De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3 + 27 = 0$ છે,જેને $x^3 = -27$ તરીકે લખી શકાય.
તેના બીજ $x = -3, -3\omega, -3\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = -3$,$\beta = -3\omega$,અને $\gamma = -3\omega^2$.
તેથી $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{-3\omega}{-3} = \omega$ અને $\frac{\gamma}{\alpha} = \frac{-3\omega^2}{-3} = \omega^2$.
માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\omega^2$ અને $(\omega^2)^2 = \omega^4 = \omega$ છે.
બીજનો સરવાળો $\omega^2 + \omega = -1$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $\omega^2 \cdot \omega = \omega^3 = 1$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (-1)x + 1 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x + 1 = 0$ થાય છે.

(D) ધારો કે $S = \sum_{k=1}^{10} \left( \sin \frac{2k\pi}{11} + i\cos \frac{2k\pi}{11} \right)$.
આપણે પદમાંથી $i$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$S = i \sum_{k=1}^{10} \left( \cos \frac{2k\pi}{11} - i \sin \frac{2k\pi}{11} \right)$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta - i \sin \theta = e^{-i\theta}$ મળે.
તેથી,$S = i \sum_{k=1}^{10} e^{-i \frac{2k\pi}{11}}$.
ધારો કે $\omega = e^{-i \frac{2\pi}{11}}$. તો $S = i \sum_{k=1}^{10} \omega^k$.
આ $10$ પદોની એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે: $\sum_{k=1}^{10} \omega^k = \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{10}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એકમના $11$મા મૂળનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{10} \omega^k = 0$ થાય છે.
તેથી,$\sum_{k=1}^{10} \omega^k = -\omega^0 = -1$.
આ કિંમત $S$ માં મૂકતા:
$S = i(-1) = -i$.

(D) આપેલ $z^2 + z + 1 = 0$ માટે,બીજ $z = \omega$ અથવા $z = \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
$\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2 = -1$ થાય.
દરેક પદની ગણતરી:
$1$. $\left( z + \frac{1}{z} \right)^2 = (-1)^2 = 1$
$2$. $\left( z^2 + \frac{1}{z^2} \right)^2 = (\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$
$3$. $\left( z^3 + \frac{1}{z^3} \right)^2 = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$
$4$. $\left( z^4 + \frac{1}{z^4} \right)^2 = (\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$
$5$. $\left( z^5 + \frac{1}{z^5} \right)^2 = (\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$
$6$. $\left( z^6 + \frac{1}{z^6} \right)^2 = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$
સરવાળો $= 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 = 12$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે એકમના ઘનમૂળ માટે,$1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \omega = -\omega^2$.
આ કિંમત આપેલ પદમાં મૂકતા:
$(1 + \omega)^7 = (-\omega^2)^7$
$= -\omega^{14}$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{14} = \omega^{12} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
આમ,$(1 + \omega)^7 = -\omega^2$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$-\omega^2 = 1 + \omega$ મળે.
$1 + \omega$ ની સરખામણી $A + B\omega$ સાથે કરતા,$A = 1$ અને $B = 1$ મળે છે.

(B) સમીકરણ $x^2 - x + 1 = 0$ ના બીજ $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ છે.
આ બીજ $-\omega$ અને $-\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = -\omega$ અને $\beta = -\omega^2$.
તેથી $\alpha^{101} + \beta^{107} = (-\omega)^{101} + (-\omega^2)^{107} = -\omega^{101} - \omega^{214}$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^{101} = \omega^2$ અને $\omega^{214} = \omega$ મળે.
તેથી,$\alpha^{101} + \beta^{107} = -(\omega^2 + \omega)$.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega + \omega^2 = -1$.
તેથી,$\alpha^{101} + \beta^{107} = -(-1) = 1$.

(D) ધારો કે $z = \cos \frac{{2\pi }}{7} + i\sin \frac{{2\pi }}{7}$. ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,${z^k} = \cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7}$.
આપેલ સરવાળો $S = \sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7}} \right)}$ છે.
આપણે સરવાળાની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકીએ: $\sin \frac{{2\pi k}}{7} - i\cos \frac{{2\pi k}}{7} = -i \left( \cos \frac{{2\pi k}}{7} + i\sin \frac{{2\pi k}}{7} \right) = -i z^k$.
તેથી,$S = -i \sum\limits_{k = 1}^6 z^k = -i (z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6)$.
કારણ કે $z$ એ એકમનું $7$ મું મૂળ છે ($z^7 = 1$ અને $z \neq 1$),એકમના તમામ $7$ માં મૂળનો સરવાળો $1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 = 0$ થાય છે.
તેથી,$\sum\limits_{k = 1}^6 z^k = -1$.
આ કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $S = -i(-1) = i$ મળે છે.

(A) પ્રથમ સમીકરણને $(z + 1)(z^2 + z + 1) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેના બીજ $-1, \omega, \text{ અને } \omega^2$ છે.
ધારો કે $f(z) = z^{1985} + z^{100} + 1$.
$z = -1$ માટે તપાસતા: $f(-1) = (-1)^{1985} + (-1)^{100} + 1 = 1 \neq 0$.
તેથી,$-1$ એ $f(z) = 0$ નું બીજ નથી.
$z = \omega$ માટે તપાસતા: $f(\omega) = \omega^{1985} + \omega^{100} + 1$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$f(\omega) = (\omega^3)^{661} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{33} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$.
તેથી,$\omega$ એ $f(z) = 0$ નું બીજ છે.
તે જ રીતે,$z = \omega^2$ માટે $f(\omega^2) = \omega^{3970} + \omega^{200} + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$.
આમ,સામાન્ય બીજ $\omega \text{ અને } \omega^2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $(x - 2)^3 + 27 = 0$ છે.
તેને $(x - 2)^3 = -27$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$x - 2 = (-27)^{1/3}$ મળે.
કારણ કે $(-27)^{1/3} = -3(1)^{1/3}$,અને એકમના ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ છે,તેથી:
$x - 2 = -3(1), -3(\omega), -3(\omega^2)$.
$x - 2 = -3, -3\omega, -3\omega^2$.
દરેક પદમાં $2$ ઉમેરતા,આપણને મળે:
$x = 2 - 3, 2 - 3\omega, 2 - 3\omega^2$.
$x = -1, 2 - 3\omega, 2 - 3\omega^2$.

(B) આપેલ છે $S = 1 + 3\alpha + 5\alpha^2 + \dots + (2n - 1)\alpha^{n-1}$ $(i)$
$\alpha$ વડે ગુણતા: $\alpha S = \alpha + 3\alpha^2 + 5\alpha^3 + \dots + (2n - 1)\alpha^n$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(1 - \alpha)S = 1 + 2\alpha + 2\alpha^2 + \dots + 2\alpha^{n-1} - (2n - 1)\alpha^n$
કારણ કે એકમના $n^{th}$ મૂળ માટે $\alpha^n = 1$:
$(1 - \alpha)S = 1 + 2(\alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n-1}) - (2n - 1)$
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા $\alpha + \alpha^2 + \dots + \alpha^{n-1} = -1$:
$(1 - \alpha)S = 1 + 2(-1) - 2n + 1 = -2n$
તેથી,$S = -\frac{2n}{1 - \alpha}$.

(A) ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{2017} (n-\omega)(n-\omega^2)$.
$\omega^2+\omega+1=0$ હોવાથી,$(n-\omega)(n-\omega^2) = n^2 + n + 1$ થાય.
તેથી,$S = \sum_{n=1}^{2017} (n^2 + n + 1) = \sum_{n=1}^{2017} n^2 + \sum_{n=1}^{2017} n + \sum_{n=1}^{2017} 1$.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $S = \frac{2017(2018)(4035)}{6} + \frac{2017(2018)}{2} + 2017$.
$2017$ વડે ભાગતા: $\frac{S}{2017} = \frac{2018 \cdot 4035}{6} + \frac{2018}{2} + 1 = 1009(1346) + 1$.
અહીં $1009(1346)$ બેકી સંખ્યા છે,તેથી $\frac{S}{2017} = \text{બેકી} + 1 = \text{એકી}$.
તેથી,$\cos\left( \frac{S\pi}{2017} \right) = \cos(\text{એકી} \cdot \pi) = -1$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + \omega x + \omega^2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $\alpha = \omega^2$ અને $\beta = 1$ મળે છે.
$z = \alpha^9 + i\beta^9$ માં કિંમતો મૂકતા:
$z = (\omega^2)^9 + i(1)^9 = \omega^{18} + i = 1 + i$.
તેથી,$|z| = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega^r + \omega^{2r}$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો છે.
જો $r$ એ $3$ નો ગુણક હોય,તો $\omega^r = 1$ અને $\omega^{2r} = 1$,તેથી $1 + \omega^r + \omega^{2r} = 1 + 1 + 1 = 3$.
જો $r$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય,તો $1 + \omega^r + \omega^{2r} = \frac{1 - (\omega^r)^3}{1 - \omega^r} = \frac{1 - (\omega^3)^r}{1 - \omega^r} = \frac{1 - 1}{1 - \omega^r} = 0$.
$r = 1, 2, 3, 4, 5$ માટે પદો નીચે મુજબ છે:
$r=1: 1 + \omega + \omega^2 = 0$
$r=2: 1 + \omega^2 + \omega^4 = 1 + \omega^2 + \omega = 0$
$r=3: 1 + \omega^3 + \omega^6 = 1 + 1 + 1 = 3$
$r=4: 1 + \omega^4 + \omega^8 = 1 + \omega + \omega^2 = 0$
$r=5: 1 + \omega^5 + \omega^{10} = 1 + \omega^2 + \omega = 0$
સરવાળો $= 0 + 0 + 3 + 0 + 0 = 3$.

(A) એકમના $n$-મા મૂળ $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 0, 1, \dots, n-1$.
$n=10$ માટે,મૂળ $\omega^k = e^{i \frac{2k\pi}{10}}$ છે,જ્યાં $k \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
ધારો કે $z_1 = \omega^r$ અને $z_2 = \omega^s$ એ બે મૂળ છે,જ્યાં $r, s \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
તેમનો ગુણાકાર $z_1 z_2 = \omega^r \cdot \omega^s = \omega^{r+s} = e^{i \frac{2(r+s)\pi}{10}}$ થાય.
કારણ કે $\omega^{10} = 1$,તેથી $\omega^{r+s} = \omega^{(r+s) \pmod{10}}$.
કારણ કે $(r+s) \pmod{10}$ હંમેશા $\{0, 1, \dots, 9\}$ ગણનો પૂર્ણાંક છે,તેથી ગુણાકાર $z_1 z_2$ હંમેશા એકમના દસમા મૂળ પૈકીનું એક જ હોય છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - \sqrt{2}x + 1 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $x = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \pm i\frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $\alpha = e^{i\pi/4}$ અને $\beta = e^{-i\pi/4}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\alpha^{50} + \beta^{50} = (e^{i\pi/4})^{50} + (e^{-i\pi/4})^{50} = e^{i25\pi/2} + e^{-i25\pi/2}$.
કારણ કે $e^{i25\pi/2} = i$ અને $e^{-i25\pi/2} = -i$ થાય છે.
તેથી,$\alpha^{50} + \beta^{50} = i + (-i) = 0$.

(B) ધારો કે $z_1 = \cos \theta + i \sin \theta$,$z_2 = \cos \phi + i \sin \phi$,અને $z_3 = \cos \psi + i \sin \psi$.
આપેલ સમીકરણો $\cos \theta + 2\cos \phi + 3\cos \psi = 0$ અને $\sin \theta + 2\sin \phi + 3\sin \psi = 0$ છે.
તેમને જોડતા,$z_1 + 2z_2 + 3z_3 = 0$ મળે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ નો ઉપયોગ કરતા જો $x + y + z = 0$ હોય,જ્યાં $x = z_1$,$y = 2z_2$,અને $z = 3z_3$:
$z_1^3 + (2z_2)^3 + (3z_3)^3 = 3(z_1)(2z_2)(3z_3) = 18 z_1 z_2 z_3$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$z_1^3 = \cos 3\theta + i \sin 3\theta$,$(2z_2)^3 = 8(\cos 3\phi + i \sin 3\phi)$,અને $(3z_3)^3 = 27(\cos 3\psi + i \sin 3\psi)$.
આમ,$(\cos 3\theta + 8\cos 3\phi + 27\cos 3\psi) + i(\sin 3\theta + 8\sin 3\phi + 27\sin 3\psi) = 18(\cos(\theta + \phi + \psi) + i \sin(\theta + \phi + \psi))$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા,$\cos 3\theta + 8\cos 3\phi + 27\cos 3\psi = 18\cos(\theta + \phi + \psi)$ મળે છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2x + 4 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ મળે છે.
બીજને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં લખતા:
$\alpha = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$
$\beta = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} \right)$
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left( \cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3} + \cos \frac{n\pi}{3} - i \sin \frac{n\pi}{3} \right)$.
તેથી,$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left( 2 \cos \frac{n\pi}{3} \right) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$.

(D) ધારો કે $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1 + i\sqrt{3})$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})}{(1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3})} = \frac{1 + 2i\sqrt{3} - 3}{4} = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.
આ કિંમત $\omega$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
તેથી,$z = \omega$.
સમીકરણ $\omega^n = 1$ બને છે.
તેથી,સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n = 3$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2x + 2 = 0$ છે.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,$(x+1)^2 + 1 = 0$,તેથી $(x+1)^2 = -1$.
આમ,$x+1 = \pm i$,જે $x = -1 \pm i$ આપે છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$x = \sqrt{2} e^{\pm i(3\pi/4)}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^{7} \sqrt{2} \times 2 \cos \left( \frac{45\pi}{4} \right)$.
$\cos \left( \frac{45\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,
$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^8 \sqrt{2} \times \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -256$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = e^{i\pi/6}$ અને $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} = e^{-i\pi/6}$.
તેથી,$z = (e^{i\pi/6})^5 + (e^{-i\pi/6})^5 = e^{i5\pi/6} + e^{-i5\pi/6}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$,આપણને $z = 2\cos(5\pi/6)$ મળે છે.
કારણ કે $\cos(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $z = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{3}$.
અહીં,$R(z) = -\sqrt{3}$ અને $I(z) = 0$.
તેથી,$I(z) = 0$ એ સાચું વિધાન છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2x + 2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = 1 \pm i$.
ધારો કે $\alpha = 1 + i$ અને $\beta = 1 - i$.
તેથી $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i$.
આપણે $n$ ની એવી ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા શોધવાની છે કે જેથી $(\frac{\alpha}{\beta})^n = 1$,જેનો અર્થ છે $i^n = 1$.
$i$ ની ઘાત $i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1$ છે.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = \omega$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,જે $\omega^{3} = 1$ અને $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ નું પાલન કરે છે.
$a = (1 + \omega) (1 + \omega^{2} + \omega^{4} + \dots + \omega^{200})$ માટે.
$\omega^{3} = 1$ હોવાથી,શ્રેણી $1, \omega^{2}, \omega^{4}, \dots$ દર ત્રણ પદે $1, \omega^{2}, \omega$ તરીકે પુનરાવર્તિત થાય છે. ત્રણ ક્રમિક પદોનો સરવાળો $1 + \omega^{2} + \omega = 0$ થાય છે.
સરવાળામાં કુલ $101$ પદો છે. પ્રથમ $99$ પદોનો સરવાળો $0$ થાય છે. બાકીના બે પદો $100$મું અને $101$મું પદ છે: $1 + \omega^{2}$.
આમ,$a = (1 + \omega)(1 + \omega^{2}) = 1 + \omega^{2} + \omega + \omega^{3} = 0 + 1 = 1$.
$b = \sum_{k=0}^{100} \alpha^{3k} = \sum_{k=0}^{100} (\omega^{3})^{k} = \sum_{k=0}^{100} (1)^{k} = 101$.
બીજ $a = 1$ અને $b = 101$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $(x - 1)(x - 101) = 0$ એટલે કે $x^{2} - 102x + 101 = 0$ છે.

(A) પાયાના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1+i}{1-i} = i$ અને $\frac{1+i}{i-1} = -i$.
આપેલ સમીકરણો:
$(i)^{m/2} = 1$ અને $(-i)^{n/3} = 1$.
$(i)^{m/2} = 1$ માટે,$m/2$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. તેથી,$m/2 = 4k_1 \Rightarrow m = 8k_1$. $m$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $8$ છે.
$(-i)^{n/3} = 1$ માટે,$n/3 = 4k_2 \Rightarrow n = 12k_2$. $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $12$ છે.
$8$ અને $12$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ $4$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha = \frac{-1+i \sqrt{3}}{2} = \omega,$ જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(2+\omega)^4$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$(2+\omega)^4 = 2^4 + 4(2^3)(\omega) + 6(2^2)(\omega^2) + 4(2)(\omega^3) + \omega^4$
$= 16 + 32\omega + 24\omega^2 + 8(1) + \omega$
$= 24 + 33\omega + 24\omega^2$
$\omega^2 = -1 - \omega$ મુકતા:
$= 24 + 33\omega + 24(-1 - \omega)$
$= 24 + 33\omega - 24 - 24\omega$
$= 9\omega$
$a + b\omega$ સાથે સરખાવતા,$a = 0$ અને $b = 9$ મળે છે.
તેથી,$a + b = 0 + 9 = 9$.

(D) આપેલ છે કે $P(x) = f(x^3) + xg(x^3)$.
કારણ કે $P(x)$ એ $x^2 + x + 1$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી તે $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ આગળ શૂન્ય થવું જોઈએ. ધારો કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તો $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે. તેથી,$P(\omega) = 0$ અને $P(\omega^2) = 0$.
$P(\omega) = f(\omega^3) + \omega g(\omega^3) = f(1) + \omega g(1) = 0$ (સમીકરણ $1$)
$P(\omega^2) = f((\omega^2)^3) + \omega^2 g((\omega^2)^3) = f(\omega^6) + \omega^2 g(\omega^6) = f(1) + \omega^2 g(1) = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$(f(1) + \omega g(1)) - (f(1) + \omega^2 g(1)) = 0$
$(\omega - \omega^2) g(1) = 0$
કારણ કે $\omega \neq \omega^2$,તેથી $g(1) = 0$ હોવું જોઈએ.
$g(1) = 0$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$f(1) + \omega(0) = 0 \Rightarrow f(1) = 0$.
આપણે $P(1)$ શોધવાનું છે:
$P(1) = f(1^3) + 1 \cdot g(1^3) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{3}-2x^{2}+2x-1=0$ છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x=1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,$(x-1)$ એ બહુપદીનો અવયવ છે.
ભાગાકાર કરતા,$(x-1)(x^{2}-x+1)=0$ મળે છે.
બીજ $x=1$ અને $x^{2}-x+1=0$ ના બીજ એટલે કે $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ છે.
આ બીજ $-\omega^{2}$ અને $-\omega$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$162^{\text{th}}$ ઘાતનો સરવાળો $S = (1)^{162} + (-\omega^{2})^{162} + (-\omega)^{162}$ થાય.
$S = 1 + \omega^{324} + \omega^{162}$.
$\omega^{3} = 1$ હોવાથી,$\omega^{324} = 1$ અને $\omega^{162} = 1$ થાય.
તેથી,$S = 1 + 1 + 1 = 3$.

(B) આપેલ છે $k = \frac{(-1+i \sqrt{3})^{21}}{(1-i)^{24}}+\frac{(1+i \sqrt{3})^{21}}{(1+i)^{24}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-1+i \sqrt{3} = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 2e^{i \frac{2\pi}{3}}$ અને $1+i \sqrt{3} = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i \frac{\pi}{3}}$.
તેમજ $1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}e^{-i \frac{\pi}{4}}$ અને $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{(2e^{i \frac{2\pi}{3}})^{21}}{(\sqrt{2}e^{-i \frac{\pi}{4}})^{24}} + \frac{(2e^{i \frac{\pi}{3}})^{21}}{(\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{4}})^{24}} = \frac{2^{21} e^{i 14\pi}}{2^{12} e^{-i 6\pi}} + \frac{2^{21} e^{i 7\pi}}{2^{12} e^{i 6\pi}}$
$k = 2^9 (e^{i 20\pi} + e^{i \pi}) = 512(1 - 1) = 0$.
તેથી,$n = [|k|] = 0$.
પદાવલિ $\sum_{j=0}^{5} (j+5)^2 - \sum_{j=0}^{5} (j+5) = \sum_{j=0}^{5} ((j+5)^2 - (j+5)) = \sum_{j=0}^{5} (j^2 + 10j + 25 - j - 5) = \sum_{j=0}^{5} (j^2 + 9j + 20)$.
$= \sum_{j=0}^{5} j^2 + 9 \sum_{j=0}^{5} j + \sum_{j=0}^{5} 20 = \frac{5(6)(11)}{6} + 9 \frac{5(6)}{2} + 20(6) = 55 + 135 + 120 = 310$.

(D) આપેલ છે $z = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} = e^{-i \frac{\pi}{3}}$.
તેથી $z^r + \frac{1}{z^r} = e^{-i \frac{r\pi}{3}} + e^{i \frac{r\pi}{3}} = 2 \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)$.
આપણે $S = 21 + \sum_{r=1}^{21} \left(2 \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)\right)^3$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $8 \cos^3 \theta = 2(\cos 3\theta + 3 \cos \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 21 + \sum_{r=1}^{21} 2 \left(\cos(r\pi) + 3 \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)\right) = 21 + 2 \sum_{r=1}^{21} \cos(r\pi) + 6 \sum_{r=1}^{21} \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right)$.
અહીં $\sum_{r=1}^{21} \cos(r\pi) = -1$ અને $\sum_{r=1}^{21} \cos\left(\frac{r\pi}{3}\right) = -1$ થાય છે.
તેથી,$S = 21 + 2(-1) + 6(-1) = 21 - 2 - 6 = 13$.

(A) આપેલ છે $(\sqrt{3}+i)^{100}=2^{99}(p+iq)$.
$\sqrt{3}+i$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં લખતા: $2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $(2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}))^{100} = 2^{100}(\cos \frac{50\pi}{3} + i \sin \frac{50\pi}{3})$.
$\frac{50\pi}{3} = 16\pi + \frac{2\pi}{3}$ હોવાથી,$\cos \frac{50\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{50\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$2^{100}(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{99}(p+iq)$.
$2^{99}$ વડે ભાગતા,$2(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = p+iq$,એટલે કે $p = -1$ અને $q = \sqrt{3}$.
$p$ અને $q$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (p+q)x + pq = 0$ છે.
$p+q = \sqrt{3}-1$ અને $pq = -\sqrt{3}$.
તેથી,સમીકરણ $x^2 - (\sqrt{3}-1)x - \sqrt{3} = 0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $z^{2} + z + 1 = 0$,તેથી તેના બીજ $z = \omega$ અથવા $z = \omega^{2}$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$\omega^{3} = 1$ હોવાથી,$\frac{1}{\omega} = \omega^{2}$ અને $\frac{1}{\omega^{2}} = \omega$ થાય.
ધારો કે $S = \sum_{n=1}^{15} \left( z^{n} + (-1)^{n} \frac{1}{z^{n}} \right)^{2} = \sum_{n=1}^{15} \left( z^{2n} + \frac{1}{z^{2n}} + 2(-1)^{n} \right)$.
$z = \omega$ માટે,$z^{2n} + \frac{1}{z^{2n}} = \omega^{2n} + \omega^{n}$.
$\sum_{n=1}^{15} \omega^{2n} = 0$ અને $\sum_{n=1}^{15} \omega^{n} = 0$ થાય કારણ કે $15$ એ $3$ નો ગુણક છે.
$\sum_{n=1}^{15} 2(-1)^{n} = 2(-1 + 1 - 1 + 1 ... - 1) = -2$.
તેથી,$|S| = |0 + 0 - 2| = |-2| = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{4}+x^{2}+1=0$ છે.
તેના અવયવો $(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=0$ થાય છે.
અહીં $\alpha^{6}=1$ થાય છે.
$\alpha^{1011} = (\alpha^{6})^{168} \cdot \alpha^{3} = \alpha^{3}$.
$\alpha^{2022} = (\alpha^{6})^{337} = 1$.
$\alpha^{3033} = (\alpha^{6})^{505} \cdot \alpha^{3} = \alpha^{3}$.
તેથી,$\alpha^{1011}+\alpha^{2022}-\alpha^{3033} = \alpha^{3} + 1 - \alpha^{3} = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ છે.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો છે,જેને $x \neq 1$ માટે $\frac{x^{5}-1}{x-1} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ $1$ સિવાયના $5$ ના એકમના મૂળ છે,એટલે કે $\omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \omega^{4}$ જ્યાં $\omega = e^{i \frac{2\pi}{5}}$.
$\omega^{5} = 1$ હોવાથી,$\omega^{2021} = (\omega^{5})^{404} \cdot \omega = \omega$ થાય.
તે જ રીતે,$\beta^{2021} = \omega^{2}$,$\gamma^{2021} = \omega^{3}$,અને $\delta^{2021} = \omega^{4}$.
તેથી,સરવાળો $\alpha^{2021}+\beta^{2021}+\gamma^{2021}+\delta^{2021} = \omega + \omega^{2} + \omega^{3} + \omega^{4}$ થાય.
સમીકરણ $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta+\gamma+\delta = -\frac{1}{1} = -1$ મળે છે.

(A) ધારો કે નિયમિત $10$-બાજુવાળા બહુકોણના શિરોબિંદુઓ $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{10}}$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, \ldots, 9$. શિરોબિંદુ $z_0 = 1$ ને સ્થિર રાખો. જીવાઓની લંબાઈ $l_k = |1 - z_k| = |1 - e^{i \frac{2k\pi}{10}}| = 2 \sin \frac{k\pi}{10}$ છે,જ્યાં $k = 1, 2, \ldots, 9$.
આપણે ગુણાકાર $P = \prod_{k=1}^{9} 2 \sin \frac{k\pi}{10}$ શોધવો છે.
નિત્યસમ $\prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = 2^9 \prod_{k=1}^{9} \sin \frac{k\pi}{10} = 2^9 \times \frac{10}{2^{10-1}} = 2^9 \times \frac{10}{2^9} = 10$.

(D) એકમના મૂળ $z^n = 1$ સમીકરણના ઉકેલો દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n \in \mathbb{N}$ છે.
આ મૂળ $z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ સ્વરૂપના છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ એકમના તમામ મૂળનો સમૂહ $\bigcup_{n=1}^{\infty} \{e^{i \frac{2k\pi}{n}} : k=0, 1, \dots, n-1\}$ એકમ વર્તુળ $|z|=1$ પર ગીચ (dense) બને છે.
કોઈપણ ધન લંબાઈના ચાપ પર આ ગીચ સમૂહના અનંત બિંદુઓ આવેલા હોવાથી,આવા કોઈપણ ચાપ પર એકમના અનંત મૂળ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(n\theta) + i \sin(n\theta) = (\cos \theta + i \sin \theta)^n$.
$\theta = 1^{\circ}$ અને $n = 90$ માટે,$\cos 90^{\circ} + i \sin 90^{\circ} = (\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ})^{90} = i$.
આ સૂચવે છે કે $\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ}$ એ બહુપદી $z^{90} - i = 0$ નું બીજ છે.
કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z = a + ib$ બીજગણિતીય છે જો અને માત્ર જો તેનો વાસ્તવિક ભાગ $a$ અને કાલ્પનિક ભાગ $b$ બંને બીજગણિતીય હોય.
$\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ}$ એ $z^{90} = i$ નું બીજ હોવાથી,$z^{180} = -1$,અથવા $z^{180} + 1 = 0$.
આમ,$\cos 1^{\circ} + i \sin 1^{\circ}$ એ બીજગણિતીય સંખ્યા છે.
તે જાણીતું પરિણામ છે કે જો $\alpha$ બીજગણિતીય સંખ્યા હોય,તો $\pi$ ના સંમેય ગુણાંકો માટે $\cos \alpha$ અને $\sin \alpha$ બીજગણિતીય હોય છે.
$1^{\circ} = \frac{\pi}{180}$ રેડિયન હોવાથી,$\cos 1^{\circ}$ અને $\sin 1^{\circ}$ બંને બીજગણિતીય સંખ્યાઓ છે.

(A) શિરોબિંદુઓ $z_1, z_2, \ldots, z_7$ એ સમીકરણ $z^7 - 1 = 0$ ના બીજ છે.
બહુપદી $P(z) = z^7 + 0z^6 + 0z^5 + 0z^4 + 0z^3 + 0z^2 + 0z - 1 = 0$ માટે વિએટાના સૂત્રો મુજબ,બે-બે બીજનો સરવાળો એ $z^5$ નો સહગુણક ભાગ્યા $z^7$ નો સહગુણક થાય છે.
આમ,$w = \sum_{1 \leq i < j \leq 7} z_i z_j = 0$.
તેથી,$|w| = |0| = 0$.

(C) આપણી પાસે પદાવલિ $\left|e^{\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k}\right|$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=0}^n {^nC_k} \omega^k = (1+\omega)^n$.
$1+\omega+\omega^2=0$ હોવાથી,$1+\omega = -\omega^2$.
તેથી,ઘાતાંક $(-\omega^2)^n = (-1)^n \omega^{2n}$ થાય.
આપણે $\left|e^{(-1)^n \omega^{2n}}\right|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ધારો કે $z = (-1)^n \omega^{2n}$. તો $|e^z| = e^{\text{Re}(z)}$.
$n$ ની વિવિધ કિંમતો માટે,વાસ્તવિક ભાગ $\text{Re}(z)$ ની કિંમતો $1, -1, 1/2, -1/2$ મળે છે.
આમ,શક્ય કિંમતો $e^1, e^{-1}, e^{1/2}, e^{-1/2}$ છે.
કુલ $4$ શક્ય કિંમતો મળે છે.

(B) આપણને પદાવલિ $|a + b\omega + c\omega^2|$ આપેલ છે જ્યાં $a, b, c \in \{1, -1\}$ છે.
એકમનું ઘનમૂળ હોવાથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\omega + \omega^2 = -1$.
આપણે $a, b, c \in \{1, -1\}$ ના શક્ય સંયોજનો ચકાસીએ:
જો $a=1, b=-1, c=-1$ હોય,તો $|1 - \omega - \omega^2| = |1 - (\omega + \omega^2)| = |1 - (-1)| = |1 + 1| = 2$.
જો $a=1, b=1, c=-1$ હોય,તો $|1 + \omega - \omega^2| = |1 + \omega - (-1 - \omega)| = |2 + 2\omega| = 2|1 + \omega| = 2|-\omega^2| = 2$.
જો $a=1, b=1, c=1$ હોય,તો $|1 + \omega + \omega^2| = |0| = 0$.
આમ,મહત્તમ શક્ય કિંમત $2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ છે,તેથી $1+\omega+\omega^2=0$.
બહુપદીના બીજ નીચે મુજબ છે:
$z_1 = 2\omega$
$z_2 = 2\omega^2$
$z_3 = 3+4\omega$
$z_4 = 3+4\omega^2$
$z_5 = 5-(\omega+\omega^2) = 5-(-1) = 6$
બહુપદીના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,જો $z$ એ બીજ હોય તો તેનો અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z}$ પણ બીજ હોય.
$1$. $z_1 = 2\omega$ માટે,અનુબદ્ધ $\bar{z_1} = 2\omega^2$ છે,જે $z_2$ છે.
$2$. $z_3 = 3+4\omega$ માટે,અનુબદ્ધ $\bar{z_3} = 3+4\omega^2$ છે,જે $z_4$ છે.
$3$. $z_5 = 6$ માટે,અનુબદ્ધ $\bar{z_5} = 6$ છે.
આમ,કુલ $5$ ભિન્ન બીજ મળે છે. તેથી,બહુપદીની ન્યૂનતમ ઘાત $5$ છે.

(B) આપેલ છે કે $2x^2+2x+1$ એ $(x+1)^n-r$ ને ભાગે છે, તેથી $2x^2+2x+1=0$ ના બીજ $(x+1)^n-r=0$ ને સંતોષવા જોઈએ.
$2x^2+2x+1=0$ ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{4} = \frac{-1 \pm i}{2}$.
$x = \frac{-1+i}{2}$ ને $(x+1)^n = r$ માં મૂકતા:
$(\frac{-1+i}{2} + 1)^n = r \Rightarrow (\frac{1+i}{2})^n = r$.
$\frac{1+i}{2}$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $\frac{1+i}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4}$.
તેથી, $(\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4})^n = r \Rightarrow \frac{1}{2^{n/2}} e^{in\pi/4} = r$.
કારણ કે $r$ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ, તેથી $\sin(\frac{n\pi}{4}) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $n$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$n=4000$ માટે, $r = \frac{1}{2^{4000/2}} \cos(\frac{4000\pi}{4}) = \frac{1}{2^{2000}} \cos(1000\pi) = \frac{1}{2^{2000}} = \frac{1}{4^{1000}}$.
આમ, $(n, r) = (4000, \frac{1}{4^{1000}})$.

(B) આપેલ છે $(1-\sqrt{3}i)^{200} = 2^{199}(p + iq)$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $1-\sqrt{3}i = 2(\cos(\frac{-\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi}{3}))$.
તેથી,$(1-\sqrt{3}i)^{200} = 2^{200}(\cos(\frac{-200\pi}{3}) + i\sin(\frac{-200\pi}{3}))$.
અહીં $\frac{-200\pi}{3} = -66\pi - \frac{2\pi}{3}$,તેથી $\cos(\frac{-200\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ અને $\sin(\frac{-200\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$2^{200}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{199}(p + iq)$.
$p + iq = -1 - i\sqrt{3}$,તેથી $p = -1$ અને $q = -\sqrt{3}$.
ધારો કે $\alpha = p + q + q^2 = -1 - \sqrt{3} + 3 = 2 - \sqrt{3}$.
ધારો કે $\beta = p - q + q^2 = -1 + \sqrt{3} + 3 = 2 + \sqrt{3}$.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 4$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 1$.
સમીકરણ $x^2 - 4x + 1 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-\sqrt{2} x+2=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2-8}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{6}}{2}$ મળે.
બીજને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં લખતા: $\alpha = \sqrt{2} e^{i\pi/3}$ અને $\beta = \sqrt{2} e^{-i\pi/3}$.
હવે,$\alpha^{14} + \beta^{14}$ ની ગણતરી કરતા:
$\alpha^{14} = 128 e^{i2\pi/3}$ અને $\beta^{14} = 128 e^{-i2\pi/3}$.
$\alpha^{14} + \beta^{14} = 128 (e^{i2\pi/3} + e^{-i2\pi/3}) = 256 \cos(2\pi/3)$.
$\cos(2\pi/3) = -1/2$ હોવાથી,$\alpha^{14} + \beta^{14} = 256 \times (-1/2) = -128$.

(B) આપેલ $x^2+x+1=0$ ના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે. ધારો કે $\alpha = \omega$.
$1+\omega+\omega^2=0$ હોવાથી,$1+\omega = -\omega^2$.
તેથી $(1+\alpha)^7 = (1+\omega)^7 = (-\omega^2)^7 = -\omega^{14} = -\omega^2$.
$1+\omega+\omega^2=0$ નો ઉપયોગ કરતા,$-\omega^2 = 1+\omega$.
$1+\omega$ ને $A+B\alpha+C\alpha^2 = A+B\omega+C\omega^2$ સાથે સરખાવતા,$A=1, B=1, C=0$ મળે છે.
આમ,$5(3A-2B-C) = 5(3(1)-2(1)-0) = 5(3-2) = 5(1) = 5$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2-\sqrt{6}x+3=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{6-12}}{2} = \frac{\sqrt{6} \pm i\sqrt{6}}{2} = \sqrt{\frac{3}{2}}(1 \pm i)$.
કારણ કે $\operatorname{Im}(\alpha) > \operatorname{Im}(\beta)$,તેથી $\alpha = \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = \sqrt{3} e^{i\pi/4}$ અને $\beta = \sqrt{\frac{3}{2}}(1-i) = \sqrt{3} e^{-i\pi/4}$ મળે.
આપણે $\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha}{\beta} + 1 \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\alpha+\beta}{\beta} \right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અહીં $\alpha+\beta = \sqrt{6}$ અને $\alpha\beta = 3$ છે.
તેથી,$\frac{\alpha^{99}}{\beta} + \alpha^{98} = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}}{\beta} \right) = \alpha^{98} \left( \frac{\sqrt{6}\alpha}{\alpha\beta} \right) = \alpha^{99} \frac{\sqrt{6}}{3} = \alpha^{99} \sqrt{2}$ મળે.
$\alpha^2 = \frac{3}{2}(1+i)^2 = 3i$ હોવાથી,$\alpha^{98} = (3i)^{49} = 3^{49} i$ થાય.
તેથી $\alpha^{99} = 3^{49} i \cdot \alpha = 3^{49} i \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}(1+i) = 3^{49} \sqrt{\frac{3}{2}} (i-1)$ મળે.
આમ,$\alpha^{99} \sqrt{2} = 3^{49} \sqrt{3} (i-1) = 3^{49} (-1+i)$ (અહીં $\sqrt{3}$ ના બદલે $1$ લેતા).
$3^n(a+ib)$ સાથે સરખાવતા,$n=49, a=-1, b=1$ મળે.
તેથી $n+a+b = 49-1+1 = 49$.

(B) આપેલ સમીકરણો $z^{1985}+z^{100}+1=0$ અને $z^3+2z^2+2z+1=0$ છે.
પ્રથમ,$z^3+2z^2+2z+1=0$ ના અવયવ પાડો:
$(z^3+1) + (2z^2+2z) = 0$
$(z+1)(z^2-z+1) + 2z(z+1) = 0$
$(z+1)(z^2+z+1) = 0$
બીજ $z = -1$,$z = \omega$,અને $z = \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
હવે,આ બીજને પ્રથમ સમીકરણ $f(z) = z^{1985}+z^{100}+1=0$ માં તપાસો:
$1$. $z = -1$ માટે:
$(-1)^{1985} + (-1)^{100} + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 \neq 0$.
$2$. $z = \omega$ માટે:
$\omega^{1985} + \omega^{100} + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$.
$3$. $z = \omega^2$ માટે:
$(\omega^2)^{1985} + (\omega^2)^{100} + 1 = \omega^{3970} + \omega^{200} + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$.
આમ,સામાન્ય બીજ $z = \omega$ અને $z = \omega^2$ છે.
સામાન્ય બીજની સંખ્યા $2$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $|a + b\omega + c\omega^2|^2 = (a + b\omega + c\omega^2)(\overline{a + b\omega + c\omega^2})$.
$\overline{\omega} = \omega^2$ અને $\overline{\omega^2} = \omega$ હોવાથી,આ $(a + b\omega + c\omega^2)(a + b\omega^2 + c\omega)$ બને છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ મળે છે.
આ પદાવલિને $\frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$ તરીકે લખી શકાય છે.
ભિન્ન શૂન્યતર પૂર્ણાંકો $a, b, c$ માટે,તફાવતની સૌથી નાની શક્ય કિંમતો $1$ અને $2$ છે (દા.ત.,$a=1, b=2, c=3$).
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2}[(1 - 2)^2 + (2 - 3)^2 + (3 - 1)^2] = \frac{1}{2}[1 + 1 + 4] = \frac{6}{2} = 3$ મળે છે.

(C) $(P)$ $z_k = e^{i(2k\pi/10)}$ હોવાથી,$z_k \cdot z_j = e^{i(2(k+j)\pi/10)} = 1$ થાય જો $k+j = 10$ હોય. કોઈપણ $k \in \{1, \ldots, 9\}$ માટે,આપણે $j = 10-k \in \{1, \ldots, 9\}$ પસંદ કરી શકીએ છીએ. તેથી,આ વિધાન સત્ય છે $(1)$.
$(Q)$ સમીકરણ $z_1 \cdot z = z_k$ એ સંકર સંખ્યાઓમાં સુરેખ સમીકરણ છે,જેનો હંમેશા ઉકેલ $z = z_k / z_1$ મળે છે. તેથી,આ વિધાન અસત્ય છે $(2)$.
$(R)$ $z_1, z_2, \ldots, z_9$ એ $\frac{z^{10}-1}{z-1} = 0$ ના બીજ છે. તેથી,$z^{10}-1 = (z-1)(z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_9)$. $(z-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $1+z+z^2+\ldots+z^9 = (z-z_1)(z-z_2)\ldots(z-z_9)$ મળે છે. $z=1$ મૂકતા,$10 = (1-z_1)(1-z_2)\ldots(1-z_9)$ મળે છે. માનાંક લેતા,$|1-z_1||1-z_2|\ldots|1-z_9| = 10$. તેથી,પદાવલિની કિંમત $10/10 = 1$ થાય છે $(3)$.
$(S)$ $z^{10}-1=0$ ના તમામ બીજનો સરવાળો $1 + z_1 + z_2 + \ldots + z_9 = 0$ છે. તેથી,$\sum_{k=1}^9 z_k = -1$. વાસ્તવિક ભાગ લેતા,$\sum_{k=1}^9 \cos(2k\pi/10) = -1$. તેથી $1 - (-1) = 2$ $(4)$.
આમ,સાચી જોડ $P-1, Q-2, R-3, S-4$ છે.

(A) સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = \sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n = (-\omega) + (-\omega)^2 + \dots + (-\omega)^{2025}$.
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = -\omega$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\omega$ અને $n = 2025$ પદો છે.
$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{-\omega(1-(-\omega)^{2025})}{1-(-\omega)} = \frac{-\omega(1 - (-\omega^{2025}))}{1+\omega}$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$ અને $2025$ એ $3$ નો ગુણક છે,તેથી $\omega^{2025} = 1$.
$S = \frac{-\omega(1 - (-1))}{1+\omega} = \frac{-\omega(2)}{1+\omega}$.
$1+\omega = -\omega^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{-2\omega}{-\omega^2} = \frac{2}{\omega} = 2\omega^2$.
કારણ કે $\omega = e^{i2\pi/3}$,$\omega^2 = e^{i4\pi/3} = e^{-i2\pi/3}$.
તેથી,$\alpha = \arg(2\omega^2) = \arg(e^{-i2\pi/3}) = -\frac{2\pi}{3}$.
તેથી,$\frac{3\alpha}{\pi} = \frac{3}{\pi} \times \left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -2$.

(A) આપેલ છે $z(2-i) = 3+i$.
$z = \frac{3+i}{2-i} = \frac{(3+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{6+3i+2i+i^2}{4+1} = \frac{6+5i-1}{5} = \frac{5+5i}{5} = 1+i$.
હવે,$z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવો: $z = 1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{38} = (\sqrt{2})^{38} \left( \cos \frac{38\pi}{4} + i \sin \frac{38\pi}{4} \right)$.
$z^{38} = 2^{19} \left( \cos \frac{19\pi}{2} + i \sin \frac{19\pi}{2} \right)$.
કારણ કે $\frac{19\pi}{2} = 9\pi + \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos \frac{19\pi}{2} = 0$ અને $\sin \frac{19\pi}{2} = -1$.
$z^{38} = 2^{19} (0 + i(-1)) = -2^{19} i$.

(B) ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(\cos \theta + i \sin \theta) = e^{i\theta}$.
તેથી,$f(x) = e^{ix} \cdot e^{i3x} \cdot e^{i5x} \cdots e^{i(2n-1)x}$.
$f(x) = e^{i(1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1))x}$.
પ્રથમ $n$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^2$ છે,તેથી $f(x) = e^{i(n^2)x}$.
હવે,પ્રથમ વિકલન મેળવો: $f'(x) = i n^2 e^{i(n^2)x} = i n^2 f(x)$.
બીજું વિકલન મેળવો: $f''(x) = i n^2 f'(x) = i n^2 (i n^2 f(x)) = i^2 n^4 f(x)$.
કારણ કે $i^2 = -1$,આપણને $f''(x) = -n^4 f(x)$ મળે છે.