De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Hindi

(A) दिया गया है $y = \cos \theta + i\sin \theta = e^{i\theta}$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$\frac{1}{y} = y^{-1} = (e^{i\theta})^{-1} = e^{-i\theta} = \cos \theta - i\sin \theta$.
अतः,$y + \frac{1}{y} = (\cos \theta + i\sin \theta) + (\cos \theta - i\sin \theta) = 2\cos \theta$.

(D) हमें $-i$ के घनमूल ज्ञात करने हैं।
ध्रुवीय रूप में,$-i = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})$ है।
घनमूल $z_k = \cos(\frac{3\pi/2 + 2k\pi}{3}) + i\sin(\frac{3\pi/2 + 2k\pi}{3})$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2$ है।
$k=0$ के लिए: $z_0 = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = i$।
$k=1$ के लिए: $z_1 = \cos(\frac{7\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i = \frac{-\sqrt{3} - i}{2}$।
$k=2$ के लिए: $z_2 = \cos(\frac{11\pi}{6}) + i\sin(\frac{11\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i = \frac{\sqrt{3} - i}{2}$।
चूँकि $\frac{-\sqrt{3} - i}{2}$ और $\frac{\sqrt{3} - i}{2}$ दोनों $(-i)^{1/3}$ के मूल हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) हम सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करते हैं: $1 + i\sqrt{3} = 2\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 2e^{i\pi/3}$.
डी मॉइवर के प्रमेय का उपयोग करते हुए: $(1 + i\sqrt{3})^9 = (2e^{i\pi/3})^9 = 2^9 \cdot e^{i(3\pi)}$.
चूंकि $e^{i(3\pi)} = \cos(3\pi) + i\sin(3\pi) = -1 + i(0) = -1$,इसलिए $(1 + i\sqrt{3})^9 = 2^9(-1) = -512$.
$a + ib$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -512$ और $b = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{\sqrt{3} + i}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{\sqrt{3} + i} \times \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} - i}$.
$z = \frac{\sqrt{3} - i + 3i - i^2\sqrt{3}}{3 + 1} = \frac{2\sqrt{3} + 2i}{4} = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$.
$z = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
अतः $\bar{z} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
डी मोइवर प्रमेय का उपयोग करने पर,$(\bar{z})^{100} = \cos\left(\frac{50\pi}{3}\right) - i\sin\left(\frac{50\pi}{3}\right)$.
चूंकि $\frac{50\pi}{3} = 16\pi + \frac{2\pi}{3}$,इसलिए $(\bar{z})^{100} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) - i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
यह मान $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ के बराबर है।
चूंकि वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग ऋणात्मक हैं,इसलिए $(\bar{z})^{100}$ $III$ चतुर्थांश में स्थित है।

(D) माना $z = -1 + i\sqrt{3}$ है। मापांक $r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ है।
हम $z = 2 \left( -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$ लिख सकते हैं।
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{20} = 2^{20} \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)^{20} = 2^{20} \left( \cos \frac{40\pi}{3} + i \sin \frac{40\pi}{3} \right)$ है।
चूंकि $\frac{40\pi}{3} = 13\pi + \frac{\pi}{3} = 6(2\pi) + \frac{4\pi}{3}$,इसलिए $\cos \frac{40\pi}{3} = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ और $\sin \frac{40\pi}{3} = \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$z^{20} = 2^{20} \left( -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2^{19}(-1 - i\sqrt{3})$ है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(C) हम जानते हैं कि $i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})$.
वर्गमूल के लिए डी मोइवर प्रमेय का उपयोग करने पर:
$\sqrt{i} = (i)^{1/2} = [\cos(\frac{\pi}{2} + 2n\pi) + i\sin(\frac{\pi}{2} + 2n\pi)]^{1/2}$ जहाँ $n = 0, 1$.
$n = 0$ के लिए:
$\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$.
$n = 1$ के लिए:
$\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1 + i}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\sqrt{i} = \pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$.
ट्रिक: विकल्प $\pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}$ का वर्ग करने पर $\frac{(1 + i)^2}{2} = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = i$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{(\cos \theta + i\sin \theta)^4}{(\sin \theta + i\cos \theta)^5}$
हम जानते हैं कि $\sin \theta + i\cos \theta = i(\cos \theta - i\sin \theta) = i(\cos \theta + i\sin \theta)^{-1}$।
हर में यह मान रखने पर:
$\frac{(\cos \theta + i\sin \theta)^4}{[i(\cos \theta + i\sin \theta)^{-1}]^5} = \frac{(\cos \theta + i\sin \theta)^4}{i^5(\cos \theta + i\sin \theta)^{-5}}$
चूंकि $i^5 = i$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(\cos \theta + i\sin \theta)^4}{i(\cos \theta + i\sin \theta)^{-5}} = \frac{1}{i} (\cos \theta + i\sin \theta)^{4 - (-5)} = \frac{1}{i} (\cos \theta + i\sin \theta)^9$
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{i} (\cos 9\theta + i\sin 9\theta) = -i(\cos 9\theta + i\sin 9\theta) = -i\cos 9\theta - i^2\sin 9\theta = \sin 9\theta - i\cos 9\theta$.

(B) दिया गया है $z = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i\frac{1}{2}} \right)^5} + {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - i\frac{1}{2}} \right)^5}$.
हम जानते हैं कि $\frac{{\sqrt 3 }}{2} + i\frac{1}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = e^{i\pi/6}$.
इसी प्रकार,$\frac{{\sqrt 3 }}{2} - i\frac{1}{2} = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) - i\sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = e^{-i\pi/6}$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z = (e^{i\pi/6})^5 + (e^{-i\pi/6})^5 = e^{i5\pi/6} + e^{-i5\pi/6}$.
यह $z = 2\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right)$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = -\frac{{\sqrt 3 }}{2}$,इसलिए $z = 2 \times \left( -\frac{{\sqrt 3 }}{2} \right) = -\sqrt 3$.
चूंकि $z$ एक वास्तविक संख्या है,इसलिए इसका काल्पनिक भाग $\text{Im}(z) = 0$ है।

(A) माना $z = 2 - 2i$. मापांक $r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}$.
कोणांक $\theta = -\frac{\pi}{4}$.
$z = 2\sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4}) \right)$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$k = 0, 1, 2$ के लिए मूल $z_k = (2\sqrt{2})^{1/3} \left( \cos \frac{2k\pi - \pi/4}{3} + i\sin \frac{2k\pi - \pi/4}{3} \right)$ हैं।
$k=0$ के लिए: $\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{12} - i\sin \frac{\pi}{12} \right)$.
$k=1$ के लिए: $\sqrt{2} \left( -\sin \frac{\pi}{12} + i\cos \frac{\pi}{12} \right)$.
$k=2$ के लिए: $-1 - i$.

(C) दिया गया व्यंजक: $E = (\cos 2\theta + i\sin 2\theta )^{ - 5} (\cos 3\theta - i\sin 3\theta )^6 (\sin \theta - i\cos \theta )^3$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करके पदों को सरल बनाने पर:
$(\cos 2\theta + i\sin 2\theta )^{ - 5} = \cos(-10\theta) + i\sin(-10\theta)$.
$(\cos 3\theta - i\sin 3\theta )^6 = (\cos(-3\theta) + i\sin(-3\theta))^6 = \cos(-18\theta) + i\sin(-18\theta)$.
$(\sin \theta - i\cos \theta )^3 = [-i(\cos \theta + i\sin \theta )]^3 = (-i)^3 (\cos \theta + i\sin \theta )^3 = i(\cos 3\theta + i\sin 3\theta)$.
इनका गुणा करने पर:
$E = [\cos(-10\theta) + i\sin(-10\theta)] [\cos(-18\theta) + i\sin(-18\theta)] [i(\cos 3\theta + i\sin 3\theta)]$.
$E = i [\cos(-10\theta - 18\theta + 3\theta) + i\sin(-10\theta - 18\theta + 3\theta)]$.
$E = i [\cos(-25\theta) + i\sin(-25\theta)] = i(\cos 25\theta - i\sin 25\theta)$.

(A) दिया गया है $a = \sqrt{2i}$.
हम $2i$ को ध्रुवीय रूप में $2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$ के रूप में लिख सकते हैं।
तब $a = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})^{1/2}$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$a = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
$a = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 + i$.
वैकल्पिक रूप से,विकल्पों का वर्ग करने पर: $(1+i)^2 = 1^2 + i^2 + 2i = 1 - 1 + 2i = 2i$. अतः,$a = 1+i$ सही है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $L.H.S. = {\left[ \frac{1 + \cos \phi + i\sin \phi }{1 + \cos \phi - i\sin \phi } \right]^n}$
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1 + \cos \phi = 2\cos^2(\phi/2)$ और $\sin \phi = 2\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)$ का उपयोग करने पर:
$L.H.S. = {\left[ \frac{2\cos^2(\phi/2) + 2i\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)}{2\cos^2(\phi/2) - 2i\sin(\phi/2)\cos(\phi/2)} \right]^n}$
$= {\left[ \frac{2\cos(\phi/2)(\cos(\phi/2) + i\sin(\phi/2))}{2\cos(\phi/2)(\cos(\phi/2) - i\sin(\phi/2))} \right]^n}$
$= {\left[ \frac{\cos(\phi/2) + i\sin(\phi/2)}{\cos(\phi/2) - i\sin(\phi/2)} \right]^n}$
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$= {\left[ \frac{e^{i\phi/2}}{e^{-i\phi/2}} \right]^n} = {(e^{i\phi/2 + i\phi/2})^n} = {(e^{i\phi})^n}$
$= e^{in\phi} = \cos n\phi + i\sin n\phi$.

(D) माना $z = \frac{1 + \cos \theta + i\sin \theta}{i + \sin \theta + i\cos \theta}$ है।
अंश का सरलीकरण: $1 + \cos \theta + i\sin \theta = 2\cos^2(\theta/2) + 2i\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) = 2\cos(\theta/2) [\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2)]$.
हर का सरलीकरण: $i + \sin \theta + i\cos \theta = i(1 + \cos \theta) + \sin \theta = 2\cos(\theta/2) [\sin(\theta/2) + i\cos(\theta/2)]$.
अतः,$z = \frac{1}{i} \frac{\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2) - i\sin(\theta/2)} = -i [\cos(\theta/2) + i\sin(\theta/2)]^2 = -i(\cos \theta + i\sin \theta)$ है।
इसलिए,$z^4 = (-i)^4 (\cos \theta + i\sin \theta)^4 = \cos 4\theta + i\sin 4\theta$ है।
तुलना करने पर,$n = 4$ प्राप्त होता है।

(D) हमारे पास व्यंजक $Z = {\left( \frac{\cos \theta + i\sin \theta}{\sin \theta + i\cos \theta} \right)^4}$ है।
ध्यान दें कि $\sin \theta + i\cos \theta = i(\cos \theta - i\sin \theta)$ है।
अतः,$Z = \frac{(\cos \theta + i\sin \theta)^4}{i^4(\cos \theta - i\sin \theta)^4}$।
चूंकि $i^4 = 1$,हम डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हैं: $(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$।
$Z = \frac{\cos 4\theta + i\sin 4\theta}{\cos 4\theta - i\sin 4\theta}$।
अंश और हर को $(\cos 4\theta + i\sin 4\theta)$ से गुणा करने पर:
$Z = \frac{(\cos 4\theta + i\sin 4\theta)^2}{\cos^2 4\theta + \sin^2 4\theta}$।
चूंकि $\cos^2 4\theta + \sin^2 4\theta = 1$,हमें $Z = (\cos 4\theta + i\sin 4\theta)^2 = \cos 8\theta + i\sin 8\theta$ प्राप्त होता है।

(C) माना $z = -\sqrt{3} + i$.
सबसे पहले,$z$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करें: $z = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = 2(\cos 150^\circ + i \sin 150^\circ)$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{53} = 2^{53}(\cos 150^\circ + i \sin 150^\circ)^{53}$.
$z^{53} = 2^{53}(\cos(53 \times 150^\circ) + i \sin(53 \times 150^\circ))$.
$53 \times 150^\circ = 7950^\circ$.
$7950^\circ$ को $360^\circ$ से विभाजित करने पर: $7950 = 22 \times 360 + 30$.
अतः,$z^{53} = 2^{53}(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$.
$z^{53} = 2^{53}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right)$.

(B) माना $\theta = \frac{\pi}{10}$। व्यंजक $\left[ \frac{1 - \cos \theta + i\sin \theta}{1 - \cos \theta - i\sin \theta} \right]^{10}$ है।
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2\sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
अंश $= 2\sin^2 \frac{\theta}{2} + i(2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) = 2i\sin \frac{\theta}{2} e^{-i\theta/2}$.
हर $= 2\sin^2 \frac{\theta}{2} - i(2\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) = -2i\sin \frac{\theta}{2} e^{i\theta/2}$.
भाग देने पर: $\frac{2i\sin \frac{\theta}{2} e^{-i\theta/2}}{-2i\sin \frac{\theta}{2} e^{i\theta/2}} = -e^{-i\theta} = -(\cos \theta - i\sin \theta)$.
$10$ घात लेने पर: $(-1)^{10} (\cos \theta - i\sin \theta)^{10} = 1 \cdot (\cos 10\theta - i\sin 10\theta) = \cos \pi - i\sin \pi = -1$.

(A) डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$।
माना $z = \cos \theta + i\sin \theta$। तब $\cos n\theta - i\sin n\theta = z^{-n}$ और $\cos n\theta + i\sin n\theta = z^n$।
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{(z^{-2})^4 (z^4)^{-5}}{(z^3)^{-2} (z^{-3})^{-9}}$
$= \frac{z^{-8} \cdot z^{-20}}{z^{-6} \cdot z^{27}}$
$= \frac{z^{-28}}{z^{21}}$
$= z^{-28-21} = z^{-49}$
$= \cos(-49\theta) + i\sin(-49\theta)$
$= \cos 49\theta - i\sin 49\theta$।

(C) हम जानते हैं कि $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right)$ और $\cos \theta = \sin \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right)$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$(\sin \theta + i\cos \theta )^n = \left[ \cos \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right) + i\sin \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right) \right]^n$.
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$(\cos \phi + i\sin \phi )^n = \cos(n\phi) + i\sin(n\phi)$.
यहाँ $\phi = \frac{\pi }{2} - \theta$ रखने पर,हमें $\cos n\left( \frac{\pi }{2} - \theta \right) + i\sin n\left( \frac{\pi }{2} - \theta \right)$ प्राप्त होता है।

(A) माना $z = \frac{1 + \cos(\pi/8) + i\sin(\pi/8)}{1 + \cos(\pi/8) - i\sin(\pi/8)}$.
सर्वसमिकाओं $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2)$ और $\sin \theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$z = \frac{2\cos^2(\pi/16) + 2i\sin(\pi/16)\cos(\pi/16)}{2\cos^2(\pi/16) - 2i\sin(\pi/16)\cos(\pi/16)}$
$z = \frac{2\cos(\pi/16) [\cos(\pi/16) + i\sin(\pi/16)]}{2\cos(\pi/16) [\cos(\pi/16) - i\sin(\pi/16)]}$
$z = \frac{\cos(\pi/16) + i\sin(\pi/16)}{\cos(\pi/16) - i\sin(\pi/16)}$
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ का उपयोग करने पर,$z = \frac{e^{i\pi/16}}{e^{-i\pi/16}} = e^{i\pi/8}$.
अतः $z^8 = (e^{i\pi/8})^8 = e^{i\pi} = \cos \pi + i\sin \pi = -1$.

(A) दिया गया है ${x_n} = \cos \left( \frac{\pi }{4^n} \right) + i \sin \left( \frac{\pi }{4^n} \right)$.
सम्मिश्र संख्याओं के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,${x_1} \cdot {x_2} \cdot {x_3} \dots \infty = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \cos \left( \frac{\pi }{4^n} \right) + i \sin \left( \frac{\pi }{4^n} \right) \right)$.
यह $\cos \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi }{4^n} \right) + i \sin \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi }{4^n} \right)$ के बराबर है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi }{4^n} = \frac{\pi/4}{1 - 1/4} = \frac{\pi/4}{3/4} = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः,व्यंजक $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} \right)$ बन जाता है।
$= \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$.

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{(\cos \alpha + i\sin \alpha )^4}{(\sin \beta + i\cos \beta )^5}$
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,अंश $\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha$ है।
हर के लिए,हम $\sin \beta + i\cos \beta = i(\cos \beta - i\sin \beta)$ लिखते हैं।
अतः,हर $i^5(\cos \beta - i\sin \beta)^5 = i(\cos 5\beta - i\sin 5\beta)$ हो जाता है।
इस प्रकार,अभिव्यक्ति $\frac{\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha}{i(\cos 5\beta - i\sin 5\beta)} = \frac{1}{i}(\cos 4\alpha + i\sin 4\alpha)(\cos 5\beta + i\sin 5\beta)$ है।
चूंकि $\frac{1}{i} = -i$,हमारे पास $-i[\cos (4\alpha + 5\beta) + i\sin (4\alpha + 5\beta)]$ है।
$= -i\cos (4\alpha + 5\beta) - i^2\sin (4\alpha + 5\beta) = \sin (4\alpha + 5\beta) - i\cos (4\alpha + 5\beta)$.

(A) हम जानते हैं कि $i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$i^{1/3} = (\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))^{1/3} = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6})$.
त्रिकोणमितीय मान रखने पर,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$i^{1/3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$.

(C) माना $w = 1 + i\sqrt{3}$ है।
ध्रुवीय रूप में बदलने पर,$r = |w| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$ है।
$\theta = \arg(w) = \tan^{-1}(\sqrt{3}/1) = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$w = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$ है।
तब $z = w^{100} = 2^{100}(\cos \frac{100\pi}{3} + i \sin \frac{100\pi}{3})$ है।
चूंकि $\frac{100\pi}{3} = 33\pi + \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\cos(\frac{100\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ और $\sin(\frac{100\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
इस प्रकार,$z = 2^{100}(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$ है।
$\text{Re}(z) = -2^{99}$ और $\text{Im}(z) = -2^{99}\sqrt{3}$ है।
अतः,$\frac{\text{Re}(z)}{\text{Im}(z)} = \frac{-2^{99}}{-2^{99}\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(A) माना $z = \frac{1 + \sin \theta + i\cos \theta}{1 + \sin \theta - i\cos \theta}$.
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ और $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, माना $\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$.
तब $z = \frac{1 + \cos \alpha + i\sin \alpha}{1 + \cos \alpha - i\sin \alpha}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $1 + \cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$ और $\sin \alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$z = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) + i(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}))}{2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - i(2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}))} = \frac{\cos(\frac{\alpha}{2}) + i\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2}) - i\sin(\frac{\alpha}{2})}$.
अतः, $z^n = e^{in\alpha} = \cos(n\alpha) + i\sin(n\alpha)$.
$\alpha = \frac{\pi}{2} - \theta$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\cos(\frac{n\pi}{2} - n\theta) + i\sin(\frac{n\pi}{2} - n\theta)$ प्राप्त होता है।

(C) हम $1+i$ और $1-i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करते हैं:
$1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$
$1-i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4} \right)$
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$(1+i)^n + (1-i)^n = (\sqrt{2})^n \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right) + (\sqrt{2})^n \left( \cos \frac{n\pi}{4} - i \sin \frac{n\pi}{4} \right)$
$= 2 \cdot (\sqrt{2})^n \cos \frac{n\pi}{4}$
$= 2^1 \cdot 2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{4}$
$= 2^{(n/2) + 1} \cos \frac{n\pi}{4}$
$= (\sqrt{2})^{n+2} \cos \frac{n\pi}{4}$

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{x} + x = 2\cos \theta$।
$x$ से गुणा करने पर,$x^2 - 2x\cos \theta + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{2\cos \theta \pm \sqrt{4\cos^2 \theta - 4}}{2} = \cos \theta \pm i\sin \theta$।
डी मॉइवर प्रमेय के अनुसार,$x^n = (\cos \theta \pm i\sin \theta)^n = \cos n\theta \pm i\sin n\theta$।
इसी प्रकार,$\frac{1}{x^n} = x^{-n} = (\cos \theta \pm i\sin \theta)^{-n} = \cos n\theta \mp i\sin n\theta$।
दोनों को जोड़ने पर,$x^n + \frac{1}{x^n} = (\cos n\theta \pm i\sin n\theta) + (\cos n\theta \mp i\sin n\theta) = 2\cos n\theta$।

(B) दिया गया है $i{z^4} + 1 = 0$.
$i{z^4} = -1$.
${z^4} = \frac{-1}{i} = i$.
हम जानते हैं कि $i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.
डी मोइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z = {\left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)}^{1/4}$.
$z = \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$y = x^2$ और $x = y^2$ है।
पहले समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = (x^2)^2 = x^4$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $x^4 - x = 0$,या $x(x^3 - 1) = 0$।
मूल $x = 0$ या $x^3 = 1$ हैं।
यदि $x = 0$ है,तो $y = 0^2 = 0$।
यदि $x^3 = 1$ है,तो मूल $1, \omega, \omega^2$ हैं।
युग्म $(\omega, \omega^2)$ के लिए,हमारे पास $(\omega)^2 = \omega^2$ और $(\omega^2)^2 = \omega^4 = \omega \cdot \omega^3 = \omega \cdot 1 = \omega$ है।
अतः,संख्याएँ $\omega$ और $\omega^2$ हैं।

(D) हम जानते हैं कि इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ के लिए,निम्नलिखित गुण सत्य हैं: $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$।
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ से,हमें $1 + \omega = -\omega^2$ और $1 + \omega^2 = -\omega$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + \omega - \omega^2)(1 - \omega + \omega^2) = (-\omega^2 - \omega^2)(-\omega - \omega)$
$= (-2\omega^2)(-2\omega)$
$= 4\omega^3$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए व्यंजक का सरलीकृत मान $4(1) = 4$ है।

(C) माना $x = (27)^{1/3}$.
तब $x^3 = 27$,जिसका अर्थ है $x^3 - 27 = 0$.
इसे $(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
मूल $x = 3$ और $x^2 + 3x + 9 = 0$ के मूल हैं।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{27}}{2} = 3 \left( \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \right)$.
चूंकि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$,इसलिए मूल $3, 3\omega, 3\omega^2$ हैं।

(C) हम जानते हैं कि $\omega$ इकाई का घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
चूंकि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,इसलिए $n$ का रूप $3k + 1$ या $3k + 2$ हो सकता है।
स्थिति $1$: यदि $n = 3k + 1$ है,तो $\omega^n = \omega$ और $\omega^{2n} = \omega^2$.
अतः,$1 + \omega^n + \omega^{2n} = 1 + \omega + \omega^2 = 0$.
स्थिति $2$: यदि $n = 3k + 2$ है,तो $\omega^n = \omega^2$ और $\omega^{2n} = \omega$.
अतः,$1 + \omega^n + \omega^{2n} = 1 + \omega^2 + \omega = 0$.
दोनों स्थितियों में,योग $0$ है।

(B) इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = e^{i\frac{2\pi}{3}}$ और $\omega^2 = e^{i\frac{4\pi}{3}}$ है।
चूँकि $\omega^2$,$\omega$ का वर्ग है,और $(\omega^2)^2 = \omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$,इसलिए इकाई के किसी भी काल्पनिक घनमूल का वर्ग दूसरा काल्पनिक घनमूल होता है।

(A) हम जानते हैं कि इकाई के घनमूल के लिए,$1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
अतः,$1 + \omega = -\omega^2$ और $1 + \omega^2 = -\omega$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + \omega)^3 - (1 + \omega^2)^3 = (-\omega^2)^3 - (-\omega)^3$
$= -\omega^6 - (-\omega^3)$
$= -(\omega^3)^2 + \omega^3$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए:
$= -(1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$.

(B) इकाई के काल्पनिक घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
माना $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
व्यंजक $\alpha^4 + \beta^4 + \frac{1}{\alpha\beta}$ में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \omega^4 + (\omega^2)^4 + \frac{1}{\omega \cdot \omega^2}$
$= \omega^4 + \omega^8 + \frac{1}{\omega^3}$
$= \omega + \omega^2 + \frac{1}{1}$
$= \omega + \omega^2 + 1$
$= 0$.

(C) हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
दिया गया व्यंजक: $(1 - \omega)(1 - \omega^2)(1 - \omega^4)(1 - \omega^8)$ है।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega$ और $\omega^8 = \omega^2$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: $(1 - \omega)(1 - \omega^2)(1 - \omega)(1 - \omega^2) = [(1 - \omega)(1 - \omega^2)]^2$।
आंतरिक गुणनफल का विस्तार करने पर: $(1 - \omega - \omega^2 + \omega^3) = (1 - (\omega + \omega^2) + 1) = (1 - (-1) + 1) = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक का मान $3^2 = 9$ है।

(B) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का घनमूल है,इसलिए $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
$1 + \omega^2 = -\omega$ का उपयोग करने पर,पहला पद $(1 - \omega + \omega^2)^5 = (-\omega - \omega)^5 = (-2\omega)^5 = -32\omega^5$ हो जाता है।
चूंकि $\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = \omega^2$ है,यह $-32\omega^2$ में सरल हो जाता है।
$1 + \omega = -\omega^2$ का उपयोग करने पर,दूसरा पद $(1 + \omega - \omega^2)^5 = (-\omega^2 - \omega^2)^5 = (-2\omega^2)^5 = -32\omega^{10}$ हो जाता है।
चूंकि $\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$ है,यह $-32\omega$ में सरल हो जाता है।
दोनों पदों को जोड़ने पर: $-32\omega^2 - 32\omega = -32(\omega^2 + \omega)$।
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$ है।
अतः,$-32(-1) = 32$।

(C) दिया गया है कि $x = a, y = b\omega, z = c\omega^2$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = \frac{a}{a} + \frac{b\omega}{b} + \frac{c\omega^2}{c}$
$= 1 + \omega + \omega^2$
चूँकि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ होता है।
अतः,मान $0$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $(x - y)(x\omega - y)(x\omega^2 - y)$
पहले दो पदों का गुणा करने पर:
$(x - y)(x\omega - y) = x^2\omega - xy - xy\omega + y^2$
अब,परिणाम को तीसरे पद $(x\omega^2 - y)$ से गुणा करने पर:
$= (x^2\omega - xy - xy\omega + y^2)(x\omega^2 - y)$
$= x^3\omega^3 - x^2y\omega - x^2y\omega^2 + xy^2 - x^2y\omega^3 + xy^2\omega + xy^2\omega^2 - y^3$
$= x^3(1) - x^2y(\omega + \omega^2 + 1) + xy^2(1 + \omega + \omega^2) - y^3$
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$:
$= x^3 - x^2y(0) + xy^2(0) - y^3$
$= x^3 - y^3$

(B) दी गई व्यंजक: $P = (1 + \omega)(1 + \omega^2)(1 + \omega^4)(1 + \omega^8) \dots$ $2n$ गुणनखंडों तक।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega$ और $\omega^8 = \omega^2$ होता है।
अतः,व्यंजक: $P = (1 + \omega)(1 + \omega^2)(1 + \omega)(1 + \omega^2) \dots$ $2n$ गुणनखंडों तक।
इसे $(1 + \omega)(1 + \omega^2)$ के $n$ युग्मों में समूहित किया जा सकता है।
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $1 + \omega = -\omega^2$ और $1 + \omega^2 = -\omega$ होता है।
अतः,$(1 + \omega)(1 + \omega^2) = (-\omega^2)(-\omega) = \omega^3 = 1$।
चूंकि ऐसे $n$ युग्म हैं,इसलिए गुणनफल $1^n = 1$ होगा।

(B) माना $z = \left( \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3} \right)^{3/4}$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z = \left( e^{i\pi/3} \right)^{3/4} = e^{i\pi/4}$.
मूल $z_k = \cos \left( \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) + i\sin \left( \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $k = 0, 1, 2, 3$.
ये $e^{i\pi} = -1$ के $4$थे मूल हैं।
एक सम्मिश्र संख्या $w$ के $n$वें मूलों का गुणनफल $(-1)^{n-1} w$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 4$ और $w = -1$.
अतः,मूलों का गुणनफल $(-1)^{4-1} \times (-1) = (-1)^3 \times (-1) = (-1) \times (-1) = 1$ है।

(B) दिया गया है कि $\alpha$ और $\beta$ इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं,इसलिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ (या इसके विपरीत),जहाँ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ है।
हमें $xyz = (a + b)(a\omega + b\omega^2)(a\omega^2 + b\omega)$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$y$ और $z$ का गुणा करें:
$yz = (a\omega + b\omega^2)(a\omega^2 + b\omega) = a^2\omega^3 + ab\omega^2 + ab\omega^4 + b^2\omega^3$.
चूँकि $\omega^3 = 1$ और $\omega^4 = \omega$,यह सरल होकर निम्न प्रकार होगा:
$yz = a^2(1) + ab(\omega^2 + \omega) + b^2(1) = a^2 + ab(-1) + b^2 = a^2 - ab + b^2$.
अब,$x$ से गुणा करने पर:
$xyz = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

(B) दिया गया है $x = a + b$,$y = a\omega + b\omega^2$,और $z = a\omega^2 + b\omega$।
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$।
घनों का विस्तार करने पर:
$x^3 = (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$
$y^3 = (a\omega + b\omega^2)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b\omega + 3ab^2\omega^2$
$z^3 = (a\omega^2 + b\omega)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b\omega^2 + 3ab^2\omega$
इनका योग करने पर:
$x^3 + y^3 + z^3 = 3(a^3 + b^3) + 3a^2b(1 + \omega + \omega^2) + 3ab^2(1 + \omega^2 + \omega)$
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $a^2b$ और $ab^2$ वाले पद शून्य हो जाएंगे।
अतः,$x^3 + y^3 + z^3 = 3(a^3 + b^3)$।

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \frac{a + b\omega + c\omega^2}{b + c\omega + a\omega^2} + \frac{a + b\omega + c\omega^2}{c + a\omega + b\omega^2}$ है।
प्रथम पद के अंश और हर को $\omega$ से गुणा करने पर:
$\frac{\omega(a + b\omega + c\omega^2)}{\omega(b + c\omega + a\omega^2)} = \frac{\omega(a + b\omega + c\omega^2)}{b\omega + c\omega^2 + a\omega^3} = \frac{\omega(a + b\omega + c\omega^2)}{a + b\omega + c\omega^2} = \omega$.
द्वितीय पद के अंश और हर को $\omega^2$ से गुणा करने पर:
$\frac{\omega^2(a + b\omega + c\omega^2)}{\omega^2(c + a\omega + b\omega^2)} = \frac{\omega^2(a + b\omega + c\omega^2)}{c\omega^2 + a\omega^3 + b\omega^4} = \frac{\omega^2(a + b\omega + c\omega^2)}{c\omega^2 + a + b\omega} = \omega^2$.
अतः,$E = \omega + \omega^2$.
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$.

(A) इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं।
ये बिंदु आर्गंड समतल पर इकाई वृत्त $|z| = 1$ पर स्थित हैं और इनके बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ रेडियन $(120^\circ)$ है।
चूंकि ये बिंदु वृत्त पर समान दूरी पर हैं,इसलिए ये एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं।

(C) माना $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ है।
यह इकाई का काल्पनिक घनमूल है,जिसे $\omega$ द्वारा दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि $\omega^3 = 1$ होता है।
हमें $\omega^{1000}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $1000 = 3 \times 333 + 1$,इसलिए $\omega^{1000} = (\omega^3)^{333} \times \omega^1$ होगा।
$\omega^3 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\omega^{1000} = (1)^{333} \times \omega = \omega$ प्राप्त होता है।
अतः,$\omega^{1000} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$।

(D) माना $p = -q$ जहाँ $q > 0$ है। $p$ के घनमूल $\alpha = -q^{1/3}$,$\beta = -q^{1/3}\omega$,और $\gamma = -q^{1/3}\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{x(-q^{1/3}) + y(-q^{1/3}\omega) + z(-q^{1/3}\omega^2)}{x(-q^{1/3}\omega) + y(-q^{1/3}\omega^2) + z(-q^{1/3}\omega^3)} = \frac{-(x + y\omega + z\omega^2)}{-\omega(x + y\omega + z\omega^2)} = \frac{1}{\omega} = \omega^2$.
चूंकि $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(A) दिया गया है $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{69} = \left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)^{69}$.
$z^{69} = \cos\left(\frac{69\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{69\pi}{6}\right)$.
$z^{69} = \cos\left(\frac{23\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{23\pi}{2}\right)$.
चूंकि $\frac{23\pi}{2} = 11\pi + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos\left(11\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 0$ और $\sin\left(11\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{2}\right) = -1$.
अतः,$z^{69} = 0 + i(-1) = -i$.

(B) दिया गया समीकरण $x^4 - 1 = 0$ है।
इसे $(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
इसका अर्थ है कि $x^2 - 1 = 0$ या $x^2 + 1 = 0$।
$x^2 - 1 = 0$ के लिए,$x^2 = 1$,अतः $x = \pm 1$।
$x^2 + 1 = 0$ के लिए,$x^2 = -1$,अतः $x = \pm i$।
अतः,मूल $1, -1, i, -i$ हैं।

(D) गुणनफल $\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \cdots \omega^n = \omega^{1 + 2 + 3 + \cdots + n} = \omega^{n(n + 1)/2}$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 1$ के लिए,गुणनफल $\omega^1 = \omega$ है।
$n = 2$ के लिए,गुणनफल $\omega^{2(3)/2} = \omega^3 = 1$ है।
$n = 3$ के लिए,गुणनफल $\omega^{3(4)/2} = \omega^6 = 1$ है।
$n = 4$ के लिए,गुणनफल $\omega^{4(5)/2} = \omega^{10} = \omega^1 = \omega$ है।
चूंकि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $-\frac{1 - i\sqrt{3}}{2} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} = \omega$। अतः,गुणनफल के मान $1$ और $\omega$ प्राप्त होते हैं।