MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना दी गई रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+5}{4} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(x, y, z) = (2\lambda+1, -3\lambda+2, 4\lambda-5)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x+4y-z=3$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2\lambda+1) + 4(-3\lambda+2) - (4\lambda-5) = 3$.
पदों का विस्तार करने पर:
$4\lambda + 2 - 12\lambda + 8 - 4\lambda + 5 = 3$.
$\lambda$ वाले पदों और स्थिरांकों को संयोजित करने पर:
$-12\lambda + 15 = 3$.
$-12\lambda = 3 - 15$.
$-12\lambda = -12$.
$\lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को निर्देशांकों में वापस रखने पर:
$x = 2(1) + 1 = 3$.
$y = -3(1) + 2 = -1$.
$z = 4(1) - 5 = -1$.
अतः,अभीष्ट निर्देशांक $(3, -1, -1)$ हैं।

(A) रेखा $L$ दो समतलों $2x + 3y + z = 1$ और $x + 3y + 2z = 2$ का प्रतिच्छेदन है।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$,समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = (2, 3, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, 3, 2)$ के सदिश गुणन (cross product) द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{v} = (1, -1, 1)$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
रेखा $L$,धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\alpha$ कोण बनाती है,जिसका दिशा सदिश $\vec{u} = (1, 0, 0)$ है।
कोण $\alpha$ का कोज्या (cosine) $\cos \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{u}|}{|\vec{v}| |\vec{u}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \alpha = \frac{|(1)(1) + (-1)(0) + (1)(0)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \sqrt{3}$.

(B) चूंकि रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ समतल $x+3y-\alpha z+\beta=0$ में स्थित है,इसलिए रेखा के दिक अनुपात $(3, -5, 2)$ समतल के अभिलंब $(1, 3, -\alpha)$ के लंबवत होने चाहिए।
अतः,$3(1) + (-5)(3) + 2(-\alpha) = 0$.
$3 - 15 - 2\alpha = 0 \Rightarrow -12 - 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -6$.
साथ ही,रेखा पर स्थित बिंदु $(2, 1, -2)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
$2 + 3(1) - (-6)(-2) + \beta = 0$.
$2 + 3 - 12 + \beta = 0 \Rightarrow -7 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 7$.
अंत में,$\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = (-6)^2 + (-6)(7) + (7)^2 = 36 - 42 + 49 = 43$.

(C) एक रेखा जिसके दिशा सदिश $\vec{b}$ है और एक समतल जिसके अभिलंब सदिश $\vec{n}$ है,के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\sin \theta = \left| \frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|} \right|$.
यहाँ,रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} - \lambda\hat{k}$ है।
दिया गया है $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$। चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{3}$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{1}{3} = \left| \frac{(2)(1) + (1)(-2) + (-2)(-\lambda)}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-\lambda)^2}} \right|$
$\frac{1}{3} = \left| \frac{2 - 2 + 2\lambda}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda^2}} \right|$
$\frac{1}{3} = \left| \frac{2\lambda}{3 \sqrt{5 + \lambda^2}} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{9} = \frac{4\lambda^2}{9(5 + \lambda^2)}$
$5 + \lambda^2 = 4\lambda^2$
$3\lambda^2 = 5$
$\lambda^2 = \frac{5}{3} \Rightarrow \lambda = \sqrt{\frac{5}{3}}$.

(B) माना रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}=k$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $P$ $(2k+1, 3k-1, 4k+2)$ के रूप में है।
चूंकि बिंदु $P$ समतल $x+2y+3z=15$ पर स्थित है,हम $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2k+1) + 2(3k-1) + 3(4k+2) = 15$.
पदों का विस्तार करने पर: $2k + 1 + 6k - 2 + 12k + 6 = 15$.
समान पदों को जोड़ने पर: $20k + 5 = 15$,जिससे $20k = 10$ प्राप्त होता है,अतः $k = \frac{1}{2}$.
$k = \frac{1}{2}$ का मान $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$P = (2(\frac{1}{2})+1, 3(\frac{1}{2})-1, 4(\frac{1}{2})+2) = (2, \frac{1}{2}, 4)$.
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $P(2, \frac{1}{2}, 4)$ की दूरी $\sqrt{2^2 + (\frac{1}{2})^2 + 4^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{4} + 16} = \sqrt{20 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2}$ इकाई है।

(D) समतल $P_1$ का अभिलंब सदिश $\bar{n_1} = (2 \hat{j}+3 \hat{k}) \times (4 \hat{j}-3 \hat{k}) = -18 \hat{i}$ है।
समतल $P_2$ का अभिलंब सदिश $\bar{n_2} = (\hat{j}-\hat{k}) \times (3 \hat{i}+3 \hat{j}) = 3 \hat{i}-3 \hat{j}-3 \hat{k}$ है।
सदिश $\bar{A}$ प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है,इसलिए $\bar{A} = \bar{n_1} \times \bar{n_2} = (-18 \hat{i}) \times (3 \hat{i}-3 \hat{j}-3 \hat{k}) = 54 \hat{j}-54 \hat{k}$ है।
हम $\bar{A}$ को $-\hat{j}+\hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
मान लीजिए $\bar{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ है। $\bar{A}$ और $\bar{v}$ के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{\bar{A} \cdot \bar{v}}{|\bar{A}| |\bar{v}|}$ है।
$\bar{A} \cdot \bar{v} = (0)(2) + (-1)(1) + (1)(-2) = -3$ है।
$|\bar{A}| = \sqrt{2}$ और $|\bar{v}| = 3$ है।
$\cos \theta = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\theta = \frac{3\pi}{4}$।

(A) माना रेखा $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12} = \lambda$ है।
रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $P$ $(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ के रूप में है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 5$.
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 5$.
$11\lambda + 5 = 5$.
$11\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ $(2, -1, 2)$ है।
अब हमें $P(2, -1, 2)$ और $Q(-1, -5, -10)$ के बीच की दूरी ज्ञात करनी है।
$PQ = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-5 - (-1))^2 + (-10 - 2)^2}$.
$PQ = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-12)^2}$.
$PQ = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ इकाई।

(A) रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z}{1}$ के दिक-अनुपात $2, 4, 1$ हैं।
चूँकि अभीष्ट रेखा इसके समांतर है,इसलिए इसके दिक-अनुपात भी $2, 4, 1$ होंगे।
बिंदु $A(1, 3, 2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 2}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $B = (2\lambda + 1, 4\lambda + 3, \lambda + 2)$ के रूप में होगा।
बिंदु $B$ समतल $3x + y + 2z = 5$ पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक समतल के समीकरण को संतुष्ट करेंगे:
$3(2\lambda + 1) + (4\lambda + 3) + 2(\lambda + 2) = 5$.
$6\lambda + 3 + 4\lambda + 3 + 2\lambda + 4 = 5$.
$12\lambda + 10 = 5$.
$12\lambda = -5 \Rightarrow \lambda = -\frac{5}{12}$.
अब $\lambda = -\frac{5}{12}$ का मान $B$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-\frac{5}{12}) + 1 = \frac{1}{6}$.
$y = 4(-\frac{5}{12}) + 3 = \frac{4}{3}$.
$z = -\frac{5}{12} + 2 = \frac{19}{12}$.
अतः,बिंदु $B$ के निर्देशांक $(\frac{1}{6}, \frac{4}{3}, \frac{19}{12})$ हैं।

(C) माना $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12} = \lambda$ है।
अतः, रेखा पर स्थित किसी बिंदु $P$ के निर्देशांक $P = (3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $x - y + z = 16$ पर स्थित है, इसलिए हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 16$.
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 16$.
$11\lambda + 5 = 16$.
$11\lambda = 11$, जिससे हमें $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर, हमें $P = (3(1) + 2, 4(1) - 1, 12(1) + 2) = (5, 3, 14)$ प्राप्त होता है।
अब, दूरी सूत्र का उपयोग करके $P(5, 3, 14)$ और $Q(1, 6, 2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
$PQ = \sqrt{(1-5)^2 + (6-3)^2 + (2-14)^2}$.
$PQ = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2 + (-12)^2}$.
$PQ = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ इकाई}$.

(A) समतलों $\bar{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ और $\bar{r} \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा,उनके अभिलंब सदिशों $\bar{n}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{n}_2 = \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ के लंबवत होती है।
इसलिए,यह रेखा सदिश $\bar{n}_1 \times \bar{n}_2$ के समांतर है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$\bar{n}_1 \times \bar{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(-2) - (1)(4)) - \hat{j}((3)(-2) - (1)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-1)(1))$
$= \hat{i}(2 - 4) - \hat{j}(-6 - 1) + \hat{k}(12 + 1)$
$= -2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$.

(A) दिया गया है $\cos ^{-1} x - \cos ^{-1} \frac{y}{3} = \alpha$.
सर्वसमिका $\cos ^{-1} a - \cos ^{-1} b = \cos ^{-1} (ab + \sqrt{1-a^2} \sqrt{1-b^2})$ का उपयोग करने पर:
$\cos ^{-1} \left( \frac{xy}{3} + \sqrt{1-x^2} \sqrt{1-\frac{y^2}{9}} \right) = \alpha$
$\frac{xy}{3} + \frac{\sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2}}{3} = \cos \alpha$
$xy + \sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2} = 3 \cos \alpha$
$xy - 3 \cos \alpha = -\sqrt{1-x^2} \sqrt{9-y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(xy - 3 \cos \alpha)^2 = (1-x^2)(9-y^2)$
$x^2y^2 - 6xy \cos \alpha + 9 \cos ^2 \alpha = 9 - y^2 - 9x^2 + x^2y^2$
$9x^2 - 6xy \cos \alpha + y^2 = 9 - 9 \cos ^2 \alpha$
$9x^2 - 6xy \cos \alpha + y^2 = 9(1 - \cos ^2 \alpha) = 9 \sin ^2 \alpha$.

(D) माना $f(\theta) = a \sec \theta - b \tan \theta$.
तब $f'(\theta) = a \sec \theta \tan \theta - b \sec^2 \theta = \sec \theta (a \tan \theta - b \sec \theta)$.
$f'(\theta) = 0$ रखने पर,$a \tan \theta - b \sec \theta = 0$ प्राप्त होता है (क्योंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए $\sec \theta \neq 0$).
इसका अर्थ है $a \sin \theta = b$,या $\sin \theta = \frac{b}{a}$.
चूंकि $\sin \theta = \frac{b}{a}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$ है।
अतः $\sec \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 - b^2}}$ और $\tan \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 - b^2}}$.
द्वितीय अवकलज $f''(\theta) > 0$ है,जो $\sin \theta = \frac{b}{a}$ पर न्यूनतम मान सुनिश्चित करता है।
न्यूनतम मान $f(\theta) = a \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 - b^2}} \right) - b \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 - b^2}} \right) = \frac{a^2 - b^2}{\sqrt{a^2 - b^2}} = \sqrt{a^2 - b^2}$.

(C) माना $f(x) = \sin x$.
तब $f^{\prime}(x) = \cos x$.
यहाँ,$a = 60^{\circ}$ और $h = 10^{\prime \prime}$.
चूंकि $1^{\circ} = 3600^{\prime \prime}$,इसलिए $h = \frac{10}{3600}^{\circ} = \frac{1}{360}^{\circ}$.
$h$ को रेडियन में बदलने पर: $h = \frac{1}{360} \times 0.0175^{c} \approx 0.0000486^{c}$.
अब,$f(a) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1.732}{2} = 0.866$.
और $f^{\prime}(a) = \cos(60^{\circ}) = 0.5$.
रैखिक सन्निकटन सूत्र $f(a+h) \approx f(a) + h f^{\prime}(a)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(60^{\circ} 0^{\prime} 10^{\prime \prime}) \approx 0.866 + (0.0000486 \times 0.5)$.
$\approx 0.866 + 0.0000243 = 0.8660243$.

(A) दिया गया है $\overline{OP} = \hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t$.
$M = |\overline{OP}| = \sqrt{(\hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t)^2}$.
चूँकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,$|\hat{a}| = 1$ और $|\hat{b}| = 1$.
$M^2 = \sin^2 t |\hat{a}|^2 + \cos^2 t |\hat{b}|^2 + 2 \sin t \cos t (\hat{a} \cdot \hat{b}) = \sin^2 t + \cos^2 t + \sin 2t (\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + \sin 2t (\hat{a} \cdot \hat{b})$.
$P$ के मूल बिंदु $O$ से सबसे दूर होने के लिए,$M$ का अधिकतम होना आवश्यक है।
चूँकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ न्यून कोण बनाते हैं,$\hat{a} \cdot \hat{b} > 0$.
अतः,$M$ अधिकतम होता है जब $\sin 2t = 1$,जिसका अर्थ है $2t = \frac{\pi}{2}$,अर्थात $t = \frac{\pi}{4}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin t = \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$M = \sqrt{1 + 1(\hat{a} \cdot \hat{b})} = (1 + \hat{a} \cdot \hat{b})^{\frac{1}{2}}$.
$\hat{u} = \frac{\overline{OP}}{|\overline{OP}|} = \frac{\hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t}{M} = \frac{\hat{a} \frac{1}{\sqrt{2}} + \hat{b} \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}} |\hat{a} + \hat{b}|} = \frac{\hat{a} + \hat{b}}{|\hat{a} + \hat{b}|}$.

(A) मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ एक समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ हैं,जहाँ $\vec{a} = 2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ है।
समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{c} = (2+1) \hat{i} + (-4-2) \hat{j} + (5-3) \hat{k} = 3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
$\vec{c}$ का परिमाण $|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ है।
विकर्ण $\vec{c}$ के समांतर इकाई सदिश $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}}{7} = \frac{3}{7} \hat{i} - \frac{6}{7} \hat{j} + \frac{2}{7} \hat{k}$ है।

(B) माना $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ है। $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$.
सदिश $\vec{c} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ का $\vec{n}$ पर प्रक्षेप $\left| \frac{\vec{c} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{c} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (1)(-2) + (1)(1) = 2 - 2 + 1 = 1$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}$.
अतः,प्रक्षेप का परिमाण $\left| \frac{1}{\sqrt{6}} \right| = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।

(A) दिया गया है $\overline{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\overline{b} = \hat{j} - \hat{k}$. मान लीजिए $\overline{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
हमें $\overline{a} \times \overline{r} = \overline{b}$ दिया गया है।
$\overline{a} \times \overline{r} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y) \hat{i} - (z-x) \hat{j} + (y-x) \hat{k}$.
इसे $\overline{b} = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} - 1 \hat{k}$ के साथ तुलना करने पर:
$z - y = 0 \implies z = y$ $(i)$
$x - z = 1 \implies x = z + 1$ (ii)
$y - x = -1$ (iii)
साथ ही,$\overline{a} \cdot \overline{r} = 3 \implies x + y + z = 3$ (iv).
(iv) में $y = z$ और $x = z + 1$ रखने पर:
$(z + 1) + z + z = 3 \implies 3z + 1 = 3 \implies 3z = 2 \implies z = \frac{2}{3}$.
अतः,$y = \frac{2}{3}$ और $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
इसलिए,$\overline{r} = \frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + \frac{2}{3} \hat{k}$.

(A) दिया गया है: $\overline{a} = 4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k}$,$\overline{b} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$,और $\overline{c} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$।
हमें संबंध $\overline{a} = m \overline{b} + n \overline{c}$ दिया गया है।
सदिशों का मान रखने पर:
$4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k} = m(\hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + n(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k})$
$4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k} = (m + 2n) \hat{i} + (-2m + 3n) \hat{j} + (3m - 4n) \hat{k}$
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j},$ और $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) \ m + 2n = 4$
$2) \ -2m + 3n = 13$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करने पर $2m + 4n = 8$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण $(2)$ में जोड़ने पर:
$(2m + 4n) + (-2m + 3n) = 8 + 13$
$7n = 21 \Rightarrow n = 3$
$n = 3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$m + 2(3) = 4 \Rightarrow m + 6 = 4 \Rightarrow m = -2$
अतः,$m + n = -2 + 3 = 1$।

(A) चूंकि सदिश $\bar{a}$,$\bar{b}$,और $\bar{c}$ रैखिक रूप से आश्रित हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$.
यह सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3\beta - 4\alpha) - 1(4\beta - 4) + 1(4\alpha - 3) = 0$.
$3\beta - 4\alpha - 4\beta + 4 + 4\alpha - 3 = 0$.
$-\beta + 1 = 0 \implies \beta = 1$.
दिया गया है कि $|\bar{c}| = \sqrt{3}$,इसलिए $\sqrt{1^2 + \alpha^2 + \beta^2} = \sqrt{3}$.
$1 + \alpha^2 + \beta^2 = 3$.
$\beta = 1$ रखने पर:
$1 + \alpha^2 + 1 = 3 \implies \alpha^2 = 1 \implies \alpha = \pm 1$.
विकल्पों की जांच करने पर,$\alpha = 1$ और $\beta = 1$ के लिए शर्त संतुष्ट होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दी गई शर्त के अनुसार,सदिश $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$,$\bar{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
सबसे पहले,$\bar{a}+\lambda \bar{b}$ की गणना करें:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = (2+2\lambda) \hat{i} + (3+\lambda) \hat{j} + (2-\lambda) \hat{k}$
अब,$\bar{c} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 0 \hat{k}$ के साथ अदिश गुणनफल करने पर:
$[(2+2\lambda) \hat{i} + (3+\lambda) \hat{j} + (2-\lambda) \hat{k}] \cdot (3 \hat{i} - \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$3(2+2\lambda) - 1(3+\lambda) + 0(2-\lambda) = 0$
$6 + 6\lambda - 3 - \lambda = 0$
$3 + 5\lambda = 0$
$5\lambda = -3$
$\lambda = \frac{-3}{5}$

(B) आसन्न भुजाओं $\bar{a}$ और $\bar{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $|\bar{a} \times \bar{b}| = 16$ है।
अब,$(3 \bar{a} + 2 \bar{b})$ और $(\bar{a} + 3 \bar{b})$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण द्वारा दिया जाता है:
$|(3 \bar{a} + 2 \bar{b}) \times (\bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 9(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 6(\bar{b} \times \bar{b})|$
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})|$
$= 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
$= 7 \times 16 = 112$ वर्ग इकाई।

(C) दिया गया है: $|\overline{u}|=1, |\overline{v}|=2, |\overline{w}|=3$।
शर्त के अनुसार,$\overline{v}$ का $\overline{u}$ पर प्रक्षेप = $\overline{w}$ का $\overline{u}$ पर प्रक्षेप।
$\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|} = \frac{\overline{w} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$
$\implies \overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u}$
$\implies (\overline{w} - \overline{v}) \cdot \overline{u} = 0$।
अब,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = |\overline{u} + (\overline{w} - \overline{v})|^2$ पर विचार करें।
$= |\overline{u}|^2 + |\overline{w} - \overline{v}|^2 + 2\overline{u} \cdot (\overline{w} - \overline{v})$।
चूंकि $(\overline{w} - \overline{v}) \cdot \overline{u} = 0$,इसलिए अंतिम पद $0$ होगा।
$= |\overline{u}|^2 + |\overline{w}|^2 + |\overline{v}|^2 - 2(\overline{w} \cdot \overline{v})$।
चूंकि $\overline{v}$ और $\overline{w}$ लंबवत हैं,$\overline{w} \cdot \overline{v} = 0$।
$= (1)^2 + (3)^2 + (2)^2 - 0 = 1 + 9 + 4 = 14$।
अतः,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}| = \sqrt{14}$।

(D) दिया गया है $|\overline{b}|=4, |\overline{c}|=1$ और $|\overline{b} \times \overline{c}|=\sqrt{15}$।
माना $\overline{b}$ और $\overline{c}$ के बीच का कोण $\alpha$ है।
$|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}||\overline{c}| \sin \alpha = \sqrt{15}$।
$4 \times 1 \times \sin \alpha = \sqrt{15} \implies \sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$।
तब,$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \implies \cos \alpha = \frac{1}{4}$।
दिया गया है $\overline{b} = 2\overline{c} + \lambda \overline{a}$,अतः $\overline{b} - 2\overline{c} = \lambda \overline{a}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\overline{b} - 2\overline{c}|^2 = |\lambda \overline{a}|^2$।
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$।
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(|\overline{b}||\overline{c}| \cos \alpha) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$।
$16 + 4(1) - 4(4 \times 1 \times \frac{1}{4}) = \lambda^2 (2)^2$।
$16 + 4 - 4 = 4\lambda^2$।
$16 = 4\lambda^2 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$। विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $4$ है।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}+2 \bar{b}$,$\bar{c}$ के साथ संरेख है,इसलिए एक शून्येतर अदिश $n$ का अस्तित्व है जिससे $\bar{a}+2 \bar{b} = n \bar{c}$। (समीकरण $1$)
इसी प्रकार,चूंकि $\bar{b}+3 \bar{c}$,$\bar{a}$ के साथ संरेख है,एक शून्येतर अदिश $m$ का अस्तित्व है जिससे $\bar{b}+3 \bar{c} = m \bar{a}$। (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से,$\bar{b} = m \bar{a} - 3 \bar{c}$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $1$ में रखने पर: $\bar{a} + 2(m \bar{a} - 3 \bar{c}) = n \bar{c}$।
इसे सरल करने पर: $\bar{a} + 2m \bar{a} - 6 \bar{c} = n \bar{c}$।
$(1 + 2m) \bar{a} = (n + 6) \bar{c}$।
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{c}$ शून्येतर और असंरेख हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$1 + 2m = 0 \Rightarrow m = -\frac{1}{2}$ और $n + 6 = 0 \Rightarrow n = -6$।
$n = -6$ को समीकरण $1$ में रखने पर,हमें $\bar{a} + 2 \bar{b} = -6 \bar{c}$ प्राप्त होता है।

(C) माना सदिश $\vec{v} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{a} = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{v} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b} = (2\lambda + \mu) \hat{i} + (\lambda + \mu) \hat{j} + (\lambda + \mu) \hat{k}$ के रूप में होगा।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{c} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$ होगा।
$3(2\lambda + \mu) + 2(\lambda + \mu) + 6(\lambda + \mu) = 0$.
$14\lambda + 11\mu = 0$.
यदि $\lambda = 11$ लें,तो $\mu = -14$ प्राप्त होता है।
अतः $\vec{v} = 8 \hat{i} - 3 \hat{j} - 3 \hat{k}$ प्राप्त होता है।
इकाई सदिश $\pm \frac{8 \hat{i} - 3 \hat{j} - 3 \hat{k}}{\sqrt{82}}$ होगा।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $C$ है।

(C) निर्देशांक निकाय को मूल बिंदु के परितः घुमाने पर सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
मूल निकाय में सदिश $\bar{a}$ के घटक $(1, 2p)$ दिए गए हैं,अतः इसके परिमाण का वर्ग:
$|\bar{a}|^2 = 1^2 + (2p)^2 = 1 + 4p^2$
नए निकाय में,घटक $(1, p+1)$ हैं,अतः इसके परिमाण का वर्ग:
$|\bar{b}|^2 = 1^2 + (p+1)^2 = 1 + p^2 + 2p + 1 = p^2 + 2p + 2$
चूंकि $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2$,इसलिए:
$1 + 4p^2 = p^2 + 2p + 2$
$3p^2 - 2p - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(3p + 1)(p - 1) = 0$
अतः,$p = -\frac{1}{3}$ या $p = 1$.

(D) सदिश $\overline{a}$ की दिशा में सदिश $\overline{b}$ का प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{प्रक्षेप} = \frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}$.
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\overline{a} \cdot \overline{b} = (2)(1) + (3)(-1) + (-4)(-1) = 2 - 3 + 4 = 3$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\overline{a}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\overline{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.
अतः,प्रक्षेप $\frac{3}{\sqrt{29}}$ है।

(A) चूंकि सदिश $p \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+q \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+r \hat{k}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\left|\begin{array}{lll}p & 1 & 1 \\ 1 & q & 1 \\ 1 & 1 & r\end{array}\right|=0$
सारणिक का प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$p(qr-1) - 1(r-1) + 1(1-q) = 0$
$pqr - p - r + 1 + 1 - q = 0$
$pqr - p - q - r + 2 = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$pqr - (p+q+r) = -2$

(D) माना $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि $\overline{c}=\lambda(\overline{a} \times \overline{b})$,इसका अर्थ है कि $\overline{c}$,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$\overline{c} \cdot \overline{a} = 0$ और $\overline{c} \cdot \overline{b} = 0$ है।
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|=1$ दिया गया है,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 1$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$|\overline{a}|^2+|\overline{b}|^2+|\overline{c}|^2+2(\overline{a} \cdot \overline{b}+\overline{b} \cdot \overline{c}+\overline{c} \cdot \overline{a}) = 1$ प्राप्त होता है।
मान $|\overline{a}|^2 = \frac{1}{3}$,$|\overline{b}|^2 = \frac{1}{2}$,$|\overline{c}|^2 = \frac{1}{6}$ और $\overline{c}$ के साथ डॉट प्रोडक्ट $0$ रखने पर:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + 2(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 0 + 0 = 1$.
$\frac{2+3+1}{6} + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta = 1$.
$1 + 2(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cos \theta = 1$.
$2(\frac{1}{\sqrt{6}}) \cos \theta = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) दिया गया है कि $\overline{v}$ का $\overline{u}$ पर प्रक्षेप = $\overline{w}$ का $\overline{u}$ पर प्रक्षेप।
चूंकि $|\overline{u}|=1$,प्रक्षेप का सूत्र $\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$ सरल होकर $\overline{v} \cdot \overline{u}$ हो जाता है।
अतः,$\overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u} \Rightarrow (\overline{v} - \overline{w}) \cdot \overline{u} = 0 \dots (i)$.
साथ ही,$\overline{v}$ और $\overline{w}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $\overline{v} \cdot \overline{w} = 0 \dots (ii)$.
हमें $|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2$ का मान ज्ञात करना है।
$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = |\overline{u}|^2 + |-\overline{v}|^2 + |\overline{w}|^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v}) + 2(\overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(\overline{v} \cdot \overline{w})$.
मान $|\overline{u}|=1, |\overline{v}|=2, |\overline{w}|=3$ रखने पर और $(i)$ तथा $(ii)$ का उपयोग करने पर:
$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(0)$.
चूंकि $\overline{u} \cdot \overline{v} = \overline{u} \cdot \overline{w}$,पद $2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) = 0$ हो जाता है।
अतः,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
इसलिए,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}| = \sqrt{14}$.

(A) दिया गया है कि $|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=3, |\overline{c}|=5$ और सदिशों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}||\overline{b}| \cos 60^{\circ} = (2)(3)(\frac{1}{2}) = 3$.
इसी प्रकार,$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos 60^{\circ} = (3)(5)(\frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$.
और $\overline{c} \cdot \overline{a} = |\overline{c}||\overline{a}| \cos 60^{\circ} = (5)(2)(\frac{1}{2}) = 5$.
अब,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2+|\overline{b}|^2+|\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$.
मान रखने पर: $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(3 + \frac{15}{2} + 5)$.
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 4 + 9 + 25 + 2(\frac{6+15+10}{2}) = 38 + 31 = 69$.
अतः,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{69}$.

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot \{(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b})\}$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए:
$(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b}) = -((2 \overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a} \times \overline{b}))$
$= -\{(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b}) \overline{a} - ((2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a}) \overline{b}\}$
चूंकि $\overline{a} \cdot \overline{a} = 1$ और $\overline{b} \cdot \overline{b} = 1$ (इकाई सदिश) और $\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = 0$ है,अतः सदिश लंबवत हैं।
इसलिए,$(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b} = 2(\overline{a} \cdot \overline{b}) + \overline{b} \cdot \overline{b} = 0 + 1 = 1$.
और $(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a} = 2(\overline{a} \cdot \overline{a}) + \overline{b} \cdot \overline{a} = 2(1) + 0 = 2$.
अतः,व्यंजक $- \{1 \cdot \overline{a} - 2 \cdot \overline{b}\} = 2 \overline{b} - \overline{a}$ हो जाता है।
अब,$E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (2 \overline{b} - \overline{a}) = -(\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (\overline{a}-2 \overline{b}) = -|\overline{a}-2 \overline{b}|^2$.
$|\overline{a}-2 \overline{b}|^2 = |\overline{a}|^2 + 4|\overline{b}|^2 - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) = 1 + 4(1) - 0 = 5$.
इसलिए,$E = -5$.

(B) माना $\overline{a}$ और $\overline{b}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{a}| = 1$ और $|\overline{b}| = 1$ है।
दिया गया है कि $\overline{c} = \overline{a} + 2\overline{b}$ और $\overline{d} = 5\overline{a} - 4\overline{b}$ परस्पर लंब हैं,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$\overline{c} \cdot \overline{d} = 0$
$(\overline{a} + 2\overline{b}) \cdot (5\overline{a} - 4\overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 10(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 + 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
यहाँ $|\overline{a}| = 1, |\overline{b}| = 1$ और $\overline{a} \cdot \overline{b} = \cos \theta$ रखने पर:
$5(1) + 6 \cos \theta - 8(1) = 0$
$6 \cos \theta - 3 = 0$
$6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(B) दिया गया है: $|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=4$ और $\bar{a} \cdot \bar{b}=2$।
हम जानते हैं कि $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2$।
$|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$।
दिया है $\bar{c} = 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3\bar{b}$।
चूंकि $(\bar{a} \times \bar{b}) \perp \bar{b}$,सदिश $2(\bar{a} \times \bar{b})$ और $-3\bar{b}$ लंबवत हैं।
$|\bar{c}|^2 = |2(\bar{a} \times \bar{b})|^2 + |-3\bar{b}|^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9|\bar{b}|^2$।
$|\bar{c}|^2 = 4(12) + 9(16) = 48 + 144 = 192$।
$|\bar{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$।
अब,$\bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{b} \cdot (2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3\bar{b}) = 2(\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b})) - 3(\bar{b} \cdot \bar{b})$।
चूंकि $\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$,इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} = -3|\bar{b}|^2 = -3(16) = -48$।
माना $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\theta$ है।
$\cos \theta = \frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{|\bar{b}| |\bar{c}|} = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$।

(A) हम जानते हैं कि सदिश त्रिक गुणन का नियम है: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$.
दिए गए समीकरण $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$ के साथ तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $\overline{b}$ का गुणांक शून्य होना चाहिए क्योंकि दाईं ओर $\overline{b}$ का कोई पद नहीं है। अतः,$(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 0$.
$\overline{a}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $-(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
अदिश गुणन की परिभाषा के अनुसार,$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta$,इसलिए:
$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
चूंकि $\overline{b}$ और $\overline{c}$ शून्येतर सदिश हैं,हम $|\overline{b}||\overline{c}|$ से विभाजित कर सकते हैं:
$-\cos \theta = \frac{1}{3} \implies \cos \theta = -\frac{1}{3}$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
चूंकि $\theta$ दो सदिशों के बीच का कोण है,$0 \le \theta \le \pi$,इसलिए $\sin \theta \ge 0$.
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.

(C) माना $\bar{r}$,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के समतल में एक सदिश है। तब,$\bar{r} = \bar{a} + m\bar{b}$ किसी अदिश $m$ के लिए।
$\bar{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + m(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (1+m)\hat{i} + (2-m)\hat{j} + (1+m)\hat{k}$.
$\bar{r}$ का $\bar{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{r} \cdot \bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$|\bar{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ की गणना करें।
अब,$\bar{r} \cdot \bar{c} = (1+m)(1) + (2-m)(1) + (1+m)(-1) = 1+m + 2-m - 1-m = 2-m$.
अतः,$\frac{2-m}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 2-m = 1 \Rightarrow m = 1$.
$m=1$ को $\bar{r}$ के समीकरण में रखने पर:
$\bar{r} = (1+1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1+1)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
यदि हम प्रक्षेप को $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ के रूप में लेते हैं,तो $2-m = -1 \Rightarrow m = 3$.
$m=3$ के लिए,$\bar{r} = (1+3)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (1+3)\hat{k} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(B) दिया गया है कि $\bar{a} \times \bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट के परिमाण की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(\frac{\pi}{4})$. ... $(i)$
सबसे पहले,$\bar{a} \times \bar{b}$ की गणना करें:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ है।
दिया गया है कि $|\bar{c} - \bar{a}| = 2\sqrt{2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = (2\sqrt{2})^2 = 8$.
चूंकि $|\bar{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = 3$ और $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$,इसलिए:
$|\bar{c}|^2 + 3^2 - 2|\bar{c}| = 8$.
$|\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 9 = 8 \implies |\bar{c}|^2 - 2|\bar{c}| + 1 = 0$.
$(|\bar{c}| - 1)^2 = 0 \implies |\bar{c}| = 1$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = 3 \times 1 \times \sin(\frac{\pi}{4}) = 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.

(C) सबसे पहले,हम सदिशों $\overline{AB}$ और $\overline{CD}$ को ज्ञात करते हैं:
$\overline{AB} = (1-2)\hat{i} + (-4-(-3))\hat{j} + (-2-0)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$
$\overline{CD} = (7-4)\hat{i} + (0-6)\hat{j} + (10-8)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
$\overline{AB}$ का $\overline{CD}$ पर सदिश प्रक्षेप निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{सदिश प्रक्षेप} = (\overline{AB} \cdot \hat{CD}) \hat{CD} = (\overline{AB} \cdot \overline{CD}) \frac{\overline{CD}}{|\overline{CD}|^2}$
अदिश गुणनफल $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$ की गणना करें:
$\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (-1)(3) + (-1)(-6) + (-2)(2) = -3 + 6 - 4 = -1$
परिमाण का वर्ग $|\overline{CD}|^2$ की गणना करें:
$|\overline{CD}|^2 = 3^2 + (-6)^2 + 2^2 = 9 + 36 + 4 = 49$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{सदिश प्रक्षेप} = (-1) \frac{3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}}{49} = -\frac{1}{49}(3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k})$

(C) माना $\overline{d} = \overline{a} + \lambda \overline{b}$.
$\overline{d} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$
$\overline{d} = (2 + 2\lambda) \hat{i} + (3 + \lambda) \hat{j} + (2 - \lambda) \hat{k}$.
चूंकि $\overline{d}$,$\overline{c}$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $\overline{c} \cdot \overline{d} = 0$.
$(\hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot [(2 + 2\lambda) \hat{i} + (3 + \lambda) \hat{j} + (2 - \lambda) \hat{k}] = 0$.
$1(2 + 2\lambda) + 3(3 + \lambda) + 0(2 - \lambda) = 0$.
$2 + 2\lambda + 9 + 3\lambda = 0$.
$5\lambda + 11 = 0$.
$\lambda = -\frac{11}{5}$.

(B) माना कि $\vec{a}$ बिंदुओं $A(-2,0,3)$ और $B(1,4,2)$ को मिलाने वाला सदिश है।
$\vec{a} = (1 - (-2))\hat{i} + (4 - 0)\hat{j} + (2 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$.
माना कि $\vec{b}$ उस रेखा के अनुदिश सदिश है जिसके दिक्-अनुपात $6, -2, 3$ हैं,अतः $\vec{b} = 6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर अदिश प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(6) + (4)(-2) + (-1)(3) = 18 - 8 - 3 = 7$.
$|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,अदिश प्रक्षेप $\frac{7}{7} = 1$ है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
चूंकि $(\bar{a}+2 \bar{b})$ और $(5 \bar{a}-4 \bar{b})$ एक-दूसरे पर लंब हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot (5 \bar{a}-4 \bar{b}) = 0$
$5|\bar{a}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{b} \cdot \bar{a}) - 8|\bar{b}|^2 = 0$
$|\bar{a}|^2 = 1$ और $|\bar{b}|^2 = 1$ रखने पर:
$5(1) + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8(1) = 0$
$6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 3 = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
हम जानते हैं कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta$,इसलिए:
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{3}$

(D) माना $\bar{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ है।
चूँकि $\bar{r}$,$\bar{q}$ के लंबवत है,इसलिए $\bar{r} \cdot \bar{q} = 0$ होगा।
इससे $a - 2b + c = 0$ प्राप्त होता है ... $(i)$।
चूँकि $\bar{r}$,$\bar{p}$ और $\bar{q}$ के साथ समतलीय है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{p} \ \bar{q} \ \bar{r}] = 0$ होगा।
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & b & c \end{vmatrix} = 0$।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(-2c - b) - 1(c - a) + 1(b + 2a) = 0$।
$-2c - b - c + a + b + 2a = 0 \Rightarrow 3a - 3c = 0 \Rightarrow a = c$ ... $(ii)$।
$(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $a - 2b + a = 0 \Rightarrow 2a = 2b \Rightarrow a = b$।
अतः,$\bar{r} = a(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
$\bar{r}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है।
अभीष्ट सदिश का परिमाण $5\sqrt{3}$ है,इसलिए $\text{सदिश} = 5\sqrt{3} \times \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।

(C) हम सदिश त्रिक गुणन का सूत्र जानते हैं: $(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c} = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{b} \cdot \bar{c}) \bar{a}$.
दिया गया है कि $(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c} = -5 \bar{a} + 4 \bar{b}$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-(\bar{b} \cdot \bar{c}) = -5 \implies \bar{b} \cdot \bar{c} = 5$
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 4$
अब,हमें $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})$ का मान ज्ञात करना है।
सदिश त्रिक गुणन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$.
ज्ञात मानों $\bar{a} \cdot \bar{c} = 4$ और $\bar{a} \cdot \bar{b} = 3$ को रखने पर:
$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = 4 \bar{b} - 3 \bar{c}$.

(D) दिया गया है $\overline{r} \times \overline{a} = \overline{b} \times \overline{a} \implies (\overline{r} - \overline{b}) \times \overline{a} = \overline{0}$। इसका अर्थ है कि किसी अदिश $k_1$ के लिए $(\overline{r} - \overline{b}) = k_1 \overline{a}$।
इसी प्रकार,$\overline{r} \times \overline{b} = \overline{a} \times \overline{b} \implies (\overline{r} - \overline{a}) \times \overline{b} = \overline{0}$। इसका अर्थ है कि किसी अदिश $k_2$ के लिए $(\overline{r} - \overline{a}) = k_2 \overline{b}$।
पहले समीकरण से,$\overline{r} = \overline{b} + k_1 \overline{a} = (2\hat{j} - \hat{k}) + k_1(\hat{i} + \hat{j}) = k_1\hat{i} + (2+k_1)\hat{j} - \hat{k}$।
दूसरे समीकरण से,$\overline{r} = \overline{a} + k_2 \overline{b} = (\hat{i} + \hat{j}) + k_2(2\hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} + (1+2k_2)\hat{j} - k_2\hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर:
$k_1 = 1$
$2+k_1 = 1+2k_2 \implies 2+1 = 1+2k_2 \implies 2k_2 = 2 \implies k_2 = 1$
$-1 = -k_2 \implies k_2 = 1$।
$k_1=1$ को $\overline{r} = k_1\hat{i} + (2+k_1)\hat{j} - \hat{k}$ में रखने पर,हमें $\overline{r} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ प्राप्त होता है।
इसका परिमाण $|\overline{r}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$ है।
अतः,$\frac{\overline{r}}{|\overline{r}|} = \frac{\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}}$।

(B) दिया गया है कि $\overline{a} \cdot(\overline{b}+\overline{c})+\overline{b} \cdot(\overline{c}+\overline{a})+\overline{c} \cdot(\overline{a}+\overline{b})=0$ है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{b} = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है,$\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{b} \cdot \overline{a}$,आदि।
अतः,$2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a}) = 0$,जिसका अर्थ है कि $\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$।
हम जानते हैं कि $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$।
दिए गए मान $|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=8, |\overline{c}|=4$ और ऊपर प्राप्त परिणाम को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 1^2 + 8^2 + 4^2 + 2(0) = 1 + 64 + 16 = 81$।
इसलिए,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{81} = 9$।

(A) दिया गया है $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$।
सबसे पहले,सदिशों का योग और अंतर ज्ञात करें:
$\bar{a}+\bar{b} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+(3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = 4 \hat{i}-\hat{j}+6 \hat{k}$
$\bar{a}-\bar{b} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-(3 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}) = -2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$
दोनों सदिशों $(\bar{a}+\bar{b})$ और $(\bar{a}-\bar{b})$ के लंबवत सदिश उनके क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = (\bar{a}+\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -1 & 6 \\ -2 & 3 & -4 \end{vmatrix}$
$\vec{v} = \hat{i}(4 - 18) - \hat{j}(-16 + 12) + \hat{k}(12 - 2) = -14 \hat{i} + 4 \hat{j} + 10 \hat{k}$
इस सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(-14)^2 + 4^2 + 10^2} = \sqrt{196 + 16 + 100} = \sqrt{312}$ है।
अतः,अभीष्ट इकाई सदिश $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{-14 \hat{i}+4 \hat{j}+10 \hat{k}}{\sqrt{312}}$ है।

(B) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overline{a} \times \overline{b}$ की गणना करें:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 7 \end{vmatrix} = \hat{i}(28 - (-4)) - \hat{j}(7 - 6) + \hat{k}(-2 - 12) = 32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k}$.
चूंकि $\overline{d}$,$\overline{a} \times \overline{b}$ के समांतर है,हम $\overline{d} = k(32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k})$ लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $\overline{c} \cdot \overline{d} = 15$,जहाँ $\overline{c} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$:
$(2 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot k(32 \hat{i} - \hat{j} - 14 \hat{k}) = 15$
$k(64 + 1 - 56) = 15$
$9k = 15 \implies k = \frac{5}{3}$.
विकल्पों की जाँच करने पर,विकल्प $(B)$ के लिए $\overline{c} \cdot \overline{d} = (2)(90) + (-1)(-3) + (4)(-42) = 180 + 3 - 168 = 15$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) दो सदिशों $\bar{u}$ और $\bar{v}$ के क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}| |\bar{v}| \sin(\theta)$
दिया गया है:
$|\bar{u}| = 8$
$|\bar{v}| = 12$
$\theta = 150^{\circ}$
सूत्र में मान रखने पर:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 12 \times \sin(150^{\circ})$
चूंकि $\sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 12 \times \frac{1}{2}$
$|\bar{u} \times \bar{v}| = 8 \times 6 = 48$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) हमें व्यंजक $E = |(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b})|^2+4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2$ दिया गया है।
क्रॉस प्रोडक्ट पद का विस्तार करने पर:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b}) = (\bar{a} \times \bar{a}) + (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{b} \times \bar{a}) - (\bar{b} \times \bar{b})$.
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और गुणधर्म $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b}) = (\bar{a} \times \bar{b}) - (-(\bar{a} \times \bar{b})) = 2(\bar{a} \times \bar{b})$.
अब,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$E = |2(\bar{a} \times \bar{b})|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2$.
$4$ कॉमन लेने पर:
$E = 4(|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2)$.
लैग्रेंज की सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
अतः,$E = 4 |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
दिया गया है कि $|\bar{a}|=4$ और $|\bar{b}|=3$:
$E = 4 \times (4)^2 \times (3)^2 = 4 \times 16 \times 9 = 576$.

(B) माना $\overline{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
दिया गया है $\overline{r} \times \overline{a} = \overline{b}$,अतः:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$
$(4y - 3z) \hat{i} - (4x - 2z) \hat{j} + (3x - 2y) \hat{k} = \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$4y - 3z = 1$ $(1)$
$4x - 2z = 2 \Rightarrow 2x - z = 1 \Rightarrow z = 2x - 1$ $(2)$
$3x - 2y = 1 \Rightarrow 2y = 3x - 1 \Rightarrow y = \frac{3x - 1}{2}$ $(3)$
दिया गया है $\overline{r} \cdot \overline{c} = 3$,अतः $x + y - z = 3$ $(4)$
$(2)$ और $(3)$ को $(4)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + \frac{3x - 1}{2} - (2x - 1) = 3$
$2x + 3x - 1 - 4x + 2 = 6$
$x + 1 = 6 \Rightarrow x = 5$
$x=5$ का मान $(2)$ और $(3)$ में रखने पर:
$z = 2(5) - 1 = 9$
$y = \frac{3(5) - 1}{2} = 7$
अतः,$\overline{r} = 5 \hat{i} + 7 \hat{j} + 9 \hat{k}$
$|\overline{r}| = \sqrt{5^2 + 7^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 49 + 81} = \sqrt{155}$