Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Gujarati

(A) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$ax - y = -2$
$x + ay = -3$
સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $a_1x + b_1y = c_1$ અને $a_2x + b_2y = c_2$ ને અનન્ય ઉકેલ હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ છે.
અહીં,$a_1 = a$,$b_1 = -1$,$a_2 = 1$,અને $b_2 = a$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$\frac{a}{1} \neq \frac{-1}{a}$
$a^2 \neq -1$
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ માટે $a^2$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી $a^2$ ક્યારેય $-1$ ની બરાબર હોઈ શકે નહીં.
તેથી,શરત $a^2 \neq -1$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ માટે સંતોષાય છે.
આમ,$a$ ની કિંમતોનો ગણ $R$ છે.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-7, 8)$ અને $(x_2, y_2) = (5, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ મળે છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 8}{5 - (-7)} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરીને,બિંદુ $(-7, 8)$ માટે:
$y - 8 = -\frac{1}{2}(x - (-7))$
$2(y - 8) = -(x + 7)$
$2y - 16 = -x - 7$
$x + 2y - 9 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ રેખા $3x+y=3$ નો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
માંગેલ રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$m_2 = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.
$(2,2)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = \frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = \frac{1}{3}(x - 2)$ છે.
$3$ વડે ગુણતા,$3y - 6 = x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $x - 3y = -4$ થાય છે.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા:
$0 - 3y = -4 \Rightarrow y = \frac{4}{3}$.
તેથી,$y$-અંતઃખંડ $\frac{4}{3}$ છે.

(A) $ax + by + c = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $ax + by + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલ રેખા $3x - 4y + 2 = 0$ છે,તેથી સમાંતર રેખા $3x - 4y + k = 0$ થશે.
આ રેખા બિંદુ $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = -2$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$3(-2) - 4(3) + k = 0$
$-6 - 12 + k = 0$
$-18 + k = 0$
$k = 18$
આમ,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $3x - 4y + 18 = 0$ છે.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3 \cos \theta \cdot x + 4 \sin \theta \cdot y = 12$ છે.
$12$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{x}{4 / \cos \theta} + \frac{y}{3 / \sin \theta} = 1$.
આ રેખા યામ અક્ષોને $A\left(\frac{4}{\cos \theta}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{3}{\sin \theta}\right)$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\Delta = \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times \left| \frac{4}{\cos \theta} \right| \times \left| \frac{3}{\sin \theta} \right| = \frac{6}{|\sin \theta \cos \theta|} = \frac{12}{|\sin 2 \theta|}$.
ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ હોવા માટે,$|\sin 2 \theta|$ મહત્તમ હોવું જોઈએ. કારણ કે $|\sin 2 \theta|$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ:
$\Delta_{\min} = \frac{12}{1} = 12$.

(B) આપેલી રેખા $x + 6y = 5$ છે,જેને $y = -\frac{1}{6}x + \frac{5}{6}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{6}$ છે.
જરૂરી રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-1/6} = 6$.
$(-1, -3)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 6$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
$y - (-3) = 6(x - (-1))$
$y + 3 = 6(x + 1)$
$y + 3 = 6x + 6$
$6x - y = -3$.
$x$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકીએ છીએ:
$6x - 0 = -3$
$6x = -3$
$x = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$.

(B) $(7, 17)$ અને $(15, \beta)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$ છે.
આપેલ રેખા $2x - 3y + 17 = 0$ છે,જેને $y = \frac{2}{3}x + \frac{17}{3}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m_2 = \frac{2}{3}$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \cdot m_2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા,$\left(\frac{\beta - 17}{8}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) = -1$.
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(B) ધારો કે $X$ અને $Y$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $a$ છે. અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y = a$ અથવા $y = -x + a$ થાય છે.
આને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m = -1$ મળે છે.
ઢાળ $m = \tan \theta$ હોવાથી,$\tan \theta = -1$ મળે.
$\tan \theta$ ઋણ હોવાથી,ખૂણો $\theta$ બીજા ચરણમાં આવે છે.
$\theta = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $6x - 7y + 8 + \lambda(3x - y + 5) = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના પદોને ગોઠવતા:
$(6 + 3\lambda)x - (7 + \lambda)y + (8 + 5\lambda) = 0$.
રેખા $y$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે $y$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને $x$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$y$ ના સહગુણકને શૂન્ય લેતા:
$-(7 + \lambda) = 0$
$\lambda + 7 = 0$
$\lambda = -7$.
$\lambda = -7$ માટે $x$ નો સહગુણક ચકાસતા:
$6 + 3(-7) = 6 - 21 = -15 \neq 0$.
આમ,રેખા $x = \text{અચળ}$ સ્વરૂપની છે,જે $y$-અક્ષને સમાંતર છે.

(C) આપેલ રેખા $3x+y=3$ છે.
તેને $y=mx+c$ સ્વરૂપમાં લખતા,$y=-3x+3$ મળે છે.
આમ,આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
માંગેલ રેખા આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$-3 \times m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = 1/3$.
$(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y-y_1) = m(x-x_1)$ છે.
$(x_1, y_1) = (2,2)$ અને $m = 1/3$ મૂકતા:
$y-2 = 1/3(x-2)$
$y-2 = x/3 - 2/3$
$y = x/3 - 2/3 + 2$
$y = x/3 + 4/3$.
$y$-અંતઃખંડ એ $x=0$ હોય ત્યારે $y$ ની કિંમત છે,જે $4/3$ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $y = 3x - 1$.
આને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,ઢાળ $m_1 = 3$ મળે છે.
જરૂરી રેખા આપેલ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \cdot m_2 = -1$ ની શરતનું પાલન કરશે.
તેથી,$3 \cdot m_2 = -1$,જે આપણને $m_2 = -\frac{1}{3}$ આપે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ છે.
$(x_1, y_1) = (1, 2)$ અને $m = -\frac{1}{3}$ મૂકતા:
$(y - 2) = -\frac{1}{3}(x - 1)$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા:
$3(y - 2) = -(x - 1) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 1$.
પદોને ગોઠવતા: $x + 3y - 7 = 0$.

(D) $S$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેના યામ $S = \left(\frac{6+7}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{13}{2}, 1\right)$ છે.
મધ્યગા $PS$ નો ઢાળ $m = \frac{1-2}{\frac{13}{2}-2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ છે.
$PS$ ને સમાંતર રેખાનો ઢાળ પણ $m = -\frac{2}{9}$ થશે.
$(1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{2}{9}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ મુજબ મળે.
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(B) બિંદુઓ $A(-1, -1)$ અને $B(2, 1)$ છે. રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y + 1 = \frac{1 - (-1)}{2 - (-1)}(x - (-1)) \Rightarrow y + 1 = \frac{2}{3}(x + 1)$.
આથી $3y + 3 = 2x + 2$,અથવા $2x - 3y - 1 = 0$ મળે છે.
ધારો કે રેખા $AB$,$C(3, 4)$ અને $D(1, 2)$ ને જોડતા રેખાખંડને $\lambda: 1$ ગુણોત્તરમાં બિંદુ $P$ પર વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્ર મુજબ $P$ ના યામ $P = \left(\frac{3 + \lambda}{1 + \lambda}, \frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda}\right)$ છે.
બિંદુ $P$ એ રેખા $2x - 3y - 1 = 0$ પર હોવાથી,આપણે $P$ ના યામ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2\left(\frac{3 + \lambda}{1 + \lambda}\right) - 3\left(\frac{4 + 2\lambda}{1 + \lambda}\right) - 1 = 0$.
$(1 + \lambda)$ વડે ગુણતા,$2(3 + \lambda) - 3(4 + 2\lambda) - (1 + \lambda) = 0$.
$6 + 2\lambda - 12 - 6\lambda - 1 - \lambda = 0$.
$-5\lambda - 7 = 0 \Rightarrow \lambda = -7/5$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે રેખા રેખાખંડનું $7: 5$ ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P(a, 8)$,$A(2, 5)$ અને $B(4, -1)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,રેખાખંડ $PA$ નો ઢાળ અને રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ સમાન થાય.
$PA$ નો ઢાળ $\frac{8 - 5}{a - 2} = \frac{3}{a - 2}$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $\frac{-1 - 5}{4 - 2} = \frac{-6}{2} = -3$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{3}{a - 2} = -3$.
$3 = -3(a - 2) \Rightarrow 3 = -3a + 6$.
$3a = 6 - 3$ $\Rightarrow 3a = 3$ $\Rightarrow a = 1$.

(D) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા યામ અક્ષોને અનુક્રમે $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ માં મળે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$AB$ ને $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુના યામ:
$\left(\frac{3 \times 0 + 2 \times a}{3 + 2}, \frac{3 \times b + 2 \times 0}{3 + 2}\right) = \left(\frac{2a}{5}, \frac{3b}{5}\right)$.
આ બિંદુ $(2, -1)$ આપેલ હોવાથી:
$\frac{2a}{5} = 2 \Rightarrow a = 5$
$\frac{3b}{5} = -1 \Rightarrow b = -\frac{5}{3}$.
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x}{5} + \frac{y}{-5/3} = 1$
$\frac{x}{5} - \frac{3y}{5} = 1$
$x - 3y = 5$
$x - 3y - 5 = 0$.

(B) શિરોબિંદુ $A$ એ રેખાઓ $x+y=1$ અને $2x+3y=6$ નું છેદબિંદુ છે.
તેને ઉકેલતા,આપણને $x = -3$ અને $y = 4$ મળે છે.
તેથી,$A(-3, 4)$ અને $O\left(\frac{3}{7}, \frac{22}{7}\right)$.
$A(-3, 4)$ અને $O\left(\frac{3}{7}, \frac{22}{7}\right)$ માંથી પસાર થતી રેખા $OA$ નું સમીકરણ:
$y - 4 = \frac{\frac{22}{7} - 4}{\frac{3}{7} - (-3)}(x + 3)$
$y - 4 = -\frac{1}{4}(x + 3)$
$x + 4y = 13$.
રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ નું અભિલંબ સ્વરૂપ મેળવવા માટે $\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{17}}x + \frac{4}{\sqrt{17}}y = \frac{13}{\sqrt{17}}$.
અહીં,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{17}}$ અને $\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}}$,તેથી $\tan \alpha = 4$,એટલે કે $\alpha = \tan^{-1}(4)$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $12x - 5y + 13 = 0$ છે,જેને $12x - 5y = -13$ તરીકે લખી શકાય.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $-12x + 5y = 13$ મળે છે.
$\sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$ વડે ભાગતા,આપણને રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ મળે છે:
$-\frac{12}{13}x + \frac{5}{13}y = 1$.
અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$ અને $\sin \alpha = \frac{5}{13}$ છે.
$\cos \alpha < 0$ અને $\sin \alpha > 0$ હોવાથી,ખૂણો $\alpha$ બીજા ચરણમાં છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$.
તેથી,$\alpha = \pi - \operatorname{Tan}^{-1} \frac{5}{12}$.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $(\alpha+1)x + \alpha y + \alpha - 1 = 0$ છે.
$\alpha$ ના સહગુણકોને જૂથબદ્ધ કરવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\alpha(x + y + 1) + (x - 1) = 0$.
આ રેખા તમામ $\alpha$ માટે નિશ્ચિત બિંદુ $(h, k)$ માંથી પસાર થાય તે માટે,$\alpha$ નો સહગુણક અને અચળ પદ સ્વતંત્ર રીતે શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x + y + 1 = 0$ અને $x - 1 = 0$.
$x - 1 = 0$ પરથી,આપણને $x = h = 1$ મળે છે.
$x = 1$ ને $x + y + 1 = 0$ માં મૂકતા,આપણને $1 + y + 1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $y = k = -2$.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $(1, -2)$ છે.
અંતે,$h^2 + k^2 = (1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.

(C) રેખાનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ છે.
રેખા $(a \cos \alpha, b \sin \alpha)$ અને $(a \cos \beta, b \sin \beta)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી:
$\frac{a \cos \alpha}{p} + \frac{b \sin \alpha}{q} = 1$ $(i)$
$\frac{a \cos \beta}{p} + \frac{b \sin \beta}{q} = 1$ (ii)
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$\frac{a^2}{p^2} + \frac{b^2}{q^2} = \sec^2 \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખા $5x - 2y = 10$ છે.
બંને બાજુ $10$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{5x}{10} - \frac{2y}{10} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{2} + \frac{y}{-5} = 1$ થાય છે.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ સાથે સરખાવતા,અંતઃખંડો $a = 2$ અને $b = -5$ મળે છે.
અંતઃખંડોના વર્ગોનો સરવાળો $a^2 + b^2 = 2^2 + (-5)^2$ છે.
$= 4 + 25 = 29$.

(D) યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ કાપતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ છે,જે $x + y = a$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા $(-5, 6)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$-5 + 6 = a$
$a = 1$
$a$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x + y = 1$ મળે છે.

(B) રેખાનો ઢાળ $m = \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta = 150^{\circ}$.
$m = \tan 150^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\tan 30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ છે.
બિંદુ $(-1, -1)$ અને $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ મૂકતા:
$y - (-1) = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - (-1))$
$y + 1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x + 1)$
$\sqrt{3}(y + 1) = -(x + 1)$
$\sqrt{3}y + \sqrt{3} = -x - 1$
$x + \sqrt{3}y + \sqrt{3} + 1 = 0$
આમ,સમીકરણ $x + \sqrt{3}y + (\sqrt{3} + 1) = 0$ છે.

(A) $A(-5,-4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+5}{\cos \theta} = \frac{y+4}{\sin \theta} = r$ લો.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(-5+r\cos \theta, -4+r\sin \theta)$ છે.
$x+3y+2=0$ પરના બિંદુ $B$ માટે:
$(-5+r_1\cos \theta) + 3(-4+r_1\sin \theta) + 2 = 0$ $\Rightarrow r_1(\cos \theta + 3\sin \theta) = 15$ $\Rightarrow \frac{15}{r_1} = \cos \theta + 3\sin \theta \dots (i)$.
$2x+y+4=0$ પરના બિંદુ $C$ માટે:
$2(-5+r_2\cos \theta) + (-4+r_2\sin \theta) + 4 = 0$ $\Rightarrow r_2(2\cos \theta + \sin \theta) = 10$ $\Rightarrow \frac{10}{r_2} = 2\cos \theta + \sin \theta \dots (ii)$.
$x-y-5=0$ પરના બિંદુ $D$ માટે:
$(-5+r_3\cos \theta) - (-4+r_3\sin \theta) - 5 = 0$ $\Rightarrow r_3(\cos \theta - \sin \theta) = 6$ $\Rightarrow \frac{6}{r_3} = \cos \theta - \sin \theta \dots (iii)$.
આપેલ છે કે $\left(\frac{15}{AB}\right)^2 + \left(\frac{10}{AC}\right)^2 = \left(\frac{6}{AD}\right)^2$,તેથી:
$(\cos \theta + 3\sin \theta)^2 + (2\cos \theta + \sin \theta)^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2$.
$4\cos^2 \theta + 9\sin^2 \theta + 12\sin \theta \cos \theta = 0$.
$(2\cos \theta + 3\sin \theta)^2 = 0 \Rightarrow \tan \theta = -\frac{2}{3}$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $2x + 3y + 22 = 0$ મળે છે.

(A) બિંદુ $P(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $(y - 2) = 1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x - y + 1 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $Q$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલીએ:
$x - y + 1 = 0 \Rightarrow y = x + 1$
$3x + 4y + 5 = 0$
બીજા સમીકરણમાં $y = x + 1$ મૂકતા:
$3x + 4(x + 1) + 5 = 0$
$3x + 4x + 4 + 5 = 0$
$7x + 9 = 0 \Rightarrow x = -\frac{9}{7}$
તેથી $y = -\frac{9}{7} + 1 = -\frac{2}{7}$.
આમ,$Q = \left(-\frac{9}{7}, -\frac{2}{7}\right)$.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $PQ$ ની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{\left(1 - (-\frac{9}{7})\right)^2 + \left(2 - (-\frac{2}{7})\right)^2}$
$PQ = \sqrt{\left(\frac{16}{7}\right)^2 + \left(\frac{16}{7}\right)^2}$
$PQ = \sqrt{2 \times \left(\frac{16}{7}\right)^2} = \frac{16\sqrt{2}}{7}$ એકમ.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $px - qy = r$ છે.
રેખા $x$-અક્ષને $(a, 0)$ માં છેદે છે,તેથી $x = a$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$p(a) - q(0) = r$ $\Rightarrow pa = r$ $\Rightarrow a = \frac{r}{p}$.
રેખા $y$-અક્ષને $(0, b)$ માં છેદે છે,તેથી $x = 0$ અને $y = b$ મૂકતા:
$p(0) - q(b) = r$ $\Rightarrow -qb = r$ $\Rightarrow b = -\frac{r}{q}$.
તેથી,$(a + b)$ ની કિંમત:
$a + b = \frac{r}{p} - \frac{r}{q} = \frac{rq - rp}{pq} = \frac{r(q - p)}{pq}$.

(D) આપેલ રેખા $2x + y - 7 = 0$ છે,જેનો ઢાળ $m_1 = -2$ છે.
જરૂરી રેખા આપેલ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$m_2 = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.
બિંદુ $(5, 3)$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ મુજબ:
$y - 3 = \frac{1}{2}(x - 5)$
$2(y - 3) = x - 5$
$2y - 6 = x - 5$
$2y - x - 1 = 0$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે રેખાનો $y$-અંતઃખંડ $a$ છે. તો $x$-અંતઃખંડ $2a$ થશે.
રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણ મુજબ,$\frac{x}{2a} + \frac{y}{a} = 1$.
રેખા બિંદુ $(2,3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{2}{2a} + \frac{3}{a} = 1$
$\frac{1}{a} + \frac{3}{a} = 1$
$\frac{4}{a} = 1 \Rightarrow a = 4$.
$a=4$ ને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં મૂકતા:
$\frac{x}{8} + \frac{y}{4} = 1$
$8$ વડે ગુણતા,આપણને $x + 2y = 8$ મળે,અથવા $x + 2y - 8 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) રેખાઓ $y=ax$ અને $y=2$ નું છેદબિંદુ $A\left(\frac{2}{a}, 2\right)$ છે.
રેખાઓ $y=ax$ અને $y=6$ નું છેદબિંદુ $B\left(\frac{6}{a}, 6\right)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ ની લંબાઈ અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$AB = \sqrt{\left(\frac{6}{a} - \frac{2}{a}\right)^2 + (6 - 2)^2} < 5$
$\sqrt{\left(\frac{4}{a}\right)^2 + 4^2} < 5$
$\sqrt{\frac{16}{a^2} + 16} < 5$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{16}{a^2} + 16 < 25$
$\frac{16}{a^2} < 9$
$a^2 > \frac{16}{9}$
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|a| > \frac{4}{3}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a < -\frac{4}{3}$ અથવા $a > \frac{4}{3}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) ધારો કે યામ અક્ષો સાથે ત્રિકોણ બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |ab| = 12$ છે,તેથી $|ab| = 24$.
રેખા $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$,જેનો અર્થ છે $2b + 3a = ab$.
કિસ્સો $1$: $ab = 24$. તો $3a + 2b = 24$. $b = \frac{24-3a}{2}$ ને $ab=24$ માં મૂકતા $3a^2 - 24a + 48 = 0$ મળે,જે $a=4, b=6$ આપે છે ($1$ ઉકેલ).
કિસ્સો $2$: $ab = -24$. તો $3a + 2b = -24$. આનાથી $a^2 + 8a - 16 = 0$ સમીકરણ મળે છે,જેના $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $3$: $ab = -24$ અને $3a + 2b = 24$. આનાથી $a^2 - 8a - 16 = 0$ સમીકરણ મળે છે,જેના $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
કુલ $3$ રેખાઓ શક્ય છે.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સંમિત સ્વરૂપમાં સમીકરણ,જો તેનો $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો તે નીચે મુજબ છે:
$\frac{x-x_1}{\cos \theta} = \frac{y-y_1}{\sin \theta} = r$
આપેલ છે કે $(x_1, y_1) = (-1, 3)$ અને $\theta = 120^{\circ}$,તેથી:
$\cos 120^{\circ} = -1/2$ અને $\sin 120^{\circ} = \sqrt{3}/2$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x - (-1)}{-1/2} = \frac{y - 3}{\sqrt{3}/2} = r$
$\frac{x+1}{-1/2} = \frac{y-3}{\sqrt{3}/2} = r$

(A) $y$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $x = k$ સ્વરૂપમાં હોય છે. તે $(5, -6)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણ $x = 5$ છે.
$x$-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $y = k$ સ્વરૂપમાં હોય છે. તે $(5, -6)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણ $y = -6$ છે.
તેથી,માંગેલ સમીકરણો $x = 5$ અને $y = -6$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(4, -3)$,$B(1, 1)$,અને $C(2, 3)$ છે.
રેખા $BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{3-1}{2-1} = 2$ છે.
માંગેલ રેખા $BC$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ થશે.
બિંદુ $(4, -3)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{1}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-3) = -\frac{1}{2}(x - 4)$
$2y + 6 = -x + 4$
$x + 2y = -2$
બંને બાજુ $-2$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{-2} + \frac{y}{-1} = 1$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(4,3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1$.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $a + b = 14$ છે,તેથી $b = 14 - a$.
કિંમત મૂકતા: $\frac{4}{a} + \frac{3}{14 - a} = 1$.
$a^2 - 15a + 56 = 0$ મળે છે.
$(a - 7)(a - 8) = 0$.
જો $a = 7$ તો $b = 7$,સમીકરણ $x + y = 7$ મળે.
જો $a = 8$ તો $b = 6$,સમીકરણ $3x + 4y = 24$ મળે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુ $P(a, b)$ એ $3x + 2y = 13$ પર છે,તેથી $3a + 2b = 13$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે બિંદુ $Q(b, a)$ એ $4x - y = 5$ પર છે,તેથી $4b - a = 5$,જેનો અર્થ છે $a = 4b - 5$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$3(4b - 5) + 2b = 13$
$12b - 15 + 2b = 13$
$14b = 28 \implies b = 2$.
$b = 2$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$a = 4(2) - 5 = 8 - 5 = 3$.
આમ,$P = (3, 2)$ અને $Q = (2, 3)$.
રેખા $PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{3 - 2}{2 - 3} = \frac{1}{-1} = -1$.
બિંદુ $(3, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ:
$y - 2 = -1(x - 3)$
$y - 2 = -x + 3$
$x + y = 5$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\sqrt{3} \sin \theta + 2 \cos \theta = \frac{4}{r}$ છે,જેને $\sqrt{3} r \sin \theta + 2 r \cos \theta = 4$ તરીકે લખી શકાય.
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરીને કાર્તેઝિયન યામમાં ફેરવતા,આપણને $2x + \sqrt{3} y - 4 = 0$ મળે છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ છે.
તેને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.
ધ્રુવીય યામ $\left(-1, \frac{\pi}{2}\right)$ એ કાર્તેઝિયન યામ $(0, -1)$ ને અનુરૂપ છે.
$(0, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - (-1) = \frac{\sqrt{3}}{2}(x - 0)$ છે.
$y + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} x \Rightarrow \sqrt{3} x - 2y = 2$.
$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ મૂકતા,આપણને $\sqrt{3} r \cos \theta - 2 r \sin \theta = 2$ મળે છે.

(A) આપેલી રેખા $x \cos \theta - y \sin \theta = a$ છે.
તેનો ઢાળ $m' = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta$ છે.
તેને લંબ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m'} = -\tan \theta$ થશે.
બિંદુ $(a \cos^3 \theta, a \sin^3 \theta)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\tan \theta$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - a \sin^3 \theta = -\tan \theta (x - a \cos^3 \theta)$
$y - a \sin^3 \theta = -\frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - a \cos^3 \theta)$
$y \cos \theta - a \sin^3 \theta \cos \theta = -x \sin \theta + a \cos^3 \theta \sin \theta$
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
$x \sin \theta + y \cos \theta = a \sin \theta \cos \theta$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2x \sin \theta + 2y \cos \theta = a \sin 2\theta$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, k)$,$B(3, 7)$,$C(-2, 1)$ અને $D(3, 0)$ છે.
રેખા $AB$ એ રેખા $CD$ ને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હશે,એટલે કે $m_{AB} = m_{CD}$.
$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ દ્વારા મળે છે.
$m_{AB} = \frac{7 - k}{3 - 2} = \frac{7 - k}{1} = 7 - k$.
$m_{CD} = \frac{0 - 1}{3 - (-2)} = \frac{-1}{3 + 2} = \frac{-1}{5}$.
ઢાળને સરખાવતા: $7 - k = \frac{-1}{5}$.
$35 - 5k = -1$.
$5k = 36$.
$k = \frac{36}{5}$.

(A) $P(3,4)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta = \frac{\pi}{6}$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ પ્રાચલ સ્વરૂપમાં: $\frac{x-3}{\cos(\pi/6)} = \frac{y-4}{\sin(\pi/6)} = r$ છે,જ્યાં $r$ એ $PQ$ નું અંતર છે.
તેથી,$x = 3 + r \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $y = 4 + \frac{r}{2}$.
$Q$ એ $12x+5y+10=0$ પર હોવાથી,કિંમતો મૂકતા:
$12(3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$
$36 + 6r\sqrt{3} + 20 + 2.5r + 10 = 0$
$66 + r(6\sqrt{3} + 2.5) = 0$
$r = \frac{66}{6\sqrt{3} + 2.5} = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$.

(C) $x - y = 5$ રેખાનો ઢાળ $m = 1$ છે.
માંગેલ રેખા $P(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x - y = 5$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y - 1 = 1(x - 1)$ એટલે કે $y = x$ અથવા $x - y = 0$ થાય.
છેદબિંદુ $Q$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો ઉકેલીએ:
$x - y = 0$
$x + 3y = 2$
બીજા સમીકરણમાં $x = y$ મૂકતા: $y + 3y = 2 \implies 4y = 2 \implies y = 0.5$.
આમ,$x = 0.5$. બિંદુ $Q$ એ $(0.5, 0.5)$ છે.
$PQ$ રેખાખંડની લંબાઈ $\sqrt{(1 - 0.5)^2 + (1 - 0.5)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
$PQ$ ની લંબાઈના બમણા $2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ થાય.

(A) રેખા $x-y-2=0$ છે,જેનો ઢાળ $m=1$ છે,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$P(6,4)$ થી $r=4$ અંતરે આવેલા બિંદુઓના યામ $(x \pm r \cos \theta, y \pm r \sin \theta)$ દ્વારા મળે છે.
$A$ માટે,$(\alpha, \beta) = (6 + 2\sqrt{2}, 4 + 2\sqrt{2})$.
$B$ માટે,$(\gamma, \delta) = (6 - 2\sqrt{2}, 4 - 2\sqrt{2})$.
હવે,$\alpha^2 + \beta^2 = 68 + 40\sqrt{2}$ અને $\gamma^2 + \delta^2 = 68 - 40\sqrt{2}$.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + \delta^2 = 136$.

(A) રેખા $L$ એ $P(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
$P$ થી $r = 4$ અંતરે આવેલા બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના યામ $(x_1 + r \cos \theta, y_1 + r \sin \theta)$ અને $(x_1 - r \cos \theta, y_1 - r \sin \theta)$ દ્વારા મળે છે.
$A = (1 + 4 \cos 60^{\circ}, 2 + 4 \sin 60^{\circ}) = (3, 2 + 2\sqrt{3})$.
$B = (1 - 4 \cos 60^{\circ}, 2 - 4 \sin 60^{\circ}) = (-1, 2 - 2\sqrt{3})$.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |(3)(2 - 2\sqrt{3}) - (-1)(2 + 2\sqrt{3})| = \frac{1}{2} |8 - 4\sqrt{3}| = 4 - 2\sqrt{3}$.

(D) $P(3,4)$ માંથી પસાર થતી અને $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{\cos 30^{\circ}} = \frac{y-4}{\sin 30^{\circ}} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}, 4 + \frac{r}{2})$ છે.
$Q$ એ $12x + 5y + 10 = 0$ પર હોવાથી,$12(3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$.
$36 + 6r\sqrt{3} + 20 + 2.5r + 10 = 0$.
$66 + r(6\sqrt{3} + 2.5) = 0$.
લંબાઈ $PQ = |r| = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$.

(A) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(1, 2)$ છે અને બાહ્ય બિંદુ $Q(3, 1)$ છે.
આપણે $P$ માંથી પસાર થતી એવી રેખાનું સમીકરણ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેનું $Q$ થી લંબ અંતર મહત્તમ હોય.
બિંદુ $Q$ થી $P$ માંથી પસાર થતી રેખાનું લંબ અંતર હંમેશા $PQ$ અંતર કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે.
મહત્તમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે રેખા $P$ બિંદુએ $PQ$ રેખાખંડને લંબ હોય.
ધારો કે રેખા $L$ છે. $L \perp PQ$ હોવાથી,$L$ નો ઢાળ $PQ$ ના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી થશે.
$PQ$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 2}{3 - 1} = \frac{-1}{2}$.
તેથી,રેખા $L$ નો ઢાળ $m = -(\frac{1}{-1/2}) = 2$ થશે.
$(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $2$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 2 = 2(x - 1)$
$y - 2 = 2x - 2$
$y = 2x$.

(D) ધારો કે રેખા $3x - 4y + 1 = 0$ પરનું બિંદુ $A(x, y)$ એ બિંદુ $P(3, 2)$ થી $5$ એકમ અંતરે છે.
બિંદુ $(3, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{\cos \theta} = \frac{y-2}{\sin \theta} = r$ છે.
$r = \pm 5$ માટે,$x = 3 \pm 5 \cos \theta$ અને $y = 2 \pm 5 \sin \theta$ મળે.
આ બિંદુ રેખા $3x - 4y + 1 = 0$ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(3 \pm 5 \cos \theta) - 4(2 \pm 5 \sin \theta) + 1 = 0$
$9 \pm 15 \cos \theta - 8 \mp 20 \sin \theta + 1 = 0$
રેખા $3x - 4y + 1 = 0$ નો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે,તેથી $\tan \theta = \frac{3}{4}$.
આથી $\sin \theta = \pm \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$ મળે.
આ કિંમતો $x = 3 \pm 5 \cos \theta$ અને $y = 2 \pm 5 \sin \theta$ માં મૂકતા:
ધન ચિહ્ન માટે: $x = 3 + 5(\frac{4}{5}) = 7$ અને $y = 2 + 5(\frac{3}{5}) = 5$.
ઋણ ચિહ્ન માટે: $x = 3 - 5(\frac{4}{5}) = -1$ અને $y = 2 - 5(\frac{3}{5}) = -1$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(7, 5)$ અને $(-1, -1)$ છે.

(B) રેખાઓ $L_1, L_2, L_3$ ના $x+y=1$ સાથેના છેદબિંદુઓ $A(\frac{1}{1+m_a}, \frac{m_a}{1+m_a})$,$B(\frac{1}{1+m_b}, \frac{m_b}{1+m_b})$,અને $C(\frac{1}{1+m_c}, \frac{m_c}{1+m_c})$ છે.
$AB=BC$ હોવાથી,$AB^2=BC^2$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$AB^2 = \frac{2(m_a-m_b)^2}{(1+m_a)^2(1+m_b)^2}$ અને $BC^2 = \frac{2(m_b-m_c)^2}{(1+m_b)^2(1+m_c)^2}$ મળે.
તેથી,$\frac{(m_a-m_b)^2}{(1+m_a)^2} = \frac{(m_b-m_c)^2}{(1+m_c)^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{m_a-m_b}{1+m_a} = \frac{m_b-m_c}{1+m_c}$.
સાદુરૂપ આપતા,$2(1+m_a)(1+m_c)=(1+m_b)(2+m_a+m_c)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{k_1}{k_2} = \lambda$ (ધારો).
આનો અર્થ એ છે કે $a_1 = \lambda a_2$,$b_1 = \lambda b_2$,અને $k_1 = \lambda k_2$.
આમ,સમીકરણ $p = 0$ ને $\lambda a_2 x + \lambda b_2 y + \lambda k_2 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે,જેનું સાદું રૂપ $\lambda(a_2 x + b_2 y + k_2) = 0$ એટલે કે $\lambda q = 0$ થાય છે.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,આનો અર્થ એ છે કે $p = 0$ અને $q = 0$ એક જ સીધી રેખા દર્શાવે છે.
વક્રનું સમીકરણ $p + c q = 0$ છે.
$p = \lambda q$ મૂકતા,આપણને $\lambda q + c q = 0$ મળે છે,જે $(\lambda + c) q = 0$ છે.
આ કોઈપણ અચળાંક $c$ માટે (જ્યાં $\lambda + c \neq 0$) $q = 0$ (અથવા $p = 0$) જેવી જ સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $2x + 3y = 6$ અને $2x + 3y = 8$ છે.
$X$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$2x + 3y = 6$ માટે,$2x = 6 \Rightarrow x = 3$. તેથી,$A = (3, 0)$.
$2x + 3y = 8$ માટે,$2x = 8 \Rightarrow x = 4$. તેથી,$B = (4, 0)$.
રેખા $L$ એ $(2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને $X$-અક્ષને $C(x_1, 0)$ માં છેદે છે.
આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ ના $x$-યામ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $3, 4, x_1$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
આમ,$2(4) = 3 + x_1$ $\Rightarrow 8 = 3 + x_1$ $\Rightarrow x_1 = 5$.
તેથી,બિંદુ $C$ એ $(5, 0)$ છે.
બિંદુ $(2, 2)$ અને $(5, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{2 - 0}{2 - 5}(x - 5)$
$y = \frac{2}{-3}(x - 5)$
$-3y = 2x - 10$
$2x + 3y = 10$

(D) રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જ્યાં $p$ એ ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે અને $\alpha$ એ અભિલંબ ધન $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલ ખૂણો છે.
અહીં $p = 10$ આપેલ છે.
અભિલંબ ઋણ $X$-અક્ષ સાથે ઋણ દિશામાં (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ઋણ $X$-અક્ષ $\pi$ ખૂણાને અનુરૂપ છે.
તેથી $\alpha = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$x \cos(\frac{3\pi}{4}) + y \sin(\frac{3\pi}{4}) = 10$
$x(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + y(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 10$
$-x + y = 10\sqrt{2}$
$x - y + 10\sqrt{2} = 0$.