Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ $4x - 3y = 6$ છે.
તેને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માં ફેરવવા માટે,બંને બાજુને $6$ વડે ભાગતા:
$\frac{4x}{6} - \frac{3y}{6} = \frac{6}{6}$
$\frac{2x}{3} - \frac{y}{2} = 1$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{x}{(\frac{3}{2})} + \frac{y}{(-2)} = 1$
આને પ્રમાણિત અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x$-અંતઃખંડ $a = \frac{3}{2}$ અને $y$-અંતઃખંડ $b = -2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3y + 2 = 0$ છે.
આને $3y = -2$ અથવા $y = -\frac{2}{3}$ તરીકે લખી શકાય છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જ્યાં $a$ એ $x$-અંતઃખંડ છે અને $b$ એ $y$-અંતઃખંડ છે.
સમીકરણ $y = -\frac{2}{3}$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર આડી રેખા દર્શાવે છે,તેથી તે $x$-અક્ષને ક્યારેય છેદતી નથી.
આમ,$x$-અંતઃખંડનું અસ્તિત્વ નથી અને $y$-અંતઃખંડ $-\frac{2}{3}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $y-2=0$ છે.
આને $0 \cdot x + 1 \cdot y = 2$ તરીકે લખી શકાય.
આને અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ માં ફેરવવા માટે,આપણે $\sqrt{0^2 + 1^2} = 1$ વડે ભાગાકાર કરીશું.
આથી આપણને $0 \cdot x + 1 \cdot y = 2$ મળે છે.
આને $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\cos \omega = 0$ અને $\sin \omega = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = 90^{\circ}$.
આમ,લંબ અંતર $p = 2$ અને ખૂણો $\omega = 90^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3x - 4y + 2 = 0$ છે.
રેખાનું ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ છે.
આપેલ સમીકરણને ફરીથી લખતા: $4y = 3x + 2$,જે $y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$ આપે છે.
આમ,આપેલ રેખાનો ઢાળ $(m)$ $\frac{3}{4}$ છે.
સમાંતર રેખાઓનો ઢાળ સમાન હોવાથી,જરૂરી રેખાનો ઢાળ પણ $m = \frac{3}{4}$ થશે.
$(-2, 3)$ બિંદુ માટે બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(y - 3) = \frac{3}{4}(x - (-2))$
$4(y - 3) = 3(x + 2)$
$4y - 12 = 3x + 6$
$3x - 4y + 18 = 0$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x-7y+5=0$ છે.
તેને $y=mx+c$ સ્વરૂપમાં લખતા,$7y=x+5$ અથવા $y=\frac{1}{7}x+\frac{5}{7}$ મળે.
તેથી,આપેલ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{7}$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{1/7} = -7$ થાય.
$m$ ઢાળ અને $d$ $x$-અંતઃખંડ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y=m(x-d)$ છે.
$m=-7$ અને $d=3$ મૂકતા,$y=-7(x-3)$ મળે.
$y = -7x + 21$.
પદોને ગોઠવતા,$7x+y=21$ મળે.

(N/A) આપેલ રેખા $Ax + By + C = 0$ છે.
તેને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં લખતા,$By = -Ax - C$,એટલે કે $y = (\frac{-A}{B})x + (\frac{-C}{B})$ મળે છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-A}{B}$ છે.
સમાંતર રેખાઓના ઢાળ સમાન હોવાથી,માંગેલ રેખાનો ઢાળ પણ $m = \frac{-A}{B}$ થશે.
રેખાના બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$(x_{1}, y_{1})$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_{1} = m(x - x_{1})$ છે.
$m = \frac{-A}{B}$ મૂકતા,$y - y_{1} = (\frac{-A}{B})(x - x_{1})$ મળે છે.
બંને બાજુ $B$ વડે ગુણતા,$B(y - y_{1}) = -A(x - x_{1})$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$A(x - x_{1}) + B(y - y_{1}) = 0$ મળે છે.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $A(x - x_{1}) + B(y - y_{1}) = 0$ છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $(k-3)x - (4-k^2)y + k^2 - 7k + 6 = 0$ છે.
જો રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો તેનો ઢાળ $0$ હોવો જોઈએ.
સમીકરણને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં લખતા:
$(4-k^2)y = (k-3)x + (k^2 - 7k + 6)$
$y = \frac{k-3}{4-k^2}x + \frac{k^2 - 7k + 6}{4-k^2}$.
રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર હોવા માટે,ઢાળ $m = \frac{k-3}{4-k^2} = 0$ હોવો જોઈએ.
આથી $k-3 = 0$,એટલે કે $k = 3$.
અહીં $y$ નો સહગુણક શૂન્ય નથી,તેથી $k = 3$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $(k-3) x - (4-k^2) y + k^2 - 7k + 6 = 0$ છે.
જો રેખા $y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો તે શિરોલંબ રેખા $x = c$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ માટે $y$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને $x$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$y$ ના સહગુણકને શૂન્ય લેતા: $-(4-k^2) = 0$ $\Rightarrow 4-k^2 = 0$ $\Rightarrow k^2 = 4$ $\Rightarrow k = \pm 2$.
હવે,$x$ ના સહગુણક માટે તપાસતા:
જો $k = 2$ હોય,તો $x$ નો સહગુણક $(2-3) = -1 \neq 0$ છે.
જો $k = -2$ હોય,તો $x$ નો સહગુણક $(-2-3) = -5 \neq 0$ છે.
આમ,$k$ ની કિંમત $\pm 2$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $(k-3) x - (4-k^2) y + k^2 - 7k + 6 = 0$ છે.
જો રેખા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોય,તો તે બિંદુ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$(k-3)(0) - (4-k^2)(0) + k^2 - 7k + 6 = 0$
$k^2 - 7k + 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$k^2 - 6k - k + 6 = 0$
$k(k-6) - 1(k-6) = 0$
$(k-6)(k-1) = 0$
તેથી,$k = 1$ અથવા $k = 6$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$ છે.
આ સમીકરણને $-\sqrt{3} x - y = 2$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુને $\sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$-\frac{\sqrt{3}}{2} x - \frac{1}{2} y = 1$.
આને અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ સાથે સરખાવતા:
$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin \theta = -\frac{1}{2}$,અને $p = 1$.
$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ બંને ઋણ હોવાથી,$\theta$ ત્રીજા ચરણમાં છે.
$\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$.
આમ,$\theta = \frac{7 \pi}{6}$ અને $p = 1$ છે.

ધારો કે રેખા દ્વારા અક્ષો પર કપાતા અંતઃખંડો $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે
$a+b=1$ $(1)$
$ab=-6$ $(2)$
$(1)$ પરથી,$b = 1-a$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$a(1-a) = -6$
$a - a^2 = -6$
$a^2 - a - 6 = 0$
$(a-3)(a+2) = 0$
તેથી,$a=3$ અથવા $a=-2$.
જો $a=3$,તો $b=1-3=-2$.
જો $a=-2$,તો $b=1-(-2)=3$.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
કિસ્સો $I$: $a=3, b=-2$
$\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1 \implies -2x + 3y = -6 \implies 2x - 3y = 6$.
કિસ્સો $II$: $a=-2, b=3$
$\frac{x}{-2} + \frac{y}{3} = 1 \implies -3x + 2y = 6 \implies 3x - 2y = -6$.
આમ,રેખાઓના જરૂરી સમીકરણો $2x - 3y = 6$ અને $3x - 2y = -6$ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ છે.
$12$ વડે ગુણતા,$3x + 2y = 12$,અથવા $3x + 2y - 12 = 0$ મળે.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{2}$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{(-3/2)} = \frac{2}{3}$ થાય.
આપેલ રેખા $y-$ અક્ષને જ્યાં છેદે છે ત્યાં $x = 0$ હોય.
$\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ માં $x = 0$ મૂકતા,$\frac{y}{6} = 1$ મળે,તેથી $y = 6$.
છેદબિંદુ $(0, 6)$ છે.
ઢાળ $m_2 = \frac{2}{3}$ અને બિંદુ $(0, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
$y - 6 = \frac{2}{3}(x - 0)$.
$3(y - 6) = 2x$.
$3y - 18 = 2x$.
$2x - 3y + 18 = 0$.

(A) ધારો કે અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ છે,જે $x + y = a$ તરીકે લખી શકાય ......$(1)$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,સમીકરણો ઉકેલો:
$4x + 7y = 3$ ......$(2)$
$2x - 3y = -1$ ......$(3)$
સમીકરણ $(3)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$4x - 6y = -2$ મળે ......$(4)$.
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(4)$ બાદ કરતાં,$13y = 5$ મળે,તેથી $y = \frac{5}{13}$.
$y = \frac{5}{13}$ ને $(3)$ માં મૂકતા,$2x - 3(\frac{5}{13}) = -1 \Rightarrow 2x = \frac{15}{13} - 1 = \frac{2}{13}$,તેથી $x = \frac{1}{13}$.
છેદબિંદુ $(\frac{1}{13}, \frac{5}{13})$ છે.
રેખા $x + y = a$ એ $(\frac{1}{13}, \frac{5}{13})$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{1}{13} + \frac{5}{13} = a$,તેથી $a = \frac{6}{13}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા,$x + y = \frac{6}{13}$,એટલે કે $13x + 13y = 6$ મળે.

(A) ધારો કે રેખા $x + y = 4$ એ $A(-1, 1)$ અને $B(5, 7)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં બિંદુ $P(x, y)$ આગળ વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$P$ ના યામ:
$P = \left( \frac{k(5) + 1(-1)}{k + 1}, \frac{k(7) + 1(1)}{k + 1} \right) = \left( \frac{5k - 1}{k + 1}, \frac{7k + 1}{k + 1} \right)$
બિંદુ $P$ એ રેખા $x + y = 4$ પર હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{5k - 1}{k + 1} + \frac{7k + 1}{k + 1} = 4$
$\frac{5k - 1 + 7k + 1}{k + 1} = 4$
$\frac{12k}{k + 1} = 4$
$12k = 4(k + 1)$
$12k = 4k + 4$
$8k = 4$
$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $k: 1$ એ $1: 2$ છે.

(A) ધારો કે $(-1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. આ રેખા પરના $(-1, 2)$ થી $r = 3$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુના યામ $(x, y) = (-1 + r \cos \theta, 2 + r \sin \theta)$ છે.
$r = 3$ હોવાથી,બિંદુ $(-1 + 3 \cos \theta, 2 + 3 \sin \theta)$ છે.
આ બિંદુ રેખા $x + y = 4$ પર આવેલું છે,તેથી:
$(-1 + 3 \cos \theta) + (2 + 3 \sin \theta) = 4$
$1 + 3(\cos \theta + \sin \theta) = 4$
$3(\cos \theta + \sin \theta) = 3$
$\cos \theta + \sin \theta = 1$
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\cos(\theta - 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ}$
$\theta - 45^{\circ} = \pm 45^{\circ}$
કિસ્સો $1$: $\theta - 45^{\circ} = 45^{\circ} \Rightarrow \theta = 90^{\circ}$.
કિસ્સો $2$: $\theta - 45^{\circ} = -45^{\circ} \Rightarrow \theta = 0^{\circ}$.
આમ,જરૂરી દિશાઓ $x$-અક્ષ સાથે $0^{\circ}$ અથવા $90^{\circ}$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ એ $(1, k)$ છે. આપાત કિરણ રેખા $x=1$ ના લંબ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આકૃતિ મુજબ,તે સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આપાત કિરણનો ઢાળ $m_1 = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
સમીકરણ: $y - 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}(x - 2) \implies y = -\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$.
$x=1$ માટે,$y = -\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$. તેથી $A = (1, 3\sqrt{3})$.
પરાવર્તિત કિરણ સમક્ષિતિજ સાથે $-60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_2 = -\sqrt{3}$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - \sqrt{3} = -\sqrt{3}(x - 1) \implies y = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}$ મળે છે.
વિકલ્પ $B$ $(3, -\sqrt{3})$ માટે: $y = -\sqrt{3}(3) + 2\sqrt{3} = -\sqrt{3}$. જે સાચું છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y = 9$ અને $y = mx + 1$ છે.
બીજા સમીકરણમાંથી $y$ ની કિંમત પહેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$3x + 4(mx + 1) = 9$
$3x + 4mx + 4 = 9$
$(3 + 4m)x = 5$
$x = \frac{5}{3 + 4m}$
$x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે $(3 + 4m)$ એ $5$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. $5$ ના ભાજકો $\{1, -1, 5, -5\}$ છે.
કિસ્સો $1$: $3 + 4m = 1$ $\Rightarrow 4m = -2$ $\Rightarrow m = -0.5$ (પૂર્ણાંક નથી)
કિસ્સો $2$: $3 + 4m = -1$ $\Rightarrow 4m = -4$ $\Rightarrow m = -1$ (પૂર્ણાંક છે)
કિસ્સો $3$: $3 + 4m = 5$ $\Rightarrow 4m = 2$ $\Rightarrow m = 0.5$ (પૂર્ણાંક નથી)
કિસ્સો $4$: $3 + 4m = -5$ $\Rightarrow 4m = -8$ $\Rightarrow m = -2$ (પૂર્ણાંક છે)
$m$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{-1, -2\}$ છે.
આમ,$m$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ એ અનુક્રમે $x$ અને $y$ અંતઃખંડો છે.
અંતઃખંડોના વ્યસ્તોનો સમાંતર મધ્યક $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{1}{4}$ આપેલ છે.
આથી $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ મળે.
રેખા $(x, y)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.
જો આપણે $(2, 2)$ બિંદુ ચકાસીએ,તો $\frac{2}{a} + \frac{2}{b} = 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 2(\frac{1}{2}) = 1$.
આમ,રેખા હંમેશા $(2, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
પથ્થર $B$ એ $(2, 2)$ પર હોવાથી,માત્ર પથ્થર $B$ માણસના માર્ગ પર છે.

(D) ધારો કે $B = (0, a)$. $\triangle OAB$ માં $\angle OBA = 60^{\circ}$ હોવાથી,$\tan(60^{\circ}) = \frac{OA}{OB} = \frac{OA}{a}$. તેથી,$OA = a\sqrt{3}$. એટલે કે $A = (a\sqrt{3}, 0)$.
$\triangle OAD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{3a}{2})$ થશે.
$D(\frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{3a}{2})$ અને $B(0, a)$ માંથી પસાર થતી રેખા $DB$ નો ઢાળ:
$m = \frac{\frac{3a}{2} - a}{\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ છે કે રેખાઓ $ax + 9y = 5$ અને $4x + by = 3$ સમાંતર છે,તેથી તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ.
રેખા $ax + 9y = 5$ માટે,ઢાળ $m_1 = -\frac{a}{9}$ છે.
રેખા $4x + by = 3$ માટે,ઢાળ $m_2 = -\frac{4}{b}$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,$m_1 = m_2$,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{a}{9} = -\frac{4}{b}$,તેથી $ab = 36$.
આપણે $a + b$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવાની છે જ્યાં $a, b > 0$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$
$ab = 36$ મૂકતા:
$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{36}$
$\frac{a + b}{2} \geq 6$
$a + b \geq 12$.
આમ,$a + b$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $12$ છે.

(B) આપેલ છે કે $AHKF$,$FKDE$,અને $HBCK$ એકમ ચોરસ છે. દરેક ચોરસની બાજુની લંબાઈ $1$ છે.
યામ પદ્ધતિમાં $K$ ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ તરીકે લેતા,બિંદુઓ $A(-1,1)$,$B(-1,-1)$,$F(0,1)$,અને $D(1,0)$ મળે છે.
રેખા $AD$ નું સમીકરણ $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ અને રેખા $BF$ નું સમીકરણ $y = 2x + 1$ છે.
બંને રેખાઓના છેદબિંદુ $X$ ના યામ $(-\frac{1}{5}, \frac{3}{5})$ મળે છે.
$\triangle ABF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$.
$\triangle AXF$ માં,પાયો $AF = 1$ અને વેધ $X$ થી $AF$ નું લંબ અંતર $|1 - \frac{3}{5}| = \frac{2}{5}$ છે.
$\triangle AXF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$.
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $\frac{1/5}{1} = \frac{1}{5}$ છે.

(A) રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ ઉગમબિંદુથી દોરેલા લંબનો $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.
અહીં લંબ $y$-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{6}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તે $x$-અક્ષ સાથે $\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ નો ખૂણો બનાવશે.
તેથી,સમીકરણ $x \cos \frac{\pi}{3} + y \sin \frac{\pi}{3} = p$ થશે,જે $\frac{x}{2} + \frac{y \sqrt{3}}{2} = p$ અથવા $\frac{x}{2p} + \frac{y}{2p/\sqrt{3}} = 1$ માં પરિણમે છે.
સરખામણી કરતા,$a = 2p$ અને $b = \frac{2p}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} ab = \frac{98}{3} \sqrt{3}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} (2p) \left( \frac{2p}{\sqrt{3}} \right) = \frac{98}{3} \sqrt{3} \implies \frac{2p^2}{\sqrt{3}} = \frac{98\sqrt{3}}{3} \implies 2p^2 = 98 \implies p^2 = 49$.
હવે,$a^2 - b^2 = 4p^2 - \frac{4p^2}{3} = \frac{8p^2}{3}$.
$p^2 = 49$ મૂકતા: $a^2 - b^2 = \frac{8 \cdot 49}{3} = \frac{392}{3}$.

(A) પ્રારંભિક રેખા $A(9,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
જ્યારે રેખાને $A$ ની આસપાસ ઘડિયાળની દિશામાં $15^{\circ}$ ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવો ખૂણો $\theta = 30^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ}$ થાય છે.
નવી રેખાનો ઢાળ $m = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$ છે.
બિંદુ $(9,0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - 9)$ છે.
આને $x + \frac{y}{\sqrt{3}-2} = 9$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક રેખા $PQ$ છે જેનો ઢાળ $\tan \alpha$ છે. ઘડિયાળની દિશામાં $\frac{\alpha}{2}$ ખૂણે ફેરવ્યા પછી,નવી રેખા $PR$ નો નમનકોણ $\alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}$ થશે.
નવી રેખા $PR$ નો ઢાળ $2-\sqrt{3}$ આપેલ છે,તેથી $\tan(\frac{\alpha}{2}) = 2-\sqrt{3} = \tan 15^{\circ}$.
આમ,$\frac{\alpha}{2} = 15^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 30^{\circ}$.
બિંદુ $P(a, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 2-\sqrt{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $PR$ નું સમીકરણ $y - 0 = (2-\sqrt{3})(x - a)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(2-\sqrt{3})x - y - a(2-\sqrt{3}) = 0$ થાય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $\frac{1}{\sqrt{2}}$ આપેલ છે.
અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{|-a(2-\sqrt{3})|}{\sqrt{(2-\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
છેદનું સાદું રૂપ: $\sqrt{4 + 3 - 4\sqrt{3} + 1} = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$.
તેથી,$|a| = \sqrt{3}+1$.
$a^2 = (\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3}$.
હવે,$3a^2 \tan^2 \alpha - 2\sqrt{3} = 3(4+2\sqrt{3}) \tan^2 30^{\circ} - 2\sqrt{3} = 3(4+2\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{3} - 2\sqrt{3} = 4+2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4$.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
$P(-4, 1)$ એ $AB$ નું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોવાથી,વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$-4 = \frac{1(0) + 2(a)}{1+2} \implies -4 = \frac{2a}{3} \implies a = -6$.
$1 = \frac{1(b) + 2(0)}{1+2} \implies 1 = \frac{b}{3} \implies b = 3$.
આમ,અંતઃખંડો $a = -6$ અને $b = 3$ છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$\frac{x}{-6} + \frac{y}{3} = 1$.
$-6$ વડે ગુણતા,$x - 2y = -6$,અથવા $x - 2y + 6 = 0$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: $(4, -5)$ અને $(-2, 9)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ $M$ શોધો.
$M = (\frac{4 + (-2)}{2}, \frac{-5 + 9}{2}) = (1, 2)$.
પગલું $2$: $(-3, 6)$ અને $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ શોધો.
$m = \frac{2 - 6}{1 - (-3)} = \frac{-4}{4} = -1$.
પગલું $3$: ખૂણો $\theta$ શોધો.
$m = \tan(\theta) = -1$,તેથી $\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(B) ધારો કે રેખાના $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $b$ અને $a$ છે. બિંદુઓ $A(0, a)$ અને $B(b, 0)$ છે.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |ab| = 12 \implies |ab| = 24$.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1$ છે.
રેખા $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{2}{b} + \frac{3}{a} = 1$.
$ab = 24$ હોવાથી,$b = \frac{24}{a}$.
સમીકરણમાં $b$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{2}{24/a} + \frac{3}{a} = 1 \implies \frac{2a}{24} + \frac{3}{a} = 1 \implies \frac{a}{12} + \frac{3}{a} = 1$.
$12a$ વડે ગુણતા: $a^2 + 36 = 12a \implies a^2 - 12a + 36 = 0 \implies (a-6)^2 = 0 \implies a = 6$.
તેથી $b = \frac{24}{6} = 4$.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ છે.
$12$ વડે ગુણતા: $3x + 2y = 12$.

(C) $S$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે $= \left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$.
$PS$ નો ઢાળ $= \frac{2-1}{2-\frac{13}{2}} = \frac{1}{-\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$.
રેખા $PS$ ને સમાંતર છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = -\frac{2}{9}$ છે.
બિંદુ $(1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{2}{9}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$ છે.
$9(y + 1) = -2(x - 1)$ $\Rightarrow 9y + 9 = -2x + 2$ $\Rightarrow 2x + 9y + 7 = 0$.
$X$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકતા: $2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -\frac{7}{2}$.
$Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $9y + 7 = 0 \Rightarrow y = -\frac{7}{9}$.
આમ,અંતઃખંડો $-\frac{7}{2}$ અને $-\frac{7}{9}$ છે.

(A) બિંદુઓ $A(5, k)$,$B(-3, 1)$ અને $C(-7, -2)$ સમરેખ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન થાય.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{1 - k}{-3 - 5} = \frac{1 - k}{-8}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{-2 - 1}{-7 - (-3)} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{1 - k}{-8} = \frac{3}{4}$.
બંને બાજુ $-8$ વડે ગુણતા: $1 - k = \frac{3}{4} \times (-8)$.
$1 - k = -6$.
$k = 1 + 6 = 7$.

(A) બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા રેખાખંડોના ઢાળ ચકાસી શકીએ છીએ.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{0 - (-b)}{0 - (-a)} = \frac{b}{a}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$.
$AB$ નો ઢાળ $BC$ ના ઢાળ જેટલો હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.
હવે,$CD$ નો ઢાળ તપાસો $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$ (જ્યાં $a \neq 1, a \neq 0$).
$BC$ નો ઢાળ $CD$ ના ઢાળ જેટલો હોવાથી,બિંદુઓ $B, C$ અને $D$ પણ સમરેખ છે.
બધા બિંદુઓ $\frac{b}{a}$ ઢાળવાળી એક જ રેખા પર આવેલા હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ સમરેખ છે.

(B) રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
આપેલ છે કે રેખા $(1, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1$.
આપણને $b = 3a$ આપેલ છે. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{a} + \frac{3}{3a} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = 1$
$\frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2$.
$b = 3a$ હોવાથી,$b = 3(2) = 6$ મળે.
$a = 2$ અને $b = 6$ ને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{6} = 1$.
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$3x + y = 6$.

(B) રેખા $L$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $Y$-અક્ષની ધન દિશા સાથે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે રેખા $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \tan(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$m = \tan(120^{\circ}) = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan(60^{\circ}) = -\sqrt{3}$.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1) = \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ અને $(x_2, y_2) = (1, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 1}{1 - (-1/2)} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}$
બિંદુ $(1, 3)$ નો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - 3 = \frac{4}{3}(x - 1)$
$3y - 9 = 4x - 4$
$4x - 3y + 5 = 0$
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$4x - 3(0) + 5 = 0$
$4x = -5$
$x = -\frac{5}{4}$
આમ,$x$-અંતઃખંડ $-\frac{5}{4}$ છે.

(C) રેખાનો ઢાળ $m = \tan(90^\circ + \alpha) = -\cot \alpha = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(y - p \sin \alpha) = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}(x - p \cos \alpha)$
$y \sin \alpha - p \sin^2 \alpha = -x \cos \alpha + p \cos^2 \alpha$
$x \cos \alpha + y \sin \alpha = p(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$
કારણ કે $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,તેથી સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ મળે છે.

(D) રેખાના સમીકરણનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી રેખા પરના લંબની લંબાઈ છે અને $\alpha$ એ લંબ દ્વારા $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $p = 4$ અને $\alpha = 30^{\circ}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 4$
$x \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + y \left(\frac{1}{2}\right) = 4$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\sqrt{3} x + y = 8$

(A) રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
રેખા $y$-અક્ષની ઋણ દિશામાં $2 \sqrt{2}$ એકમનો અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી $y$-અંતઃખંડ $c = -2 \sqrt{2}$ થાય.
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = -\frac{1}{\sqrt{2}}x - 2 \sqrt{2}$
આખા સમીકરણને $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{2}y = -x - 4$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x + \sqrt{2}y + 4 = 0$.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (1, 4)$ અને $(x_2, y_2) = (-5, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{y - 4}{1 - 4} = \frac{x - 1}{-5 - 1}$.
$\frac{y - 4}{-3} = \frac{x - 1}{-6}$.
$2(y - 4) = x - 1$ $\Rightarrow 2y - 8 = x - 1$ $\Rightarrow x - 2y + 7 = 0$ ...$(1)$.
બીજી રેખાનું સમીકરણ: $4x + 3y - 5 = 0$ ...$(2)$.
$(1)$ પરથી,$x = 2y - 7$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$4(2y - 7) + 3y - 5 = 0$.
$8y - 28 + 3y - 5 = 0$.
$11y - 33 = 0 \Rightarrow y = 3$.
$y = 3$ ની કિંમત $x = 2y - 7$ માં મૂકતા: $x = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1$.
આમ,છેદબિંદુ $(-1, 3)$ છે.

(B) ધારો કે $A \equiv (a, 0)$ અને $B \equiv (0, b)$ છે.
ધારો કે $P \equiv (5, 6)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $3: 1$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતું બિંદુ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$5 = \frac{3 \times 0 + 1 \times a}{3 + 1}$ $\Rightarrow 5 = \frac{a}{4}$ $\Rightarrow a = 20$.
$6 = \frac{3 \times b + 1 \times 0}{3 + 1}$ $\Rightarrow 6 = \frac{3b}{4}$ $\Rightarrow 3b = 24$ $\Rightarrow b = 8$.
આમ,$X$-અંતઃખંડ $20$ અને $Y$-અંતઃખંડ $8$ છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x}{20} + \frac{y}{8} = 1$ મળે છે.
$40$ વડે ગુણતા,$2x + 5y = 40$ મળે છે.

(C) ધારો કે $a$ અને $b$ એ રેખા દ્વારા અક્ષો પર બનાવેલા અંતઃખંડ છે.
આપણને આપેલ છે કે $a + b = 8$ અને $ab = 15$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 8t + 15 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $(t - 3)(t - 5) = 0$ મળે છે,તેથી $(a, b) = (3, 5)$ અથવા $(5, 3)$.
રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $a = 3$ અને $b = 5$,ત્યારે સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$ થાય છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 3y - 15 = 0$ છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $a = 5$ અને $b = 3$,ત્યારે સમીકરણ $\frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 1$ થાય છે,જેનું સાદું રૂપ $3x + 5y - 15 = 0$ છે.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $5x + 3y - 15 = 0$ અને $3x + 5y - 15 = 0$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $x$-અક્ષને $(h, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $(0, k)$ પર છેદે છે.
કારણ કે $(a, -2a)$ એ રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે,તેથી:
$\frac{h + 0}{2} = a \Rightarrow h = 2a$
$\frac{0 + k}{2} = -2a \Rightarrow k = -4a$
રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણ $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x}{2a} + \frac{y}{-4a} = 1$
$4a$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$2x - y = 4a$
આમ,રેખાનું સમીકરણ $2x - y = 4a$ છે.

(A) બિંદુઓ $(2, 3)$ અને $(1, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{-2-3}{1-2} = \frac{-5}{-1} = 5$ છે.
માંગેલ રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{5}$ થશે.
બિંદુ $(7, -4)$ નો ઉપયોગ કરીને રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-4) = -\frac{1}{5}(x - 7)$
$5(y + 4) = -(x - 7)$
$5y + 20 = -x + 7$
$x + 5y + 13 = 0$.

(B) આપેલ રેખા $x - 2y = 4$ છે,જેને $2y = x - 4$ અથવા $y = \frac{1}{2}x - 2$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{1}{2}$ છે.
જરૂરી રેખા આપેલ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ શરતનું પાલન કરશે. તેથી,$m_2 = -2$.
$A(6, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = -2$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 1 = -2(x - 6)$.
$y - 1 = -2x + 12$.
$2x + y = 13$.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,આપણે $2x + y = 13$ સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકીએ છીએ.
$2(0) + y = 13 \Rightarrow y = 13$.
તેથી,રેખાનો $y$-અંતઃખંડ $13$ છે.

(D) $1$. $M$ ના યામ શોધો: રેખા $x-y-2=0$ એ $X$-અક્ષને જ્યાં $y=0$ હોય ત્યાં છેદે છે. $y=0$ મૂકતા,$x=2$ મળે છે. તેથી,$M = (2,0)$.
$2$. મૂળ રેખા $MN$ નો ઢાળ શોધો: સમીકરણ $x-y-2=0$ ને $y=x-2$ તરીકે લખી શકાય. અહીં ઢાળ $m_1 = 1$ છે,જે $45^{\circ}$ ના ખૂણાને અનુરૂપ છે.
$3$. નવો ઢાળ શોધો: રેખાને $45^{\circ}$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવતા,નવો ખૂણો $\theta_2 = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય.
$4$. નવી રેખાનું સમીકરણ શોધો: $M(2,0)$ માંથી પસાર થતી અને $90^{\circ}$ ના ખૂણે રહેલી રેખા શિરોલંબ છે. તેથી,તેનું સમીકરણ $x=2$ થાય.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y + 17 = 0$ છે,જેને $y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{2}{3}$ છે.
$(7, 17)$ અને $(15, \beta)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{2}{3} \times \frac{\beta - 17}{8} = -1$.
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(C) રેખાના અભિલંબ સ્વરૂપનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\alpha$ એ લંબ દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
અહીં $p = 5$ અને $\alpha = 210^{\circ}$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$x \cos(210^{\circ}) + y \sin(210^{\circ}) = 5$
$\cos(210^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(210^{\circ}) = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,
$x(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + y(-\frac{1}{2}) = 5$
બંને બાજુ $-2$ વડે ગુણતા:
$\sqrt{3}x + y = -10$
$\sqrt{3}x + y + 10 = 0$

(A) આપેલ રેખા $2x - 3y + 5 = 0$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x + 2y + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
રેખા ધન $Y$-અક્ષ પર $3$ જેટલો અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી તે $(0, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$x = 0$ અને $y = 3$ ને $3x + 2y + \lambda = 0$ માં મૂકતા:
$3(0) + 2(3) + \lambda = 0$
$6 + \lambda = 0$
$\lambda = -6$.
આમ,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $3x + 2y - 6 = 0$ છે.

(B) રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{1-0}{3-2} = 1$ છે.
$m = \tan \theta = 1$ હોવાથી,રેખાનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
જ્યારે રેખાને બિંદુ $A$ ની આસપાસ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં $15^{\circ}$ ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવો ખૂણો $\theta' = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$ થાય છે.
નવી રેખાનો ઢાળ $m' = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ છે.
રેખા બિંદુ $A(2,0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $(y - 0) = \sqrt{3}(x - 2)$ થશે.
આથી,$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$ મળે છે.

(A) આ રેખા બીજા ચરણમાં યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે. તેથી,આ રેખા ધન $x$-અક્ષ સાથે $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,રેખાનો ઢાળ $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ છે.
રેખા બિંદુ $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,રેખાનું સમીકરણ:
$(y - y_1) = m(x - x_1)$
$(y - 1) = -1(x - (-3))$
$y - 1 = -1(x + 3)$
$y - 1 = -x - 3$
$x + y + 2 = 0$

(C) રેખાના સમીકરણનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
અહીં,ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $p = 7$ અને ખૂણો $\alpha = 120^{\circ}$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$x \cos 120^{\circ} + y \sin 120^{\circ} = 7$
કેમ કે $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$ અને $\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$x(-\frac{1}{2}) + y(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 7$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$-x + \sqrt{3}y = 14$
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$x - \sqrt{3}y + 14 = 0$

(B) રેખાના સમીકરણનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબની લંબાઈ છે અને $\alpha$ એ લંબ દ્વારા ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $p = 2 \sqrt{2}$ અને $\alpha = 135^{\circ}$.
તેથી રેખાનું સમીકરણ $x \cos(135^{\circ}) + y \sin(135^{\circ}) = 2 \sqrt{2}$ થશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(135^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin(135^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$x \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + y \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2 \sqrt{2}$.
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$-x + y = 4$
અથવા $x - y + 4 = 0$.