$K - 273 = \frac{373 - 273}{212 - 32}(F - 32)$
$K - 273 = \frac{100}{180}(F - 32)$
$K - 273 = \frac{5}{9}(F - 32)$
$K = \frac{5}{9}(F - 32) + 273$ ... $(1)$
જ્યારે $K = 0$ હોય,ત્યારે સમીકરણ $(1)$ પરથી:
$0 = \frac{5}{9}(F - 32) + 273$
$-\frac{5}{9}(F - 32) = 273$
$F - 32 = -\frac{273 \times 9}{5}$
$F - 32 = -491.4$
$F = -491.4 + 32 = -459.4$

(A) $(x_0, y_0)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y-y_0) = m(x-x_0)$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(x_0, y_0) = (-4, 3)$ અને ઢાળ $m = \frac{1}{2}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$(y-3) = \frac{1}{2}(x - (-4))$
$(y-3) = \frac{1}{2}(x+4)$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2(y-3) = x+4$
$2y-6 = x+4$
પદોને $Ax+By+C=0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x - 2y + 4 + 6 = 0$
$x - 2y + 10 = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_{0}, y_{0})$ બિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - y_{0}) = m(x - x_{0})$ છે.
અહીં રેખા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x_{0} = 0$ અને $y_{0} = 0$ મૂકતા:
$(y - 0) = m(x - 0)$.
આથી,રેખાનું સમીકરણ $y = mx$ મળે છે.

(A) $x-$અક્ષ સાથે $75^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી રેખાનો ઢાળ $m = \tan 75^{\circ}$ છે.
$m = \tan(45^{\circ} + 30^{\circ}) = \frac{\tan 45^{\circ} + \tan 30^{\circ}}{1 - \tan 45^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
$(x_0, y_0)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - y_0) = m(x - x_0)$ છે.
$(x_0, y_0) = (2, 2\sqrt{3})$ અને $m = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ મુકતા:
$(y - 2\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}(x - 2)$.
$(y - 2\sqrt{3})(\sqrt{3}-1) = (\sqrt{3}+1)(x - 2)$.
$y(\sqrt{3}-1) - 2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) = x(\sqrt{3}+1) - 2(\sqrt{3}+1)$.
$(\sqrt{3}+1)x - (\sqrt{3}-1)y = 2\sqrt{3} + 2 - (6 - 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 4$.
$(\sqrt{3}+1)x - (\sqrt{3}-1)y = 4(\sqrt{3}-1)$.

(A) $m$ ઢાળ અને $d$ $x$-અંતઃખંડ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = m(x - d)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે રેખા $x$-અક્ષને ઉગમબિંદુની ડાબી બાજુએ $3$ એકમના અંતરે છેદે છે,તેથી $x$-અંતઃખંડ $d = -3$ છે.
રેખાનો ઢાળ $m = -2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$y = -2(x - (-3))$
$y = -2(x + 3)$
$y = -2x - 6$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Ax + By + C = 0$ માં ગોઠવતા:
$2x + y + 6 = 0$.

(A) $m$ ઢાળ અને $y$-અંતઃખંડ $c$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y=mx+c$ છે.
અહીં,$y$-અંતઃખંડ $c=2$ છે (કારણ કે તે ઉગમબિંદુથી $2$ એકમ ઉપર છેદે છે).
ઢાળ $m=\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2$
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3}y=x+2\sqrt{3}$
પદોને ગોઠવતા:
$x-\sqrt{3}y+2\sqrt{3}=0$.

(A) રેખાના સમીકરણનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\omega$ એ લંબ દ્વારા ધન $x-$ અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $p = 5$ અને $\omega = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 5$
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$x \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + y \left( \frac{1}{2} \right) = 5$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3}x + y = 10$

(A) $(2, 5)$ અને $(-3, 6)$ બિંદુઓને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{6 - 5}{-3 - 2} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તો તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય. ધારો કે માંગેલી રેખાનો ઢાળ $m_2$ છે.
તેથી $m_1 \times m_2 = -1 \implies -\frac{1}{5} \times m_2 = -1 \implies m_2 = 5$.
$(-3, 5)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = 5$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ: $y - y_1 = m_2(x - x_1)$.
કિંમતો મૂકતા: $y - 5 = 5(x - (-3))$.
$y - 5 = 5(x + 3)$.
$y - 5 = 5x + 15$.
$5x - y + 20 = 0$.

(A) અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $(i)$ છે.
આપેલ છે કે રેખા બંને અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડો કાપે છે,તેથી $a = b$.
$(i)$ માં $b = a$ મૂકતા,આપણને $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = a$ $(ii)$ થાય છે.
રેખા બિંદુ $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામોને $(ii)$ માં મૂકીએ:
$2 + 3 = a \Rightarrow a = 5$.
$a = 5$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,રેખાનું માંગેલ સમીકરણ $x + y = 5$ મળે છે.

(A) રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે ..... $(i)$
અહીં,$a$ અને $b$ એ અનુક્રમે $x$ અને $y$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો છે.
આપેલ છે કે $a + b = 9 \Rightarrow b = 9 - a$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે $\frac{x}{a} + \frac{y}{9 - a} = 1$ ..... $(iii)$
રેખા બિંદુ $(2,2)$ માંથી પસાર થાય છે. તેથી,સમીકરણ $(iii)$ માં કિંમત મુકતા $\frac{2}{a} + \frac{2}{9 - a} = 1$
$\Rightarrow 2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{9 - a} \right) = 1$
$\Rightarrow 2 \left( \frac{9 - a + a}{a(9 - a)} \right) = 1$
$\Rightarrow \frac{18}{9a - a^2} = 1$
$\Rightarrow 18 = 9a - a^2$
$\Rightarrow a^2 - 9a + 18 = 0$
$\Rightarrow a^2 - 6a - 3a + 18 = 0$
$\Rightarrow a(a - 6) - 3(a - 6) = 0$
$\Rightarrow (a - 6)(a - 3) = 0$
$\Rightarrow a = 6$ અથવા $a = 3$
જો $a = 6$,તો $b = 9 - 6 = 3$. સમીકરણ $\frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1 \Rightarrow x + 2y - 6 = 0$ મળે.
જો $a = 3$,તો $b = 9 - 3 = 6$. સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} = 1 \Rightarrow 2x + y - 6 = 0$ મળે.

(A) ધન $x$-અક્ષ સાથે $\theta = \frac{2 \pi}{3}$ માપનો ખૂણો બનાવતી રેખાનો ઢાળ $m = \tan\left(\frac{2 \pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$ છે.
$(0, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\sqrt{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ મુજબ:
$(y - 2) = -\sqrt{3}(x - 0)$
$y - 2 = -\sqrt{3}x$
$\sqrt{3}x + y - 2 = 0$.
બીજી રેખા પ્રથમ રેખાને સમાંતર હોવાથી તેનો ઢાળ પણ $m = -\sqrt{3}$ થશે.
તે ઉગમબિંદુથી $2$ એકમ નીચે $y$-અક્ષને છેદે છે,એટલે કે તે $(0, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $(y - (-2)) = -\sqrt{3}(x - 0)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y + 2 = -\sqrt{3}x$
$\sqrt{3}x + y + 2 = 0$.

આપેલ છે કે જ્યારે $C = 20$ હોય,ત્યારે $L$ નું મૂલ્ય $124.942$ છે,અને જ્યારે $C = 110$ હોય,ત્યારે $L$ નું મૂલ્ય $125.134$ છે.
તદનુસાર,બિંદુઓ $(20, 124.942)$ અને $(110, 125.134)$ એ $L$ અને $C$ વચ્ચેના સુરેખ સંબંધનું પાલન કરે છે.
રેખાના બે-બિંદુ સ્વરૂપ $(L - L_1) = \frac{L_2 - L_1}{C_2 - C_1}(C - C_1)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે આપેલ કિંમતો મૂકીએ:
$(L - 124.942) = \frac{125.134 - 124.942}{110 - 20}(C - 20)$
$(L - 124.942) = \frac{0.192}{90}(C - 20)$
$L = \frac{0.192}{90}(C - 20) + 124.942.$

(A) વેચાણ કિંમત અને માંગ વચ્ચેનો સંબંધ સુરેખ છે.
$x$-અક્ષ પર પ્રતિ લિટર વેચાણ કિંમત અને $y$-અક્ષ પર માંગ લેતા,આપણી પાસે $XY$ સમતલમાં બે બિંદુઓ $(14, 980)$ અને $(16, 1220)$ છે જે આ સુરેખ સંબંધનું પાલન કરે છે.
બિંદુઓ $(14, 980)$ અને $(16, 1220)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 980 = \frac{1220 - 980}{16 - 14}(x - 14)$
$y - 980 = \frac{240}{2}(x - 14)$
$y - 980 = 120(x - 14)$
$y = 120(x - 14) + 980$
જ્યારે $x = 17$ (પ્રતિ લિટર કિંમત):
$y = 120(17 - 14) + 980$
$y = 120(3) + 980$
$y = 360 + 980 = 1340$
આમ,દૂધના સ્ટોરનો માલિક Rs $17$ પ્રતિ લિટરના ભાવે દર અઠવાડિયે $1340$ લિટર દૂધ વેચી શકશે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x - 4y + 10 = 0$ છે.
સમીકરણને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં ફેરવતા:
$-4y = -3x - 10$
$y = \frac{-3}{-4}x + \frac{-10}{-4}$
$y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{2}$
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x - 4y + 10 = 0$ છે.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$3x - 4(0) + 10 = 0 \implies 3x = -10 \implies x = -\frac{10}{3}$.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$3(0) - 4y + 10 = 0 \implies -4y = -10 \implies y = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
આમ,$x$-અંતઃખંડ $-\frac{10}{3}$ અને $y$-અંતઃખંડ $\frac{5}{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3} x + y = 8$ છે.
સમીકરણને $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = 2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y = 4$.
આને અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ સાથે સરખાવતા:
$\cos \omega = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \omega = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\omega = 30^{\circ}$ અને $p = 4$.

(N/A) આપેલ રેખાઓને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $(y = mx + c)$ માં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$y = -\frac{a_{1}}{b_{1}}x - \frac{c_{1}}{b_{1}}$ $(1)$
$y = -\frac{a_{2}}{b_{2}}x - \frac{c_{2}}{b_{2}}$ $(2)$
રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ ના ઢાળ અનુક્રમે $m_{1} = -\frac{a_{1}}{b_{1}}$ અને $m_{2} = -\frac{a_{2}}{b_{2}}$ છે.
બે રેખાઓ સમાંતર હોય જો અને માત્ર જો તેમના ઢાળ સમાન હોય,એટલે કે $m_{1} = m_{2}$.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$-\frac{a_{1}}{b_{1}} = -\frac{a_{2}}{b_{2}}$
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$
આમ,જો $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$ હોય તો રેખાઓ સમાંતર છે.

(A) આપેલ રેખા $x-2y+3=0$ છે,જેને $2y = x+3$ અથવા $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1/2} = -2$ થાય.
$(1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m_2 = -2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ: $y - y_1 = m(x - x_1)$.
કિંમતો મૂકતા: $y - (-2) = -2(x - 1)$.
$y + 2 = -2x + 2$.
$2x + y = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x+7y=0$ છે.
તેને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y=mx+c$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $y$ ને કર્તા બનાવીએ:
$7y = -x$
$y = -\frac{1}{7}x + 0$
આ સમીકરણને $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
ઢાળ $(m)$ = $-\frac{1}{7}$
$y$-અંતઃખંડ $(c)$ = $0$

(A) આપેલ સમીકરણ $6x + 3y - 5 = 0$ છે.
તેને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $(y = mx + c)$ માં ફેરવવા માટે,$y$ ને કર્તા બનાવો:
$3y = -6x + 5$
આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા:
$y = -\frac{6}{3}x + \frac{5}{3}$
$y = -2x + \frac{5}{3}$
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને ઢાળ $m = -2$ અને $y$-અંતઃખંડ $c = \frac{5}{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y=0$ છે.
આને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y=mx+c$ માં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$y = 0 \cdot x + 0$
આને $y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
ઢાળ $(m)$ = $0$
$y$-અંતઃખંડ $(c)$ = $0$
આમ,ઢાળ $0$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x + 2y - 12 = 0$ છે.
બંને બાજુ $12$ ઉમેરતા,આપણને મળે:
$3x + 2y = 12$.
બંને બાજુ $12$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{3x}{12} + \frac{2y}{12} = \frac{12}{12}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x$-અંતઃખંડ $a = 4$ અને $y$-અંતઃખંડ $b = 6$ મળે છે.