Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Gujarati

(B) રેખા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને બિંદુ $(x_1, y_1) = (a \cos \theta, a \sin \theta)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_1 - 0}{x_1 - 0} = \frac{a \sin \theta}{a \cos \theta} = \tan \theta$ મળે છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = mx$ છે.
તેથી,$m = \tan \theta$ મૂકતા,$y = x \tan \theta$ મળે છે.

(A) આપેલી રેખા $2x - 3y = 5$ છે,જેને $y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{2}{3}$ છે.
જરૂરી રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
તેથી,$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{3}{2}$.
બિંદુ $(1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{3}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - (-1) = -\frac{3}{2}(x - 1)$.
$y + 1 = -\frac{3}{2}(x - 1)$.
$2(y + 1) = -3(x - 1)$.
$2y + 2 = -3x + 3$.
$3x + 2y - 1 = 0$.

(C) અંત:ખંડ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને અંત:ખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માં લખીએ છીએ.
આપેલ સમીકરણ: $2x - 3y = 6$.
બંને બાજુ $6$ વડે ભાગતા:
$\frac{2x}{6} - \frac{3y}{6} = \frac{6}{6}$
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1$
જેને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1$
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$ અને $b = -2$ મળે છે.
આમ,$x$-અંત:ખંડ $3$ છે અને $y$-અંત:ખંડ $-2$ છે.

(C) આપેલ રેખા $x \sec \theta + y \csc \theta = a$ છે.
તેનો ઢાળ $m = -\cot \theta$ છે.
$(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\cot \theta$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - a \sin^3 \theta = -\cot \theta (x - a \cos^3 \theta)$
$x \cos \theta + y \sin \theta = a (\cos^4 \theta + \sin^4 \theta)$.

(A) રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબની લંબાઈ છે અને $\alpha$ એ અભિલંબ દ્વારા ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $p = 7$.
અભિલંબ ધન $y$-અક્ષ સાથે $150^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,ધન $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 150^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
આ કિંમતોને અભિલંબ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \cos 60^{\circ} + y \sin 60^{\circ} = 7$
$x (1/2) + y (\sqrt{3}/2) = 7$
$x + \sqrt{3}y = 14$

(D) રેખાનું અંત:ખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા અક્ષો પર સમાન અંત:ખંડો બનાવે છે,તેથી $a = b$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા,$\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $x + y = a$ થાય છે.
રેખા $(1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી આ યામ સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 + (-2) = a \implies a = -1$.
$a = -1$ ની કિંમત $x + y = a$ માં મૂકતા,આપણને $x + y = -1$ અથવા $x + y + 1 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે. અક્ષો પરના અંત:ખંડો $(a, 0)$ અને $(0, b)$ છે.
બિંદુ $(5, 2)$ એ અક્ષો વચ્ચેના રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{a+0}{2} = 5 \Rightarrow a = 10$
$\frac{0+b}{2} = 2 \Rightarrow b = 4$
આ કિંમતોને અંત:ખંડ સ્વરૂપના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{10} + \frac{y}{4} = 1$
છેદ દૂર કરવા માટે $20$ વડે ગુણતા:
$2x + 5y = 20$

(B) રેખાનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
રેખાના સમીકરણના બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$y - y_1 = m(x - x_1)$:
$y - (-4) = 1(x - 3)$
$y + 4 = x - 3$
$x - y - 7 = 0$

(A) આપેલ સમીકરણો:
$3x + 4y = 9$
$y = mx + 1$
પ્રથમ સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$x(3 + 4m) = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$(3 + 4m)$ એ $5$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$5$ ના ભાજકો $\pm 1$ અને $\pm 5$ છે.
કિસ્સો $1$: $3 + 4m = 1 \implies 4m = -2 \implies m = -0.5$ (પૂર્ણાંક નથી)
કિસ્સો $2$: $3 + 4m = -1 \implies 4m = -4 \implies m = -1$ (પૂર્ણાંક છે)
કિસ્સો $3$: $3 + 4m = 5 \implies 4m = 2 \implies m = 0.5$ (પૂર્ણાંક નથી)
કિસ્સો $4$: $3 + 4m = -5 \implies 4m = -8 \implies m = -2$ (પૂર્ણાંક છે)
આમ,$m$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $-1$ અને $-2$ છે.
આવા $2$ પૂર્ણાંક મૂલ્યો મળે છે.

(A) ધારો કે $x$-અંત:ખંડ $a$ છે. તો $y$-અંત:ખંડ $2a$ થશે.
રેખાના અંત:ખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{2a} = 1$ છે.
રેખા $(1, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$\frac{1}{a} + \frac{2}{2a} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = 1$
$\frac{2}{a} = 1 \implies a = 2$.
$a = 2$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1$
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$2x + y = 4$.

(D) ધારો કે અક્ષો પરના અંત:ખંડો $a$ અને $-a$ છે.
અંત:ખંડ સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{-a} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - y = a$ $(1)$ થાય છે.
રેખા બિંદુ $(3, 4)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકીએ:
$3 - 4 = a$,તેથી $a = -1$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $a = -1$ મૂકતા,આપણને $x - y = -1$ અથવા $x - y + 1 = 0$ મળે છે.

(D) $3x - 7y + 2 = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $3x - 7y + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ રેખા $(4, 6)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(4) - 7(6) + k = 0$
$12 - 42 + k = 0$
$-30 + k = 0$
$k = 30$
તેથી,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $3x - 7y + 30 = 0$ છે.

(A) $(3, -4)$ અને $(4, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{3 - (-4)}{4 - 3} = \frac{7}{1} = 7$ થાય.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - (-4) = 7(x - 3)$
$y + 4 = 7x - 21$
$y = 7x - 25$

(C) રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $x - y = 2$ છે,જેને $y = x - 2$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે,તેથી નમનકોણ $\theta_1 = 45^{\circ}$ થાય.
બિંદુ $P$ એ $x$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ છે,$y = 0$ મૂકતા $x = 2$ મળે. તેથી,$P = (2, 0)$.
રેખાને બિંદુ $P$ ની આસપાસ $45^{\circ}$ ના ખૂણે વિષમઘડી દિશામાં ફેરવવામાં આવે છે. નવો નમનકોણ $\theta_2 = \theta_1 + 45^{\circ} = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય.
$90^{\circ}$ ના નમનકોણવાળી રેખા એ શિરોલંબ રેખા હોય છે. તે $P(2, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x = 2$ થાય.

(A) $3x - 4y + 5 = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $3x - 4y + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય ... $(1)$.
આ રેખા $(-1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$x = -1$ અને $y = 2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$3(-1) - 4(2) + \lambda = 0$
$-3 - 8 + \lambda = 0$
$-11 + \lambda = 0$
$\lambda = 11$.
$\lambda = 11$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $3x - 4y + 11 = 0$ મળે છે.

(B) રેખાના અભિલંબ સ્વરૂપનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબની લંબાઈ છે અને $\alpha$ એ લંબ દ્વારા $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $p = 4$ અને $\alpha = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 4$
$x \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + y \left( \frac{1}{2} \right) = 4$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3}x + y = 8$.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુથી રેખા પરના લંબની લંબાઈ $p$ છે. રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = p$ છે,જે $\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = p$ અથવા $\sqrt{3}x + y = 2p$ થાય છે.
આ રેખા અક્ષોને $A\left(\frac{2p}{\sqrt{3}}, 0\right)$ અને $B(0, 2p)$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \left|\frac{2p}{\sqrt{3}}\right| \times |2p| = \frac{2p^2}{\sqrt{3}}$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $\frac{50}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,$\frac{2p^2}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $p^2 = 25$,તેથી $p = \pm 5$.
$p = \pm 5$ ને $\sqrt{3}x + y = 2p$ માં મૂકતા,આપણને $\sqrt{3}x + y = \pm 10$ મળે છે,એટલે કે $\sqrt{3}x + y \mp 10 = 0$.

(A) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $X$-અક્ષને $A(a, 0)$ અને $Y$-અક્ષને $B(0, b)$ માં છેદે છે.
બિંદુ $C(2, 5/3)$ એ $AB$ નું $5 : 4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ ના યામ:
$x = \frac{5(0) + 4(a)}{5 + 4} = \frac{4a}{9}$
$y = \frac{5(b) + 4(0)}{5 + 4} = \frac{5b}{9}$
આપેલ છે કે $C = (2, 5/3)$,તેથી:
$\frac{4a}{9} = 2 \Rightarrow a = \frac{9}{2}$
$\frac{5b}{9} = \frac{5}{3} \Rightarrow b = 3$
સમીકરણમાં $a$ અને $b$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{x}{9/2} + \frac{y}{3} = 1$
$\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$
$9$ વડે ગુણતા:
$2x + 3y = 9$

(D) $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{\cos \theta} = \frac{y - y_1}{\sin \theta} = r$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1) = (2, 3)$ અને $\theta = 45^{\circ}$.
તેથી,$\frac{x - 2}{\cos 45^{\circ}} = \frac{y - 3}{\sin 45^{\circ}} = r$.
આના પરથી $x = 2 + r \cos 45^{\circ} = 2 + \frac{r}{\sqrt{2}}$ અને $y = 3 + r \sin 45^{\circ} = 3 + \frac{r}{\sqrt{2}}$ મળે.
બિંદુ $P$ એ રેખા $x + y + 1 = 0$ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2 + \frac{r}{\sqrt{2}}) + (3 + \frac{r}{\sqrt{2}}) + 1 = 0$
$6 + \frac{2r}{\sqrt{2}} = 0$
$6 + r\sqrt{2} = 0$
$r\sqrt{2} = -6$
$r = -\frac{6}{\sqrt{2}} = -3\sqrt{2}$.
$AP$ નું અંતર $= |r| = |-3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}$.

(B) $A(-5, -4)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 5}{\cos \theta} = \frac{y + 4}{\sin \theta} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(-5 + r \cos \theta, -4 + r \sin \theta)$ છે.
$B$,$C$ અને $D$ આપેલ રેખાઓ પર હોવાથી,આપણે યામોને સમીકરણોમાં મૂકીએ:
$x + 3y + 2 = 0$ માટે: $(-5 + AB \cos \theta) + 3(-4 + AB \sin \theta) + 2 = 0 \implies AB(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15 \implies \frac{15}{AB} = \cos \theta + 3 \sin \theta$.
$2x + y + 4 = 0$ માટે: $2(-5 + AC \cos \theta) + (-4 + AC \sin \theta) + 4 = 0 \implies AC(2 \cos \theta + \sin \theta) = 10 \implies \frac{10}{AC} = 2 \cos \theta + \sin \theta$.
$x - y - 5 = 0$ માટે: $(-5 + AD \cos \theta) - (-4 + AD \sin \theta) - 5 = 0 \implies AD(\cos \theta - \sin \theta) = 6 \implies \frac{6}{AD} = \cos \theta - \sin \theta$.
આપેલ શરત: $(\cos \theta + 3 \sin \theta)^2 + (2 \cos \theta + \sin \theta)^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2$.
વિસ્તરણ કરતા: $(\cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 6 \sin \theta \cos \theta) + (4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta$.
$5 \cos^2 \theta + 10 \sin^2 \theta + 10 \sin \theta \cos \theta = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta$.
$4 \cos^2 \theta + 9 \sin^2 \theta + 12 \sin \theta \cos \theta = 0$.
$(2 \cos \theta + 3 \sin \theta)^2 = 0 \implies \tan \theta = -\frac{2}{3}$.
રેખાનું સમીકરણ $y + 4 = -\frac{2}{3}(x + 5) \implies 3y + 12 = -2x - 10 \implies 2x + 3y + 22 = 0$ છે.

(C) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $(1)$ છે.
રેખા $(3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{3}{a} + \frac{4}{b} = 1$ $(2)$.
અંત:ખંડોનો સરવાળો $a + b = 14$ આપેલ છે,તેથી $b = 14 - a$.
$(2)$ માં $b = 14 - a$ મૂકતા:
$\frac{3}{a} + \frac{4}{14 - a} = 1$
$3(14 - a) + 4a = a(14 - a)$
$42 - 3a + 4a = 14a - a^2$
$a^2 - 13a + 42 = 0$
$(a - 7)(a - 6) = 0$
તેથી,$a = 6$ અથવા $a = 7$.
જો $a = 6$ હોય,તો $b = 14 - 6 = 8$. સમીકરણ $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $4x + 3y = 24$ છે.
જો $a = 7$ હોય,તો $b = 14 - 7 = 7$. સમીકરણ $\frac{x}{7} + \frac{y}{7} = 1$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x + y = 7$ છે.

(D) ધારો કે રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબની લંબાઈ છે અને $\alpha$ એ લંબ દ્વારા $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $p = 9$ આપેલ છે.
લંબ $y$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,$x$-અક્ષની ધન દિશા સાથેનો ખૂણો $\alpha = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 9$
$x \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + y \left( \frac{1}{2} \right) = 9$
$x\sqrt{3} + y = 18$.

(B) ધારો કે રેખા $L$ અક્ષોને $A$ અને $B$ આગળ છેદે છે. ધારો કે $OA = |a|$ અને $OB = |b|$.
રેખા $5x - y = 1$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $x + 5y = k$ સ્વરૂપનું હોય.
$x = 0$ લેતા,$y = k/5$ મળે,તેથી $B = (0, k/5)$.
$y = 0$ લેતા,$x = k$ મળે,તેથી $A = (k, 0)$.
રેખા અને યામાક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |OA| |OB| = 5$ છે.
$\frac{1}{2} |k| |k/5| = 5$
$|k^2| / 10 = 5$
$k^2 = 50$
$k = \pm 5\sqrt{2}$
આમ,રેખા $L$ નું સમીકરણ $x + 5y = \pm 5\sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ રેખા $2x + 3y + 7 = 0$ નો ઢાળ $m = -\frac{2}{3}$ છે.
ધારો કે રેખાનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી $\tan \theta = -\frac{2}{3}$.
$\tan \theta < 0$ હોવાથી,$\theta$ બીજા ચરણમાં છે,તેથી $\cos \theta = -\frac{3}{\sqrt{13}}$ અને $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
બિંદુ $(1, -3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું પ્રચલિત સ્વરૂપ $\frac{x - 1}{\cos \theta} = \frac{y + 3}{\sin \theta} = r$ છે.
$r = 3$ મૂકતા,$\frac{x - 1}{-3/\sqrt{13}} = \frac{y + 3}{2/\sqrt{13}} = 3$.
તેથી,$x - 1 = 3 \times \left( -\frac{3}{\sqrt{13}} \right) = -\frac{9}{\sqrt{13}}$ અને $y + 3 = 3 \times \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \right) = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
આમ,$x = 1 - \frac{9}{\sqrt{13}}$ અને $y = -3 + \frac{6}{\sqrt{13}}$.
યામ $\left( 1 - \frac{9}{\sqrt{13}}, -3 + \frac{6}{\sqrt{13}} \right)$ છે.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(-2, \sqrt{3})$ છે.
$m = \frac{\sqrt{3} - 0}{-2 - 1} = \frac{\sqrt{3}}{-3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
રેખાએ $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = m$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
કારણ કે $\tan(150^o) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી ખૂણો $\theta = 150^o$ થાય.

(C) $x$-અક્ષને સમાંતર રેખાનો ઢાળ $m = 0$ હોય છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ છે.
બિંદુ $(-3, 2)$ અને $m = 0$ ની કિંમત મૂકતા:
$(y - 2) = 0(x - (-3))$
$(y - 2) = 0$
આમ,રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = 0$ છે.

(C) ધારો કે $M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $M$ ના યામ $\left(\frac{3+5}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (4, 2)$ છે.
આ રેખા $A(2, 3)$ અને $M(4, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$m = \frac{2 - 3}{4 - 2} = \frac{-1}{2} = -0.5$.

(C) રેખા બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી $r = 3$ અંતરે આવેલા બિંદુઓના યામ $(x_1 \pm r \cos \theta, y_1 \pm r \sin \theta)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = 1 \pm 3 \cos 60^{\circ} = 1 \pm 3(1/2) = 1 \pm 3/2$.
આથી $x = 1 + 1.5 = 2.5 = 5/2$ અથવા $x = 1 - 1.5 = -0.5 = -1/2$.
તે જ રીતે,$y = 2 \pm 3 \sin 60^{\circ} = 2 \pm 3(\sqrt{3}/2) = 2 \pm 3\sqrt{3}/2$.
આમ,બિંદુઓ $(5/2, 2 + 3\sqrt{3}/2)$ અને $(-1/2, 2 - 3\sqrt{3}/2)$ મળે છે.
આપેલ વિકલ્પો જોતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (0, 0)$,$(x_2, y_2) = (-2, 1)$ અને $(x_3, y_3) = (5, 2)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) = \left(\frac{0-2+5}{3}, \frac{0+1+2}{3}\right) = (1, 1)$.
આપેલી રેખા $x - 2y = 6$ છે,જેનો ઢાળ $m = \frac{1}{2}$ છે.
સમાંતર રેખાનો ઢાળ પણ $m = \frac{1}{2}$ થશે.
બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ: $y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)$.
$2y - 2 = x - 1 \Rightarrow x - 2y + 1 = 0$.

(A) ધારો કે $(4, 3)$ અને $(2, \lambda)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1$ છે.
$m_1 = \frac{\lambda - 3}{2 - 4} = \frac{\lambda - 3}{-2}$.
આપેલ રેખા $y = 2x + 3$ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે.
તેથી,આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = 2$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$m_1 \times m_2 = -1$.
$\left(\frac{\lambda - 3}{-2}\right) \times 2 = -1$.
$-(\lambda - 3) = -1$.
$\lambda - 3 = 1$.
$\lambda = 4$.

(A) ધારો કે રેખા $X$-અક્ષને $(h, 0)$ માં અને $Y$-અક્ષને $(0, k)$ માં છેદે છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $(3, -4)$ રેખાખંડનું $2 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x, y) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $(3, -4) = \left(\frac{2(0) + 3(h)}{2+3}, \frac{2(k) + 3(0)}{2+3}\right)$.
$(3, -4) = \left(\frac{3h}{5}, \frac{2k}{5}\right)$.
યામ સરખાવતા: $3 = \frac{3h}{5} \Rightarrow h = 5$ અને $-4 = \frac{2k}{5} \Rightarrow k = -10$.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ છે.
$h=5$ અને $k=-10$ મૂકતા: $\frac{x}{5} + \frac{y}{-10} = 1$.
$10$ વડે ગુણતા: $2x - y = 10$.

(A) બિંદુ $(2, -3)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y + 3 = m(x - 2)$ છે.
આને $mx - y = 2m + 3$ તરીકે લખી શકાય.
જો $m \neq 0$ હોય,તો અંત:ખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{(2m+3)/m} + \frac{y}{-(2m+3)} = 1$ થાય.
અંત:ખંડો $a = \frac{2m+3}{m}$ અને $b = -(2m+3)$ છે.
આપેલ છે કે $a + b = -2$,તેથી $\frac{2m+3}{m} - (2m+3) = -2$.
$2m + 3 - 2m^2 - 3m = -2m \implies 2m^2 - m - 3 = 0$.
અવયવ પાડતા $(2m - 3)(m + 1) = 0$ મળે,તેથી $m = \frac{3}{2}$ અથવા $m = -1$.
$m = -1$ માટે,સમીકરણ $y + 3 = -1(x - 2) \implies x + y + 1 = 0$ છે.
$m = \frac{3}{2}$ માટે,સમીકરણ $y + 3 = \frac{3}{2}(x - 2) \implies 2y + 6 = 3x - 6 \implies 3x - 2y = 12$ છે.

(D) રેખાનો ઢાળ $m = \tan(\theta) = \tan(\tan^{-1}(\frac{3}{5})) = \frac{3}{5}$ છે.
આપેલ $y$-અંતઃખંડ $c = -3$ છે.
રેખાનું ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \frac{3}{5}x - 3$ મળે છે.
$5$ વડે ગુણતા,$5y = 3x - 15$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$3x - 5y - 15 = 0$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $3x - 5y - 15 = 0$ સાથે બંધ બેસતો નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) રેખાનો ઢાળ $m = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ છે.
આપેલ છે કે રેખા $y$-અક્ષને $(0, -2)$ બિંદુએ છેદે છે,તેથી $y$-અંતઃખંડ $c = -2$ છે.
રેખાનું ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $y = \sqrt{3}x - 2$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = a$ છે.
બંને બાજુ $a$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x \cos \alpha}{a} + \frac{y \sin \alpha}{a} = 1$
આને અંત:ખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{A} + \frac{y}{B} = 1$ માં લખતા,જ્યાં $B$ એ $y$-અંત:ખંડ છે:
$\frac{x}{a \sec \alpha} + \frac{y}{a \csc \alpha} = 1$
આમ,$y$-અંત:ખંડ $a \csc \alpha$ છે.

(C) $1$. બાજુ $QR$ માટે: તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ છે. સમીકરણ $y - 0 = \frac{2}{\sqrt{3}}(x - 0)$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{2}{\sqrt{3}}x$ છે.
$2$. બાજુ $RP$ માટે: તે બિંદુ $P(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે. સમીકરણ $y - 1 = -\frac{2}{\sqrt{3}}(x - 2)$ થાય.
$3$. $RP$ ના સમીકરણનું સાદું રૂપ: $y - 1 = -\frac{2}{\sqrt{3}}x + \frac{4}{\sqrt{3}}$,તેથી $y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x + \frac{4}{\sqrt{3}} + 1$ મળે છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
રેખા બિંદુ $(2, 4)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી: $4 = 2m + c$ (સમીકરણ $1$).
રેખા બિંદુ $(3, -5)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી: $-5 = 3m + c$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(-5 - 4) = (3m - 2m) + (c - c)$
$-9 = m$
$m = -9$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$4 = 2(-9) + c$
$4 = -18 + c$
$c = 4 + 18 = 22$
આમ,$m = -9$ અને $c = 22$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(-5, 6)$ અને $B(-6, 5)$ છે.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 6}{-6 - (-5)} = \frac{-1}{-1} = 1$ છે.
માંગેલ રેખા $AB$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$1 \times m_2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $m_2 = -1$.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_0 = m(x - x_0)$ છે.
$m = -1$ અને બિંદુ $(2, 3)$ મૂકતા:
$y - 3 = -1(x - 2)$
$y - 3 = -x + 2$
$x + y - 5 = 0$.

(C) રેખાના ઢાળ-અંત:ખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં $m$ એ ઢાળ છે અને $c$ એ $y$-અંત:ખંડ છે.
અહીં,ઢાળ $m = 2$ અને $y$-અંત:ખંડ $c = -4$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$y = 2x + (-4)$
$y = 2x - 4$
આમ,રેખાનું સમીકરણ $y = 2x - 4$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: \sqrt{3}x + y = 0$ અને $L_2: \sqrt{3}x - y = 0$ છે.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -\sqrt{3}$ છે,તેથી $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_1 = 120^\circ$ છે.
$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = \sqrt{3}$ છે,તેથી $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_2 = 60^\circ$ છે.
બંને રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ છે.
$\triangle OAB$ સમબાજુ ત્રિકોણ બને તે માટે,રેખા $AB$ એ બંને રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ સાથે $60^\circ$ નો ખૂણો બનાવતી હોવી જોઈએ.
$L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ હોવાથી અને તે $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,રેખા $AB$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર હોવી જોઈએ.
$x$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $y = k$ સ્વરૂપનું હોય છે.
તે $(2, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણ $y = 2$ એટલે કે $y - 2 = 0$ મળે.

(A) પગલું $1$: રેખાઓ $y = 3$ અને $x + y = 0$ ના છેદબિંદુ શોધો.
$y = 3$ ને $x + y = 0$ માં મૂકતા,આપણને $x + 3 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x = -3$.
તેથી,છેદબિંદુ $(-3, 3)$ છે.
પગલું $2$: $2x - y = 4$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધો.
$2x - y = 4$ ને સમાંતર રેખા $2x - y + k = 0$ સ્વરૂપની હોય છે.
પગલું $3$: $k$ શોધવા માટે બિંદુ $(-3, 3)$ ને સમીકરણ $2x - y + k = 0$ માં મૂકો.
$2(-3) - (3) + k = 0$
$-6 - 3 + k = 0$
$-9 + k = 0$,જે $k = 9$ આપે છે.
પગલું $4$: જરૂરી સમીકરણ $2x - y + 9 = 0$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $x$-અક્ષને $Q(a, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $P(0, b)$ પર છેદે છે.
બિંદુ $A(3, 4)$ એ અંતઃખંડ $PQ$ ને દુભાગતું હોવાથી,તે $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a + 0}{2} = 3 \implies a = 6$
$\frac{0 + b}{2} = 4 \implies b = 8$
રેખાના સમીકરણનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$
છેદ દૂર કરવા માટે $24$ વડે ગુણતા:
$4x + 3y = 24$

(B) આપેલ સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y = mx - mx_1 + y_1$ મળે છે.
આને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $c = y_1 - mx_1$ છે.
અહીં $m$ અને $x_1$ નિશ્ચિત હોવાથી,$y_1$ ની તમામ કિંમતો માટે ઢાળ $m$ અચળ રહે છે.
સમાન ઢાળ $m$ ધરાવતી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર હોય છે.
તેથી,$y_1$ ની વિવિધ કિંમતો માટે આપણને સમાંતર રેખાઓનો સમૂહ મળે છે.

(B) ધારો કે રેખાના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે. બિંદુઓના યામ $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P(-5, 4)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ $\left( \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot a}{1 + 2}, \frac{1 \cdot b + 2 \cdot 0}{1 + 2} \right) = \left( \frac{2a}{3}, \frac{b}{3} \right)$ મળે છે.
યામોને સરખાવતા,$\frac{2a}{3} = -5 \implies a = -\frac{15}{2}$ અને $\frac{b}{3} = 4 \implies b = 12$ મળે છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x}{-15/2} + \frac{y}{12} = 1 \implies -\frac{2x}{15} + \frac{y}{12} = 1$ મળે છે.
$60$ વડે ગુણતા,$-8x + 5y = 60$,જેનું સાદું રૂપ $8x - 5y + 60 = 0$ થાય છે.

(A) પ્રથમ,રેખાઓ $x - 3y + 1 = 0$ અને $2x + 5y - 9 = 0$ નું છેદબિંદુ શોધો.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $2x - 6y + 2 = 0$ મળે છે.
આને $2x + 5y - 9 = 0$ માંથી બાદ કરતા,$11y - 11 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = 1$.
$y = 1$ ને $x - 3y + 1 = 0$ માં મૂકતા,$x - 3(1) + 1 = 0$ મળે છે,તેથી $x = 2$.
છેદબિંદુ $(2, 1)$ છે.
અનંત ઢાળ ધરાવતી રેખા એ $x = k$ સ્વરૂપની શિરોલંબ રેખા છે.
રેખા $(2, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણ $x = 2$ હોવું જોઈએ.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x = 2$ નું અંતર $|2| = 2 \text{ units}$ છે,જે આપેલી શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $x = 2$ છે.

(C) રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{1 - 0}{3 - 2} = 1$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
રેખાને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં $15^{\circ}$ ફેરવવામાં આવે છે,તેથી નવો ખૂણો $\theta' = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
નવી રેખાનો ઢાળ $m' = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
$A(2, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $\sqrt{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = \sqrt{3}(x - 2)$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$ મળે છે,જેને $\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) ધારો કે $OA = OB = r$. $OA$ નો ઢાળ $1$ હોવાથી,$OA$ એ $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\alpha = 45^\circ$ છે. તેથી,$A$ ના યામ $(r \cos 45^\circ, r \sin 45^\circ) = (r/\sqrt{2}, r/\sqrt{2})$ થાય.
$OB$ નો ઢાળ $7$ હોવાથી,ધારો કે $\beta$ એ $OB$ એ $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. તેથી $\tan \beta = 7$. આથી $\sin \beta = 7/\sqrt{50} = 7/(5\sqrt{2})$ અને $\cos \beta = 1/\sqrt{50} = 1/(5\sqrt{2})$ મળે.
તેથી,$B$ ના યામ $(r \cos \beta, r \sin \beta) = (r/(5\sqrt{2}), 7r/(5\sqrt{2}))$ થાય.
$AB$ નો ઢાળ $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\frac{7r}{5\sqrt{2}} - \frac{r}{\sqrt{2}}}{\frac{r}{5\sqrt{2}} - \frac{r}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{2r}{5\sqrt{2}}}{\frac{-4r}{5\sqrt{2}}} = -\frac{1}{2}$.

(C) બિંદુઓ $A(1, 2)$ અને $B(7, 5)$ છે. $B$ ની નજીકનું ત્રિભાગ બિંદુ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,યામ $P = \left( \frac{2(7) + 1(1)}{2+1}, \frac{2(5) + 1(2)}{2+1} \right) = (5, 4)$ મળે છે.
રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{5-2}{7-1} = \frac{1}{2}$ છે.
નવો ઢાળ $m' = \tan(\theta + 45^{\circ}) = \frac{1/2 + 1}{1 - (1/2)(1)} = 3$ મળે છે.
$(5, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $3$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 4 = 3(x - 5)$ એટલે કે $3x - y - 11 = 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$m$ નિશ્ચિત હોવાથી,બધી રેખાઓનો ઢાળ $m$ સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે બધી રેખાઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
આ પરિવારની કોઈપણ રેખા માટે,જો આપણે $x = x_1$ લઈએ,તો સમીકરણ $y - y_1 = m(x_1 - x_1)$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $y = y_1$ થાય છે.
આમ,સમૂહની દરેક રેખા શિરોલંબ રેખા $x = x_1$ ને $(x_1, y_1)$ બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,વિધાન $B$ અને $C$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $x$-અક્ષને $B(a, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $C(0, b)$ પર છેદે છે.
બિંદુ $A(4, 3)$ એ $x$-અક્ષની નજીક હોવાથી અને રેખાખંડ $BC$ ને ત્રિભાજિત કરતું હોવાથી,તે $BC$ ને $C$ થી $B$ તરફ $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$A$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \left( \frac{1 \times 0 + 2 \times a}{1 + 2}, \frac{1 \times b + 2 \times 0}{1 + 2} \right) = \left( \frac{2a}{3}, \frac{b}{3} \right)$
$A(4, 3)$ આપેલ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{2a}{3} = 4$ $\Rightarrow 2a = 12$ $\Rightarrow a = 6$
$\frac{b}{3} = 3 \Rightarrow b = 9$
આમ,અંતઃખંડો $a = 6$ અને $b = 9$ છે.
રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{6} + \frac{y}{9} = 1$ મળે છે.
$18$ વડે ગુણતા,આપણને $3x + 2y = 18$ મળે છે.