Distance between two lines, Perpendicular distance of the line from a point, Position of point w.r.t. line Questions in Gujarati

(B) રેખા $ax + by + c = 0$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $(x_1, y_1) = (3, -4)$ નું સ્થાન નક્કી કરવા માટે,જ્યાં $a = 3, b = -4, c = 5$,આપણે $ax_1 + by_1 + c$ ની કિંમત શોધીએ.
કિંમતો મૂકતાં: $3(3) - 4(-4) + 5 = 9 + 16 + 5 = 30$.
અહીં $30$ એ ધન છે અને અચળ પદ $c = 5$ પણ ધન હોવાથી,બિંદુ $(3, -4)$ એ રેખાની ઉગમબિંદુ તરફની બાજુએ આવેલું છે.

(B) $x - y + 1 = 0$ રેખાનો ઢાળ $1$ છે. તેથી તે $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$(2, 3)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી અને $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 2}{\cos 45^{\circ}} = \frac{y - 3}{\sin 45^{\circ}} = r$ છે.
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(2 + \frac{r}{\sqrt{2}}, 3 + \frac{r}{\sqrt{2}})$ થાય.
જો આ બિંદુ $2x - 3y + 9 = 0$ રેખા પર હોય,તો $2(2 + \frac{r}{\sqrt{2}}) - 3(3 + \frac{r}{\sqrt{2}}) + 9 = 0$.
$4 + \frac{2r}{\sqrt{2}} - 9 - \frac{3r}{\sqrt{2}} + 9 = 0$.
$4 - \frac{r}{\sqrt{2}} = 0 \implies r = 4\sqrt{2}$.
તેથી,માંગેલ અંતર $4\sqrt{2}$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $x = 3$ અને $x = 8$ એ $Y$-અક્ષને સમાંતર છે.
આ બંને રેખાઓથી સમાન અંતરે આવેલી રેખા પણ $Y$-અક્ષને સમાંતર હશે અને તેનું સ્વરૂપ $x = k$ હશે.
રેખા $x = k$ એ $x = 3$ અને $x = 8$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$x = k$ અને $x = 3$ વચ્ચેનું અંતર એ $x = 8$ અને $x = k$ વચ્ચેના અંતર જેટલું જ હોય.
તેથી,$k - 3 = 8 - k$.
$2k = 11$
$k = \frac{11}{2}$
આમ,માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $x = \frac{11}{2}$ છે,જેને $2x - 11 = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(C) ધારો કે માંગેલ બિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે. બિંદુ $P$ એ રેખા $x + y = 4$ પર હોવાથી,$y_1 = 4 - x_1$ મળે.
બિંદુ $P(x_1, y_1)$ થી રેખા $4x + 3y - 10 = 0$ નું લંબ અંતર $1$ છે.
સૂત્ર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|4x_1 + 3(4 - x_1) - 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 1$
$\frac{|4x_1 + 12 - 3x_1 - 10|}{5} = 1$
$|x_1 + 2| = 5$
આના પરથી બે કિસ્સા મળે:
કિસ્સો $1$: $x_1 + 2 = 5 \implies x_1 = 3$. તેથી $y_1 = 4 - 3 = 1$. બિંદુ $(3, 1)$ મળે.
કિસ્સો $2$: $x_1 + 2 = -5 \implies x_1 = -7$. તેથી $y_1 = 4 - (-7) = 11$. બિંદુ $(-7, 11)$ મળે.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(3, 1)$ અને $(-7, 11)$ છે.

(C) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $f(x, y) = x + 2y - 3 = 0$ છે.
બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના યામ $f(x, y)$ માં મૂકતા:
$A(-1, 3)$ માટે: $f(-1, 3) = -1 + 2(3) - 3 = -1 + 6 - 3 = 2 > 0$.
$B(2, -3)$ માટે: $f(2, -3) = 2 + 2(-3) - 3 = 2 - 6 - 3 = -7 < 0$.
$C(4, 9)$ માટે: $f(4, 9) = 4 + 2(9) - 3 = 4 + 18 - 3 = 19 > 0$.
અહીં $f(A)$ અને $f(C)$ નું ચિન્હ સમાન (ધન) છે અને $f(B)$ નું ચિન્હ અલગ (ઋણ) છે,તેથી બિંદુઓ $A$ અને $C$ રેખાની એક બાજુ પર છે,જ્યારે બિંદુ $B$ રેખાની બીજી બાજુ પર છે.

(A) રેખા $x \sec \theta + y \csc \theta = a$ પર $(0, 0)$ થી લંબની લંબાઈ:
$P_1 = \frac{|-a|}{\sqrt{\sec^2 \theta + \csc^2 \theta}} = a \sin \theta \cos \theta = \frac{a}{2} \sin 2\theta$.
તેથી,$2P_1 = a \sin 2\theta$.
રેખા $x \cos \theta - y \sin \theta = a \cos 2\theta$ પર $(0, 0)$ થી લંબની લંબાઈ:
$P_2 = \frac{|-a \cos 2\theta|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = a \cos 2\theta$.
હવે,$4P_1^2 + P_2^2$ ની ગણતરી કરતા:
$4P_1^2 + P_2^2 = (2P_1)^2 + P_2^2 = (a \sin 2\theta)^2 + (a \cos 2\theta)^2 = a^2 (\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) = a^2$.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: 2x + 3y - 7 = 0$ અને $L_2: 2x + 3y - 12 = 0$ છે.
બિંદુ $A(3, -5)$ માટે પદાવલિઓની કિંમત:
$L_1(3, -5) = 2(3) + 3(-5) - 7 = -16 < 0$.
$L_2(3, -5) = 2(3) + 3(-5) - 12 = -21 < 0$.
બંને કિંમતો સમાન ચિહ્ન ધરાવતી હોવાથી,બિંદુ $A$ રેખાઓની વચ્ચે નથી.
$A$ થી $L_1$ નું લંબઅંતર $d_1 = \frac{|-16|}{\sqrt{13}} = \frac{16}{\sqrt{13}}$.
$A$ થી $L_2$ નું લંબઅંતર $d_2 = \frac{|-21|}{\sqrt{13}} = \frac{21}{\sqrt{13}}$.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|-7 - (-12)|}{\sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}}$.
તેથી,આપેલ વિકલ્પો $A, B, C$ માંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ પરના લંબની લંબાઈનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, 1)$ અને રેખા $3x - 4y + 8 = 0$ છે.
અહીં,$A = 3$,$B = -4$,અને $C = 8$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|3(2) - 4(1) + 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$d = \frac{|6 - 4 + 8|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{|10|}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{10}{5} = 2$.
તેથી,લંબની લંબાઈ $2$ છે.

(D) આપેલ રેખા $L: \frac{x}{5} + \frac{y}{b} = 1$ એ $(13, 32)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુને $L$ માં મૂકતા: $\frac{13}{5} + \frac{32}{b} = 1 \implies \frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$.
તેથી,$b = \frac{32 \times 5}{-8} = -20$.
$L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{5} - \frac{y}{20} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x - y - 20 = 0$ થાય છે.
રેખા $K: \frac{x}{c} + \frac{y}{3} = 1$ એ $L$ ને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ. $L$ નો ઢાળ $4$ છે. $K$ નો ઢાળ $-\frac{1/c}{1/3} = -\frac{3}{c}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $4 = -\frac{3}{c} \implies c = -\frac{3}{4}$.
$c$ ની કિંમત $K$ માં મૂકતા: $\frac{x}{-3/4} + \frac{y}{3} = 1 \implies -\frac{4x}{3} + \frac{y}{3} = 1 \implies 4x - y + 3 = 0$.
સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$A = 4, B = -1, C_1 = -20, C_2 = 3$.
$d = \frac{|-20 - 3|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-23|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x + y - 1 = 0$ અને $L_2: 2x + 2y - 3 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, a)$ આ બે રેખાઓની વચ્ચે આવેલું હોવાથી,$L_1(1, a)$ અને $L_2(1, a)$ ના મૂલ્યો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
ધારો કે $f(x, y) = x + y - 1$ અને $g(x, y) = 2x + 2y - 3$.
$(1, a)$ આગળ,$f(1, a) = 1 + a - 1 = a$.
$(1, a)$ આગળ,$g(1, a) = 2(1) + 2(a) - 3 = 2a - 1$.
બિંદુ રેખાઓની વચ્ચે હોવાથી,$f(1, a) \cdot g(1, a) < 0$.
તેથી,$a(2a - 1) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $a$ એ $a(2a - 1) = 0$ ના બીજ $0$ અને $1/2$ ની વચ્ચે હોય.
આમ,$a \in (0, 1/2)$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીના લંબ અંતર $d$ નું સૂત્ર: $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે,તેથી $x_1 = 0$ અને $y_1 = 0$.
રેખાનું સમીકરણ $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ છે,જ્યાં $A = \sqrt{3}$,$B = -1$,અને $C = 2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|\sqrt{3}(0) - (0) + 2|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|2|}{\sqrt{3 + 1}}$
$d = \frac{2}{\sqrt{4}}$
$d = \frac{2}{2} = 1$.
આમ,લંબની લંબાઈ $1$ છે.

(A) રેખાનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
આને $\frac{bx + ay}{ab} = 1$ તરીકે લખી શકાય,જે $bx + ay - ab = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીના લંબ અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે,તેથી $x_1 = 0$ અને $y_1 = 0$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|b(0) + a(0) - ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}}$.
$d = \frac{|-ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
આમ,લંબની લંબાઈ $\frac{|ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.

(C) સમીકરણ $|x + y| = 2$ એ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે: $x + y = 2$ અને $x + y = -2$।
બિંદુ $(a, a)$ એ રેખા $y = x$ પર આવેલું છે.
$a$ ની એવી કિંમત શોધવા માટે કે જેથી બિંદુ $(a, a)$ આ બે રેખાઓની વચ્ચે આવે,આપણે રેખાઓના સમીકરણોમાં $x = a$ અને $y = a$ મૂકીએ:
$x + y = 2$ માટે,આપણને $a + a = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $2a = 2$,તેથી $a = 1$.
$x + y = -2$ માટે,આપણને $a + a = -2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $2a = -2$,તેથી $a = -1$.
બિંદુ $(a, a)$ એ રેખાઓ $x + y = 2$ અને $x + y = -2$ ની વચ્ચે હોવું જોઈએ,તેથી $a$ ની કિંમત $-1 < a < 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
આ અસમતા $|a| < 1$ ને સમાન છે.

(C) બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
આપેલ રેખાઓ $5x + 12y + 13 = 0$ અને $5x + 12y - 9 = 0$ છે.
અહીં,$A = 5$,$B = 12$,$C_1 = 13$,અને $C_2 = -9$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|13 - (-9)|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}$
$d = \frac{|13 + 9|}{\sqrt{25 + 144}}$
$d = \frac{22}{\sqrt{169}}$
$d = \frac{22}{13}$.

(D) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $y = 2x + 4$ અને $6x = 3y + 5$ છે.
તેમને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax + by + c = 0$ માં લખતા:
$2x - y + 4 = 0$
$6x - 3y - 5 = 0 \Rightarrow 2x - y - \frac{5}{3} = 0$
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 2$,$b = -1$,$c_1 = 4$,અને $c_2 = -\frac{5}{3}$ છે.
$d = \frac{|4 - (-\frac{5}{3})|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|4 + \frac{5}{3}|}{\sqrt{4 + 1}}$
$d = \frac{|\frac{12 + 5}{3}|}{\sqrt{5}}$
$d = \frac{17}{3\sqrt{5}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$d = \frac{17\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{17\sqrt{5}}{15}$

(A) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે,જેને $bx + ay - ab = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ઉદગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $p = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$p = \frac{|-ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{|ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$p^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{p^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$.
$4$ વડે ગુણતા,$\frac{4}{p^2} = \frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2}$ મળે,જે $\frac{1}{p^2/4} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ છે.
આમ,$a^2, 4p^2, b^2$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) રેખા $L$ એ $(13, 32)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{13}{5} + \frac{32}{b} = 1$ $\Rightarrow \frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$ $\Rightarrow b = -20$.
આમ,રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x}{5} - \frac{y}{20} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x - y = 20$ થાય છે.
રેખા $K$ એ $L$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $4x - y = k$ સ્વરૂપમાં હશે.
રેખા $K$ નું સમીકરણ $\frac{x}{c} + \frac{y}{3} = 1$ આપેલ છે,જેને $y = -\frac{3}{c}x + 3$ તરીકે લખી શકાય. $L$ નો ઢાળ $4$ હોવાથી,$K$ નો ઢાળ $-\frac{3}{c} = 4$ થશે,જેનો અર્થ છે $c = -\frac{3}{4}$.
$c$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $-4x + y = 3$ અથવા $4x - y = -3$ મળે છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$A = 4, B = -1, C_1 = -20, C_2 = 3$.
$d = \frac{|-20 - 3|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-23|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = 0$ છે,જેને $x \cos^2 \alpha + y \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $({m^2}, 2m)$ માટે,$p_1 = (m \cos \alpha + \sin \alpha)^2$.
તે જ રીતે,બિંદુ $(m'^2, 2m')$ માટે,$p_3 = (m' \cos \alpha + \sin \alpha)^2$.
બિંદુ $(mm', m + m')$ માટે,$p_2 = |(m \cos \alpha + \sin \alpha)(m' \cos \alpha + \sin \alpha)|$.
આમ,$p_2 = \sqrt{p_1} \cdot \sqrt{p_3}$,જે સૂચવે છે કે $p_2^2 = p_1 p_3$.
તેથી,${p_1}, {p_2}, {p_3}$ એ $G.P.$ માં છે.

(C) ધારો કે જરૂરી અંતર $r$ છે.
જે રેખાને સમાંતર અંતર માપવાનું છે તે રેખા $3x - 4y + 8 = 0$ છે. તેનો ઢાળ $m = \frac{3}{4}$ છે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
બિંદુ $(2, 5)$ માંથી પસાર થતી અને $m = \frac{3}{4}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ $(2 + r \cos \theta, 5 + r \sin \theta) = (2 + r \cdot \frac{4}{5}, 5 + r \cdot \frac{3}{5})$ છે.
કારણ કે $P$ એ રેખા $3x + y + 4 = 0$ પર આવેલું છે,તેથી આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$3(2 + \frac{4r}{5}) + (5 + \frac{3r}{5}) + 4 = 0$
$6 + \frac{12r}{5} + 5 + \frac{3r}{5} + 4 = 0$
$15 + \frac{15r}{5} = 0$
$15 + 3r = 0$
$3r = -15$
$r = -5$
અંતર $r$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે તેનું મૂલ્ય લઈએ: $|r| = |-5| = 5$.

(B) ધારો કે રેખા $L(x, y) = a^2x + aby + 1 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માટે,$L(0, 0) = 0 + 0 + 1 = 1$,જે ધન છે.
બિંદુઓ એક જ બાજુએ હોવા માટે,$L(1, 1)$ પણ તમામ $a \in R$ માટે ધન હોવું જોઈએ.
$L(1, 1) = a^2(1) + ab(1) + 1 = a^2 + ab + 1 > 0$.
આ $a$ માં એક દ્વિઘાત પદાવલિ છે જેનો અગ્ર સહગુણક ધન છે.
આ પદાવલિ તમામ $a \in R$ માટે ધન રહે તે માટે વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (b)^2 - 4(1)(1) < 0$.
$b^2 - 4 < 0$.
$(b - 2)(b + 2) < 0$.
આથી $-2 < b < 2$.
આપેલ છે કે $b > 0$,તેથી ઉકેલ $b \in (0, 2)$ મળે છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા પરના લંબની લંબાઈ $2p = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ છે.
તેથી,$\frac{1}{4p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.
આથી,$\frac{1}{a^2}, \frac{1}{8p^2}, \frac{1}{b^2}$ એ $A.P.$ માં છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2, 8p^2, b^2$ એ $H.P.$ માં છે.

(D) પદાવલિ $E = (2^a)^3 + (2^b)^3 - 3 \cdot 2^a \cdot 2^b$ છે.
$a=b=0$ લેતા,$E = 1 + 1 - 3 = -1$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $p = -1$ એ $a = 0, b = 0$ આગળ મળે છે.
તેથી,$P = (0, 0)$ અને $p = -1$.
રેખાનું સમીકરણ $x + y - 2 = 0$ છે.
બિંદુ $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ થાય.

(A) $a^2 + b^2$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $12a + 5b = 9$ પરના બિંદુ $(a, b)$ સુધીના અંતરનો વર્ગ દર્શાવે છે.
$a^2 + b^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત એ ઉગમબિંદુથી રેખા $12a + 5b - 9 = 0$ પરના લંબ અંતરનો વર્ગ છે.
લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$d = \frac{|12(0) + 5(0) - 9|}{\sqrt{12^2 + 5^2}} = \frac{9}{13}$.
તેથી,$a^2 + b^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $d^2 = \frac{81}{169}$ થશે.

(D) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A = \sqrt{\sin \theta}$,$B = \sqrt{\cos \theta}$,અને $C = 1$ છે.
તેથી,$f(\theta) = \frac{1}{\sqrt{\sin \theta + \cos \theta}}$.
આ પદ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\sin \theta \ge 0$ અને $\cos \theta \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\theta \in [0, \pi/2]$.
ધારો કે $g(\theta) = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \pi/4)$.
$\theta \in [0, \pi/2]$ માટે,$g(\theta)$ નો વિસ્તાર $[1, \sqrt{2}]$ છે.
કારણ કે $f(\theta) = \frac{1}{\sqrt{g(\theta)}}$,આપણે $g(\theta)$ ના વિસ્તારના આધારે $f(\theta)$ નો વિસ્તાર શોધીએ છીએ.
જ્યારે $g(\theta) = 1$,ત્યારે $f(\theta) = 1/\sqrt{1} = 1$.
જ્યારે $g(\theta) = \sqrt{2}$,ત્યારે $f(\theta) = 1/\sqrt{\sqrt{2}} = 1/2^{1/4}$.
આમ,$f(\theta)$ નો વિસ્તાર $[1/2^{1/4}, 1]$ છે.

(B) પ્રથમ,$A(4, -5)$ અને $B(-2, 3)$ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $AB$ અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધો: $AB = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (3 - (-5))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$1$ માટે,$A$ માંથી પસાર થતી રેખા ધ્યાનમાં લો જેનું $B$ બિંદુથી અંતર $d = 12$ છે. કારણ કે અંતર $d = 12$ એ $AB = 10$ કરતા વધારે છે,આવી રેખાઓ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ખાસ કરીને,આવી બે રેખાઓ મળે છે (જે $B$ કેન્દ્રિત અને $12$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળને $A$ માંથી સ્પર્શે છે). પ્રશ્નમાં 'એક' રેખાનો ઉલ્લેખ હોવાથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે કારણ કે વાસ્તવમાં આવી બે રેખાઓ મળે છે. તેથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે અને વિધાન-$2$ સાચું છે.

(B) રેખાઓ $L_1: 2x + y - 3 = 0$ અને $L_2: 2x + y - 5 = 0$ છે.
આ સમાંતર રેખાઓ છે.
$L_1$ માટે,અંતઃખંડો $x = 1.5$ $(A)$ અને $y = 3$ $(B)$ છે.
$L_2$ માટે,અંતઃખંડો $x = 2.5$ $(C)$ અને $y = 5$ $(D)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો પ્રદેશ $3 < 2x + y < 5$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $(2, 3)$ માટે,આપણે $2(2) + 3 = 4 + 3 = 7$ ગણીએ છીએ.
$7 > 5$ હોવાથી,બિંદુ $(2, 3)$ રેખાઓની વચ્ચે નથી.
તેથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે.
વિધાન-$2$ પણ ખોટું છે કારણ કે બિંદુ રેખાઓની વચ્ચે નથી.

(A) સમીકરણ $|x + y + 1| = 4$ એ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે:
$x + y - 3 = 0$ અને $x + y + 5 = 0$
બિંદુ $(a, 2a)$ આ બે રેખાઓની વચ્ચે આવેલું હોવાથી,બિંદુ $(a, 2a)$ આગળ પદાવલિઓ $(x + y - 3)$ અને $(x + y + 5)$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
$(a + 2a - 3)(a + 2a + 5) < 0$
$(3a - 3)(3a + 5) < 0$
$9(a - 1)(a + 5/3) < 0$
$(a - 1)(a + 5/3) < 0$
આથી,$a \in (-5/3, 1)$

(B) $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = m(x - 1)$ ધારો,જે $mx - y + (2 - m) = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(8, 9)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$7 = \frac{|m(8) - 9 + (2 - m)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$.
$7 = \frac{|7m - 7|}{\sqrt{m^2 + 1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $49(m^2 + 1) = (7m - 7)^2$.
$49(m^2 + 1) = 49(m - 1)^2$.
$m^2 + 1 = m^2 - 2m + 1$.
$-2m = 0$,તેથી $m = 0$.
રેખાના સમીકરણમાં $m = 0$ મૂકતા: $y - 2 = 0(x - 1) \Rightarrow y = 2$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $ax + by + c = 0$ થી લંબ અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P(1, 2)$ અને રેખા $3x + 4y - 9 = 0$ માટે,સમબાજુ ત્રિકોણનો વેધ $h$ છે:
$h = \frac{|3(1) + 4(2) - 9|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 9|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{2}{5}$.
$a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,વેધ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ થાય.
$h$ માટેના બંને સૂત્રોને સરખાવતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{2}{5}$
$a$ માટે ઉકેલતા:
$a = \frac{2}{5} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{5\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$a = \frac{4}{5\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{15}$.

(B) રેખા $5x - y = 1$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ $x + 5y = c$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ રેખાના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $y=0$ અને $x=0$ મૂકીને મેળવી શકાય:
$y=0$ માટે,$x=c$. તેથી,$x$-અંતઃખંડ $(c, 0)$ છે.
$x=0$ માટે,$5y=c$,તેથી $y=c/5$. $y$-અંતઃખંડ $(0, c/5)$ છે.
આ રેખા અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |\text{પાયો}| \times |\text{વેધ}| = 5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{1}{2} \times |c| \times |\frac{c}{5}| = 5$
$\frac{c^2}{10} = 5$ $\Rightarrow c^2 = 50$ $\Rightarrow c = \pm 5\sqrt{2}$.
આમ,રેખા $L$ નું સમીકરણ $x + 5y = \pm 5\sqrt{2}$ છે.
સમાંતર રેખાઓ $x + 5y = c$ અને $x + 5y = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c - 0|}{\sqrt{1^2 + 5^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{26}}$ દ્વારા મળે છે.
$c = \pm 5\sqrt{2}$ મૂકતા:
$d = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{26}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}}$.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: x + y - 1 = 0$ અને $L_2: 2x + 2y - 3 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, a)$ આ બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલું હોવાથી,$L_1(1, a)$ અને $L_2(1, a)$ ના મૂલ્યો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
ધારો કે $f(x, y) = x + y - 1$ અને $g(x, y) = 2x + 2y - 3$.
બિંદુ $(1, a)$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$f(1, a) = 1 + a - 1 = a$
$g(1, a) = 2(1) + 2a - 3 = 2a - 1$
બિંદુ રેખાઓની વચ્ચે હોવાથી,$f(1, a) \cdot g(1, a) < 0$.
તેથી,$a(2a - 1) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $a$ એ $a(2a - 1) = 0$ ના બીજ $a = 0$ અને $a = 1/2$ ની વચ્ચે હોય.
આમ,$a \in \left( 0, \frac{1}{2} \right)$.

(A) રેખા $4x - 3y + 2 = 0$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $4x - 3y + \lambda = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું લંબ અંતર $\frac{|\lambda|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|\lambda|}{5}$ દ્વારા મળે છે.
આ અંતર $\frac{3}{5}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{|\lambda|}{5} = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $|\lambda| = 3$,તેથી $\lambda = \pm 3$.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $4x - 3y + 3 = 0$ અને $4x - 3y - 3 = 0$ છે.
હવે,આપણે આપેલા બિંદુઓને ચકાસીએ:
વિકલ્પ $A$ માટે: $4(-\frac{1}{4}) - 3(\frac{2}{3}) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$. આ બિંદુ સમીકરણ $4x - 3y + 3 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(C) રેખા $AB$ નું સમીકરણ જે $(1, -1)$ અને $(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે તે $3x + y - 2 = 0$ છે.
પાયા $AB$ ની લંબાઈ $\sqrt{10}$ છે.
$\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 5$.
$\frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times h = 5 \Rightarrow h = \sqrt{10}$.
બિંદુ $P$ નું રેખા $AB$ થી લંબ અંતર $\frac{|4\lambda - 2|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$ છે.
$|4\lambda - 2| = 10 \Rightarrow 4\lambda - 2 = 10$ અથવા $4\lambda - 2 = -10$.
તેથી,$\lambda = 3$ અથવા $\lambda = -2$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખા $3x - 4y - 26 = 0$ છે.
તેને સામાન્ય સમીકરણ $Ax + By + C = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 3$,$B = -4$,અને $C = -26$ મળે છે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1) = (3, -5)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $Ax + By + C = 0$ થી લંબ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|3(3) + (-4)(-5) - 26|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$d = \frac{|9 + 20 - 26|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{|3|}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5} = 0.6$.

(A) બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
અહીં,$A = 3$,$B = -4$,$C_1 = 7$,અને $C_2 = 5$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|7 - 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$d = \frac{|2|}{\sqrt{9 + 16}}$
$d = \frac{2}{\sqrt{25}}$
$d = \frac{2}{5}$

(A) આપેલ સમીકરણ $x-\sqrt{3} y+8=0$ છે.
તેને $x-\sqrt{3} y=-8$ તરીકે લખી શકાય.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $-x+\sqrt{3} y=8$ મળે છે.
બંને બાજુને $\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$-\frac{1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} y=4$.
આ $x \cos \omega+y \sin \omega=p$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\cos \omega = -\frac{1}{2}$ અને $\sin \omega = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
કારણ કે $\cos \omega$ ઋણ છે અને $\sin \omega$ ધન છે,તેથી $\omega$ બીજા ચરણમાં આવે છે.
આમ,$\omega = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}$.
લંબ અંતર $p = 4$ અને ખૂણો $\omega = 120^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x - y = 4$ છે.
તેને અભિલંબ સ્વરૂપ $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ માં ફેરવવા માટે,આપણે સમીકરણને $\sqrt{A^2 + B^2}$ વડે ભાગીશું,જ્યાં $A = 1$ અને $B = -1$ છે.
$\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y = \frac{4}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}}y = 2\sqrt{2}$ થાય છે.
તેને $x \cos \omega + y \sin \omega = p$ સાથે સરખાવતા,$\cos \omega = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \omega = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
અહીં $\cos \omega > 0$ અને $\sin \omega < 0$ હોવાથી,ખૂણો $\omega$ ચોથા ચરણમાં છે.
$\omega = 360^{\circ} - 45^{\circ} = 315^{\circ}$.
આમ,લંબ અંતર $p = 2\sqrt{2}$ અને ખૂણો $\omega = 315^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $12(x + 6) = 5(y - 2)$ છે.
$\Rightarrow 12x + 72 = 5y - 10$
$\Rightarrow 12x - 5y + 82 = 0$ ... $(1)$
સમીકરણ $(1)$ ને રેખાના વ્યાપક સમીકરણ $Ax + By + C = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 12$,$B = -5$,અને $C = 82$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $(d)$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1) = (-1, 1)$ છે.
તેથી,બિંદુ $(-1, 1)$ નું આપેલ રેખાથી અંતર:
$d = \frac{|12(-1) + (-5)(1) + 82|}{\sqrt{(12)^2 + (-5)^2}}$ એકમ
$d = \frac{|-12 - 5 + 82|}{\sqrt{144 + 25}}$ એકમ
$d = \frac{|65|}{\sqrt{169}}$ એકમ
$d = \frac{65}{13}$ એકમ
$d = 5$ એકમ.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$ છે.
$12$ વડે ગુણતા,$4x + 3y - 12 = 0$ મળે.
ધારો કે $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $(a, 0)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 4, B = 3, C = -12, x_1 = a, y_1 = 0$,અને $d = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા,$4 = \frac{|4a + 3(0) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$.
$4 = \frac{|4a - 12|}{5} \implies |4a - 12| = 20$.
આના બે કિસ્સા મળે છે:
$4a - 12 = 20 \implies 4a = 32 \implies a = 8$.
$4a - 12 = -20 \implies 4a = -8 \implies a = -2$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(-2, 0)$ અને $(8, 0)$ છે.

(C) બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $(d)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
આપેલ રેખાઓ:
$15x + 8y - 34 = 0$
$15x + 8y + 31 = 0$
અહીં,$A = 15$,$B = 8$,$C_1 = -34$,અને $C_2 = 31$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|-34 - 31|}{\sqrt{15^2 + 8^2}}$
$d = \frac{|-65|}{\sqrt{225 + 64}}$
$d = \frac{65}{\sqrt{289}}$
$d = \frac{65}{17}$ એકમ.

(A) બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $(d)$ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
આપેલ સમીકરણો $l(x + y) + p = 0$ અને $l(x + y) - r = 0$ છે.
તેને વિસ્તૃત કરતા,$lx + ly + p = 0$ અને $lx + ly - r = 0$ મળે છે.
અહીં,$A = l$,$B = l$,$C_1 = p$,અને $C_2 = -r$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|p - (-r)|}{\sqrt{l^2 + l^2}}$
$d = \frac{|p + r|}{\sqrt{2l^2}}$
$d = \frac{|p + r|}{l\sqrt{2}}$
$d = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{|p + r|}{l}$ એકમ.

આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x \cos \theta - y \sin \theta = k \cos 2 \theta$ ..... $(1)$
$x \sec \theta + y \csc \theta = k$ ..... $(2)$
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના લંબ અંતર $(d)$ નું સૂત્ર $d = \frac{|Ax_{1} + By_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ છે.
રેખા $(1)$ માટે,$A = \cos \theta, B = -\sin \theta, C = -k \cos 2 \theta$. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી લંબ અંતર $p$:
$p = \frac{|-k \cos 2 \theta|}{\sqrt{\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta}} = |k \cos 2 \theta|$
$p^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \theta$ ..... $(3)$
રેખા $(2)$ માટે,$A = \sec \theta, B = \csc \theta, C = -k$. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી લંબ અંતર $q$:
$q = \frac{|-k|}{\sqrt{\sec^{2} \theta + \csc^{2} \theta}} = \frac{|k|}{\sqrt{\frac{1}{\cos^{2} \theta} + \frac{1}{\sin^{2} \theta}}} = |k \sin \theta \cos \theta|$
$q = |k \frac{\sin 2 \theta}{2}|$
$4q^{2} = k^{2} \sin^{2} 2 \theta$ ..... $(4)$
$(3)$ અને $(4)$ નો સરવાળો કરતા:
$p^{2} + 4q^{2} = k^{2} \cos^{2} 2 \theta + k^{2} \sin^{2} 2 \theta = k^{2}$.
આમ,$p^{2} + 4q^{2} = k^{2}$ સાબિત થાય છે.

(N/A) અક્ષો પર $a$ અને $b$ અંતઃખંડો ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
આને $bx + ay = ab$ અથવા $bx + ay - ab = 0$ તરીકે લખી શકાય ... $(1)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી $Ax + By + C = 0$ રેખાનું લંબ અંતર $p = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $(1)$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = b$,$B = a$,અને $C = -ab$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$p = \frac{|b(0) + a(0) - ab|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{|-ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$p^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ મળે છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{p^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{a^2}{a^2 b^2} + \frac{b^2}{a^2 b^2}$ મળે છે.
આમ,$\frac{1}{p^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}$,એટલે કે $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.

(A) ધારો કે $(0, b)$ એ $y$-અક્ષ પરનું બિંદુ છે જેનું રેખા $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$ થી અંતર $4$ એકમ છે.
આપેલ રેખાને $4x + 3y - 12 = 0$ તરીકે લખી શકાય $(1)$.
રેખાના સામાન્ય સમીકરણ $Ax + By + C = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = 4$,$B = 3$,અને $C = -12$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$4 = \frac{|4(0) + 3(b) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}$
$4 = \frac{|3b - 12|}{5}$
$20 = |3b - 12|$
આથી $3b - 12 = 20$ અથવા $3b - 12 = -20$.
કિસ્સો $1$: $3b = 32 \Rightarrow b = \frac{32}{3}$.
કિસ્સો $2$: $3b = -8 \Rightarrow b = -\frac{8}{3}$.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $\left(0, \frac{32}{3}\right)$ અને $\left(0, -\frac{8}{3}\right)$ છે.

(C) બિંદુઓ $(\cos \theta, \sin \theta)$ અને $(\cos \phi, \sin \phi)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - \sin \theta = \frac{\sin \phi - \sin \theta}{\cos \phi - \cos \theta} (x - \cos \theta)$
સૂત્ર $\sin C - \sin D = 2 \sin \frac{C-D}{2} \cos \frac{C+D}{2}$ અને $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,ઢાળ:
$m = -\cot \left( \frac{\phi+\theta}{2} \right)$
આમ,રેખાનું સમીકરણ $x \cos \left( \frac{\phi+\theta}{2} \right) + y \sin \left( \frac{\phi+\theta}{2} \right) - \cos \left( \frac{\phi-\theta}{2} \right) = 0$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી લંબ અંતર:
$d = \left| \cos \left( \frac{\phi-\theta}{2} \right) \right|$

(A) આપેલ રેખાઓ છે:
$2x - y = 0$ ..... $(1)$
$4x + 7y + 5 = 0$ ..... $(2)$
બિંદુ $A$ એ $(1, 2)$ છે.
ધારો કે $B$ એ રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ નું છેદબિંદુ છે.
$(1)$ પરથી,$y = 2x$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$4x + 7(2x) + 5 = 0$
$4x + 14x + 5 = 0$
$18x = -5 \implies x = -\frac{5}{18}$
તેથી $y = 2(-\frac{5}{18}) = -\frac{5}{9}$.
આમ,બિંદુ $B$ એ $(-\frac{5}{18}, -\frac{5}{9})$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $AB$ નું અંતર:
$AB = \sqrt{(1 - (-\frac{5}{18}))^2 + (2 - (-\frac{5}{9}))^2}$
$AB = \sqrt{(\frac{23}{18})^2 + (\frac{23}{9})^2} = \frac{23 \sqrt{5}}{18}$ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $9x + 6y - 7 = 0$ અને $3x + 2y + 6 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન કરવા માટે,બીજા સમીકરણને $3$ વડે ગુણો:
$3(3x + 2y + 6) = 3(0) \Rightarrow 9x + 6y + 18 = 0$.
હવે રેખાઓ $L_1: 9x + 6y - 7 = 0$ અને $L_2: 9x + 6y + 18 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ થી સમાન અંતરે આવેલી રેખાનું સમીકરણ $ax + by + \frac{c_1 + c_2}{2} = 0$ છે.
અહીં,$a = 9, b = 6, c_1 = -7, c_2 = 18$.
જરૂરી સમીકરણ $9x + 6y + \frac{-7 + 18}{2} = 0$ છે.
$9x + 6y + \frac{11}{2} = 0$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $18x + 12y + 11 = 0$ મળે છે.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ રેખા $ax+by+c=0$ ની એક જ બાજુએ હોય જો $(ax_1+by_1+c)$ અને $(ax_2+by_2+c)$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય,એટલે કે $(ax_1+by_1+c)(ax_2+by_2+c) > 0$.
આપેલ રેખા $x+y-1=0$ અને બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(\sin \theta, \cos \theta)$ છે.
પ્રથમ,$(1, 2)$ પર અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો:
$1+2-1 = 2$,જે ધન છે.
તેથી,બિંદુઓ એક જ બાજુએ રહે તે માટે,$(\sin \theta, \cos \theta)$ પરની અભિવ્યક્તિ પણ ધન હોવી જોઈએ:
$\sin \theta + \cos \theta - 1 > 0$
$\Rightarrow \sin \theta + \cos \theta > 1$
$\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)$
કારણ કે $\theta \in (0, \pi)$,તેથી $\theta + \frac{\pi}{4} \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$.
આ અંતરાલમાં,$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{1}{\sqrt{2}}$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે:
$\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$
બધા ભાગોમાંથી $\frac{\pi}{4}$ બાદ કરતા:
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$

(B) બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ જોડી માટે,$2x - y + 3 = 0$ ને $4x - 2y + 6 = 0$ તરીકે લખો. અંતર $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{|\alpha - 6|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2}} = \frac{|\alpha - 6|}{2\sqrt{5}}$ છે.
તેથી,$|\alpha - 6| = 2$,જે $\alpha = 8$ અથવા $\alpha = 4$ આપે છે.
બીજી જોડી માટે,$2x - y + 3 = 0$ ને $6x - 3y + 9 = 0$ તરીકે લખો. અંતર $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{|\beta - 9|}{\sqrt{6^2 + (-3)^2}} = \frac{|\beta - 9|}{3\sqrt{5}}$ છે.
તેથી,$|\beta - 9| = 6$,જે $\beta = 15$ અથવા $\beta = 3$ આપે છે.
$\alpha$ અને $\beta$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $(8 + 4) + (15 + 3) = 12 + 18 = 30$ થાય છે.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $O$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
સમબાજુ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર એ અંતઃત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોય છે.
બાજુનું સમીકરણ $x + y - 3 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $x + y - 3 = 0$ નું લંબ અંતર:
$r = \frac{|0 + 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R$ એ અંતઃત્રિજ્યા $r$ કરતા બમણી હોય છે,એટલે કે $R = 2r$.
તેથી,$R = 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}$.
આમ,$R + r = \frac{6}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$.