Slope of line, Equation of line in different forms Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ $3x + 3y + 7 = 0$ છે.
આને અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ માં ફેરવવા માટે,આપણે સમીકરણને $\sqrt{A^2 + B^2}$ વડે ભાગીએ છીએ,જ્યાં $A=3$ અને $B=3$.
$\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
અચળ પદને ધન બનાવવા માટે $-3\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y = \frac{7}{3\sqrt{2}}$.
આને $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = \frac{7}{3\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) રેખા $x = c$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે.
કોઈપણ શિરોલંબ રેખાને લંબ રેખા હંમેશા આડી (સમક્ષિતિજ) રેખા હોય છે.
આડી રેખાનું સમીકરણ $y = d$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $d$ એ અચળાંક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ રેખા $CD$ એ $3x + 4y + 6 = 0$ છે.
તેને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં લખતા,$4y = -3x - 6$,એટલે કે $y = -\frac{3}{4}x - \frac{6}{4}$.
રેખા $CD$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ છે.
રેખા $AB$ એ રેખા $CD$ ને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
ધારો કે રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_2$ છે. તેથી $(-\frac{3}{4}) \times m_2 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $m_2 = \frac{4}{3}$.
રેખા $AB$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(y - 0) = \frac{4}{3}(x - 0)$.
આથી $3y = 4x$,અથવા $4x - 3y = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખા $y = x$ નો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
જરૂરી રેખા આપેલ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
તેથી,$m_2 = -1$.
રેખાના સમીકરણના બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $(x_1, y_1) = (3, 2)$ અને $m = -1$:
$y - 2 = -1(x - 3)$
$y - 2 = -x + 3$
$x + y = 5$.

(D) રેખાનું ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ છે.
અહીં રેખા $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $30^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $m = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
રેખા $y$-અક્ષની ઋણ દિશામાંથી $2$ જેટલો અંતઃખંડ કાપે છે,તેથી $c = -2$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,$y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - 2$.
બંને બાજુ $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા,$\sqrt{3}y = x - 2\sqrt{3}$.
તેથી,$\sqrt{3}y - x + 2\sqrt{3} = 0$.

(A) આપેલ રેખા $\sqrt{3} \sin \theta + 2 \cos \theta = \frac{4}{r}$ છે.
$A \sin \theta + B \cos \theta = \frac{C}{r}$ ને લંબ રેખાનું સ્વરૂપ $A \sin(\theta + \pi/2) + B \cos(\theta + \pi/2) = \frac{k}{r}$ છે,જે $A \cos \theta - B \sin \theta = \frac{k}{r}$ માં પરિણમે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta = \frac{k}{r}$ મળે છે.
રેખા $(-1, \pi/2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$r = -1$ અને $\theta = \pi/2$ મૂકતા:
$\sqrt{3} \cos(\pi/2) - 2 \sin(\pi/2) = \frac{k}{-1}$.
$0 - 2(1) = -k \Rightarrow k = 2$.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $\sqrt{3} \cos \theta - 2 \sin \theta = \frac{2}{r}$ છે,જેને $2 = \sqrt{3} r \cos \theta - 2 r \sin \theta$ તરીકે લખી શકાય.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(2, -3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{2}{a} - \frac{3}{b} = 1$ --- $(1)$.
રેખા $(4, -5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{4}{a} - \frac{5}{b} = 1$ --- $(2)$.
ધારો કે $X = \frac{1}{a}$ અને $Y = \frac{1}{b}$.
સમીકરણો $2X - 3Y = 1$ અને $4X - 5Y = 1$ બને છે.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,$4X - 6Y = 2$ મળે છે.
બીજા સમીકરણમાંથી આ બાદ કરતા: $(4X - 5Y) - (4X - 6Y) = 1 - 2$,જે $Y = -1$ આપે છે.
$Y = -1$ ને $2X - 3Y = 1$ માં મૂકતા: $2X - 3(-1) = 1 \implies 2X + 3 = 1 \implies 2X = -2 \implies X = -1$.
આમ,$\frac{1}{a} = -1 \implies a = -1$ અને $\frac{1}{b} = -1 \implies b = -1$.
તેથી,$(a, b) = (-1, -1)$.

(B) રેખાનો ઢાળ $m = \frac{3}{4} = \tan \theta$ છે. તેથી,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{3}{5}$ થાય.
બિંદુ $A(x_1, y_1) = (3, 2)$ થી $r = 5$ અંતરે આવેલા બિંદુઓના યામ $(x_1 \pm r \cos \theta, y_1 \pm r \sin \theta)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ધન દિશા માટે: $(3 + 5 \times \frac{4}{5}, 2 + 5 \times \frac{3}{5}) = (3 + 4, 2 + 3) = (7, 5)$.
ઋણ દિશા માટે: $(3 - 5 \times \frac{4}{5}, 2 - 5 \times \frac{3}{5}) = (3 - 4, 2 - 3) = (-1, -1)$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(7, 5)$ અને $(-1, -1)$ છે.

(C) ધારો કે વિકર્ણ $BD$ એ $8x - 15y = 0$ રેખા પર છે. $BD$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{8}{15}$ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુ $D(1, 2)$ છે. $D$ માંથી પસાર થતી બાજુઓ $AD$ અને $CD$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણ બાજુઓ સાથે $45^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે બાજુઓનો ઢાળ $m$ છે. તો,$\tan(45^\circ) = \left| \frac{m - \frac{8}{15}}{1 + m \cdot \frac{8}{15}} \right|$.
$1 = \left| \frac{15m - 8}{15 + 8m} \right|$.
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $15m - 8 = 15 + 8m$ $\Rightarrow 7m = 23$ $\Rightarrow m = \frac{23}{7}$.
કિસ્સો $2$: $15m - 8 = -(15 + 8m)$ $\Rightarrow 15m - 8 = -15 - 8m$ $\Rightarrow 23m = -7$ $\Rightarrow m = -\frac{7}{23}$.
$(1, 2)$ માંથી પસાર થતી બાજુઓના સમીકરણો:
$y - 2 = \frac{23}{7}(x - 1)$ $\Rightarrow 7y - 14 = 23x - 23$ $\Rightarrow 23x - 7y - 9 = 0$.
$y - 2 = -\frac{7}{23}(x - 1)$ $\Rightarrow 23y - 46 = -7x + 7$ $\Rightarrow 7x + 23y - 53 = 0$.

(A) વિકર્ણ બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(3, 8)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ અને $(x_2, y_2) = (3, 8)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$.
રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m(x - x_1)$ સ્વરૂપમાં છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y - 2 = 3(x - 1)$
$y - 2 = 3x - 3$
$3x - y - 1 = 0$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $C(2a, 0)$,$B(0, a)$ અને $A(2a, k)$ છે.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$AB = AC$ થાય.
$AC = |k - 0| = |k|$.
$AB = \sqrt{(2a - 0)^2 + (k - a)^2} = \sqrt{4a^2 + (k - a)^2}$.
$AB^2 = AC^2$ લેતા,$4a^2 + (k - a)^2 = k^2$.
$4a^2 + k^2 - 2ak + a^2 = k^2$.
$5a^2 = 2ak$.
તેથી,$k = \frac{5a}{2}$.
આમ,શિરોબિંદુ $A$ એ $(2a, \frac{5a}{2})$ છે.
બીજી બાજુ $B(0, a)$ અને $A(2a, \frac{5a}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{\frac{5a}{2} - a}{2a - 0} = \frac{3}{4}$.
રેખાનું સમીકરણ $y - a = \frac{3}{4}(x - 0)$ એટલે કે $3x - 4y + 4a = 0$ થાય.

(B) ધારો કે $p$ એ ઉગમબિંદુથી રેખા પરના લંબની લંબાઈ છે. રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $x \cos 30^\circ + y \sin 30^\circ = p$ છે,જે $\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = p$ અથવા $\sqrt{3}x + y = 2p$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા યામ અક્ષોને $A\left(\frac{2p}{\sqrt{3}}, 0\right)$ અને $B(0, 2p)$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણ $\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |\text{પાયો}| \times |\text{વેધ}| = \frac{1}{2} \times \left|\frac{2p}{\sqrt{3}}\right| \times |2p| = \frac{2p^2}{\sqrt{3}}$ થાય.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $\frac{50}{\sqrt{3}}$ છે,તેથી $\frac{2p^2}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $p^2 = 25$,એટલે કે $p = \pm 5$.
$p = \pm 5$ ને $\sqrt{3}x + y = 2p$ માં મૂકતા,આપણને $\sqrt{3}x + y = \pm 10$ મળે છે. આમ,રેખાઓ $\sqrt{3}x + y \pm 10 = 0$ છે.

(A) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ એ અક્ષો પરના અંતઃખંડો છે.
અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |ab| = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $|ab| = 12$ $(i)$.
કર્ણની લંબાઈ $\sqrt{a^2 + b^2} = 5$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 + b^2 = 25$ $(ii)$.
$(i)$ પરથી,$b = \frac{12}{a}$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$a^2 + (\frac{12}{a})^2 = 25$
$a^4 - 25a^2 + 144 = 0$
$(a^2 - 16)(a^2 - 9) = 0$
તેથી,$a^2 = 16$ અથવા $a^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $a = \pm 4$ અથવા $a = \pm 3$.
જો $a = \pm 4$,તો $b = \pm 3$. જો $a = \pm 3$,તો $b = \pm 4$.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \pm 1$ મળે છે.

(B) ધારો કે રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_1 = 2$ છે અને રેખા $BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{1 - 2}{2 - 1} = -1$ છે.
ધારો કે રેખા $AC$ નો ઢાળ $m_2$ છે.
$AB$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_{BC}}{1 + m_1 m_{BC}} \right| = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + 2(-1)} \right| = 3$ દ્વારા મળે છે.
ત્રિકોણ $ABC$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી $AB = AC$,તેથી $AC$ અને $BC$ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $\theta$ જ થશે.
તેથી,$\tan \theta = \left| \frac{m_{BC} - m_2}{1 + m_{BC} m_2} \right| = 3$.
$\left| \frac{-1 - m_2}{1 - m_2} \right| = 3$.
કિસ્સો $1$: $\frac{-(1 + m_2)}{1 - m_2} = 3 \implies m_2 = 2$ (આ રેખા $AB$ છે).
કિસ્સો $2$: $\frac{-(1 + m_2)}{1 - m_2} = -3 \implies m_2 = \frac{1}{2}$.
રેખા $AC$ એ બિંદુ $C(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m_2 = \frac{1}{2}$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{1}{2}(x - 2) \implies y = \frac{x}{2}$ થશે.

(A) ચોરસના શિરોબિંદુઓ આપેલ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$A(0, 0),$
$B(0, 1),$
$C(1, 1),$
$D(1, 0).$
વિકર્ણો એ સામસામેના શિરોબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ છે: $AC$ અને $BD$.
$1$. વિકર્ણ $AC$ માટે: ઢાળ $m = \frac{1-0}{1-0} = 1$. સમીકરણ $y - 0 = 1(x - 0) \Rightarrow y = x$ થાય.
$2$. વિકર્ણ $BD$ માટે: ઢાળ $m = \frac{0-1}{1-0} = -1$. સમીકરણ $y - 1 = -1(x - 0)$ $\Rightarrow y - 1 = -x$ $\Rightarrow x + y = 1$ થાય.

(A) સુરેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
રેખા હંમેશા $(1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં $x = 1$ અને $y = -2$ મૂકીએ છીએ:
$a(1) + b(-2) + c = 0$
$a - 2b + c = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$a + c = 2b$
આ શરત $a + c = 2b$ સૂચવે છે કે $a, b,$ અને $c$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે.

(A) આપેલ છે કે $u = a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $v = a_2x + b_2y + c_2 = 0$.
કારણ કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \lambda$ (જ્યાં $\lambda$ એક અચળાંક છે),તેથી $a_1 = \lambda a_2$,$b_1 = \lambda b_2$,અને $c_1 = \lambda c_2$ થાય.
આ કિંમતોને $u + kv = 0$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(a_1x + b_1y + c_1) + k(a_2x + b_2y + c_2) = 0$
$(\lambda a_2x + \lambda b_2y + \lambda c_2) + k(a_2x + b_2y + c_2) = 0$
$(\lambda + k)(a_2x + b_2y + c_2) = 0$
આમ,$u + kv = 0$ એ મૂળ રેખા $v$ (અથવા $u$) નું જ એક સ્વરૂપ છે,જે તે જ સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(D) રેખા $ax + by + 8 = 0$ ને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{-8/a} + \frac{y}{-8/b} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $2x - 3y + 6 = 0$ ને $2x - 3y = -6$ તરીકે લખી શકાય,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{-3} + \frac{y}{2} = 1$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ રેખાના અંતઃખંડો બીજી રેખાના અંતઃખંડો કરતા લંબાઈમાં સમાન પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ છે.
તેથી,$-\frac{8}{a} = -(-3) = 3 \Rightarrow a = -\frac{8}{3}$.
અને $-\frac{8}{b} = -(2) = -2 \Rightarrow b = 4$.

(C) રેખાનું ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
આપેલ છે કે રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\theta = 135^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $m$:
$m = \tan(135^\circ) = -1$.
રેખા $y$-અક્ષને ઉગમબિંદુથી $-5$ ના અંતરે છેદે છે,તેથી $y$-અંતઃખંડ $c = -5$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (-1)x + (-5)$
$y = -x - 5$
પદોને ગોઠવતા:
$x + y + 5 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
આપેલ છે કે રેખા અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી $a = b$.
આમ,સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x + y = a$ .....$(i)$ છે.
રેખા બિંદુ $(2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ યામોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2 + 4 = a \implies a = 6$.
$a = 6$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $x + y = 6$ મળે,એટલે કે $x + y - 6 = 0$.

(A) ધારો કે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $a + b = -1$,તેથી $b = -1 - a$.
અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$b$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{x}{a} + \frac{y}{-(1+a)} = 1$,એટલે કે $\frac{x}{a} - \frac{y}{1+a} = 1$.
રેખા $(4, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{a} - \frac{3}{1+a} = 1$.
$a(1+a)$ વડે ગુણતા,$4(1+a) - 3a = a(1+a)$.
$4 + 4a - 3a = a + a^2$.
$4 + a = a + a^2$,જેનું સાદું રૂપ $a^2 = 4$ થાય,તેથી $a = 2$ અથવા $a = -2$.
જો $a = 2$,તો $b = -1 - 2 = -3$. સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1$ અથવા $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$ મળે.
જો $a = -2$,તો $b = -1 - (-2) = 1$. સમીકરણ $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ મળે.

(B) ધારો કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેના સામસામેના શિરોબિંદુઓ $A(1, 3)$ અને $C(5, 1)$ છે.
લંબચોરસના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી વિકર્ણોનું છેદબિંદુ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{1+5}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = (3, 2)$.
અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $B$ અને $D$ એ રેખા $y = 2x + c$ પર આવેલા છે. વિકર્ણ $BD$ એ વિકર્ણોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી બિંદુ $(3, 2)$ એ રેખા $y = 2x + c$ પર હોવું જોઈએ.
સમીકરણમાં $x = 3$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$2 = 2(3) + c$
$2 = 6 + c$
$c = 2 - 6 = -4$.
આમ,$c$ ની કિંમત $-4$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,$(-1, 3)$ અને $(4, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ શોધો:
$m = \frac{-2 - 3}{4 - (-1)} = \frac{-5}{5} = -1$
$(-1, 3)$ બિંદુનો ઉપયોગ કરીને બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ મુજબ:
$y - 3 = -1(x - (-1))$
$y - 3 = -1(x + 1)$
$y - 3 = -x - 1$
$x + y = 2$
જો રેખા $(p, q)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોય,તો યામ સમીકરણનું સમાધાન કરે:
$p + q = 2$

(A) $(a, 0)$ અને $(0, b)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ આંતરછેદ સ્વરૂપમાં: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
કયું બિંદુ રેખા પર છે તે ચકાસવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પના યામ $(x, y)$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $(3a, -2b)$,આપણને મળે છે $\frac{3a}{a} + \frac{-2b}{b} = 3 - 2 = 1$.
આમ,બિંદુ $(3a, -2b)$ રેખા પર આવેલું છે.

(C) ધારો કે રેખાના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $2a$ અને $a$ છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\frac{x}{2a} + \frac{y}{a} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y = 2a$ થાય.....$(i)$
આ રેખા $(3, -4)$ અને $(5, 2)$ ને જોડતા રેખાખંડને દુભાગે છે. આ બિંદુઓનું મધ્યબિંદુ $(\frac{3+5}{2}, \frac{-4+2}{2}) = (4, -1)$ છે.
રેખા $(4, -1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકીએ:
$4 + 2(-1) = 2a$
$4 - 2 = 2a$
$2 = 2a \Rightarrow a = 1$
$a = 1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $x + 2y = 2(1)$ મળે છે,એટલે કે $x + 2y = 2$.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ એ $m = \tan \theta = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ યામ $(1, 0)$ અને $(2, \sqrt{3})$ મૂકતા:
$m = \frac{\sqrt{3} - 0}{2 - 1} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
કારણ કે $\tan \theta = \sqrt{3}$,તેથી $\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$.

(D) રેખાનું સામાન્ય સમીકરણ $lx + my + n = 0$ છે.
રેખા $x$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે તેનો ઢાળ $0$ હોવો જોઈએ.
રેખા $lx + my + n = 0$ નો ઢાળ $m_{slope} = -\frac{l}{m}$ દ્વારા મળે છે.
ઢાળને $0$ લેતા,આપણને $-\frac{l}{m} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $l = 0$ (જ્યાં $m \neq 0$).
આમ,સમીકરણ $my + n = 0$ અથવા $y = -\frac{n}{m}$ બને છે,જે $x$-અક્ષને સમાંતર રેખા દર્શાવે છે.

(C) $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા બિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(-2, \sqrt{3})$ માટે:
$m = \frac{\sqrt{3} - 0}{-2 - 1} = \frac{\sqrt{3}}{-3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$m = \tan(\theta)$ હોવાથી,$\tan(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
ઢાળ ઋણ હોવાથી,ખૂણો $\theta$ બીજા ચરણમાં છે.
$\theta = 180^o - 30^o = 150^o$.

(D) $(4, 3)$ અને $(2, k)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{k - 3}{2 - 4} = \frac{k - 3}{-2}$ છે.
આપેલ રેખા $y = 2x + 3$ નો ઢાળ $m_2 = 2$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $m_1 \times m_2 = -1$.
કિંમતો મૂકતા: $\left( \frac{k - 3}{-2} \right) \times 2 = -1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $-(k - 3) = -1$,એટલે કે $k - 3 = 1$.
તેથી,$k = 4$.

(B) બંને અક્ષો સાથે સમાન નમેલી રેખા ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ અથવા $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ અથવા $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ થાય.
આવી રેખાઓના સમીકરણો $y = x$ અને $y = -x$ છે.
આમ,આવી $2$ સીધી રેખાઓ મળે છે.

(C) ધારો કે રેખા $y - x + 2 = 0$ એ બિંદુઓ $A(3, -1)$ અને $B(8, 9)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ $\left( \frac{8\lambda + 3}{\lambda + 1}, \frac{9\lambda - 1}{\lambda + 1} \right)$ મળે છે.
આ બિંદુ રેખા $y - x + 2 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{9\lambda - 1}{\lambda + 1} - \frac{8\lambda + 3}{\lambda + 1} + 2 = 0$
$(\lambda + 1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$(9\lambda - 1) - (8\lambda + 3) + 2(\lambda + 1) = 0$
$9\lambda - 1 - 8\lambda - 3 + 2\lambda + 2 = 0$
$3\lambda - 2 = 0$
$\lambda = \frac{2}{3}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $2 : 3$ છે.

(A) ધારો કે રેખાના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે.
તેથી રેખા અક્ષોને $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
રેખાખંડ $AB$ ના મધ્યબિંદુના યામ $(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યબિંદુ $(3, 2)$ છે,તેથી:
$\frac{a}{2} = 3 \Rightarrow a = 6$
$\frac{b}{2} = 2 \Rightarrow b = 4$
રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$a=6$ અને $b=4$ મૂકતા,આપણને $\frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1$ મળે.
$12$ વડે ગુણતા,$2x + 3y = 12$ મળે.

(A) ધારો કે $A(-5, -4)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x + 5}{\cos \theta} = \frac{y + 4}{\sin \theta} = r$ છે.
$x + 3y + 2 = 0$ પરના બિંદુ $B$ માટે,$(r_1 \cos \theta - 5) + 3(r_1 \sin \theta - 4) + 2 = 0$ મળે,જે $r_1(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15$ આપે છે,તેથી $\frac{15}{AB} = \cos \theta + 3 \sin \theta$.
$2x + y + 4 = 0$ પરના બિંદુ $C$ માટે,$2(r_2 \cos \theta - 5) + (r_2 \sin \theta - 4) + 4 = 0$ મળે,જે $r_2(2 \cos \theta + \sin \theta) = 10$ આપે છે,તેથી $\frac{10}{AC} = 2 \cos \theta + \sin \theta$.
$x - y - 5 = 0$ પરના બિંદુ $D$ માટે,$(r_3 \cos \theta - 5) - (r_3 \sin \theta - 4) - 5 = 0$ મળે,જે $r_3(\cos \theta - \sin \theta) = 6$ આપે છે,તેથી $\frac{6}{AD} = \cos \theta - \sin \theta$.
આ કિંમતોને આપેલા સંબંધમાં મૂકતા,$(\cos \theta + 3 \sin \theta)^2 + (2 \cos \theta + \sin \theta)^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$(2 \cos \theta + 3 \sin \theta)^2 = 0$ મળે છે.
તેથી,$\tan \theta = -\frac{2}{3}$.
રેખાનું સમીકરણ $y + 4 = -\frac{2}{3}(x + 5)$ એટલે કે $2x + 3y + 22 = 0$ છે.

(D) મધ્યગા $PS$ એ શિરોબિંદુ $P(2, 2)$ ને બાજુ $QR$ ના મધ્યબિંદુ $S$ સાથે જોડે છે.
$S = \left( \frac{6 + 7}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{13}{2}, 1 \right)$.
$PS$ નો ઢાળ $m = \frac{1 - 2}{\frac{13}{2} - 2} = \frac{-1}{\frac{9}{2}} = -\frac{2}{9}$ છે.
માંગેલ રેખા $PS$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ પણ $-\frac{2}{9}$ થશે.
$(1, -1)$ માંથી પસાર થતી અને $-\frac{2}{9}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-1) = -\frac{2}{9}(x - 1)$
$9(y + 1) = -2(x - 1)$
$9y + 9 = -2x + 2$
$2x + 9y + 7 = 0$.

(B) ધારો કે રેખા $x$-અક્ષને $A(-a, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $B(0, b)$ પર છેદે છે.
અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = T$ છે.
અહીં $OA = |-a| = a$ હોવાથી,$\frac{1}{2} \times a \times |b| = T$,જેનો અર્થ છે કે $|b| = \frac{2T}{a}$.
$b = \frac{2T}{a}$ લેતા,રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{-a} + \frac{y}{2T/a} = 1$ થાય.
બંને બાજુ $2T$ વડે ગુણતા,$-\frac{2Tx}{a} + ay = 2T$ મળે.
તેથી,$2Tx - a^2y + 2aT = 0$.

(D) ધારો કે $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{\cos \theta} = \frac{y-2}{\sin \theta} = r$ છે,જ્યાં $r$ એ $(1, 2)$ થી અંતર છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(1 + r \cos \theta, 2 + r \sin \theta)$ છે.
$r = \frac{\sqrt{6}}{3}$ આપેલ હોવાથી,બિંદુ $(1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \theta, 2 + \frac{\sqrt{6}}{3} \sin \theta)$ છે.
આ બિંદુ $x + y = 4$ પર હોવાથી,$(1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \cos \theta) + (2 + \frac{\sqrt{6}}{3} \sin \theta) = 4$.
$\frac{\sqrt{6}}{3} (\cos \theta + \sin \theta) = 1 \implies \sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin(\theta + 45^\circ) = \sin 60^\circ$ અથવા $\sin 120^\circ$.
$\theta = 15^\circ$ અથવા $\theta = 75^\circ$.
તેથી,સાચો જવાબ $75^\circ$ છે.

(A) બિંદુ $P(3, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta = \frac{\pi}{6}$ ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ પ્રચલિત સ્વરૂપમાં: $\frac{x - 3}{\cos(\pi/6)} = \frac{y - 4}{\sin(\pi/6)} = r$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(3 + r\cos(30^\circ), 4 + r\sin(30^\circ)) = (3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}, 4 + \frac{r}{2})$ છે.
બિંદુ $Q$ એ રેખા $12x + 5y + 10 = 0$ પર હોવાથી,યામો મૂકતા:
$12(3 + \frac{r\sqrt{3}}{2}) + 5(4 + \frac{r}{2}) + 10 = 0$.
$36 + 6r\sqrt{3} + 20 + 2.5r + 10 = 0$.
$66 + r(6\sqrt{3} + 2.5) = 0$.
લંબાઈ $PQ$ માટે,આપણે માન મેળવીએ: $r = |\frac{-66}{6\sqrt{3} + 2.5}| = \frac{66}{6\sqrt{3} + 2.5} = \frac{132}{12\sqrt{3} + 5}$.

(B) $Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ છીએ.
સમીકરણ $3x - 2y - 6 = 0$ માં $x = 0$ મૂકતા:
$3(0) - 2y - 6 = 0$
$-2y = 6$
$y = -3$
આમ,$Y$-અક્ષ પરના છેદબિંદુના યામ $(0, -3)$ છે.

(D) $y$-અક્ષને લંબ રેખા એ $x$-અક્ષને સમાંતર હોય છે અને તેનું સ્વરૂપ $y = k$ હોય છે.
આ રેખા $(1, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો $y$-યામ $-2$ હોવો જોઈએ.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $y = -2$ થશે,જેને $y + 2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(C) $ax + by + c = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $ax + by + k = 0$ સ્વરૂપનું હોય છે ... $(1)$.
જો તે બિંદુ $(c, d)$ માંથી પસાર થાય,તો આપણે આ યામને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકીએ:
$ac + bd + k = 0$,જેથી $k = -(ac + bd)$ મળે.
$k$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$ax + by - (ac + bd) = 0$
$a(x - c) + b(y - d) = 0$.

(D) ધારો કે રેખાના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે.
આપેલ છે કે $a + b = -1$,તેથી $b = -1 - a$.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$b$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{x}{a} + \frac{y}{-1 - a} = 1$ મળે.
રેખા $(4, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{a} + \frac{3}{-1 - a} = 1$.
$\frac{4}{a} - \frac{3}{1 + a} = 1$.
$4(1 + a) - 3a = a(1 + a)$.
$4 + 4a - 3a = a + a^2$.
$4 + a = a + a^2$.
$a^2 = 4$,જેથી $a = 2$ અથવા $a = -2$ મળે.
જો $a = 2$,તો $b = -1 - 2 = -3$. સમીકરણ $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1$,એટલે કે $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1$ થાય.
જો $a = -2$,તો $b = -1 - (-2) = 1$. સમીકરણ $\frac{x}{-2} + \frac{y}{1} = 1$ થાય.

(A) ધારો કે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંત:ખંડ $a$ અને $a$ છે.
રેખાનું અંત:ખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ છે.
આ સમીકરણ $x + y = a$ અથવા $x + y - a = 0$ થાય છે.
રેખા $Ax + By + C = 0$ નો ઢાળ $m = -\frac{A}{B}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 1$ અને $B = 1$ હોવાથી,$m = -\frac{1}{1} = -1$ થાય છે.

(D) આપેલી રેખા $3x + y = 3$ છે,જેને $y = -3x + 3$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = -3$ છે.
જરૂરી રેખા આપેલી રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \times m_2 = -1$ નું પાલન કરશે.
તેથી,$-3 \times m_2 = -1$,જે આપણને $m_2 = 1/3$ આપે છે.
બિંદુ $(2, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = 1/3$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = m_2(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 2 = \frac{1}{3}(x - 2)$.
$3$ વડે ગુણતા: $3y - 6 = x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $x - 3y + 4 = 0$ થાય છે.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$x = 0$ લેતા: $0 - 3y + 4 = 0$,જે $3y = 4$ આપે છે,તેથી $y = 4/3$.
આમ,$y$-અંતઃખંડ $4/3$ છે.

(A) રેખાનો ઢાળ $m = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ છે.
$y$-અક્ષની ઋણ દિશામાં અંત:ખંડ $c = -5$ છે.
રેખાના ઢાળ-અંત:ખંડ સ્વરૂપ $y = mx + c$ માં કિંમતો મૂકતા:
$y = \sqrt{3}x + (-5)$
$y = \sqrt{3}x - 5$.

(A) આપેલ રેખા $x + y + 4 = 0$ છે.
$ax + by + c = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $bx - ay + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
તેથી,$x + y + 4 = 0$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $x - y + k = 0$ થશે.
આ રેખા $(1, 2)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,$x = 1$ અને $y = 2$ મૂકતા:
$1 - 2 + k = 0$
$-1 + k = 0$
$k = 1$.
$k = 1$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x - y + 1 = 0$ મળે છે.

(C) રેખાનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
$(5, 3)$ અને $(4, 4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ:
$M = \left( \frac{5+4}{2}, \frac{3+4}{2} \right) = \left( \frac{9}{2}, \frac{7}{2} \right)$.
$(x_1, y_1) = \left( \frac{9}{2}, \frac{7}{2} \right)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 1$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - \frac{7}{2} = 1 \left( x - \frac{9}{2} \right)$
$y - \frac{7}{2} = x - \frac{9}{2}$
$x - y - 1 = 0$.

(A) અહીં રેખા $y$-અક્ષની ઋણ દિશામાં $3$ એકમનો અંત:ખંડ કાપે છે,તેથી $c = -3$.
ઢાળ $\theta = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{5}} \right)$ હોવાથી,$m = \tan \theta = \frac{3}{5}$.
રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ મુજબ:
$y = \frac{3}{5}x - 3$
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા:
$5y = 3x - 15$
તેથી,$3x - 5y - 15 = 0$.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x + \sqrt{3}y = 4$ છે.
બંને બાજુ $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ વડે ભાગતા.
આપણને $\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y = 2$ મળે છે.
જેને $x \cos(\pi/3) + y \sin(\pi/3) = 2$ તરીકે લખી શકાય.

(B) ધારો કે $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = K$ છે $(1)$.
આ રેખા $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = a$ અને $y = b$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{a}{a} + \frac{b}{b} = K$
$1 + 1 = K$
$K = 2$.
તેથી,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$ છે.

(A) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ અંત:ખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા અક્ષોને $(a, 0)$ અને $(0, b)$ બિંદુએ છેદે છે.
અંત:ખંડનું મધ્યબિંદુ $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે,તેથી $\frac{a}{2} = x_1 \implies a = 2x_1$ અને $\frac{b}{2} = y_1 \implies b = 2y_1$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} = 2$ મળે છે.