De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Gujarati

(A) એકમના ઘનમૂળ એ $z^3 = 1$ સમીકરણના ઉકેલો છે.
આ મૂળ $1$,$\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$,અને $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \omega = -\omega^2$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + \omega)^7 = A + B\omega$
$(-\omega^2)^7 = A + B\omega$
$-\omega^{14} = A + B\omega$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
તેથી,$-\omega^2 = A + B\omega$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\omega^2 = -1 - \omega$ મળે છે.
તેથી,$-(-1 - \omega) = A + B\omega$.
$1 + \omega = A + B\omega$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $A = 1$ અને $B = 1$ મળે છે.

(B) એકમ (unity) ના $n^{th}$ મૂળ માટેનું સમીકરણ $x^n = 1$ છે.
આપણે $1$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $\cos(2r\pi) + i\sin(2r\pi) = e^{i2r\pi}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ,જ્યાં $r = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
આમ,મૂળ $x = e^{i(2r\pi/n)}$ છે.
$r$ ની કિંમતો મૂકતા,મૂળ $1, e^{i(2\pi/n)}, e^{i(4\pi/n)}, \dots, e^{i(2(n-1)\pi/n)}$ મળે છે.
આ પદો પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = e^{i(2\pi/n)}$ સાથે સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ બનાવે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે એકમના ઘનમૂળ માટે,$1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ: $(3 + \omega^2 + \omega^4)^6$.
કારણ કે $\omega^4 = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega$,તેથી પદાવલિ $(3 + \omega^2 + \omega)^6$ બને છે.
નિત્યસમ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\omega + \omega^2 = -1$ મળે છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $(3 + (-1))^6 = (2)^6$.
$(2)^6 = 64$.

(A) પદાવલિ $1 + \omega + \omega^2 + ... + \omega^{n-1}$ એ $n$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega$ છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$a = 1$ અને $r = \omega$ મૂકતા,આપણને $S_n = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1}$ મળે છે.
કારણ કે $\omega$ એ એકમનું $n^{th}$ મૂળ છે,તેથી $\omega^n = 1$.
તેથી,$S_n = \frac{1 - 1}{\omega - 1} = \frac{0}{\omega - 1} = 0$ (જ્યાં $\omega \neq 1$ આપેલ છે).

(D) એકમના $n$ માં મૂળ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
${z_k} = {e^{\frac{i 2\pi (k - 1)}{n}}}$ જ્યાં $k = 1, 2, ....., n$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$|{z_k}| = |{e^{\frac{i 2\pi (k - 1)}{n}}}| = 1$ દરેક $k = 1, 2, ....., n$ માટે.
દરેક $n$ માં મૂળનો માનાંક $1$ હોવાથી:
$|{z_k}| = |{z_{k + 1}}| = 1$ દરેક $k = 1, 2, ....., n-1$ માટે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $a + b + c = 0$,તેથી $c = -(a + b)$.
$a=1, b=1, c=-2$ લેતા,$a+b+c=0$ થાય છે.
પદાવલિ $= (1 + \omega - 2\omega^2)^3 + (1 + \omega^2 - 2\omega)^3$
$= (3 + 3\omega)^3 + (3 + 3\omega^2)^3$
$= 27(1 + \omega)^3 + 27(1 + \omega^2)^3$
$= 27(-\omega^2)^3 + 27(-\omega)^3$
$= 27(-1) + 27(-1) = -54$.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $27abc = 27(1)(1)(-2) = -54$.
તેથી,સાચો જવાબ $27abc$ છે.

(A) સમીકરણ $z^4 = 1$ ના બીજ એકમના ચતુર્થ મૂળ છે,જે $z_1 = 1, z_2 = i, z_3 = -1, z_4 = -i$ છે.
આપણે $\sum_{i=1}^4 z_i^3 = z_1^3 + z_2^3 + z_3^3 + z_4^3$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા: $1^3 + (i)^3 + (-1)^3 + (-i)^3$.
$= 1 - i - 1 + i = 0$.
તેથી,સરવાળો $0$ છે.

(B) જો $\alpha$ એ એકમનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ હોય,તો ધારો કે $\alpha = \omega$.
આપેલ પદાવલિ: $\alpha^{3n + 1} + \alpha^{3n + 3} + \alpha^{3n + 5}$.
એકમના ઘનમૂળના ગુણધર્મો મુજબ,$\omega^3 = 1$ અને કોઈપણ $n \in N$ માટે $\omega^{3n} = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\omega^{3n} \cdot \omega^1 + \omega^{3n} \cdot \omega^3 + \omega^{3n} \cdot \omega^5 = 1 \cdot \omega + 1 \cdot 1 + 1 \cdot \omega^2$.
$= \omega + 1 + \omega^2$.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી જવાબ $0$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે એકમના ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ અને $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ છે.
આપેલ પદાવલિ $\omega^{20} + (\omega^2)^{20} = \omega^{20} + \omega^{40}$ છે.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^{20} = (\omega^3)^6 \cdot \omega^2 = 1^6 \cdot \omega^2 = \omega^2$ મળે.
તે જ રીતે,$\omega^{40} = (\omega^3)^{13} \cdot \omega = 1^{13} \cdot \omega = \omega$ મળે.
આમ,પદાવલિ $\omega^2 + \omega$ બને છે.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega^2 + \omega = -1$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ: $(3 + 5\omega + 3\omega^2)^2 + (3 + 3\omega + 5\omega^2)^2$.
$3 + 3\omega + 3\omega^2 = 3(1 + \omega + \omega^2) = 3(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ પદ: $(3 + 3\omega + 3\omega^2 + 2\omega)^2 = (0 + 2\omega)^2 = 4\omega^2$.
બીજું પદ: $(3 + 3\omega + 3\omega^2 + 2\omega^2)^2 = (0 + 2\omega^2)^2 = 4\omega^4$.
કારણ કે $\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$,તેથી સરવાળો $4\omega^2 + 4\omega$ થાય.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$\omega + \omega^2 = -1$ મળે.
તેથી,$4\omega^2 + 4\omega = 4(\omega^2 + \omega) = 4(-1) = -4$.

(C) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ છે,તેથી $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
પ્રથમ,$\omega$ ના ઘાતનું સાદું રૂપ આપતા:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin \left[ (\omega + \omega^2)\pi - \frac{\pi}{4} \right]$
$\omega + \omega^2 = -1$ હોવાથી,
$\sin \left[ -\pi - \frac{\pi}{4} \right] = -\sin \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = -(-\sin \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) ધારો કે $z_1 = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$.
તેથી $z_1^6 = (e^{i\pi/6})^6 = e^{i\pi} = -1$.
ધારો કે $z_2 = \frac{i - \sqrt{3}}{2} = \frac{-\sqrt{3} + i}{2} = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = e^{i5\pi/6}$.
તેથી $z_2^6 = (e^{i5\pi/6})^6 = e^{i5\pi} = \cos(5\pi) + i\sin(5\pi) = -1$.
તેથી,$z_1^6 + z_2^6 = -1 + (-1) = -2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \omega = -\omega^2$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 + \omega - \omega^2)^7 = (-\omega^2 - \omega^2)^7$
$= (-2\omega^2)^7$
$= (-2)^7 \times (\omega^2)^7$
$= -128 \times \omega^{14}$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{14} = (\omega^3)^4 \times \omega^2 = 1^4 \times \omega^2 = \omega^2$.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $-128\omega^2$ થાય.

(A) ધારો કે $z_1 = -1 + i\sqrt{3} = 2\omega$ અને $z_2 = -1 - i\sqrt{3} = 2\omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
તેથી પદાવલિ $E = \frac{(2\omega)^{15}}{(1 - i)^{20}} + \frac{(2\omega^2)^{15}}{(1 + i)^{20}}$ થશે.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^{15} = 1$ અને $\omega^{30} = 1$ થાય.
$E = \frac{2^{15}}{(1 - i)^{20}} + \frac{2^{15}}{(1 + i)^{20}} = 2^{15} \left[ \frac{(1 + i)^{20} + (1 - i)^{20}}{(1 - i^2)^{20}} \right]$.
$1 - i^2 = 2$ હોવાથી,છેદ $2^{20}$ થશે.
$E = \frac{2^{15}}{2^{20}} [(1 + i)^{20} + (1 - i)^{20}]$.
$(1 + i)^2 = 2i$ અને $(1 - i)^2 = -2i$ હોવાથી,
$E = \frac{1}{2^5} [(2i)^{10} + (-2i)^{10}] = \frac{1}{32} [2^{10} i^{10} + 2^{10} i^{10}] = \frac{2 \times 2^{10} \times (-1)}{32} = -64$.

(A) ઘાતાંક એ $a = \frac{1}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{3}{4}$ ધરાવતી અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1/2}{1 - 3/4} = \frac{1/2}{1/4} = 2$ થાય.
આમ,પદાવલિ $\omega + \omega^2$ બને છે.
કારણ કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
તેથી,$\omega + \omega^2 = -1$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $(3 + \omega + 3\omega^2)^4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\omega + \omega^2 = -1$.
વળી,$3 + 3\omega^2 = 3(1 + \omega^2) = 3(-\omega) = -3\omega$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(3 + 3\omega^2 + \omega)^4 = (-3\omega + \omega)^4$.
$= (-2\omega)^4$.
$= 16\omega^4$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^4 = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega$.
તેથી,કિંમત $16\omega$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
તેથી,$1 + \omega^2 = -\omega$ અને $1 + \omega = -\omega^2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 - \omega + \omega^2)(1 - \omega^2 + \omega)^6 = (-\omega - \omega)(-\omega^2 - \omega^2)^6$
$= (-2\omega)(-2\omega^2)^6$
$= (-2\omega)(64\omega^{12})$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{12} = (\omega^3)^4 = 1^4 = 1$.
$= (-2\omega)(64 \times 1) = -128\omega$.

(D) એકમના ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ છે.
તેમનો ગુણાકાર $1 \times \omega \times \omega^2 = \omega^3$ થાય.
કારણ કે $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,તેથી $\omega^3 = 1$.
આમ,તેમનો ગુણાકાર $1$ છે.

(C) આપેલ છે કે $z = \frac{\sqrt{3} + i}{-2} = -\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$z$ ને $i$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $iz = -\left(i\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\right) = -\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\omega$.
તેથી,$z = \frac{-\omega}{i} = i\omega$.
હવે,$z^{69} = (i\omega)^{69} = i^{69} \cdot \omega^{69}$.
કારણ કે $i^{69} = i^{68} \cdot i = (i^4)^{17} \cdot i = 1^{17} \cdot i = i$ અને $\omega^{69} = (\omega^3)^{23} = 1^{23} = 1$.
તેથી,$z^{69} = i \cdot 1 = i$.

(C) આપેલ છે કે ${\omega _n} = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)$.
$n=3$ માટે,${\omega _3} = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = -\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \omega$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
તે જ રીતે,${\omega _3}^2 = \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) = -\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt{3}}}{2} = {\omega ^2}$.
હવે,પદાવલિ $(x + y\omega + z{\omega ^2})(x + y{\omega ^2} + z\omega)$ છે.
આ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$= {x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx$.

(D) આપેલ છે કે $z + z^{-1} = 1$,તેથી $z + \frac{1}{z} = 1$,જે સૂચવે છે કે $z^2 - z + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ અથવા $-\omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
કિસ્સો $1$: જો $z = -\omega$ હોય,તો $z^{100} + z^{-100} = (-\omega)^{100} + (-\omega)^{-100} = \omega^{100} + \frac{1}{\omega^{100}}$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^{100} = \omega$ થાય.
તેથી,$z^{100} + z^{-100} = \omega + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2 = -1$.
કિસ્સો $2$: જો $z = -\omega^2$ હોય,તો $z^{100} + z^{-100} = (-\omega^2)^{100} + (-\omega^2)^{-100} = \omega^{200} + \frac{1}{\omega^{200}} = \omega^2 + \omega = -1$.
બંને કિસ્સાઓમાં,પરિણામ $-1$ મળે છે.

(C) ધારો કે $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(1 + i\sqrt{3})$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})}{(1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})} = \frac{1 + 2i\sqrt{3} - 3}{4} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.
આ $\omega$ ની કિંમત છે,જે એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
તેથી,$z^n = \omega^n$.
$\omega^n$ પૂર્ણાંક બને તે માટે $n$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ કારણ કે $\omega^3 = 1$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત $3$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \omega^2 = -\omega$ અને $1 + \omega = -\omega^2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 + \omega^2 + 2\omega)^{3n} - (1 + \omega + 2\omega^2)^{3n} = (-\omega + 2\omega)^{3n} - (-\omega^2 + 2\omega^2)^{3n}$
$= (\omega)^{3n} - (\omega^2)^{3n}$
$= (\omega^3)^n - (\omega^3)^{2n}$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $1^n - 1^{2n} = 1 - 1 = 0$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(a + b)(a + b\omega)(a + b\omega^2)$
અહીં $\omega$ એ એકમનું અવાસ્તવિક ઘનમૂળ હોવાથી,$1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
પ્રથમ,છેલ્લા બે પદોનો ગુણાકાર કરતા: $(a + b\omega)(a + b\omega^2) = a^2 + ab\omega^2 + ab\omega + b^2\omega^3 = a^2 + ab(\omega + \omega^2) + b^2(1)$.
$\omega + \omega^2 = -1$ હોવાથી,આ પદાવલિ $a^2 - ab + b^2$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
હવે,પ્રથમ પદ સાથે ગુણાકાર કરતા: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

(B) આપેલ સંકર સંખ્યા $z = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,આ $z = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = cis\left(\frac{\pi}{3}\right)$ છે.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$cis(\theta)$ ના $n$-માં મૂળ $cis\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3$.
ચતુર્થ મૂળ $(n=4)$ અને $k=0$ માટે,આપણને $cis\left(\frac{\pi/3}{4}\right) = cis\left(\frac{\pi}{12}\right)$ મળે છે.
આમ,$cis\left(\frac{\pi}{12}\right)$ એ આપેલ સંખ્યાનું ચતુર્થ મૂળ છે.

(D) ધારો કે $(8)^{1/3} = x$.
તેથી $x^3 = 8$,જેનો અર્થ છે $x^3 - 8 = 0$.
બીજગણિતના નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$ મળે છે.
આનાથી $x = 2$ અથવા $x^2 + 2x + 4 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $x^2 + 2x + 4 = 0$ ને ઉકેલતા,આપણને $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$ મળે છે.
આમ,$8$ ના ઘનમૂળ $2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$ છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિકલ્પો સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે $\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ થાય છે કે $1 + \omega^2 = -\omega$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(3 + \omega + 3\omega^2)^4 = [3(1 + \omega^2) + \omega]^4$
$= [3(-\omega) + \omega]^4$
$= [-3\omega + \omega]^4$
$= [-2\omega]^4$
$= 16\omega^4$
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^4 = \omega^3 \times \omega = 1 \times \omega = \omega$ થાય.
તેથી,$16\omega^4 = 16\omega$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \omega^2 = -\omega$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 - 2\omega + \omega^2)^6 = (1 + \omega^2 - 2\omega)^6$
$= (-\omega - 2\omega)^6$
$= (-3\omega)^6$
$= (-3)^6 \times \omega^6$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^6 = (\omega^3)^2 = 1^2 = 1$.
તેથી,$(-3)^6 \times 1 = 729$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\omega^{99} + \omega^{100} + \omega^{101}$
$\omega^{99}$ સામાન્ય લેતા: $\omega^{99}(1 + \omega + \omega^{2})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ અને $\omega^{3} = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\omega^{99}(0) = 1^{33} \times 0 = 0$.
તેથી,જવાબ $0$ છે.

(C) ધારો કે $y = |a + b\omega + c\omega^2|$.
$y$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $y^2$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
$y^2 = |a + b\omega + c\omega^2|^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$.
આને $y^2 = \frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$ તરીકે લખી શકાય.
$a, b, c$ પૂર્ણાંકો છે અને બધા સમાન નથી,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે બે ચલ સમાન હોય અને ત્રીજો $1$ જેટલો અલગ હોય (દા.ત.,$a=0, b=0, c=1$).
આ કિંમતો મૂકતા,$y^2 = \frac{1}{2}[0 + 1 + 1] = 1$.
આમ,$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \omega = -\omega^2$ અને $1 + \omega^2 = -\omega$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\omega^2(1 + \omega)^3 - (1 + \omega^2)\omega = \omega^2(-\omega^2)^3 - (-\omega)\omega$
$= \omega^2(-\omega^6) + \omega^2$
$= -\omega^8 + \omega^2$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^8 = \omega^6 \times \omega^2 = 1 \times \omega^2 = \omega^2$.
આમ,$-\omega^2 + \omega^2 = 0$.

(C) આપેલ છે કે $x = \alpha + \beta$,$y = \alpha \omega + \beta \omega^2$,અને $z = \alpha \omega^2 + \beta \omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
પ્રથમ,$yz$ નો ગુણાકાર શોધો:
$yz = (\alpha \omega + \beta \omega^2)(\alpha \omega^2 + \beta \omega)$
$yz = \alpha^2 \omega^3 + \alpha \beta \omega^2 + \alpha \beta \omega^4 + \beta^2 \omega^3$
$\omega^3 = 1$ અને $\omega^4 = \omega$ હોવાથી:
$yz = \alpha^2(1) + \alpha \beta \omega^2 + \alpha \beta \omega + \beta^2(1)$
$yz = \alpha^2 + \alpha \beta(\omega^2 + \omega) + \beta^2$
$\omega^2 + \omega = -1$ હોવાથી:
$yz = \alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2$
હવે,$xyz = x(yz)$ શોધો:
$xyz = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2)$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$xyz = \alpha^3 + \beta^3$.

(D) આપેલ છે કે $(1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + ..... + C_nx^n$.
બંને બાજુ $x = i$ મૂકતા:
$(1 + i)^n = (C_0 - C_2 + C_4 - .....) + i(C_1 - C_3 + C_5 - .....) \dots (i)$
$1 + i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $1 + i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$(1 + i)^n = (\sqrt{2})^n \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right) \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ના વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$C_0 - C_2 + C_4 - C_6 + ..... = 2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{4}$.

(C) આપેલ છે કે $x = \cos \theta + i\sin \theta = e^{i\theta}$ અને $y = \cos \phi + i\sin \phi = e^{i\phi}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,${x^m} = e^{im\theta}$ અને ${y^n} = e^{in\phi}$ મળે.
તેથી,${x^m}{y^n} = e^{i(m\theta + n\phi)}$ અને ${x^{-m}}{y^{-n}} = e^{-i(m\theta + n\phi)}$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2\cos \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
${x^m}{y^n} + {x^{-m}}{y^{-n}} = e^{i(m\theta + n\phi)} + e^{-i(m\theta + n\phi)} = 2\cos (m\theta + n\phi)$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum\limits_{r = 1}^8 {\left( {\sin \frac{{2r\pi }}{9} + i\cos \frac{{2r\pi }}{9}} \right)} = \sum\limits_{r = 1}^8 {i\left( {\cos \frac{{2r\pi }}{9} - i\sin \frac{{2r\pi }}{9}} \right)}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આ $i\sum\limits_{r = 1}^8 {e^{-i\frac{2r\pi}{9}}} = i\sum\limits_{r = 1}^8 {\alpha^r}$ બને છે,જ્યાં $\alpha = e^{-i\frac{2\pi}{9}}$.
આ $8$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,તેથી સરવાળો $i\alpha \frac{1 - \alpha^8}{1 - \alpha} = i \frac{\alpha - \alpha^9}{1 - \alpha}$ થાય.
કારણ કે $\alpha^9 = e^{-i2\pi} = 1$,તેથી પદાવલિ $i \frac{\alpha - 1}{1 - \alpha} = i(-1) = -i$ માં પરિણમે છે.

(C) આપેલ છે કે $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ અને $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$.
ધારો કે $a = \cos \alpha + i\sin \alpha$,$b = \cos \beta + i\sin \beta$,અને $c = \cos \gamma + i\sin \gamma$.
તેથી $a + b + c = (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) + i(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma) = 0 + i0 = 0$.
નિત્યસમ મુજબ જો $a + b + c = 0$ હોય,તો $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$(\cos \alpha + i\sin \alpha)^3 + (\cos \beta + i\sin \beta)^3 + (\cos \gamma + i\sin \gamma)^3 = 3(\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta)(\cos \gamma + i\sin \gamma)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$(\cos 3\alpha + i\sin 3\alpha) + (\cos 3\beta + i\sin 3\beta) + (\cos 3\gamma + i\sin 3\gamma) = 3[\cos(\alpha + \beta + \gamma) + i\sin(\alpha + \beta + \gamma)]$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા,$\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma = 3\cos(\alpha + \beta + \gamma)$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(x - 1)^3 + 8 = 0$ છે.
આને $(x - 1)^3 = -8$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$x - 1 = (-8)^{1/3}$ મળે.
એકમના ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ હોવાથી,$-8$ ના ઘનમૂળ $-2, -2\omega, -2\omega^2$ થાય.
તેથી,$x - 1 = -2, -2\omega, -2\omega^2$.
બધી બાજુ $1$ ઉમેરતા,$x = 1 - 2, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ મળે.
આમ,બીજ $-1, 1 - 2\omega, 1 - 2\omega^2$ છે.

(C) કારણ કે $1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ એ એકમના $n$ મૂળ છે,તેથી તેઓ સમીકરણ $x^n - 1 = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,આપણે બહુપદીને આ રીતે લખી શકીએ:
$x^n - 1 = (x - 1)(x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
બંને બાજુ $(x - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{x^n - 1}{x - 1} = (x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
ભૌમિતિક શ્રેણીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ:
$x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + x + 1 = (x - \omega)(x - \omega^2) \dots (x - \omega^{n-1})$
હવે,બંને બાજુ $x = 1$ મૂકતા:
$1^{n-1} + 1^{n-2} + \dots + 1 + 1 = (1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1})$
ડાબી બાજુએ કુલ $n$ પદો હોવાથી,સરવાળો $n$ થાય છે.
આમ,$(1 - \omega)(1 - \omega^2) \dots (1 - \omega^{n-1}) = n$.

(C) ધારો કે $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,જ્યાં $\omega^3 = 1$.
આપેલ પદાવલિ $4 + 5\omega^{334} + 3\omega^{365}$ છે.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^{334} = \omega^{333} \cdot \omega = (\omega^3)^{111} \cdot \omega = 1^{111} \cdot \omega = \omega$.
તે જ રીતે,$\omega^{365} = \omega^{363} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^{121} \cdot \omega^2 = 1^{121} \cdot \omega^2 = \omega^2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$4 + 5\omega + 3\omega^2$.
ગુણધર્મ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,$\omega^2 = -1 - \omega$.
આ કિંમત મૂકતા:
$4 + 5\omega + 3(-1 - \omega) = 4 + 5\omega - 3 - 3\omega = 1 + 2\omega$.
$\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$1 + 2\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - 1 + i\sqrt{3} = i\sqrt{3}$.

(D) એકમના $n^{th}$ મૂળ ${z_r} = \cos \frac{2r\pi}{n} + i\sin \frac{2r\pi}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = 0, 1, \dots, n-1$.
ધારો કે ${z_1} = \cos \frac{2r_1\pi}{n} + i\sin \frac{2r_1\pi}{n}$ અને ${z_2} = \cos \frac{2r_2\pi}{n} + i\sin \frac{2r_2\pi}{n}$.
ઉગમબિંદુ પર ${z_1}$ અને ${z_2}$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\frac{z_1}{z_2}$ ના કોણાંક દ્વારા મળે છે.
$\text{arg}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \text{arg}(z_1) - \text{arg}(z_2) = \frac{2(r_1 - r_2)\pi}{n}$.
ખૂણો કાટખૂણો હોવાથી,$\frac{2(r_1 - r_2)\pi}{n} = \pm \frac{\pi}{2}$.
આથી $\frac{2(r_1 - r_2)}{n} = \pm \frac{1}{2}$,જેનું સાદુરૂપ $n = \pm 4(r_1 - r_2)$ થાય છે.
$r_1$ અને $r_2$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$n$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $n = 4k$.

(A) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = (r + 1)(r\omega + 1)(r\omega^2 + 1)$ છે,જ્યાં $r = 1$ થી $n$.
$\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(r\omega + 1)(r\omega^2 + 1) = r^2\omega^3 + r\omega + r\omega^2 + 1 = r^2 + r(\omega + \omega^2) + 1 = r^2 - r + 1$.
તેથી,$T_r = (r + 1)(r^2 - r + 1) = r^3 + 1$.
સરવાળો $\sum_{r=1}^n (r^3 + 1) = \sum_{r=1}^n r^3 + \sum_{r=1}^n 1$ છે.
$\sum_{r=1}^n r^3 = [\frac{n(n + 1)}{2}]^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,સરવાળો $[\frac{n(n + 1)}{2}]^2 + n$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(1 + \omega^2)^m = (1 + \omega^4)^m$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^4 = \omega$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(1 + \omega^2)^m = (1 + \omega)^m$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$1 + \omega^2 = -\omega$ અને $1 + \omega = -\omega^2$ મળે.
તેથી,$(-\omega)^m = (-\omega^2)^m$.
બંને બાજુ $(-\omega)^m$ વડે ભાગતા: $1 = (\frac{-\omega^2}{-\omega})^m = (\omega)^m$.
$(\omega)^m = 1$ માટે,$m$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત $3$ છે,કારણ કે $\omega^3 = 1$ થાય.

(D) સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\alpha^{19}$ અને $\beta^7$ હોય.
$\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$.
$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
નવા સમીકરણના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે,જે મૂળ સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ સમાન જ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^3 + 8 = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
ધારો કે $y = x^2$,જેનો અર્થ છે કે $x = y^{1/2}$.
મૂળ સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા: $(y^{1/2})^3 + 8 = 0$.
$y^{3/2} = -8$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(y^{3/2})^2 = (-8)^2$.
$y^3 = 64$.
$y^3 - 64 = 0$.
આમ,$\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ $x^3 - 64 = 0$ છે.

(D) $\text{આપેલ છે કે}$ $x + \frac{1}{x} = 2 \cos \alpha$.
$\text{ધારો કે}$ $x = \cos \alpha + i \sin \alpha = e^{i\alpha}$.
$\text{તેથી}$ $\frac{1}{x} = \cos \alpha - i \sin \alpha = e^{-i\alpha}$.
$\text{આમ}$,$x + \frac{1}{x} = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha} = 2 \cos \alpha$.
$\text{હવે}$,$x^n + \frac{1}{x^n} = (e^{i\alpha})^n + (e^{-i\alpha})^n = e^{in\alpha} + e^{-in\alpha}$.
$\text{ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા}$,$e^{in\alpha} + e^{-in\alpha} = 2 \cos n\alpha$.
$\text{તેથી}$,$x^n + \frac{1}{x^n} = 2 \cos n\alpha$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ છે.
આ સમીકરણના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\alpha^{19}$ અને $\beta^7$ હોય.
$\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$.
$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
નવા બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ હોવાથી,માંગેલ સમીકરણ મૂળ સમીકરણ જેવું જ એટલે કે $x^2 + x + 1 = 0$ થશે.

(C) આપેલ છે કે $x = a$,$y = b\omega$,અને $z = c\omega^2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = \frac{a}{a} + \frac{b\omega}{b} + \frac{c\omega^2}{c}$
$= 1 + \omega + \omega^2$
કારણ કે એકના સંકર ઘનમૂળ માટે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ થાય છે,તેથી જવાબ $0$ છે.