Distance between two lines, Perpendicular distance of the line from a point, Position of point w.r.t. line Questions in Gujarati

(D) બિંદુ $R(3,7)$ થી રેખા $x+y-5=0$ પરના લંબ અંતર $h$ ને નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે:
$h = \frac{|3+7-5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,જેની બાજુની લંબાઈ $a$ છે,તેની ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ થાય છે.
તેથી,$\frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{5}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{5 \sqrt{6}}{3}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{100}{6} \right) = \frac{100 \sqrt{3}}{24} = \frac{25 \sqrt{3}}{6}$ થાય છે.

(B) ધારો કે $P = (a^2, a+1)$.
રેખા $L_1: 3x-y+1=0$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ લેતા $L_1(0,0) = 3(0)-0+1 = 1 > 0$ મળે છે.
બિંદુ $P$ એ ઉગમબિંદુની સમાન બાજુએ હોવાથી,$L_1(a^2, a+1) > 0$ થાય.
$3(a^2) - (a+1) + 1 > 0$ $\Rightarrow 3a^2 - a > 0$ $\Rightarrow a(3a-1) > 0$.
તેથી,$a \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, \infty) \dots (i)$.
રેખા $L_2: x+2y-5=0$ માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ લેતા $L_2(0,0) = 0+2(0)-5 = -5 < 0$ મળે છે.
બિંદુ $P$ એ ઉગમબિંદુની સમાન બાજુએ હોવાથી,$L_2(a^2, a+1) < 0$ થાય.
$a^2 + 2(a+1) - 5 < 0$ $\Rightarrow a^2 + 2a - 3 < 0$ $\Rightarrow (a+3)(a-1) < 0$.
તેથી,$a \in (-3, 1) \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો છેદગણ લેતા:
$a \in (-3, 0) \cup (\frac{1}{3}, 1)$.

(D) ધારો કે બિંદુ $A(2, 3)$ છે અને રેખા $L: 2x - 3y + 28 = 0$ છે. અંતર રેખા $\sqrt{3}x - y + 1 = 0$ ને સમાંતર માપવામાં આવે છે,જેનો ઢાળ $m = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 60^\circ$. તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$A(2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ,જે $r$ અંતરે છે,તે $(2 + r \cos \theta, 3 + r \sin \theta) = (2 + \frac{r}{2}, 3 + \frac{\sqrt{3}r}{2})$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $P$ એ રેખા $2x - 3y + 28 = 0$ પર આવેલું છે,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2 + \frac{r}{2}) - 3(3 + \frac{\sqrt{3}r}{2}) + 28 = 0$
$4 + r - 9 - \frac{3\sqrt{3}r}{2} + 28 = 0$
$23 + r(1 - \frac{3\sqrt{3}}{2}) = 0$
$r = 4 + 6\sqrt{3}$.

(D) પગલું $1$: $3x + 2y = 14$ અને $5x - y = 6$ ઉકેલીને બિંદુ $A$ મેળવો. $A = (2, 4)$.
પગલું $2$: $4x + 3y = 8$ અને $6x + y = 5$ ઉકેલીને બિંદુ $B$ મેળવો. $B = (\frac{1}{2}, 2)$.
પગલું $3$: રેખા $AB$ નું સમીકરણ $4x - 3y + 4 = 0$ મળે છે.
પગલું $4$: બિંદુ $P(5, -2)$ નું રેખા $4x - 3y + 4 = 0$ થી અંતર $d = \frac{|4(5) - 3(-2) + 4|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{30}{5} = 6$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યકેન્દ્ર $A$ એ લંબકેન્દ્ર $C$ અને પરિકેન્દ્ર $B$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આપેલ $C(-6, -8)$ અને $B(3, 4)$ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $A(a, b)$ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$a = \frac{2(3) + 1(-6)}{2+1} = 0$
$b = \frac{2(4) + 1(-8)}{2+1} = 0$
તેથી,$A(0, 0)$.
હવે,બિંદુ $P(2a+3, 7b+5)$ એ $P(3, 5)$ બને છે.
આપણે $P(3, 5)$ નું રેખા $2x+3y-4=0$ થી રેખા $x-2y-1=0$ ને સમાંતર અંતર શોધવાનું છે.
રેખા $x-2y-1=0$ નો ઢાળ $m = \frac{1}{2}$ છે. તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$P(3, 5)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \frac{1}{2}$ ઢાળવાળી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(3+\frac{2r}{\sqrt{5}}, 5+\frac{r}{\sqrt{5}})$ છે.
આને રેખા $2x+3y-4=0$ માં મૂકતા:
$2(3+\frac{2r}{\sqrt{5}}) + 3(5+\frac{r}{\sqrt{5}}) - 4 = 0$
$17 + \frac{7r}{\sqrt{5}} = 0$
$r = -\frac{17 \sqrt{5}}{7}$
અંતર હંમેશા ધન હોવાથી,જરૂરી અંતર $|r| = \frac{17 \sqrt{5}}{7}$ છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-1, 3)$,$B(-2, 2)$ અને $C(3, -1)$ છે.
બાજુઓના સમીકરણો:
$AC$ નું સમીકરણ: ઢાળ $m = -1$,સમીકરણ $x + y = 2$ છે.
$AB$ નું સમીકરણ: ઢાળ $m = 1$,સમીકરણ $x - y + 4 = 0$ છે.
$BC$ નું સમીકરણ: ઢાળ $m = -\frac{3}{5}$,સમીકરણ $3x + 5y - 4 = 0$ છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ ને $d=1$ એકમ અંદરની તરફ ખસેડતા,નવી રેખા $ax + by + c \pm \sqrt{a^2+b^2} = 0$ મળે.
$AC: x + y - 2 = 0$ માટે,નવી રેખા $x + y = 2 - \sqrt{2}$ છે.
ઉગમબિંદુની સૌથી નજીકની બાજુ $x + y = 2 - \sqrt{2}$ છે.

(A) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(3, 5)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{3}{a} + \frac{5}{b} = 1$ મળે.
આથી $\frac{5}{b} = 1 - \frac{3}{a} = \frac{a-3}{a}$,તેથી $b = \frac{5a}{a-3}$ જ્યાં $a > 3$.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} a \left( \frac{5a}{a-3} \right) = \frac{5}{2} \cdot \frac{a^2}{a-3}$ છે.
આને $A = \frac{5}{2} \left( \frac{a^2 - 9 + 9}{a-3} \right) = \frac{5}{2} \left( a + 3 + \frac{9}{a-3} \right)$ તરીકે લખી શકાય.
$AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરવા માટે,$A = \frac{5}{2} \left( (a-3) + \frac{9}{a-3} + 6 \right)$ લખીએ.
$AM$-$GM$ મુજબ,$(a-3) + \frac{9}{a-3} \geq 2 \sqrt{(a-3) \cdot \frac{9}{a-3}} = 2 \cdot 3 = 6$.
તેથી,$A \geq \frac{5}{2} (6 + 6) = \frac{5}{2} (12) = 30$.
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $30$ છે.

(B) આપેલ છે $\alpha = 1 + \sum_{r=1}^6 (-3)^{r-1} \binom{12}{2r-1}$.
$(1 + \sqrt{3}i)^{12}$ અને $(1 - \sqrt{3}i)^{12}$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે કે સરવાળો $0$ થાય છે.
તેથી,$\alpha = 1$.
રેખાનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y + 1 = 0$ બને છે.
બિંદુ $(12, \sqrt{3})$ થી રેખાનું અંતર $d = \frac{|12 - 3 + 1|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{10}{2} = 5$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x(x+2)(12-k)=2$.
ધારો કે $\lambda = 12-k$. સમીકરણના બીજ સમાન હોવાથી,$k \neq 12$,તેથી $\lambda \neq 0$.
સમીકરણ $\lambda(x^2+2x) = 2$ અથવા $\lambda x^2 + 2\lambda x - 2 = 0$ બને છે.
સમાન બીજ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$.
$(2\lambda)^2 - 4(\lambda)(-2) = 0$.
$4\lambda^2 + 8\lambda = 0$.
$4\lambda(\lambda + 2) = 0$.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\lambda = -2$.
કિંમત મૂકતા,$12-k = -2$,જે $k = 14$ આપે છે.
બિંદુ $(k, \frac{k}{2}) = (14, 7)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax+By+C=0$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
$d = \frac{|3(14) + 4(7) + 5|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|42 + 28 + 5|}{5} = \frac{75}{5} = 15$.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $4x + 3y - 20 = 0$ અને $4x + 3y + 15 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 4$,$b = 3$,$c_1 = -20$,અને $c_2 = 15$ છે.
$d = \left| \frac{-20 - 15}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \right| = \left| \frac{-35}{\sqrt{16 + 9}} \right| = \left| \frac{-35}{5} \right| = 7$ એકમ.
ચોરસની બે સામસામેની બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર તેની બાજુની લંબાઈ $s$ જેટલું હોય છે,તેથી $s = 7$ એકમ.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $s^2 = 7^2 = 49$ ચોરસ એકમ થાય.

(D) રેખા $L$ બિંદુ $(13, 32)$ માંથી પસાર થાય છે.
$\frac{13}{5} + \frac{32}{b} = 1$
$\frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$
$b = -20$
તેથી,$L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{5} - \frac{y}{20} = 1$ છે,જે $4x - y - 20 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
$L$ નો ઢાળ $m_1 = 4$ છે.
રેખા $K$ એ $L$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2 = 4$ થશે.
$K$ નું સમીકરણ $\frac{x}{c} + \frac{y}{3} = 1$ છે,એટલે કે $y = -\frac{3}{c}x + 3$.
તેથી,$-\frac{3}{c} = -4 \Rightarrow c = -\frac{3}{4}$.
$K$ નું સમીકરણ $\frac{x}{-3/4} + \frac{y}{3} = 1$ $\Rightarrow -\frac{4x}{3} + \frac{y}{3} = 1$ $\Rightarrow 4x - y + 3 = 0$ થાય.
$4x - y - 20 = 0$ અને $4x - y + 3 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|-20 - 3|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $5x - 12y + 39 = 0$ અને $5x - 12y + 78 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 5$,$b = -12$,$c_1 = 39$,અને $c_2 = 78$ છે.
$d = \left| \frac{39 - 78}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \right| = \left| \frac{-39}{\sqrt{169}} \right| = \frac{39}{13} = 3$ એકમ.
ચોરસની બે સમાંતર બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર તેની બાજુની લંબાઈ જેટલું હોય છે,તેથી ચોરસની બાજુ $s = 3$ એકમ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $s^2 = 3^2 = 9$ ચોરસ એકમ થાય.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુ $A(1, 2)$ છે અને પાયો $BC$ એ રેખા $2x - y - 1 = 0$ પર છે.
શિરોબિંદુ $A$ થી પાયા $BC$ પરનો વેધ $AD$ એ $(1, 2)$ થી રેખા $2x - y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર છે.
$AD = \left| \frac{2(1) - (2) - 1}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{2 - 2 - 1}{\sqrt{5}} \right| = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,વેધ $AD$ અને બાજુની લંબાઈ $s$ વચ્ચેનો સંબંધ $AD = s \sin 60^{\circ} = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{5}} = s \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$s = \frac{2}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{15}}$.

(C) રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જેને $\frac{1}{a}x + \frac{1}{b}y - 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $p = \left| \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$ દ્વારા મળે છે.
$A = \frac{1}{a}$,$B = \frac{1}{b}$,અને $C = -1$ કિંમતો મૂકતા,$p = \left| \frac{-1}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2}} \right|$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}$ મળે.
તેથી,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}$.

(D) અક્ષો પર $a$ અને $b$ અંતઃખંડો ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જેને $bx + ay - ab = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખા પરના લંબની લંબાઈ $p$ એ સૂત્ર $p = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $p = \frac{|b(0) + a(0) - ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{|-ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $p^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે $\frac{1}{p^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{a^2}{a^2 b^2} + \frac{b^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$.
આમ,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}$.

(D) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y = 9$ અને $6x + 8y = 15$ છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે પહેલા $x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન બનાવીએ.
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $2(3x + 4y) = 2(9) \Rightarrow 6x + 8y = 18$.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 6$,$b = 8$,$c_1 = -18$,અને $c_2 = -15$.
$d = \frac{|-18 - (-15)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0.3$ એકમ.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $d_A = \frac{|4|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{4}{5} = 0.8$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $d_B = \frac{|-5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{5}{\sqrt{13}} \approx 1.38$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $d_C = \frac{|12|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{12}{5} = 2.4$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $d_D = \frac{|-3|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{29}} \approx 0.55$.
અંતરોની સરખામણી કરતા,$0.55$ એ સૌથી નાનું મૂલ્ય છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ ની રેખા ઉગમબિંદુની સૌથી નજીક છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે. $P$ એ $2x - y = 5$ પર હોવાથી,$y_1 = 2x_1 - 5$ મળે.
રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ થી બિંદુ $P(x_1, y_1)$ નું અંતર $d = \left|\frac{3x_1 + 4y_1 - 5}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\right| = 1$ છે.
$y_1 = 2x_1 - 5$ ને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\left|\frac{3x_1 + 4(2x_1 - 5) - 5}{5}\right| = 1$
$\left|\frac{11x_1 - 25}{5}\right| = 1$
$11x_1 - 25 = 5$ અથવા $11x_1 - 25 = -5$
કિસ્સો $1$: $11x_1 = 30 \implies x_1 = \frac{30}{11}$. તેથી $y_1 = \frac{5}{11}$.
કિસ્સો $2$: $11x_1 = 20 \implies x_1 = \frac{20}{11}$. તેથી $y_1 = \frac{-15}{11}$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $\left(\frac{30}{11}, \frac{5}{11}\right)$ અને $\left(\frac{20}{11}, \frac{-15}{11}\right)$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $x+y+3=0$ પરનું બિંદુ $(k, -3-k)$ છે.
આપેલ છે કે આ બિંદુનું રેખા $x+2y+2=0$ થી લંબ અંતર $\sqrt{5}$ છે.
લંબ અંતરના સૂત્ર $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|k + 2(-3-k) + 2|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{5}$
$\frac{|k - 6 - 2k + 2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
$|-k - 4| = 5$
$|k + 4| = 5$
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
$k + 4 = 5 \Rightarrow k = 1$
$k + 4 = -5 \Rightarrow k = -9$
$k = 1$ માટે,બિંદુ $(1, -3-1) = (1, -4)$ મળે છે.
$k = -9$ માટે,બિંદુ $(-9, -3-(-9)) = (-9, 6)$ મળે છે.

(C) બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે, આપણે પહેલા સમીકરણોને $x$ અને $y$ ના સમાન સહગુણકો સાથે લખીએ છીએ.
પ્રથમ સમીકરણ $3x + 4y = 9$ ને $2$ વડે ગુણતા $6x + 8y = 18$ મળે છે.
હવે રેખાઓ $6x + 8y - 18 = 0$ અને $6x + 8y - 15 = 0$ છે.
અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|-18 - (-15)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0.3 \text{ એકમ}$.

(B) આપેલ રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જેને $bx + ay - ab = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \left| \frac{Ax_{1} + By_{1} + C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A = b$,$B = a$,$C = -ab$,$x_{1} = a$,અને $y_{1} = b$ મૂકતા:
$d = \left| \frac{b(a) + a(b) - ab}{\sqrt{b^{2} + a^{2}}} \right| = \left| \frac{ab + ab - ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right| = \left| \frac{ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \right|$ એકમ.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બિંદુ $(4, 1)$ અને રેખા $3x - 4y + k = 0$ માટે:
$2 = \left| \frac{3(4) - 4(1) + k}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right|$
$2 = \left| \frac{12 - 4 + k}{\sqrt{9 + 16}} \right|$
$2 = \left| \frac{8 + k}{5} \right|$
$|8 + k| = 10$
આથી $8 + k = 10$ અથવા $8 + k = -10$ મળે.
જો $8 + k = 10$,તો $k = 2$.
જો $8 + k = -10$,તો $k = -18$.
તેથી,$k$ ની કિંમતો $2$ અને $-18$ છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $p = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ રેખા $x \sin \theta + y \cos \theta - 5 \cos 2 \theta = 0$ માટે,$p_{1} = \frac{|-5 \cos 2 \theta|}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |5 \cos 2 \theta|$.
તેથી,$p_{1}^2 = 25 \cos^2 2 \theta$.
બીજી રેખા $x \operatorname{cosec} \theta + y \sec \theta - 5 = 0$ માટે,$p_{2} = \frac{|-5|}{\sqrt{\operatorname{cosec}^2 \theta + \sec^2 \theta}} = \frac{5}{\sqrt{\frac{1}{\sin^2 \theta} + \frac{1}{\cos^2 \theta}}} = 5 \sin \theta \cos \theta = \frac{5}{2} \sin 2 \theta$.
તેથી,$4 p_{2}^2 = 4 \left( \frac{25}{4} \sin^2 2 \theta \right) = 25 \sin^2 2 \theta$.
આમ,$p_{1}^2 + 4 p_{2}^2 = 25 \cos^2 2 \theta + 25 \sin^2 2 \theta = 25$.

(D) રેખા $L$ એ $(13,32)$ માંથી પસાર થાય છે.
$\frac{13}{5}+\frac{32}{b}=1$
$\Rightarrow \frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$
$\Rightarrow b = -20$
તેથી,$L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{5}-\frac{y}{20}=1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x-y=20$ થાય છે.
$L$ નો ઢાળ $m_1=4$ છે.
રેખા $K$ જે $\frac{x}{c}+\frac{y}{3}=1$ છે,તેનો ઢાળ $m_2=-\frac{3}{c}$ છે.
$L$ અને $K$ સમાંતર હોવાથી,$m_1=m_2$.
$4 = -\frac{3}{c} \Rightarrow c = -\frac{3}{4}$.
રેખા $K$ નું સમીકરણ $-\frac{4x}{3}+\frac{y}{3}=1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x-y=-3$ થાય છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
અહીં,$A=4, B=-1, C_1=-20, C_2=3$.
$d = \frac{|-20-3|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}} = \frac{|-23|}{\sqrt{16+1}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$.

(A) ધારો કે રેખા $L(x, y) = x+y-1 = 0$ છે.
બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ અને $(x_2, y_2) = (\sin \theta, \cos \theta)$ રેખાની એક જ બાજુએ હોય તે માટે,ગુણાકાર $L(x_1, y_1) \cdot L(x_2, y_2) > 0$ હોવો જોઈએ.
$L(1, 2) = 1+2-1 = 2 > 0$.
તેથી,$L(\sin \theta, \cos \theta) > 0$ હોવું જોઈએ.
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta - 1 > 0$
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta > 1$
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta \in (0, \pi)$ હોવાથી,$\theta + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$ મળે.
આ અંતરાલમાં,$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે:
$\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$
બધી બાજુઓમાંથી $\frac{\pi}{4}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$
આમ,મૂલ્યોનો સમૂહ $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ છે.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{y-y_1}{x-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુઓ $(5,0)$ અને $(0,3)$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{y-0}{x-5} = \frac{3-0}{0-5} = -\frac{3}{5}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $5y = -3(x-5)$,એટલે કે $3x + 5y - 15 = 0$ મળે છે.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(x_0, y_0) = (4,4)$ અને રેખાનું સમીકરણ $3x + 5y - 15 = 0$ મૂકતા:
$d = \frac{|3(4) + 5(4) - 15|}{\sqrt{3^2 + 5^2}} = \frac{|12 + 20 - 15|}{\sqrt{9 + 25}} = \frac{17}{\sqrt{34}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$d = \frac{17\sqrt{34}}{34} = \frac{\sqrt{34}}{2} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}}$.

(B) સમબાજુ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર એ પરિકેન્દ્ર અને અંતઃકેન્દ્ર સાથે એકરૂપ હોય છે. ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે,જે મધ્યકેન્દ્ર છે.
અંતઃત્રિજ્યા $r$ એ મધ્યકેન્દ્ર $O(0,0)$ થી બાજુ $x+y-3=0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$r = \left| \frac{0+0-3}{\sqrt{1^2+1^2}} \right| = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિવૃતની ત્રિજ્યા $R$ એ અંતઃત્રિજ્યા $r$ કરતા બમણી હોય છે,તેથી $R = 2r$.
$R = 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
આમ,$R+r = \frac{6}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$.

(D) ધારો કે $M$ એ $O(0,0)$ થી રેખા $3x + 4y + 15 = 0$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
તેથી, લંબની લંબાઈ $OM = \left| \frac{3(0) + 4(0) + 15}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \frac{15}{5} = 3$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OMQ$ માં, પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$MQ = \sqrt{OQ^2 - OM^2} = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times (\triangle OMQ$ નું ક્ષેત્રફળ).
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2 \times \left( \frac{1}{2} \times OM \times MQ \right) = OM \times MQ$.
$\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= 3 \times 6 \sqrt{2} = 18 \sqrt{2}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(-3, 4)$ અને $Q(2, -8)$ છે. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-8 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ એકમ છે.
$P$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાને રેખા $PQ$ સાથે અમુક ખૂણે $\theta$ દર્શાવી શકાય છે. આવી રેખા પર $Q$ થી લંબ અંતર $d \sin \theta$ છે,જ્યાં $d = 13$ છે.
આપણે અંતર $5$ એકમ જોઈએ છે,તેથી $13 \sin \theta = 5$,જે $\sin \theta = \frac{5}{13}$ આપે છે.
કારણ કે $|\sin \theta| \le 1$ અને $\frac{5}{13} < 1$,તેથી $[0, 2\pi)$ ની શ્રેણીમાં $\theta$ માટે બે શક્ય કિંમતો છે,એટલે કે $\theta = \arcsin(\frac{5}{13})$ અને $\theta = \pi - \arcsin(\frac{5}{13})$.
આમ,આવી $2$ રેખાઓ શક્ય છે.

(B) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(4, -5)$ અને નિશ્ચિત બિંદુ $Q(1, 3)$ છે.
બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $d$ અંતર સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-8)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$.
અહીં $\sqrt{73} \approx 8.54$ હોવાથી,બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $10$ એકમ કરતા ઓછું છે.
બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું બિંદુ $Q$ થી લંબ અંતર હંમેશા $PQ$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય છે.
અહીં $PQ < 10$ હોવાથી,$P$ માંથી પસાર થતી કોઈ પણ રેખા $Q$ થી $10$ એકમ અંતરે હોઈ શકે નહીં.
તેથી,આવી રેખાઓની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $3x + 4y = 9$ અને $6x + 8y = 15$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે,પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા:
$6x + 8y = 18$.
હવે,સમીકરણો $6x + 8y - 18 = 0$ અને $6x + 8y - 15 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 6, B = 8, C_1 = -18, C_2 = -15$.
$d = \frac{|-18 - (-15)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{36 + 64}} = \frac{3}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} \text{ એકમ}$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $P$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી રેખા $3x - 4y + 25 = 0$ પરનો લંબપાદ છે.
લંબ અંતર $OP$ નીચે મુજબ મળે છે:
$OP = \left| \frac{3(0) - 4(0) + 25}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{25}{\sqrt{9 + 16}} \right| = \left| \frac{25}{5} \right| = 5$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle OAP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AP^2 + OP^2 = OA^2$
$AP^2 + 5^2 = 13^2$
$AP^2 = 169 - 25 = 144$
$AP = 12$.
કારણ કે $OP \perp AB$,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AB = 2 \times AP = 2 \times 12 = 24$.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AB \times OP = \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 60$ ચોરસ એકમ.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ રેખા $x \sec \alpha + y \operatorname{cosec} \alpha - 10 = 0$ માટે,$p = \frac{|-10|}{\sqrt{\sec^2 \alpha + \operatorname{cosec}^2 \alpha}} = 10 \sin \alpha \cos \alpha = 5 \sin 2 \alpha$ મળે.
તેથી,$p^2 = 25 \sin^2 2 \alpha$,એટલે કે $4p^2 = 100 \sin^2 2 \alpha$.
બીજી રેખા $x \cos \alpha - y \sin \alpha - 10 \cos 2 \alpha = 0$ માટે,$q = \frac{|-10 \cos 2 \alpha|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = 10 \cos 2 \alpha$ મળે.
તેથી,$q^2 = 100 \cos^2 2 \alpha$.
આમ,$4p^2 + q^2 = 100 \sin^2 2 \alpha + 100 \cos^2 2 \alpha = 100(1) = 100$.

(B) રેખા $x+1=0$ એ $x=-1$ ને સમાન છે.
$3x+2y=5$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x=-1$ મૂકો:
$3(-1)+2y=5 \implies -3+2y=5 \implies 2y=8 \implies y=4$.
તેથી,પ્રથમ બિંદુ $(-1, 4)$ છે.
$3x+2y=3$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x=-1$ મૂકો:
$3(-1)+2y=3 \implies -3+2y=3 \implies 2y=6 \implies y=3$.
તેથી,બીજું બિંદુ $(-1, 3)$ છે.
અંતઃખંડની લંબાઈ એ $(-1, 4)$ અને $(-1, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
અંતર $= \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (4 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

(C) $m$ ઢાળ અને $c$ $y$-અંતઃખંડ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે.
અહીં $c = 4$ આપેલ છે,તેથી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + 4$ અથવા $mx - y + 4 = 0$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે,તેથી $x_1 = 0$ અને $y_1 = 0$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|m(0) - (0) + 4|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}}$.

(A) ધારો કે રેખા $L(x, y) = 3x - 4y - 8 = 0$ છે.
બિંદુ $(3, 4)$ માટે,$L(3, 4) = 3(3) - 4(4) - 8 = 9 - 16 - 8 = -15$ મળે છે.
$L(3, 4) < 0$ હોવાથી,બિંદુ $(\alpha, \beta)$ વિરુદ્ધ બાજુએ હોવા માટે,$L(\alpha, \beta) > 0$ હોવું જોઈએ.
$L(x, y)$ માં $(\alpha, \beta)$ મૂકતા,$3\alpha - 4\beta - 8 > 0$ મળે છે.
$(\alpha, \beta)$ એ $3x + y = 0$ પર હોવાથી,$\beta = -3\alpha$ થાય.
અસમતામાં $\beta = -3\alpha$ મૂકતા:
$3\alpha - 4(-3\alpha) - 8 > 0$
$3\alpha + 12\alpha - 8 > 0$
$15\alpha - 8 > 0$.

(C) સમીકરણ $|x+y|=4$ એ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે: $x+y=4$ અને $x+y=-4$.
બિંદુ $(a, a)$ આ બે રેખાઓની વચ્ચે આવેલું હોવા માટે,$(a, a)$ પર પદ $(x+y)$ ની કિંમત $-4$ અને $4$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
$(a, a)$ ને $x+y$ માં મૂકતા,આપણને $a+a = 2a$ મળે છે.
તેથી,શરત $-4 < 2a < 4$ છે.
અસમતાને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $-2 < a < 2$ મળે છે.
જે $|a| < 2$ ને સમાન છે.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: x+2y-5=0$ અને $L_2: 3x-y+1=0$ છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માટે $L_1(0,0) = -5 < 0$ અને $L_2(0,0) = 1 > 0$ થાય છે.
બિંદુ $P(\lambda^2, \lambda+1)$ ઉગમબિંદુ ધરાવતા પ્રદેશમાં હોય તે માટે,તેણે $L_1(P) < 0$ અને $L_2(P) > 0$ નું પાલન કરવું પડે.
$L_1$ માટે: $\lambda^2 + 2(\lambda+1) - 5 < 0$ $\Rightarrow \lambda^2 + 2\lambda - 3 < 0$ $\Rightarrow (\lambda+3)(\lambda-1) < 0$ $\Rightarrow \lambda \in (-3, 1)$.
$L_2$ માટે: $3(\lambda^2) - (\lambda+1) + 1 > 0$ $\Rightarrow 3\lambda^2 - \lambda > 0$ $\Rightarrow \lambda(3\lambda-1) > 0$ $\Rightarrow \lambda \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$.
$\lambda \in (-3, 1)$ અને $\lambda \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$ નો છેદગણ લેતા,આપણને $\lambda \in (-3, 0) \cup (1/3, 1)$ મળે છે.
કારણ કે $\lambda \in \mathbb{Z}$,તેથી $\lambda$ ની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $\lambda = -2, -1$ છે.
આમ,આવા $2$ બિંદુઓ શક્ય છે.

(B) ધારો કે રેખા $L(x, y) = 3x - 5y + a = 0$ છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ રેખા $Ax + By + C = 0$ ની એક જ બાજુએ હોય તે માટે,$L(x_1, y_1)$ અને $L(x_2, y_2)$ ના ચિહ્નો સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $L(x_1, y_1) \times L(x_2, y_2) > 0$.
બિંદુ $(1, 2)$ માટે,$L(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = a - 7$.
બિંદુ $(3, 4)$ માટે,$L(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = a - 11$.
આમ,આપણે $(a - 7)(a - 11) > 0$ ની જરૂર છે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે છે જ્યારે $a < 7$ અથવા $a > 11$ હોય.

(B) ધારો કે $f(x, y) = 3x - 5y + a$. બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(3, 4)$ રેખાની એક જ બાજુએ આવેલા હોવાથી,$f(1, 2)$ અને $f(3, 4)$ ના ચિહ્નો સમાન હોવા જોઈએ.
$f(1, 2) = 3(1) - 5(2) + a = a - 7$
$f(3, 4) = 3(3) - 5(4) + a = a - 11$
આમ,$(a - 7)(a - 11) > 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $a < 7$ અથવા $a > 11$ મળે છે.
તેથી,$a \in (-\infty, 7) \cup (11, \infty)$,જે $R - [7, 11]$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,$L_2$ ની રેખાઓ $3x-y+2=0$ અને $x-3y-2=0$ નું છેદબિંદુ શોધો. ઉકેલતા,$x=-1, y=-1$ મળે છે. $L_2$ એ $(0,0)$ અને $(-1,-1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y=x$ અથવા $x-y=0$ છે.
ત્યારબાદ,$L_1$ ની રેખાઓ $x-2y+3=0$ અને $2x-y=0$ નું છેદબિંદુ શોધો. ઉકેલતા,$x=-1, y=-2$ મળે છે. $L_1$ એ $L_2$ $(x-y=0)$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x-y+k=0$ છે. $(-1,-2)$ મૂકતા,$-1-(-2)+k=0$ મળે,તેથી $k=-1$. આમ,$L_1$ એ $x-y-1=0$ છે.
સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
અહીં,$d = \frac{|-1-0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ માટે,$d_1 = \frac{|3(2) + 4(3) - 3|}{5} = 3$.
અંતર સમાન હોવાથી,$d_2 = d_3 = 3$.
$(4, a)$ માટે,$|4a + 9| = 15 \implies a = 1.5$ અથવા $a = -6$.
$(\alpha, \beta)$ માટે,$|3\alpha + 4\beta - 3| = 15$.
સમીકરણો ઉકેલતા,શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $\frac{-79}{10}$ મળે છે.

(D) રેખા $L$ નો ઢાળ $m = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ છે,જે $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાનું અંતર $5$ હોવાથી,$\frac{|\sqrt{3}c|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = 5$.
$\frac{|\sqrt{3}c|}{2} = 5 \implies |\sqrt{3}c| = 10 \implies \sqrt{3}c = \pm 10$.
$Y$-અંતઃખંડ $c$ ઋણ હોવાથી,આપણે $\sqrt{3}c = -10$ લઈએ છીએ.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y - 10 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, -\sqrt{3})$ થી રેખા $L$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|1(1) - \sqrt{3}(-\sqrt{3}) - 10|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}}$ છે.
$d = \frac{|1 + 3 - 10|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{|-6|}{2} = 3$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે. $P$ એ $x+y+5=0$ પર હોવાથી,$y = -x-5$ મળે. તેથી,$P = (x, -x-5)$.
રેખા $Ax+By+C=0$ થી બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$2x+3y+3=0$ થી અંતર $\sqrt{13}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{|2x+3(-x-5)+3|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \sqrt{13}$
$\frac{|2x-3x-15+3|}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$
$|-x-12| = 13$
$|x+12| = 13$
આના બે કિસ્સા મળે:
$1) x+12 = 13 \Rightarrow x = 1$. તેથી $y = -1-5 = -6$. એટલે કે,$P = (1, -6)$.
$2) x+12 = -13 \Rightarrow x = -25$. તેથી $y = -(-25)-5 = 20$. એટલે કે,$P = (-25, 20)$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $(1, -6)$ છે.

(A) ધારો કે રેખા $x+y=4$ પરનું બિંદુ $(\alpha, 4-\alpha)$ છે.
આપેલ છે કે આ બિંદુથી રેખા $4x+3y-10=0$ નું લંબ અંતર $1$ છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\left|\frac{4\alpha+3(4-\alpha)-10}{\sqrt{4^2+3^2}}\right|=1$.
$\left|\frac{4\alpha+12-3\alpha-10}{5}\right|=1$.
$|\alpha+2|=5$.
આથી $\alpha+2=5$ અથવા $\alpha+2=-5$.
તેથી,$\alpha=3$ અથવા $\alpha=-7$.
$\alpha=3$ માટે,બિંદુ $(3, 1)$ મળે છે.
$\alpha=-7$ માટે,બિંદુ $(-7, 11)$ મળે છે.
બિંદુઓ $(3, 1)$ અને $(-7, 11)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(-7-3)^2+(11-1)^2}$ છે.
$d=\sqrt{(-10)^2+(10)^2} = \sqrt{100+100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$.

(C) $P(1,1)$ માંથી પસાર થતી ચલ રેખાનું સમીકરણ $a(x-1) + b(y-1) = 0$ લો,જે $ax + by - (a+b) = 0$ માં પરિણમે છે.
રેખા $ax + by - (a+b) = 0$ થી $A(2,0)$ અને $B(0,2)$ ના અંતરોનો બૈજિક સરવાળો નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{a(2) + b(0) - (a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a(0) + b(2) - (a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{2a - a - b}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{2b - a - b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{a - b}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{b - a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$d = \frac{a - b + b - a}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0$.
આમ,$P(1,1)$ માંથી પસાર થતી તમામ રેખાઓ માટે $d = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $\triangle ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $BC$ એ $x+y-2=0$ છે અને શિરોબિંદુ $A$ એ $(2,-1)$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ થી પાયા $BC$ પરના વેધ $h$ ની લંબાઈ એ $(2,-1)$ થી $x+y-2=0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
$h = \frac{|(1)(2) + (1)(-1) - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$s$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,વેધ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$ થાય છે.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}s$.
$s = \frac{2}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(C) $3x - y = 7$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $3x - y = \lambda$ ધારો.
તે $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $3(1) - 2 = \lambda \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી,રેખા $3x - y = 1$ છે.
હવે,$x + y + 5 = 0$ અને $3x - y = 1$ નું છેદબિંદુ શોધો.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $4x + 5 = 1$ $\Rightarrow 4x = -4$ $\Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ ને $x + y + 5 = 0$ માં મૂકતા: $-1 + y + 5 = 0 \Rightarrow y = -4$.
તેથી,છેદબિંદુ $(-1, -4)$ છે.
જરૂરી અંતર એ $(1, 2)$ અને $(-1, -4)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ: $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.

(B) રેખાઓ $3x + 4y = 9$ અને $6x + 8y = 15$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે તેમને $ax + by + c = 0$ સ્વરૂપમાં લખીએ.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $3x + 4y = 7.5$ અથવા $3x + 4y - 7.5 = 0$ મળે છે.
પ્રથમ સમીકરણ $3x + 4y - 9 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 4$,$c_1 = -9$,અને $c_2 = -7.5$ છે.
$d = \left| \frac{-9 - (-7.5)}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \left| \frac{-1.5}{5} \right| = \frac{3}{10} \text{ એકમ}$.