Distance between two lines, Perpendicular distance of the line from a point, Position of point w.r.t. line Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $P(\alpha, \beta)$ એ રેખા $2x + 3y + 7 = 0$ પરનું બિંદુ છે.
તેથી $2\alpha + 3\beta + 7 = 0$,એટલે કે $\beta = \frac{-7-2\alpha}{3}$.
બિંદુ $P$ એ $\left(\alpha, \frac{-7-2\alpha}{3}\right)$ છે.
બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ અને $A(1, -3)$ વચ્ચેનું અંતર $3$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(\alpha - 1)^2 + \left(\frac{-7-2\alpha}{3} + 3\right)^2 = 3^2$.
ગણતરી કરતા,$(\alpha - 1)^2 = \frac{81}{13}$ મળે છે.
તેથી $\alpha = 1 \pm \frac{9}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13} \pm 9}{\sqrt{13}}$.
જ્યારે $\alpha = \frac{\sqrt{13}-9}{\sqrt{13}}$ હોય,ત્યારે $\beta = \frac{-3\sqrt{13} + 6}{\sqrt{13}}$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $\left(\frac{\sqrt{13}-9}{\sqrt{13}}, \frac{-3\sqrt{13}+6}{\sqrt{13}}\right)$ છે.

(B) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ રેખા $x \sec \theta + y \operatorname{cosec} \theta - k = 0$ માટે,$p = \frac{|-k|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta}} = \frac{|k|}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2 \theta} + \frac{1}{\sin^2 \theta}}} = \frac{|k| \sin \theta \cos \theta}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |k| \sin \theta \cos \theta = \frac{|k|}{2} \sin 2\theta$.
તેથી,$p^2 = \frac{k^2}{4} \sin^2 2\theta$.
બીજી રેખા $x \cos \theta - y \sin \theta - k \cos 2\theta = 0$ માટે,$q = \frac{|-k \cos 2\theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = |k \cos 2\theta|$.
તેથી,$q^2 = k^2 \cos^2 2\theta$.
હવે,$4p^2 + q^2 = 4 \left( \frac{k^2}{4} \sin^2 2\theta \right) + k^2 \cos^2 2\theta = k^2 \sin^2 2\theta + k^2 \cos^2 2\theta = k^2 (\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) = k^2$.
તેથી,$4p^2 + q^2 = k^2$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ પરના લંબની લંબાઈ $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ છે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, -2)$ અને રેખા $12x + 5y + 63 = 0$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \left| \frac{12(1) + 5(-2) + 63}{\sqrt{12^2 + 5^2}} \right|$
$d = \left| \frac{12 - 10 + 63}{\sqrt{144 + 25}} \right|$
$d = \left| \frac{65}{\sqrt{169}} \right|$
$d = \left| \frac{65}{13} \right| = 5 \text{ એકમ.}$

(A) ધારો કે રેખા $L(x, y) = 3x - 4y - 8 = 0$ છે.
બિંદુ $Q(1, 1)$ માટે,$L(1, 1) = 3(1) - 4(1) - 8 = -9$.
$L(1, 1) < 0$ હોવાથી,$P(\alpha, \beta)$ વિરુદ્ધ બાજુએ હોવા માટે $L(\alpha, \beta) > 0$ થવું જોઈએ.
$P(\alpha, \beta)$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $3\alpha - 4\beta - 8 > 0$.
$P$ એ $3x + y = 0$ પર હોવાથી,$\beta = -3\alpha$ મળે.
અસમતામાં $\beta = -3\alpha$ મૂકતા: $3\alpha - 4(-3\alpha) - 8 > 0$.
$15\alpha > 8 \Rightarrow \alpha > \frac{8}{15}$.
હવે,$\alpha = -\frac{\beta}{3}$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$3(-\frac{\beta}{3}) - 4\beta - 8 > 0$ $\Rightarrow -5\beta > 8$ $\Rightarrow \beta < -\frac{8}{5}$.
આમ,$\alpha > \frac{8}{15}$ અને $\beta < -\frac{8}{5}$.

(C) ધારો કે રેખા $x+y+3=0$ પરનું બિંદુ $(x, y)$ છે. તેથી,$y = -x-3$. બિંદુ $(x, -x-3)$ છે.
આ બિંદુનું રેખા $x+2y+2=0$ થી અંતર $\frac{|x+2(-x-3)+2|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{5}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{|x-2x-6+2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies |-x-4| = 5$.
$|x+4| = 5 \implies x+4 = 5$ અથવા $x+4 = -5$.
તેથી,$x_1 = 1$ અને $x_2 = -9$.
$|x_1-x_2| = |1 - (-9)| = |10| = 10$.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x \sec \theta - y \operatorname{cosec} \theta = a$ $(i)$
$x \cos \theta + y \sin \theta = a \cos 2 \theta$ $(ii)$
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
રેખા $(i)$ માટે:
$p = \frac{|-a|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta}} = a \sin \theta \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2 \theta$.
તેથી,$2p = a \sin 2 \theta$.
રેખા $(ii)$ માટે:
$q = \frac{|-a \cos 2 \theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = a \cos 2 \theta$.
હવે,$4p^2 + q^2$ ની ગણતરી કરતા:
$4p^2 + q^2 = (a \sin 2 \theta)^2 + (a \cos 2 \theta)^2 = a^2 (\sin^2 2 \theta + \cos^2 2 \theta) = a^2$.

(D) આપેલ બિંદુઓ $(1, \pi)$,$(1, 0^{\circ})$ અને $(1, \frac{\pi}{2})$ ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં છે.
તેને કાર્તેઝિયન યામ $(x, y) = (r \cos \theta, r \sin \theta)$ માં ફેરવતા:
$(1, \pi) \rightarrow (-1, 0)$
$(1, 0^{\circ}) \rightarrow (1, 0)$
$(1, \frac{\pi}{2}) \rightarrow (0, 1)$
$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ છે.
બિંદુ $(-1, 0)$ થી રેખા $x + y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર:
$d = \frac{|1(-1) + 1(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(D) ધારો કે $f(x, y) = 5x - 6y + k$.
બિંદુઓ $(2, 3)$ અને $(-4, -4/3)$ વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,$f(2, 3) \cdot f(-4, -4/3) < 0$.
$f(2, 3) = k - 8$ અને $f(-4, -4/3) = k - 12$.
તેથી,$(k - 8)(k - 12) < 0$,એટલે કે $8 < k < 12$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k \in \{9, 10, 11\}$.
બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(4, 5)$ એક જ બાજુએ હોવાથી,$(k - 7)(k - 10) > 0$.
$k = 11$ માટે આ શરત સંતોષાય છે.
રેખા $5x - 6y + 11 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર $d = \frac{|11|}{\sqrt{5^2 + (-6)^2}} = \frac{11}{\sqrt{61}}$.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+2y=3$ અને $3x+6y=a-2$ છે.
સુરેખ સમીકરણો $a_1x+b_1y=c_1$ અને $a_2x+b_2y=c_2$ ની સિસ્ટમનો કોઈ ઉકેલ ન હોય તે માટેની શરત $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે.
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1=1, b_1=2, c_1=3$ અને $a_2=3, b_2=6, c_2=a-2$ મળે છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \neq \frac{3}{a-2}$.
કારણ કે $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ હંમેશા સાચું છે,આપણે અસમતા $\frac{1}{3} \neq \frac{3}{a-2}$ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીએ છીએ.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $a-2 \neq 3 \times 3$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $a-2 \neq 9$ થાય છે.
તેથી,$a \neq 11$.

(B) બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે રેખાઓ $L_1: 3x + 4y + 5 = 0$ અને $L_2: 3x + 4y - 5 = 0$ છે.
રેખા $L: 3x + 4y + \lambda = 0$ એ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેના અંતરને $3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$L$ અને $L_1$ વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|\lambda - 5|}{5}$ છે.
$L$ અને $L_2$ વચ્ચેનું અંતર $d_2 = \frac{|\lambda + 5|}{5}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{7}$,તેથી $\frac{|\lambda - 5|}{|\lambda + 5|} = \frac{3}{7}$.
$-5 < \lambda < 5$ ધારતા,$\frac{5 - \lambda}{\lambda + 5} = \frac{3}{7}$ મળે.
$7(5 - \lambda) = 3(\lambda + 5) \Rightarrow 35 - 7\lambda = 3\lambda + 15$.
$10\lambda = 20 \Rightarrow \lambda = 2$.

(C) શિરોબિંદુ $A(2,3)$ એ રેખા $12x+5y-65=0$ પર આવેલું નથી,તેથી $A$ થી પાયા $BC$ પરનો લંબ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $\triangle ABC$ નો વેધ $AD$ છે.
વેધ $AD$ ની લંબાઈ બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax+by+c=0$ ના લંબ અંતરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$AD = \left|\frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|$
$AD = \left|\frac{12(2)+5(3)-65}{\sqrt{12^2+5^2}}\right| = \left|\frac{24+15-65}{\sqrt{144+25}}\right| = \left|\frac{39-65}{\sqrt{169}}\right| = \left|\frac{-26}{13}\right| = 2$
સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $s$ હોય,તો વેધ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$ થાય.
તેથી,$s = \frac{2}{\sqrt{3}} \times h$.
$h = AD = 2$ મૂકતા:
$s = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 2 = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(A) રેખા $L$ નો ઢાળ $-\cot \alpha$ છે.
રેખા $x + y + 1 = 0$ નો ઢાળ $-1$ છે.
બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$(-\cot \alpha)(-1) = -1$ $\Rightarrow \cot \alpha = -1$ $\Rightarrow \tan \alpha = -1$.
$\alpha$ ચોથા ચરણમાં હોવાથી,$\alpha = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ થી $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ નું લંબ અંતર:
$\left| \sqrt{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha - p \right| = 5$.
$\alpha = \frac{7\pi}{4}$ મૂકતા:
$\cos \frac{7\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\left| \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) - p \right| = 5$.
$|1 - 1 - p| = 5 \Rightarrow |-p| = 5$.
$p$ ધન હોવાથી,$p = 5$.

(B) કારણ કે $P(a, 2)$ અને $Q(1, b)$ એ રેખા $2x - 3y + 1 = 0$ ની સામસામેની બાજુએ આવેલા છે,તેથી બિંદુઓને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા મળતી કિંમતોનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ:
$(2a - 3(2) + 1)(2(1) - 3b + 1) < 0$
$(2a - 5)(3 - 3b) < 0$
$(2a - 5)(1 - b) < 0$
$P(a, 2)$ એ $4x + 3y + k = 0$ અને $3x + 4y + k = 0$ નું છેદબિંદુ હોવાથી:
$4a + 3(2) + k = 0 \Rightarrow 4a + 6 + k = 0$
$3a + 4(2) + k = 0 \Rightarrow 3a + 8 + k = 0$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(4a + 6 + k) - (3a + 8 + k) = 0$ $\Rightarrow a - 2 = 0$ $\Rightarrow a = 2$.
$a = 2$ ને અસમતામાં મૂકતા:
$(2(2) - 5)(1 - b) < 0$
$(4 - 5)(1 - b) < 0$
$-(1 - b) < 0$
$b - 1 < 0 \Rightarrow b < 1$.
આમ,$b \in (-\infty, 1)$.

(D) ધારો કે $X$-અંતઃખંડ $a$ છે અને $Y$-અંતઃખંડ $2a$ છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{2a} = 1$ છે.
$2a$ વડે ગુણતા,આપણને $2x + y = 2a$ મળે,અથવા $2x + y - 2a = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $1$ આપેલું છે.
$(x_1, y_1)$ થી $Ax + By + C = 0$ નું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{|2(0) + 1(0) - 2a|}{\sqrt{2^2 + 1^2}}$.
$1 = \frac{|-2a|}{\sqrt{5}}$.
$|2a| = \sqrt{5}$,જેનો અર્થ છે કે $2a = \pm \sqrt{5}$.
$2a$ ની કિંમત $2x + y = 2a$ માં મૂકતા,આપણને $2x + y = \pm \sqrt{5}$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: 2x - 3y + 4 = 0$ અને $L_2: 6x - 9y + 7 = 0$ છે.
અહીં $L_1$ અને $L_2$ સમાંતર છે.
રેખા $L$ એ $L_1$ અને $L_2$ ને લંબ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $3x + 2y + C = 0$ સ્વરૂપનું હશે.
$P(1, 1)$ બિંદુ $L$ પર હોવાથી,$3(1) + 2(1) + C = 0 \implies C = -5$. તેથી $L: 3x + 2y - 5 = 0$.
$A$ એ $L_1$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે: $A = (7/13, 22/13)$.
$B$ એ $L_2$ અને $L$ નું છેદબિંદુ છે: $B = (31/39, 3/13)$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ એ $AB$ નું $9:4$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.

(A) બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ રેખાઓ $3x - 2y + 5 = 0$ અને $3x - 2y + C = 0$ છે.
અહીં,$a = 3$,$b = -2$,$c_1 = 5$,$c_2 = C$,અને $d = 5$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{|C - 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}}$
$5 = \frac{|C - 5|}{\sqrt{9 + 4}}$
$5 = \frac{|C - 5|}{\sqrt{13}}$
$|C - 5| = 5\sqrt{13}$
$C - 5 = \pm 5\sqrt{13}$
$C = 5 \pm 5\sqrt{13} = 5(1 \pm \sqrt{13})$.

(D) શિરોબિંદુઓ $O(0,0), B(-3,-1), C(-1,-3)$ છે.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ $x + y + 4 = 0$ છે.
$O(0,0)$ થી $BC$ પરના વેધની લંબાઈ $h = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
રેખા $DE$ નું સમીકરણ $x + y + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$ છે.
$O(0,0)$ થી $DE$ નું અંતર $d = \frac{1}{2}$ છે.
રેખા $DE$ એ વેધનું $d : (h - d)$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ગુણોત્તર $1 : (4\sqrt{2} - 1)$ મળે છે.

(C) બે સમાંતર રેખાઓ $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ અને $\sqrt{3}x + y + 9 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|9 - (-6)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{15}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{15}{2}$.
$d$ ઊંચાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,બાજુની લંબાઈ $s$ માટે $d = s \sin 60^{\circ} = s \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય,તેથી $s = \frac{2d}{\sqrt{3}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{2d}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{d^2}{\sqrt{3}}$ છે.
$d = \frac{15}{2}$ મૂકતા,ક્ષેત્રફળ $\left( \frac{15}{2} \right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{225}{4 \sqrt{3}}$ ચોરસ એકમ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: 2x+2y+3=0$ અને $L_2: 3x+3y+2=0$ છે.
$L_1$ ને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x+y+\frac{3}{2}=0$ મળે છે.
$L_2$ ને $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x+y+\frac{2}{3}=0$ મળે છે.
બંને રેખાઓનો ઢાળ $-1$ હોવાથી,તેઓ સમાંતર છે.
રેખા $L_3: x-y+1=0$ નો ઢાળ $1$ છે.
$L_1$ (અથવા $L_2$) અને $L_3$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $(-1) \times (1) = -1$ હોવાથી,રેખા $L_3$ બંને સમાંતર રેખાઓને લંબ છે.
છેદબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $AB$ એ બે સમાંતર રેખાઓ $x+y+\frac{3}{2}=0$ અને $x+y+\frac{2}{3}=0$ વચ્ચેનું લંબ અંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax+by+c_1=0$ અને $ax+by+c_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a=1, b=1, c_1=\frac{3}{2}, c_2=\frac{2}{3}$.
$AB = \frac{|\frac{3}{2}-\frac{2}{3}|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|\frac{9-4}{6}|}{\sqrt{2}} = \frac{5}{6\sqrt{2}}$.

(B) ધારો કે $L_1(x, y) = x+2y-5$ અને $L_2(x, y) = 3x-y+1$. ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ માટે $L_1(0,0) = -5 < 0$ અને $L_2(0,0) = 1 > 0$ મળે છે.
બિંદુ $P(K^2, K+1)$ ઉગમબિંદુની જેમ સમાન પ્રદેશમાં રહે તે માટે,તેણે $L_1(K^2, K+1) < 0$ અને $L_2(K^2, K+1) > 0$ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ.
$1$) $L_1(K^2, K+1) = K^2 + 2(K+1) - 5 = K^2 + 2K - 3 < 0$.
$(K+3)(K-1) < 0 \implies K \in (-3, 1)$.
$2$) $L_2(K^2, K+1) = 3K^2 - (K+1) + 1 = 3K^2 - K > 0$.
$K(3K-1) > 0 \implies K \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$.
બંને શરતોનો છેદ લેતા: $K \in (-3, 0) \cup (1/3, 1)$.
$K$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$K$ ની શક્ય કિંમતો $\{-2, -1\}$ છે.
આમ,આવા $2$ બિંદુઓ $P$ શક્ય છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું લંબ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ છે.
આપેલ બિંદુ $(1, 1)$,રેખા $3x + 4y + c = 0$ અને અંતર $d = 7$ માટે:
$7 = \left| \frac{3(1) + 4(1) + c}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right|$
$7 = \left| \frac{7 + c}{5} \right|$
$|7 + c| = 35$
આથી $7 + c = 35$ અથવા $7 + c = -35$ થાય.
જો $7 + c = 35$,તો $c = 28$.
જો $7 + c = -35$,તો $c = -42$.
આમ,$c$ ની શક્ય કિંમતો $28$ અને $-42$ છે.

(A) બિંદુઓ $A(k, 2k), B(3k, 3k)$,અને $C(3, 1)$ સમરેખ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન થાય.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{3k - 2k}{3k - k} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 3k}{3 - 3k}$.
ઢાળ સરખાવતા: $\frac{1}{2} = \frac{1 - 3k}{3 - 3k}$.
ગુણાકાર કરતા: $3 - 3k = 2(1 - 3k)$ $\Rightarrow 3 - 3k = 2 - 6k$ $\Rightarrow 3k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{3}$.
$B(-1, -1)$ અને $C(3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $y - 1 = \frac{1 - (-1)}{3 - (-1)}(x - 3)$.
$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 3)$ $\Rightarrow 2y - 2 = x - 3$ $\Rightarrow x - 2y - 1 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
$3x - 2y + 5 = 0$ અને $3x - 2y + 5 + 2\sqrt{13} = 0$ માટે,$d = \frac{|5 - (5 + 2\sqrt{13})|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 2$.
$L_1: 3x - 2y + k_1 = 0$ એ $3x - 2y + 5 = 0$ થી $\frac{4d}{\sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{13}}$ અંતરે છે,તેથી $\frac{|k_1 - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{8}{\sqrt{13}} \Rightarrow |k_1 - 5| = 8$. $k_1 > 0$ હોવાથી,$k_1 = 13$.
$L_2: 3x - 2y + k_2 = 0$ એ $3x - 2y + 5 = 0$ થી $\frac{3d}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ અંતરે છે,તેથી $\frac{|k_2 - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}} \Rightarrow |k_2 - 5| = 6$. $k_2 > 0$ હોવાથી,$k_2 = 11$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - 2y + 13)(3x - 2y + 11) = 0$ છે.
$u = 3x - 2y$ લેતા,$(u + 13)(u + 11) = u^2 + 24u + 143 = 0$.
તેથી,$(3x - 2y)^2 + 24(3x - 2y) + 143 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ સમાંતર રેખાઓ $4x + 2y - 9 = 0$ અને $2x + y + 6 = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણને $2x + y = \frac{9}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
બીજું સમીકરણ $2x + y = -6$ છે.
ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $y = mx$ છે. આ કિંમત સમીકરણોમાં મૂકતા:
$P$ માટે: $2x + mx = \frac{9}{2} \Rightarrow x_P = \frac{9}{2(2+m)}$,$y_P = \frac{9m}{2(2+m)}$.
$Q$ માટે: $2x + mx = -6 \Rightarrow x_Q = \frac{-6}{2+m}$,$y_Q = \frac{-6m}{2+m}$.
બિંદુ $O(0,0)$ દ્વારા $PQ$ નું વિભાજન ગુણોત્તર $\frac{OP}{OQ} = \frac{|x_P|}{|x_Q|} = \frac{9/2(2+m)}{6/(2+m)} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ છે.
આમ,બિંદુ $O$ એ $PQ$ નું $3: 4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(B) ધારો કે $(h, k)$ એ રેખા $7x - 9y + 10 = 0$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. તેથી,$7h - 9k + 10 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $h = \frac{9k - 10}{7}$.
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ નું લંબ અંતર $d_{1} = \frac{|3h + 4k - 5|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|3h + 4k - 5|}{5}$ છે.
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $12x + 5y - 7 = 0$ નું લંબ અંતર $d_{2} = \frac{|12h + 5k - 7|}{\sqrt{12^{2} + 5^{2}}} = \frac{|12h + 5k - 7|}{13}$ છે.
$h = \frac{9k - 10}{7}$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$3h + 4k - 5 = 3(\frac{9k - 10}{7}) + 4k - 5 = \frac{55k - 65}{7} = \frac{5(11k - 13)}{7}$.
તેથી,$d_{1} = \frac{|11k - 13|}{7}$.
$12h + 5k - 7 = 12(\frac{9k - 10}{7}) + 5k - 7 = \frac{143k - 169}{7} = \frac{13(11k - 13)}{7}$.
તેથી,$d_{2} = \frac{|11k - 13|}{7}$.
આમ,$d_{1} = d_{2}$ મળે છે.

(B, D) ધારો કે $(h, k)$ એ રેખા $x+y+1=0$ પરનું બિંદુ છે.
તેથી,$h+k+1=0,$ એટલે કે $h = -k-1.$
બિંદુ $(h, k)$ થી રેખા $3x+4y+2=0$ નું લંબ અંતર $\frac{|3h+4k+2|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$ છે.
$h = -k-1$ મૂકતા:
$\frac{|3(-k-1)+4k+2|}{5} = \frac{1}{5}$
$|k-1| = 1$
આથી,$k-1 = 1 \implies k=2$ (જેથી $h=-3$) અથવા $k-1 = -1 \implies k=0$ (જેથી $h=-1$).
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(-3, 2)$ અને $(-1, 0)$ છે.

(B) ધારો કે રેખા $x+y=4$ પરનું બિંદુ $P(h, 4-h)$ છે.
બિંદુ $P(h, 4-h)$ થી રેખા $4x+3y-10=0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|4h + 3(4-h) - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$ છે.
$d=1$ આપેલ હોવાથી,$\frac{|4h + 12 - 3h - 10|}{5} = 1$.
$|h + 2| = 5$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $h+2 = 5 \implies h = 3$. બિંદુ $(3, 4-3) = (3, 1)$ છે.
કિસ્સો $2$: $h+2 = -5 \implies h = -7$. બિંદુ $(-7, 4-(-7)) = (-7, 11)$ છે.
આમ,યામ $(3, 1)$ અને $(-7, 11)$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x+y-4=0$ અને $L_2: 2x+2y-5=0$ છે,જેને $x+y-2.5=0$ તરીકે લખી શકાય.
બંને રેખાઓનો ઢાળ સમાન $(-1)$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax+by+c_1=0$ અને $ax+by+c_2=0$ વચ્ચેનું લંબ અંતર $d = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$d = \frac{|-4 - (-2.5)|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-1.5|}{\sqrt{2}} = \frac{1.5}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} \approx 1.06$.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $\approx 1.06$ છે,જે $1$ કરતા વધારે છે,તેથી રેખા $x+y=4$ પર એવું કોઈ બિંદુ નથી જે રેખા $2x+2y=5$ થી $1$ એકમ અંતરે હોય.
આમ,આવા બિંદુઓની સંખ્યા $0$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P = (2, -3)$ અને બિંદુ $Q = (-1, 2)$ છે.
$P$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું $Q$ થી અંતર વધુમાં વધુ $PQ$ જેટલું હોય.
અંતર $PQ = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
અહીં $\sqrt{34} \approx 5.83$ છે,અને આપણે $Q$ થી $8$ ના અંતરે રહેલી રેખા શોધવી છે,જ્યાં $8 > \sqrt{34}$ છે.
બિંદુથી રેખાનું લંબ અંતર તે બિંદુ અને રેખા પરના નિશ્ચિત બિંદુ વચ્ચેના અંતર કરતા વધી શકતું નથી,તેથી આવી કોઈ રેખા શક્ય નથી.
આમ,આવી રેખાઓની સંખ્યા $0$ છે.

(C) બિંદુ $P(2,3)$ માંથી પસાર થતી અને $\theta$ ખૂણો બનાવતી રેખાને પ્રાચલ સ્વરૂપમાં $(x, y) = (2 + r\cos\theta, 3 + r\sin\theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય,જ્યાં $r = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
આ બિંદુ રેખા $x+y=6$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામો મૂકીએ:
$(2 + r\cos\theta) + (3 + r\sin\theta) = 6$
$r(\cos\theta + \sin\theta) + 5 = 6$
$\sqrt{\frac{2}{3}}(\cos\theta + \sin\theta) = 1$
$\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{\frac{3}{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\cos\theta + \sin\theta)^2 = \frac{3}{2}$
$1 + \sin(2\theta) = \frac{3}{2}$
$\sin(2\theta) = \frac{1}{2}$
આમ,$2\theta = \frac{\pi}{6}$ અથવા $2\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
તેથી,$\theta_1 = \frac{\pi}{12}$ અને $\theta_2 = \frac{5\pi}{12}$.
ખૂણાઓનો સરવાળો: $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$.

(D) લંબચોરસ $x=0, x=3, y=0, y=4$ દ્વારા સીમિત છે. લંબચોરસનું કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, 2)$ છે.
કોઈપણ રેખા જે લંબચોરસને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે તે તેના કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, 2)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ.
રેખા $L$ એ $3x+y+6=0$ ને લંબ છે. $3x+y+6=0$ નો ઢાળ $-3$ છે,તેથી રેખા $L$ નો ઢાળ $\frac{1}{3}$ છે.
$(\frac{3}{2}, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 2 = \frac{1}{3}(x - \frac{3}{2})$
$3y - 6 = x - \frac{3}{2}$
$6y - 12 = 2x - 3$
$2x - 6y + 9 = 0$.
બિંદુ $(\frac{1}{2}, -5)$ નું રેખા $2x - 6y + 9 = 0$ થી અંતર:
$d = \frac{|2(\frac{1}{2}) - 6(-5) + 9|}{\sqrt{2^2 + (-6)^2}}$
$d = \frac{|1 + 30 + 9|}{\sqrt{4 + 36}}$
$d = \frac{40}{\sqrt{40}} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.