General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Hindi

(A) $(x+1)^{n}$ के द्विपद विस्तार में $(k+1)^{th}$ पद $T_{k+1} = {^nC_k} x^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
$(r-1)^{th}$ पद $T_{r-1} = {^nC_{r-2}} x^{n-r+2}$ है,इसलिए इसका गुणांक ${^nC_{r-2}}$ है।
$r^{th}$ पद $T_r = {^nC_{r-1}} x^{n-r+1}$ है,इसलिए इसका गुणांक ${^nC_{r-1}}$ है।
$(r+1)^{th}$ पद $T_{r+1} = {^nC_r} x^{n-r}$ है,इसलिए इसका गुणांक ${^nC_r}$ है।
गुणांकों का अनुपात $1:3:5$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{^nC_{r-2}}{^nC_{r-1}} = \frac{1}{3}$ और $\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{3}{5}$.
$\frac{^nC_{r-2}}{^nC_{r-1}} = \frac{r-1}{n-r+2} = \frac{1}{3}$ से,$3r-3 = n-r+2$,अर्थात $n-4r+5=0$ (समीकरण $1$).
$\frac{^nC_{r-1}}{^nC_r} = \frac{r}{n-r+1} = \frac{3}{5}$ से,$5r = 3n-3r+3$,अर्थात $3n-8r+3=0$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर $2n-8r+10=0$ मिलता है। समीकरण $2$ से इसे घटाने पर $n-7=0$ मिलता है,इसलिए $n=7$.
$n=7$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $7-4r+5=0$ $\Rightarrow 4r=12$ $\Rightarrow r=3$.
अतः,$n=7$ और $r=3$.

$(a+b)^{m}$ के द्विपद विस्तार में सामान्य पद $(T_{r+1})$ को $T_{r+1} = {}^{m}C_{r} a^{m-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{2n}$ के विस्तार के लिए,$x^{n}$ का गुणांक $r=n$ रखकर प्राप्त किया जाता है:
गुणांक $= {}^{2n}C_{n} = \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ ........... $(1)$
$(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार के लिए,$x^{n}$ का गुणांक $r=n$ रखकर प्राप्त किया जाता है:
गुणांक $= {}^{2n-1}C_{n} = \frac{(2n-1)!}{n!(2n-1-n)!} = \frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}$
अंश और हर को $2n$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2n \cdot (2n-1)!}{2n \cdot n!(n-1)!} = \frac{(2n)!}{2 \cdot n! \cdot n!} = \frac{1}{2} \left[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} \right]$ ........... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
${}^{2n}C_{n} = 2 \cdot {}^{2n-1}C_{n}$
अतः,$(1+x)^{2n}$ में $x^{n}$ का गुणांक $(1+x)^{2n-1}$ में $x^{n}$ के गुणांक का दोगुना है।

(A) $\left(\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{3 x}\right)^{6}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{6}C_{r} \left(\frac{3}{2} x^{2}\right)^{6-r} \left(-\frac{1}{3x}\right)^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$T_{r+1} = {}^{6}C_{r} \left(\frac{3}{2}\right)^{6-r} (x^{2})^{6-r} (-1)^{r} \left(\frac{1}{3}\right)^{r} (x^{-1})^{r}$.
$T_{r+1} = {}^{6}C_{r} \frac{3^{6-r}}{2^{6-r}} \frac{(-1)^{r}}{3^{r}} x^{12-3r}$.
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए,अतः $12-3r = 0$,जिससे $r = 4$ प्राप्त होता है।
$r=4$ रखने पर:
$T_{5} = {}^{6}C_{4} \frac{3^{2}}{2^{2}} \frac{1}{3^{4}} = 15 \times \frac{9}{4} \times \frac{1}{81} = \frac{5}{12}$.

(N/A) चूंकि $2n$ एक सम संख्या है,इसलिए $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में केवल एक मध्य पद है,जो $(\frac{2n}{2}+1)^{\text{th}}$ पद यानी $(n+1)^{\text{th}}$ पद है।
$(n+1)^{\text{th}}$ पद $^{2n}C_{n}x^{n}$ है। अतः $x^{n}$ का गुणांक $^{2n}C_{n}$ है।
इसी प्रकार,चूंकि $(2n-1)$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में दो मध्य पद हैं,जो $(\frac{2n-1+1}{2})^{\text{th}}$ और $(\frac{2n-1+1}{2}+1)^{\text{th}}$ पद यानी $n^{\text{th}}$ और $(n+1)^{\text{th}}$ पद हैं।
इन पदों के गुणांक क्रमशः $^{2n-1}C_{n-1}$ और $^{2n-1}C_{n}$ हैं।
सर्वसमिका $^{n}C_{r-1} + ^{n}C_{r} = ^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर:
$^{2n-1}C_{n-1} + ^{2n-1}C_{n} = ^{2n}C_{n}$.
यह सिद्ध करता है कि $(1+x)^{2n}$ के मध्य पद का गुणांक $(1+x)^{2n-1}$ के दो मध्य पदों के गुणांकों के योग के बराबर है।

$(x+a)^{n}$ के विस्तार में $(n+1)$ पद होते हैं।
अंत से $r^{\text{th}}$ पद ज्ञात करने के लिए,हम पैटर्न देखते हैं:
अंत से $1^{\text{st}}$ पद $(n+1)^{\text{th}}$ पद है।
अंत से $2^{\text{nd}}$ पद $n^{\text{th}}$ पद है।
अंत से $3^{\text{rd}}$ पद $(n-1)^{\text{th}}$ पद है।
सामान्यतः,अंत से $r^{\text{th}}$ पद शुरुआत से $(n+1)-(r-1) = (n-r+2)^{\text{th}}$ पद है।
$(x+a)^{n}$ का सामान्य पद $T_{k+1} = ^{n}C_{k} x^{n-k} a^{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$(n-r+2)^{\text{th}}$ पद के लिए,हम $k+1 = n-r+2$ रखते हैं,जिससे $k = n-r+1$ प्राप्त होता है।
सामान्य पद के सूत्र में $k = n-r+1$ रखने पर:
$T_{n-r+2} = ^{n}C_{n-r+1} x^{n-(n-r+1)} a^{n-r+1} = ^{n}C_{n-r+1} x^{r-1} a^{n-r+1}$.

(A) $(a+b)^n$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई अभिव्यक्ति $\left(x^{1/3} + \frac{1}{2x^{1/3}}\right)^{18}$ के लिए:
$T_{r+1} = ^{18}C_r (x^{1/3})^{18-r} \left(\frac{1}{2x^{1/3}}\right)^r$
$T_{r+1} = ^{18}C_r \cdot x^{\frac{18-r}{3}} \cdot \frac{1}{2^r \cdot x^{r/3}}$
$T_{r+1} = ^{18}C_r \cdot \frac{1}{2^r} \cdot x^{\frac{18-2r}{3}}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{18-2r}{3} = 0 \implies 18-2r = 0 \implies r = 9$.
$r=9$ रखने पर,स्वतंत्र पद:
$T_{9+1} = ^{18}C_9 \cdot \frac{1}{2^9} = ^{18}C_9 \cdot 2^{-9}$.

(A) $(x - \frac{3}{x^2})^m$ के पहले तीन पदों के गुणांक $^mC_0, -3(^mC_1)$,और $9(^mC_2)$ हैं।
दी गई शर्त के अनुसार: $^mC_0 - 3(^mC_1) + 9(^mC_2) = 559$.
मान रखने पर: $1 - 3m + \frac{9m(m-1)}{2} = 559$.
$2$ से गुणा करने पर: $2 - 6m + 9m^2 - 9m = 1118$.
$9m^2 - 15m - 1116 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $3m^2 - 5m - 372 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(m - 12)(3m + 31) = 0$.
चूंकि $m$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $m = 12$.
व्यापक पद $T_{r+1} = ^{12}C_r x^{12-r} (-3)^r x^{-2r} = ^{12}C_r (-3)^r x^{12-3r}$ है।
$x^3$ वाले पद के लिए,$12 - 3r = 3$ रखने पर,$r = 3$ प्राप्त होता है।
अभीष्ट पद $^{12}C_3 (-3)^3 x^3 = 220 \times (-27) x^3 = -5940x^3$ है।

(A) $(1+x)^n$ के विस्तार का सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(r-5)^{th}$ पद $T_{r-5} = T_{(r-6)+1}$ है,इसलिए इसका गुणांक ${^{34}C_{r-6}}$ है।
$(2r-1)^{th}$ पद $T_{2r-1} = T_{(2r-2)+1}$ है,इसलिए इसका गुणांक ${^{34}C_{2r-2}}$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं,इसलिए ${^{34}C_{r-6}} = {^{34}C_{2r-2}}$।
गुणधर्म ${^nC_a} = {^nC_b} \implies a = b$ या $a + b = n$ का उपयोग करते हुए:
स्थिति $1$: $r-6 = 2r-2 \implies r = -4$ (संभव नहीं है क्योंकि $r$ एक प्राकृतिक संख्या होनी चाहिए)।
स्थिति $2$: $(r-6) + (2r-2) = 34 \implies 3r - 8 = 34 \implies 3r = 42 \implies r = 14$।
अतः,$r = 14$।

(A) $(x+y)^{n}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} y^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$(3+ax)^{9}$ के विस्तार के लिए,व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{9}C_{r} (3)^{9-r} (ax)^{r} = {}^{9}C_{r} (3)^{9-r} a^{r} x^{r}$ है।
$x^{2}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$r=2$ रखने पर:
$x^{2}$ का गुणांक $= {}^{9}C_{2} (3)^{9-2} a^{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} (3)^{7} a^{2} = 36 \times 3^{7} a^{2}$.
$x^{3}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$r=3$ रखने पर:
$x^{3}$ का गुणांक $= {}^{9}C_{3} (3)^{9-3} a^{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} (3)^{6} a^{3} = 84 \times 3^{6} a^{3}$.
दिया गया है कि गुणांक समान हैं:
$84 \times 3^{6} a^{3} = 36 \times 3^{7} a^{2}$.
दोनों पक्षों को $12 \times 3^{6} a^{2}$ से विभाजित करने पर:
$7a = 3 \times 3 = 9$.
अतः,$a = 9/7$.

(A) माना विस्तार $(a + b)^n$ है। प्रारंभ से $r$-वां पद $T_r = {\,^nC_{r-1}} a^{n-r+1} b^{r-1}$ है।
प्रारंभ से पांचवां पद $T_5 = {\,^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1/4})^4 = {\,^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1})$ है।
अंत से पांचवां पद $(b+a)^n$ के विस्तार में प्रारंभ से पांचवां पद है,जो $T'_5 = {\,^nC_4} (3^{-1/4})^{n-4} (2^{1/4})^4 = {\,^nC_4} (3^{-1/4})^{n-4} (2^1)$ है।
दिए गए अनुपात $\frac{T_5}{T'_5} = \sqrt{6} : 1$ से:
$\frac{2^{(n-4)/4}}{2^1} \cdot \frac{3^{(n-4)/4}}{3^1} = 6^{1/2}$.
$6^{(n-8)/4} = 6^{1/2}$.
$\frac{n-8}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow n = 10$.

(A) $(3^{1/4} + 5^{1/8})^{60}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{60}C_r (3^{1/4})^{60-r} (5^{1/8})^r = {}^{60}C_r (3)^{(60-r)/4} (5)^{r/8}$ द्वारा दिया जाता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$3$ और $5$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए ताकि $0 \leq r \leq 60$ हो।
$r$ के संभावित मान $0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56$ हैं।
कुल $8$ परिमेय पद हैं।
विस्तार में पदों की कुल संख्या $60 + 1 = 61$ है।
इसलिए,अपरिमेय पदों की संख्या $n = 61 - 8 = 53$ है।
हमें $(n - 1) = 53 - 1 = 52$ के लिए विभाज्यता की जाँच करनी है।
चूँकि $52 = 26 \times 2$,इसलिए $(n - 1)$,$26$ से विभाज्य है।

(A) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ होता है।
चौथे पद $(T_4)$ के लिए,$r=3$ रखने पर:
$T_4 = {}^{7}C_{3} (x)^{7-3} (x^{\log_{2} x})^{3} = 4480$.
चूँकि ${}^{7}C_{3} = 35$,इसलिए:
$35 \cdot x^{4} \cdot x^{3 \log_{2} x} = 4480$.
$35$ से भाग देने पर:
$x^{4 + 3 \log_{2} x} = 128 = 2^{7}$.
माना $t = \log_{2} x$,तो $x = 2^t$। समीकरण में रखने पर:
$(2^t)^{4 + 3t} = 2^{7} \Rightarrow t(4 + 3t) = 7$.
$3t^{2} + 4t - 7 = 0$.
$(3t + 7)(t - 1) = 0$.
अतः,$t = 1$ या $t = -7/3$.
यदि $t = 1$,तो $\log_{2} x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$.
चूँकि $x \in N$,इसलिए $x = 2$ है।

(B) $(\alpha x^{\frac{1}{9}} + \beta x^{-\frac{1}{6}})^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{10}C_{r} \alpha^{10-r} \beta^{r} x^{\frac{10-r}{9} - \frac{r}{6}}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,घात शून्य होनी चाहिए:
$\frac{10-r}{9} - \frac{r}{6} = 0 \Rightarrow r = 4$.
स्वतंत्र पद $T_{5} = {}^{10}C_{4} \alpha^{6} \beta^{4} = 210 \alpha^{6} \beta^{4}$ है।
$\alpha^{3} + \beta^{2} = 4$ दिया गया है। $AM \geq GM$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{\alpha^{3}}{2} + \frac{\alpha^{3}}{2} + \frac{\beta^{2}}{2} + \frac{\beta^{2}}{2}}{4} \geq \sqrt[4]{\frac{\alpha^{6} \beta^{4}}{16}}$
$1 \geq \frac{\alpha^{6} \beta^{4}}{16} \Rightarrow \alpha^{6} \beta^{4} \leq 16$.
$T_{5}$ का अधिकतम मान $210 \times 16 = 3360$ है।
चूंकि $10k = 3360$,इसलिए $k = 336$ प्राप्त होता है।

(D) $(1+\frac{1}{x})^n$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k x^{-k}$ है।
यहाँ तीन क्रमागत गुणांकों ${}^{n}C_{r-1}, {}^{n}C_r, {}^{n}C_{r+1}$ का अनुपात $2:5:12$ दिया गया है।
$\frac{{}^{n}C_{r-1}}{{}^{n}C_r} = \frac{2}{5} \Rightarrow 7r = 2n + 2$ (समीकरण $1$).
$\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r+1}} = \frac{5}{12} \Rightarrow 17r = 5n - 12$ (समीकरण $2$).
दोनों समीकरणों को हल करने पर,$n = 118$ प्राप्त होता है।

(D) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$\left(\frac{3}{2} x^{2}-\frac{1}{3 x}\right)^{9}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद:
$T_{r+1} = {}^{9}C_{r} \left(\frac{3}{2} x^{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{1}{3x}\right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{9}C_{r} \left(\frac{3}{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{1}{3}\right)^{r} x^{18-3r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$18 - 3r = 0 \implies r = 6$
$k$ ज्ञात करने के लिए $r = 6$ रखने पर:
$k = {}^{9}C_{6} \left(\frac{3}{2}\right)^{3} \left(-\frac{1}{3}\right)^{6} = \frac{7}{18}$
अतः,$18k = 18 \times \frac{7}{18} = 7$.

(B) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {^nC_r} (3)^{\frac{n-r}{2}} (5)^{\frac{r}{8}}$ है,जहाँ $0 \le r \le n$ है।
पद को पूर्णांक होने के लिए,घातांक $\frac{n-r}{2}$ और $\frac{r}{8}$ दोनों को अऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए,अर्थात $r \in \{0, 8, 16, \dots, 8k\}$।
साथ ही,$\frac{n-r}{2}$ को पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $(n-r)$ सम होना चाहिए। चूँकि $r$ आठ का गुणज है,इसलिए $n$ को भी सम होना चाहिए।
चूँकि यहाँ $33$ पूर्णांक पद हैं,$r$ के संभावित मान $0, 8, 16, \dots, 8 \times 32$ हैं।
$r$ का अधिकतम मान $8 \times 32 = 256$ है।
चूँकि $r \le n$ है,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान $256$ है।

(C) माना $N = n+5.$
$(1+x)^N$ के विस्तार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक $^N C_{r-1}, ^N C_r,$ और $^N C_{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात $^N C_{r-1} : ^N C_r : ^N C_{r+1} = 5 : 10 : 14$ है।
$\frac{^N C_r}{^N C_{r-1}} = \frac{10}{5} = 2$ से,
$\frac{N-r+1}{r} = 2 \Rightarrow N+1 = 3r. \quad (1)$
$\frac{^N C_{r+1}}{^N C_r} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ से,
$\frac{N-r}{r+1} = \frac{7}{5} \Rightarrow 5N-12r = 7. \quad (2)$
$r = \frac{N+1}{3}$ को $(2)$ में रखने पर:
$5N - 4(N+1) = 7 \Rightarrow N = 11.$
अतः $r = 4.$
विस्तार $(1+x)^{11}$ है। सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद है,जो $^{11} C_6 = 462$ है।

(D) दिया गया है $(2x^2 + 3x + 4)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r x^r$.
इस सर्वसमिका में $x$ को $\frac{2}{x}$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$(2(\frac{2}{x})^2 + 3(\frac{2}{x}) + 4)^{10} = \sum_{r=0}^{20} a_r (\frac{2}{x})^r$.
$\frac{2^{10}(2x^2 + 3x + 4)^{10}}{x^{20}} = \sum_{r=0}^{20} a_r 2^r x^{-r}$.
$2^{10} \sum_{r=0}^{20} a_r x^r = \sum_{r=0}^{20} a_r 2^r x^{20-r}$.
$\frac{a_7}{a_{13}}$ का अनुपात प्राप्त करने के लिए,दोनों पक्षों में $x^7$ के गुणांकों की तुलना करने पर।
$L$.$H$.$S$. पर,$x^7$ का गुणांक $2^{10} a_7$ है।
$R$.$H$.$S$. पर,$20-r = 7$ रखने पर $r = 13$ प्राप्त होता है,अतः गुणांक $a_{13} 2^{13}$ है।
तुलना करने पर: $2^{10} a_7 = a_{13} 2^{13}$.
अतः,$\frac{a_7}{a_{13}} = \frac{2^{13}}{2^{10}} = 2^3 = 8$.

(C) हमारे पास $(1+x+x^{2}+x^{3})^{6} = ((1+x)(1+x^{2}))^{6} = (1+x)^{6}(1+x^{2})^{6}$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1+x)^{6} = \sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} x^{r}$ और $(1+x^{2})^{6} = \sum_{t=0}^{6} {}^{6}C_{t} x^{2t}$ है।
गुणनफल $\sum_{r=0}^{6} \sum_{t=0}^{6} {}^{6}C_{r} {}^{6}C_{t} x^{r+2t}$ है।
$x^{4}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$r+2t = 4$ रखते हैं। संभावित पूर्णांक हल $(r, t)$ इस प्रकार हैं:

$r$	$t$
$0$	$2$
$2$	$1$
$4$	$0$

गुणांक ${}^{6}C_{0} \times {}^{6}C_{2} + {}^{6}C_{2} \times {}^{6}C_{1} + {}^{6}C_{4} \times {}^{6}C_{0}$ है।
$= (1 \times 15) + (15 \times 6) + (15 \times 1) = 15 + 90 + 15 = 120$.

(C) $\left( x^{m} + x^{-2} \right)^{22}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{22}C_{r} (x^{m})^{22-r} (x^{-2})^{r} = {}^{22}C_{r} x^{22m - mr - 2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$x$ के गुणांक के लिए,हम $x$ के घातांक को $1$ के बराबर रखते हैं:
$22m - mr - 2r = 1 \implies r(m+2) = 22m - 1$।
हमें दिया गया है कि गुणांक $1540$ है,इसलिए ${}^{22}C_{r} = 1540$।
चूंकि ${}^{22}C_{3} = 1540$,इसलिए $r = 3$ या $r = 19$।
स्थिति $1$: यदि $r = 3$,तो $3(m+2) = 22m - 1 \implies 3m + 6 = 22m - 1 \implies 19m = 7$,जिससे $m = \frac{7}{19}$ प्राप्त होता है,जो एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $r = 19$,तो $19(m+2) = 22m - 1 \implies 19m + 38 = 22m - 1 \implies 3m = 39 \implies m = 13$।
अतः,प्राकृतिक संख्या $m$ का मान $13$ है।

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^{2}}\right)^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} (x^{1/2})^{10-r} (-k x^{-2})^{r}$
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} x^{(10-r)/2} (-k)^{r} x^{-2r}$
$T_{r+1} = {}^{10}C_{r} (-k)^{r} x^{(10-5r)/2}$
अचर पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{10-5r}{2} = 0$ $\Rightarrow 5r = 10$ $\Rightarrow r = 2$
$r = 2$ रखने पर:
$T_{3} = {}^{10}C_{2} (-k)^{2} = 405$
$45 \cdot k^{2} = 405$
$k^{2} = \frac{405}{45} = 9$
$|k| = \sqrt{9} = 3$

(B) दिया गया है $(1+x+2x^2)^{20} = \sum_{k=0}^{40} a_k x^k$.
$f(x) = (1+x+2x^2)^{20}$ लें।
$f(1) = a_0 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{40} = (1+1+2)^{20} = 4^{20} = 2^{40}$.
$f(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - \ldots + a_{40} = (1-1+2)^{20} = 2^{20}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $f(1) - f(-1) = 2(a_1 + a_3 + \ldots + a_{39}) = 2^{40} - 2^{20}$.
अतः,$a_1 + a_3 + \ldots + a_{39} = \frac{2^{40} - 2^{20}}{2} = 2^{39} - 2^{19}$.
हमें $a_1 + a_3 + \ldots + a_{37} = (a_1 + a_3 + \ldots + a_{39}) - a_{39}$ चाहिए।
$a_{39}$ ज्ञात करने के लिए,$(1+x+2x^2)^{20}$ में $x^{39}$ का गुणांक देखें।
बहुपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$a_{39} = \frac{20!}{0! 1! 19!} (1)^0 (1)^1 (2)^{19} = 20 \times 2^{19}$.
इस प्रकार,$a_1 + a_3 + \ldots + a_{37} = 2^{39} - 2^{19} - 20 \times 2^{19} = 2^{39} - 21 \times 2^{19} = 2^{19}(2^{20} - 21)$.

(C) सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} (\frac{a}{x^2})^r = {}^{n}C_{r} a^r x^{n-3r}$ है।
तीसरे,चौथे और पांचवें पदों के गुणांक क्रमशः ${}^{n}C_{2} a^2$,${}^{n}C_{3} a^3$ और ${}^{n}C_{4} a^4$ हैं।
दिया गया अनुपात ${}^{n}C_{2} a^2 : {}^{n}C_{3} a^3 : {}^{n}C_{4} a^4 = 12 : 8 : 3$ है।
$\frac{{}^{n}C_{2} a^2}{{}^{n}C_{3} a^3} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ से,हमें $a(n-2) = 2$ प्राप्त होता है।
$\frac{{}^{n}C_{3} a^3}{{}^{n}C_{4} a^4} = \frac{8}{3}$ से,हमें $a(n-3) = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
इन्हें हल करने पर,$n=6$ और $a=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए $n-3r = 0$,इसलिए $6-3r = 0 \implies r=2$।
अतः पद ${}^{6}C_{2} a^2 = 15 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{15}{4} = 3.75$ है।
निकटतम पूर्णांक $4$ है।

(C) कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
पहला पद: $\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
दूसरा पद: $\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1 + x^{-1/2}$
घटाने पर: $(x^{1/3}+1) - (1 + x^{-1/2}) = x^{1/3} - x^{-1/2}$
व्यंजक $(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ हो जाता है।
व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$.
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,घातांक शून्य होना चाहिए:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$ $\Rightarrow 20 - 5r = 0$ $\Rightarrow r = 4$.
अतः पद ${}^{10}C_4 = 210$ है।

(B) $\left( tx^{\frac{1}{5}} + \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (tx^{\frac{1}{5}})^{10-r} \left( \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^r$ है।
$t$ से स्वतंत्र पद के लिए,$t$ का घातांक शून्य होना चाहिए: $(10-r) - r = 0 \Rightarrow r = 5$.
अतः,$t$ से स्वतंत्र पद $T_6 = {}^{10}C_5 (x^{\frac{1}{5}})^5 ((1-x)^{\frac{1}{10}})^5 = {}^{10}C_5 x(1-x)^{1/2}$ है।
माना $f(x) = {}^{10}C_5 x(1-x)^{1/2}$ है। अधिकतम मान के लिए,$f'(x) = 0$ लेने पर:
$f'(x) = {}^{10}C_5 \left[ (1-x)^{1/2} - \frac{x}{2\sqrt{1-x}} \right] = {}^{10}C_5 \frac{2(1-x) - x}{2\sqrt{1-x}} = {}^{10}C_5 \frac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}$.
$f'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.
अधिकतम मान $f(\frac{2}{3}) = {}^{10}C_5 (\frac{2}{3}) \sqrt{1-\frac{2}{3}} = {}^{10}C_5 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 10!}{3\sqrt{3}(5!)^2}$.

(C) $\left(\frac{x}{4}-\frac{12}{x^{2}}\right)^{12}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} \left(\frac{x}{4}\right)^{12-r} \left(-\frac{12}{x^{2}}\right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{12}C_{r} \left(\frac{1}{4}\right)^{12-r} (-1)^{r} (12)^{r} x^{12-3r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$12-3r = 0 \Rightarrow r = 4$
$r=4$ रखने पर:
$T_{5} = {}^{12}C_{4} \left(\frac{1}{4}\right)^{8} (-1)^{4} (12)^{4} = 495 \times \frac{3^{4}}{4^{4}}$
दिए गए पद $\left(\frac{3^{6}}{4^{4}}\right) k$ के साथ तुलना करने पर:
$495 \times \frac{3^{4}}{4^{4}} = \frac{3^{6}}{4^{4}} \times k$
$k = \frac{495}{3^{2}} = 55$

(C) $(x+y)^{n}$ के विस्तार में गुणांकों का योग $x=1$ और $y=1$ रखकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,$(1+1)^{n} = 2^{n} = 4096$.
चूंकि $2^{12} = 4096$,इसलिए $n = 12$.
$(x+y)^{n}$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद का गुणांक होता है,जो $n$ सम होने पर $^{n}C_{n/2}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 12$ के लिए,सबसे बड़ा गुणांक $^{12}C_{6}$ है।
$^{12}C_{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $y = (1-x)(1-x)^{100}(x^{2}+x+1)^{100}$
चूंकि $(1-x)(1+x+x^{2}) = (1-x^{3})$,हम अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = (1-x)((1-x)(1+x+x^{2}))^{100} = (1-x)(1-x^{3})^{100}$
इसका विस्तार करने पर:
$y = (1-x^{3})^{100} - x(1-x^{3})^{100}$
हमें $x^{256}$ का गुणांक चाहिए।
$(1-x^{3})^{100}$ में,सामान्य पद $^{100}C_{r}(-1)^{r}(x^{3})^{r} = ^{100}C_{r}(-1)^{r}x^{3r}$ है।
$x^{256}$ के लिए,$3r = 256$ संभव नहीं है।
$-x(1-x^{3})^{100}$ में,हमें $(1-x^{3})^{100}$ में $x^{255}$ का गुणांक ज्ञात करना होगा।
$3r = 255$ रखने पर,$r = 85$ प्राप्त होता है।
पद $-1 \times (^{100}C_{85}(-1)^{85}x^{255}) = -1 \times (^{100}C_{85} \times -1)x^{255} = ^{100}C_{85}x^{255}$ है।
चूंकि $^{100}C_{85} = ^{100}C_{15}$,इसलिए गुणांक $^{100}C_{15}$ है।

(B) $(4^{1/4} + 5^{1/6})^{120}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (4^{1/4})^{120-r} (5^{1/6})^r$
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (2^{1/2})^{120-r} (5^{r/6})$
$T_{r+1} = {}^{120}C_r (2^{60 - r/2}) (5^{r/6})$
पद के परिमेय होने के लिए,$2$ और $5$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$r/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए (इसलिए $r$,$2$ का गुणज है) और $r/6$ एक पूर्णांक होना चाहिए (इसलिए $r$,$6$ का गुणज है)।
इसलिए,$r$,$\text{lcm}(2, 6) = 6$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \leq r \leq 120$ है,$r$ के संभावित मान $0, 6, 12, \dots, 120$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 0$,$d = 6$,और $l = 120$ है।
पदों की कुल संख्या $n = 21$ है।

(D) $\left(2x^{r} + x^{-2}\right)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{10}C_{k} (2x^{r})^{10-k} (x^{-2})^{k}$ द्वारा दिया जाता है।
अचर पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए,इसलिए $r(10-k) - 2k = 0$,जिसका अर्थ है $r = \frac{2k}{10-k}$।
अचर पद ${}^{10}C_{k} \cdot 2^{10-k} = 180$ है।
$k$ के लिए पूर्णांक मानों की जाँच करने पर जहाँ $0 \le k \le 10$:
यदि $k = 8$ है,तो ${}^{10}C_{8} \cdot 2^{10-8} = {}^{10}C_{2} \cdot 2^{2} = 45 \cdot 4 = 180$।
$r$ के समीकरण में $k = 8$ रखने पर:
$r = \frac{2(8)}{10-8} = \frac{16}{2} = 8$।

(B) कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$
$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = 1 + x^{-1/2}$
अतः,व्यंजक $(x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$ हो जाता है।
सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
'$x$' से स्वतंत्र पद के लिए घातांक शून्य होना चाहिए:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 4$
अतः,स्वतंत्र पद $T_5 = {}^{10}C_4 = 210$ है।

(C) $(1+x)^{20}$ के विस्तार में मध्य पद $\left(\frac{20}{2} + 1\right) = 11$ वां पद है।
इसका गुणांक $^{20}C_{10}$ है।
$(1+x)^{19}$ के विस्तार में मध्य पद $\left(\frac{19+1}{2}\right) = 10$ वां और $\left(\frac{19+1}{2} + 1\right) = 11$ वां पद हैं।
उनके गुणांक $^{19}C_{9}$ और $^{19}C_{10}$ हैं।
इन गुणांकों का योग $^{19}C_{9} + ^{19}C_{10}$ है।
पास्कल के सर्वसमिका $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर,$^{19}C_{9} + ^{19}C_{10} = ^{20}C_{10}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट अनुपात $\frac{^{20}C_{10}}{^{19}C_{9} + ^{19}C_{10}} = \frac{^{20}C_{10}}{^{20}C_{10}} = 1$ है।

(D) $(2^{1/3} + 3^{1/4})^{12}$ के विस्तार का व्यापक पद $T_{r+1} = ^{12}C_{r} (2^{1/3})^{12-r} (3^{1/4})^{r}$ है,जहाँ $0 \le r \le 12$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$2$ और $3$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\frac{12-r}{3}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $r$,$3$ का गुणज होना चाहिए $(r \in \{0, 3, 6, 9, 12\})$।
साथ ही,$\frac{r}{4}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $r$,$4$ का गुणज होना चाहिए $(r \in \{0, 4, 8, 12\})$।
$r$ के लिए सामान्य मान $r = 0$ और $r = 12$ हैं।
$r = 0$ के लिए: $T_{1} = ^{12}C_{0} (2^{1/3})^{12} (3^{1/4})^{0} = 1 \times 2^{4} \times 1 = 16$।
$r = 12$ के लिए: $T_{13} = ^{12}C_{12} (2^{1/3})^{0} (3^{1/4})^{12} = 1 \times 1 \times 3^{3} = 27$।
इन परिमेय पदों का योग $16 + 27 = 43$ है।

(A) $(x \sin \alpha + a \frac{\cos \alpha}{x})^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (x \sin \alpha)^{10-r} (a \frac{\cos \alpha}{x})^r$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए,इसलिए $10-r-r = 0$,जिसका अर्थ है $r = 5$।
$x$ से स्वतंत्र पद $T_6 = {}^{10}C_5 (\sin \alpha)^5 (a \cos \alpha)^5 = {}^{10}C_5 a^5 (\sin \alpha \cos \alpha)^5$ है।
सर्वसमिका $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर,$T_6 = {}^{10}C_5 \frac{a^5}{2^5} (\sin 2\alpha)^5$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\sin 2\alpha = 1$ हो,इसलिए अधिकतम मान ${}^{10}C_5 \frac{a^5}{32}$ है।
यह दिया गया है कि अधिकतम मान $\frac{10!}{(5!)^2} = {}^{10}C_5$ है,इसलिए ${}^{10}C_5 \frac{a^5}{32} = {}^{10}C_5$।
अतः,$\frac{a^5}{32} = 1$,जिसका अर्थ है $a^5 = 32$,इसलिए $a = 2$।

(B) $(2+\frac{x}{3})^{n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (2)^{n-r} (\frac{x}{3})^{r} = {}^{n}C_{r} (2)^{n-r} (\frac{1}{3})^{r} x^{r}$ है।
$x^{7}$ का गुणांक ${}^{n}C_{7} (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^{7}$ है।
$x^{8}$ का गुणांक ${}^{n}C_{8} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{8}$ है।
चूंकि ये गुणांक समान हैं:
${}^{n}C_{7} (2)^{n-7} (\frac{1}{3})^{7} = {}^{n}C_{8} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{8}$.
दोनों पक्षों को ${}^{n}C_{7} (2)^{n-8} (\frac{1}{3})^{7}$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{{}^{n}C_{8}}{{}^{n}C_{7}} \cdot \frac{1}{3}$.
गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{{}^{n}C_{8}}{{}^{n}C_{7}} = \frac{n-8+1}{8} = \frac{n-7}{8}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$2 = \frac{n-7}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{n-7}{24}$.
$n-7 = 48 \Rightarrow n = 55$.

(A) $(x^{2}+\frac{1}{bx})^{11}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(x^{2})^{11-r}(\frac{1}{bx})^{r} = {}^{11}C_{r} \cdot b^{-r} \cdot x^{22-3r}$ है।
$22-3r = 7$ रखने पर,$3r = 15$,अतः $r = 5$ प्राप्त होता है।
$x^{7}$ का गुणांक ${}^{11}C_{5} \cdot b^{-5}$ है।
$(x-\frac{1}{bx^{2}})^{11}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(x)^{11-r}(-\frac{1}{bx^{2}})^{r} = {}^{11}C_{r} \cdot (-1)^{r} \cdot b^{-r} \cdot x^{11-3r}$ है।
$11-3r = -7$ रखने पर,$3r = 18$,अतः $r = 6$ प्राप्त होता है।
$x^{-7}$ का गुणांक ${}^{11}C_{6} \cdot (-1)^{6} \cdot b^{-6} = {}^{11}C_{6} \cdot b^{-6}$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: ${}^{11}C_{5} \cdot b^{-5} = {}^{11}C_{6} \cdot b^{-6}$।
चूँकि ${}^{11}C_{5} = {}^{11}C_{6}$,इसलिए $\frac{1}{b^{5}} = \frac{1}{b^{6}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$b = 1$।

(B) माना $a = 3^{\log _{3} \sqrt{25^{x-1}+7}} = \sqrt{25^{x-1}+7}$ और $b = 3^{\left(-\frac{1}{8}\right) \log _{3}\left(5^{x-1}+1\right)} = (5^{x-1}+1)^{-1/8}$.
विस्तार $(a+b)^{10}$ है। नौवां पद $T_9 = {}^{10}C_8 a^2 b^8$ है।
मान रखने पर: ${}^{10}C_8 = 45$,$a^2 = 25^{x-1}+7$,और $b^8 = (5^{x-1}+1)^{-1}$.
अतः,$45 \times \frac{25^{x-1}+7}{5^{x-1}+1} = 180$.
$45$ से भाग देने पर,$\frac{25^{x-1}+7}{5^{x-1}+1} = 4$.
माना $t = 5^{x-1}$. तब $\frac{t^2+7}{t+1} = 4$.
$t^2+7 = 4t+4 \Rightarrow t^2-4t+3 = 0$.
$(t-1)(t-3) = 0$,अतः $t=1$ या $t=3$.
यदि $5^{x-1} = 1$,तो $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
यदि $5^{x-1} = 3$,तो $x-1 = \log_5 3 \Rightarrow x = 1 + \log_5 3$.

(D) व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r 2^{10-r} 3^r x^{30-4r}$ है।
धनात्मक सम घातों के लिए $30-4r > 0$ और $30-4r$ सम होना चाहिए,अतः $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$।
कुल योग $5^{10}$ में से $r=8, 9, 10$ के पदों को घटाने पर,हमें $\beta \cdot 3^9$ प्राप्त होता है।
गणना करने पर $\beta = 83$ प्राप्त होता है।

(B) $(x^{n} + 2x^{-5})^{7}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{7}C_{r} (x^{n})^{7-r} (2x^{-5})^{r} = {}^{7}C_{r} \cdot 2^{r} \cdot x^{n(7-r) - 5r}$ है।
गुणांक $C_{r} = {}^{7}C_{r} \cdot 2^{r}$ हैं,जहाँ $r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ है।
हमें दिया गया है कि $x$ की धनात्मक घातों के गुणांकों का योग $939$ है।
गुणांकों की गणना:
$r=0: C_{0} = 1, \text{घात}: 7n$
$r=1: C_{1} = 14, \text{घात}: 6n-5$
$r=2: C_{2} = 84, \text{घात}: 5n-10$
$r=3: C_{3} = 280, \text{घात}: 4n-15$
$r=4: C_{4} = 560, \text{घात}: 3n-20$
$r=5: C_{5} = 672, \text{घात}: 2n-25$
योग: $1 + 14 + 84 + 280 + 560 = 939$ है।
इसका अर्थ है कि $r=4$ के लिए घात $\geq 0$ और $r=5$ के लिए घात $< 0$ होनी चाहिए।
$3n - 20 \geq 0 \implies n \geq 6.66$।
$2n - 25 < 0 \implies n < 12.5$।
चूँकि $n$ एक पूर्णांक है,$n \in \{7, 8, 9, 10, 11, 12\}$।
योग = $7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 57$।

(A) $\left(\frac{x^{1/2}}{5^{1/4}} + \frac{5^{1/2}}{x^{1/3}}\right)^{60}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{60}C_r \left(x^{1/2} \cdot 5^{-1/4}\right)^{60-r} \left(5^{1/2} \cdot x^{-1/3}\right)^r$
$x^{10}$ के गुणांक के लिए,$x$ का घातांक $10$ रखने पर:
$\frac{60-r}{2} - \frac{r}{3} = 10 \Rightarrow r = 24$
गुणांक $= {}^{60}C_{24} \cdot 5^{24/2 - 36/4} = {}^{60}C_{24} \cdot 5^3$
लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हुए,${}^{60}C_{24}$ में $5$ का घातांक $14 - (4+8) = 2$ है।
अतः,$5$ का कुल घातांक $2 + 3 = 5$ है।
इसलिए,$k = 5$।

(B) व्यंजक $(1-x^{2}+3x^{3})(\frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{5x^{2}})^{11}$ है।
$(\frac{5}{2}x^{3}-\frac{1}{5x^{2}})^{11}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(\frac{5}{2}x^{3})^{11-r}(-\frac{1}{5x^{2}})^{r}$ है।
इसे सरल करने पर,$T_{r+1} = {}^{11}C_{r}(\frac{5}{2})^{11-r}(-\frac{1}{5})^{r}x^{33-5r}$ प्राप्त होता है।
$x$ से स्वतंत्र पद प्राप्त करने के लिए:
$1$. $1 \times x^{0}$ का गुणांक।
$2$. $-x^{2} \times x^{-2}$ का गुणांक।
$3$. $3x^{3} \times x^{-3}$ का गुणांक।
$x^{-2}$ के लिए $33-5r = -2 \Rightarrow r = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ से स्वतंत्र पद $-1 \times [{}^{11}C_{7}(\frac{5}{2})^{4}(-\frac{1}{5})^{7}] = \frac{33}{200}$ है।

(C) $\left(2x^3 + \frac{3}{x^k}\right)^{12}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{12}C_r (2x^3)^r \left(\frac{3}{x^k}\right)^{12-r}$ है।
अचर पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए: $3r - k(12-r) = 0$,जिसका अर्थ है $k = \frac{3r}{12-r}$.
$r$ के मानों के लिए,$r=6$ और $r=8$ पर हमें $2^8$ का गुणांक प्राप्त होता है।
अतः,$k$ के ऐसे $2$ मान संभव हैं।

(C) $(2x^{1/5} - x^{-1/5})^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{15}C_k (2x^{1/5})^{15-k} (-x^{-1/5})^k$ द्वारा दिया जाता है।
$T_{k+1} = {}^{15}C_k \cdot 2^{15-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{(15-2k)/5}$.
$x^{-1}$ के गुणांक के लिए,$(15-2k)/5 = -1 \implies k = 10$.
अतः,$m = {}^{15}C_{10} \cdot 2^5 = {}^{15}C_5 \cdot 2^5$.
$x^{-3}$ के गुणांक के लिए,$(15-2k)/5 = -3 \implies k = 15$.
अतः,$n = {}^{15}C_{15} \cdot 2^0 \cdot (-1)^{15} = -1$.
दिया गया है कि $mn^2 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$,इसलिए $({}^{15}C_5 \cdot 2^5) \cdot (-1)^2 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$.
${}^{15}C_5 \cdot 2^5 = {}^{15}C_r \cdot 2^r$.
तुलना करने पर,$r = 5$ प्राप्त होता है।

(A) $\left( t^{2} x^{\frac{1}{5}} + \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{15}C_{r} (t^{2} x^{\frac{1}{5}})^{15-r} \cdot \left( \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{r}$
$T_{r+1} = {}^{15}C_{r} t^{30-3r} x^{\frac{15-r}{5}} (1-x)^{\frac{r}{10}}$
$t$ से स्वतंत्र पद के लिए,$t$ का घातांक शून्य होना चाहिए:
$30 - 3r = 0 \implies r = 10$
$r = 10$ रखने पर,$t$ से स्वतंत्र पद:
$T_{11} = {}^{15}C_{10} x(1-x) = 3003 x(1-x)$
$f(x) = x(1-x)$ का अधिकतम मान $x = \frac{1}{2}$ पर प्राप्त होता है,जो $\frac{1}{4}$ है।
अतः,$K = 3003 \times \frac{1}{4} = 750.75$
$8K = 8 \times 750.75 = 6006$

(A) सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} (6x)^{r} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} 6^{r} x^{r}$ है।
$x = \frac{3}{2}$ के लिए,$T_{r+1} = {}^{n}C_{r} 3^{n-r} 6^{r} (\frac{3}{2})^{r} = {}^{n}C_{r} 3^{n+r}$ होता है।
चूंकि $T_{9}$ सबसे बड़ा पद है,इसलिए $T_{9} \ge T_{10}$ और $T_{9} \ge T_{8}$ होगा।
$\frac{T_{9}}{T_{10}} \ge 1$ से,$\frac{{}^{n}C_{8} 3^{n+8}}{{}^{n}C_{9} 3^{n+9}} \ge 1 \implies n \le 11$ प्राप्त होता है।
$\frac{T_{9}}{T_{8}} \ge 1$ से,$\frac{{}^{n}C_{8} 3^{n+8}}{{}^{n}C_{7} 3^{n+7}} \ge 1 \implies n \ge 9.66$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम पूर्णांक $n_{0} = 10$ है।
$n=10$ के लिए,विस्तार $(3+6x)^{10}$ है।
$x^{6}$ का गुणांक ${}^{10}C_{6} 3^{4} 6^{6} = 210 \cdot 3^{10} \cdot 2^{6}$ है।
$x^{3}$ का गुणांक ${}^{10}C_{3} 3^{7} 6^{3} = 120 \cdot 3^{10} \cdot 2^{3}$ है।
अनुपात $k = \frac{210 \cdot 3^{10} \cdot 2^{6}}{120 \cdot 3^{10} \cdot 2^{3}} = 14$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$k + n_{0} = 14 + 10 = 24$।

(A) $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^{4}$ का मध्य पद $3^{rd}$ पद है: $T_{3} = {}^{4}C_{2} \left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^{2} (\beta x)^{2} = \beta^{2} x^{2}$. गुणांक $\beta^{2}$ है।
$(1-3 \beta x)^{2}$ का मध्य पद $2^{nd}$ पद है: $T_{2} = {}^{2}C_{1} (1)^{1} (-3 \beta x)^{1} = -6 \beta x$. गुणांक $-6 \beta$ है।
$\left(1-\frac{\beta}{2} x\right)^{6}$ का मध्य पद $4^{th}$ पद है: $T_{4} = {}^{6}C_{3} (1)^{3} \left(-\frac{\beta}{2} x\right)^{3} = -\frac{5}{2} \beta^{3} x^{3}$. गुणांक $-\frac{5}{2} \beta^{3}$ है।
चूंकि ये $A.P.$ में हैं,$2(-6 \beta) = \beta^{2} - \frac{5}{2} \beta^{3}$.
$\beta > 0$ होने के कारण,$\beta = \frac{12}{5}$.
$d = -6 \beta - \beta^{2} = -\frac{504}{25}$.
$50 - \frac{2d}{\beta^{2}} = 50 + 7 = 57$.

(A) द्विपद विस्तार $(\sqrt[4]{2} + 3^{-1/4})^n$ है।
प्रारंभ से $5$-वाँ पद $T_5 = {^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1/4})^4$ है।
अंत से $5$-वाँ पद प्रारंभ से $(n-3)$-वाँ पद है,जो $T_{n-3} = {^nC_4} (2^{1/4})^4 (3^{-1/4})^{n-4}$ है।
अनुपात $\frac{T_5}{T_{n-3}} = 6^{(n-8)/4}$ है।
दिया गया है कि $6^{(n-8)/4} = 6^{1/4}$,इसलिए $n-8 = 1$,जिसका अर्थ है $n = 9$।
प्रारंभ से $6$-ठा पद $T_6 = {^9C_5} (2^{1/4})^4 (3^{-1/4})^5 = \frac{84}{3^{1/4}}$ है।
अतः,$\alpha = 84$।

(C) हमारे पास $A_n = \max \left\{ \binom{n}{r} \mid 0 \leq r \leq n \right\}$ है।
स्थिति $I$: जब $n$ सम है,$A_n = \binom{n}{n/2}$।
अतः $\frac{A_n}{A_{n-1}} = \frac{\binom{n}{n/2}}{\binom{n-1}{(n-2)/2}} = 2$।
चूँकि $1.9 \leq 2 \leq 2$,$n$ के सभी सम मान शर्त को पूरा करते हैं। ऐसे $10$ मान हैं $(n = 2, 4, \ldots, 20)$।
स्थिति $II$: जब $n$ विषम है,$A_n = \binom{n}{(n-1)/2}$।
अतः $\frac{A_n}{A_{n-1}} = \frac{2n}{n+1}$।
शर्त $1.9 \leq \frac{2n}{n+1} \leq 2$ के लिए,$n \geq 19$ प्राप्त होता है।
$n \in \{1, 3, \ldots, 19\}$ में से,केवल $n = 19$ इस शर्त को पूरा करता है।
कुल मान $10 + 1 = 11$ हैं।

(C) विस्तार $\left(x^{1/2} + \frac{1}{2x^{1/4}}\right)^n$ का सामान्य पद $T_{r+1} = { }^n C_r \cdot 2^{-r} \cdot x^{\frac{2n-3r}{4}}$ है।
पहले तीन पदों के गुणांक $T_1 = { }^n C_0$,$T_2 = \frac{{ }^n C_1}{2}$,और $T_3 = \frac{{ }^n C_2}{4}$ हैं।
दिया गया है कि $T_1, T_2, T_3$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2T_2 = T_1 + T_3$ है।
$n = 1 + \frac{n(n-1)}{8} \Rightarrow n^2 - 9n + 8 = 0$।
$(n-1)(n-8) = 0$। $n=8$ लेने पर।
$x$ की घात $\frac{16-3r}{4} = 4 - \frac{3r}{4}$ है।
पूर्णांक घात के लिए $r = 0, 4, 8$ संभव है।
अतः,$x$ की पूर्णांक घात वाले $3$ पद हैं।

(B) माना $f(k) = \frac{(\sqrt{101})^k}{k!}$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात $\frac{f(k)}{f(k-1)} = \frac{\sqrt{101}}{k}$ की जाँच करते हैं।
हम $k$ का वह मान ज्ञात करना चाहते हैं जिसके लिए $f(k) \ge f(k-1)$ हो,जिसका अर्थ है $\frac{\sqrt{101}}{k} \ge 1$,या $k \le \sqrt{101}$।
चूँकि $\sqrt{101} \approx 10.05$ है,इसलिए शर्त $k \le 10.05$,$k = 1, 2, \dots, 10$ के लिए सत्य है।
इसका अर्थ है कि $f(1) < f(2) < \dots < f(10)$ है।
$k > 10$ के लिए,अनुपात $\frac{\sqrt{101}}{k} < 1$ है,इसलिए $f(k) < f(k-1)$ है।
अतः,अनुक्रम $k=10$ तक बढ़ता है और फिर घटता है।
इसलिए,अधिकतम मान $k = 10$ पर प्राप्त होता है।