General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Hindi

(D) दी गई द्विपद व्यंजक $\left(x-\frac{3}{x^2}\right)^n$ है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार पहले तीन पद हैं:
$T_1 = { }^n C_0 x^n$
$T_2 = -3 { }^n C_1 x^{n-3}$
$T_3 = 9 { }^n C_2 x^{n-6}$
गुणांकों का योग $376$ दिया गया है:
${ }^n C_0 - 3 { }^n C_1 + 9 { }^n C_2 = 376$
$1 - 3n + 9 \frac{n(n-1)}{2} = 376$
$9n^2 - 15n - 750 = 0$
$3n^2 - 5n - 250 = 0$
$(n-10)(3n+25) = 0$
$n = 10$ प्राप्त होता है।
व्यापक पद $T_{r+1} = { }^{10} C_r (-3)^r x^{10-3r}$ है।
$x^4$ के गुणांक के लिए $10-3r = 4$ लेने पर $r = 2$ मिलता है।
अतः गुणांक ${ }^{10} C_2 (-3)^2 = 45 \times 9 = 405$ है।

(B) दिया गया है कि $a_r$,$(1+x)^{10}$ में $x^{10-r}$ का गुणांक है,इसलिए $a_r = {}^{10}C_{10-r} = {}^{10}C_r$ है।
अब,अनुपात $\frac{a_r}{a_{r-1}} = \frac{{}^{10}C_r}{{}^{10}C_{r-1}} = \frac{11-r}{r}$ है।
योग में मान रखने पर,$\sum \limits_{r=1}^{10} r^3 \left(\frac{11-r}{r}\right)^2 = \sum \limits_{r=1}^{10} r(11-r)^2$ प्राप्त होता है।
पद का विस्तार करने पर: $\sum \limits_{r=1}^{10} (121r - 22r^2 + r^3)$।
$n=10$ के लिए योग के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$= 121 \times 55 - 22 \times 385 + 3025 = 6655 - 8470 + 3025 = 1210$।

(C) प्रथम व्यंजक $(\alpha x^3 + \frac{1}{\beta x})^{11}$ के लिए,व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r \alpha^{11-r} \beta^{-r} x^{33-4r}$ है।
$x^9$ के लिए $33-4r = 9 \Rightarrow r = 6$। गुणांक ${}^{11}C_6 \alpha^5 \beta^{-6}$ है।
दूसरे व्यंजक $(\alpha x - \frac{1}{\beta x^3})^{11}$ के लिए,व्यापक पद $T_{k+1} = {}^{11}C_k \alpha^{11-k} (-1)^k \beta^{-k} x^{11-4k}$ है।
$x^{-9}$ के लिए $11-4k = -9 \Rightarrow k = 5$। गुणांक $-{}^{11}C_5 \alpha^6 \beta^{-5}$ है।
दोनों गुणांकों को बराबर करने पर,${}^{11}C_6 \alpha^5 \beta^{-6} = -{}^{11}C_5 \alpha^6 \beta^{-5}$।
अतः $\alpha \beta = -1$ प्राप्त होता है,इसलिए $(\alpha \beta)^2 = 1$।

(C) मान लीजिए कि तीन क्रमागत पद $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ हैं। उनके गुणांक $^nC_{r-1} 2^{r-1}, ^nC_r 2^r, ^nC_{r+1} 2^{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात $^nC_{r-1} 2^{r-1} : ^nC_r 2^r : ^nC_{r+1} 2^{r+1} = 2 : 5 : 8$ है।
$\frac{^nC_{r-1} 2^{r-1}}{^nC_r 2^r} = \frac{2}{5}$ से,हमें $\frac{r}{n-r+1} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \frac{r}{n-r+1} = \frac{4}{5}$ $\Rightarrow 5r = 4n - 4r + 4$ $\Rightarrow 9r - 4n = 4$ (समीकरण $1$) प्राप्त होता है।
$\frac{^nC_r 2^r}{^nC_{r+1} 2^{r+1}} = \frac{5}{8}$ से,हमें $\frac{r+1}{n-r} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{8}$ $\Rightarrow \frac{r+1}{n-r} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 4r + 4 = 5n - 5r$ $\Rightarrow 9r - 5n = -4$ (समीकरण $2$) प्राप्त होता है।
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ घटाने पर: $(9r - 4n) - (9r - 5n) = 4 - (-4) \Rightarrow n = 8$.
$n=8$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $9r - 32 = 4$ $\Rightarrow 9r = 36$ $\Rightarrow r = 4$.
मध्य पद का गुणांक $^nC_r 2^r = ^8C_4 2^4 = 70 \times 16 = 1120$ है।

(C) $(1+x)^{99}$ के विस्तार में $x$ की विषम घातों के गुणांकों का योग $K = 2^{99-1} = 2^{98}$ है।
$(2+\frac{1}{\sqrt{2}})^{200}$ के विस्तार में मध्य पद $a$,$101$ वाँ पद है:
$a = {}^{200}C_{100} (2)^{100} (\frac{1}{\sqrt{2}})^{100} = {}^{200}C_{100} \cdot 2^{100} \cdot 2^{-50} = {}^{200}C_{100} \cdot 2^{50}$.
अब,$\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{{}^{200}C_{99} \cdot 2^{98}}{{}^{200}C_{100} \cdot 2^{50}}$ पर विचार करें।
गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = \frac{n-r+1}{r} {}^{n}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{{}^{200}C_{99}}{{}^{200}C_{100}} = \frac{100}{101}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{{}^{200}C_{99} K}{a} = \frac{100}{101} \cdot 2^{48} = \frac{25 \cdot 2^2 \cdot 2^{48}}{101} = \frac{2^{50} \cdot 25}{101}$.
$\frac{2^{\ell} m}{n}$ के साथ तुलना करने पर,$\ell = 50$,$m = 25$,और $n = 101$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(\ell, n) = (50, 101)$ है।

(B) $(ax^3 + \frac{1}{bx^{1/3}})^{15}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r (ax^3)^{15-r} (b^{-1}x^{-1/3})^r = {}^{15}C_r a^{15-r} b^{-r} x^{45-3r-r/3}$ है।
$x$ का घातांक $15$ रखने पर: $45 - \frac{10r}{3} = 15$ $\Rightarrow \frac{10r}{3} = 30$ $\Rightarrow r = 9$।
गुणांक ${}^{15}C_9 a^6 b^{-9}$ है।
$(ax^{1/3} - \frac{1}{bx^3})^{15}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r (ax^{1/3})^{15-r} (-b^{-1}x^{-3})^r = {}^{15}C_r a^{15-r} (-1)^r b^{-r} x^{5-r/3-3r}$ है।
$x$ का घातांक $-15$ रखने पर: $5 - \frac{10r}{3} = -15$ $\Rightarrow \frac{10r}{3} = 20$ $\Rightarrow r = 6$।
गुणांक ${}^{15}C_6 a^9 (-1)^6 b^{-6} = {}^{15}C_6 a^9 b^{-6}$ है।
चूँकि ${}^{15}C_9 = {}^{15}C_6$,गुणांकों की तुलना करने पर: $a^6 b^{-9} = a^9 b^{-6}$।
दोनों पक्षों को $a^6 b^{-6}$ से विभाजित करने पर,हमें $b^{-3} = a^3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^3 b^3 = 1$,इसलिए $ab = 1$।

(A) $(x^{2/3} + 2x^{-3})^{30}$ के विस्तार में सामान्य पद:
$T_{r+1} = {}^{30}C_{r} (x^{2/3})^{30-r} (2x^{-3})^{r}$
$T_{r+1} = {}^{30}C_{r} \cdot 2^{r} \cdot x^{(60-11r)/3}$
यहाँ पद $\beta x^{-\alpha}$ है,इसलिए $-\alpha = \frac{60-11r}{3}$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{11r-60}{3}$.
$\alpha > 0$ होने के लिए,$11r > 60$,अर्थात $r > 5.45$.
चूँकि $r$ एक पूर्णांक है,$r$ का न्यूनतम मान $6$ है।
$r = 6$ के लिए,$\alpha = \frac{11(6)-60}{3} = 2$.
अतः,$\alpha$ का न्यूनतम मान $2$ है।

(D) $\left(\frac{4x}{5} + \frac{5}{2x^2}\right)^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^9C_r \left(\frac{4x}{5}\right)^{9-r} \left(\frac{5}{2x^2}\right)^r$
$= {}^9C_r \left(\frac{4}{5}\right)^{9-r} \left(\frac{5}{2}\right)^r x^{9-3r}$
$x^{-6}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,$x$ के घातांक को $-6$ के बराबर रखें:
$9 - 3r = -6$
$3r = 15 \Rightarrow r = 5$
$r = 5$ रखने पर,गुणांक:
गुणांक $= {}^9C_5 \left(\frac{4}{5}\right)^4 \left(\frac{5}{2}\right)^5$
$= 126 \times \frac{256}{625} \times \frac{3125}{32} = 5040$

(D) $\left(\frac{x^{5/2}}{2} - \frac{4}{x^{\ell}}\right)^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{9}{r} \left(\frac{x^{5/2}}{2}\right)^{9-r} \left(-\frac{4}{x^{\ell}}\right)^r$ है।
अचर पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए: $\frac{45-5r}{2} - r\ell = 0 \implies r(5+2\ell) = 45$.
अचर पद $-84$ दिया गया है,इसलिए $(-1)^r \binom{9}{r} 2^{3r-9} = -84$। $r=3$ लेने पर,$\binom{9}{3} = 84$,जो शर्त को संतुष्ट करता है।
$r=3$ रखने पर,$3(5+2\ell) = 45 \implies \ell = 5$.
$x^{-3\ell} = x^{-15}$ के गुणांक के लिए,$\frac{45-5r}{2} - 5r = -15 \implies r=5$.
गुणांक $(-1)^5 \binom{9}{5} \frac{4^5}{2^4} = -126 \times 2^6 = -63 \times 2^7$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha = 7$ और $\beta = -63$.
$|\alpha\ell - \beta| = |7(5) - (-63)| = 98$.

(B) $(x^{\frac{2}{3}} + \alpha x^{-3})^{22}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{22}C_r \cdot (x^{\frac{2}{3}})^{22-r} \cdot (\alpha x^{-3})^r$
$T_{r+1} = {}^{22}C_r \cdot \alpha^r \cdot x^{\frac{44-2r}{3} - 3r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{44-2r}{3} - 3r = 0$
$44 - 2r - 9r = 0$
$11r = 44 \implies r = 4$
दिया गया है कि स्वतंत्र पद $7315$ है:
${}^{22}C_4 \cdot \alpha^4 = 7315$
$\frac{22 \times 21 \times 20 \times 19}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \cdot \alpha^4 = 7315$
$7315 \cdot \alpha^4 = 7315$
$\alpha^4 = 1 \implies |\alpha| = 1$

(B) प्रारंभ से $5$-वां पद $T_5 = {^nC_4} (2^{1/4})^{n-4} (3^{-1/4})^4 = {^nC_4} 2^{(n-4)/4} 3^{-1}$ है।
अंत से $5$-वां पद प्रारंभ से $(n-3)$-वां पद है,जो $T_{n-3} = {^nC_4} 2^1 3^{-(n-4)/4}$ है।
अनुपात लेने पर: $6^{(n-4)/4 - 1} = 6^{1/2}$।
अतः,$\frac{n-4}{4} - 1 = \frac{1}{2} \Rightarrow n = 10$।
प्रारंभ से तीसरा पद $T_3 = {^{10}C_2} (2^{1/4})^8 (3^{-1/4})^2 = 45 \cdot 4 \cdot 3^{-1/2} = 60 \sqrt{3}$।

(D) $(x^4-\frac{1}{x^3})^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r (x^4)^{15-r} (-\frac{1}{x^3})^r$ द्वारा दिया जाता है।
यह $T_{r+1} = {}^{15}C_r (-1)^r x^{60-4r} x^{-3r} = {}^{15}C_r (-1)^r x^{60-7r}$ में सरल हो जाता है।
$x^{18}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम घातांक $60-7r = 18$ रखते हैं।
$7r = 60 - 18 = 42$,जिससे $r = 6$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^{15}C_6 (-1)^6 = {}^{15}C_6 = 5005$ है।

(B) विस्तार $\left(ax^2+\frac{1}{2bx}\right)^{11}$ के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax^2)^{11-r} (\frac{1}{2bx})^r = {}^{11}C_r a^{11-r} (\frac{1}{2b})^r x^{22-3r}$ है।
$22-3r = 7$ रखने पर,$3r = 15$,अतः $r = 5$। गुणांक ${}^{11}C_5 a^6 (\frac{1}{2b})^5 = \frac{{}^{11}C_5 a^6}{32b^5}$ है।
विस्तार $\left(ax-\frac{1}{3bx^2}\right)^{11}$ के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax)^{11-r} (-\frac{1}{3bx^2})^r = {}^{11}C_r a^{11-r} (-\frac{1}{3b})^r x^{11-3r}$ है।
$11-3r = -7$ रखने पर,$3r = 18$,अतः $r = 6$। गुणांक ${}^{11}C_6 a^5 (-\frac{1}{3b})^6 = \frac{{}^{11}C_6 a^5}{729b^6}$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $\frac{{}^{11}C_5 a^6}{32b^5} = \frac{{}^{11}C_6 a^5}{729b^6}$।
चूंकि ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6 = 462$,इसलिए $\frac{a^6}{32b^5} = \frac{a^5}{729b^6}$।
$a^5$ से भाग देने और $b^6$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{ab}{32} = \frac{1}{729}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $729ab = 32$।

(A) माना तीन क्रमागत गुणांक ${}^nC_{r-1}, {}^nC_r, {}^nC_{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात ${}^nC_{r-1} : {}^nC_r : {}^nC_{r+1} = 1 : 5 : 20$ है।
$\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{5}{1}$ से,$\frac{n-r+1}{r} = 5 \implies n = 6r-1 \dots(1)$.
$\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{20}{5} = 4$ से,$\frac{n-r}{r+1} = 4 \implies n = 5r+4 \dots(2)$.
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$6r-1 = 5r+4 \implies r = 5$.
$r=5$ को $(1)$ में रखने पर,$n = 6(5)-1 = 29$.
चौथे पद का गुणांक ${}^nC_3 = {}^{29}C_3$ है।
${}^{29}C_3 = \frac{29 \times 28 \times 27}{3 \times 2 \times 1} = 3654$.

(B) $\left(3x^2 - \frac{1}{2x^5}\right)^7$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^7C_r (3x^2)^{7-r} \left(-\frac{1}{2x^5}\right)^r$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक को सरल करने पर,$T_{r+1} = {}^7C_r \cdot 3^{7-r} \cdot (-1/2)^r \cdot x^{14-7r}$ प्राप्त होता है।
अचर पद के लिए,$x$ की घात $0$ होनी चाहिए,अतः $14 - 7r = 0$,जिससे $r = 2$ प्राप्त होता है।
$r = 2$ रखने पर,$\alpha = {}^7C_2 \cdot 3^5 \cdot (-1/2)^2 = 21 \cdot 243 \cdot \frac{1}{4} = 1275.75$.
अतः,$[\alpha] = [1275.75] = 1275$.

(A) $\left(2x^2+\frac{1}{2x}\right)^{11}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{11}C_r (2x^2)^{11-r} \left(\frac{1}{2x}\right)^r = {}^{11}C_r \cdot 2^{11-2r} \cdot x^{22-3r}$
$x^{10}$ के गुणांक के लिए,$22-3r = 10 \implies r = 4$.
गुणांक $= {}^{11}C_4 \cdot 2^3 = 330 \cdot 8 = 2640$.
$x^7$ के गुणांक के लिए,$22-3r = 7 \implies r = 5$.
गुणांक $= {}^{11}C_5 \cdot 2^1 = 462 \cdot 2 = 924$.
अंतर $= 2640 - 924 = 1716$.
$12^3 - 12 = 1728 - 12 = 1716$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(B) $(ax - \frac{1}{bx^2})^{13}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax)^{13-r} (-\frac{1}{bx^2})^r = {}^{13}C_r a^{13-r} (-b^{-1})^r x^{13-3r}$ है।
$x^7$ के गुणांक के लिए,$13-3r = 7$ रखने पर,$r = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^7$ का गुणांक ${}^{13}C_2 a^{11} b^{-2}$ है।
$(ax + \frac{1}{bx^2})^{13}$ के विस्तार के लिए,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax)^{13-r} (\frac{1}{bx^2})^r = {}^{13}C_r a^{13-r} b^{-r} x^{13-3r}$ है।
$x^{-5}$ के गुणांक के लिए,$13-3r = -5$ रखने पर,$r = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^{-5}$ का गुणांक ${}^{13}C_6 a^7 b^{-6}$ है।
दोनों गुणांकों की तुलना करने पर: ${}^{13}C_2 a^{11} b^{-2} = {}^{13}C_6 a^7 b^{-6}$।
दोनों पक्षों को $a^7 b^{-6}$ से विभाजित करने पर,$a^4 b^4 = \frac{{}^{13}C_6}{{}^{13}C_2}$ प्राप्त होता है।
मानों की गणना करने पर: ${}^{13}C_6 = 1716$ और ${}^{13}C_2 = 78$।
अतः,$a^4 b^4 = \frac{1716}{78} = 22$।

(B) $(3^{1/2} + 5^{1/4})^{680}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{680}C_r (3^{1/2})^{680-r} (5^{1/4})^r$ है।
यह $T_{r+1} = {}^{680}C_r \cdot 3^{(680-r)/2} \cdot 5^{r/4}$ के रूप में सरल होता है।
पद के पूर्णांक होने के लिए,दोनों घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
$1$) $r/4$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $r$,$4$ का गुणज होना चाहिए। अतः,$r \in \{0, 4, 8, \dots, 680\}$।
$2$) $(680-r)/2$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $680-r$ सम संख्या होनी चाहिए। चूंकि $680$ सम है,इसलिए $r$ भी सम होना चाहिए।
चूंकि $4$ के सभी गुणज सम होते हैं,इसलिए $r \in \{0, 4, 8, \dots, 680\}$ दोनों शर्तों को पूरा करता है।
ऐसे पदों की संख्या $0, 4, 8, \dots, 680$ अनुक्रम में पदों की संख्या के बराबर है।
समांतर श्रेणी के पदों की संख्या के सूत्र का उपयोग करते हुए,$n = \frac{680 - 0}{4} + 1 = 170 + 1 = 171$।

(C) प्रारंभ से $1011$ वाँ पद $T_{1011} = {}^{2022}C_{1010} (\frac{4x}{5})^{1012} (-\frac{5}{2x})^{1010}$ है।
अंत से $1011$ वाँ पद,प्रारंभ से $1012$ वाँ पद है।
दी गई शर्त के अनुसार,$|x| = \frac{5}{16}$ प्राप्त होता है।

(C) द्विपद विस्तार $(1-x)^{100} = C_0 - C_1x + C_2x^2 - C_3x^3 + \dots + C_{100}x^{100}$ है।
माना $S = C_0 - C_1 + C_2 - C_3 + \dots - C_{49}$ है।
हम जानते हैं कि $(1-x)^{100}$ में सभी गुणांकों का योग $(1-1)^{100} = 0$ होता है।
अतः,$(C_0 - C_1 + C_2 - \dots + C_{50} - \dots + C_{100}) = 0$ है।
गुणधर्म $C_r = C_{n-r}$ का उपयोग करने पर,$C_{100} = C_0, C_{99} = C_1, \dots, C_{51} = C_{49}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$2(C_0 - C_1 + C_2 - \dots - C_{49}) + C_{50} = 0$ है।
$2S + C_{50} = 0 \implies S = -\frac{1}{2} C_{50}$ है।
$S = -\frac{1}{2} \binom{100}{50} = -\frac{1}{2} \times \frac{100}{50} \binom{99}{49} = -\binom{99}{49}$।

(C) सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} (x^{1/2})^{n-k} (-6 x^{-3/2})^k = {^nC_k} (-6)^k x^{(n-4k)/2}$ है।
अचर पद के लिए,$n-4k = 0$,इसलिए $n = 4k$। चूँकि $n \leq 15$,$k$ का मान $1, 2, 3$ हो सकता है।
सभी गुणांकों का योग $x=1$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $(1-6)^n = (-5)^n$ है।
शेष पदों का योग $(-5)^n - \alpha = 649$ है।
यदि $k=1, n=4$ लें: $(-5)^4 - {^4C_1}(-6)^1 = 625 + 24 = 649$। यह सत्य है।
अतः,$n=4$ और $\alpha = {^4C_1}(-6)^1 = -24$।
$x^{-n} = x^{-4}$ का गुणांक तब प्राप्त होता है जब $(n-4k)/2 = -4$,अर्थात $4-4k = -8$,$4k = 12$,$k=3$।
गुणांक ${^4C_3}(-6)^3 = 4 \times (-216) = -864$ है।
इस प्रकार,$-864 = \lambda(-24)$,इसलिए $\lambda = \frac{-864}{-24} = 36$।

(B) $(7^{1/2} + 11^{1/6})^{824}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{824}C_r (7)^{(824-r)/2} (11)^{r/6}$ है।
पद के पूर्णांक होने के लिए,$7$ और $11$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
$1$. $7$ का घातांक $(824-r)/2 = 412 - r/2$ है। इसके पूर्णांक होने के लिए,$r$ एक सम संख्या होनी चाहिए।
$2$. $11$ का घातांक $r/6$ है। इसके पूर्णांक होने के लिए,$r$ को $6$ का गुणज होना चाहिए।
इन दोनों को मिलाने पर,$r$ को $\text{lcm}(2, 6) = 6$ का गुणज होना चाहिए।
अतः,$r$ के मान $0, 6, 12, \dots, 822$ हो सकते हैं।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 0$,$d = 6$ और अंतिम पद $l = 822$ है।
सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$822 = 0 + (n-1)6$ प्राप्त होता है।
$n-1 = 822/6 = 137$.
$n = 138$.
इसलिए,कुल $138$ पूर्णांक पद हैं।

(A) दिया गया व्यंजक: $E = (1+x)(1-x^2)(1+\frac{1}{x})^{15} = (1+x)(1-x)(1+x)(1+\frac{1}{x})^{15}$
$= \frac{(1-x^2)(1+x)^{16}}{x^{15}} = \frac{(1+x)^{16} - x^2(1+x)^{16}}{x^{15}}$
$= (1+x)^{16}x^{-15} - (1+x)^{16}x^{-13}$
$E$ में $x^3$ का गुणांक:
$= (1+x)^{16}$ में $x^{18}$ का गुणांक $- (1+x)^{16}$ में $x^{16}$ का गुणांक
$= 0 - \binom{16}{16} = -1$
$E$ में $x^{-13}$ का गुणांक:
$= (1+x)^{16}$ में $x^2$ का गुणांक $- (1+x)^{16}$ में $x^0$ का गुणांक
$= \binom{16}{2} - \binom{16}{0} = 120 - 1 = 119$
गुणांकों का योग $= 119 + (-1) = 118$.

(D) $(a+b)^{18}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{18}C_r a^{18-r} b^r$ है।
सातवें पद $(T_7)$ के लिए,$r=6$:
$T_7 = {}^{18}C_6 \left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}\right)^{12} \left(\frac{1}{2} x^{-\frac{2}{3}}\right)^6 = {}^{18}C_6 \cdot 3^{-12} \cdot 2^{-6}$.
अतः,$m = {}^{18}C_6 \cdot 3^{-12} \cdot 2^{-6}$.
तेरहवें पद $(T_{13})$ के लिए,$r=12$:
$T_{13} = {}^{18}C_{12} \left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}\right)^6 \left(\frac{1}{2} x^{-\frac{2}{3}}\right)^{12} = {}^{18}C_{12} \cdot 3^{-6} \cdot 2^{-12}$.
चूंकि ${}^{18}C_6 = {}^{18}C_{12}$,इसलिए:
$\frac{n}{m} = \frac{3^{-6} \cdot 2^{-12}}{3^{-12} \cdot 2^{-6}} = 3^6 \cdot 2^{-6} = \left(\frac{3}{2}\right)^6$.
अतः $\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right)^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

(A) $(2^{\frac{1}{5}} + 5^{\frac{1}{3}})^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_{r} (2^{\frac{1}{5}})^{15-r} (5^{\frac{1}{3}})^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $T_{r+1} = {}^{15}C_{r} 2^{3 - \frac{r}{5}} 5^{\frac{r}{3}}$ प्राप्त होता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$2$ और $5$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए और $r$,$3$ का गुणज होना चाहिए।
चूंकि $0 \le r \le 15$,$r$ के लिए संभावित मान $0$ और $15$ हैं।
$r = 0$ के लिए,$T_1 = {}^{15}C_0 2^3 5^0 = 1 \times 8 \times 1 = 8$।
$r = 15$ के लिए,$T_{16} = {}^{15}C_{15} 2^0 5^5 = 1 \times 1 \times 3125 = 3125$।
सभी परिमेय पदों का योग $8 + 3125 = 3133$ है।

(B) दी गई व्यंजक $(1+2x-3x^3)(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3x})^9$ है।
$(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3x})^9$ के विस्तार का व्यापक पद $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3}{2}x^2)^{9-r} (-\frac{1}{3x})^r$ है।
$T_{r+1} = {}^9C_r \frac{3^{9-2r}}{2^{9-r}} (-1)^r x^{18-3r}$.
अचर पद प्राप्त करने के लिए,हमें $x^0$ और $x^{-3}$ के गुणांकों की आवश्यकता है।
$1$. $x^0$ के लिए: $18-3r = 0 \implies r=6$. गुणांक ${}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = \frac{7}{18}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{-3}$ के लिए: $18-3r = -3 \implies r=7$. गुणांक ${}^9C_7 (\frac{3}{2})^2 (-\frac{1}{3})^7 = -\frac{1}{27}$ प्राप्त होता है।
अचर पद $p = 1(\frac{7}{18}) - 3(-\frac{1}{27}) = \frac{7}{18} + \frac{1}{9} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$108p = 108 \cdot \frac{1}{2} = 54$।

(C) $\left(\frac{3^{1/5}}{x} + \frac{2x}{5^{1/3}}\right)^{12}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{12}C_r \left(\frac{3^{1/5}}{x}\right)^{12-r} \left(\frac{2x}{5^{1/3}}\right)^r$
$T_{r+1} = {}^{12}C_r \cdot 3^{\frac{12-r}{5}} \cdot 2^r \cdot 5^{-r/3} \cdot x^{2r-12}$
अचर पद के लिए,$x$ की घात $0$ होनी चाहिए,अतः $2r - 12 = 0$,जिससे $r = 6$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ रखने पर:
$T_7 = {}^{12}C_6 \cdot 3^{6/5} \cdot 2^6 \cdot 5^{-2} = \frac{693 \cdot 2^8}{25} \cdot 3^{1/5}$
चूंकि अचर पद $\alpha \times 2^8 \times 3^{1/5}$ दिया गया है,इसलिए $\alpha = \frac{693}{25}$ है।
अतः,$25 \alpha = 693$।

(B) $(x+y)^n$ के विस्तार में पद $T_{r+1} = {}^nC_r x^{n-r} y^r$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया है:
$T_2 = {}^nC_1 x^{n-1} y = 135$ ...........$(i)$
$T_3 = {}^nC_2 x^{n-2} y^2 = 30$ ............$(ii)$
$T_4 = {}^nC_3 x^{n-3} y^3 = \frac{10}{3}$ ............$(iii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{{}^nC_1 x^{n-1} y}{{}^nC_2 x^{n-2} y^2} = \frac{135}{30} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{9(n-1)}{4}$ ............$(iv)$
$(ii)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{{}^nC_2 x^{n-2} y^2}{{}^nC_3 x^{n-3} y^3} = \frac{30}{10/3} \Rightarrow \frac{x}{y} = 3(n-2)$ ............$(v)$
$(iv)$ और $(v)$ की तुलना करने पर:
$n = 5$.
$(v)$ में $n=5$ रखने पर:
$\frac{x}{y} = 9 \Rightarrow x = 9y$.
$(i)$ में $n=5$ और $x=9y$ रखने पर:
$y = \frac{1}{3}$ और $x = 3$.
$6(n^3+x^2+y)$ की गणना:
$6(5^3 + 3^2 + \frac{1}{3}) = 806$.

(A) $(\sqrt{a}x^2 + \frac{1}{2x^3})^{10}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{a}x^2)^{10-r} (\frac{1}{2x^3})^r$
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{a})^{10-r} (\frac{1}{2})^r x^{20-5r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$20 - 5r = 0 \implies r = 4$
$r = 4$ रखने पर:
${}^{10}C_4 (\sqrt{a})^6 (\frac{1}{2})^4 = 105$
$210 \cdot a^3 \cdot \frac{1}{16} = 105$
$a^3 = 8 \implies a = 2$
अतः,$a^2 = 4$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ के रूप में है।
हमें $\sum_{k=2}^{54} x^k(1+x)^{100-k}$ में $x^{70}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह प्रत्येक $k$ के लिए $(1+x)^{100-k}$ में $x^{70-k}$ का गुणांक ज्ञात करने के बराबर है,जो ${}^{100-k}C_{70-k}$ है।
योग करने पर,$S = {}^{98}C_{68} + {}^{97}C_{67} + \ldots + {}^{46}C_{16}$ प्राप्त होता है।
हॉकी-स्टिक पहचान $\sum_{i=r}^n {}^iC_r = {}^{n+1}C_{r+1}$ का उपयोग करते हुए,योग $\sum_{j=46}^{98} {}^jC_{30}$ हो जाता है।
अतः,${}^{99}C_{31} - {}^{46}C_{31}$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $p=31, q=31$ या $p=68, q=15$ मिलता है।
इस प्रकार,$p+q = 83$ एक संभावित मान है।

(A) $(x^{2/3} + \frac{1}{2}x^{-2/5})^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^9C_r (x^{2/3})^{9-r} (\frac{1}{2} x^{-2/5})^r$ है।
$T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{1}{2})^r x^{6 - \frac{16r}{15}}$।
$x^{2/3}$ के गुणांक के लिए,$6 - \frac{16r}{15} = \frac{2}{3}$ रखें।
$r = 5$ प्राप्त होता है।
$x^{2/3}$ का गुणांक $= {}^9C_5 (\frac{1}{2})^5 = \frac{63}{16}$।
$x^{-2/5}$ के गुणांक के लिए,$6 - \frac{16r}{15} = -\frac{2}{5}$ रखें।
$r = 6$ प्राप्त होता है।
$x^{-2/5}$ का गुणांक $= {}^9C_6 (\frac{1}{2})^6 = \frac{21}{16}$।
गुणांकों का योग $= \frac{63}{16} + \frac{21}{16} = \frac{21}{4}$।

(C) विस्तार में $x^2$ का गुणांक इस प्रकार है:
$= {^2C_2} + {^3C_2} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2$
सर्वसमिका ${^nC_r} + {^nC_{r-1}} = {^{n+1}C_r}$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि ${^2C_2} = {^3C_3}$.
अतः,योग ${^3C_3} + {^3C_2} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2 = {^4C_3} + {^4C_2} + \cdots + {^{49}C_2} + {^{50}C_2} \cdot m^2$ हो जाता है।
इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए,पहले $49$ पदों का योग ${^{50}C_3}$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल गुणांक ${^{50}C_3} + {^{50}C_2} \cdot m^2$ है।
हमें दिया गया है कि यह $(3n+1) \cdot {^{51}C_3}$ के बराबर है।
ध्यान दें कि ${^{51}C_3} = {^{50}C_3} + {^{50}C_2}$.
अतः,${^{50}C_3} + {^{50}C_2} \cdot m^2 = (3n+1)({^{50}C_3} + {^{50}C_2})$.
सरल करने पर,$16 + m^2 = 51n + 17$ प्राप्त होता है।
$m^2 = 51n + 1$.
$n=5$ के लिए,$m^2 = 256 = 16^2$,अतः $m=16$.
इस प्रकार,$n$ का मान $5$ है।

(B) $(ax^2 + \frac{70}{27bx})^4$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^4C_r (ax^2)^{4-r} (\frac{70}{27bx})^r = {}^4C_r a^{4-r} (\frac{70}{27b})^r x^{8-3r}$ है।
$x^5$ के गुणांक के लिए,$8-3r = 5$ रखने पर,$r=1$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^4C_1 a^3 (\frac{70}{27b}) = 4a^3 \cdot \frac{70}{27b} = \frac{280a^3}{27b}$ है।
$(ax - \frac{1}{bx^2})^7$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^7C_r (ax)^{7-r} (-\frac{1}{bx^2})^r = {}^7C_r a^{7-r} (-\frac{1}{b})^r x^{7-3r}$ है।
$x^{-5}$ के गुणांक के लिए,$7-3r = -5$ रखने पर,$3r = 12$,अर्थात $r=4$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^7C_4 a^3 (-\frac{1}{b})^4 = 35 \cdot \frac{a^3}{b^4} = \frac{35a^3}{b^4}$ है।
दोनों गुणांकों को बराबर करने पर: $\frac{35a^3}{b^4} = \frac{280a^3}{27b}$।
$35a^3$ से भाग देने पर (चूंकि $a \neq 0$),$\frac{1}{b^3} = \frac{8}{27}$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^3 = \frac{27}{8}$,जिसका अर्थ है $b = \frac{3}{2}$।
इसलिए,$2b = 2(\frac{3}{2}) = 3$।

(B) माना तीन क्रमागत पद $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ हैं। उनके गुणांक ${}^{n+5}C_{r-1}, {}^{n+5}C_r, {}^{n+5}C_{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात ${}^{n+5}C_{r-1} : {}^{n+5}C_r : {}^{n+5}C_{r+1} = 5 : 10 : 14$ है।
$\frac{{}^{n+5}C_r}{{}^{n+5}C_{r-1}} = \frac{10}{5} = 2$ से,$\frac{(n+5)-r+1}{r} = 2 \Rightarrow n+6 = 3r$ प्राप्त होता है।
$\frac{{}^{n+5}C_{r+1}}{{}^{n+5}C_r} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ से,$\frac{(n+5)-r}{r+1} = \frac{7}{5}$ $\Rightarrow 5n + 25 - 5r = 7r + 7$ $\Rightarrow 5n + 18 = 12r$ प्राप्त होता है।
$r = \frac{n+6}{3}$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $5n + 18 = 12(\frac{n+6}{3}) = 4(n+6) = 4n + 24$।
अतः,$n = 24 - 18 = 6$।

(C) हमें $(1+x^2)^4(1+x^3)^7(1+x^4)^{12}$ के विस्तार में $x^{11}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह $2a + 3b + 4c = 11$ समीकरण के अऋणात्मक पूर्णांक हलों को खोजने के समान है,जहाँ $0 \le a \le 4$,$0 \le b \le 7$,और $0 \le c \le 12$ है।
संभावित $(a, b, c)$ के संयोजन:
$1$. यदि $b=1$ है,तो $2a + 4c = 8 \implies a + 2c = 4$। संभावित $(a, c)$ मान $(4, 0), (2, 1), (0, 2)$ हैं।
$2$. यदि $b=3$ है,तो $2a + 4c = 2 \implies a + 2c = 1$। संभावित $(a, c)$ मान $(1, 0)$ है।
द्विपद प्रमेय $\binom{n}{r}$ का उपयोग करके गुणांकों की गणना:
- $(a, b, c) = (4, 1, 0)$ के लिए: $\binom{4}{4} \times \binom{7}{1} \times \binom{12}{0} = 7$।
- $(a, b, c) = (2, 1, 1)$ के लिए: $\binom{4}{2} \times \binom{7}{1} \times \binom{12}{1} = 504$।
- $(a, b, c) = (0, 1, 2)$ के लिए: $\binom{4}{0} \times \binom{7}{1} \times \binom{12}{2} = 462$।
- $(a, b, c) = (1, 3, 0)$ के लिए: $\binom{4}{1} \times \binom{7}{3} \times \binom{12}{0} = 140$।
योग: $7 + 504 + 462 + 140 = 1113$।

(B) $(1+x)^{n+4}$ के $5^{\text{th}}$,$6^{\text{th}}$ और $7^{\text{th}}$ पदों के गुणांक $^{n+4}C_4$,$^{n+4}C_5$ और $^{n+4}C_6$ हैं।
चूंकि वे $A.P.$ में हैं,$2 \times ^{n+4}C_5 = ^{n+4}C_4 + ^{n+4}C_6$।
इस समीकरण को हल करने पर,$n^2 - 13n + 30 = 0$ प्राप्त होता है।
$n=3$ या $n=10$ मिलता है,लेकिन $n \neq 10$ होने के कारण $n=3$ लेते हैं।
अतः,$(1+x)^7$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक $^{7}C_3 = 35$ है।

(B) $(1+x)^m$ के विस्तार में $r^{\text{th}}$ पद $T_r = {}^{m}C_{r-1} x^{r-1}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार के लिए:
$30^{\text{th}}$ पद $T_{30} = {}^{2n-1}C_{29} x^{29}$ है,इसलिए $A = {}^{2n-1}C_{29}$ है।
$12^{\text{th}}$ पद $T_{12} = {}^{2n-1}C_{11} x^{11}$ है,इसलिए $B = {}^{2n-1}C_{11}$ है।
दिया गया है $2A = 5B$,इसलिए $2({}^{2n-1}C_{29}) = 5({}^{2n-1}C_{11})$ है।
गुणधर्म ${}^{n}C_r = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,${}^{2n-1}C_{29} = {}^{2n-1}C_{2n-30}$ है।
अतः,$2({}^{2n-1}C_{2n-30}) = 5({}^{2n-1}C_{11})$ है।
$n=21$ रखने पर,$2n-1 = 41$ प्राप्त होता है।
$2({}^{41}C_{29}) = 5({}^{41}C_{11})$ है।
$2 \times \frac{41!}{12! 29!} = 5 \times \frac{41!}{11! 30!} \implies \frac{2}{12} = \frac{5}{30} \implies \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ है।
अतः,$n = 21$ सही उत्तर है।

(A) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} (7^{1/3})^{n-r} (11^{1/12})^{r} = {}^{n}C_{r} 7^{(n-r)/3} 11^{r/12}$ है।
पद के पूर्णांक होने के लिए,घातांक $\frac{n-r}{3}$ और $\frac{r}{12}$ दोनों पूर्णांक होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $r$,$12$ का गुणज होना चाहिए,अतः $r \in \{0, 12, 24, \dots, 12k\}$।
साथ ही,$n-r$,$3$ का गुणज होना चाहिए। चूँकि $r$,$12$ का गुणज है,यह $3$ का भी गुणज है,जिससे पता चलता है कि $n$ भी $3$ का गुणज होना चाहिए।
यहाँ $183$ पूर्णांक पद हैं,इसलिए $r$ के मान $0, 12, 24, \dots, 12 \times 182$ होंगे।
$r$ का अधिकतम मान $12 \times 182 = 2184$ है।
चूँकि $r \le n$,$183$ पद प्राप्त करने के लिए $n$ का न्यूनतम मान $n = 2184$ है।

(A) माना व्यंजक $E = \left(\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} - \frac{x-1}{x-x^{1/2}}\right)^{10}$ है।
सूत्र $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ का उपयोग करने पर,$\frac{x+1}{x^{2/3}-x^{1/3}+1} = x^{1/3}+1$ प्राप्त होता है।
दूसरे पद के लिए,$\frac{x-1}{x-x^{1/2}} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} = 1 + x^{-1/2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = \left(x^{1/3}-x^{-1/2}\right)^{10}$ होगा।
व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,घातांक शून्य होना चाहिए: $\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$।
$20 - 5r = 0 \implies r = 4$।
अतः,पद ${}^{10}C_4 (-1)^4 = 210$ प्राप्त होता है।

(D) $(2+\sqrt{3})^8$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = { }^8 C_r (2)^{8-r} (\sqrt{3})^r$ द्वारा दिया जाता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$r$ एक सम पूर्णांक होना चाहिए,अर्थात $r \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$।
परिमेय पदों का योग है:
$S = { }^8 C_0 (2)^8 + { }^8 C_2 (2)^6 (\sqrt{3})^2 + { }^8 C_4 (2)^4 (\sqrt{3})^4 + { }^8 C_6 (2)^2 (\sqrt{3})^6 + { }^8 C_8 (\sqrt{3})^8$
$S = 1 \cdot 256 + 28 \cdot 64 \cdot 3 + 70 \cdot 16 \cdot 9 + 28 \cdot 4 \cdot 27 + 1 \cdot 81$
$S = 256 + 5376 + 10080 + 3024 + 81$
$S = 18817$

(C) दिया गया व्यंजक $\sum_{r=1}^9 \left(\frac{r+3}{2^r}\right) \cdot {}^9C_r = \alpha \left(\frac{3}{2}\right)^9 - \beta$ है।
योगफल को दो भागों में विभाजित करने पर:
$\sum_{r=1}^9 \frac{r}{2^r} {}^9C_r + 3 \sum_{r=1}^9 \frac{1}{2^r} {}^9C_r$.
सर्वसमिका $r \cdot {}^nC_r = n \cdot {}^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर,पहला भाग:
$\frac{9}{2} \sum_{r=1}^9 {}^8C_{r-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{r-1} = \frac{9}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right)^8 = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^9$.
दूसरा भाग:
$3 \left[ \left(1 + \frac{1}{2}\right)^9 - 1 \right] = 3 \left(\frac{3}{2}\right)^9 - 3$.
दोनों को जोड़ने पर:
$6 \left(\frac{3}{2}\right)^9 - 3$.
तुलना करने पर $\alpha = 6$ और $\beta = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(\alpha + \beta)^2 = (6 + 3)^2 = 81$.

(C) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^n C_r (2^{1/3})^{n-r} (3^{-1/3})^r$ है।
प्रारंभ से $15^{\text{th}}$ पद $T_{15} = {}^n C_{14} (2^{1/3})^{n-14} (3^{-1/3})^{14}$ है।
अंत से $15^{\text{th}}$ पद,प्रारंभ से $(n-14)^{\text{th}}$ पद है,जो $T'_{15} = {}^n C_{n-14} (2^{1/3})^{14} (3^{-1/3})^{n-14}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{T_{15}}{T'_{15}} = \frac{1}{6}$ और ${}^n C_{14} = {}^n C_{n-14}$ होने के कारण:
$\frac{(2^{1/3})^{n-14} (3^{-1/3})^{14}}{(2^{1/3})^{14} (3^{-1/3})^{n-14}} = \frac{1}{6}$
$(6^{1/3})^{n-28} = 6^{-1}$
$\frac{n-28}{3} = -1 \Rightarrow n = 25$.
अतः,${}^{25} C_3 = \frac{25 \times 24 \times 23}{6} = 2300$.

(D) विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{1016}C_{r} (5^{\frac{1}{2}})^{1016-r} (7^{\frac{1}{8}})^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
पद को पूर्णांक होने के लिए,$5$ और $7$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
$7$ का घातांक $\frac{r}{8}$ है,इसलिए $r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए।
$5$ का घातांक $\frac{1016-r}{2} = 508 - \frac{r}{2}$ है। इसे पूर्णांक होने के लिए,$r$ को सम संख्या होना चाहिए।
चूंकि $r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए,इसलिए यह स्वतः ही सम है।
अतः,$r \in \{0, 8, 16, \dots, 1016\}$।
यह एक समांतर श्रेणी है जहाँ $a = 0$,$d = 8$,और अंतिम पद $l = 1016$ है।
सूत्र $l = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$1016 = 0 + (n-1)8$ प्राप्त होता है।
$n-1 = \frac{1016}{8} = 127$।
$n = 128$।
इसलिए,कुल $128$ पूर्णांक पद हैं।

(B) $(1 + \frac{2}{5}x)^{23}$ के विस्तार का सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{23}{r} (\frac{2}{5}x)^r$ द्वारा दिया जाता है।
गुणांक $a_r = \binom{23}{r} (\frac{2}{5})^r$ है।
सबसे बड़ा गुणांक $a_r$ ज्ञात करने के लिए,हम अनुपात $\frac{a_r}{a_{r-1}} \geq 1$ पर विचार करते हैं।
$\frac{\binom{23}{r} (\frac{2}{5})^r}{\binom{23}{r-1} (\frac{2}{5})^{r-1}} \geq 1$
$\frac{23-r+1}{r} \times \frac{2}{5} \geq 1$
$\frac{24-r}{r} \times \frac{2}{5} \geq 1$
$48 - 2r \geq 5r$
$48 \geq 7r$
$r \leq \frac{48}{7} \approx 6.85$
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए सबसे बड़ा गुणांक $r = 6$ पर प्राप्त होता है।

(B) $\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^n$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^nC_r (x^2)^{n-r} (x^{-1})^r = {}^nC_r x^{2n-3r}$ है।
चूंकि $n$ सम है,मध्य पद $(\frac{n}{2} + 1)$-वां पद है,जहाँ $r = \frac{n}{2}$ है।
$r = \frac{n}{2}$ रखने पर,हमें $T_{\frac{n}{2}+1} = {}^nC_{\frac{n}{2}} x^{\frac{n}{2}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि मध्य पद $924 x^6$ है,इसलिए $\frac{n}{2} = 6$,जिसका अर्थ है $n = 12$ है।
गुणांक की जाँच करने पर: ${}^{12}C_6 = 924$ है।
अतः,$n = 12$ सही मान है।

(A) $(x^2 - x^{-2})^{16}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (x^2)^{16-r} (-x^{-2})^r$
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (-1)^r x^{32-2r} x^{-2r}$
$T_{r+1} = ^{16}C_{r} (-1)^r x^{32-4r}$
अचर पद के लिए,$x$ की घात $0$ होनी चाहिए:
$32 - 4r = 0 \implies 4r = 32 \implies r = 8$
$r = 8$ रखने पर:
$T_{8+1} = ^{16}C_{8} (-1)^8 x^{32-4(8)} = ^{16}C_{8} (1) (1) = ^{16}C_{8}$

(B) $(a+b)^n$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n=14$,$a=x$,$b=\frac{1}{\sqrt{x}}$,और हमें $11$ वाँ पद चाहिए,इसलिए $r+1=11$,जिसका अर्थ है $r=10$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^{14-10} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^4 \left(\frac{1}{x^{1/2}}\right)^{10}$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} (x)^4 \left(\frac{1}{x^5}\right)$
$T_{11} = {}^{14}C_{10} \cdot \frac{1}{x}$
${}^{14}C_{10} = {}^{14}C_{4} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$ की गणना करने पर।
अतः,$T_{11} = \frac{1001}{x}$।

(D) $\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{n}$ के विस्तार में $13^{th}$ पद सामान्य पद के सूत्र $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = 12$ के लिए,हमारे पास है:
$T_{13} = {}^{n}C_{12} (x^{2})^{n-12} (\frac{2}{x})^{12}$
$T_{13} = {}^{n}C_{12} x^{2n-24} \cdot \frac{2^{12}}{x^{12}}$
$T_{13} = {}^{n}C_{12} \cdot 2^{12} \cdot x^{2n-36}$
चूंकि पद $x$ से स्वतंत्र है,इसलिए $x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$2n - 36 = 0$ $\Rightarrow 2n = 36$ $\Rightarrow n = 18$.
$n = 18$ के भाजक $1, 2, 3, 6, 9, 18$ हैं।
भाजकों का योग $1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39$ है।

(D) दिया गया है कि द्विपद विस्तार $(1+x)^{15}$ है।
$x^{r}$ का गुणांक $^{15}C_{r}$ है और $x^{r+3}$ का गुणांक $^{15}C_{r+3}$ है।
प्रश्न के अनुसार,गुणांक समान हैं:
$^{15}C_{r} = ^{15}C_{r+3}$
द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए,यदि $^{n}C_{x} = ^{n}C_{y}$ है,तो या तो $x = y$ या $x + y = n$ होता है।
यहाँ,$r \neq r+3$,इसलिए $r + (r+3) = 15$ होगा।
$2r + 3 = 15$
$2r = 12$
$r = 6$

(D) विस्तार $(x+a)^{n}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{n-r} a^{r}$ है।
दिए गए विस्तार $\left(3x - \frac{1}{2x}\right)^{8}$ के लिए,$n = 8$ है।
नौवां पद $(T_{9})$ ज्ञात करने के लिए,$r+1 = 9$ रखने पर,$r = 8$ प्राप्त होता है।
सूत्र में $n = 8$,$r = 8$,$x = 3x$,और $a = -\frac{1}{2x}$ रखने पर:
$T_{9} = {}^{8}C_{8} (3x)^{8-8} \left(-\frac{1}{2x}\right)^{8}$
$T_{9} = 1 \cdot (3x)^{0} \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right)^{8}$
$T_{9} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{(-1)^{8}}{2^{8} x^{8}}$
$T_{9} = \frac{1}{256x^{8}}$