TS EAMCET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે:
છોકરાનો વેગ,$\overrightarrow{v_b} = 4 \ m \ s^{-1}$ અને વરસાદનો વેગ,$\overrightarrow{v_r} = 8 \ m \ s^{-1}$.
છોકરાની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ $\overrightarrow{v_{rb}} = \overrightarrow{v_r} - \overrightarrow{v_b}$ છે.
ધારો કે શિરોલંબ દિશા $y$-અક્ષ છે અને આડી દિશા $x$-અક્ષ છે.
વરસાદના વેગના ઘટકો: $v_{rx} = v_r \sin(45^{\circ}) = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \ m \ s^{-1}$ અને $v_{ry} = v_r \cos(45^{\circ}) = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \ m \ s^{-1}$.
જ્યારે છોકરો પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ દોડે છે $(\overrightarrow{v_b} = 4 \hat{i})$:
$\overrightarrow{v_{rb}} = (4\sqrt{2} - 4) \hat{i} - 4\sqrt{2} \hat{j}$.
$\tan \theta = \frac{|v_{rb,x}|}{|v_{rb,y}|} = \frac{4\sqrt{2} - 4}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$.
જ્યારે છોકરો પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ દોડે છે $(\overrightarrow{v_b} = -4 \hat{i})$:
$\overrightarrow{v_{rb}} = (4\sqrt{2} + 4) \hat{i} - 4\sqrt{2} \hat{j}$.
$\tan \alpha = \frac{|v_{rb,x}|}{|v_{rb,y}|} = \frac{4\sqrt{2} + 4}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\tan \theta}{\tan \alpha} = \frac{(\sqrt{2} - 1)/\sqrt{2}}{(\sqrt{2} + 1)/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 + 1 - 2\sqrt{2}}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$.

(C) ટ્રકનો વેગ $v = 30 \,m/s$ છે. ટ્રક દ્વારા $100 \,m$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v} = \frac{100}{30} = \frac{10}{3} \,s$ છે.
છોકરો આ સમય પછી પ્રોજેક્ટાઇલને પકડી લે છે, તેથી પ્રોજેક્ટાઇલનો કુલ ઉડાન સમય $T = \frac{10}{3} \,s$ છે.
ટ્રકની સાપેક્ષમાં ઊભી દિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પ્રોજેક્ટાઇલ માટે, ઉડાન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2u_y}{g}$ છે, જ્યાં $u_y$ એ વેગનો ઊભો ઘટક છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{3} = \frac{2u_y}{10}$.
$u_y$ માટે ઉકેલતા: $u_y = \frac{10 \times 10}{3 \times 2} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} \,m/s$.
પ્રોજેક્ટાઇલ ટ્રકની સાપેક્ષમાં ફેંકવામાં આવે છે, તેથી ટ્રકની સાપેક્ષમાં વેગનો આડો ઘટક $0$ છે. આમ, ટ્રકની સાપેક્ષમાં ઝડપ $u_y = \frac{50}{3} \,m/s$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાન $h = 4.2 \text{ m}$ ઊંચાઈ પર છે. પ્રારંભિક વેગના ઘટકો $u_x = v \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \text{ m/s}$ અને $u_y = v \sin 30^{\circ} = 40 \times \frac{1}{2} = 20 \text{ m/s}$ છે.
શિરોલંબ દિશા માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,ઉપરની દિશાને ધન લેતા:
$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$
$-4.2 = 20t - \frac{1}{2} (10) t^2$
$5t^2 - 20t - 4.2 = 0$
$t = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(5)(-4.2)}}{2(5)} = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 84}}{10} = \frac{20 \pm 22}{10}$.
$t > 0$ હોવાથી,$t = \frac{42}{10} = 4.2 \text{ s}$.
સમક્ષિતિજ અંતર $R = u_x t = (20\sqrt{3}) \times 4.2 = 84\sqrt{3} \text{ m}$ મળે છે.

(B) ધારો કે વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r$ છે. વરસાદના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_{rx} = v_r \sin(30^{\circ})$ અને શિરોલંબ ઘટક $v_{ry} = v_r \cos(30^{\circ})$ છે.
આપેલ છે કે વરસાદ $40 \ m/s$ ની ઝડપે શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે પડે છે,તેથી $v_r = 40 \ m/s$.
આમ,$v_{rx} = 40 \sin(30^{\circ}) = 40 \times 0.5 = 20 \ m/s$ અને $v_{ry} = 40 \cos(30^{\circ}) = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \ m/s$.
કાર વરસાદના સમક્ષિતિજ ઘટકની વિરુદ્ધ દિશામાં $v_c = 40 \ m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે.
ધારો કે કારનો વેગ $\vec{v}_c = 40 \hat{i} \ m/s$ છે. કારની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ $\vec{v}_{rc} = \vec{v}_r - \vec{v}_c$ છે.
ધારો કે વરસાદનો સમક્ષિતિજ ઘટક ઋણ $x$-દિશામાં છે,$\vec{v}_r = -20 \hat{i} - 20\sqrt{3} \hat{j}$.
તેથી $\vec{v}_{rc} = (-20 \hat{i} - 20\sqrt{3} \hat{j}) - (40 \hat{i}) = -60 \hat{i} - 20\sqrt{3} \hat{j}$.
શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan(\alpha) = \frac{|v_{rc,x}|}{|v_{rc,y}|} = \frac{60}{20\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.

(A) વેગ-સમયનો આલેખ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ધારો કે કાર $t_1$ સમય માટે પ્રવેગિત થાય છે અને $t_1$ સમય માટે પ્રતિપ્રવેગિત થાય છે. જે સમય માટે તે અચળ વેગ સાથે ગતિ કરે છે તે $(25 - 2t_1) \ s$ છે.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = a \times t_1 = 5t_1$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = 72 \ km \ hr^{-1} = 72 \times \frac{5}{18} \ m \ s^{-1} = 20 \ m \ s^{-1}$.
કુલ સ્થાનાંતર $S = v_{avg} \times t_{total} = 20 \times 25 = 500 \ m$.
વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ સ્થાનાંતર છે:
$S = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$500 = \frac{1}{2} \times [ (25 - 2t_1) + 25 ] \times 5t_1$
$1000 = (50 - 2t_1) \times 5t_1$
$1000 = 250t_1 - 10t_1^2$
$10t_1^2 - 250t_1 + 1000 = 0$
$t_1^2 - 25t_1 + 100 = 0$
$(t_1 - 20)(t_1 - 5) = 0$
કારણ કે $t_1$ એ $12.5 \ s$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ (કારણ કે $2t_1 < 25$),તેથી $t_1 = 5 \ s$.
કાર જે સમય માટે અચળ વેગ સાથે ગતિ કરી તે $25 - 2t_1 = 25 - 2(5) = 15 \ s$ છે.

(B) ધારો કે અથડામણનો સમય $t$ છે. અથડામણ સમયે,બંને કણોના $x$ અને $y$ યામ સમાન હોવા જોઈએ.
કણ $A$ માટે:
$x_A = v t$,$y_A = 30 \ m$.
કણ $B$ માટે:
$a_x = a \sin 60^{\circ} = 0.4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.2\sqrt{3} \ m/s^2$.
$a_y = a \cos 60^{\circ} = 0.4 \times \frac{1}{2} = 0.2 \ m/s^2$.
કણ $B$ ઉગમબિંદુથી શૂન્ય પ્રારંભિક વેગ સાથે શરૂ થાય છે:
$x_B = \frac{1}{2} a_x t^2 = \frac{1}{2} (0.2\sqrt{3}) t^2 = 0.1\sqrt{3} t^2$.
$y_B = \frac{1}{2} a_y t^2 = \frac{1}{2} (0.2) t^2 = 0.1 t^2$.
અથડામણ માટે,$y_A = y_B$:
$30 = 0.1 t^2 \Rightarrow t^2 = 300 \Rightarrow t = 10\sqrt{3} \ s$.
અથડામણ માટે,$x_A = x_B$:
$v t = 0.1\sqrt{3} t^2 \Rightarrow v = 0.1\sqrt{3} t$.
$t = 10\sqrt{3}$ મૂકતા:
$v = 0.1\sqrt{3} \times 10\sqrt{3} = 1 \times 3 = 3 \ m/s$.
આમ,$|v|$ નું મૂલ્ય $3 \ m/s$ છે.

(A) આપેલ છે, શિરોલંબ દિશામાં વરસાદની ઝડપ, $v_r = 30 \,m/s$.
માણસની ઝડપ, $v_m = 10 \,m/s$ (પશ્ચિમ તરફ).
માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ છે.
માણસ પશ્ચિમ તરફ ગતિ કરતો હોવાથી, સાપેક્ષ વેગ સદિશ $\vec{v}_{rm}$ શિરોલંબની સાપેક્ષમાં પશ્ચિમ દિશા તરફ નમેલો હશે.
ધારો કે શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સદિશ ત્રિકોણ પરથી, $\tan \theta = \frac{v_m}{v_r} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
તેથી, $\theta = \tan^{-1}(1/3)$ પશ્ચિમ દિશા તરફ.

(D) આપેલ છે કે,કોણીય મંદન $\propto \sqrt{\omega}$.
તેથી,$-\frac{d\omega}{dt} = k\sqrt{\omega}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
પદોની ગોઠવણી અને સંકલન કરતા: $-\int_{\omega_0}^{\omega} \omega^{-1/2} d\omega = \int_{0}^{t} k dt$.
$-[2\sqrt{\omega}]_{\omega_0}^{\omega} = kt \Rightarrow 2(\sqrt{\omega_0} - \sqrt{\omega}) = kt$.
$\sqrt{\omega} = \sqrt{\omega_0} - \frac{kt}{2}$.
જ્યારે $\omega = 0$ હોય,ત્યારે કુલ સમય $\tau = \frac{2\sqrt{\omega_0}}{k}$.
સરેરાશ કોણીય ઝડપ $\langle \omega \rangle = \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \omega dt$.
$\sqrt{\omega} = \sqrt{\omega_0} - \frac{kt}{2}$ હોવાથી,$\omega = (\sqrt{\omega_0} - \frac{kt}{2})^2 = \omega_0 + \frac{k^2t^2}{4} - kt\sqrt{\omega_0}$.
$\omega$ નું $0$ થી $\tau = \frac{2\sqrt{\omega_0}}{k}$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{\tau} (\omega_0 + \frac{k^2t^2}{4} - kt\sqrt{\omega_0}) dt = [\omega_0 t + \frac{k^2t^3}{12} - \frac{kt^2}{2}\sqrt{\omega_0}]_{0}^{\tau}$.
$\tau = \frac{2\sqrt{\omega_0}}{k}$ મૂકતા:
$= \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{k} + \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{3k} - \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{k} = \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}}{3k}$.
અંતે,$\langle \omega \rangle = \frac{2\omega_0\sqrt{\omega_0}/3k}{2\sqrt{\omega_0}/k} = \frac{\omega_0}{3}$.

(C) અવમંદિત દોલકનો કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-(b/2m)t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $n = 100$ દોલનો પછી,કંપવિસ્તાર $A_0/e$ થાય છે,તેથી $e^{-(b/2m)T \cdot n} = e^{-1}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
આમ,$\frac{b}{2m} T \cdot n = 1$. કારણ કે $T = \frac{2\pi}{\omega}$,આપણને $\frac{b}{2m} \cdot \frac{2\pi}{\omega} \cdot 100 = 1$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $\frac{b}{2m\omega} = \frac{1}{200\pi}$.
અવમંદિત આવૃત્તિ $\omega^{\prime} = \omega \sqrt{1 - \frac{b^2}{4m^2\omega^2}}$ છે.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1-x)^{1/2} \approx 1 - x/2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\omega^{\prime} \approx \omega \left(1 - \frac{b^2}{8m^2\omega^2}\right)$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\omega - \omega^{\prime}}{\omega} = \frac{b^2}{8m^2\omega^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{b}{2m\omega}\right)^2$.
મૂલ્ય મૂકતા,$\frac{\omega - \omega^{\prime}}{\omega} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{200\pi}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{40000\pi^2} = \frac{1}{80000\pi^2}$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $\frac{1}{80000\pi^2} \times 100 = \frac{1}{800\pi^2} \%$.

(C) વર્ટિકલ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ આવર્તકાળ ગુરુત્વપ્રવેગથી સ્વતંત્ર છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
શરૂઆતમાં $T_1 = T_2$ આપેલ હોવાથી, $2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને $g = 10 \,m/s^2$ મૂકતા, આપણને $\frac{m}{k} = \frac{l}{10}$ મળે છે.
જ્યારે તેમને $a = 5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ જતી લિફ્ટમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ બદલાતો નથી: $T_1' = T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.
લોલક માટે અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g - a = 10 - 5 = 5 \,m/s^2$ થાય છે.
તેથી, લોલકનો નવો આવર્તકાળ $T_2' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{5}}$ થાય.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_1'}{T_2'} = \frac{2\pi \sqrt{m/k}}{2\pi \sqrt{l/5}} = \frac{\sqrt{l/10}}{\sqrt{l/5}} = \sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 600 \ kPa$.
એક-ચતુર્થાંશ વાયુ બહાર કાઢ્યા પછી,બાકી રહેલા વાયુનો જથ્થો $n_2 = \frac{3}{4} n_1$ છે.
ટાંકીનું કદ $V$ અચળ રહે છે,તેથી $V_1 = V_2 = V$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327^{\circ} C = 600 \ K$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P_1 V}{n_1 T_1} = \frac{P_2 V}{n_2 T_2}$.
$P_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $P_2 = P_1 \times \left( \frac{n_2}{n_1} \right) \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $P_2 = 600 \times \left( \frac{3}{4} \right) \times \left( \frac{600}{300} \right)$.
$P_2 = 600 \times 0.75 \times 2 = 900 \ kPa$.

(B) તકતીનો વ્યાસ $D = 0.5 \ m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = 0.25 \ m$ થાય.
સળિયો તકતીના સમતલમાં સ્પર્શક તરીકે રહેલો છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તકતીના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + MR^2$ થાય.
તકતી માટે વ્યાસને અનુલક્ષીને $I_{cm} = \frac{1}{4} MR^2$ હોવાથી,સ્પર્શક અક્ષ માટે $I = \frac{1}{4} MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4} MR^2$ મળે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K = \sqrt{\frac{I}{M}}$ છે.
તેથી,$K = \sqrt{\frac{5}{4} R^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} R$ મળે.
જો $R = 0.5 \ m$ લઈએ,તો $K = \frac{\sqrt{5}}{2} \times 0.5 = \frac{\sqrt{5}}{4} \ m$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,પ્રથમ કણનું સ્થાનાંતર સમીકરણ $y_1=30 \sin \left(2 \pi t+\frac{\pi}{3}\right)$ છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $y=A \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A_1=30$ મળે છે.
બીજા કણ માટે,સ્થાનાંતર સમીકરણ $y_2=10(\sin 2 \pi t+\sqrt{3} \cos 2 \pi t)$ છે.
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે કૌંસની અંદર $2$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ: $y_2 = 10 \times 2 \left[ \frac{1}{2} \sin 2 \pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 \pi t \right]$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે,આપણને $y_2 = 20 \sin \left(2 \pi t + \frac{\pi}{3} \right)$ મળે છે.
આમ,બીજા કણનો કંપવિસ્તાર $A_2=20$ છે.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $A_1: A_2$ એ $3: 2$ છે.

(B) પદાર્થનું સ્થાનાંતર $x = 3 \cos \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = -3 \sin \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \cdot (2 \pi) = -6 \pi \sin \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = -6 \pi \cos \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right) \cdot (2 \pi) = -12 \pi^2 \cos \left( 2 \pi t + \frac{\pi}{4} \right)$.
$t = 2 \text{ s}$ સમયે,પ્રવેગ $a = -12 \pi^2 \cos \left( 2 \pi (2) + \frac{\pi}{4} \right) = -12 \pi^2 \cos \left( 4 \pi + \frac{\pi}{4} \right)$ થશે.
કારણ કે $\cos(4 \pi + \theta) = \cos \theta$,તેથી $a = -12 \pi^2 \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = -12 \pi^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -6 \sqrt{2} \pi^2 \text{ m/s}^2$ મળે.

(B) આપેલ છે, સળિયાની લંબાઈ $l = 1.8 \,m$.
એક છેડેથી લટકાવેલા $l$ લંબાઈના સમાન સળિયાના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgR}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ પીવટ (આધારબિંદુ) ની સાપેક્ષ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $R$ એ પીવટથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
એક છેડેથી લટકાવેલા સળિયા માટે, $I = \frac{ml^2}{3}$ અને $R = \frac{l}{2}$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{ml^2/3}{mg(l/2)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2l}{3g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2 \times 1.8}{3g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1.2}{g}}$.
$l'$ લંબાઈના સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{l'}{g}}$ છે.
અહીં $T = T'$ હોવાથી, $2 \pi \sqrt{\frac{l'}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1.2}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $l' = 1.2 \,m$ મળે છે.

(C) સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $f = 880 \ Hz$ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર શ્રોતાની નજીક આવે ત્યારે અવલોકિત આવૃત્તિ $f' = 888 \ Hz$ છે.
ધ્વનિનો વેગ $v = 333 \ m \ s^{-1}$ છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિનું સૂત્ર:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$888 = 880 \left( \frac{333}{333 - v_s} \right)$
બંને બાજુ $880$ વડે ભાગતા:
$\frac{888}{880} = \frac{333}{333 - v_s}$
$1.00909 = \frac{333}{333 - v_s}$
$333 - v_s = \frac{333}{1.00909} \approx 330$
$v_s = 333 - 330 = 3 \ m \ s^{-1}$.
આમ,વાહનની ઝડપ $3 \ m \ s^{-1}$ છે.

(C) આપેલ છે: સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર,$r = 1.6 \times 10^{11} \,m$. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા,$R_e = 6.4 \times 10^6 \,m$. પૃથ્વીનું દળ,$M_e = 6.0 \times 10^{24} \,kg$.
સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીનું કોણીય વેગમાન $(L_1)$: $L_1 = M_e v r = M_e (\frac{2 \pi r}{T_1}) r = \frac{2 \pi M_e r^2}{T_1}$.
અહીં,$T_1 = 365 \times 24 \times 3600 \,s \approx 3.15 \times 10^7 \,s$.
$L_1 = \frac{2 \times 3.14 \times 6.0 \times 10^{24} \times (1.6 \times 10^{11})^2}{3.15 \times 10^7} \approx 3.06 \times 10^{40} \,kg \cdot m^2/s$.
પોતાની ધરી પર પૃથ્વીનું કોણીય વેગમાન $(L_2)$: $L_2 = I \omega = (\frac{2}{5} M_e R_e^2) (\frac{2 \pi}{T_2})$.
અહીં,$T_2 = 24 \times 3600 \,s = 8.64 \times 10^4 \,s$.
$L_2 = \frac{2}{5} \times 6.0 \times 10^{24} \times (6.4 \times 10^6)^2 \times \frac{2 \times 3.14}{8.64 \times 10^4} \approx 7.15 \times 10^{33} \,kg \cdot m^2/s$.
ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3.06 \times 10^{40}}{7.15 \times 10^{33}} \approx 4.28 \times 10^6 \approx 4.3 \times 10^6$.

(D) આપેલ છે, વર્તુળાકાર રીંગનું દળ $m = 10 \text{ kg}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની રેખીય ઝડપ $v = 1.5 \text{ m/s}$.
ગબડતી રીંગની કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ તેની ચાકગતિ અને સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K_i = K_{\text{rotational}} + K_{\text{translational}} = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2$.
રીંગ માટે, જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m R^2$ અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$K_i = \frac{1}{2} (m R^2) \left(\frac{v}{R}\right)^2 + \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2$.
$K_i = 10 \times (1.5)^2 = 10 \times 2.25 = 22.5 \text{ J}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, રીંગને અટકાવવા માટે જરૂરી કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = K_f - K_i = 0 - 22.5 = -22.5 \text{ J}$.

(C) આપેલ છે:
નક્કર ગોળાકાર દડાનો પ્રારંભિક વેગ $v = 10 \ m \ s^{-1}$ છે.
દડાનું દળ $m = 11 \ kg$ છે.
ઘર્ષણને કારણે થતો વ્યય અવગણ્ય હોવાથી,કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
ગબડતા નક્કર ગોળાની પ્રારંભિક કુલ ગતિ ઉર્જા એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$K_i = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5} m R^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
$K_i = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} m v^2 (1 + \frac{2}{5}) = \frac{1}{2} m v^2 (\frac{7}{5}) = \frac{7}{10} m v^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,દડો ક્ષણવાર માટે અટકી જાય છે,તેથી તેની અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = 0$ થાય છે.
દડા દ્વારા પ્રાપ્ત સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = m g h$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$K_i = U_f$:
$\frac{7}{10} m v^2 = m g h$
$h = \frac{7 v^2}{10 g} = \frac{7 \times (10)^2}{10 \times 10} = \frac{7 \times 100}{100} = 7 \ m$.
આમ,$h$ નું મૂલ્ય $7 \ m$ છે.

(D) આપેલ છે: ગોળાની ત્રિજ્યા $= R$,ગોળાનું દળ $= m$,અને ઢળતા સમતલનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$.
ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર ગોળા માટે,રેખીય પ્રવેગ નીચે મુજબ છે:
$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{m R^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2/5 m R^2}{m R^2}} = \frac{5}{7} g \sin \theta$
ઢળતા સમતલ પર રેખીય ગતિ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m g \sin \theta - f = m a$
$f = m g \sin \theta - m \left( \frac{5}{7} g \sin \theta \right) = \frac{2}{7} m g \sin \theta$
લંબબળ $N = m g \cos \theta$ છે.
સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s$ માટેની શરત:
$\mu_s \geq \frac{f}{N} = \frac{\frac{2}{7} m g \sin \theta}{m g \cos \theta} = \frac{2}{7} \tan \theta$
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\mu_s \geq \frac{2}{7} \approx 0.2857$.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$(A)$ $\frac{3}{7} \approx 0.428 > 0.2857$
$(B)$ $\frac{1}{2} = 0.5 > 0.2857$
$(C)$ $\frac{5}{8} = 0.625 > 0.2857$
$(D)$ $\frac{1}{7} \approx 0.1428 < 0.2857$
$\frac{1}{7}$ એ $\frac{2}{7}$ કરતા નાનું હોવાથી,ગોળો સરકશે. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ એ સરક્યા વિના ગબડવા માટે ખોટું મૂલ્ય છે.

(D) જ્યારે $m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો પદાર્થ $h$ ઊંચાઈના ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વગર ગબડે છે,ત્યારે તળિયે તેનો વેગ $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા છે.
રીંગ માટે,$k^2 = R^2$,તેથી $v_R = \sqrt{\frac{2gh}{1+1}} = \sqrt{gh}$.
નક્કર તકતી માટે,$k^2 = \frac{R^2}{2}$,તેથી $v_D = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.5}} = \sqrt{\frac{4gh}{3}} \approx 1.15 \sqrt{gh}$.
નક્કર ગોળા માટે,$k^2 = \frac{2R^2}{5}$,તેથી $v_S = \sqrt{\frac{2gh}{1+0.4}} = \sqrt{\frac{10gh}{7}} \approx 1.19 \sqrt{gh}$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $V_S > V_D > V_R$ મળે છે.

(A) ગબડતી વસ્તુની કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ તેની સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે, જે નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$KE = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$
નક્કર ગોળા માટે, તેના કેન્દ્રની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે અને કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે:
$KE = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$
અહીં $m = 5 \,kg$ અને $v = 4 \,m/s$ આપેલ છે:
$KE = \frac{7}{10} \times 5 \times (4)^2 = \frac{7}{10} \times 5 \times 16 = 7 \times 8 = 56 \,J$
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે,વર્તુળાકાર તકતીનું દળ,$M = 12 \,kg$,
ત્રિજ્યા,$R = 0.5 \,m$,
કોણીય વેગ,$\omega = 100 \,rad/s$.
પાતળી વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
ચાકગતિ ઉર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $K = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{4} MR^2 \omega^2$.
હવે,આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{1}{4} \times 12 \,kg \times (0.5 \,m)^2 \times (100 \,rad/s)^2$
$K = 3 \times 0.25 \times 10000 \,J$
$K = 0.75 \times 10000 \,J = 7500 \,J$.
કારણ કે $1 \,kJ = 1000 \,J$,તેથી $K = 7.5 \,kJ$.
આમ,તકતીની ચાકગતિ ઉર્જા $7.5 \,kJ$ છે.

(C) આપેલ છે: હીટરનો પાવર $P = 210 \,W$, પાણીનું દળ $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$, વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા $c = 4200 \,J / kg \cdot ^{\circ} C$, પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 25^{\circ} C$, અને અંતિમ તાપમાન $T_2 = 100^{\circ} C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 100^{\circ} C - 25^{\circ} C = 75^{\circ} C$.
તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $Q = m c \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = 0.1 \,kg \times 4200 \,J / kg \cdot ^{\circ} C \times 75^{\circ} C = 31500 \,J$.
કારણ કે $P = Q / t$, તેથી જરૂરી સમય $t = Q / P$.
$t = 31500 \,J / 210 \,W = 150 \,s$.
તેથી, પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી સમય $150 \,s$ છે.

(C) આપેલ છે કે,બે પાતળા ધાતુના ગોળાકાર કવચોની ત્રિજ્યા $r_1 = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ અને $r_2 = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$ છે.
અંદરના કવચનું તાપમાન $T_1 = 300 \text{ K}$,બહારના કવચનું તાપમાન $T_2 = 310 \text{ K}$,અને ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = 40 \text{ W}$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં કવચમાંથી વહેતી ઉષ્માનો ત્રિજ્યાવર્તી દર ઉષ્મા વહનના ફુરિયરના નિયમ મુજબ:
$H = \frac{dQ}{dt} = \alpha A \frac{dT}{dr} = \alpha (4 \pi r^2) \frac{dT}{dr}$
સંકલન માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dr}{r^2} = \frac{4 \pi \alpha}{H} dT$
બંને બાજુ $r_1$ થી $r_2$ અને $T_1$ થી $T_2$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r^2} = \frac{4 \pi \alpha}{H} \int_{T_1}^{T_2} dT$
$[-\frac{1}{r}]_{r_1}^{r_2} = \frac{4 \pi \alpha}{H} (T_2 - T_1)$
$\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{4 \pi \alpha (T_2 - T_1)}{H}$
$\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} = \frac{4 \pi \alpha (T_2 - T_1)}{H}$
$\alpha$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\alpha = \frac{H(r_2 - r_1)}{4 \pi r_1 r_2 (T_2 - T_1)}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\alpha = \frac{40 \times (0.3 - 0.2)}{4 \pi \times 0.3 \times 0.2 \times (310 - 300)}$
$\alpha = \frac{40 \times 0.1}{4 \pi \times 0.06 \times 10} = \frac{4}{2.4 \pi} = \frac{40}{24 \pi} = \frac{5}{3 \pi}$
આમ,$\alpha$ નું મૂલ્ય $\frac{5}{3 \pi} \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$ છે.

(D) આપેલ છે:
સાબુના પરપોટાનો વ્યાસ $d = 5 \text{ mm} = 5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
ત્રિજ્યા $R = \frac{d}{2} = 2.5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
પૃષ્ઠતાણ $T = \frac{1}{10 \pi} \text{ N m}^{-1}$.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી કુલ પૃષ્ઠફળ $A_{total} = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ થાય.
મુક્ત ઊર્જા $E = T \times A_{total}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \left( \frac{1}{10 \pi} \right) \times 8 \pi \times (2.5 \times 10^{-3})^2$
$E = \frac{8}{10} \times 6.25 \times 10^{-6}$
$E = 0.8 \times 6.25 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-6} \text{ J}$.

(A) વિધાન $A$ સાચું છે: સંવહન એ અસમાન તાપમાનને કારણે ઘનતામાં થતા ફેરફારને લીધે પ્રવાહીના કણોના વાસ્તવિક સ્થાનાંતરણ દ્વારા ઉષ્માનું સ્થાનાંતરણ કરવાની પ્રક્રિયા છે.
વિધાન $B$ સાચું છે: જ્યારે ગરમ સળિયાને વહેતા નળના પાણી નીચે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયાના સંપર્કમાં રહેલું પાણી ગરમ થાય છે,તેની ઘનતા ઘટે છે અને તે ઉપર જાય છે,જ્યારે ઠંડું પાણી તેની જગ્યા લે છે. આ પરિભ્રમણને સંવહન કહેવાય છે.
વિધાન $C$ સાચું છે: ઉષ્માને તાપમાનના તફાવતને કારણે વહન પામતી ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તાપમાનના તફાવત વિના,ઉષ્માનું ચોખ્ખું સ્થાનાંતરણ શક્ય નથી.
તેથી,ત્રણેય વિધાનો સાચા છે.

(D) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,તાપમાનમાં ફેરફારનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ છે,જ્યાં $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $T(t) - T_0 = (T_i - T_0)e^{-kt}$ મળે છે,જ્યાં $T_i$ એ પ્રારંભિક તાપમાન છે.
પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલ ઉષ્મા $Q(t) = mc(T_i - T(t))$ છે. તે ગુમાવી શકે તેવી મહત્તમ ઉષ્મા $Q_{max} = mc(T_i - T_0)$ છે.
તેથી,ગુમાવેલ ઉષ્માનો અંશ $\frac{Q(t)}{Q_{max}} = \frac{T_i - T(t)}{T_i - T_0} = 1 - e^{-kt}$ છે.
$t_1$ સમય માટે,પદાર્થ મહત્તમ ઉષ્માના $60 \%$ ગુમાવે છે: $0.6 = 1 - e^{-kt_1} \Rightarrow e^{-kt_1} = 0.4 \Rightarrow t_1 = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{0.4}) = \frac{1}{k} \ln(2.5)$.
$t_2$ સમય માટે,પદાર્થ મહત્તમ ઉષ્માના $80 \%$ ગુમાવે છે: $0.8 = 1 - e^{-kt_2} \Rightarrow e^{-kt_2} = 0.2 \Rightarrow t_2 = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{0.2}) = \frac{1}{k} \ln(5)$.
ગુણોત્તર $\frac{t_2}{t_1} = \frac{\ln(5)}{\ln(2.5)} = \frac{\ln(5)}{\ln(5/2)}$.

(A) વિનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ, કૃષ્ણ પદાર્થની મહત્તમ ઉત્સર્જન તરંગલંબાઈ અને નિરપેક્ષ તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\lambda T = b$
જ્યાં:
$\lambda$ એ વિકિરણની તરંગલંબાઈ છે = $1 \,mm = 1 \times 10^{-3} \,m$
$b$ એ વિનનો અચળાંક છે = $3 \times 10^{-3} \,mK$
$T$ એ કૃષ્ણ પદાર્થનું તાપમાન છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{b}{\lambda} = \frac{3 \times 10^{-3} \,mK}{1 \times 10^{-3} \,m} = 3 \,K$
તેથી, કૃષ્ણ પદાર્થનું તાપમાન $3 \,K$ છે.

(B) ન્યુટનના શીતલન (cooling) ના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર એ પદાર્થના સરેરાશ તાપમાન અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_0)$.
પ્રથમ કિસ્સામાં: $T_1 = 150^{\circ} F, T_2 = 144^{\circ} F, t_1 = 1 \ min, T_0 = 72^{\circ} F$.
સરેરાશ તાપમાન $T_{avg1} = \frac{150 + 144}{2} = 147^{\circ} F$ છે.
તેથી,$\frac{150 - 144}{1} = K(147 - 72) \Rightarrow 6 = K(75) \Rightarrow K = \frac{6}{75} = 0.08 \ min^{-1}$.
બીજા કિસ્સામાં: $T'_1 = 110^{\circ} F, T'_2 = 104^{\circ} F, T_0 = 72^{\circ} F$.
સરેરાશ તાપમાન $T_{avg2} = \frac{110 + 104}{2} = 107^{\circ} F$ છે.
તે જ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{110 - 104}{t_2} = K(107 - 72)$.
$\frac{6}{t_2} = K(35)$.
$K = \frac{6}{75}$ મૂકતા: $\frac{6}{t_2} = \frac{6}{75} \times 35$.
$\frac{1}{t_2} = \frac{35}{75} = \frac{7}{15}$.
$t_2 = \frac{15}{7} \approx 2.14 \ min$.

(C) સૌ પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$
$T_2 = 227 + 273 = 500 \ K$
$T_0 = 27 + 273 = 300 \ K$
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનના નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ચોખ્ખી ઉર્જા નીચે મુજબ છે:
$E = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_0^4)$
તેથી,ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{T_2^4 - T_0^4}{T_1^4 - T_0^4}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{500^4 - 300^4}{400^4 - 300^4}$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{625 \times 10^8 - 81 \times 10^8}{256 \times 10^8 - 81 \times 10^8}$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{544}{175} \approx 3.108$
આમ,ગુણોત્તર આશરે $3.1$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે,તાંબાના વર્તુળાકાર સિક્કાનું ક્ષેત્રફળ $0.4 \%$ વધે છે.
આનો અર્થ એ છે કે,$\frac{\Delta A}{A} = 0.004$.
તાપમાનમાં વધારો $\Delta T = 100^{\circ} C$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\Delta A}{A \cdot \Delta T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\beta = \frac{0.004}{100} = 4 \times 10^{-5} /^{\circ} C$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક $\beta$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\beta = 2\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{4 \times 10^{-5}}{2} /^{\circ} C = 2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલન લેતા,આપણને $d\eta = \frac{T_2}{T_1^2} dT_1 - \frac{1}{T_1} dT_2$ મળે છે.
$T_1$ માં નાના ફેરફાર માટે ($T_2$ અચળ રાખીને),$\Delta \eta_1 = \frac{T_2}{T_1^2} \Delta T_1 = \frac{T_2}{T_1} \left( \frac{\Delta T_1}{T_1} \right) = (1 - \eta) \frac{\Delta T_1}{T_1}$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta T_1}{T_1} = 0.4 \%$,તેથી $\Delta \eta_1 = (1 - \eta) \times 0.004$.
$T_2$ માં નાના ફેરફાર માટે ($T_1$ અચળ રાખીને),$\Delta \eta_2 = -\frac{1}{T_1} \Delta T_2 = -\frac{T_2}{T_1} \left( \frac{\Delta T_2}{T_2} \right) = -(1 - \eta) \frac{\Delta T_2}{T_2}$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta T_2}{T_2} = 0.2 \%$,તેથી $\Delta \eta_2 = -(1 - \eta) \times 0.002$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\Delta \eta_1}{\Delta \eta_2} = \frac{(1 - \eta) \times 0.004}{-(1 - \eta) \times 0.002} = -2$.

(D) આપેલ છે કે,$1$ મોલ $N_2$ વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 300 \,K$ છે। વાયુનું પ્રારંભિક દબાણ $p_1 = p$ અને અંતિમ દબાણ $p_2 = 10p$ છે। સખત દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 7/5 = 1.4$ છે।
દબાણ અને તાપમાન વચ્ચેનો એડિબેટિક સંબંધ વાપરતા: $T_1^\gamma p_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma p_2^{1-\gamma}$.
$T_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $(T_2/T_1)^\gamma = (p_1/p_2)^{1-\gamma} = (p_2/p_1)^{\gamma-1}$.
$T_2 = T_1 \times (p_2/p_1)^{(\gamma-1)/\gamma} = 300 \times (10p/p)^{(1.4-1)/1.4} = 300 \times 10^{2/7}$.
અહીં $10^{2/7} = (10^2)^{1/7} = 100^{1/7} = 1.9$ હોવાથી,$T_2 = 300 \times 1.9 = 570 \,K$ મળે છે.

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા $PV^x = \text{constant}$ માટે, થતું કાર્ય $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{x - 1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે。
અહીં $n = 1$ અને $x = 3$ આપેલ છે。
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1$ છે, તેથી $T_1 - T_2 = -\Delta T$ થાય。
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{1 \cdot R \cdot (-\Delta T)}{3 - 1}$
$W = \frac{-R \Delta T}{2}$
થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $|W| = \left| \frac{-R \Delta T}{2} \right| = \frac{R \Delta T}{2}$ મળે છે।

(B) ન્યુટનના શીતલન (cooling) ના નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતને સીધો પ્રમાણસર હોય છે.
$\frac{T_i - T_f}{t} = K \left( \frac{T_i + T_f}{2} - T_0 \right)$
જ્યાં $T_i$ પ્રારંભિક તાપમાન છે,$T_f$ અંતિમ તાપમાન છે,$t$ સમય છે,$T_0$ આસપાસનું તાપમાન છે અને $K$ અચળાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $T_i = 70^{\circ} C$,$T_f = 40^{\circ} C$,$t = 5 \ min$,$T_0 = 20^{\circ} C$.
$\frac{70 - 40}{5} = K \left( \frac{70 + 40}{2} - 20 \right)$
$\frac{30}{5} = K (55 - 20)$
$6 = K(35) \Rightarrow K = \frac{6}{35}$
બીજા કિસ્સા માટે: $T_i = 60^{\circ} C$,$T_f = 30^{\circ} C$,$t = ?$,$T_0 = 20^{\circ} C$.
$\frac{60 - 30}{t} = \frac{6}{35} \left( \frac{60 + 30}{2} - 20 \right)$
$\frac{30}{t} = \frac{6}{35} (45 - 20)$
$\frac{30}{t} = \frac{6}{35} (25)$
$t = \frac{30 \times 35}{6 \times 25} = \frac{5 \times 35}{25} = \frac{35}{5} = 7 \ min.$

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{constant}$ છે.
પગલું $1$: $V_0$ થી $2 V_0$ સુધી એડિબેટિક વિસ્તરણ.
$T_0 V_0^{\gamma-1} = T_1 (2 V_0)^{\gamma-1} \Rightarrow T_1 = T_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma-1}$.
પગલું $2$: $2 V_0$ થી $5 V_0$ સુધી આઇસોથર્મલ વિસ્તરણ.
પ્રક્રિયા આઇસોથર્મલ હોવાથી,તાપમાન $T_1$ અચળ રહે છે.
પગલું $3$: $5 V_0$ થી $V_f$ સુધી એડિબેટિક સંકોચન જેથી અંતિમ તાપમાન $T_0$ થાય.
$T_1 (5 V_0)^{\gamma-1} = T_0 (V_f)^{\gamma-1}$.
પગલું $1$ માંથી $T_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$T_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma-1} (5 V_0)^{\gamma-1} = T_0 (V_f)^{\gamma-1}$.
$\left(\frac{5 V_0}{2}\right)^{\gamma-1} = (V_f)^{\gamma-1}$.
$V_f = 2.5 V_0$.
$V_f = \alpha V_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 2.5$ મળે છે.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ સમીકરણ $\Delta U = Q + W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\Delta U = Q + W$. જો $W > 0$ અને $Q > 0$ હોય, તો $\Delta U$ ધન હોવું જોઈએ $(\Delta U > 0)$. જોકે, વિકલ્પમાં $\Delta U < 0$ આપેલ છે, જે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $0 = 0 + 0$, જે સુસંગત છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\Delta U = 0 + W$. જો $W > 0$ હોય, તો $\Delta U > 0$ થાય, જે સુસંગત છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\Delta U = Q + W$. જો $Q < 0$ અને $W < 0$ હોય, તો $\Delta U$ ઋણ હોવું જોઈએ $(\Delta U < 0)$, જે સુસંગત છે.

(B) મહત્તમ દળ $m_{\max}$ એ $v, g$ અને $\rho$ પર આધાર રાખે છે. દળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^0]$ છે.
ચલોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[v] = [L T^{-1}]$
$[g] = [L T^{-2}]$
$[\rho] = [M L^{-3}]$
આપેલ છે કે $m_{\max} = k v^x g^y \rho^z$,તેથી પારિમાણિક સમીકરણ:
$[M^1 L^0 T^0] = [L T^{-1}]^x [L T^{-2}]^y [M L^{-3}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^z L^{x+y-3z} T^{-x-2y}]$
બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $z = 1$
$T$ માટે: $-x - 2y = 0 \Rightarrow x = -2y$
$L$ માટે: $x + y - 3z = 0$
$x = -2y$ અને $z = 1$ ને $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-2y + y - 3(1) = 0$
$-y = 3 \Rightarrow y = -3$
હવે,$x = -2(-3) = 6$
આમ,$x, y$ અને $z$ ના મૂલ્યો $6, -3, 1$ છે.

(D) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળો છે:
$1$. પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ: આ સૌથી પ્રબળ બળ છે,જે ન્યુક્લિયોન્સ વચ્ચે ટૂંકા અંતરે કાર્ય કરે છે.
$2$. વિદ્યુતચુંબકીય બળ: આ બળ વિદ્યુતભારિત કણો વચ્ચે કાર્ય કરે છે અને તેની અવધિ અનંત છે.
$3$. નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: આ એક ટૂંકા અંતરનું બળ છે જે અમુક પ્રકારના કિરણોત્સર્ગી ક્ષય (જેમ કે બીટા ક્ષય) માટે જવાબદાર છે.
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: આ પ્રકૃતિનું સૌથી નિર્બળ બળ છે,જે તમામ દ્રવ્યમાન ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચે અનંત અંતરે કાર્ય કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,વિદ્યુતચુંબકીય બળ,પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ અને નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ છે.

(B) આપેલ છે, દોરીની લંબાઈ $l = 100 \,cm = 1 \,m$.
ત્રણ અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_1 = 120 \,Hz, f_2 = 200 \,Hz, f_3 = 280 \,Hz$ છે.
બંને છેડે જડિત દોરી માટે અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = n f_0$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે, જ્યાં $f_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0$ એ આપેલી આવૃત્તિઓનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ છે.
$f_0 = \text{GCD}(120, 200, 280) = 40 \,Hz$.
બંને છેડે જડિત દોરી માટે મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2l}$ છે.
તેથી, તરંગની ઝડપ $v = 2 l f_0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા, $v = 2 \times 1 \,m \times 40 \,Hz = 80 \,m/s$.

(C)
ડ્રોન એ સ્થિર પરાવર્તિત સપાટી (બિલ્ડિંગ) તરફ ગતિ કરતા ધ્વનિના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે।
આપેલ છે:
ડ્રોનની ઝડપ (સ્ત્રોત), $v_s = 15 \,m/s$
વાસ્તવિક આવૃત્તિ, $n_0 = 780 \,Hz$
ધ્વનિની ઝડપ, $v = 340 \,m/s$
પગલું 1: બિલ્ડિંગ સુધી પહોંચતા ધ્વનિ તરંગોની આવૃત્તિની ગણતરી કરો।
સ્ત્રોત સ્થિર બિલ્ડિંગ તરફ ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી, બિલ્ડિંગ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $n'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n' = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$n' = 780 \left( \frac{340}{340 - 15} \right)
= 780 \left( \frac{340}{325} \right)
= 816 \,Hz$
પગલું 2: બિલ્ડિંગ આ આવૃત્તિ $n'$ ને ઓપરેટર તરફ પરાવર્તિત કરતા સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે।
ઓપરેટર સ્થિર હોવાથી અને બિલ્ડિંગ (પડઘાના સ્ત્રોત તરીકે) સ્થિર હોવાથી, ઓપરેટરને સંભળાતી આવૃત્તિ એ બિલ્ડિંગ પર આપાત થતી આવૃત્તિ જેટલી જ હોય છે।
તેથી, ઓપરેટરને સંભળાતી આવૃત્તિ $816 \,Hz$ છે।

(B) આપેલ છે: ધ્વનિની ઝડપ $v = 350 \,m/s$, મૂળ આવૃત્તિ $n_0 = 250 \,Hz$, અને બીટ આવૃત્તિ $x = 5 \,Hz$.
જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_1 = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ થાય છે.
જ્યારે ઉદગમ અવલોકનકારથી દૂર ગતિ કરે છે, ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $n_2 = n_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ થાય છે.
બીટ આવૃત્તિ $x = n_1 - n_2 = n_0 v \left( \frac{1}{v - v_s} - \frac{1}{v + v_s} \right) = n_0 v \left( \frac{2 v_s}{v^2 - v_s^2} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = 250 \times 350 \times \left( \frac{2 v_s}{350^2 - v_s^2} \right)$.
અહીં $v_s$ એ $v$ ની સરખામણીમાં ઘણું નાનું હોવાથી, $v^2 - v_s^2 \approx v^2$ લેતા:
$x \approx \frac{2 n_0 v_s}{v} \Rightarrow 5 = \frac{2 \times 250 \times v_s}{350}$.
$5 = \frac{500 v_s}{350} \Rightarrow 5 = \frac{10 v_s}{7}$.
$v_s = 3.5 \,m/s$.

(A) ધારો કે હોર્ન $A$ અને $B$ ની આવૃત્તિઓ અનુક્રમે $n_A$ અને $n_B$ છે.
આપેલ છે કે જ્યારે બંને હોર્ન એકસાથે વગાડવામાં આવે ત્યારે ડ્રાઈવર $10$ સેકન્ડમાં $50$ બીટ્સ નોંધે છે:
$|n_A - n_B| = \frac{50}{10} = 5 \,Hz$.
જ્યારે ટ્રક $v_s = 10 \,m/s$ ની ઝડપે દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતા પડઘાની આવૃત્તિ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n_B' = n_B \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right)$, જ્યાં $v = 330 \,m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે.
$n_B' = n_B \left( \frac{330 + 10}{330 - 10} \right) = n_B \left( \frac{340}{320} \right) = n_B \left( \frac{17}{16} \right) = 1.0625 n_B$.
પડઘા સાથેની બીટ ફ્રીક્વન્સી $n_B' - n_B = 5 \,Hz$ છે.
$1.0625 n_B - n_B = 5 \implies 0.0625 n_B = 5$.
$n_B = \frac{5}{0.0625} = 80 \,Hz$.
આપેલ છે કે $n_A$ ઘટાડવાથી બીટ ફ્રીક્વન્સી $|n_A - n_B|$ વધે છે, જેનો અર્થ છે કે $n_A < n_B$.
તેથી, $|n_A - n_B| = 5$ હોવાથી, $n_B - n_A = 5$ મળે.
$n_A = n_B - 5 = 80 - 5 = 75 \,Hz$.

(A) $SHM$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ મળે છે.
નિત્યસમ $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dx}{dt} = A \omega \sqrt{1 - \sin^2(\omega t + \phi)}$ મળે.
$\sin(\omega t + \phi) = \frac{x}{A}$ મૂકતા,$\frac{dx}{dt} = A \omega \sqrt{1 - \frac{x^2}{A^2}}$ મળે છે.
આનું સાદુરૂપ આપતા,$\frac{dx}{dt} = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ મળે.
કારણ કે $A^2 - x^2 = -(x^2 - A^2)$,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{dx}{dt} = \omega \sqrt{-(x^2 - A^2)}$.
$i = \sqrt{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{dx}{dt} = i \omega \sqrt{x^2 - A^2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે દરેક સાઇનસોઇડલ તરંગનો કંપવિસ્તાર સમાન છે。
ધારો કે $a_1 = a_2 = a$。
કળા તફાવત $\phi = 120^{\circ}$ છે。
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A = 2 \,mm$ છે。
બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોના પરિણામી કંપવિસ્તારનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$2 = \sqrt{a^2 + a^2 + 2 a^2 \cos 120^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}$, તેથી:
$2 = \sqrt{a^2 + a^2 + 2 a^2 (-0.5)}$
$2 = \sqrt{2a^2 - a^2}$
$2 = \sqrt{a^2}$
$2 = a$
તેથી, દરેક તરંગનો કંપવિસ્તાર $2 \,mm$ છે。

(D) આપેલ છે:
વ્હિસલની આવૃત્તિ,$f_0 = 660 \,Hz$
ધ્વનિની ઝડપ,$v = 340 \,m/s$
વ્હિસલની કોણીય ઝડપ,$\omega = 10 \,rad/s$
વર્તુળની ત્રિજ્યા,$r = 1 \,m$
વ્હિસલનો રેખીય વેગ $v_s = \omega r = 10 \times 1 = 10 \,m/s$ દ્વારા મળે છે.
જ્યારે શ્રોતા વર્તુળના કેન્દ્રથી લાંબા અંતરે હોય,ત્યારે વ્હિસલ અને શ્રોતાને જોડતી રેખા પર વ્હિસલનો વેગનો ઘટક ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે વ્હિસલ સીધી શ્રોતા તરફ ગતિ કરતી હોય.
સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતા ઉદગમ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર:
$f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$f = 660 \times \left( \frac{340}{340 - 10} \right)$
$f = 660 \times \left( \frac{340}{330} \right)$
$f = 2 \times 340 = 680 \,Hz$
આમ,શ્રોતા દ્વારા સંભળાતી મહત્તમ આવૃત્તિ $680 \,Hz$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે,દોરીની લંબાઈ,$L = 16 \ m$.
તરંગની ઝડપ,$v = 32 \ m/s$.
દોરીના બે નિશ્ચિત છેડાઓ વચ્ચેના નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા $= 9$.
નિશ્ચિત છેડાઓને ગણતા કુલ નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા $9 + 2 = 11$ થાય.
દોરીમાં બનતા લૂપ્સ અથવા વિભાગોની સંખ્યા $(p)$ એ નિસ્પંદ બિંદુઓની સંખ્યા કરતા $1$ ઓછી હોય છે,તેથી $p = 11 - 1 = 10$.
$p$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{p \cdot v}{2L}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{10 \times 32}{2 \times 16}$.
$f = \frac{320}{32} = 10 \ Hz$.

(D) મુખ્ય વિચાર: સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સરેરાશ ઝડપ $v_1 = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{\frac{1}{4}(2\pi R)}{T} = \frac{\pi R}{2T}$.
સરેરાશ વેગ સદિશનું મૂલ્ય $v_2$ એટલે કુલ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય ભાગ્યા કુલ સમય.
એક-ચતુર્થાંશ વર્તુળાકાર પથ માટે,સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જે $R$ અને $R$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે.
સ્થાનાંતર $= \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.
સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય $v_2 = \frac{R\sqrt{2}}{T}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{\pi R}{2T}}{\frac{R\sqrt{2}}{T}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે: સખત તારની લંબાઈ $l = 1 \,m$, દડાનું દળ $m = 500 \,g = 0.5 \,kg$, સૌથી નીચલા બિંદુએ પ્રારંભિક વેગ $u = 6 \,m/s$. ધારો કે જ્યારે તાર ઉપરની શિરોલંબ દિશા સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે ત્યારે દડાનો વેગ $v$ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુ (ધારો કે $P$) અને બિંદુ $C$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P$ આગળ કુલ ઉર્જા = $C$ આગળ કુલ ઉર્જા
$\frac{1}{2}mu^2 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$
જ્યાં $h$ એ સૌથી નીચલા બિંદુથી બિંદુ $C$ ની ઊંચાઈ છે. ભૂમિતિ પરથી, $h = l + l \cos 60^{\circ} = l(1 + \cos 60^{\circ}) = 1(1 + 0.5) = 1.5 \,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times (6)^2 = \frac{1}{2}v^2 + g \times 1.5$
$18 = \frac{1}{2}v^2 + 10 \times 1.5$
$18 = \frac{1}{2}v^2 + 15$
$\frac{1}{2}v^2 = 3 \implies v^2 = 6 \,m^2/s^2$.
પ્રવેગનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) $a_r = \frac{v^2}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_r = \frac{6}{1} = 6 \,m/s^2$.

(B) આપેલ છે કે,દરેક નાના ગોળાકાર ટીપાંનો વિદ્યુતભાર $= Q$ અને તેની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $= V_0$ છે. ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે. સ્થિતિમાનનું સૂત્ર $V_0 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ છે.
જ્યારે બે આવા ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$,જે પરથી $R^3 = 2r^3$ અથવા $R = 2^{1/3} r$ મળે છે.
નવા મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q' = Q + Q = 2Q$ થાય છે.
નવા ટીપાંની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q'}{R} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2Q}{2^{1/3} r}$ થાય.
$V_0 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V' = V_0 \times \frac{2}{2^{1/3}} = V_0 \times 2^{1 - 1/3} = V_0 \times 2^{2/3} = V_0 \times (2^2)^{1/3} = 4^{1/3} V_0$ મળે છે.

(A-(II), B-(IV), C-(I), D-(III)) પ્રકૃતિના ચાર મૂળભૂત બળો અને તેમની સાપેક્ષ પ્રબળતા નીચે મુજબ છે:
$(i)$ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ: તે સૌથી પ્રબળ બળ છે,જે ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) અને ક્વાર્ક વચ્ચે કાર્ય કરે છે. તેની સાપેક્ષ પ્રબળતા $1$ ના ક્રમની છે.
(ii) વિદ્યુતચુંબકીય બળ: તે વિદ્યુતભારિત કણો વચ્ચે કાર્ય કરે છે. તેની સાપેક્ષ પ્રબળતા $10^{-2}$ ના ક્રમની છે.
(iii) નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: તે અમુક કિરણોત્સર્ગી ક્ષય દરમિયાન અણુના પેટા-કણો વચ્ચે કાર્ય કરે છે. તેની સાપેક્ષ પ્રબળતા $10^{-13}$ ના ક્રમની છે.
(iv) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: તે દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ છે. તેની સાપેક્ષ પ્રબળતા સૌથી ઓછી,$10^{-39}$ ના ક્રમની છે.
આપેલ યાદી સાથે સરખાવતા:
$(A)$ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ $\rightarrow$ (ii) $1$
$(B)$ નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ $\rightarrow$ (iv) $10^{-13}$
$(C)$ વિદ્યુતચુંબકીય બળ $\rightarrow$ $(i)$ $10^{-2}$
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\rightarrow$ (iii) $10^{-39}$
આમ,સાચી જોડ $A-(ii), B-(iv), C-(i), D-(iii)$ છે.

(C) આપેલ છે: કોઈલનો અવરોધ, $R = 10 \Omega$. આંટાની સંખ્યા, $N = 180$. કોઈલનો વ્યાસ, $d = 4 \text{ cm} = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$. ત્રિજ્યા, $r = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$. ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ, $R_g = 618 \Omega$. કુલ અવરોધ, $R_{eq} = R + R_g = 10 + 618 = 628 \Omega$. વિદ્યુતભાર, $q = 360 \mu \text{C} = 360 \times 10^{-6} \text{ C}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ મહત્તમ છે, તેથી $\phi = BA$.
પ્રેરિત વિદ્યુતભારનું સૂત્ર $q = \frac{N \Delta \phi}{R_{eq}}$ છે.
ક્ષેત્ર દૂર કરવામાં આવે છે, તેથી $\Delta \phi = BA - 0 = BA$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (2 \times 10^{-2})^2 = 4 \pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
કિંમતો મૂકતા: $360 \times 10^{-6} = \frac{180 \times B \times 4 \pi \times 10^{-4}}{628}$.
$B = \frac{360 \times 10^{-6} \times 628}{180 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-4}} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 628}{12.56 \times 10^{-4}} = \frac{1256 \times 10^{-6}}{1256 \times 10^{-4}} = 1 \text{ T}$.

(A) આપેલ છે,તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I=8 \text{ A}$.
અર્ધ-વર્તુળાકાર તારની ત્રિજ્યા $R=10 \pi \text{ cm} = 10 \pi \times 10^{-2} \text{ m} = 0.1 \pi \text{ m}$.
અર્ધ-વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત તાર દ્વારા તેના કેન્દ્ર $O$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 R}$
કિંમતો મૂકતા $(\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A})$:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 8}{4 \times 0.1 \pi} = \frac{32 \pi \times 10^{-7}}{0.4 \pi} = 80 \times 10^{-7} = 8 \times 10^{-6} \text{ T}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત તાર પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $f = I B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારને લંબ હોવાથી,$\sin 90^{\circ} = 1$,તેથી $f = I B$.
$f = 8 \text{ A} \times 8 \times 10^{-6} \text{ T} = 64 \times 10^{-6} \text{ N/m} = 64 \mu \text{N/m}$.

(B) બિંદુ $P(d, d)$ પર તાર $A$ ($-\hat{i}$ અક્ષ પર) ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર જમણા હાથના નિયમ મુજબ મળે છે. બિંદુ $P$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $d$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k})$ છે.
બિંદુ $P(d, d)$ પર તાર $B$ ($\hat{j}$ અક્ષ પર) ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર જમણા હાથના નિયમ મુજબ મળે છે. બિંદુ $P$ નું $y$-અક્ષથી અંતર $d$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k})$ છે.
બિંદુ $P$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_A + B_B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k}) + \frac{\mu_0 I}{2 \pi d} (-\hat{k}) = \frac{\mu_0 I}{\pi d} (-\hat{k})$ છે.
વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v = v\hat{i}$ અને $B = -\frac{\mu_0 I}{\pi d} \hat{k}$ આપેલ છે.
$F = q(v\hat{i} \times (-\frac{\mu_0 I}{\pi d} \hat{k})) = -\frac{\mu_0 I q v}{\pi d} (\hat{i} \times \hat{k}) = -\frac{\mu_0 I q v}{\pi d} (-\hat{j}) = \frac{\mu_0 I q v}{\pi d} \hat{j}$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $F = I \vec{L}_{eff} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L_{eff}$ એ તારના બે છેડાઓ વચ્ચેની અસરકારક લંબાઈ (સ્થાનાંતર સદિશ) છે。
$R$ ત્રિજ્યાના અર્ધ-વર્તુળાકાર લૂપ માટે, અસરકારક લંબાઈ એ વ્યાસ જેટલી હોય છે, $L_{eff} = 2R$.
આપેલ છે: $R = 30 \,cm = 0.3 \,m$, $I = 6 \,A$, $B = 0.5 \,T$.
અસરકારક લંબાઈ $L_{eff} = 2 \times 0.3 \,m = 0.6 \,m$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલને લંબ હોવાથી, અસરકારક લંબાઈ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે。
તેથી, બળનું મૂલ્ય $F = I L_{eff} B \sin(90^{\circ})$ થશે。
$F = 6 \,A \times 0.6 \,m \times 0.5 \,T \times 1 = 1.8 \,N$.

(D) સમાન વિદ્યુતભાર $q$ ધરાવતા બે કણો $v = 150 \ km/s = 1.5 \times 10^5 \ m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે.
$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું વિદ્યુત બળ $|F_2|$ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$|F_2| = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}$ $(i)$
ગતિ કરતા બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું ચુંબકીય બળ $|F_1|$:
$|F_1| = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{q^2 v^2}{r^2}$ (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{|F_1|}{|F_2|} = \frac{\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{q^2 v^2}{r^2}}{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}} = \mu_0 \varepsilon_0 v^2$
આપેલ કિંમતો $\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^{16}} \ s^2/m^2$ અને $v = 1.5 \times 10^5 \ m/s$ મૂકતા:
$\frac{|F_1|}{|F_2|} = \frac{1}{9 \times 10^{16}} \times (1.5 \times 10^5)^2 = \frac{2.25 \times 10^{10}}{9 \times 10^{16}} = 0.25 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{-7}$.

(B) તારને ઉગમબિંદુ $O$ પર વાળવામાં આવ્યો છે. એક ભાગ ધન $x$-અક્ષ પર અને બીજો ધન $y$-અક્ષ પર છે。
બિંદુ $P(-2 \,mm, 0)$ એ ઋણ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે。
$1$. $x$-અક્ષ પરના તારના ભાગ માટે: બિંદુ $P$ આ તારની રેખા પર જ આવેલું છે। તેથી, આ ભાગ દ્વારા બિંદુ $P$ પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે。
$2$. $y$-અક્ષ પરના તારના ભાગ માટે: આ એક અર્ધ-અનંત તાર છે જે ઉગમબિંદુ $O$ થી શરૂ થઈને ધન $y$-અક્ષ પર વિસ્તરેલો છે। અર્ધ-અનંત તારથી $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
અહીં, $I = 16 \,A$ અને $r = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{16}{2 \times 10^{-3}}$
$B = 10^{-7} \times 8 \times 10^3$
$B = 8 \times 10^{-4} \,T = 0.8 \times 10^{-3} \,T = 0.8 \,mT$.

(A) પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $K = qV = 1.6 \times 10^{-19} \times 500 \times 10^3 = 8 \times 10^{-14} \ J$ છે.
પ્રોટોનનું વેગમાન $p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2 \times 1.6 \times 10^{-27} \times 8 \times 10^{-14}} = 1.6 \times 10^{-20} \ kg \cdot m/s$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{p}{qB} = \frac{1.6 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.1} = 1 \ m$ થાય છે.
$d = 1.0 \ cm = 0.01 \ m$ જેટલી નાની જાડાઈ માટે,વિચલન કોણ $\theta = \frac{d}{R}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\theta = \frac{0.01}{1} = 0.01 \ rad$.

(B) તકતીના $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા એક પાતળા રીંગ જેવા ઘટકનો વિચાર કરો.
જો $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા હોય,તો આ ઘટક પરનો વિદ્યુતભાર $dq$ છે:
$dq = \sigma (2 \pi r) dr$
પરિભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર $dq$ સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $di$ છે:
$di = \frac{dq}{T} = \frac{dq \omega}{2 \pi} \quad (\because T = \frac{2 \pi}{\omega})$
$di$ ના સમીકરણમાં $dq$ ની કિંમત મૂકતા:
$di = \frac{(\sigma 2 \pi r dr) \omega}{2 \pi} = \sigma \omega r dr$
આ પ્રવાહધારિત રીંગને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB$ છે:
$dB = \frac{\mu_0 di}{2r} = \frac{\mu_0 (\sigma \omega r dr)}{2r} = \frac{\mu_0 \sigma \omega}{2} dr$
કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{net}}$ શોધવા માટે,$r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરતા:
$B_{\text{net}} = \int_0^R \frac{\mu_0 \sigma \omega}{2} dr = \frac{\mu_0 \sigma \omega}{2} [r]_0^R = \frac{\mu_0 \sigma \omega R}{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે:
લાંબા તારમાં વહેતો પ્રવાહ,$I = 18 \,A$.
સોલેનોઇડને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B_1 = 8.0 \times 10^{-3} \,T$ (અક્ષની દિશામાં).
અક્ષથી બિંદુ $P$ નું અંતર,$r = 0.6 \,mm = 0.6 \times 10^{-3} \,m$.
લાંબા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 18}{0.6 \times 10^{-3}} = \frac{36 \times 10^{-7}}{0.6 \times 10^{-3}} = 60 \times 10^{-4} \,T = 6 \times 10^{-3} \,T$.
સોલેનોઇડને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ અક્ષની દિશામાં છે અને તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ તારની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળને સ્પર્શકની દિશામાં છે. આમ,$B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$:
$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(8 \times 10^{-3})^2 + (6 \times 10^{-3})^2} \,T$
$B = \sqrt{64 \times 10^{-6} + 36 \times 10^{-6}} \,T = \sqrt{100 \times 10^{-6}} \,T = 10 \times 10^{-3} \,T$.

(C) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \times 10^{-5} \,T$, અંતર $r = 0.2 \,m$, અને શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$.
લાંબા સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi} \cdot \frac{I}{r}$
આપેલ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$5 \times 10^{-5} = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi} \times \frac{I}{0.2}$
$5 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{-7} \times \frac{I}{0.2}$
$5 \times 10^{-5} = 10^{-6} \times I$
$I = \frac{5 \times 10^{-5}}{10^{-6}} = 5 \times 10^1 = 50 \,A$
તેથી, તારમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $50 \,A$ છે.

(D) આપેલ છે: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, H/m$, અંતર $d = 20 \, cm = 0.2 \, m$, અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 4 \sqrt{2} \, A$.
અર્ધ-અનંત તાર માટે, એક છેડાથી લંબ અંતર $d$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $1$ માટે, બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} = 10^{-7} \times \frac{4 \sqrt{2}}{0.2} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-6} \, T$ છે.
તાર $2$ માટે, બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} = 10^{-7} \times \frac{4 \sqrt{2}}{0.2} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-6} \, T$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ એકબીજાને લંબ હોવાથી, બિંદુ $P$ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$:
$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(2 \sqrt{2} \times 10^{-6})^2 + (2 \sqrt{2} \times 10^{-6})^2}$
$B = \sqrt{8 \times 10^{-12} + 8 \times 10^{-12}} = \sqrt{16 \times 10^{-12}} = 4 \times 10^{-6} \, T = 4 \, \mu T$.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ફરતી ધાતુની તકતીને કારણે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $emf$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$e = \frac{1}{2} B \omega a^2$
જ્યાં $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે અને $a$ એ તકતીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ કિંમતો:
ત્રિજ્યા $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$
કોણીય ઝડપ $\omega = 200 \ rad \ s^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 5 \ mT = 5 \times 10^{-3} \ T$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-3} \ T) \times (200 \ rad \ s^{-1}) \times (0.1 \ m)^2$
$e = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-3} \times 200 \times 0.01$
$e = 0.5 \times 10^{-3} \times 10 = 5 \times 10^{-3} \ V = 5 \ mV$
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $5 \ mV$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ચુંબકીય કો-લેટિટ્યુડ $\theta$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta}$
ચુંબકીય ધ્રુવો પર,$\theta = 0^{\circ}$,તેથી $B_p = \frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} \sqrt{1 + 3 \cos^2 0^{\circ}} = 2 \left( \frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} \right)$.
આપેલ છે કે $B_p = \sqrt{10} \times 10^{-5} \text{ T}$,તેથી $\frac{\mu_0 M}{4\pi r^3} = \frac{\sqrt{10}}{2} \times 10^{-5} \text{ T}$.
હવે,આપેલ બિંદુ માટે,$B = 5 \times 10^{-5} \text{ T}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 \times 10^{-5} = \frac{\sqrt{10}}{2} \times 10^{-5} \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta}$
$10 = \sqrt{10} \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$100 = 10 (1 + 3 \cos^2 \theta)$
$10 = 1 + 3 \cos^2 \theta$
$9 = 3 \cos^2 \theta$
$\cos^2 \theta = 3$
આ ગણતરી દર્શાવે છે કે આપેલ મૂલ્યોમાં વિસંગતતા છે. જોકે,પ્રમાણિત ડાયપોલ મોડેલ મુજબ,વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $60^{\circ}$ છે.

(A) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ એ ઋણ રાશિ છે,$(\chi < 0)$,જ્યારે પેરામેગ્નેટિક અને ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોની સસેપ્ટિબિલિટી ધન $(\chi > 0)$ હોય છે. તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો ક્યુરીના નિયમનું પાલન કરે છે,જે જણાવે છે કે સસેપ્ટિબિલિટી નિરપેક્ષ તાપમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો નાના પ્રદેશોના બનેલા હોય છે જેને મેગ્નેટિક ડોમેન્સ કહેવામાં આવે છે,જેમાંના દરેક લગભગ $10^{17}$ પરમાણુઓ ધરાવે છે,જે કાયમી મેગ્નેટિક ડાયપોલ તરીકે કાર્ય કરે છે.
નરમ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોમાં રીટેન્ટિવિટી ઓછી હોય છે,એટલે કે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર દૂર કરવાથી તેમનું મેગ્નેટાઇઝેશન સરળતાથી અદ્રશ્ય થઈ જાય છે.
આમ,આપેલ વિધાનોમાંથી વિધાન $(A)$ ખોટું છે.

(D) આપેલ છે: ટોર્ક $\tau = 0.016 \ Nm$,ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$,અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.04 \ T$.
ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = mB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.016 = m \times 0.04 \times \sin 30^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $0.016 = m \times 0.04 \times 0.5 = m \times 0.02$.
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = \frac{0.016}{0.02} = 0.8 \ Am^2$.
સોલેનોઇડ માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = NIA$ છે.
આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 1 \ cm^2 = 10^{-4} \ m^2$ અને આંટાની સંખ્યા $N = 1000$.
ચુંબકીય મોમેન્ટને સરખાવતા: $0.8 = 1000 \times I \times 10^{-4}$.
$0.8 = 0.1 \times I$.
તેથી,પ્રવાહ $I = \frac{0.8}{0.1} = 8 \ A$.

(C) આલ્બર્ટ આઈન્સ્ટાઈન તેમના વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત અને સામાન્ય સાપેક્ષતાના કાર્ય માટે ખૂબ જાણીતા છે. જોકે,તેમને $1921$ માં ભૌતિકશાસ્ત્રમાં નોબેલ પુરસ્કાર ખાસ કરીને ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના નિયમની શોધ માટે આપવામાં આવ્યો હતો.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_T$ અને રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_R$ વચ્ચેના મહત્તમ લાઇન-ઓફ-સાઇટ અંતર $d$ માટેનું સૂત્ર $d = \sqrt{2Rh_T} + \sqrt{2Rh_R}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $h_T = 45 \ m = 0.045 \ km$,$d = 40 \ km$,અને $R = 6400 \ km$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$40 = \sqrt{2 \times 6400 \times 0.045} + \sqrt{2 \times 6400 \times h_R}$
$40 = \sqrt{12800 \times 0.045} + \sqrt{12800 \times h_R}$
$40 = \sqrt{576} + \sqrt{12800 \times h_R}$
$40 = 24 + \sqrt{12800 \times h_R}$
$16 = \sqrt{12800 \times h_R}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$256 = 12800 \times h_R$
$h_R = \frac{256}{12800} \ km = 0.02 \ km$
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $h_R = 0.02 \times 1000 \ m = 20 \ m$.

(A) ધારો કે બંને રેડિયોએક્ટિવ તત્વો $A$ અને $B$ નું પ્રારંભિક દળ $M_0$ છે. તેમના પરમાણુ ભાર સમાન હોવાથી,પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $(N_0)_A = (N_0)_B = N_0$ થશે.
તત્વ $A$ માટે,$t$ સમય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N_A = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10} = \frac{1}{e}$ છે.
તત્વ $B$ માટે,$t$ સમય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N_B = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 1$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{N_A}{N_B} = \frac{1/e}{1} = \frac{N_0 (1/2)^{t/10}}{N_0 (1/2)^{t/20}}$
$\frac{1}{e} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10 - t/20} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln(e^{-1}) = \frac{t}{20} \ln(1/2)$
$-1 = \frac{t}{20} (-\ln 2)$
$1 = \frac{t}{20} (0.7)$
$t = \frac{20}{0.7} = \frac{200}{7} \ yrs$.

(D) ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જા એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા અને ઉત્તેજન ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E_{\text{excited}} = E_{\text{ground}} + E_{\text{excitation}} = 10.5 \text{ eV} + 7.7 \text{ eV} = 18.2 \text{ eV}$.
આ સંક્રમણમાં સામેલ ઉચ્ચ ઉર્જા સ્તર $(E_1)$ દર્શાવે છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = 4960 \mathring A = 496 \text{ nm}$ ને અનુરૂપ ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$E_{\text{photon}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \text{ eV nm}}{496 \text{ nm}} = 2.5 \text{ eV}$.
ફોટોન ઉચ્ચ સ્તર $(E_1)$ થી નીચલા સ્તર $(E_2)$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત થાય છે,તેથી:
$E_{\text{photon}} = E_1 - E_2$
$2.5 \text{ eV} = 18.2 \text{ eV} - E_2$
$E_2 = 18.2 \text{ eV} - 2.5 \text{ eV} = 15.7 \text{ eV}$.
આમ,બે સ્તરોની ઉર્જા $18.2 \text{ eV}$ અને $15.7 \text{ eV}$ છે.

(B) ક્ષય પ્રક્રિયા માટે ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સમાંતર ક્ષય પ્રક્રિયાઓ માટે,અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય છે.
અહીં $T_1 = 0.7 \ hr$ અને $T_2 = 0.3 \ hr$ આપેલ છે,અને $\ln 2 = 0.7$ છે.
તેથી $\lambda_1 = \frac{0.7}{0.7} = 1 \ hr^{-1}$ અને $\lambda_2 = \frac{0.7}{0.3} = \frac{7}{3} \ hr^{-1}$.
અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\text{eff}} = 1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3} \ hr^{-1}$.
અસરકારક સરેરાશ આયુષ્ય $\tau_{\text{eff}}$ એ અસરકારક ક્ષય અચળાંકનો વ્યસ્ત છે:
$\tau_{\text{eff}} = \frac{1}{\lambda_{\text{eff}}} = \frac{1}{10/3} = 0.3 \ hr$.
મિનિટમાં રૂપાંતર કરતા: $\tau_{\text{eff}} = 0.3 \times 60 \ min = 18 \ min$.

(A) આપેલ છે,અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = 693 \ s$. ગતિઊર્જા $K = 0.084 \ eV = 0.084 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ નો ઉપયોગ કરતા,વેગ $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 0.084 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.68 \times 10^{-27}}} = \sqrt{0.16 \times 10^8} = 0.4 \times 10^4 \ m/s$.
$d = 1000 \ m$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v} = \frac{1000}{0.4 \times 10^4} = 0.25 \ s$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ $N = N_0 e^{-\lambda t}$ મુજબ,ક્ષય પામતો અંશ $\frac{N_0 - N}{N_0} = 1 - e^{-\lambda t}$ છે.
કારણ કે $\lambda t = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \times t$ ખૂબ નાનું છે,તેથી $1 - e^{-\lambda t} \approx \lambda t = \frac{\ln 2 \times t}{t_{1/2}}$.
ક્ષય પામતો અંશ $= \frac{0.693 \times 0.25}{693} = 0.25 \times 10^{-3} \times 10^{-2} = 0.25 \times 10^{-5}$.

(B) આપેલ ક્ષય અચળાંકો $\lambda_1 = 6\lambda$ અને $\lambda_2 = \lambda$ છે.
$R_2$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})_2 = 1.4 \times 10^{17} \,s$ છે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_1$ માટે: $N_1 = N_0 e^{-\lambda_1 t} = N_0 e^{-6\lambda t}$.
$R_2$ માટે: $N_2 = N_0 e^{-\lambda_2 t} = N_0 e^{-\lambda t}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{N_2}{N_1} = e$ છે.
$\frac{N_0 e^{-\lambda t}}{N_0 e^{-6\lambda t}} = e$.
$e^{-\lambda t + 6\lambda t} = e^1$.
$e^{5\lambda t} = e^1$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $5\lambda t = 1$, તેથી $t = \frac{1}{5\lambda}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\lambda = \frac{\ln 2}{(t_{1/2})_2} = \frac{0.7}{1.4 \times 10^{17}} = 0.5 \times 10^{-17} \,s^{-1}$.
$t$ ના સમીકરણમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$t = \frac{1}{5 \times 0.5 \times 10^{-17}} = \frac{1}{2.5 \times 10^{-17}} = 0.4 \times 10^{17} \,s = 4 \times 10^{16} \,s$.

(A) ગોલીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
અહીં,પ્રકાશ કાચ $(\mu_1 = 1.6)$ માંથી હવા $(\mu_2 = 1)$ માં જાય છે.
પ્રતિબિંબ $v = -5 \,mm$ પર રચાય છે (કારણ કે તે આભાસી પ્રતિબિંબ છે જે પ્રકાશની દિશાની સાપેક્ષમાં પદાર્થની બાજુએ જ રચાય છે).
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -3 \,mm$ (ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ,કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર સપાટીની ડાબી બાજુએ છે).
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{-5} - \frac{1.6}{u} = \frac{1 - 1.6}{-3}$
$-0.2 - \frac{1.6}{u} = \frac{-0.6}{-3}$
$-0.2 - \frac{1.6}{u} = 0.2$
$-\frac{1.6}{u} = 0.4$
$u = -\frac{1.6}{0.4} = -4 \,mm$
તેથી,સપાટીથી પદાર્થનું અંતર $4 \,mm$ છે.

(B) આપેલ છે: લેન્સ $A$ ની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 2 \,cm$. લેન્સ $B$ ની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = 5 \,cm$. લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $d = 14 \,cm$. લેન્સ $A$ માટે વસ્તુ અંતર $u_1 = -3 \,cm$.
લેન્સ $A$ માટે, લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-3} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
$v_1 = 6 \,cm$.
લેન્સ $A$ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ લેન્સ $B$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ $B$ થી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $u_2 = -(d - v_1) = -(14 - 6) = -8 \,cm$ છે.
લેન્સ $B$ માટે, લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-8} = \frac{1}{5}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{5} - \frac{1}{8} = \frac{8 - 5}{40} = \frac{3}{40}$
$v_2 = \frac{40}{3} \,cm$.
લેન્સ $A$ થી અંતિમ પ્રતિબિંબનું અંતર એ લેન્સ વચ્ચેનું અંતર અને લેન્સ $B$ થી પ્રતિબિંબનું અંતરનો સરવાળો છે:
અંતર $= d + v_2 = 14 + \frac{40}{3} = \frac{42 + 40}{3} = \frac{82}{3} \,cm$.

(C) આપેલ છે, વસ્તુ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર, $u = -7 \,cm$.
વક્રતા ત્રિજ્યા, $R = -12 \,cm$.
તેથી, કેન્દ્રલંબાઈ, $f = \frac{R}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \,cm$.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{-7} = \frac{1}{-6}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{7} - \frac{1}{6} = \frac{6 - 7}{42} = -\frac{1}{42}$
$v = -42 \,cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ અરીસાની ડાબી બાજુએ $42 \,cm$ અંતરે રચાય છે.

(A) ટેલિસ્કોપની રિઝોલ્યુશનની મર્યાદાનું સૂત્ર: $\alpha = \frac{1.22 \lambda}{a}$ છે, જ્યાં $\alpha$ એ કોણીય રિઝોલ્યુશન છે, $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ કિંમતો: $\alpha = 2.5 \times 10^{-7} \text{ rad}$ અને $\lambda = 500 \text{ nm} = 500 \times 10^{-9} \text{ m}$.
$a$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $a = \frac{1.22 \lambda}{\alpha}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{1.22 \times 500 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-7}}$.
$a = \frac{610 \times 10^{-9}}{2.5 \times 10^{-7}} = 244 \times 10^{-2} \text{ m} = 2.44 \text{ m}$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $2.44 \text{ m} = 244 \text{ cm}$.
આમ, ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ $244 \text{ cm}$ છે.

(C) વોલ્ટેજ રેગ્યુલેટર તરીકે ઝેનર ડાયોડની સર્કિટ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આપેલ છે: સપ્લાય વોલ્ટેજ $V_s = 16 \, V$, ઝેનર વોલ્ટેજ $V_Z = 10 \, V$, ઝેનર કરંટ $I_Z = 5 I_L$, અને લોડ અવરોધ $R_L = 2 \, k\Omega = 2000 \, \Omega$.
લોડ અવરોધમાંથી પસાર થતો કરંટ:
$I_L = \frac{V_Z}{R_L} = \frac{10 \, V}{2000 \, \Omega} = 5 \times 10^{-3} \, A = 5 \, mA$.
શ્રેણી અવરોધમાંથી પસાર થતો કુલ કરંટ:
$I = I_Z + I_L = 5 I_L + I_L = 6 I_L$.
$I = 6 \times (5 \, mA) = 30 \, mA = 3 \times 10^{-2} \, A$.
શ્રેણી અવરોધ $R_S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_S = \frac{V_S - V_Z}{I} = \frac{16 \, V - 10 \, V}{3 \times 10^{-2} \, A} = \frac{6 \, V}{0.03 \, A} = 200 \, \Omega$.
આમ, ઝેનર ડાયોડ માટે શ્રેણી અવરોધ $200 \, \Omega$ છે।

(B) આપેલ સર્કિટમાં, ડાયોડ એવી રીતે જોડાયેલા છે કે તેમના કેથોડ બિંદુ $Q$ પર એકસાથે જોડાયેલા છે, જે અવરોધ $R$ દ્વારા $+5 \,V$ સપ્લાય સાથે જોડાયેલ છે。
$1$. જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $0 \,V$ (લો) પર હોય, તો બંને ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસમાં હોય છે। $Q$ પરનો પોટેન્શિયલ ઘટીને આશરે $0 \,V$ (લો) થઈ જાય છે。
$2$. જો એક ઇનપુટ $0 \,V$ પર અને બીજું $+5 \,V$ પર હોય, તો $0 \,V$ સાથે જોડાયેલ ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસમાં હોય છે, જે $Q$ ના પોટેન્શિયલને ખેંચીને આશરે $0 \,V$ (લો) પર લાવે છે。
$3$. જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ $+5 \,V$ (હાઈ) પર હોય, તો બંને ડાયોડ રિવર્સ-બાયસમાં હોય છે। ડાયોડમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી, અને અવરોધ $R$ દ્વારા સપ્લાયને કારણે $Q$ પરનો પોટેન્શિયલ $+5 \,V$ (હાઈ) પર રહે છે。
આમ, આઉટપુટ $Q$ ત્યારે જ હાઈ હોય છે જ્યારે બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ હાઈ હોય, તેથી આ સર્કિટ $AND$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે।

(C) આપેલ છે: લોડ અવરોધ $R_L = 3 k\Omega = 3000 \Omega$.
ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_i = 30 mV = 30 \times 10^{-3} V$.
બેઝ કરંટમાં ફેરફાર $\Delta I_B = 30 \mu A = 30 \times 10^{-6} A = 3 \times 10^{-5} A$.
કલેક્ટર કરંટમાં ફેરફાર $\Delta I_C = 3 mA = 3 \times 10^{-3} A$.
સૌ પ્રથમ, કરંટ ગેઇન $\beta$ ની ગણતરી કરો:
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} = \frac{3 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-5}} = 100$.
ત્યારબાદ, ઇનપુટ અવરોધ $R_{in}$ ની ગણતરી કરો:
$R_{in} = \frac{V_i}{\Delta I_B} = \frac{30 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-6}} = 1000 \Omega$.
પાવર ગેઇન $A_P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A_P = \beta^2 \times \frac{R_L}{R_{in}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$A_P = (100)^2 \times \frac{3000}{1000} = 10000 \times 3 = 30000$.
આમ, પાવર ગેઇન $30000$ છે.

(B) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં $NOR$ ગેટના ઇનપુટ પર બે $NOT$ ગેટ અને આઉટપુટ પર એક બીજો $NOT$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ મળે છે.
આ ઇનપુટ $NOR$ ગેટમાં જાય છે,તેથી મધ્યવર્તી આઉટપુટ $Y_1 = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$ મળે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
અંતે,આ આઉટપુટ $Y_1$ બીજા એક $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \bar{Y_1} = \overline{A \cdot B}$ મળે.
બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.
આમ,આપેલ સર્કિટનું ટ્રુથ ટેબલ $NAND$ ગેટ જેવું જ છે.

(A) $t$ સમયે બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ ને $\tau = 1/\lambda$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$t = \tau$ સમયે,બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(\tau) = N_0 e^{-\lambda(1/\lambda)} = N_0 e^{-1} \approx N_0 / 2.718 \approx 0.368 N_0$ છે.
ક્ષય પામેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_{decayed} = N_0 - N(\tau) = N_0 - 0.368 N_0 = 0.632 N_0$ છે.
કારણ કે $0.632 N_0 > 0.5 N_0$,તેથી એક સરેરાશ આયુષ્યમાં અડધા કરતાં વધુ સક્રિય ન્યુક્લિયસનું ક્ષય થાય છે.

(D) આપેલ ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
- જ્યારે ઇનપુટ $A=0, B=0$ હોય, ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે ઇનપુટ $A=0, B=1$ હોય, ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે ઇનપુટ $A=1, B=0$ હોય, ત્યારે આઉટપુટ $Y=1$ મળે છે.
- જ્યારે ઇનપુટ $A=1, B=1$ હોય, ત્યારે આઉટપુટ $Y=0$ મળે છે.
આ વર્તણૂક બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ ને અનુરૂપ છે.
આ $NAND$ ગેટનું લાક્ષણિક ટ્રુથ ટેબલ છે, જેમાં આઉટપુટ માત્ર ત્યારે જ લો $(0)$ મળે છે જ્યારે બંને ઇનપુટ હાઈ $(1)$ હોય.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સર્કિટનું વિધેયાત્મક સ્વરૂપ નક્કી કરવા માટે,આપણે ઇનપુટ $(A, B, C)$ અને આઉટપુટ $(Y)$ વચ્ચેના સંબંધનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
ટ્રુથ ટેબલ જોતા:
- જ્યારે $B = 0$ હોય,ત્યારે $A$ અને $C$ ના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લીધા વગર આઉટપુટ $Y = 1$ મળે છે.
- જ્યારે $B = 1$ હોય,ત્યારે $A$ અને $C$ ના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લીધા વગર આઉટપુટ $Y = 0$ મળે છે.
આ વર્તણૂક દર્શાવે છે કે આઉટપુટ $Y$ એ ઇનપુટ $A$ અને $C$ થી સ્વતંત્ર છે અને માત્ર ઇનપુટ $B$ પર આધાર રાખે છે. ખાસ કરીને,$Y$ એ $B$ નું લોજિકલ $NOT$ છે.
તેથી,સર્કિટનું વિધેયાત્મક સ્વરૂપ $Y = \bar{B}$ છે.

(D) આપેલ છે:
$(i)$ સાઈન વેવ,$50 \ Hz, 2 \ V$ અને સ્ક્વેર વેવ,$100 \ Hz, 6 \ V$.
$(ii)$ સાઈન વેવ,$100 \ Hz, 8 \ V$ અને સ્ક્વેર વેવ,$100 \ Hz, 6 \ V$.
$AND$ ગેટ ત્યારે જ હાઈ આઉટપુટ (લોજિક $1$) આપે છે જ્યારે બંને ઈનપુટ લોજિક $1$ પર હોય (એટલે કે વોલ્ટેજ $\ge 5 \ V$).
આકૃતિ $(i)$ માં,બંને ઈનપુટ તરંગોની આવૃત્તિ અલગ-અલગ ($50 \ Hz$ અને $100 \ Hz$) છે. આવૃત્તિઓ સમાન ન હોવાથી,સ્થિર આઉટપુટ મેળવવા માટે ઈનપુટ સમાન કળામાં રહેશે નહીં,પરિણામે $E$ પર કોઈ અર્થપૂર્ણ આઉટપુટ મળશે નહીં.
આકૃતિ $(ii)$ માં,બંને તરંગોની આવૃત્તિ $100 \ Hz$ સમાન છે. તેઓ સમાન કળામાં છે અને બંને $5 \ V$ ની મર્યાદા કરતા વધારે છે,તેથી $AND$ ગેટ આ સિગ્નલો પર પ્રક્રિયા કરશે,જેના પરિણામે $F$ પર $100 \ Hz$ ની આવૃત્તિ વાળું પલ્સ વેવ આઉટપુટ મળશે.

(B) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ,બે $AND$ ગેટ અને એક $OR$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે. આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $Y = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$. આ $XOR$ ગેટ માટેનું સમીકરણ છે. ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચું ટ્રુથ ટેબલ દર્શાવે છે.

(A) $Si$ નો એનર્જી બેન્ડ ગેપ આશરે $1.14 \ eV$ છે અને $GaAs$ માટે તે $1.42 \ eV$ છે.
સોલર સેલ સૌર વર્ણપટમાંથી ફોટોન શોષવા માટે બનાવવામાં આવે છે. સૌર વિકિરણ વર્ણપટમાં $1.5 \ eV$ થી $2.0 \ eV$ ની આસપાસ મહત્તમ તીવ્રતા હોય છે.
કાર્યક્ષમ સોલર સેલ બનવા માટે,પદાર્થનો બેન્ડ ગેપ મહત્તમ સૌર વિકિરણની ઉર્જા શ્રેણી (સામાન્ય રીતે $1.0 \ eV$ થી $1.8 \ eV$) ની નજીક હોવો જોઈએ.
$Si$ $(1.14 \ eV)$ અને $GaAs$ $(1.42 \ eV)$ ના બેન્ડ ગેપ આ શ્રેણીમાં આવતા હોવાથી,તેઓ પસંદગીના પદાર્થો છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે બેન્ડ ગેપ મહત્તમ સૌર વિકિરણના ઉર્જા સ્તર કરતા 'ઘણા નીચે' છે,જે ખોટું છે કારણ કે તે વાસ્તવમાં શ્રેષ્ઠ શ્રેણીની ખૂબ નજીક છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે,પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(B) શરૂઆતમાં,બે પોલરાઇઝર $P_1$ અને $P_2$ એકબીજાને લંબ (cross) રાખવામાં આવ્યા છે,એટલે કે તેમની પાસ-એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,જે પ્રકાશને સંપૂર્ણપણે અવરોધે છે.
જ્યારે $I_0$ તીવ્રતાનો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરાઇઝર $P_1$ માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1 = \frac{I_0}{2}$ થાય છે.
ત્રીજું પોલરાઇઝર $P_3$ ને $P_1$ અને $P_2$ ની વચ્ચે $P_1$ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે $(\theta_1 = 60^{\circ})$ મૂકવામાં આવે છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,$P_3$ માંથી બહાર આવતી તીવ્રતા $I_3 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_0}{8}$ થાય છે.
હવે,$P_3$ અને $P_2$ ની પાસ-એક્સિસ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
તેથી,$P_2$ માંથી બહાર આવતી અંતિમ તીવ્રતા $I_f = I_3 \cos^2(30^{\circ}) = \frac{I_0}{8} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{I_0}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{32} I_0$ થાય છે.

(C) આપેલ પ્રકાશ આંશિક રીતે ધ્રુવીભૂત છે. મુખ્ય અક્ષો પરની તીવ્રતા $I_y = I_0$ અને $I_x = \frac{2I_0}{3}$ છે.
જ્યારે પોલરોઇડને તેની પાસ એક્સિસ $y$-અક્ષ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે પસાર થતી તીવ્રતા $I$ એ પાસ એક્સિસની દિશામાં તીવ્રતાના ઘટકોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$I = I_y \cos^2(45^{\circ}) + I_x \cos^2(45^{\circ})$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{2I_0}{3} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = I_0 \cdot \frac{1}{2} + \frac{2I_0}{3} \cdot \frac{1}{2}$
$I = \frac{I_0}{2} + \frac{I_0}{3} = \frac{3I_0 + 2I_0}{6} = \frac{5I_0}{6}$

(B) આકૃતિ પરથી,વસ્તુ $O$ લેન્સ $A$ થી $30 \ cm$ અંતરે છે. લેન્સ $B$ એ લેન્સ $A$ થી $5 \ cm$ અંતરે છે,અને લેન્સ $C$ એ લેન્સ $B$ થી $10 \ cm$ અંતરે છે.
લેન્સ $A$ માટે: $u_A = -30 \ cm, f_A = +10 \ cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{v_A} - \frac{1}{u_A} = \frac{1}{f_A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_A} - \frac{1}{-30} = \frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{v_A} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \Rightarrow v_A = 15 \ cm$.
લેન્સ $A$ દ્વારા બનતું પ્રતિબિંબ લેન્સ $B$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે. લેન્સ $B$ થી આ પ્રતિબિંબનું અંતર $u_B = +(v_A - 5) = +(15 - 5) = +10 \ cm$ છે.
લેન્સ $B$ માટે: $u_B = +10 \ cm, f_B = -10 \ cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_B} - \frac{1}{10} = \frac{1}{-10} \Rightarrow \frac{1}{v_B} = 0 \Rightarrow v_B = \infty$.
લેન્સ $B$ માંથી બહાર આવતા કિરણો સમાંતર છે,તેથી તે લેન્સ $C$ માટે અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
લેન્સ $C$ માટે: $u_C = \infty, f_C = +30 \ cm$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_C} - \frac{1}{\infty} = \frac{1}{30} \Rightarrow v_C = 30 \ cm$.
અંતિમ પ્રતિબિંબ લેન્સ $C$ થી $30 \ cm$ અંતરે રચાય છે. વસ્તુથી લેન્સ $C$ નું કુલ અંતર $30 + 5 + 10 = 45 \ cm$ છે. અંતિમ પ્રતિબિંબ લેન્સ $C$ થી $30 \ cm$ અંતરે હોવાથી,વસ્તુથી તેનું અંતર $45 + 30 = 75 \ cm$ થશે.

(B) ધારો કે $\lambda_1 = 400 \text{ nm}$ તરંગલંબાઇની $m$-મી પ્રકાશિત શલાકા અને $\lambda_2 = 600 \text{ nm}$ તરંગલંબાઇની $n$-મી પ્રકાશિત શલાકા પડદા પરના બિંદુ $P$ પર સંપાત થાય છે.
પ્રકાશિત શલાકા માટે,મધ્યસ્થ અધિકતમથી અંતર $y = \frac{k \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ શલાકાનો ક્રમ છે.
બંને બિંદુ $P$ પર સંપાત થતા હોવાથી,$y_m = y_n$ થાય.
$\frac{m \lambda_1 D}{d} = \frac{n \lambda_2 D}{d}$
$\frac{m}{n} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{m}{n} = \frac{600 \text{ nm}}{400 \text{ nm}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
આમ,$m$ અને $n$ ના ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક મૂલ્યો $m = 3$ અને $n = 2$ છે.

(C) આપેલ છે,$\lambda_1 = 8 \times 10^{-5} \ cm$ અને $\lambda_2 = 6 \times 10^{-5} \ cm$.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઈ માટે $n_1$ મી અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x_{n_1} = (2n_1 - 1) \frac{D \lambda_1}{2d}$ છે.
$\lambda_2$ તરંગલંબાઈ માટે $n_2$ મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $x_{n_2} = \frac{n_2 D \lambda_2}{d}$ છે.
બંને શલાકાઓ સંપાત થતી હોવાથી,$x_{n_1} = x_{n_2}$:
$(2n_1 - 1) \frac{D \lambda_1}{2d} = \frac{n_2 D \lambda_2}{d}$
$\frac{2n_1 - 1}{n_2} = \frac{2 \lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2 \times 6 \times 10^{-5}}{8 \times 10^{-5}} = \frac{3}{2}$
આથી,$2(2n_1 - 1) = 3n_2$ એટલે કે $4n_1 - 2 = 3n_2$.
આ સમીકરણ $n_1=2, n_2=2$ માટે સંતોષાય છે.