MHT CET 2025 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) बेलनाकार दीवार के अंदर क्षैतिज वृत्त में गति कर रहे मोटरसाइकिल सवार पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $(mg)$।
$2$. दीवार द्वारा केंद्र की ओर लगाया गया अभिलंब बल $(N)$,जो आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $N = \frac{mv^2}{R}$।
$3$. भार को संतुलित करने के लिए ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $(f)$: $f = mg$।
मोटरसाइकिल सवार के नीचे न फिसलने के लिए,घर्षण बल सीमांत घर्षण से कम या उसके बराबर होना चाहिए: $f \leq \mu_{s} N$।
मान रखने पर: $mg \leq \mu_{s} \left( \frac{mv^2}{R} \right)$।
$g \leq \frac{\mu_{s} v^2}{R}$।
$v^2 \geq \frac{Rg}{\mu_{s}}$।
अतः,आवश्यक न्यूनतम गति $v_{min} = \sqrt{\frac{Rg}{\mu_{s}}}$ है।

(C) जड़त्वीय निर्देश तंत्र वह तंत्र है जो या तो स्थिर होता है या स्थिर वेग से गति कर रहा होता है (शून्य त्वरण)।
विकल्प $A$ में,ट्रेन धीमी हो रही है,जिसका अर्थ है कि इसमें शून्य के अलावा त्वरण (मंदन) है।
विकल्प $B$ में,बच्चा घूम रहा है,जिसमें दिशा बदल रही है,जिसका अर्थ है कि इसमें अभिकेंद्र त्वरण है।
विकल्प $C$ में,बस स्थिर वेग से चल रही है,जिसका अर्थ है कि इसका त्वरण शून्य है। इसलिए,यह एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र है।
विकल्प $D$ में,हवाई जहाज उड़ान भर रहा है,जिसमें गति और दिशा दोनों बदल रहे हैं,जिसका अर्थ है कि इसमें शून्य के अलावा त्वरण है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \ kg$,बल $\vec{F} = (4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ N$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 0$,समय $t = 10 \ s$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}}{5} = (0.8 \hat{i} - 0.4 \hat{j} + 0.6 \hat{k}) \ m/s^2$.
गति के समीकरण $\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$ का उपयोग करते हुए:
$\vec{v} = 0 + (0.8 \hat{i} - 0.4 \hat{j} + 0.6 \hat{k}) \times 10 = (8 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) \ m/s$.
वेग का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 16 + 36} = \sqrt{116} \ m/s$.
$|\vec{v}| = \sqrt{4 \times 29} = 2 \sqrt{29} \ m/s$.

(A) माना बच्चे का द्रव्यमान $m$ है और $N$ अभिलंब बल (वजन मशीन का पाठ्यांक) है।
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ नीचे जाती है,तो गति का समीकरण $mg - N_1 = ma$ होता है।
दिया गया है $N_1 = 20 \ N$,इसलिए $mg - 20 = m(\frac{g}{3})$.
$mg - \frac{mg}{3} = 20 \implies \frac{2mg}{3} = 20 \implies mg = 30 \ N$.
जब लिफ्ट $a = \frac{g}{3}$ के त्वरण के साथ ऊपर जाती है,तो गति का समीकरण $N_2 - mg = ma$ होता है।
$N_2 = mg + ma = mg + m(\frac{g}{3}) = \frac{4mg}{3}$.
$mg = 30 \ N$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N_2 = \frac{4 \times 30}{3} = 40 \ N$ प्राप्त होता है।

(D) नियत वेग बनाए रखने के लिए आवश्यक बल निकाय के संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है।
चूंकि रेत को बेल्ट पर लंबवत गिराया जा रहा है,इसलिए इसका प्रारंभिक क्षैतिज वेग शून्य है।
जैसे ही रेत बेल्ट पर गिरती है,इसे बेल्ट की गति से मेल खाने के लिए $0$ से $V$ तक के क्षैतिज वेग तक त्वरित किया जाना चाहिए।
बेल्ट पर द्रव्यमान जोड़ने की दर $dm/dt = M$ है।
आवश्यक बल $F$ का सूत्र $F = v \cdot (dm/dt)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$F = V \cdot M = MV \text{ N}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि एक स्थिर बल $F$ द्रव्यमान $m_1$ पर कार्य करता है,तो त्वरण $A_1 = \frac{F}{m_1}$ है,जिसका अर्थ है $m_1 = \frac{F}{A_1}$।
इसी प्रकार,द्रव्यमान $m_2$ के लिए,त्वरण $A_2 = \frac{F}{m_2}$ है,जिसका अर्थ है $m_2 = \frac{F}{A_2}$।
जब वही बल $F$ संयुक्त द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ पर कार्य करता है,तो त्वरण $A = \frac{F}{m_1 + m_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$m_1$ और $m_2$ के मानों को समीकरण में रखने पर:
$A = \frac{F}{\frac{F}{A_1} + \frac{F}{A_2}}$
$A = \frac{F}{F(\frac{1}{A_1} + \frac{1}{A_2})}$
$A = \frac{1}{\frac{A_1 + A_2}{A_1 A_2}}$
$A = \frac{A_1 A_2}{A_1 + A_2}$।

(C) मशीन गन द्वारा लगाया गया बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
मान लीजिए कि प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या $n$ है।
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $m = 35 \ g = 0.035 \ kg$ है।
प्रत्येक गोली का वेग $v = 600 \ m/s$ है।
गन द्वारा लगाया गया बल $F$,सूत्र $F = n \times (m \times v)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F = 147 \ N$,$m = 0.035 \ kg$,और $v = 600 \ m/s$ दिया गया है।
मान रखने पर: $147 = n \times (0.035 \times 600)$.
$147 = n \times 21$.
$n = 147 / 21 = 7$.
अतः,प्रति सेकंड दागी जा सकने वाली गोलियों की संख्या $7$ है।

(B) मान लीजिए कि डोरी में तनाव $T$ है और निकाय का त्वरण $a$ है।
द्रव्यमान $m$ के लिए (ऊपर की ओर गति कर रहा है): $T - mg = ma$ --- $(1)$
द्रव्यमान $\frac{3}{2}m$ के लिए (नीचे की ओर गति कर रहा है): $\frac{3}{2}mg - T = \frac{3}{2}ma$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(T - mg) + (\frac{3}{2}mg - T) = ma + \frac{3}{2}ma$
$\frac{1}{2}mg = \frac{5}{2}ma$
$a = \frac{g}{5}$
अतः,द्रव्यमान $m$,$\frac{g}{5}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर जाएगा।

(A) $1$. फर्श से टकराने से ठीक पहले का वेग $(v_1)$: $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$,$h = 20 \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$. $v_1 = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \ m/s$ (नीचे की ओर,इसलिए $v_1 = -20 \ m/s$).
$2$. उछलने के ठीक बाद का वेग $(v_2)$: $v^2 = u^2 - 2gh$ का उपयोग करते हुए,जहाँ अधिकतम ऊँचाई $5 \ m$ पर $v = 0$. $0 = u^2 - 2 \times 10 \times 5 \implies u^2 = 100 \implies u = 10 \ m/s$ (ऊपर की ओर,इसलिए $v_2 = +10 \ m/s$).
$3$. वेग में परिवर्तन $(\Delta v)$: $\Delta v = v_2 - v_1 = 10 - (-20) = 30 \ m/s$.
$4$. औसत त्वरण $(a_{avg})$: $a_{avg} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{30 \ m/s}{1 \ s} = 30 \ m/s^2$.

(B) मान लीजिए कि वाहन का द्रव्यमान $m$ है,इसकी गति $v$ है और सड़क की वक्रता त्रिज्या $R$ है।
$1$. क्षैतिज सड़क के लिए,अभिलंब प्रतिक्रिया $N_h = mg$ होती है।
$2$. अवतल सड़क के लिए,वक्रता का केंद्र सड़क के ऊपर होता है। कार्य करने वाले बल $N_c$ (ऊपर की ओर) और $mg$ (नीचे की ओर) हैं। शुद्ध अभिकेंद्री बल $N_c - mg = \frac{mv^2}{R}$ है,इसलिए $N_c = mg + \frac{mv^2}{R}$ प्राप्त होता है।
$3$. उत्तल सड़क के लिए,वक्रता का केंद्र सड़क के नीचे होता है। कार्य करने वाले बल $mg$ (नीचे की ओर) और $N_v$ (ऊपर की ओर) हैं। शुद्ध अभिकेंद्री बल $mg - N_v = \frac{mv^2}{R}$ है,इसलिए $N_v = mg - \frac{mv^2}{R}$ प्राप्त होता है।
तीनों की तुलना करने पर,$N_c > N_h > N_v$ प्राप्त होता है। इसलिए,अवतल सड़क पर अभिलंब प्रतिक्रिया अधिकतम होती है।

(C) बैंक्ड सड़क पर अधिकतम सुरक्षित गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{rg(\tan \theta + \mu) / (1 - \mu \tan \theta)}$ है।
यह मानते हुए कि घर्षण गुणांक $\mu$ और बैंकिंग कोण $\theta$ स्थिर रहते हैं,गति $v$ त्रिज्या $r$ के वर्गमूल के समानुपाती होती है,अर्थात $v \propto \sqrt{r}$।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 20 \ m$ है और प्रारंभिक गति $v_1$ है। नई गति $v_2 = v_1 + 0.20v_1 = 1.2v_1$ है।
चूंकि $v \propto \sqrt{r}$,इसलिए $v_2 / v_1 = \sqrt{r_2 / r_1}$ होगा।
मान रखने पर: $1.2 = \sqrt{r_2 / 20}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1.44 = r_2 / 20$।
$r_2 = 1.44 \times 20 = 28.8 \ m$।
वक्रता त्रिज्या में वृद्धि $\Delta r = r_2 - r_1 = 28.8 \ m - 20 \ m = 8.8 \ m$ होगी।

(A) $V$ वेग के साथ $R$ त्रिज्या वाली घुमावदार सड़क पर कार के सुरक्षित रूप से गुजरने के लिए,सड़क को $\theta$ कोण पर झुकाया (banked) जाता है।
सड़क के बैंकिंग के सिद्धांत के अनुसार,सुरक्षित मोड़ के लिए शर्त $\tan \theta = \frac{V^2}{Rg}$ है।
छोटे कोण $\theta$ के लिए,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{h}{b}$,जहाँ $h$ बाहरी किनारे की ऊँचाई है और $b$ सड़क की चौड़ाई है।
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{h}{b} = \frac{V^2}{Rg}$ प्राप्त होता है।
अतः,$h$ का मान $h = \frac{V^2 b}{Rg}$ है।

(C) एक चिकने शंकु की आंतरिक सतह पर क्षैतिज वृत्त में गति करने वाले कण पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (सतह के लंबवत) हैं।
अभिलंब प्रतिक्रिया का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $N \cos \theta = mg$.
अभिलंब प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $N \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$,जहाँ $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
शंकु की ज्यामिति से,$h$ ऊँचाई पर त्रिज्या $r = h \tan \theta$ होती है।
समीकरण में $r$ का मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{v^2}{(h \tan \theta) g}$.
इसे सरल करने पर $v^2 = gh \tan^2 \theta$,या $v = \sqrt{gh} \tan \theta$ प्राप्त होता है।
यहाँ $h = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$,और $\theta = 45^\circ$ (अतः $\tan 45^\circ = 1$) लेने पर:
$v = \sqrt{10 \times 0.1} \times 1 = \sqrt{1} = 1 \ m/s$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$,स्प्रिंग नियतांक $k = 8 \ N/m$,कोणीय गति $\omega = 8 \ rad/s$.
मान लीजिए स्प्रिंग की प्राकृतिक लंबाई $l_0$ है और विस्तार $x$ है। वृत्ताकार पथ की कुल त्रिज्या $r = l_0 + x$ है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल स्प्रिंग बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $F_c = F_s$.
$m \omega^2 r = kx$.
$0.1 \times (8)^2 \times (l_0 + x) = 8x$.
$0.1 \times 64 \times (l_0 + x) = 8x$.
$6.4(l_0 + x) = 8x$.
$6.4 l_0 + 6.4 x = 8x$.
$6.4 l_0 = 8x - 6.4 x$.
$6.4 l_0 = 1.6 x$.
$\frac{x}{l_0} = \frac{6.4}{1.6} = 4$.
अतः,विस्तार और प्राकृतिक लंबाई का अनुपात $4:1$ है।

(A) सबसे पहले,सदिशों का योग $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ज्ञात करें।
$\vec{R} = (4\hat{i} - \hat{j}) + (-3\hat{i} + 2\hat{j}) + (-\hat{k})$
$\vec{R} = (4 - 3)\hat{i} + (-1 + 2)\hat{j} - \hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
इसके बाद,परिणामी सदिश $\vec{R}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{R}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
$\vec{R}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u}$,$\hat{u} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\hat{u} = \frac{\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3}}$.

(D) दिया गया सूत्र $P = \frac{x^3 y}{z^2}$ है।
$P$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र है:
$\frac{\Delta P}{P} = 3 \left( \frac{\Delta x}{x} \right) + 1 \left( \frac{\Delta y}{y} \right) + 2 \left( \frac{\Delta z}{z} \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ $\frac{\Delta x}{x} \times 100 = 0.6 \%$,$\frac{\Delta y}{y} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 1.3 \%$ हैं।
इन मानों को प्रतिशत त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3(0.6 \%) + 1(3 \%) + 2(1.3 \%)$.
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 1.8 \% + 3 \% + 2.6 \%$.
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 7.4 \%$.
अतः,$P$ में प्रतिशत त्रुटि $7.4 \%$ है।

(D) मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T_1 = (38.6 \pm 0.2)^{\circ}C$ है और अंतिम तापमान $T_2 = (82.3 \pm 0.3)^{\circ}C$ है।
तापमान में वृद्धि $\Delta T$ को $\Delta T = T_2 - T_1$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta T = 82.3 - 38.6 = 43.7^{\circ}C$.
जब दो राशियों को घटाया जाता है,तो निरपेक्ष त्रुटियों को जोड़ा जाता है।
इसलिए,तापमान में वृद्धि में त्रुटि $\Delta(\Delta T) = \Delta T_1 + \Delta T_2$ होगी।
$\Delta(\Delta T) = 0.2 + 0.3 = 0.5^{\circ}C$.
अतः,उचित त्रुटि सीमाओं के साथ तापमान में वृद्धि $(43.7 \pm 0.5)^{\circ}C$ है।

(A) चरण $1$: माध्य समय $(T_{mean})$ की गणना करें।
$T_{mean} = \frac{30 + 32 + 35 + 35}{4} = \frac{132}{4} = 33 \ s$.
चरण $2$: निरपेक्ष त्रुटियों $(\Delta T_i = |T_i - T_{mean}|)$ की गणना करें।
$\Delta T_1 = |30 - 33| = 3 \ s$
$\Delta T_2 = |32 - 33| = 1 \ s$
$\Delta T_3 = |35 - 33| = 2 \ s$
$\Delta T_4 = |35 - 33| = 2 \ s$
चरण $3$: माध्य निरपेक्ष त्रुटि $(\Delta T_{mean})$ की गणना करें।
$\Delta T_{mean} = \frac{3 + 1 + 2 + 2}{4} = \frac{8}{4} = 2 \ s$.
चरण $4$: परिणाम को $T_{mean} \pm \Delta T_{mean}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,सही माध्य समय $(33 \pm 2) \ s$ है।

(B) घन का घनत्व $\rho$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\rho = \frac{M}{L^3}$,जहाँ $M$ द्रव्यमान है और $L$ घन की भुजा की लंबाई है।
त्रुटियों के प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,घनत्व में सापेक्ष त्रुटि है: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \left( \frac{\Delta L}{L} \right)$.
दिया गया है कि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) = 5 \%$ और लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right) = 6 \%$ है।
इन मानों को त्रुटि समीकरण में रखने पर:
घनत्व में प्रतिशत त्रुटि $= \left( \frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 \right) = \left( \frac{\Delta M}{M} \times 100 \right) + 3 \times \left( \frac{\Delta L}{L} \times 100 \right)$.
घनत्व में प्रतिशत त्रुटि $= 5 \% + 3 \times (6 \%) = 5 \% + 18 \% = 23 \%$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया संबंध $A = \frac{B^\alpha C^\beta}{D^\gamma E^\delta}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के सिद्धांत के अनुसार,$A = \frac{B^\alpha C^\beta}{D^\gamma E^\delta}$ के लिए सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} = \alpha \frac{\Delta B}{B} + \beta \frac{\Delta C}{C} + \gamma \frac{\Delta D}{D} + \delta \frac{\Delta E}{E}$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम सापेक्ष त्रुटियों के निरपेक्ष मानों को जोड़ते हैं।
इसलिए,$A$ में अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $\left( \frac{\Delta A}{A} \times 100 \right)_{max} = \alpha \left( \frac{\Delta B}{B} \times 100 \right) + \beta \left( \frac{\Delta C}{C} \times 100 \right) + \gamma \left( \frac{\Delta D}{D} \times 100 \right) + \delta \left( \frac{\Delta E}{E} \times 100 \right)$ द्वारा दी जाती है।
दी गई प्रतिशत त्रुटियों $b\%, c\%, d\%$ और $e\%$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें अधिकतम प्रतिशत त्रुटि $(\alpha b + \beta c + \gamma d + \delta e) \%$ प्राप्त होती है।

(C) चरण $1$: गोले के आयतन का सूत्र याद करें।
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
चरण $2$: त्रुटि के प्रसार का नियम लागू करें।
यदि कोई राशि $Q$,$x$ पर $Q = k \cdot x^n$ के रूप में निर्भर करती है,तो सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta Q}{Q} = n \cdot \frac{\Delta x}{x}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta Q}{Q} \times 100 \% = n \cdot \left( \frac{\Delta x}{x} \times 100 \% \right)$ होगी।
चरण $3$: इसे आयतन के सूत्र पर लागू करें।
चूंकि $V = \frac{4}{3} \pi r^3$,इसलिए आयतन $V$,$r^3$ के समानुपाती है $(V \propto r^3)$।
अतः,$V$ में प्रतिशत त्रुटि $\Delta V \% = 3 \cdot \Delta r \%$ होगी।
चरण $4$: दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें।
दिया गया है $\Delta r \% = 2 \%$.
इसलिए,$\Delta V \% = 3 \times 2 \% = 6 \%$.

(A) आवर्तकाल का सूत्र: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $T^2 = 4 \pi^2 \frac{\ell}{g}$,जिसका अर्थ है $g = 4 \pi^2 \frac{\ell}{T^2}$.
$g$ में सापेक्ष त्रुटि: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
दिया गया है: $\ell = 100 \text{ cm} = 1 \text{ m}$,$\Delta \ell = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m}$.
अतः,$\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.001}{1} = 0.001$.
$100$ दोलनों के लिए समय $t = 100 \times T = 100 \times 2 = 200 \text{ s}$.
$100$ दोलनों को मापने में त्रुटि $\Delta t = 0.1 \text{ s}$.
आवर्तकाल $T$ में त्रुटि $\Delta T = \frac{\Delta t}{100} = \frac{0.1}{100} = 0.001 \text{ s}$.
अतः,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{0.001}{2} = 0.0005$.
सापेक्ष त्रुटि के सूत्र में मान रखने पर: $\frac{\Delta g}{g} = 0.001 + 2(0.0005) = 0.001 + 0.001 = 0.002$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta g}{g} \times 100 = 0.002 \times 100 = 0.2 \%$.

(C) किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ गति है।
त्रुटियों के प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,गतिज ऊर्जा में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि द्रव्यमान में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 3 \%$ है और गति में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 4 \%$ है।
इन मानों को त्रुटि के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$K$ में प्रतिशत त्रुटि $= (3 \%) + 2 \times (4 \%) = 3 \% + 8 \% = 11 \%$.
अतः,गतिज ऊर्जा के मापन में प्रतिशत त्रुटि $11 \%$ है।

(D) यादृच्छिक त्रुटियां अनियमित होती हैं और प्रयोगात्मक स्थितियों में अप्रत्याशित उतार-चढ़ाव या अवलोकन संबंधी पूर्वाग्रह के कारण होती हैं।
$1$. थर्मामीटर का अनुचित अंशांकन एक व्यवस्थित (systematic) त्रुटि है।
$2$. वोल्टमीटर में $1 \mu V$ की शून्य त्रुटि एक व्यवस्थित त्रुटि है।
$3$. छात्र द्वारा लगातार मापन त्रुटि ($20^{\circ}$ के बजाय $22^{\circ}$ मापना) एक व्यवस्थित त्रुटि है।
$4$. विद्युत आपूर्ति में उतार-चढ़ाव अप्रत्याशित होते हैं और मापन में यादृच्छिक परिवर्तन का कारण बनते हैं,इसलिए यह यादृच्छिक त्रुटियों की श्रेणी में आता है।

(D) दबाव $P$ को बल $F$ और क्षेत्रफल $A$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। $L$ लंबाई वाली वर्गाकार प्लेट के लिए,क्षेत्रफल $A = L^2$ होता है। अतः,$P = \frac{F}{L^2}$।
त्रुटियों के प्रसार के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$P$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ बल में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 4 \%$ और लंबाई में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2 \%$ दी गई है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,दबाव में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 4 \% + 2(2 \%) = 4 \% + 4 \% = 8 \%$ प्राप्त होती है।

(C) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 L}$ है।
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान:
$M = 0.3 \text{ g}, \Delta M = 0.003 \text{ g} \implies \frac{\Delta M}{M} = \frac{0.003}{0.3} = 0.01$.
$r = 0.5 \text{ mm}, \Delta r = 0.005 \text{ mm} \implies \frac{\Delta r}{r} = \frac{0.005}{0.5} = 0.01$.
$L = 6 \text{ cm}, \Delta L = 0.06 \text{ cm} \implies \frac{\Delta L}{L} = \frac{0.06}{6} = 0.01$.
इन मानों को त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.01 + 2(0.01) + 0.01 = 0.01 + 0.02 + 0.01 = 0.04$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 \% = 0.04 \times 100 \% = 4 \%$ है।

(A) दबाव $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है। $L$ भुजा वाली वर्गाकार प्लेट के लिए,क्षेत्रफल $A = L^2$ होता है।
अतः,$P = \frac{F}{A} = \frac{F}{L^2}$।
दबाव में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta F}{F} + 2 \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है,$\frac{\Delta F}{F} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 2 \%$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,दबाव में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 3 \% + 2 \times (2 \%) = 3 \% + 4 \% = 7 \%$ होगी।

(B) घनत्व $\rho$ को $\rho = \frac{M}{V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि घन या समान वस्तु के लिए आयतन $V = L^3$ होता है,इसलिए $\rho = \frac{M}{L^3}$ होगा।
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4 \%$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 4 \% + 3(3 \%) = 4 \% + 9 \% = 13 \%$.
अतः,घनत्व के मापन में त्रुटि $13 \%$ है।

(A) दिया गया सूत्र $A = \frac{pq^2}{r^2 s^4}$ है।
$A$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta p}{p} + 2\frac{\Delta q}{q} + 2\frac{\Delta r}{r} + 4\frac{\Delta s}{s}$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ:
$\frac{\Delta p}{p} \times 100 = 3 \%$
$\frac{\Delta q}{q} \times 100 = 2 \%$
$\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 3 \%$
$\frac{\Delta s}{s} \times 100 = 1 \%$
इन मानों को प्रतिशत त्रुटि के सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = (3 \%) + 2(2 \%) + 2(3 \%) + 4(1 \%)$
$\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 3 \% + 4 \% + 6 \% + 4 \% = 17 \%$.
अतः,$A$ में प्रतिशत त्रुटि $17 \%$ है।

(D) दूरी के लिए दिया गया सूत्र: $h = \frac{1}{2} gt^2$.
$g$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $g = \frac{2h}{t^2}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(g) = \ln(2) + \ln(h) - 2\ln(t)$.
सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{\Delta g}{g} = 0 + \frac{\Delta h}{h} + 2\frac{\Delta t}{t}$.
अधिकतम प्रतिशत त्रुटि के लिए,हम सापेक्ष त्रुटियों के निरपेक्ष मानों को जोड़ते हैं: $\left(\frac{\Delta g}{g} \times 100\right)_{max} = \left(\frac{\Delta h}{h} \times 100\right) + 2\left(\frac{\Delta t}{t} \times 100\right)$.
चूंकि $h$ में प्रतिशत त्रुटि $e_1$ है और $t$ में $e_2$ है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $g$ में प्रतिशत त्रुटि = $e_1 + 2e_2$.

(C) दिया गया संबंध $X = a^2 b^3 c^{5/2} d^{-2}$ है।
$X$ में सापेक्ष त्रुटि का सूत्र:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \left( \frac{\Delta a}{a} \right) + 3 \left( \frac{\Delta b}{b} \right) + \frac{5}{2} \left( \frac{\Delta c}{c} \right) + 2 \left( \frac{\Delta d}{d} \right)$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ: $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 2\%$,और $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4\%$.
इन मानों को रखने पर:
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2(1\%) + 3(2\%) + \frac{5}{2}(2\%) + 2(4\%)$.
$\frac{\Delta X}{X} \times 100 = 2\% + 6\% + 5\% + 8\% = 21\%$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) परिणामी सदिश $\vec{R}$,सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के योग द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (-2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + 2 \hat{j} - 4 \hat{k})$
$\vec{R} = (-2 + 1) \hat{i} + (3 + 2) \hat{j} + (1 - 4) \hat{k} = -\hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$
अब,परिणामी सदिश $\vec{R}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{R}| = \sqrt{(-1)^2 + (5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$
$\vec{R}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{R} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\hat{R} = \frac{-\hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{35}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$ है। परिणामी $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ है।
जब $\vec{B}$ का परिमाण दोगुना किया जाता है,तो नया परिणामी $\vec{C}' = \vec{A} + 2\vec{B}$ हो जाता है।
दिया गया है कि $\vec{C}'$,$\vec{A}$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा: $\vec{A} \cdot (\vec{A} + 2\vec{B}) = 0$.
$A^2 + 2(\vec{A} \cdot \vec{B}) = 0 \implies A^2 + 2AB \cos \theta = 0$.
अतः,$2AB \cos \theta = -A^2$.
मूल परिणामी $\vec{C}$ का परिमाण $C^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण में $2AB \cos \theta = -A^2$ रखने पर:
$C^2 = A^2 + B^2 - A^2 = B^2$.
इसलिए,$\vec{C}$ का परिमाण $B$ है।

(C) सबसे पहले,$\vec{P} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = (1-1+2)\hat{i} + (1+1-2)\hat{j} + (3+4-8)\hat{k} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{Q} = \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-3) - \hat{j}(4+3) + \hat{k}(1+1) = 1\hat{i} - 7\hat{j} + 2\hat{k}$ की गणना करें।
अब,डॉट प्रोडक्ट $\vec{P} \cdot \vec{Q} = (2)(1) + (0)(-7) + (-1)(2) = 2 + 0 - 2 = 0$ ज्ञात करें।
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए सदिश $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या सदिश एक त्रिभुज बनाते हैं,हम जांचते हैं कि क्या उनका योग शून्य है या क्या उन्हें हेड-टू-टेल व्यवस्थित किया जा सकता है।
सबसे पहले,सदिशों का योग ज्ञात करें: $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = (3+1+2) \hat{i} + (-2-3-1) \hat{j} + (1+5+4) \hat{k} = 6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 10 \hat{k} \neq 0$.
चूंकि योग शून्य नहीं है,इसलिए वे एक बंद लूप नहीं बनाते हैं।
वैकल्पिक रूप से,जांचें कि क्या कोई सदिश अन्य दो का योग है।
$\vec{A} + \vec{B} = 4 \hat{i} - 5 \hat{j} + 6 \hat{k} \neq \vec{C}$.
$\vec{A} + \vec{C} = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k} \neq \vec{B}$.
$\vec{B} + \vec{C} = 3 \hat{i} - 4 \hat{j} + 9 \hat{k} \neq \vec{A}$.
चूंकि कोई भी सदिश अन्य दो का परिणामी नहीं है,इसलिए ये सदिश त्रिभुज नहीं बना सकते हैं।

(A) बल आघूर्ण $\vec{\tau}$,स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 3 & 1 \\ -3 & 1 & 5 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\vec{\tau} = \hat{i} (3 \times 5 - 1 \times 1) - \hat{j} (7 \times 5 - 1 \times (-3)) + \hat{k} (7 \times 1 - 3 \times (-3))$
$\vec{\tau} = \hat{i} (15 - 1) - \hat{j} (35 + 3) + \hat{k} (7 + 9)$
$\vec{\tau} = 14 \hat{i} - 38 \hat{j} + 16 \hat{k}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) सबसे पहले,सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ का योग ज्ञात करें:
$\vec{A}+\vec{B} = (2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}) + (3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$
$\vec{A}+\vec{B} = (2+3) \hat{i} + (-3+1) \hat{j} + (1-2) \hat{k}$
$\vec{A}+\vec{B} = 5 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$
अब,$(\vec{A}+\vec{B})$ का $\vec{C}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) ज्ञात करें:
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = (5 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})$
गुणधर्म $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और अन्य पदों का मान $0$ होता है,इसका उपयोग करते हुए:
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = (5)(3) + (-2)(2) + (-1)(1)$
$(\vec{A}+\vec{B}) \cdot \vec{C} = 15 - 4 - 1 = 10$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(B) दो सदिश $\vec{P}$ और $\vec{Q}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो,अर्थात $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$।
दिया है $\vec{P} = b \hat{i} + 6 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{Q} = \hat{i} - a \hat{j} + 4 \hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(b)(1) + (6)(-a) + (1)(4) = 0$।
यह $b - 6a + 4 = 0$ या $b - 6a = -4$ में सरल हो जाता है।
हमें समीकरण $3b - a = 5$ भी दिया गया है,जिसका अर्थ है $a = 3b - 5$।
$a$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $b - 6(3b - 5) = -4$।
$b - 18b + 30 = -4$।
$-17b = -34$,इसलिए $b = 2$।
अब,$a$ का मान ज्ञात करें: $a = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$।
अतः,$a = 1$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के सदिश गुणनफल (क्रॉस प्रोडक्ट) का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta$
दिया गया है:
$|\vec{A}| = 5 \sqrt{3}$ इकाई
$|\vec{B}| = 10$ इकाई
$\theta = 30^{\circ}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$|\vec{A} \times \vec{B}| = (5 \sqrt{3}) \times (10) \times \sin 30^{\circ}$
$|\vec{A} \times \vec{B}| = 50 \sqrt{3} \times \frac{1}{2}$
$|\vec{A} \times \vec{B}| = 25 \sqrt{3}$ इकाई
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हमें $|\vec{a}| = \sqrt{26}$,$|\vec{b}| = 7$,और $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$ दिया गया है।
सदिश गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हुए: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = 35$।
मान रखने पर: $\sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta = 35$।
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$।
अतः,$|\cos \theta| = \frac{1}{\sqrt{26}}$।
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times \left( \pm \frac{1}{\sqrt{26}} \right) = \pm 7$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $7$ है।

(D) मान लीजिए कि दो बल $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं।
सदिश योग $(\vec{A} + \vec{B})$ है और सदिश अंतर $(\vec{A} - \vec{B})$ है।
यह दिया गया है कि योग अंतर के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$\vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} = 0$
चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय है,$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$,इसलिए ये पद कट जाएंगे:
$|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 = 0$
$|\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$
$|\vec{A}| = |\vec{B}|$
अतः,बल परिमाण में समान हैं।

(D) दिया गया है: $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
सबसे पहले,सदिशों $(\vec{a} + 3\vec{b})$ और $(2\vec{a} - \vec{b})$ की गणना करें:
$\vec{a} + 3\vec{b} = (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + 3(3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (1+9)\hat{i} + (1+6)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = 10\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}$.
$2\vec{a} - \vec{b} = 2(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) - (3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2-3)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (4+1)\hat{k} = -\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k}$.
अब,अदिश गुणन (dot product) ज्ञात करें: $[(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})] = (10\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + 0\hat{j} + 5\hat{k})$.
$= (10 \times -1) + (7 \times 0) + (-1 \times 5) = -10 + 0 - 5 = -15$.
$-15$ का परिमाण (magnitude) $|-15| = 15$ है।

(C) दो सदिश लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) शून्य हो।
माना $\vec{A} = a \hat{i} + b \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{B} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
$\vec{A} \cdot \vec{B} = (a)(2) + (b)(-3) + (1)(4) = 0$.
$2a - 3b + 4 = 0$,जिसका अर्थ है $2a - 3b = -4$.
हमें समीकरणों का निकाय दिया गया है:
$1) 2a - 3b = -4$
$2) 3a + 2b = 7$
समीकरण $(1)$ को $2$ से और समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$4a - 6b = -8$
$9a + 6b = 21$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $13a = 13$,अतः $a = 1$ प्राप्त होता है।
$a = 1$ को $3a + 2b = 7$ में रखने पर: $3(1) + 2b = 7 \implies 2b = 4 \implies b = 2$ प्राप्त होता है।
अनुपात $a/b = 1/2$ है।
हमें $a/b = x/2$ दिया गया है,इसलिए $1/2 = x/2$,जिसका अर्थ है कि $x = 1$।

(D) मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $m$,आयतन $V$ और घनत्व $\varrho$ है। अतः,$m = V \varrho$ है।
जब गोले को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो द्रव की सतह से टकराने से ठीक पहले उसका वेग $v^2 = 2gh$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव के अंदर,गोले पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ (नीचे की ओर) और उत्प्लावन बल $F_B = V \sigma g$ (ऊपर की ओर) हैं।
द्रव के अंदर गोले पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_B - mg = V \sigma g - V \varrho g = Vg(\sigma - \varrho)$ है।
द्रव के अंदर गोले का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\sigma - \varrho)}{V \varrho} = g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho}$ है।
चूँकि उत्प्लावन बल भार से अधिक है $(\sigma > \varrho)$,गोला मंदित होगा।
मान लीजिए अधिकतम गहराई $d$ है। गति के समीकरण $v_f^2 = v_i^2 + 2ad$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v_f = 0$ (अधिकतम गहराई पर),$v_i^2 = 2gh$,और $a = -g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho}$ है:
$0 = 2gh - 2 \left( g \frac{(\sigma - \varrho)}{\varrho} \right) d$।
$d$ के लिए हल करने पर: $d = \frac{h \varrho}{(\sigma - \varrho)}$।

(B) बेलन के संतुलन में तैरने के लिए, बेलन का कुल भार दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए.
मान लीजिए $A$ बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $d$ इसका घनत्व है.
बेलन का भार $W = (\text{आयतन}) \times (\text{घनत्व}) \times g = (A \ell) d g$.
ऊपरी द्रव (घनत्व $\varrho$) से उत्प्लावन बल: $F_1 = (\text{ऊपरी द्रव में डूबा आयतन}) \times \varrho \times g = A (\ell - \ell/4) \varrho g = A (3\ell/4) \varrho g$.
निचले द्रव (घनत्व $3\varrho$) से उत्प्लावन बल: $F_2 = (\text{निचले द्रव में डूबा आयतन}) \times (3\varrho) \times g = A (\ell/4) (3\varrho) g = A (3\ell/4) \varrho g$.
भार को कुल उत्प्लावन बल के बराबर करने पर: $A \ell d g = A (3\ell/4) \varrho g + A (3\ell/4) \varrho g$.
$d \ell = (3\ell/4) \varrho + (3\ell/4) \varrho = (6\ell/4) \varrho = (3/2) \varrho \ell$.
अतः, $d = \frac{3}{2} \varrho$.

(D) मान लीजिए कि तरल की मुक्त सतह से दो छेदों की गहराई क्रमशः $y_1$ और $y_2$ है। दिया गया है कि ऊंचाई का अंतर $h$ है,इसलिए $y_2 - y_1 = h$ है।
ऊपरी छेद के लिए बहिर्वाह का वेग $v_1 = \sqrt{2gy_1}$ है और निचले छेद के लिए $v_2 = \sqrt{2gy_2}$ है।
तरल जेट द्वारा टंकी पर लगाया गया बल $F = \frac{dm}{dt} v = (A \rho v) v = A \rho v^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है और $\rho$ तरल का घनत्व है।
चूंकि छेद विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए बल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं। शुद्ध क्षैतिज बल $F_{net} = |F_2 - F_1| = |A \rho v_2^2 - A \rho v_1^2|$ है।
वेगों को प्रतिस्थापित करने पर: $F_{net} = A \rho (2gy_2 - 2gy_1) = 2A \rho g (y_2 - y_1)$।
चूंकि $y_2 - y_1 = h$ है,हमें $F_{net} = 2A \rho g h$ प्राप्त होता है।
इसलिए,शुद्ध क्षैतिज बल $h$ के समानुपाती है।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार $h$ गहराई पर स्थित छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
प्रति सेकंड बाहर निकलने वाले पानी की मात्रा (प्रवाह दर) $Q = A \cdot v$ होती है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है।
छेद $P$ के लिए ($2h$ गहराई पर $a$ भुजा वाला वर्ग): $A_P = a^2$ और $v_P = \sqrt{2g(2h)} = 2\sqrt{gh}$।
अतः,प्रवाह दर $Q_P = a^2 \cdot 2\sqrt{gh}$।
छेद $Q$ के लिए ($8h$ गहराई पर $r$ त्रिज्या वाला वृत्त): $A_Q = \pi r^2$ और $v_Q = \sqrt{2g(8h)} = 4\sqrt{gh}$।
अतः,प्रवाह दर $Q_Q = \pi r^2 \cdot 4\sqrt{gh}$।
दिया गया है कि $Q_P = Q_Q$,इसलिए: $a^2 \cdot 2\sqrt{gh} = \pi r^2 \cdot 4\sqrt{gh}$।
$a^2 \cdot 2 = 4\pi r^2 \implies a^2 = 2\pi r^2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $a = r\sqrt{2\pi}$।

(D) असंपीड्य तरल के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और तरल का वेग का गुणनफल प्रवाह के सभी बिंदुओं पर स्थिर रहता है: $A_1 V_1 = A_2 V_2$।
यहाँ,पाइप के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
बिंदु $A$ पर,त्रिज्या $R$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A_A = \pi R^2$ और वेग $V_A = V$ है।
बिंदु $B$ पर,त्रिज्या $\frac{R}{3}$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A_B = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\pi R^2}{9}$ है।
सांतत्य समीकरण का उपयोग करने पर: $(\pi R^2) \times V = \left(\frac{\pi R^2}{9}\right) \times V_B$।
दोनों पक्षों से $\pi R^2$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $V = \frac{V_B}{9}$।
अतः,बिंदु $B$ पर वेग $V_B = 9V$ होगा।

(C) प्रवाह की दर (आयतन प्रवाह दर) $Q = A \times v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v$ पानी का वेग है।
दिया गया है,$Q = \pi \times 10^{-1} \,m^3/s$.
पाइप की त्रिज्या $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = \pi \times 0.01 \,m^2$.
सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = Q / A$.
$v = (\pi \times 10^{-1}) / (\pi \times 0.01) = 0.1 / 0.01 = 10 \,m/s$.
अतः,पानी का वेग $10 \,m/s$ है।

(C) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, क्षैतिज प्रवाह के लिए, $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$।
घर के अंदर हवा स्थिर है, इसलिए $v_1 = 0$ और $P_1 = P_{atm}$।
घर के बाहर हवा की गति $v_2 = 50 \,m/s$ है और दबाव $P_2$ है।
अतः, $P_{atm} = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$, जो दबाव का अंतर $\Delta P = P_{atm} - P_2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2$ देता है।
मान रखने पर: $\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.2 \,kg/m^3 \times (50 \,m/s)^2 = 0.6 \times 2500 = 1500 \,N/m^2$।
छत पर लगाया गया बल $F = \Delta P \times A = 1500 \,N/m^2 \times 300 \,m^2 = 4.5 \times 10^5 \,N$ होगा।

(C) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए, प्राइमरी कुंडली में पावर इनपुट, सेकेंडरी कुंडली में पावर आउटपुट के बराबर होता है।
दिया गया है: पावर आउटपुट $(P_{out})$ = $80 \text{ W}$, प्राइमरी वोल्टेज $(V_p)$ = $220 \text{ V}$।
चूंकि ट्रांसफार्मर आदर्श है, इसलिए $P_{in} = P_{out} = 80 \text{ W}$।
पावर इनपुट का सूत्र $P_{in} = V_p \times I_p$ है, जहाँ $I_p$ प्राइमरी कुंडली में प्रवाहित धारा है।
इसलिए, $I_p = \frac{P_{in}}{V_p} = \frac{80 \text{ W}}{220 \text{ V}}$।
$I_p = \frac{8}{22} \text{ A} \approx 0.3636 \text{ A}$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, प्राइमरी कुंडली में धारा लगभग $0.36 \text{ A}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
पाश्चन श्रेणी की अंतिम रेखा के लिए,$n_1 = 3$ और $n_2 = \infty$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_P} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{9}$,जिससे $\lambda_P = \frac{9}{R}$ प्राप्त होता है।
बामर श्रेणी की अंतिम रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = \infty$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$,जिससे $\lambda_B = \frac{4}{R}$ प्राप्त होता है।
पाश्चन श्रेणी की अंतिम रेखा और बामर श्रेणी की अंतिम रेखा की तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_P}{\lambda_B} = \frac{9/R}{4/R} = \frac{9}{4}$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रमी रेखा की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
आवृत्ति $f$ को $f = \frac{c}{\lambda} = Rc \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा व्यक्त किया जाता है।
बामर श्रेणी के प्रथम सदस्य के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है। अतः,$f_1 = Rc \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = Rc \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5Rc}{36}$।
पाश्चन श्रेणी के प्रथम सदस्य के लिए,$n_1 = 3$ और $n_2 = 4$ है। अतः,$f_2 = Rc \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = Rc \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = Rc \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7Rc}{144}$।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{5Rc/36}{7Rc/144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$ है।

(C) हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में संक्रमण के लिए तरंग दैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग स्थिरांक है।
लाइमन श्रेणी की अंतिम रेखा के लिए,$n_1 = 1$ और $n_2 = \infty$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = R$,जिससे $\lambda_L = \frac{1}{R}$ प्राप्त होता है।
बामर श्रेणी की अंतिम रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = \infty$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = \frac{R}{4}$,जिससे $\lambda_B = \frac{4}{R}$ प्राप्त होता है।
तरंग दैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_L}{\lambda_B} = \frac{1/R}{4/R} = \frac{1}{4} = 0.25$ है।

(D) $n_i$ से $n_f$ अवस्था में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
पराबैंगनी विकिरण लाइमन श्रेणी $(n_f = 1)$ के अनुरूप है।
दृश्य प्रकाश विकिरण बामर श्रेणी $(n_f = 2)$ के अनुरूप है।
अवरक्त विकिरण पाश्चन श्रेणी $(n_f = 3)$,ब्रैकेट श्रेणी $(n_f = 4)$ या फुंड श्रेणी $(n_f = 5)$ के अनुरूप है।
विकल्पों को देखने पर:
विकल्प $A$: $n=3$ से $n=1$ लाइमन श्रेणी (पराबैंगनी) है।
विकल्प $B$: $n=4$ से $n=2$ बामर श्रेणी (दृश्य) है।
विकल्प $C$: $n=6$ से $n=2$ बामर श्रेणी (दृश्य) है।
विकल्प $D$: $n=5$ से $n=3$ पाश्चन श्रेणी (अवरक्त) है।
अतः,अवरक्त विकिरण के लिए सही संक्रमण $n=5$ से $n=3$ है।

(C) स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है,जहाँ $R$ रिडबर्ग स्थिरांक है।
पाश्चन श्रेणी के लिए,$n_1 = 3$ है। पहली रेखा के लिए $n_2 = 4$ होता है। अतः,$\frac{1}{\lambda_1} = R \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7R}{144}$। इसलिए,$\lambda_1 = \frac{144}{7R}$।
ब्रैकेट श्रेणी के लिए,$n_1 = 4$ है। पहली रेखा के लिए $n_2 = 5$ होता है। अतः,$\frac{1}{\lambda_2} = R \left( \frac{1}{4^2} - \frac{1}{5^2} \right) = R \left( \frac{1}{16} - \frac{1}{25} \right) = R \left( \frac{25-16}{400} \right) = \frac{9R}{400}$। इसलिए,$\lambda_2 = \frac{400}{9R}$।
अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{144}{7R} \times \frac{9R}{400} = \frac{144 \times 9}{7 \times 400} = \frac{1296}{2800} = \frac{81}{175}$।

(C) हाइड्रोजन परमाणु में स्पेक्ट्रल रेखा की आवृत्ति $v = R c Z^2 (1/n_f^2 - 1/n_i^2)$ द्वारा दी जाती है।
बामर श्रेणी सीमा के लिए,$n_f = 2$ और $n_i = \infty$,इसलिए $v_1 = R c (1/2^2 - 1/\infty^2) = R c / 4$।
पाश्चन श्रेणी सीमा के लिए,$n_f = 3$ और $n_i = \infty$,इसलिए $v_3 = R c (1/3^2 - 1/\infty^2) = R c / 9$।
बामर श्रेणी की पहली रेखा के लिए,$n_f = 2$ और $n_i = 3$,इसलिए $v_2 = R c (1/2^2 - 1/3^2) = R c (1/4 - 1/9) = R c (5/36)$।
मानों की तुलना करने पर: $v_1 - v_3 = R c (1/4 - 1/9) = R c (5/36) = v_2$।
अतः,सही संबंध $v_1 - v_3 = v_2$ है।

(A) बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $L$ को $L = n \frac{h}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ कक्षा की संख्या है।
तीसरी कक्षा के लिए,$n = 3$,इसलिए $L = 3 \frac{h}{2 \pi} = \frac{3h}{2 \pi}$ होगा।
जड़त्व आघूर्ण $I$ वाले द्विपरमाणुक अणु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{L^2}{2I}$ है।
ऊर्जा के सूत्र में $L$ का मान रखने पर:
$K = \frac{(\frac{3h}{2 \pi})^2}{2I} = \frac{\frac{9h^2}{4 \pi^2}}{2I} = \frac{9h^2}{8 \pi^2 I}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) कोणीय संवेग के क्वांटाइजेशन के लिए बोहर की परिकल्पना के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है।
कोणीय संवेग समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $mv = \frac{nh}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
इस मान को डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\lambda = \frac{h}{nh / (2\pi r)} = \frac{2\pi r}{n}$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है।
तरंगदैर्ध्य के समीकरण में $r \propto n^2$ रखने पर: $\lambda \propto \frac{n^2}{n} = n$।
अतः,$\lambda \propto n$।

(A) बोहर की पहली अभिधारणा के अनुसार,इलेक्ट्रॉन की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल,नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
स्थिर-वैद्युत बल $F_e = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(Ze)(e)}{r^2} = K \frac{Ze^2}{r^2}$ है।
अभिकेंद्री बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{mv^2}{r} = K \frac{Ze^2}{r^2}$।
दोनों पक्षों को $\frac{r}{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} K \frac{Ze^2}{r}$।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{1}{2} mv^2$ है,इसलिए $E_k = \frac{Ze^2}{2r} K$ होगा।

(B) वृत्ताकार कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{m}_{\text{orb}}$ इस प्रकार दिया जाता है: $\overrightarrow{m}_{\text{orb}} = -\frac{e}{2m} \overrightarrow{L}$,जहाँ $\overrightarrow{L}$ इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $m_{\text{orb}} = \frac{e}{2m} L$.
अतः,कोणीय संवेग $L$ और चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m_{\text{orb}}$ का अनुपात $\frac{L}{m_{\text{orb}}} = \frac{2m}{e}$ है।

(C) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण के लिए जो चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहा है, साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $\omega = \frac{qB}{m}$ द्वारा दी जाती है।
बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार, $n$-वें स्तर में कोणीय संवेग $L = n \frac{h}{2 \pi}$ है।
चूंकि $L = mvr = mr^2 \omega$, हमारे पास $mr^2 \omega = n \frac{h}{2 \pi}$ है।
$\omega = \frac{qB}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $mr^2 (\frac{qB}{m}) = n \frac{h}{2 \pi}$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $r^2 = \frac{nh}{2 \pi qB}$ हो जाता है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} m(r \omega)^2 = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
$r^2$ और $\omega$ का मान रखने पर, $K = \frac{1}{2} m (\frac{nh}{2 \pi qB}) (\frac{qB}{m})^2 = \frac{n h q B}{4 \pi m}$ प्राप्त होता है।
दूसरे स्तर के लिए, $n = 2$, इसलिए $K = \frac{2 h q B}{4 \pi m} = \frac{qBh}{2 \pi m}$।

(D) बोहर के मॉडल के अनुसार,$n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto \frac{1}{n}$ होता है।
$n^{\text{th}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है।
परिक्रमण की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{2\pi r}$ है।
आनुपातिकता को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f \propto \frac{(1/n)}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ प्राप्त होता है।
अतः,परिक्रमण की आवृत्ति $n^3$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(B) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,जहाँ $R$ रिडबर्ग नियतांक है।
प्रथम संक्रमण के लिए: इलेक्ट्रॉन दूसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 3)$ से पहली उत्तेजित अवस्था $(n_f = 2)$ में कूदता है।
$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R \left( \frac{5}{36} \right)$. अतः,$\lambda = \frac{36}{5R}$.
दूसरे संक्रमण के लिए: इलेक्ट्रॉन तीसरी उत्तेजित अवस्था $(n_i = 4)$ से दूसरी कक्षा $(n_f = 2)$ में कूदता है।
$\frac{1}{\lambda'} = R \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = R \left( \frac{3}{16} \right)$. अतः,$\lambda' = \frac{16}{3R}$.
हमें $\lambda' = \frac{20 \lambda}{x}$ दिया गया है। मान रखने पर:
$\frac{16}{3R} = \frac{20}{x} \cdot \frac{36}{5R} \implies \frac{16}{3} = \frac{20 \cdot 36}{5x} \implies \frac{16}{3} = \frac{4 \cdot 36}{x} \implies \frac{16}{3} = \frac{144}{x}$.
$x = \frac{144 \cdot 3}{16} = 9 \cdot 3 = 27$.

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{v_0}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_0$ एक स्थिरांक है।
हमें अनुपात $\frac{L}{v}$ ज्ञात करना है।
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{L}{v} = \frac{nh/2\pi}{v_0/n}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\frac{L}{v} = \frac{h}{2\pi v_0} \cdot n^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $h$,$\pi$ और $v_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए अनुपात $\frac{L}{v}$,$n^2$ के समानुपाती है।

(D) उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति $\Delta E = h\nu$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta E$ दो ऊर्जा स्तरों के बीच का ऊर्जा अंतर है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$n$ वें स्तर की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 \ eV}{n^2}$ है।
$n_i$ से $n_f$ में संक्रमण के लिए ऊर्जा अंतर $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \ eV$ है।
सबसे अधिक आवृत्ति प्राप्त करने के लिए,हमें सबसे बड़ा ऊर्जा अंतर $\Delta E$ चाहिए।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\Delta E$ की गणना:
$A$: $n=1$ से $n=3$ (अवशोषण,उत्सर्जन नहीं)
$B$: $n=2$ से $n=4$ (अवशोषण,उत्सर्जन नहीं)
$C$: $n=5$ से $n=3$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{5^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{25} \right) \approx 0.96 \ eV$.
$D$: $n=2$ से $n=1$: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \ eV$.
चूंकि $10.2 \ eV > 0.96 \ eV$,इसलिए $n=2$ से $n=1$ का संक्रमण सबसे अधिक ऊर्जा मुक्त करता है और इस प्रकार सबसे अधिक आवृत्ति वाले फोटॉन का उत्सर्जन करता है।

(D) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के लिए,धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$,जहाँ $v$ वेग है और $T$ आवर्तकाल है।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$ प्राप्त होता है।
बोहर के मॉडल के अनुसार,त्रिज्या $r \propto n^2$ और वेग $v \propto n^{-1}$ होता है।
इन समानुपातियों को रखने पर: $B \propto \frac{v}{r^2} \propto \frac{n^{-1}}{(n^2)^2} = \frac{n^{-1}}{n^4} = n^{-5}$।
अतः,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $n^{-5}$ के समानुपाती होता है।

(B) इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति $E = h\nu = E_i - E_f$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $E_i$ प्रारंभिक ऊर्जा स्तर है और $E_f$ अंतिम ऊर्जा स्तर है।
उत्सर्जन होने के लिए,इलेक्ट्रॉन को उच्च ऊर्जा स्तर से निम्न ऊर्जा स्तर $(n_i > n_f)$ में संक्रमण करना चाहिए।
अतः,विकल्प $A$ ($n=1$ से $n=2$) और $C$ ($n=2$ से $n=6$) में अवशोषण होता है,उत्सर्जन नहीं,इसलिए इन्हें हटाया जा सकता है।
उत्सर्जन संक्रमणों की तुलना करने पर:
$1$. $n=2$ से $n=1$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = 13.6 \times 0.75 = 10.2 \text{ eV}$.
$2$. $n=6$ से $n=2$ के लिए: $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{6^2} \right) = 13.6 \left( 0.25 - 0.0277 \right) = 13.6 \times 0.2223 \approx 3.02 \text{ eV}$.
चूंकि आवृत्ति $\nu = \frac{\Delta E}{h}$ होती है,इसलिए सबसे बड़ा ऊर्जा अंतर $\Delta E$ वाला संक्रमण उच्चतम आवृत्ति वाले फोटॉन का उत्सर्जन करेगा।
अतः,$n=2$ से $n=1$ का संक्रमण उच्चतम आवृत्ति के फोटॉन का उत्सर्जन करता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = \frac{E_0}{n^2}$ है, जहाँ $E_0 = -13.6 \ eV$ है।
पहली कक्षा $(n=1)$ के लिए: $E_1 = \frac{E_0}{1^2} = E_0$।
तीसरी कक्षा $(n=3)$ के लिए: $E_3 = \frac{E_0}{3^2} = \frac{E_0}{9}$।
दिए गए संबंध $E_3 = x E_1$ में मान रखने पर:
$\frac{E_0}{9} = x E_0$।
दोनों पक्षों को $E_0$ से विभाजित करने पर, हमें $x = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।

(D) $n^{\text{वीं}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए, $E_1 = \frac{-13.6}{1^2} = -13.6 \text{ eV}$।
तीसरी कक्षा $(n=3)$ के लिए, $E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51 \text{ eV}$।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \text{ eV}$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\text{max}} = \Delta E - \phi$ है, जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
दिया गया है $\phi = 4.1 \text{ eV}$, इसलिए $K_{\text{max}} = 12.09 - 4.1 = 7.99 \text{ eV}$।
निरोधी विभव $V_s$ का संबंध $K_{\text{max}}$ से $K_{\text{max}} = e V_s$ द्वारा होता है, इसलिए $V_s \approx 8 \text{ V}$।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय वेग $v_n = \frac{v_1}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_1$ मूल अवस्था $(n=1)$ में वेग है।
यह दिया गया है कि नया वेग $v_n = \frac{1}{3} v_1$ है,इसलिए $\frac{v_1}{n} = \frac{v_1}{3}$,जिसका अर्थ है कि $n = 3$ है।
$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 r_1$ द्वारा दी जाती है।
सूत्र में $n = 3$ रखने पर,हमें $r_3 = (3)^2 r_1 = 9 r_1$ प्राप्त होता है।
अतः,उस कक्षा की त्रिज्या $9 r_1$ है।

(A) बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $L = n \frac{h}{2 \pi}$ द्वारा दिया जाता है।
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$,इसलिए $L = 2 \frac{h}{2 \pi} = \frac{h}{\pi}$।
एक द्विपरमाणुक अणु की घूर्णन ऊर्जा $E = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है।
$L$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $E = \frac{(\frac{h}{\pi})^2}{2I} = \frac{h^2}{\pi^2 \cdot 2I} = \frac{h^2}{2 I \pi^2}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) ऊर्जा स्तर $n_2$ से $n_1$ में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
संक्रमण $(i)$ के लिए,$n_2 = 3$ से $n_1 = 2$:
$\Delta E_1 = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \text{ eV}$.
संक्रमण (ii) के लिए,$n_2 = \infty$ से $n_1 = 3$:
$\Delta E_2 = 13.6 \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} - 0 \right) = 13.6 \left( \frac{1}{9} \right) \text{ eV}$.
अनुपात $\frac{\Delta E_1}{\Delta E_2} = \frac{13.6 \times (5/36)}{13.6 \times (1/9)} = \frac{5}{36} \times 9 = \frac{5}{4}$ है।

(A) बोर के सिद्धांत के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षीय इलेक्ट्रॉन से संबंधित चुंबकीय आघूर्ण $\mu = \frac{e}{2m} L$ होता है।
$L$ का मान रखने पर,हमें $\mu = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e$,$m$,$h$ और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\mu \propto n$ होता है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के समानुपाती होता है।

(A) संधारित्र में विस्थापन धारा $I_d$,संयोजी तारों से बहने वाली चालन धारा $I_c$ के बराबर होती है,जिसे सूत्र $I_d = I_c = C \frac{dV}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
धारिता $C = 1 \ \mu F = 1 \times 10^{-6} \ F$.
विभवांतर के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 4 \ V/s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_d = (1 \times 10^{-6} \ F) \times (4 \ V/s) = 4 \times 10^{-6} \ A = 4 \ \mu A$.
अतः,विस्थापन धारा $4 \ \mu A$ है।

(B) आवेश $(Q)$,वोल्टेज $(V)$ और धारिता $(C)$ के बीच संबंध $Q = CV$ है,जिसे $V = Q/C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए ग्राफ में,वोल्टेज $(V)$ को $y$-अक्ष पर और आवेश $(Q)$ को $x$-अक्ष पर दर्शाया गया है।
इस ग्राफ की ढाल (slope) $V/Q = 1/C$ है।
ग्राफ से,एक निश्चित आवेश $Q$ के लिए,वोल्टेज $V_B > V_A$ है।
चूंकि ढाल धारिता $(C)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए अधिक ढाल का अर्थ कम धारिता है।
अतः,रेखा $B$ की ढाल रेखा $A$ की ढाल से अधिक है,जिसका अर्थ है कि $A$ की धारिता $B$ की धारिता से अधिक है $(C_A > C_B)$.

(C) $R$ त्रिज्या वाले एक चालक गोले की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 R$ द्वारा दी जाती है।
गोले के लिए,आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ होता है।
आयतन को पृष्ठीय क्षेत्रफल से विभाजित करने पर,हमें $\frac{V}{A} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$R = \frac{3V}{A}$ है।
$R$ के इस मान को धारिता के सूत्र में रखने पर:
$C = 4 \pi \epsilon_0 \left( \frac{3V}{A} \right) = \frac{12 \pi \epsilon_0 V}{A}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) जब $q_1$ और $q_2$ आवेश वाली दो प्लेटों को एक समांतर प्लेट संधारित्र बनाने के लिए करीब लाया जाता है,तो प्लेटों के आंतरिक फलकों पर आवेश $q_{inner} = \frac{q_1 - q_2}{2}$ हो जाता है।
इसका कारण यह है कि प्लेटों के बीच एकसमान विद्युत क्षेत्र बनाने के लिए आंतरिक सतहों पर कुल आवेश समान और विपरीत होना चाहिए।
संधारित्र के सिरों के बीच विभवांतर $V$ को सूत्र $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ संधारित्र की प्लेटों के आंतरिक फलक पर आवेश का परिमाण है।
$Q = \frac{q_1 - q_2}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{q_1 - q_2}{2C}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना संधारित्र की धारिता $C$ है।
प्रारंभ में,संचित आवेश $Q = C V$ है।
जब विभव को $V_1$ से कम किया जाता है,तो नया विभव $(V - V_1)$ हो जाता है।
नया संचित आवेश $Q_1 = C(V - V_1)$ है।
पहले समीकरण से,$C = Q/V$ है।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $Q_1 = (Q/V)(V - V_1)$।
$Q_1 = Q - (Q V_1 / V)$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(Q V_1 / V) = Q - Q_1$।
अतः,$V = \frac{Q V_1}{Q - Q_1}$।

(A) हवा माध्यम वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ होती है।
यह दिया गया है कि धारिता में $50 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई धारिता $C' = C_0 + 0.5 C_0 = 1.5 C_0 = \frac{3}{2} C_0$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{3}{2} \frac{\epsilon_0 A}{d}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{d - t + \frac{t}{3}} = \frac{3}{2d}$ मिलता है।
वज्र गुणन करने पर $2d = 3(d - t + \frac{t}{3}) = 3(d - \frac{2t}{3}) = 3d - 2t$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$2t = 3d - 2d = d$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $t = \frac{d}{2}$।

(D) प्रारंभ में,दोनों संधारित्रों की धारिता $C$ है और वे समांतर क्रम में जुड़े हैं। अतः,प्रारंभिक तुल्य धारिता $C_{eq,i} = C + C = 2C$ है।
जब एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भर दिया जाता है,तो उसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है। दूसरा संधारित्र $C$ ही रहता है।
समांतर संयोजन की नई तुल्य धारिता $C_{eq,f} = KC + C = C(K+1)$ है।
प्रभावी धारिता में परिवर्तन $\Delta C = C_{eq,f} - C_{eq,i} = C(K+1) - 2C = CK + C - 2C = C(K-1)$ है।

(C) मान लीजिए कि प्लेटों का क्षेत्रफल $A$ है और उनके बीच की दूरी $d$ है। वायु संधारित्र की धारिता $C_p = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
जब स्थान को $d/2$ मोटाई की दो समांतर परावैद्युत परतों से भरा जाता है,तो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों $C_1$ और $C_2$ की तरह कार्य करता है।
$C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_1 \epsilon_0 A}{d} = 2 K_1 C_p$.
$C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_2 \epsilon_0 A}{d} = 2 K_2 C_p$.
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_K$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C_K} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$.
$\frac{1}{C_K} = \frac{1}{2 K_1 C_p} + \frac{1}{2 K_2 C_p} = \frac{1}{2 C_p} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{1}{2 C_p} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$.
अतः,$C_K = \frac{2 C_p K_1 K_2}{K_1 + K_2}$.
अनुपात $\frac{C_p}{C_K} = \frac{C_p}{\frac{2 C_p K_1 K_2}{K_1 + K_2}} = \frac{K_1 + K_2}{2 K_1 K_2}$.

(B) $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत स्लैब युक्त समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र है: $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$.
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 50 \ cm^2 = 50 \times 10^{-4} \ m^2 = 5 \times 10^{-3} \ m^2$.
दूरी $d = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$.
परावैद्युत की मोटाई $t = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$.
परावैद्युतांक $K = 4$.
मान रखने पर:
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{3 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} + \frac{1 \times 10^{-3}}{4}}$
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{2 \times 10^{-3} + 0.25 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{2.25 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{5 \epsilon_0}{2.25} = \frac{5 \epsilon_0}{9/4} = \frac{20 \epsilon_0}{9}$.

(C) वायु वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब $t = \frac{2d}{3}$ मोटाई की एक चालक शीट प्लेटों के बीच रखी जाती है,तो प्लेटों के बीच की प्रभावी दूरी कम हो जाती है।
नई धारिता $C_1$ का सूत्र $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ है।
सूत्र में $t = \frac{2d}{3}$ का मान रखने पर:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{2d}{3}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{3}} = 3 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right)$.
चूंकि $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,इसलिए $C_1 = 3C$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{C_1}{C} = 3:1$ है।

(A) वायु-भरे समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
जब स्थान को चित्र में दिखाए अनुसार भरा जाता है,तो संधारित्र को समानांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में देखा जा सकता है।
एक भाग में $A/2$ क्षेत्रफल में हवा है,और दूसरे भाग में $A/2$ क्षेत्रफल में $K$ परावैद्युतांक वाला माध्यम है।
हवा वाले भाग की धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{C_0}{2}$ है।
परावैद्युत वाले भाग की धारिता $C_2 = \frac{K \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K C_0}{2}$ है।
चूंकि वे समानांतर में हैं,इसलिए नई धारिता $C_n = C_1 + C_2 = \frac{C_0}{2} + \frac{K C_0}{2} = C_0 \left(\frac{K+1}{2}\right)$ होगी।
अतः,अनुपात $\frac{C_n}{C_0} = \frac{K+1}{2}$ है।

(A) जब एक परावैद्युत पदार्थ को संधारित्र की प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो यह ध्रुवीकृत (polarized) हो जाता है। यह ध्रुवीकरण एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र $E_i$ बनाता है जो प्लेटों पर आवेशों द्वारा उत्पन्न बाहरी विद्युत क्षेत्र $E_0$ का विरोध करता है।
प्लेटों के बीच शुद्ध विद्युत क्षेत्र $E = E_0 - E_i$ हो जाता है,जो $E_0$ से कम होता है।
चूंकि विभवांतर $V$ विद्युत क्षेत्र से $V = E \cdot d$ (जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है) द्वारा संबंधित है,इसलिए विद्युत क्षेत्र में कमी से प्लेटों के बीच विभवांतर में कमी आती है।
चूंकि $C = Q/V$ होता है,इसलिए स्थिर आवेश $Q$ के लिए $V$ में कमी आने से संधारित्र की धारिता $C$ बढ़ जाती है।

(B) वायु संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 1 \mu F$ है।
चित्र से,दो परावैद्युत समानांतर में रखे गए हैं,जिनमें से प्रत्येक प्लेटों के आधे क्षेत्रफल $(A_1 = A_2 = A/2)$ को घेरता है और प्लेटों के बीच की पूरी दूरी $d$ को कवर करता है।
दो भागों की धारिता इस प्रकार है:
$C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_1 \frac{C_0}{2} = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \mu F$
$C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_2 \frac{C_0}{2} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \mu F$
चूंकि वे समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 4 \mu F + 2 \mu F = 6 \mu F$ है।

(D) चित्र से,$C_1 = C$,$C_2 = 2C$,और $C_3 = 3C$ है।
$C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में $V$ वोल्टेज की बैटरी से जुड़े हैं।
श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{3}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$C_s = \frac{2C}{3}$ है।
श्रेणी संयोजन पर आवेश $Q_s = C_s V = \frac{2CV}{3}$ है।
चूंकि श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों पर आवेश समान होता है,इसलिए $C_1$ पर आवेश $Q_1 = Q_s = \frac{2CV}{3}$ होगा।
संधारित्र $C_3$ बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है,इसलिए इसके सिरों पर वोल्टेज $V$ है।
$C_3$ पर आवेश $Q_3 = C_3 V = (3C)V = 3CV$ है।
$C_3$ और $C_1$ पर आवेश का अनुपात $\frac{Q_3}{Q_1} = \frac{3CV}{\frac{2CV}{3}} = \frac{9}{2} = 4.5$ है।

(A) प्रारंभिक धारिता $C_i = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q = C_i V = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$ है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है, आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
अंतिम पृथक्करण $d_f = 4d$ है।
अंतिम धारिता $C_f = \frac{\epsilon_0 A}{4d} = \frac{C_i}{4}$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{Q^2}{2C_i} = \frac{1}{2} C_i V^2 = \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d}$ है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C_f} = \frac{Q^2}{2(C_i/4)} = 4 \left( \frac{Q^2}{2C_i} \right) = 4 U_i$ है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 4 U_i - U_i = 3 U_i$ है।
$U_i$ का मान रखने पर, $W = 3 \left( \frac{\epsilon_0 A V^2}{2d} \right) = \frac{3 \epsilon_0 A V^2}{2d}$ प्राप्त होता है।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Q$ आवेश है और $C$ धारिता है।
मान लीजिए मूल आवेश $Q$ है। मूल ऊर्जा $U_1 = \frac{Q^2}{2C}$ है।
जब आवेश को $3 \ C$ से बढ़ाया जाता है,तो नया आवेश $Q' = Q + 3$ हो जाता है।
नई ऊर्जा $U_2 = \frac{(Q+3)^2}{2C}$ है।
यह दिया गया है कि ऊर्जा $21 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए $U_2 = U_1 + 0.21 U_1 = 1.21 U_1$.
$U_1$ और $U_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(Q+3)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{Q^2}{2C}$.
$(Q+3)^2 = 1.21 Q^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$Q+3 = 1.1 Q$.
$3 = 1.1 Q - Q$.
$3 = 0.1 Q$.
$Q = \frac{3}{0.1} = 30 \ C$.
अतः,संधारित्र पर मूल आवेश $30 \ C$ है।

(A) $C_1$ मान के $10$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq1} = \frac{C_1}{10}$ है।
पहले संयोजन में संचित ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} C_{eq1} (4V)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{C_1}{10} \right) (16V^2) = \frac{16}{20} C_1 V^2 = \frac{4}{5} C_1 V^2$ है।
$C_2$ मान के $8$ संधारित्रों के समांतर संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq2} = 8C_2$ है।
दूसरे संयोजन में संचित ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2} C_{eq2} V^2 = \frac{1}{2} (8C_2) V^2 = 4 C_2 V^2$ है।
यह दिया गया है कि $U_1 = U_2$,इसलिए $\frac{4}{5} C_1 V^2 = 4 C_2 V^2$ है।
दोनों पक्षों को $4V^2$ से विभाजित करने पर,हमें $C_2 = \frac{C_1}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $C = 4 \mu F = 4 \times 10^{-6} \ F$ और $V = 10 \ V$ दिया गया है,इसलिए ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (10)^2 = 2 \times 10^{-4} \ J$ है।
जब संधारित्र को प्रेरक (inductor) से जोड़ा जाता है,तो कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है और संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
प्रेरक में अधिकतम ऊर्जा $U_{max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} L I_{max}^2 = \frac{1}{2} C V^2$.
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L} = \frac{4 \times 10^{-6} \times 100}{10 \times 10^{-3}} = \frac{4 \times 10^{-4}}{10^{-2}} = 4 \times 10^{-2} = 0.04$.
अतः,$I_{max} = \sqrt{0.04} = 0.2 \ A$।

(A) माना संधारित्र पर मूल आवेश $Q$ है और धारिता $C$ है। संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
जब आवेश को $2 \text{ C}$ से बढ़ाया जाता है, तो नया आवेश $Q' = Q + 2$ हो जाता है।
नई संचित ऊर्जा $U' = \frac{(Q + 2)^2}{2C}$ है।
दिया गया है कि ऊर्जा $21 \% $ बढ़ जाती है, इसलिए $U' = U + 0.21U = 1.21U$ है।
$U$ और $U'$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{(Q + 2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{Q^2}{2C}$।
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2C}$ को हटाने पर, $(Q + 2)^2 = 1.21Q^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $Q + 2 = 1.1Q$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, $0.1Q = 2$, जिससे $Q = \frac{2}{0.1} = 20 \text{ C}$ प्राप्त होता है।

(C) संधारित्र को तीन भागों में विभाजित किया गया है। मान लीजिए कुल क्षेत्रफल $A$ और दूरी $d$ है।
$1$. बाएं भाग का क्षेत्रफल $A/2$ और परावैद्युतांक $K_1 = 4$ है। इसकी धारिता $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{2d} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ है।
$2$. दाईं ओर का भाग दो भागों में श्रेणीक्रम में विभाजित है,प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/2$ और दूरी $d/2$ है। परावैद्युतांक $K_2 = 3$ और $K_3 = 6$ हैं।
$3$. ऊपर वाले दाएं भाग की धारिता: $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d}$।
$4$. नीचे वाले दाएं भाग की धारिता: $C_3 = \frac{K_3 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{6 \epsilon_0 A}{d}$।
$5$. $C_2$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_{23}$ का मान $\frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{d}{3 \epsilon_0 A} + \frac{d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{2d + d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{3d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{d}{2 \epsilon_0 A}$ होगा। अतः,$C_{23} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$।
$6$. $C_1$ और $C_{23}$ समांतर क्रम में हैं। इसलिए,कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_{23} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d} + \frac{2 \epsilon_0 A}{d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{d}$ है।

(D) श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$।
चूंकि $C_1 = C_2 = C_3 = C$ है,इसलिए $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$।
अतः,$C_{eq} = \frac{C}{3}$।
जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल ब्रेकडाउन वोल्टेज प्रत्येक संधारित्र के व्यक्तिगत ब्रेकडाउन वोल्टेज का योग होता है,यदि वे समान हों।
इसलिए,कुल ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_{total} = V + V + V = 3 V$ होगा।
अतः,तुल्य धारिता $\frac{C}{3}$ और ब्रेकडाउन वोल्टेज $3 V$ है।

(C) $1$. समानांतर संयोजन में, प्रत्येक संधारित्र का विभव $V$ होता है। प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q = CV$ है। कुल आवेश $Q_{total} = nq = nCV$ है। कुल ऊर्जा $U_p = n \times (1/2)CV^2 = (n/2)CV^2$ है।
$2$. जब उन्हें अलग करके श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है, तो श्रेणी संयोजन पर कुल आवेश $q = CV$ रहता है (क्योंकि वे स्रोत से अलग हो गए हैं)। तुल्य धारिता $C_s = C/n$ है।
$3$. श्रेणी संयोजन पर नया विभवांतर $V' = Q_{total} / C_s = (CV) / (C/n) = nV$ है।
$4$. श्रेणी संयोजन में संचित नई ऊर्जा $U_s = (1/2) Q^2 / C_s = (1/2) (CV)^2 / (C/n) = (1/2) C^2V^2 / (C/n) = (n/2) CV^2$ है।
$5$. परिणामों की तुलना करने पर, विभवांतर $nV$ हो जाता है और कुल ऊर्जा समान रहती है।

(D) जब दो संधारित्र समानांतर में जुड़े होते हैं,तो कुल आवेश $Q_{total}$ व्यक्तिगत आवेशों का योग होता है और कुल धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग होती है।
दिया गया है: $C_1 = 100 \mu F$,$V_1 = 20 \text{ V}$,$C_2 = 50 \mu F$,$V_2 = 40 \text{ V}$.
पहले संधारित्र पर आवेश: $Q_1 = C_1 V_1 = 100 \mu F \times 20 \text{ V} = 2000 \mu C$.
दूसरे संधारित्र पर आवेश: $Q_2 = C_2 V_2 = 50 \mu F \times 40 \text{ V} = 2000 \mu C$.
कुल आवेश: $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 2000 \mu C + 2000 \mu C = 4000 \mu C$.
तुल्य धारिता: $C_{eq} = C_1 + C_2 = 100 \mu F + 50 \mu F = 150 \mu F$.
उभयनिष्ठ विभव $V$ का मान $V = \frac{Q_{total}}{C_{eq}}$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{4000 \mu C}{150 \mu F} = \frac{400}{15} \text{ V} = \frac{80}{3} \text{ V}$.

(C) चित्र से हम देख सकते हैं कि ऊपरी शाखा में तीन संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। इस समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_1 = C + C + C = 3C$ है।
निचली शाखा में दो संधारित्र श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं। इस श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $C_2 = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$ है।
ये दोनों शाखाएँ ($C_1$ और $C_2$) बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर में जुड़ी हुई हैं।
इसलिए,परिणामी धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $C_{eq} = 14 \mu F$,इसलिए $14 = 3C + \frac{C}{2}$।
$14 = \frac{6C + C}{2} = \frac{7C}{2}$।
$7C = 28$,जिससे हमें $C = 4 \mu F$ प्राप्त होता है।

(A) माना $n_1$ संधारित्र समांतर क्रम में और $n_2$ संधारित्र श्रेणी क्रम में जुड़े हैं,ताकि $n_1 + n_2 = 7$ हो।
$C$ धारिता के $n_1$ संधारित्र समांतर क्रम में होने पर तुल्य धारिता $C_p = n_1 C$ होती है।
$C$ धारिता के $n_2$ संधारित्र श्रेणी क्रम में होने पर तुल्य धारिता $C_s = \frac{C}{n_2}$ होती है।
जब ये दोनों संयोजन श्रेणी क्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल प्रभावी धारिता $C_{eff}$ इस प्रकार होती है:
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_s} = \frac{1}{n_1 C} + \frac{n_2}{C} = \frac{1 + n_1 n_2}{n_1 C}$.
यहाँ $C = 2 \mu F$ और $C_{eff} = \frac{10}{11} \mu F$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{11}{10} = \frac{1 + n_1 n_2}{2 n_1} \implies 22 n_1 = 10 + 10 n_1 n_2 \implies 11 n_1 = 5 + 5 n_1 n_2$.
$n_2 = 7 - n_1$ रखने पर:
$11 n_1 = 5 + 5 n_1 (7 - n_1) \implies 11 n_1 = 5 + 35 n_1 - 5 n_1^2$.
$5 n_1^2 - 24 n_1 + 5 = 0$.
यदि हम चित्र $A$ को देखें,तो $5$ संधारित्र समांतर में और $2$ संधारित्र श्रेणी में हैं,जिससे $C_p = 5 \times 2 = 10 \mu F$ और $C_s = 2 / 2 = 1 \mu F$ प्राप्त होता है। अतः $C_{eff} = (10 \times 1) / (10 + 1) = 10/11 \mu F$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. $P$ और $R$ के बीच तुल्य धारिता $(C_{PR})$ ज्ञात करने के लिए: $P-Q-R$ पथ में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जो $C/2$ देते हैं। $P-T-S-R$ पथ में तीन संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जो $C/3$ देते हैं। ये दोनों शाखाएँ समांतर क्रम में हैं। अतः,$C_{PR} = C/2 + C/3 = 5C/6$.
$2$. $P$ और $Q$ के बीच तुल्य धारिता $(C_{PQ})$ ज्ञात करने के लिए: $P-Q$ पथ में एक संधारित्र $C$ है। $P-T-S-R-Q$ पथ में चार संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जो $C/4$ देते हैं। ये दोनों शाखाएँ समांतर क्रम में हैं। अतः,$C_{PQ} = C + C/4 = 5C/4$.
$3$. अनुपात $C_{PR} / C_{PQ} = (5C/6) / (5C/4) = 4/6 = 2/3$.