Word problem -Statistics Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $n$ અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x}$ છે.
તેથી,અવલોકનોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} x_{i} = n \bar{x}$ થાય.
જ્યારે અવલોકન $x_{q}$ ને $x_{q}^{\prime}$ દ્વારા બદલવામાં આવે,ત્યારે અવલોકનોનો નવો સરવાળો:
$\sum x_{new} = \sum x - x_{q} + x_{q}^{\prime} = n \bar{x} - x_{q} + x_{q}^{\prime}$ થાય.
નવો મધ્યક $\bar{x}^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે:
$\bar{x}^{\prime} = \frac{\sum x_{new}}{n} = \frac{n \bar{x} - x_{q} + x_{q}^{\prime}}{n}$.

(D) $10$ અવલોકનો $x_1, x_2, \ldots, x_9, \alpha$ છે.
આપેલ મધ્યક $\bar{x} = 10$ હોવાથી,$\frac{\sum_{i=1}^9 x_i + \alpha}{10} = 10 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i + \alpha = 100$.
આપેલ વિચરણ $\sigma^2 = 2$ હોવાથી,$\frac{\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \alpha^2}{10} - (10)^2 = 2 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i^2 + \alpha^2 = 1020$.
જ્યારે $\alpha$ ને $\beta$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે નવો મધ્યક $10.1$ થાય છે,તેથી $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i + \beta}{10} = 10.1 \Rightarrow \sum_{i=1}^9 x_i + \beta = 101$.
આ સમીકરણો બાદ કરતા,$\beta - \alpha = 1 \Rightarrow \beta = \alpha + 1$.
નવું વિચરણ $1.99$ છે,તેથી $\frac{\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \beta^2}{10} - (10.1)^2 = 1.99$.
$\sum_{i=1}^9 x_i^2 + \beta^2 = 1040$.
પ્રથમ વિચરણના સમીકરણને બાદ કરતા,$\beta^2 - \alpha^2 = 20$.
$\beta^2 - \alpha^2 = (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) = 20$ અને $\beta - \alpha = 1$ હોવાથી,$\alpha + \beta = 20$.

(D) વર્ગ મધ્યક $(x_i)$ $6, 10, 14, 18$ છે. આવૃત્તિઓ $(f_i)$ $3, \lambda, 4, 7$ છે. કુલ આવૃત્તિ $N = 14+\lambda$ છે.
મધ્યક $\mu = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{3(6) + 10\lambda + 4(14) + 7(18)}{14+\lambda} = \frac{200+10\lambda}{14+\lambda}$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum f_i x_i^2}{N} - \mu^2 = 19$.
$\sum f_i x_i^2 = 3160 + 100\lambda$ મળે છે.
સમીકરણ ઉકેલતા $\lambda = 6$ મળે છે.
$\lambda = 6$ મુકતા,$\mu = \frac{260}{20} = 13$ મળે છે.
તેથી,$\lambda + \mu = 6 + 13 = 19$.

(A) $8$ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\frac{7}{2}$ આપેલ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $= -10 - 7 - 1 + x + y + 9 + 2 + 16 = x + y + 9$.
$\frac{x + y + 9}{8} = \frac{7}{2}$ $\Rightarrow x + y + 9 = 28$ $\Rightarrow x + y = 19$ . . . $(1)$
વિચરણ $= \frac{\sum x_i^2}{n} - (\text{મધ્યક})^2 = \frac{293}{4}$.
$\frac{(-10)^2 + (-7)^2 + (-1)^2 + x^2 + y^2 + 9^2 + 2^2 + 16^2}{8} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{293}{4}$.
$\frac{491 + x^2 + y^2}{8} = \frac{342}{4} = 85.5$.
$x^2 + y^2 = 193$ . . . $(2)$
$(1)$ પરથી $y = 19 - x$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (19 - x)^2 = 193$ $\Rightarrow 2x^2 - 38x + 168 = 0$ $\Rightarrow x^2 - 19x + 84 = 0$.
$(x - 12)(x - 7) = 0$. તેથી $x = 12, y = 7$.
$4$ સંખ્યાઓ $12, 7, 20, 5$ છે.
મધ્યક $= \frac{12 + 7 + 20 + 5}{4} = \frac{44}{4} = 11$.

(D) ધારો કે $n$ અવલોકનો $x_1, x_2, \dots, x_n$ છે।
આપેલ છે: મધ્યક $\bar{x} = 8$ અને વિચરણ $\sigma^2 = 16$.
$n$ અવલોકનો માટે: $\sum_{i=1}^n x_i = 8n$ અને $\frac{\sum x_i^2}{n} - (8)^2 = 16 \implies \sum x_i^2 = 80n$.
ધારો કે પ્રથમ $(n-1)$ અવલોકનોનો સરવાળો $S_{n-1} = 48$ અને વર્ગોનો સરવાળો $Q_{n-1} = 496$ છે।
$n$-મું અવલોકન $x_n = \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^{n-1} x_i = 8n - 48$ થાય.
તેમજ, $x_n^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - \sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 = 80n - 496$.
$x_n$ ની કિંમત મૂકતા: $(8n - 48)^2 = 80n - 496$.
$64n^2 - 768n + 2304 = 80n - 496$.
$64n^2 - 848n + 2800 = 0$.
$16$ વડે ભાગતા: $4n^2 - 53n + 175 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(4n - 25)(n - 7) = 0$.
$n$ પૂર્ણાંક હોવાથી, $n = 7$ મળે.

(C) માહિતીનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યકિંમતો $(x_i)$: $7.5, 12.5, 17.5, 22.5, 27.5, 32.5$.
કુલ આવૃત્તિ $\sum f_i = 2 + k + 28 + 54 + (k + 1) + 5 = 90 + 2k$.
$f_i x_i$ નો સરવાળો = $(2 \times 7.5) + (k \times 12.5) + (28 \times 17.5) + (54 \times 22.5) + ((k + 1) \times 27.5) + (5 \times 32.5) = 15 + 12.5k + 490 + 1215 + 27.5k + 27.5 + 162.5 = 1910 + 40k$.
આપેલ છે કે $\bar{x} = 21$,તેથી $\frac{1910 + 40k}{90 + 2k} = 21$.
$1910 + 40k = 21(90 + 2k) \Rightarrow 1910 + 40k = 1890 + 42k$.
$2k = 20 \Rightarrow k = 10$.
આપેલ સમીકરણોમાં $k = 10$ મૂકતા:
$A) 2(10)^2 - 23(10) - 10 = 200 - 230 - 10 = -40 \neq 0$.
$B) 4(10)^2 - 35(10) + 24 = 400 - 350 + 24 = 74 \neq 0$.
$C) 2(10)^2 - 19(10) - 10 = 200 - 190 - 10 = 0$.
$D) 2(10)^2 - 35(10) + 98 = 200 - 350 + 98 = -52 \neq 0$.
તેથી,$k = 10$ એ $2x^2 - 19x - 10 = 0$ સમીકરણનું બીજ છે.

(B) $9$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $21+8+17+a+51+103+b+13+67 = 280+a+b$ છે.
મધ્યક $40$ આપેલ છે,તેથી $(280+a+b)/9 = 40$,જેનો અર્થ છે કે $280+a+b = 360$,એટલે કે $a+b = 80$.
સંખ્યાઓને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $8, 13, 17, 21, b, a, 51, 67, 103$ (કારણ કે $a > b$ અને મધ્યસ્થ $21$ છે,તેથી $5^{th}$ પદ $21$ હોવું જોઈએ).
આમ,$b = 21$. આ કિંમત $a+b = 80$ માં મૂકતા,$a = 80 - 21 = 59$ મળે છે.
મધ્યસ્થ $(21)$ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન ચકાસતા: $\frac{1}{9} (|8-21| + |13-21| + |17-21| + |21-21| + |21-21| + |59-21| + |51-21| + |67-21| + |103-21|) = \frac{1}{9} (13+8+4+0+0+38+30+46+82) = \frac{221}{9} \approx 24.55$.
પ્રશ્નમાં આપેલ સરેરાશ વિચલન $26$ છે,જે ગણતરી સાથે નજીક છે. તેથી $2a = 2 \times 59 = 118$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $117$ છે.

(C) પ્રથમ અવલોકનોના સમૂહ માટે: $n_1 = 4$,$\bar{x}_1 = 1$,અને $\sigma_1^2 = 13$.
સૂત્ર $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sum x_1^2}{4} - (1)^2 = 13$,જે આપે છે $\sum x_1^2 = 4(14) = 56$.
બીજા અવલોકનોના સમૂહ માટે: $n_2 = 6$,$\bar{x}_2 = 2$,અને $\sigma_2^2 = 1$.
તે જ રીતે,$\frac{\sum x_2^2}{6} - (2)^2 = 1$,જે આપે છે $\sum x_2^2 = 6(5) = 30$.
હવે,સંયુક્ત મધ્યક $\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2} = \frac{4(1) + 6(2)}{4 + 6} = \frac{16}{10} = 1.6$.
સંયુક્ત વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum (x_1^2 + x_2^2)}{n_1 + n_2} - (\bar{x})^2 = \frac{56 + 30}{10} - (1.6)^2 = 8.6 - 2.56 = 6.04$.

(B) આપેલ અવલોકનો: $2, 4, \alpha, 8, \beta, 12, 14$. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 7$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+4+\alpha+8+\beta+12+14}{7} = 8$.
$40 + \alpha + \beta = 56 \Rightarrow \alpha + \beta = 16$ (સમીકરણ $1$).
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 16$.
$\frac{4 + 16 + \alpha^2 + 64 + \beta^2 + 144 + 196}{7} - 8^2 = 16$.
$\frac{424 + \alpha^2 + \beta^2}{7} = 16 + 64 = 80$.
$424 + \alpha^2 + \beta^2 = 560 \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 136$ (સમીકરણ $2$).
$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા,$16^2 = 136 + 2\alpha\beta$.
$256 - 136 = 2\alpha\beta \Rightarrow 2\alpha\beta = 120 \Rightarrow \alpha\beta = 60$.
$\alpha + \beta = 16$ અને $\alpha\beta = 60$ હોવાથી,કિંમતો $\alpha = 6$ અને $\beta = 10$ મળે છે (કારણ કે $\alpha < \beta$).
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $3\alpha + 2 = 3(6) + 2 = 20$ અને $2\beta + 1 = 2(10) + 1 = 21$ છે.
બીજનો સરવાળો $= 20 + 21 = 41$.
બીજનો ગુણાકાર $= 20 \times 21 = 420$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે,જે $x^2 - 41x + 420 = 0$ થાય.