एक लंब वृत्तीय शंकु का ऊर्ध्वाधर कोण 60^{circ | vedclass

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Question

(C) माना किसी समय $t$ पर शंकु में पानी के स्तर की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।ऊर्ध्वाधर कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण $30^{\circ}$ होग

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$\frac{1}{9 \pi}$

Vedclass · Answer

(C) माना किसी समय $t$ पर शंकु में पानी के स्तर की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।ऊर्ध्वाधर कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए अर्ध-ऊर्ध्वाधर कोण $30^{\circ}$ होगा।शंकु की ज्यामिति से,$\frac{r}{h} = 	an 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $h = \sqrt{3}r$।शंकु में पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।$h = \sqrt{3}r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{1}{3} \pi r^2 (\sqrt{3}r) = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \pi r^3$ प्राप्त होता है।$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = \sqrt{3} \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\sqrt{3} \pi r^2 \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,अर्थात $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{3 \pi r^2}$।चूँकि $h = \sqrt{3}r$,जब $h = 3 	ext{ m}$ है,तो $r = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} 	ext{ m}$ होगा।$\frac{dr}{dt}$ के व्यंजक में $r = \sqrt{3}$ रखने पर,हमें $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{3 \pi (\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3 \pi (3)} = \frac{1}{9 \pi} 	ext{ m/min}$ प्राप्त होता है।

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