यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का (p + q) वाँ पद m | vedclass

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Question

(b) दिया है, $m = a{r^{p + q - 1}}$ एवं  $n = a{r^{p - q - 1}}$

 ${r^{p + q - 1 - p + q + 1}} = \frac{m}{n}$

$\Rightarrow r = {\left(

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$\sqrt {mn} $

Vedclass · Answer

(b) दिया है, $m = a{r^{p + q - 1}}$ एवं  $n = a{r^{p - q - 1}}$

 ${r^{p + q - 1 - p + q + 1}} = \frac{m}{n}$

$\Rightarrow r = {\left( {\frac{m}{n}} \right)^{1/(2q)}}$

एवं $a = \frac{m}{{{{\left( {\frac{m}{n}} \right)}^{(p + q - 1)/2q}}}}$

अब $p$ वाँ पद $ = a{r^{p - 1}} = \frac{m}{{{{\left( {\frac{m}{n}} \right)}^{(p + q - 1)/2q}}}}{\left( {\frac{m}{n}} \right)^{(p - 1)/2q}}$

$ = m{\left( {\frac{m}{n}} \right)^{(p - 1)/2q - (p + q - 1)/(2q)}} = m{\left( {\frac{m}{n}} \right)^{ - 1/2}} = {m^{1 - 1/2}}{n^{1/2}}$

$ = {m^{1/2}}{n^{1/2}} = \sqrt {mn} $.

वैकल्पिक: चूँकि हम जानते हैं कि किसी गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद इसके समान दूरी पर स्थित पदों का गुणोत्तर माध्य होता है।

यहाँ $(p + q)$ वें व $(p - q)$ वें पद, $p$ वें पद से समान दूरी पर अर्थात् $q$ दूरी पर हैं।

अत: $p$ वाँ पद, $(p + q)$ वें व $(p - q)$ वें पदों का गुणोत्तर माध्य होगा, अर्थात् $\sqrt {mn} $.

यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का $(p + q)$ वाँ पद $m$ है और $(p - q)$ वाँ पद $n$ है, तो श्रेणी का $p$ वाँ पद होगा

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