General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Hindi

(B) $(p+q)^{n}$ के विस्तार का सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{n}C_{k} p^{n-k} q^{k}$ है।
दिया गया है कि $r$-वाँ पद और $(r+1)$-वाँ पद समान हैं,इसलिए $T_{r} = T_{r+1}$।
$T_{r} = {}^{n}C_{r-1} p^{n-r+1} q^{r-1}$ और $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} p^{n-r} q^{r}$।
उन्हें बराबर करने पर: ${}^{n}C_{r-1} p^{n-r+1} q^{r-1} = {}^{n}C_{r} p^{n-r} q^{r}$।
दोनों पक्षों को ${}^{n}C_{r-1} p^{n-r} q^{r-1}$ से विभाजित करने पर,हमें $p = \frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} q$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$p = \frac{n-r+1}{r} q$ मिलता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $pr = (n-r+1)q = nq - rq + q = q(n+1) - rq$ प्राप्त होता है।
अतः,$pr + rq = q(n+1)$,जिसका अर्थ है $r(p+q) = q(n+1)$।
इसलिए,$\frac{q(n+1)}{r(p+q)} = 1$।

(A) हमें दिया गया योग $S = \sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} = 576$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} C_{k} x^{k} = (1+x)^{n}$ होता है।
$x$ से गुणा करने पर,$\sum_{k=0}^{n} C_{k} x^{k+1} = x(1+x)^{n}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} x^{k} = (1+x)^{n} + nx(1+x)^{n-1}$।
$x=1$ रखने पर,$\sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} = (1+1)^{n} + n(1)(1+1)^{n-1} = 2^{n} + n \cdot 2^{n-1}$।
यह $2^{n-1}(2+n) = 576$ में सरल हो जाता है।
हम $576 = 64 \times 9 = 2^{6} \times 9 = 2^{7-1}(7+2)$ लिख सकते हैं।
$2^{n-1}(n+2) = 2^{7-1}(7+2)$ की तुलना करने पर,$n=7$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यंजक $ \left(\frac{10}{x}+\frac{x}{10}\right)^{10} $ है।
यहाँ,घात $ n = 10 $ है,जो एक सम संख्या है।
इसलिए,विस्तार में पदों की कुल संख्या $ n + 1 = 11 $ है।
मध्य पद $ \left(\frac{n}{2} + 1\right) $-वाँ पद है,अर्थात $ \left(\frac{10}{2} + 1\right) = 6 $-ठाँ पद।
$ (a+b)^n $ के विस्तार का व्यापक पद $ T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r} $ द्वारा दिया जाता है।
$ 6 $-ठे पद के लिए,$ r = 5 $ लेने पर।
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{10}{x}\right)^{10-5} \left(\frac{x}{10}\right)^{5} $.
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \left(\frac{10}{x}\right)^{5} \left(\frac{x}{10}\right)^{5} $.
$ T_{6} = {}^{10}C_{5} \times 1 = {}^{10}C_{5} $.

(D) $(1+x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r x^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{44}$ के विस्तार के लिए,$21^{\text{st}}$ पद $T_{21} = T_{20+1} = {}^{44}C_{20} x^{20}$ है।
$22^{\text{nd}}$ पद $T_{22} = T_{21+1} = {}^{44}C_{21} x^{21}$ है।
दिया गया है कि $T_{21} = T_{22}$,इसलिए ${}^{44}C_{20} x^{20} = {}^{44}C_{21} x^{21}$ है।
दोनों पक्षों को $x^{20}$ से विभाजित करने पर (मान लें $x \neq 0$),हमें $x = \frac{{}^{44}C_{20}}{{}^{44}C_{21}}$ प्राप्त होता है।
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{44!}{20!24!} \times \frac{21!23!}{44!} = \frac{21!}{20!} \times \frac{23!}{24!} = \frac{21}{1} \times \frac{1}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$.

(C) माना $y = \sqrt{x^2-1}$. व्यंजक $(x+y)^8 + (x-y)^8$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(x+y)^8 + (x-y)^8 = 2 \sum_{k=0, 2, 4, 6, 8} \binom{8}{k} x^{8-k} y^k$.
$y^2 = x^2-1$ प्रतिस्थापित करने पर,पद इस प्रकार हैं:
$2 [ \binom{8}{0} x^8 + \binom{8}{2} x^6(x^2-1) + \binom{8}{4} x^4(x^2-1)^2 + \binom{8}{6} x^2(x^2-1)^3 + \binom{8}{8} (x^2-1)^4 ]$.
$x$ की उच्चतम घात $x^8$ है।
$x^8$ का गुणांक $2 [ \binom{8}{0} + \binom{8}{2} + \binom{8}{4} + \binom{8}{6} + \binom{8}{8} ]$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$.
अतः,योग $2 \times 2^{8-1} = 2 \times 2^7 = 2^8 = 256$ है।

(A) हमारे पास $(1-x+x^2-x^3)^4 = [(1-x) + x^2(1-x)]^4 = [(1-x)(1+x^2)]^4 = (1-x)^4(1+x^2)^4$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके दोनों पदों का विस्तार करने पर:
$(1-x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4$।
$(1+x^2)^4 = 1 + 4x^2 + 6x^4 + 4x^6 + x^8$।
हमें $(1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4)(1 + 4x^2 + 6x^4 + 4x^6 + x^8)$ के गुणनफल में $x^4$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$x^4$ देने वाले पद हैं:
$(1 \times 6x^4) + (6x^2 \times 4x^2) + (x^4 \times 1) = 6x^4 + 24x^4 + 1x^4 = 31x^4$।
अतः,$x^4$ का गुणांक $31$ है।

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में $2^{\text{nd}}$,$3^{\text{rd}}$ और $4^{\text{th}}$ पदों के गुणांक क्रमशः $\binom{n}{1}$,$\binom{n}{2}$ और $\binom{n}{3}$ हैं।
चूँकि ये $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2 \binom{n}{2} = \binom{n}{1} + \binom{n}{3}$ होगा।
द्विपद गुणांकों का विस्तार करने पर: $2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
$n$ से विभाजित करने पर ($n > 0$ है): $n-1 = 1 + \frac{(n-1)(n-2)}{6}$.
$6$ से गुणा करने पर: $6n - 6 = 6 + (n^2 - 3n + 2)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $n^2 - 9n + 14 = 0$.
द्विघात समीकरण के गुणनखंड करने पर: $(n-7)(n-2) = 0$.
अतः,$n = 7$ या $n = 2$.
$4^{\text{th}}$ पद के अस्तित्व के लिए,$n \ge 3$ होना चाहिए,इसलिए $n = 7$।

(C) $(x+a)^{15}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r x^{15-r} a^r$ है।
दिया गया है $T_{11} = \sqrt{T_8 T_{12}}$।
पदों को प्रतिस्थापित करने पर: ${}^{15}C_{10} x^5 a^{10} = \sqrt{({}^{15}C_7 x^8 a^7)({}^{15}C_{11} x^4 a^{11})}$।
गणना करने पर $\frac{x}{a} \approx 1.013$ प्राप्त होता है।
सबसे बड़ा पद $T_{r+1}$ ज्ञात करने के लिए $r = \lfloor \frac{(n+1)|x|}{|x|+|a|} \rfloor$ सूत्र का उपयोग करने पर,
$r = \lfloor \frac{16 \cdot 1.013}{1.013+1} \rfloor = 8$।
अतः,$T_{8+1} = T_9$ सबसे बड़ा पद है।

(C) दी गई व्यंजक $(x^2+x-2)^5$ है।
हम द्विघात व्यंजक $x^2+x-2$ का गुणनखंड $(x+2)(x-1)$ के रूप में कर सकते हैं।
अतः,व्यंजक $((x+2)(x-1))^5 = (x+2)^5(x-1)^5$ हो जाता है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^k 2^{5-k}$ और $(x-1)^5 = \sum_{j=0}^{5} \binom{5}{j} x^j (-1)^{5-j}$।
हमें इन दो विस्तारों के गुणनफल में $x^2$ का गुणांक ज्ञात करना है।
गुणनफल $(\binom{5}{0}2^5 + \binom{5}{1}2^4 x + \binom{5}{2}2^3 x^2 + \dots) \times (\binom{5}{0}(-1)^5 + \binom{5}{1}(-1)^4 x + \binom{5}{2}(-1)^3 x^2 + \dots)$ है।
मान लीजिए $A = (32 + 80x + 80x^2 + \dots)$ और $B = (-1 + 5x - 10x^2 + \dots)$।
$x^2$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$(32 \times -10) + (80 \times 5) + (80 \times -1) = -320 + 400 - 80 = 0$।
अतः,$x^2$ का गुणांक $0$ है।

(A) $(\sqrt{x}+\sqrt[k]{y})^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{10}{r} x^{(10-r)/2} y^{r/k}$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \dots, 10$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$\frac{10-r}{2}$ और $\frac{r}{k}$ दोनों पूर्णांक होने चाहिए।
कुल $11$ पदों में से $9$ अपरिमेय हैं,इसलिए $2$ पद परिमेय होने चाहिए।
$r=0$ के लिए,$T_1 = x^5$ हमेशा परिमेय है।
$r=10$ के लिए,$T_{11} = y^{10/k}$ परिमेय है यदि $k$,$10$ का भाजक हो।
$k=5$ और $k=10$ के लिए,हमें ठीक $2$ परिमेय पद प्राप्त होते हैं।

(C) $(x+y^2)^{13}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = \binom{13}{k} x^{13-k} y^{2k}$ है,जहाँ $0 \le k \le 13$.
यहाँ,$r = 13-k$ और $s = 2k$.
$(x^2+y)^{14}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{j+1} = \binom{14}{j} x^{28-2j} y^j$ है,जहाँ $0 \le j \le 14$.
यहाँ,$r = 28-2j$ और $s = j$.
पदों के समान होने के लिए,$13-k = 28-2j$ और $2k = j$ होना चाहिए।
$j = 2k$ को पहले समीकरण में रखने पर: $13-k = 28-4k \implies 3k = 15 \implies k = 5$.
अतः $j = 10$.
इस प्रकार,$\alpha = 1$ पद मिलता है।
इस पद के लिए,$r = 8$ और $s = 10$,इसलिए $r+s = 18$.
परिणामस्वरूप,$\alpha \sum (r+s) = 1 \times 18 = 18$.

(B) विस्तार $(1+\alpha x+\beta x^2)(1+x)^{11}$ है।
द्विपद विस्तार $(1+x)^{11} = \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} x^k$ का उपयोग करते हुए,व्यंजक इस प्रकार है:
$(1+\alpha x+\beta x^2) \sum_{k=0}^{11} \binom{11}{k} x^k = \sum \binom{11}{k} x^k + \alpha \sum \binom{11}{k} x^{k+1} + \beta \sum \binom{11}{k} x^{k+2}$.
$x^{10}$ के लिए,गुणांक $\binom{11}{10} + \alpha \binom{11}{9} + \beta \binom{11}{8} = 11 + 55\alpha + 165\beta = 396$ है।
$11$ से विभाजित करने पर,$1 + 5\alpha + 15\beta = 36$,अतः $5\alpha + 15\beta = 35$,या $\alpha + 3\beta = 7$ (समीकरण $1$)।
$x^{11}$ के लिए,गुणांक $\binom{11}{11} + \alpha \binom{11}{10} + \beta \binom{11}{9} = 1 + 11\alpha + 55\beta = 144$ है।
अतः,$11\alpha + 55\beta = 143$,या $\alpha + 5\beta = 13$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(5\beta - 3\beta) = 13 - 7$,अतः $2\beta = 6$,जिसका अर्थ है $\beta = 3$।
समीकरण $1$ में $\beta = 3$ रखने पर: $\alpha + 3(3) = 7$,अतः $\alpha = 7 - 9 = -2$।
इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$।

(C) विस्तार $(1 + (x - x^2))^6$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} y^k$.
यहाँ,$n = 6$ और $y = (x - x^2)$.
$(1 + x - x^2)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^k (1 - x)^k$.
$x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
$k=2$ के लिए: $15$,$k=3$ के लिए: $-60$,$k=4$ के लिए: $15$.
$x^4$ का कुल गुणांक $= 15 - 60 + 15 = -30$.
$x^6$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
$k=3$ के लिए: $-20$,$k=4$ के लिए: $90$,$k=5$ के लिए: $-30$,$k=6$ के लिए: $1$.
$x^6$ का कुल गुणांक $= -20 + 90 - 30 + 1 = 41$.
गुणांकों का योग $= -30 + 41 = 11$.

(B) $(p-q)^{14}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{14}{r} p^{14-r} (-q)^r$ है।
$7^{\text{th}}$ पद के लिए,$r=6$: $T_7 = \binom{14}{6} p^8 q^6$.
$8^{\text{th}}$ पद के लिए,$r=7$: $T_8 = -\binom{14}{7} p^7 q^7$.
चूंकि $T_7 + T_8 = 0$,इसलिए $\binom{14}{6} p^8 q^6 = \binom{14}{7} p^7 q^7$.
अतः,$p = \frac{\binom{14}{7}}{\binom{14}{6}} q = \frac{8}{7} q$.
अब,$\frac{p+q}{p-q} = \frac{\frac{8}{7}q + q}{\frac{8}{7}q - q} = \frac{15/7}{1/7} = 15$.

(C) दिया गया विस्तार $(x+3y)^{13}$ है जहाँ $x=\frac{1}{2}$ और $y=\frac{1}{3}$ है।
मान रखने पर,$(\frac{1}{2} + 3(\frac{1}{3}))^{13} = (\frac{1}{2} + 1)^{13} = (\frac{3}{2})^{13}$ प्राप्त होता है।
माना $T_{r+1}$,$(a+b)^n$ के विस्तार में $(r+1)$-वाँ पद है।
संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े पद के लिए शर्त $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$ है।
यहाँ,$T_{r+1} = {}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r} (1)^r = {}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r}$.
$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{{}^{13}C_r (\frac{1}{2})^{13-r}}{{}^{13}C_{r-1} (\frac{1}{2})^{13-(r-1)}} = \frac{{}^{13}C_r}{{}^{13}C_{r-1}} \times 2 = \frac{14-r}{r} \times 2$.
$\frac{28-2r}{r} \geq 1$ लेने पर,$28-2r \geq r$,अतः $3r \leq 28$,जिसका अर्थ है $r \leq 9.33$.
इस प्रकार,$r=9$ के लिए सबसे बड़ा पद $T_{10} = {}^{13}C_9 (\frac{1}{2})^4$ प्राप्त होता है।

(C) $\left(\frac{2x^2}{5} + \left(\frac{5}{x}\right)^{1/2}\right)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r \left(\frac{2x^2}{5}\right)^{10-r} \left(\frac{5^{1/2}}{x^{1/2}}\right)^r$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक शून्य होना चाहिए:
$20 - 2r - \frac{r}{2} = 0 \Rightarrow r = 8$
$r=8$ रखने पर,$T_9 = {}^{10}C_8 \cdot \frac{2^2}{5^{-2}} = 45 \cdot 4 \cdot 25 = 4500$
स्वतंत्र पद का वर्गमूल $\sqrt{4500} = 30\sqrt{5}$ है।

(B) माना $T_{r+1}$ सबसे बड़ा पद है,इसलिए $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$।
$(a+b)^n$ के विस्तार के लिए,शर्त $\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{n-r+1}{r} \times |\frac{b}{a}| \geq 1$ है।
यहाँ $n=6$,$a=5$,$b=3x$ है। $x=1$ पर,$b=3$ है।
$\frac{6-r+1}{r} \times \frac{3}{5} \geq 1$
$\Rightarrow \frac{7-r}{r} \times \frac{3}{5} \geq 1$
$\Rightarrow 21 - 3r \geq 5r$
$\Rightarrow 8r \leq 21$
$\Rightarrow r \leq 2.625$।
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,सबसे बड़ा पद $r=2$ पर प्राप्त होता है,जो $T_{2+1} = T_3$ है।
$T_3 = {}^6C_2 \times 5^{6-2} \times (3 \times 1)^2$
$T_3 = 15 \times 5^4 \times 3^2$
$T_3 = (3 \times 5) \times 5^4 \times 3^2 = 3^3 \times 5^5$।

(A) $(\sqrt{2} + 3^{1/5})^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{2})^{10-r} (3^{1/5})^r = {}^{10}C_r (2)^{(10-r)/2} (3)^{r/5}$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$2$ और $3$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$(10-r)/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए (जो सभी सम $r$ के लिए सत्य है) और $r/5$ एक पूर्णांक होना चाहिए।
$0 \le r \le 10$ के लिए,$r = 0$ और $r = 10$ इन शर्तों को पूरा करते हैं।
$r = 0$ के लिए: $T_1 = {}^{10}C_0 (2)^5 (3)^0 = 1 \times 32 \times 1 = 32$.
$r = 10$ के लिए: $T_{11} = {}^{10}C_{10} (2)^0 (3)^2 = 1 \times 1 \times 9 = 9$.
परिमेय पदों का योग $32 + 9 = 41$ है।

(B) मध्य पद $(\frac{12}{2}+1)$ वां पद है,अर्थात $7$ वां पद।
मध्य पद से समान दूरी पर स्थित पद $T_{7-k}$ और $T_{7+k}$ हैं।
$k=2$ के लिए,अनुपात $\frac{T_5}{T_9} = \frac{{}^{12}C_4 x^4}{{}^{12}C_8 x^8} = \frac{1}{256}$ है।
चूंकि ${}^{12}C_4 = {}^{12}C_8$,इसलिए $\frac{1}{x^4} = \frac{1}{256}$ $\Rightarrow x^4 = 256$ $\Rightarrow x = 4$।
$k=4$ के लिए,अनुपात $\frac{T_3}{T_{11}} = \frac{{}^{12}C_2 x^2}{{}^{12}C_{10} x^{10}} = \frac{1}{256}$ है।
चूंकि ${}^{12}C_2 = {}^{12}C_{10}$,इसलिए $\frac{1}{x^8} = \frac{1}{256}$ $\Rightarrow x^8 = 256$ $\Rightarrow x = \sqrt{2}$।
हालांकि $x \in N$ दिया गया है,$k=1$ के लिए जाँचने पर: $\frac{T_6}{T_8} = \frac{{}^{12}C_5 x^5}{{}^{12}C_7 x^7} = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{256} \Rightarrow x = 16$।
$(1+x)^{12}$ के विस्तार में सभी पदों का योग $(1+x)^{12}$ है।
$x=4$ के लिए,योग $(1+4)^{12} = 5^{12}$ है।
$x=2$ के लिए,योग $(1+2)^{12} = 3^{12}$ है।

(A) पद द्विपद विस्तार सूत्र $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} a^{r}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$T_2 = {}^{n}C_1 x^{n-1} a = 96$ $(i)$
$T_3 = {}^{n}C_2 x^{n-2} a^2 = 216$ $(ii)$
$T_4 = {}^{n}C_3 x^{n-3} a^3 = 216$ $(iii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{{}^{n}C_1 x^{n-1} a}{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2} = \frac{96}{216}$ $\Rightarrow \frac{n x}{\frac{n(n-1)}{2} a} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow \frac{2x}{(n-1)a} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow 9x = 2(n-1)a$.
$(ii)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{{}^{n}C_2 x^{n-2} a^2}{{}^{n}C_3 x^{n-3} a^3} = \frac{216}{216}$ $\Rightarrow \frac{\frac{n(n-1)}{2} x}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6} a} = 1$ $\Rightarrow \frac{3x}{(n-2)a} = 1$ $\Rightarrow 3x = (n-2)a$.
दोनों समीकरणों से:
$\frac{9x}{3x} = \frac{2(n-1)a}{(n-2)a}$ $\Rightarrow 3 = \frac{2(n-1)}{n-2}$ $\Rightarrow 3n-6 = 2n-2$ $\Rightarrow n=4$.
$n=4$ को $3x = (n-2)a$ में रखने पर $3x = 2a$ प्राप्त होता है,अतः $a = \frac{3}{2}x$.
$(i)$ में रखने पर:
$4 x^3 (\frac{3}{2}x) = 96$ $\Rightarrow 6x^4 = 96$ $\Rightarrow x^4 = 16$ $\Rightarrow x=2$.
अतः $a = \frac{3}{2}(2) = 3$.
इस प्रकार,$a+x = 3+2 = 5$. चूँकि $n=4$,$a+x = n+1$.

(C) $(1+x)^n$ का सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ है।
$r^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${^nC_{r-1}}$ है।
$(r+1)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${^nC_r}$ है।
$(r+2)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${^nC_{r+1}}$ है।
दिया गया अनुपात ${^nC_{r-1}} : {^nC_r} : {^nC_{r+1}} = 4 : 15 : 42$ है।
$\frac{{^nC_{r-1}}}{{^nC_r}} = \frac{4}{15}$ से,$\frac{r}{n-r+1} = \frac{4}{15} \Rightarrow 19r - 4n = 4$ $(i)$.
$\frac{{^nC_r}}{{^nC_{r+1}}} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14}$ से,$\frac{r+1}{n-r} = \frac{5}{14} \Rightarrow 19r - 5n = -14$ (ii).
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $n = 18$.
$n=18$ को $(i)$ में रखने पर: $r = 4$.
अतः,$n - r = 18 - 4 = 14$.

(C) $(1+x)^{n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{n}C_{k} x^{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{21}$ के विस्तार के लिए,$(k+1)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${}^{21}C_{k}$ है।
$(2r+6)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${}^{21}C_{(2r+6)-1} = {}^{21}C_{2r+5}$ है।
$(r-1)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${}^{21}C_{(r-1)-1} = {}^{21}C_{r-2}$ है।
चूंकि ये गुणांक समान हैं,इसलिए ${}^{21}C_{2r+5} = {}^{21}C_{r-2}$ है।
गुणधर्म ${}^{n}C_{a} = {}^{n}C_{b}$ का उपयोग करते हुए,जिसका अर्थ है $a = b$ या $a + b = n$:
स्थिति $1$: $2r+5 = r-2 \Rightarrow r = -7$ (संभव नहीं है)।
स्थिति $2$: $(2r+5) + (r-2) = 21$ $\Rightarrow 3r + 3 = 21$ $\Rightarrow 3r = 18$ $\Rightarrow r = 6$.

(B) $(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3x^2}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3x})^r = {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ है।
$(1+x+2x^2) \times {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ का विस्तार करने पर,हमें $x^{18-3r}$,$x^{19-3r}$,और $x^{20-3r}$ वाले पद मिलते हैं।
स्वतंत्र पद के लिए,घातांक को $0$ रखने पर:
$1$) $18-3r = 0 \Rightarrow r = 6$. पद ${}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = 84 \times \frac{27}{8} \times \frac{1}{729} = \frac{7}{18}$ प्राप्त होता है।
$2$) $19-3r = 0 \Rightarrow r = 19/3$ (पूर्णांक नहीं है)।
$3$) $20-3r = 0 \Rightarrow r = 20/3$ (पूर्णांक नहीं है)।
अतः,स्वतंत्र पद $\frac{7}{18}$ है।

(A) $(2-3x)^9$ के विस्तार में संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े पद के लिए,हम $|T_{r+1}| \geq |T_r|$ की शर्त का उपयोग करते हैं।
$x=1$ रखने पर,$|T_{r+1}| = {^9C_r} 2^{9-r} 3^r$.
$\frac{|T_{r+1}|}{|T_r|} = \frac{9-r+1}{r} \cdot \frac{3}{2} \geq 1$ $\Rightarrow 30-3r \geq 2r$ $\Rightarrow 5r \leq 30$ $\Rightarrow r \leq 6$.
अतः,$r=6$ पर सबसे बड़ा पद प्राप्त होता है।
$|T_7| = {^9C_6} 2^3 3^6 = 84 \times 8 \times 729 = 2^5 \times 3^7 \times 7^1$.
यहाँ $P_1=2, P_2=3, P_3=7, P_4=11$ है,इसलिए $\alpha=5, \beta=7, \gamma=1, \delta=0$.
$\alpha+\beta+\gamma+\delta = 5+7+1+0 = 13$.

(A) मान लीजिए कि $(1+x)^{15}$ के विस्तार में $T_{r+1}$ और $T_r$ क्रमशः $(r+1)$-वां और $r$-वां पद हैं।
यहाँ $n=15$ और $x=\frac{1}{2}$ दिया गया है।
सबसे बड़े पद के लिए,शर्त $T_{r+1} \geq T_r$ है।
इसका अर्थ है $\frac{T_{r+1}}{T_r} \geq 1$.
सामान्य पद के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{{}^{n}C_r x^r}{{}^{n}C_{r-1} x^{r-1}} = \frac{n-r+1}{r} \cdot x$.
मान रखने पर: $\frac{15-r+1}{r} \cdot \frac{1}{2} \geq 1$.
$\frac{16-r}{2r} \geq 1$.
$16-r \geq 2r$.
$3r \leq 16 \Rightarrow r \leq \frac{16}{3} \approx 5.33$.
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए सबसे बड़ा पद $r=5$ पर प्राप्त होता है,जो $T_{5+1} = T_6$ है।
$T_6 = {}^{15}C_5 \cdot x^5 = {}^{15}C_5 \cdot (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} {}^{15}C_5$.

(C) दिया गया विस्तार: $(1-x+x^2)^{10}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\ldots+a_{20} x^{20}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$10(1-x+x^2)^9 \cdot (-1+2x) = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \ldots + 20a_{20} x^{19}$ प्राप्त होता है।
$x=1$ रखने पर:
$10(1-1+1)^9 \cdot (-1+2) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20}$।
$10(1)^9 \cdot (1) = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 10$।
$a_1$ का मान ज्ञात करने के लिए,मूल व्यंजक का अवकलन करके $x=0$ रखने पर या $(1-x+x^2)^{10}$ में $x$ का गुणांक देखने पर:
$(1-x+x^2)^{10} = 1 + 10(-x+x^2) + \ldots = 1 - 10x + \ldots$।
अतः,$a_1 = -10$ है।
$a_1 = -10$ को समीकरण $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 10$ में रखने पर:
$-10 + (2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20}) = 10$।
इसलिए,$2a_2 + 3a_3 + \ldots + 20a_{20} = 20$।

(C) $\left(x^2-\frac{1}{2x}\right)^{20}$ के विस्तार में $20+1 = 21$ पद हैं।
चूंकि पदों की संख्या विषम है,इसलिए मध्य पद $\left(\frac{20}{2}+1\right) = 11$-वाँ पद है।
अतः,$m = 11$.
हमें $T_{m+3} = T_{11+3} = T_{14} = T_{13+1}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(a+b)^n$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ होता है।
$T_{13+1}$ के लिए,$n=20$,$r=13$,$a=x^2$,और $b=-\frac{1}{2x}$ है।
$T_{14} = {}^{20}C_{13} (x^2)^7 \left(-\frac{1}{2^{13} x^{13}}\right) = -{}^{20}C_{13} \cdot 2^{-13} x$.
अतः,$T_{m+3}$ का गुणांक $-{}^{20}C_{13} 2^{-13}$ है।

(D) $(\sqrt[5]{3}+\sqrt[3]{2})^{15}$ के विस्तार का व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r 3^{(15-r)/5} 2^{r/3}$ है।
पद के परिमेय होने के लिए,$r$ को $5$ और $3$ का गुणज होना चाहिए,अर्थात $r$,$15$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \leq r \leq 15$,इसलिए $r$ के संभावित मान $0$ और $15$ हैं।
$r=0$ के लिए,$T_1 = 27$ और $r=15$ के लिए,$T_{16} = 32$ प्राप्त होता है।
परिमेय पदों का योग $= 27 + 32 = 59$ है।
अतः,सभी अपरिमेय पदों का योग सभी परिमेय पदों के योग से अधिक है।

(A) $(3+\frac{x}{2})^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r (3)^{n-r} (\frac{x}{2})^r = {}^nC_r \frac{3^{n-r}}{2^r} x^r$ द्वारा दिया जाता है।
$x^r$ का गुणांक ${}^nC_r \frac{3^{n-r}}{2^r}$ है।
$r=9$ के लिए,गुणांक ${}^nC_9 \frac{3^{n-9}}{2^9}$ है।
$r=10$ के लिए,गुणांक ${}^nC_{10} \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$ है।
दिया गया है कि ये गुणांक समान हैं:
${}^nC_9 \frac{3^{n-9}}{2^9} = {}^nC_{10} \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$.
दोनों पक्षों को ${}^nC_9 \frac{3^{n-10}}{2^{10}}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3^{n-9}}{3^{n-10}} \times \frac{2^{10}}{2^9} = \frac{{}^nC_{10}}{{}^nC_9}$.
$3^1 \times 2^1 = \frac{n-10+1}{10} = \frac{n-9}{10}$.
$6 = \frac{n-9}{10}$ $\Rightarrow n-9 = 60$ $\Rightarrow n = 69$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $(x+y)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} y^r$ द्वारा दिया जाता है।
$\left(\frac{2p}{3} + \frac{3q}{2}\right)^9$ के विस्तार के लिए,$6^{th}$ पद $(T_6)$ $T_{5+1}$ है।
यहाँ,$n=9$,$r=5$,$x=\frac{2p}{3}$,और $y=\frac{3q}{2}$ है।
$T_6 = {}^9C_5 \left(\frac{2p}{3}\right)^4 \left(\frac{3q}{2}\right)^5$
$T_6 = 126 \times \frac{16 p^4}{81} \times \frac{243 q^5}{32} = 189 p^4 q^5$
$189 p^4 q^5$ की तुलना $ap^bq^c$ से करने पर,हमें $a=189, b=4, c=5$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(1+3x)^n \left(1+\frac{1}{3x}\right)^n$
$= (1+3x)^n \left(\frac{3x+1}{3x}\right)^n$
$= \frac{(1+3x)^n (1+3x)^n}{(3x)^n}$
$= \frac{(1+3x)^{2n}}{(3x)^n}$
$(1+3x)^{2n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{2n}{r} (3x)^r$ है।
अचर पद ज्ञात करने के लिए,हमें वह पद चाहिए जहाँ $x$ की घात $0$ हो।
अभिव्यक्ति $\frac{1}{(3x)^n} \times \sum_{r=0}^{2n} \binom{2n}{r} (3x)^r = \sum_{r=0}^{2n} \binom{2n}{r} (3x)^{r-n}$ है।
अचर पद तब प्राप्त होता है जब $r-n = 0$,अर्थात $r = n$।
$r=n$ रखने पर,अचर पद $\binom{2n}{n} (3x)^{n-n} = \binom{2n}{n}$ प्राप्त होता है।
अतः,अचर पद $\binom{2n}{n}$ है।

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^2}\right)^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = \binom{10}{r} (x^{1/2})^{10-r} (-k x^{-2})^r$
$T_{r+1} = \binom{10}{r} (-k)^r x^{\frac{10-r}{2} - 2r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{10-r}{2} - 2r = 0$
$10 - r = 4r$
$5r = 10 \Rightarrow r = 2$
अब,$r=2$ को पद के समीकरण में रखने पर:
$T_3 = \binom{10}{2} (-k)^2 = 405$
$45 k^2 = 405$
$k^2 = 9$
$k = \pm 3$

(D) $(a + b)^n$ के विस्तार में अंत से $r^{\text{th}}$ पद,प्रारंभ से $(n - r + 2)^{\text{th}}$ पद होता है।
यहाँ,$n = 12$ और $r = 5$ है,इसलिए हमें प्रारंभ से $(12 - 5 + 2) = 9^{\text{th}}$ पद ज्ञात करना है।
सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{12}C_k (\frac{x^3}{2})^{12-k} (-\frac{2}{x^2})^k$ है।
$9^{\text{th}}$ पद के लिए,$k = 8$ है।
$T_9 = {}^{12}C_8 (\frac{x^3}{2})^4 (-\frac{2}{x^2})^8$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot \frac{x^{12}}{2^4} \cdot \frac{2^8}{x^{16}}$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot 2^4 \cdot x^{12-16}$
$T_9 = {}^{12}C_8 \cdot 16 \cdot x^{-4}$
अतः,$x$ की घात का सूचकांक $-4$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = 1 + (1+x) + (1+x)^2 + \cdots + (1+x)^n$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1$,$r = (1+x)$,और पदों की संख्या $n+1$ है:
$S = \frac{1((1+x)^{n+1} - 1)}{(1+x) - 1} = \frac{(1+x)^{n+1} - 1}{x}$.
हमें $S$ में $x^{100}$ का गुणांक ज्ञात करना है,जो $\frac{(1+x)^{n+1} - 1}{x}$ में $x^{100}$ के गुणांक के बराबर है।
यह $(1+x)^{n+1} - 1$ में $x^{101}$ का गुणांक ज्ञात करने के समान है।
$(1+x)^{n+1}$ में $x^{101}$ का गुणांक ${ }^{n+1} C_{101}$ है।
यह दिया गया है कि यह गुणांक ${ }^{201} C_{101}$ है,इसलिए ${ }^{n+1} C_{101} = { }^{201} C_{101}$.
अतः,$n+1 = 201$,जिसका अर्थ है $n = 200$.

(A) $(a-b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} (-b)^r$ द्वारा दिया जाता है।
$5^{\text{th}}$ पद के लिए,$r=4$: $T_5 = \binom{n}{4} a^{n-4} b^4$.
$6^{\text{th}}$ पद के लिए,$r=5$: $T_6 = -\binom{n}{5} a^{n-5} b^5$.
दिया गया है कि $T_5 + T_6 = 0$,इसलिए $\binom{n}{4} a^{n-4} b^4 = \binom{n}{5} a^{n-5} b^5$.
दोनों पक्षों को $\binom{n}{4} a^{n-5} b^4$ से विभाजित करने पर,$\frac{a}{b} = \frac{\binom{n}{5}}{\binom{n}{4}} = \frac{n-4}{5}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $x=2, y=3$.
$(2x - 3y)^8$ के लिए,पदों की संख्या $8+1=9$ है,इसलिए मध्य पद $5$वाँ पद है।
$a = {^8C_4} (2x)^4 (-3y)^4 = 70 \times 16x^4 \times 81y^4 = 70 \times 2^8 \times 3^8$.
$(3x + 4y)^7$ के लिए,पदों की संख्या $7+1=8$ है,इसलिए मध्य पद $4$थे और $5$वें पद हैं।
$b = {^7C_3} (3x)^4 (4y)^3 = 35 \times 3^7 \times 2^{10}$.
$c = {^7C_4} (3x)^3 (4y)^4 = 35 \times 3^7 \times 2^{11}$.
अब,$\frac{b+c}{a} = \frac{35 \times 3^7 \times 2^{10} + 35 \times 3^7 \times 2^{11}}{70 \times 2^8 \times 3^8} = 2$.

(D) $(1+x)^{24}$ के विस्तार में $r$-वां पद $T_r = {}^{24}C_{r-1} x^{r-1}$ है,अतः इसका गुणांक ${}^{24}C_{r-1}$ है।
$(r+1)$-वां पद $T_{r+1} = {}^{24}C_r x^r$ है,अतः इसका गुणांक ${}^{24}C_r$ है।
दिया गया है कि गुणांकों का अनुपात $12:13$ है,इसलिए $\frac{{}^{24}C_{r-1}}{{}^{24}C_r} = \frac{12}{13}$।
सूत्र $\frac{{}^nC_{k-1}}{{}^nC_k} = \frac{k}{n-k+1}$ का उपयोग करने पर,$\frac{r}{25-r} = \frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।
$13r = 300 - 12r \implies 25r = 300 \implies r = 12$।
अब,$r=12$ के लिए द्विघात समीकरणों की जाँच करने पर:
$x^2-14x+24=0$ में $x=12$ रखने पर,$144 - 168 + 24 = 0$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) दी गई व्यंजक $(2a - 3b)^{19}$ है।
$a = \frac{1}{4}$ और $b = \frac{2}{3}$ रखने पर:
$2a = 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$
$3b = 3(\frac{2}{3}) = 2$
अतः,व्यंजक $(\frac{1}{2} - 2)^{19} = (\frac{1}{2})^{19}(1 - 4)^{19}$ बन जाता है।
माना $(x+y)^n$ के विस्तार में $T_r$ एक पद है। संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद $T_{r+1}$ शर्त $r \le \frac{(n+1)|y|}{|x|+|y|}$ को संतुष्ट करता है।
यहाँ $n=19$,$x=1$,$y=-4$ है।
$r \le \frac{(19+1)|-4|}{|1|+|-4|} = \frac{20 \times 4}{5} = 16$ है।
चूंकि $r=16$ एक पूर्णांक है,इसलिए $T_{16}$ और $T_{17}$ दोनों संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े पद हैं।
$T_{17} = ^{19}C_{16} (\frac{1}{2})^{19-16} (-2)^{16} = ^{19}C_3 (\frac{1}{2})^3 (2^{16}) = ^{19}C_3 \cdot 2^{-3} \cdot 2^{16} = ^{19}C_3 \cdot 2^{13}$.

(A) $\left(a x^3+\frac{c}{x}\right)^6$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = { }^6 C_r (a x^3)^{6-r} \left(\frac{c}{x}\right)^r$
$= { }^6 C_r a^{6-r} c^r x^{18-3r-r} = { }^6 C_r a^{6-r} c^r x^{18-4r}$
$x^2$ के गुणांक के लिए,हम $x$ के घातांक को $2$ के बराबर रखते हैं:
$18-4r = 2$ $\Rightarrow 4r = 16$ $\Rightarrow r = 4$
गुणांक के व्यंजक में $r=4$ रखने पर:
${ }^6 C_4 a^{6-4} c^4 = 60$
$15 a^2 c^4 = 60$
$a^2 c^4 = 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$a c^2 = \pm 2$
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a c^2 = 2$.

(B) $\left(x^4-\frac{1}{x^3}\right)^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{15}{r} (x^4)^{15-r} (-x^{-3})^r = \binom{15}{r} (-1)^r x^{60-7r}$ है।
$x^{32}$ के गुणांक के लिए,$60-7r = 32$ रखने पर,$7r = 28$,अतः $r = 4$ है।
गुणांक $\binom{15}{4} (-1)^4 = 1365$ है।
$x^{-31}$ के गुणांक के लिए,$60-7r = -31$ रखने पर,$7r = 91$,अतः $r = 13$ है।
गुणांक $\binom{15}{13} (-1)^{13} = -105$ है।
गुणांकों का योग $1365 - 105 = 1260$ है।

(D) $(3^{1/4} + 7^{1/6})^{144}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{144}C_r (3)^{(144-r)/4} (7)^{r/6}$
पद के परिमेय होने के लिए,$3$ और $7$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$(144-r)/4$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$4$ का गुणज होना चाहिए।
साथ ही,$r/6$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$6$ का गुणज होना चाहिए।
इसलिए,$r$,$\text{lcm}(4, 6) = 12$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 144$,इसलिए $r$ के संभावित मान $0, 12, 24, \dots, 144$ हैं।
यह एक समांतर श्रेणी बनाता है जहाँ $a = 0$,$d = 12$,और अंतिम पद $l = 144$ है।
सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$144 = 0 + (n-1)12$
$12 = n - 1$
$n = 13$
अतः,कुल $13$ परिमेय पद हैं।

(A) $(\sqrt{2}+\sqrt[5]{3})^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{10}{r} (\sqrt{2})^{10-r} (\sqrt[5]{3})^r = \binom{10}{r} 2^{(10-r)/2} 3^{r/5}$ द्वारा दिया जाता है।
पद को परिमेय होने के लिए,$2$ और $3$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$(10-r)/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$ सम संख्या होनी चाहिए।
साथ ही,$r/5$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 10$,इसलिए $r$ के संभावित मान $r = 0$ और $r = 10$ हैं।
$r = 0$ के लिए,$T_1 = \binom{10}{0} 2^5 3^0 = 1 \times 32 \times 1 = 32$।
$r = 10$ के लिए,$T_{11} = \binom{10}{10} 2^0 3^2 = 1 \times 1 \times 9 = 9$।
परिमेय पदों का योग $32 + 9 = 41$ है।

(D) $(a + b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $t_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ है।
$(2^x + 4^{-x})^8$ के विस्तार के लिए,$n=8$,$a=2^x$,और $b=4^{-x} = 2^{-2x}$ है।
$t_2 = t_{1+1} = \binom{8}{1} (2^x)^7 (2^{-2x})^1 = 8 \cdot 2^{5x}$.
$t_3 = t_{2+1} = \binom{8}{2} (2^x)^6 (2^{-2x})^2 = 28 \cdot 2^{2x}$.
दिया गया है कि $t_3 = 7t_2$,इसलिए:
$28 \cdot 2^{2x} = 7 \cdot (8 \cdot 2^{5x}) = 56 \cdot 2^{5x}$.
दोनों पक्षों को $28 \cdot 2^{2x}$ से विभाजित करने पर:
$1 = 2 \cdot 2^{3x} = 2^{3x+1}$.
चूंकि $1 = 2^0$,इसलिए $3x + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $x = -1/3$।

(A) $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में,मध्य पद $T_{n+1} = {}^{2n}C_n x^n$ है। चूँकि मध्य पद सबसे बड़ा पद है,इसलिए यह अपने आसन्न पदों $T_n$ और $T_{n+2}$ से बड़ा या बराबर होना चाहिए।
$T_{n+1} \ge T_n \implies {}^{2n}C_n x^n \ge {}^{2n}C_{n-1} x^{n-1} \implies x \ge \frac{n}{n+1}$.
$T_{n+1} \ge T_{n+2} \implies {}^{2n}C_n x^n \ge {}^{2n}C_{n+1} x^{n+1} \implies x \le \frac{n+1}{n}$.
अतः,$x \in \left[\frac{n}{n+1}, \frac{n+1}{n}\right]$। विकल्पों के अनुसार,अंतराल $\left(\frac{n}{n+1}, \frac{n+1}{n}\right)$ है।

(B) कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $\left[\frac{(x^{1/3})^3+1^3}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} - \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\right]^{10}$
$= \left[(x^{1/3}+1) - \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right]^{10} = \left[x^{1/3}+1 - (1+x^{-1/2})\right]^{10} = (x^{1/3}-x^{-1/2})^{10}$.
व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है: ${}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$.
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$.
$20 - 2r - 3r = 0$ $\Rightarrow 5r = 20$ $\Rightarrow r = 4$.
पद ${}^{10}C_4 (-1)^4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ है।

(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ के विस्तार में सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$
$T_{r+1} = {}^{100}C_r 5^{\frac{100-r}{4}} 4^{\frac{r}{5}}$
पद के परिमेय होने के लिए,$5$ और $4$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
अतः,$\frac{100-r}{4}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$4$ का गुणज होना चाहिए (अर्थात $r \in \{0, 4, 8, \dots, 100\}$)।
साथ ही,$\frac{r}{5}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए (अर्थात $r \in \{0, 5, 10, \dots, 100\}$)।
इसलिए,$r$,$\text{lcm}(4, 5) = 20$ का गुणज होना चाहिए।
$r$ के संभावित मान $0, 20, 40, 60, 80, 100$ हैं।
इन मानों को गिनने पर,हमें $6$ पद प्राप्त होते हैं।
अतः,परिमेय पदों की संख्या $6$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{i=0}^{m} \binom{10}{i} \binom{20}{m-i}$ है।
Vandermonde की सर्वसमिका के अनुसार,यह योग $(1+x)^{10} (1+x)^{20} = (1+x)^{30}$ के विस्तार में $x^m$ का गुणांक दर्शाता है।
अतः,$S = \binom{30}{m}$।
द्विपद गुणांक $\binom{n}{r}$ अधिकतम होता है जब $r = \frac{n}{2}$ यदि $n$ सम है,या $r = \frac{n \pm 1}{2}$ यदि $n$ विषम है।
यहाँ,$n = 30$,जो एक सम संख्या है।
इसलिए,अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $m = \frac{30}{2} = 15$ हो।

(C) $\left(2 x^3-\frac{1}{3 x^2}\right)^5$ का सामान्य पद $T_{r+1} = { }^5 C_r (2 x^3)^{5-r} (-\frac{1}{3 x^2})^r$ है।
व्यंजक को सरल करने पर: $T_{r+1} = { }^5 C_r (2)^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{15-5r}$।
$x^5$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$15 - 5r = 5$ रखने पर,$r = 2$ प्राप्त होता है।
$r = 2$ रखने पर,गुणांक $= { }^5 C_2 (2)^3 (-\frac{1}{3})^2 = 10 \times 8 \times \frac{1}{9} = \frac{80}{9}$।