MHT CET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है $|\overline{a}| = \sqrt{3}, |\overline{b}| = 1, |\overline{c}| = 2$.
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - (\overline{a} \cdot \overline{a}) \overline{c}$ का उपयोग करते हुए।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - |\overline{a}|^2 \overline{c} + 3 \overline{b} = \overline{0}$.
चूंकि $|\overline{a}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$,हमारे पास $(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - 3 \overline{c} = -3 \overline{b}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग परिमाण लेने पर: $|(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{a} - 3 \overline{c}|^2 = |-3 \overline{b}|^2$.
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 |\overline{a}|^2 + 9 |\overline{c}|^2 - 6 (\overline{a} \cdot \overline{c})(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 |\overline{b}|^2$.
$(\overline{a} \cdot \overline{c})^2 (3) + 9 (2)^2 - 6 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 9 (1)^2$.
$-3 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 + 36 = 9$.
$-3 (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = -27 \implies (\overline{a} \cdot \overline{c})^2 = 9$.
अतः,$\overline{a} \cdot \overline{c} = \pm 3$.
चूंकि $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}| |\overline{c}| \cos \theta$,इसलिए $(\sqrt{3})(2) \cos \theta = \pm 3$.
$\cos \theta = \pm \frac{3}{2\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इसलिए,$\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

(B) दिया गया है कि $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{a}| = |\overline{b}| = |\overline{c}| = 1$.
दिया गया समीकरण: $\overline{a} + 2\overline{c} = -2\overline{b}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\overline{a} + 2\overline{c}|^2 = |-2\overline{b}|^2$
$|\overline{a}|^2 + 4|\overline{c}|^2 + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4|\overline{b}|^2$
चूंकि $|\overline{a}| = |\overline{b}| = |\overline{c}| = 1$,इसलिए:
$1 + 4(1) + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4(1)$
$5 + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4$
$4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = -1$
$\overline{a} \cdot \overline{c} = -\frac{1}{4}$
चूंकि $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}||\overline{c}| \cos \theta = \cos \theta$,इसलिए $\cos \theta = -\frac{1}{4}$.
तब $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
अंत में,$|\overline{a} \times \overline{c}| = |\overline{a}||\overline{c}| \sin \theta = (1)(1) \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

(D) दिया गया है कि $\overline{b} \cdot \overline{c} = 10$.
चूंकि $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}| |\overline{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$,इसलिए $(5) |\overline{c}| (\frac{1}{2}) = 10$,जिसका अर्थ है कि $|\overline{c}| = 4$.
हमें दिया गया है कि $\overline{a}$ सदिश $\overline{b} \times \overline{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\overline{a}$ और $\overline{b} \times \overline{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}|$ होगा।
अब,$|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = (5)(4)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 10\sqrt{3}$.
इस प्रकार,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = (\sqrt{3})(10\sqrt{3}) = 10 \times 3 = 30$.

(B) दिया गया है: $|\overline{a}|=3$,$|\overline{b}|=5$,$\overline{b} \cdot \overline{c}=10$,और $\overline{b}$ तथा $\overline{c}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
सबसे पहले,$|\overline{c}|$ ज्ञात करें: $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}| |\overline{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 10$.
$5 \times |\overline{c}| \times \frac{1}{2} = 10 \implies |\overline{c}| = 4$.
अब,$|\overline{b} \times \overline{c}|$ ज्ञात करें: $|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{3}) = 5 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.
चूंकि $\overline{a}$,$\overline{b} \times \overline{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\overline{a}$ और $(\overline{b} \times \overline{c})$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$|\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c})| = |\overline{a}| |\overline{b} \times \overline{c}| \sin(\frac{\pi}{2}) = 3 \times 10\sqrt{3} \times 1 = 30\sqrt{3}$.

(B) फलन $f(x)$ सदिशों $\overline{a}, \overline{b}, \text{ और } \overline{c}$ का अदिश त्रिक गुणनफल है:
$f(x) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x$
$f(x) = x^3 - 27x + 26$
स्थानीय न्यूनतम बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखते हैं:
$f'(x) = 3x^2 - 27 = 0$
$3(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर,$f''(x) = 6x$:
$x = 3$ पर,$f''(3) = 18 > 0$,अतः $x_0 = 3$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
$x = 3$ पर,$\overline{a} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\overline{b} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल $\overline{a} \cdot \overline{b}$ की गणना करने पर:
$\overline{a} \cdot \overline{b} = (3)(-2) + (-2)(3) + (3)(-1) = -6 - 6 - 3 = -15$.

(D) दिया गया है,$\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{a}$.
इसका अर्थ है $\overline{b} \times (\overline{c} - \overline{a}) = \overline{0}$.
अतः,$\overline{c} - \overline{a} = \lambda \overline{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए,यानी $\overline{c} = \overline{a} + \lambda \overline{b}$.
दिया गया है $\overline{c} \cdot \overline{a} = 0$,इसलिए $(\overline{a} + \lambda \overline{b}) \cdot \overline{a} = 0$.
इससे हमें $|\overline{a}|^2 + \lambda (\overline{b} \cdot \overline{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
मानों की गणना करने पर: $|\overline{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 6$ और $\overline{b} \cdot \overline{a} = (1)(1) + (1)(2) + (-1)(-1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
इन मानों को रखने पर: $6 + 4\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
अब,$\overline{c} = \overline{a} - \frac{3}{2} \overline{b}$.
अतः $\overline{c} \cdot \overline{b} = (\overline{a} - \frac{3}{2} \overline{b}) \cdot \overline{b} = \overline{a} \cdot \overline{b} - \frac{3}{2} |\overline{b}|^2$.
हम जानते हैं कि $\overline{a} \cdot \overline{b} = 4$ और $|\overline{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3$.
इसलिए,$\overline{c} \cdot \overline{b} = 4 - \frac{3}{2}(3) = 4 - \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\overline{c}|^2+|\overline{a}|^2-2(\overline{a} \cdot \overline{c})=8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\overline{a}| = \sqrt{2^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{9} = 3$ और $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$,इसलिए $|\overline{c}|^2+9-2|\overline{c}|=8$ होगा।
यह $|\overline{c}|^2-2|\overline{c}|+1=0$ में सरल हो जाता है,जो $(|\overline{c}|-1)^2=0$ है,अतः $|\overline{c}|=1$।
अब,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ प्राप्त होता है।
इसका परिमाण $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{9} = 3$ है।
अंत में,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = 3 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$।

(B) समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\bar{u} \bar{v} \bar{w}]| = 1$ द्वारा दिया जाता है।
सारणिक की गणना करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \pm 1$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(1-3) - 1(1-6) + \lambda(1-2) = \pm 1$
$-2 + 5 - \lambda = \pm 1$
$3 - \lambda = \pm 1$.
स्थिति $1$: $3 - \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 2$.
स्थिति $2$: $3 - \lambda = -1 \Rightarrow \lambda = 4$.
यहाँ $\bar{u} = \hat{i} + \hat{j} + \lambda \hat{k}$ और $\bar{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
$\lambda = 2$ के लिए: $\bar{u} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{\bar{u} \cdot \bar{w}}{|\bar{u}| |\bar{w}|} = \frac{(1)(2) + (1)(1) + (2)(1)}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+1^2+1^2}} = \frac{2+1+2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{6}$.

(C) माना कि अदिश त्रिगुणित गुणनफल $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = V$ है।
दिया गया व्यंजक $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b}) = 54$ है।
यह सदिशों $\overline{u} = \overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}$,$\overline{v} = \overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a}$,और $\overline{w} = \overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b}$ का अदिश त्रिगुणित गुणनफल है।
अदिश त्रिगुणित गुणनफल को गुणांकों के सारणिक के रूप में दर्शाया जा सकता है:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = 54$.
सारणिक की गणना करने पर:
$1(1-6) - 2(3-4) + 3(9-2) = 1(-5) - 2(-1) + 3(7) = -5 + 2 + 21 = 18$.
अतः,$18 [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = 54$.
इसलिए,$[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = \frac{54}{18} = 3$.

(A) माना $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
माना $\vec{b} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $\vec{c} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$.
सदिशों का योग $\vec{v} = \vec{b} + \vec{c} = (2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
$\vec{v}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{v} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2+6^2+(-2)^2}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}}$ है।
$\vec{a}$ और $\hat{v}$ का अदिश गुणनफल $1$ है:
$\vec{a} \cdot \hat{v} = 1$
$\frac{(1)(2+\lambda) + (1)(6) + (1)(-2)}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = 1$
$\frac{\lambda+6}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = 1$
$\lambda+6 = \sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\lambda+6)^2 = \lambda^2+4 \lambda+44$
$\lambda^2+12 \lambda+36 = \lambda^2+4 \lambda+44$
$8 \lambda = 8$
$\lambda = 1$.

(A) सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \left| \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & \alpha \\ \alpha & 0 & 1 \end{vmatrix} \right| = |1(1-0) - \alpha(0-\alpha^2) + 1(0-\alpha)| = |1 + \alpha^3 - \alpha|$.
माना $f(\alpha) = 1 + \alpha^3 - \alpha$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(\alpha)$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(\alpha) = 3\alpha^2 - 1$.
$f'(\alpha) = 0$ रखने पर,$3\alpha^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f''(\alpha) = 6\alpha$.
$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f''(\alpha) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$f''(\alpha) = 6(-\frac{1}{\sqrt{3}}) < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
अतः,$\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन अधिकतम है।

(C) माना व्यंजक $E = (\bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}) \cdot [(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})]$ है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट वाले भाग को सरल करें:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}) = (\bar{a} \times \bar{a}) - (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c}) - (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{b} \times \bar{b}) + (\bar{b} \times \bar{c})$.
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$,$\bar{b} \times \bar{b} = 0$,और $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,हमें प्राप्त होता है:
$= 0 - (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c}) + (\bar{a} \times \bar{b}) + 0 + (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) - (\bar{a} \times \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a})$.
अब,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें:
$E = (\bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$.
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
स्केलर ट्रिपल प्रोडक्ट के गुणों का उपयोग करते हुए,$\bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) = 0$ और $\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$ जैसे पद शून्य हो जाते हैं।
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 2[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] + 0 + 0$.
चूंकि $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$,हमें प्राप्त होता है:
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.

(C) सदिशों $\vec{a} = \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j}+\alpha \hat{k}$,और $\vec{c} = \alpha \hat{i}+\hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक के बराबर होता है:
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & \alpha \\ \alpha & 0 & 1 \end{array}\right|$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = 1(1 - 0) - \alpha(0 - \alpha^2) + 1(0 - \alpha) = 1 + \alpha^3 - \alpha$
न्यूनतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dV}{d\alpha} = 3\alpha^2 - 1 = 0$
$\alpha^2 = \frac{1}{3} \implies \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$\frac{d^2V}{d\alpha^2} = 6\alpha$
$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{d\alpha^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है।
अतः,$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर आयतन न्यूनतम है।

(C) माना शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}-6 \hat{j}+10 \hat{k}$,$\vec{b} = -\hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$,$\vec{c} = 5 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$,और $\vec{d} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$ हैं।
किनारों को दर्शाने वाले सदिश:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (\lambda-10)\hat{k}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB} \ \vec{AC} \ \vec{AD}]|$ होता है।
$V = 11$ दिया गया है,इसलिए $11 = \frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})|$.
$66 = |\det \begin{bmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{bmatrix}|$.
सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$-2(-15 - 2\lambda + 20) - 3(-12 - 6\lambda + 60) - 3(8 - 30) = 22\lambda - 88$.
चूंकि $|22\lambda - 88| = 66$,इसलिए $22\lambda - 88 = 66$ या $22\lambda - 88 = -66$ होगा।
स्थिति $1$: $22\lambda = 154 \Rightarrow \lambda = 7$.
स्थिति $2$: $22\lambda = 22 \Rightarrow \lambda = 1$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\lambda = 7$ सही उत्तर है।

(A) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,आयतन $= 158$.
$|\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})| = \left|\begin{vmatrix} 1 & 1 & n \\ 2 & 4 & -n \\ 1 & n & 3 \end{vmatrix}\right| = 158$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(12 + n^2) - 1(6 + n) + n(2n - 4) = \pm 158$.
$(12 + n^2) - (6 + n) + (2n^2 - 4n) = \pm 158$.
$3n^2 - 5n + 6 = \pm 158$.
स्थिति $1$: $3n^2 - 5n + 6 = 158 \Rightarrow 3n^2 - 5n - 152 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(3)(-152)}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{1849}}{6} = \frac{5 \pm 43}{6}$.
चूंकि $n \geq 0$,इसलिए $n = \frac{48}{6} = 8$.
स्थिति $2$: $3n^2 - 5n + 6 = -158 \Rightarrow 3n^2 - 5n + 164 = 0$.
यहाँ विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ है,इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,$n = 8$.

(C) चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सदिशों की गणना करने पर:
$\vec{AB} = -4\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{AC} = 1\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AD} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + (x-3)\hat{k}$
सारणिक का मान:
$|\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}| = \begin{vmatrix} -4 & -3 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & x-3 \end{vmatrix} = 7x - 17$
दिया गया है कि $V = \frac{11}{6}$,इसलिए $\frac{1}{6} |7x - 17| = \frac{11}{6} \implies |7x - 17| = 11$.
स्थिति $1$: $7x - 17 = 11 \implies 7x = 28 \implies x = 4$.
स्थिति $2$: $7x - 17 = -11 \implies 7x = 6 \implies x = \frac{6}{7}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x = 4$ सही मान है।

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{r}$,$\overrightarrow{a}$ के लंबवत है।
$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{r}| |\overrightarrow{b}|$ से,हम जानते हैं कि $\sin \theta = 1$,जहाँ $\theta$ सदिश $\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है। अतः,$\overrightarrow{r}$,$\overrightarrow{b}$ के लंबवत है।
इसी प्रकार,$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{r}| |\overrightarrow{c}|$ से,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\overrightarrow{r}$,$\overrightarrow{c}$ के लंबवत है।
चूंकि $\overrightarrow{r}$ एक शून्येतर सदिश है जो $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ तीनों के लंबवत है,इसलिए ये तीनों सदिश $\overrightarrow{r}$ के लंबवत एक ही समतल में स्थित होने चाहिए।
अतः,$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ समतलीय हैं।
किन्हीं भी तीन समतलीय सदिशों के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है।
अतः,$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$.

(C) माना $\bar{s} = \bar{b} + \bar{c} = (2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$\bar{s}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{s} = \frac{\bar{s}}{|\bar{s}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}}$.
दी गई शर्त के अनुसार $\bar{a} \cdot \hat{s} = 1$ है,इसलिए:
$(\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \cdot \left( \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} \right) = 1$.
अंश में अदिश गुणनफल लेने पर:
$\frac{(2+\lambda) - 4 + 2}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} = 1$.
$\frac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\lambda^2 = \lambda^2 + 4\lambda + 12$.
$4\lambda = -12$.
$\lambda = -3$.

(A) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c}$.
दिया गया है कि $\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\bar{b}+\bar{c}}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b}) \bar{c} = \frac{1}{\sqrt{2}} \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} \bar{c}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(\bar{a} \cdot \bar{c} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}) \bar{c} = 0$.
चूंकि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ असमतलीय हैं (और इसलिए रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं),गुणांक शून्य होने चाहिए:
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow \bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$.
अतः,$|\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,जहाँ $\theta$ सदिश $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण है।
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस प्रकार,$\theta = \frac{3 \pi}{4}$.

(A) सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ है।
दिया गया है कि $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \overline{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} \overline{c}$,इसलिए चूँकि $\overline{b}$ और $\overline{c}$ समांतर नहीं हैं,हम $\overline{b}$ और $\overline{c}$ के गुणांकों की तुलना करते हैं।
इस प्रकार,$\overline{a} \cdot \overline{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $-\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\overline{a} \cdot \overline{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ इकाई सदिश हैं,$\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta = (1)(1) \cos \theta = \cos \theta$.
इसलिए,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूँकि $\theta \in [0, \pi]$,हमें $\theta = \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,इसलिए $|\overline{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-2)^2 = 4+1+4 = 9$,जिसका अर्थ है $|\overline{a}|=3$।
दिया गया है $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\overline{c}-\overline{a}|^2 = (2 \sqrt{2})^2 = 8$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 8$ मिलता है।
$\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{c}|$ और $|\overline{a}|^2 = 9$ रखने पर,$|\overline{c}|^2 + 9 - 2|\overline{c}| = 8$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $|\overline{c}|^2 - 2|\overline{c}| + 1 = 0$ हो जाता है।
यह $(|\overline{c}|-1)^2 = 0$ है,इसलिए $|\overline{c}| = 1$।
अब,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$।
अतः,$|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$।
अंत में,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$।

(D) दिया गया है $\bar{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\bar{b}=\hat{i}+\hat{j}$.
सबसे पहले,$\bar{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\bar{a}|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=3$.
अब,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{b}$ ज्ञात करें:
$\bar{a} \times \bar{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\bar{a} \times \bar{b}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$ है।
दिया गया है कि $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|=3$ और $\bar{c}$ तथा $\bar{a} \times \bar{b}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{6}$ है।
सूत्र $|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}||\bar{v}| \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin \frac{\pi}{6} = 3$.
$3 \cdot |\bar{c}| \cdot \frac{1}{2} = 3 \Rightarrow |\bar{c}|=2$.
अब,$|\bar{c}-\bar{a}|=4$ का उपयोग करने पर:
$|\bar{c}-\bar{a}|^2 = |\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 4^2$.
$2^2 + 3^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$4 + 9 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$13 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 16$.
$-2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 3$.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = -\frac{3}{2}$.

(D) दिया गया है कि $(\overline{a}-\overline{d}) \cdot(\overline{b}-\overline{c})=0$ और $(\overline{b}-\overline{d}) \cdot(\overline{c}-\overline{a})=0$ है।
इसे सदिशों के रूप में $\overline{AD} \cdot \overline{BC} = 0$ और $\overline{BD} \cdot \overline{CA} = 0$ लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है कि $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ और $\overline{BD} \perp \overline{CA}$ है।
चूंकि $D$,$\triangle ABC$ के शीर्षलंबों $AD$ और $BD$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $D$,$\triangle ABC$ का लंबकेंद्र है।

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \tan \left[\sin ^{-1}\left\{\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{2}}\right\}-\sin ^{-1} x\right]$ है।
$x = \sin \theta$ प्रतिस्थापित करें,जहाँ $\theta = \sin^{-1} x$ है।
चूँकि $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$,इसलिए $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$ है।
$\sin^{-1}$ के अंदर का व्यंजक $\frac{\sin \theta}{\sqrt{2}} + \frac{\cos \theta}{\sqrt{2}} = \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ हो जाता है।
अब,व्यंजक $E = \tan \left[\sin ^{-1}\left\{\sin \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\right\} - \theta\right]$ बन जाता है।
चूँकि $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{12}$ है।
यह मान $\sin^{-1}$ के मुख्य परिसर में है,अतः $\sin^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{4})) = \theta + \frac{\pi}{4}$ होगा।
अतः,$E = \tan \left(\theta + \frac{\pi}{4} - \theta\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$।