$L.P.P.$ માં,$x + y \leq 5, x + 2y \geq 4, 4x + y \leq 12, x, y \geq 0$ શરતોને આધીન હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

$L$.$P$.$P$. (રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા) માટે $z = 70x + 50y$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,શરતો $8x + 5y \leq 60$,$4x + 5y \leq 40$ અને $x \geq 0, y \geq 0$ ને આધીન શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ (feasible region) કયો છે?

એક પ્રકારની કેક બનાવવા માટે $200 \,g$ મેંદો અને $25 \,g$ ચરબીની જરૂર પડે છે,અને બીજા પ્રકારની કેક બનાવવા માટે $100 \,g$ મેંદો અને $50 \,g$ ચરબીની જરૂર પડે છે. જો કેક બનાવવા માટે વપરાતી અન્ય સામગ્રીની કોઈ અછત ન હોય,તો $5 \,kg$ મેંદા અને $1 \,kg$ ચરબીમાંથી બનાવી શકાતી કેકની મહત્તમ સંખ્યા શોધો.

એક કુટીર ઉદ્યોગ પેડેસ્ટલ લેમ્પ અને લાકડાના શેડનું ઉત્પાદન કરે છે,જેમાં દરેક માટે ગ્રાઇન્ડિંગ/કટીંગ મશીન અને સ્પ્રેયરનો ઉપયોગ જરૂરી છે. એક પેડેસ્ટલ લેમ્પ બનાવવા માટે ગ્રાઇન્ડિંગ/કટીંગ મશીન પર $2 \text{ કલાક}$ અને સ્પ્રેયર પર $3 \text{ કલાક}$ લાગે છે. એક શેડ બનાવવા માટે ગ્રાઇન્ડિંગ/કટીંગ મશીન પર $1 \text{ કલાક}$ અને સ્પ્રેયર પર $2 \text{ કલાક}$ લાગે છે. કોઈપણ દિવસે,સ્પ્રેયર વધુમાં વધુ $20 \text{ કલાક}$ અને ગ્રાઇન્ડિંગ/કટીંગ મશીન વધુમાં વધુ $12 \text{ કલાક}$ માટે ઉપલબ્ધ છે. લેમ્પના વેચાણ પરનો નફો $Rs. 5$ છે અને શેડ પરનો નફો $Rs. 3$ છે. ઉત્પાદક તે જે બનાવે છે તે તમામ લેમ્પ અને શેડ વેચી શકે છે તેમ માનીને,તેણે તેનો નફો મહત્તમ કરવા માટે તેના દૈનિક ઉત્પાદનનું આયોજન કેવી રીતે કરવું જોઈએ?

હેતુલક્ષી વિધેય $z=2x+3y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો,જે શરતો $x+y \leq 5$,$2x+y \geq 4$,$x \geq 0$ અને $y \geq 0$ ને આધીન છે.

એક જથ્થાબંધ વેપારી $Rs \ 24000$ સાથે અનાજનો વ્યવસાય શરૂ કરવા માંગે છે. ઘઉંનો ભાવ $Rs \ 400$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ અને ચોખાનો ભાવ $Rs \ 600$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ છે. તેની પાસે $200$ ક્વિન્ટલ અનાજ સંગ્રહ કરવાની ક્ષમતા છે. તે ઘઉં પર $Rs \ 25$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ અને ચોખા પર $Rs \ 40$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ નફો મેળવે છે. જો તે $x$ ક્વિન્ટલ ચોખા અને $y$ ક્વિન્ટલ ઘઉંનો સંગ્રહ કરે,તો મહત્તમ નફા માટે હેતુલક્ષી વિધેય (objective function) શું છે?