एक $G.P.$ के पहले दो पदों का योग $1$ है और इस श्रेणी का प्रत्येक पद अपने पिछले पद का दोगुना है,तो पहला पद क्या होगा?

यदि $G$,$x$ और $y$ का गुणोत्तर माध्य है,तो $\frac{1}{G^2 - x^2} + \frac{1}{G^2 - y^2} = $

एक कण मूल बिंदु से शुरू होता है और $1$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{1}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{2}$ इकाई लंबवत ऊपर की ओर चलता है और $P_{2}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{4}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{3}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{8}$ इकाई लंबवत नीचे की ओर चलता है और $P_{4}$ पर पहुँचता है,फिर यह $\frac{1}{16}$ इकाई क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता है और $P_{5}$ पर पहुँचता है और इसी तरह आगे बढ़ता है। मान लीजिए $P_{n} = (x_{n}, y_{n})$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha$ और $\lim_{n \rightarrow \infty} y_{n} = \beta$. तो,$(\alpha, \beta)$ है

एक गुणोत्तर श्रेणी धनात्मक पदों से बनी है। यदि प्रत्येक पद अपने अगले दो पदों के योग के बराबर है,तो श्रेणी का सार्व अनुपात क्या है?

मान लीजिए $f(x)$ एक ऐसा फलन है कि सभी $x, y \in \mathbb{N}$ के लिए $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है। यदि $f(1)=3$ और $\sum_{k=1}^{n} f(k)=3279$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है कि $a_1, a_2, a_3, \dots$ एक बढ़ती हुई गुणोत्तर श्रेणी (geometric progression) बनाती है जिसका सार्व अनुपात $r$ है,इस प्रकार कि $\log_8 a_1 + \log_8 a_2 + \dots + \log_8 a_{12} = 2014$,तो पूर्णांकों के क्रमित युग्मों $(a_1, r)$ की संख्या किसके बराबर है?