TS EAMCET 2019 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A)
આપેલ છે: દળ $m = 2 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = (20 \hat{i} + 24 \hat{j}) \,m/s$.
$t$ સમયે વેગનો શિરોલંબ ઘટક:
$v_y = u_y - gt$
$t = 8 \,s$ સમયે,
$v_y = 24 - (10 \times 8) = 24 - 80 = -56 \,m/s$
સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે:
$v_x = 20 \,m/s$
અતએ, અંતિમ વેગ:
$\vec{v} = (20 \hat{i} - 56 \hat{j}) \,m/s$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta PE$ એ ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta KE$ ના ઋણ મૂલ્ય જેટલો હોય છે:
$\Delta PE = -\Delta KE = KE_i - KE_f$
$\Delta PE = \frac{1}{2} m (u^2 - v^2)
= \frac{1}{2} \times 2 \times [(20^2 + 24^2) - (20^2 + (-56)^2)]$
$\Delta PE = (400 + 576) - (400 + 3136)
= 976 - 3536 = -2560 \,J$
કિલોજૂલમાં ફેરવતા:
$\Delta PE = -2.56 \,kJ$

(D) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, અથડામણ પહેલાંનું કુલ વેગમાન $=$ અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન.
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
અહીં, બોક્સનું દળ $m_1 = m_2 = 3 \,kg$, ગતિ કરતા બોક્સની ઝડપ $u_1 = 4 \,m/s$ અને બીજા બોક્સની પ્રારંભિક ઝડપ $u_2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3 \times 4 + 3 \times 0 = (3 + 3) v$
$12 = 6v \Rightarrow v = 2 \,m/s$
આમ, બંને પદાર્થો અથડામણ પછી $2 \,m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
હવે, ટેબલની ધારથી જમીન સુધી ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$Total Energy_{initial} = Total Energy_{final}$
$KE_{initial} + PE_{initial} = KE_{final} + PE_{final}$
જમીનને સંદર્ભ સપાટી $(h=0)$ લેતા:
$\frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + (m_1 + m_2) g h = KE_{final} + 0$
$\frac{1}{2} \times (3 + 3) \times (2)^2 + (3 + 3) \times 10 \times 1 = KE_{final}$
$\frac{1}{2} \times 6 \times 4 + 6 \times 10 = KE_{final}$
$12 + 60 = 72 \,J$
તેથી, બોક્સ જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં તેમની ગતિઊર્જા $72 \,J$ હશે.

(D) આપેલ છે:
ગોળીનું દળ $m = 1 \ kg$
પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \ m \ s^{-1}$
અવરોધક બળ $F = -0.5/x$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta KE = K_f - K_i$
ગોળી અટકી જાય છે,તેથી $K_f = 0$,એટલે કે $W = -K_i = -\frac{1}{2} m u^2$
$W = -\frac{1}{2} \times 1 \times (2)^2 = -2 \ J$
વળી,$W = \int_{x_1}^{x_2} F \ dx = \int_{10-L/2}^{10+L/2} -\frac{0.5}{x} \ dx$
$-0.5 [\ln(x)]_{10-L/2}^{10+L/2} = -2$
$\ln \left( \frac{10+L/2}{10-L/2} \right) = \frac{-2}{-0.5} = 4$
$\frac{10+L/2}{10-L/2} = e^4 = 55$
$10 + L/2 = 55(10 - L/2)$
$10 + L/2 = 550 - 27.5L$
$28L = 540$
$L = 540 / 28 \approx 19.28 \ m$
$1$ દશાંશ અંક સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,$L = 19.3 \ m$.

(C) ધારો કે સ્પ્રિંગનું સંકોચન $x$ (મીટરમાં) છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલી કુલ સ્થિતિ ઉર્જા એ સ્પ્રિંગ દ્વારા મેળવેલી સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલી કુલ ઊંચાઈ $(h + x)$ છે,જ્યાં $h = 1.2 \ m$.
તેથી,$mg(h + x) = \frac{1}{2} kx^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10 \times (1.2 + x) = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^4) \times x^2$.
$20(1.2 + x) = 10^4 x^2$.
$24 + 20x = 10000x^2$.
$10000x^2 - 20x - 24 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $2500x^2 - 5x - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2500)(-6)}}{2(2500)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 60000}}{5000} = \frac{5 \pm \sqrt{60025}}{5000} = \frac{5 \pm 245}{5000}$.
$x > 0$ હોવાથી,$x = \frac{250}{5000} = 0.05 \ m$.
$mm$ માં ફેરવતા: $0.05 \ m = 50 \ mm$.

(A) આપેલ છે,સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = \alpha x^2$.
સ્પર્શક બળ $F = m a_t = m \alpha x^2$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta K$.
ધારો કે કણ $x = 0$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તો $K = \int_0^x F dx$.
$K = \int_0^x (m \alpha x^2) dx$.
$K = m \alpha \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^x = \frac{m \alpha}{3} x^3$.
આને આપેલ સમીકરણ $K = \beta x^c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\beta = \frac{m \alpha}{3}$ અને $c = 3$ મળે છે.

(B) ધારો કે છોકરા $A$ માટે સમયગાળો $t_A = 2 \ s$ અને છોકરા $B$ માટે સમયગાળો $t_B = 1 \ s$ છે.
શિરોલંબ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે,$h$ ઊંચાઈએ આવેલા બિંદુથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t/2$ છે.
$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ ઊંચાઈએ $v = 0$ હોવાથી,$u = g(t/2)$ મળે.
જમીનથી બિંદુની ઊંચાઈ $h = u(t/2) - 1/2 g(t/2)^2 = g(t/2)^2 - 1/2 g(t/2)^2 = 1/2 g(t/2)^2 = 1/8 g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છોકરા $A$ માટે: $h_A = 1/8 \times 10 \times (2)^2 = 5 \ m$.
છોકરા $B$ માટે: $h_B = 1/8 \times 10 \times (1)^2 = 1.25 \ m$.
શિરોલંબ સ્થાનમાં તફાવત $h_A - h_B = 5 \ m - 1.25 \ m = 3.75 \ m$ છે.

(A) સંરક્ષી બળ એવું બળ છે કે જેમાં કણને બે બિંદુઓ વચ્ચે ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય લીધેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર હોય છે.
તે માત્ર કણના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર જ આધાર રાખે છે.
ગાણિતિક રીતે,કોઈપણ બંધ માર્ગ પર સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે: ધાતુની સાંકળનું દળ $m = 2 \,kg$, કુલ લંબાઈ $l = 90 \,cm = 0.9 \,m$.
લટકતા ભાગની લંબાઈ $l' = (90 - 60) \,cm = 30 \,cm = 0.3 \,m$.
લટકતા ભાગનું દળ $m'$ તેની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે: $m' = (l'/l) \times m = (0.3 / 0.9) \times 2 = 2/3 \,kg$.
લટકતા ભાગનું ગુરુત્વકેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $l_c = l'/2 = 0.3 / 2 = 0.15 \,m$ નીચે છે.
લટકતા ભાગને ટેબલ પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = m' g l_c$.
કિંમતો મૂકતા: $W = (2/3) \times 10 \times 0.15 = 1 \,J$.