MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું પ્રવાહીનું ટીપું અડધું ડૂબેલું તરે છે ત્યારે તેના પર લાગતા બળોમાં ટીપાનું વજન નીચેની તરફ, ઉત્પ્લાવક બળ ઉપરની તરફ અને સંપર્ક વર્તુળના પરિઘ પર પૃષ્ઠતાણ બળ ઉપરની તરફ લાગે છે।
ટીપાનું વજન $W = V \rho g = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{submerged} d g = (\frac{2}{3} \pi r^3) d g$.
પૃષ્ઠતાણ બળ $F_T = (2 \pi r) T$.
બળોને સંતુલિત કરતા: $F_T + F_B = W$.
$(2 \pi r) T + (\frac{2}{3} \pi r^3) d g = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g$.
$(2 \pi r) T = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g - (\frac{2}{3} \pi r^3) d g$.
$(2 \pi r) T = (\frac{2}{3} \pi r^3) (2 Q - d) g$.
$T = \frac{1}{3} r^2 (2 Q - d) g$.
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 Q - d)}$.
$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 Q - d)}}$.
વ્યાસ $D = 2r = 2 \sqrt{\frac{3 T}{g(2 Q - d)}} = \sqrt{\frac{4 \times 3 T}{g(2 Q - d)}} = \sqrt{\frac{12 T}{g(2 Q - d)}}$.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,સ્ટ્રીમલાઇન પ્રવાહમાં,પ્રવાહીના કોઈપણ પસંદ કરેલા બિંદુએ પ્રવાહનો વેગ હંમેશા સમાન રહે છે,એટલે કે,તે સમય સાથે બદલાતો નથી. જોકે પ્રવાહીના માર્ગમાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ વેગ બદલાઈ શકે છે,પરંતુ કોઈપણ નિશ્ચિત બિંદુએ,વેગ સદિશ સમય સાથે બદલાતો નથી.

(C) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી ઉપરના બિંદુએ ડોલમાંથી પાણી નીચે ન પડે તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ પાણી પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,પાણી ડોલમાં રહે તે માટેની શરત $m \omega^2 r \geq mg$ છે.
લઘુત્તમ કોણીય વેગ $\omega$ માટે $m \omega^2 r = mg$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\omega = \sqrt{\frac{g}{r}}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi f$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $2 \pi f = \sqrt{\frac{g}{r}}$.
તેથી,પરિભ્રમણની લઘુત્તમ આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{r}}$ છે.

(C) પાણી કેનમાંથી બહાર ન પડે તે માટે,ઉર્ધ્વ વર્તુળના સૌથી ઉપરના બિંદુએ કેન્દ્રગામી બળ એ પાણીના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,પાણી ન પડે તે માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$\frac{m v^2}{r} = m g$
જ્યાં $m$ એ પાણીનું દળ છે,$v$ એ ઝડપ છે,અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
ન્યૂનતમ ઝડપ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = r g \implies v = \sqrt{r g}$
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ $T$ એ પરિઘને ઝડપ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$T = \frac{2 \pi r}{v}$
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi r}{\sqrt{r g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{r}{g}}$

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોય છે (અંદરની અને બહારની). તેથી,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ થાય.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = d/2$,તેથી પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 8\pi(d/2)^2 = 2\pi d^2$.
અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = D/2$,તેથી અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 8\pi(D/2)^2 = 2\pi D^2$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 2\pi(D^2 - d^2)$ છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$W = T \times 2\pi(D^2 - d^2) = 2\pi(D^2 - d^2)T$.

(C) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 2 \times (4 \pi r^2) \times T = 8 \pi r^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
ઓરડાના તાપમાને $R$ ત્રિજ્યાના પ્રથમ પરપોટા માટે,પૃષ્ઠતાણ $T_1$ હોય ત્યારે કાર્ય $W_1 = 8 \pi R^2 T_1$ છે.
વધારે તાપમાને $2R$ ત્રિજ્યાના બીજા પરપોટા માટે,પૃષ્ઠતાણ $T_2$ હોય ત્યારે કાર્ય $W_2 = 8 \pi (2R)^2 T_2 = 32 \pi R^2 T_2$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{W_2}{W_1} = \frac{32 \pi R^2 T_2}{8 \pi R^2 T_1} = 4 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$ મળે છે.
સાબુનું દ્રાવણ ગરમ કરવામાં આવતું હોવાથી,પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે,એટલે કે $T_2 < T_1$,અથવા $\frac{T_2}{T_1} < 1$.
તેથી,$W_2 < 4 W_1$.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ખ્યાલ: પૃષ્ઠઊર્જા $E$ એ પૃષ્ઠફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $E = T \times A$ ($T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે).
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 216 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = 216 r^3$,તેથી $R = 6r$ અથવા $r = \frac{R}{6}$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠઊર્જા $E = T \times (4 \pi R^2)$.
અંતિમ પૃષ્ઠઊર્જા $E' = 216 \times (T \times 4 \pi r^2)$.
$r = \frac{R}{6}$ મૂકતા:
$E' = 216 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{6}\right)^2 = 216 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{36}$.
$E' = 6 \times (T \times 4 \pi R^2) = 6 E$.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
ખ્યાલ: તાપમાન વધવાની સાથે સંપર્કકોણ સામાન્ય રીતે ઘટે છે.
પ્રવાહીમાં અશુદ્ધિઓ ઉમેરવાથી પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ બદલાય છે,જે સંપર્કકોણને અસર કરે છે.
સંપર્કકોણ એ પ્રવાહી અને ઘન સપાટીના સ્વભાવ પર આધારિત ગુણધર્મ છે.
ચોક્કસ તાપમાને ઘન-પ્રવાહીની જોડી માટે સંપર્કકોણ અચળ રહે છે.
તેથી,વિધાન $A$ એ એકમાત્ર વિધાન છે જે 'સાચું નથી',કારણ કે તાપમાનમાં વધારો થવાથી સામાન્ય રીતે સંપર્કકોણ ઘટે છે.

(D) કેશ નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે $h \propto \frac{1}{r}$.
તેથી, $h_1 r_1 = h_2 r_2$.
અહીં $r_2 = 2r_1$ આપેલ છે, તેથી $h_2 = \frac{h_1 r_1}{2r_1} = \frac{h_1}{2}$.
કેશ નળીમાં પાણીનું દળ $m = \pi r^2 h \rho$ છે.
ધારો કે $m_1 = \pi r_1^2 h_1 \rho$ અને $m_2 = \pi r_2^2 h_2 \rho$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{\pi (2r_1)^2 h_2 \rho}{\pi r_1^2 h_1 \rho} = 4 \times \frac{h_2}{h_1} = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
તેથી, $m_2 = 2m$.

(A) સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલું હોય છે, જે $W = T \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોવાથી, પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2)$ થાય, જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
અહીં વ્યાસ $2d$ આપેલ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = d$ થશે.
આમ, $\Delta A = 2 \times 4 \pi d^2 = 8 \pi d^2$.
તેથી, કરવું પડતું કાર્ય $W = T \times 8 \pi d^2 = 8 \pi d^2 T$ થાય.

(A) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. સાબુના પરપોટાની અંદરનું દબાણ $P = P_0 + \frac{4\sigma}{r}$ છે,જ્યાં $P_0$ એ બહારનું દબાણ છે. શૂન્યાવકાશમાં,$P_0 = 0$ હોવાથી,$P = \frac{4\sigma}{r}$ થાય.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,વાયુના મોલની સંખ્યા $n = \frac{PV}{RT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = \frac{4\sigma}{r}$ અને $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ મૂકતા:
$n = \frac{(4\sigma/r) \cdot (4/3)\pi r^3}{RT} = \frac{16\pi\sigma}{3RT} r^2$.
અહીં $n \propto r^2$ હોવાથી,જ્યારે બે પરપોટા ભળી જાય છે,ત્યારે કુલ મોલની સંખ્યા જળવાઈ રહે છે:
$n_{total} = n_1 + n_2 \implies R^2 = r_1^2 + r_2^2$.
તેથી,પરિણામી પરપોટાની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$ થશે.

(C) સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $r$ એ પરપોટાની ત્રિજ્યા છે, કારણ કે સાબુના પરપોટામાં બે પ્રવાહી-વાયુ સપાટીઓ હોય છે.
$h$ ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \rho h g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વધારાનું દબાણ એ પાણીના સ્તંભના દબાણ જેટલું છે, તેથી $\frac{4T}{r} = \rho h g$.
પૃષ્ઠતાણ $T$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $T = \frac{r \rho h g}{4}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $r = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$, $h = 0.8 \,cm = 8 \times 10^{-3} \,m$, $\rho = 1000 \,kg/m^3$, અને $g = 9.8 \,m/s^2$.
$T = \frac{(3 \times 10^{-3} \,m) \times (1000 \,kg/m^3) \times (8 \times 10^{-3} \,m) \times (9.8 \,m/s^2)}{4}$.
$T = \frac{3 \times 10^{-3} \times 10^3 \times 8 \times 10^{-3} \times 9.8}{4} \,N/m$.
$T = \frac{3 \times 8 \times 10^{-3} \times 9.8}{4} \,N/m = 6 \times 9.8 \times 10^{-3} \,N/m = 58.8 \times 10^{-3} \,N/m$.

(A) જ્યારે સંપર્કકોણ શૂન્ય હોય,ત્યારે મેનિસ્કસની ત્રિજ્યા $(r)$ એ નળીની ત્રિજ્યા $(d/2)$ જેટલી હોય છે.
પ્રથમ નળીમાં વધારાનું દબાણ $P_1 = \frac{2T}{r_1} = \frac{2T}{d_1/2} = \frac{4T}{d_1}$ છે.
બીજી નળીમાં વધારાનું દબાણ $P_2 = \frac{2T}{r_2} = \frac{2T}{d_2/2} = \frac{4T}{d_2}$ છે.
બંને ભુજાઓ વચ્ચેના દબાણનો તફાવત $h$ ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભના હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જ્યાં $h$ એ સપાટીઓ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$\Delta P = P_1 - P_2 = h \rho g$.
$P_1$ અને $P_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$h \rho g = \frac{4T}{d_1} - \frac{4T}{d_2} = 4T \left( \frac{1}{d_1} - \frac{1}{d_2} \right)$.
$h \rho g = 4T \left( \frac{d_2 - d_1}{d_1 d_2} \right)$.
તેથી,$h = \frac{4T}{\rho g} \left[ \frac{d_2 - d_1}{d_1 d_2} \right]$.

(C) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આથી,$h \propto \frac{1}{r}$ થાય.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$r \propto \sqrt{A}$ મળે.
તેથી,$h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ થાય.
અહીં પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = A$ અને અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{A}{9}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}} = \sqrt{\frac{A}{A/9}} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,નવી ઊંચાઈ $h_2 = 3 h$ થશે.

(A) સાબુની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે (ફ્રેમની દરેક બાજુએ એક).
પૃષ્ઠતાણને કારણે ફ્રેમની એક બાજુ પર લાગતું બળ $F = T \times \text{લંબાઈ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસ ફ્રેમની બાજુ $L$ હોવાથી,તેની પરિમિતિ $4L$ થાય છે.
સાબુની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોવાથી,ફ્રેમ પર લાગતું કુલ બળ $F_{total} = 2 \times (T \times \text{પરિમિતિ})$ થશે.
$F_{total} = 2 \times T \times 4L = 8 TL$.

(A) ધારો કે પ્રવાહી કાચની પ્લેટોને સંપૂર્ણપણે ભીંજવે છે.
પ્રવાહીની વક્ર સપાટી પરનું દબાણ તફાવત (લાપ્લેસ દબાણ) $\Delta P = \frac{T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
આ દબાણ તફાવત પ્લેટો વચ્ચે આકર્ષણ બળ ઉત્પન્ન કરે છે,જે $F = \Delta P \cdot A = \frac{T}{R} \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\frac{T}{R} = \frac{F}{A} \quad \dots(1)$
ધારો કે પ્રવાહી $d$ જાડાઈ અને $A$ ક્ષેત્રફળનું પાતળું નળાકાર સ્તર બનાવે છે,તો કદ $V = A \cdot d$ થાય.
$R$ વક્રતા ત્રિજ્યા ધરાવતા મેનિસ્કસ માટે,સ્તરની જાડાઈ $d = 2R$ છે,તેથી $V = A(2R)$.
આમ,$R = \frac{V}{2A} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{T}{(V / 2A)} = \frac{F}{A}$
$T = \frac{F \cdot V}{2A^2}$

(B) કેશનળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$.
અહીં $T, \theta, \rho$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{r}$ થાય.
કેશનળીમાં રહેલા પ્રવાહીનું દળ $m = V \rho = (\pi r^2 h) \rho$ દ્વારા મળે છે.
દળના સમીકરણમાં $h \propto \frac{1}{r}$ મૂકતા,આપણને $m \propto r^2 \times \frac{1}{r}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $m \propto r$ થાય છે.
જો ત્રિજ્યા $r$ માંથી બદલાઈને $r' = \frac{r}{4}$ થાય,તો નવું દળ $m' = m \times \frac{r'}{r} = m \times \frac{r/4}{r} = \frac{m}{4}$ થશે.

(C) પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $E = T(\Delta A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta A$ એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_i = n(4\pi r^2)$ અને અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_f = 4\pi R^2$ છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$n(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$,જેનો અર્થ છે કે $n = \frac{R^3}{r^3}$.
પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_i - A_f = 4\pi(nr^2 - R^2)$ છે.
$n = \frac{R^3}{r^3}$ મૂકતા,આપણને $\Delta A = 4\pi(\frac{R^3}{r} - R^2) = 4\pi R^3(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ મળે છે.
કારણ કે $V = \frac{4}{3}\pi R^3$,તેથી $4\pi R^3 = 3V$ થાય.
આમ,$\Delta A = 3V(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
અહીં $r < R$ હોવાથી,$\Delta A > 0$ એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે ઉર્જા મુક્ત થાય છે.
તેથી,$E = 3VT(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ ઉર્જા મુક્ત થાય છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રવાહીના ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2\sigma}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે નાના ટીપાં માટે, વધારાનું દબાણ $P_s = \frac{2\sigma}{r} = 9$ એકમ છે.
જ્યારે $27$ નાના ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$V_{big} = 27 \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27r^3 \implies R = 3r$.
મોટા ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P_B = \frac{2\sigma}{R}$ છે.
$R = 3r$ મૂકતા:
$P_B = \frac{2\sigma}{3r} = \frac{1}{3} \left( \frac{2\sigma}{r} \right) = \frac{1}{3} \times 9 = 3$ એકમ.

(C) આપેલ છે:
પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ, $A = 10^{-2} \,m^2$
પાણીના પડની જાડાઈ, $h = 10 \,cm = 10^{-1} \,m$
પાણીનું પૃષ્ઠતાણ, $\sigma = 70 \times 10^{-3} \,N/m$
જ્યારે બે પ્લેટો વચ્ચે પ્રવાહીનું પાતળું પડ હોય, ત્યારે મેનિસ્કસની વક્રતાને કારણે પ્રવાહીની અંદરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું હોય છે. દબાણનો તફાવત (લાપ્લેસ દબાણ) નીચે મુજબ છે:
$\Delta P = \frac{\sigma}{r}$
અહીં મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા $r = h/2$ છે.
તેથી, $\Delta P = \frac{\sigma}{h/2} = \frac{2\sigma}{h}$
પ્લેટોને અલગ કરવા માટે જરૂરી બળ $F$ એ દબાણના તફાવત અને ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે:
$F = \Delta P \times A = \frac{2\sigma A}{h}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{2 \times (70 \times 10^{-3}) \times (10^{-2})}{10^{-1}} = 14 \times 10^{-3} \,N$
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ વિકલ્પો મુજબ, ગણતરીમાં $h$ ની કિંમત અલગ હોઈ શકે છે, પરંતુ આપેલ ઉકેલની પદ્ધતિ મુજબ જવાબ $28 \,N$ મળે છે.

(A) ચોરસ વાયરની ફ્રેમની $4$ બાજુઓ હોય છે, જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $L$ છે. ચોરસની કુલ પરિમિતિ $4 L$ છે.
જ્યારે ફ્રેમને સાબુના દ્રાવણમાં ડુબાડવામાં આવે છે, ત્યારે તેની ઉપર એક પાતળું પડ (પટલ) બને છે.
આ પડને બે સપાટીઓ હોય છે (ફ્રેમની દરેક બાજુએ એક).
તેથી, વાયરની ફ્રેમ સાથે સંપર્કમાં રહેલી પડની કુલ લંબાઈ $2 \times (4 L) = 8 L$ થાય છે.
પૃષ્ઠતાણ $T$ ને કારણે લાગતું બળ $F$ એ સૂત્ર $F = T \times (\text{કુલ લંબાઈ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $F = T \times 8 L = 8 T L$ મળે છે.

(B) કેશિકા નળીમાં પાણીની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$.
ખાણમાં $d$ ઊંડાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g^{\prime} = g(1 - \frac{d}{R})$ થાય છે.
$d$ ઊંડાઈએ નવી ઊંચાઈ $h^{\prime} = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g^{\prime}} = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g(1 - \frac{d}{R})}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{h}{h^{\prime}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{h}{h^{\prime}} = \frac{\frac{2T \cos \theta}{r \rho g}}{\frac{2T \cos \theta}{r \rho g(1 - \frac{d}{R})}} = 1 - \frac{d}{R}$.

(A) આપેલ છે:
વધારાનું દબાણ,$\Delta P = 50 \ dyne/cm^2$
ત્રિજ્યા,$r = 2 \ cm$
સાબુના પરપોટા માટે,પ્રવાહી-હવા વચ્ચેની સપાટી બે વાર ઓળંગાય છે,તેથી વધારાનું દબાણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta P = \frac{4T}{r}$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$T$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$T = \frac{\Delta P \times r}{4}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{50 \ dyne/cm^2 \times 2 \ cm}{4} = \frac{100}{4} \ dyne/cm = 25 \ dyne/cm$

(C) સિક્કાને તરવા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું બળ (વજન) એ સિક્કાની પરિઘ પર લાગતા પૃષ્ઠતાણના ઉપરની તરફના બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ધારો કે સંપર્ક કોણ $0^{\circ}$ છે અને સિક્કો પાતળો છે,તો ઉપરની તરફ લાગતું બળ $F = T \times (2 \pi R)$ છે.
સિક્કાનું વજન $W = \text{દળ} \times g = (\text{ઘનતા} \times \text{કદ}) \times g = \rho \times (\pi R^2 d) \times g$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા:
$T(2 \pi R) = \rho (\pi R^2 d) g$
બંને બાજુ $\pi R$ વડે ભાગતા:
$2 T = \rho R d g$
$R$ માટે ઉકેલતા:
$R = \frac{2 T}{\rho g d}$

(D) પ્રક્રિયા સમતાપી સ્થિતિમાં થતી હોવાથી અને પારોનું કુલ દળ અચળ રહેતું હોવાથી,બે ટીપાંનું કુલ કદ તેમાંથી બનતા એક મોટા ટીપાંના કદ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ ટીપાંનું કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ છે અને બીજા ટીપાંનું કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$ છે.
પરિણામી મોટા ટીપાંનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે.
કદ સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ: $V = V_1 + V_2$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_1^3 + \frac{4}{3} \pi R_2^3$.
બંને બાજુ $\frac{4}{3} \pi$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $R^3 = R_1^3 + R_2^3$.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 2 \times (4 \pi r^2 T) = 8 \pi r^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$R$ ત્રિજ્યાના પરપોટા માટે,$W_1 = 8 \pi R^2 T$.
$2R$ ત્રિજ્યાના પરપોટા માટે,$W_2 = 8 \pi (2R)^2 T = 8 \pi (4R^2) T = 32 \pi R^2 T$.
ગુણોત્તર $\frac{W_1}{W_2} = \frac{8 \pi R^2 T}{32 \pi R^2 T} = \frac{1}{4}$ થાય.

(C) જ્યારે દડો ટર્મિનલ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે. દડા પર નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) અને ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) તથા સ્નિગ્ધ બળ (viscous force) લાગે છે.
$Mg = F_v + F_b$
જ્યાં $Mg$ એ વજન છે,$F_v$ એ સ્નિગ્ધ બળ છે,અને $F_b$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
દડાનું વજન $Mg = V \rho g$ છે,જ્યાં $V$ એ દડાનું કદ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = V \sigma g$ છે.
આ કિંમતોને બળ સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$V \rho g = F_v + V \sigma g$
$F_v = V \rho g - V \sigma g = V g (\rho - \sigma)$
કારણ કે $V = \frac{M}{\rho}$,તેથી $F_v$ ના સમીકરણમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$F_v = \frac{M}{\rho} g (\rho - \sigma) = M g \left( \frac{\rho - \sigma}{\rho} \right) = M g \left( 1 - \frac{\sigma}{\rho} \right)$.

(C) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ એ પ્રવાહીના પ્રવાહના પ્રકારને સમજવા માટે વપરાતી પરિમાણરહિત સંખ્યા છે.
નળીમાંથી વહેતા પ્રવાહી માટે:
$1$. જો $Re < 2000$ હોય,તો પ્રવાહ સુરેખ (laminar) હોય છે.
$2$. જો $2000 < Re < 3000$ હોય,તો પ્રવાહ સંક્રમણ અવસ્થામાં હોય છે.
$3$. જો $Re > 3000$ હોય,તો પ્રવાહ અશાંત (turbulent) હોય છે.
અહીં રેનોલ્ડ્સ નંબર $900$ છે,જે $2000$ કરતા ઓછો હોવાથી,પ્રવાહીનો પ્રવાહ સુરેખ છે.

(D) ધારો કે મોટા અને નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $R$ અને $r$ છે. મોટા ટીપાંનું કદ $= 8 \times$ એક નાના ટીપાંનું કદ.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,ટર્મિનલ વેગ $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v_t \propto r^2$.
ધારો કે મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V$ છે.
$\frac{V}{v} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = \frac{4r^2}{r^2} = 4$
તેથી,$V = 4v$.

(D) ટર્મિનલ વેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V_{T} = \frac{2}{9} r^2 \frac{(\rho-\sigma)g}{\eta}$
અહીં,$V_{T} \propto r^2$ છે.
દળ અને ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સંબંધ:
$m \propto \text{volume} \propto r^3$
તેથી,$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ થાય.
અહીં $m_1 = m$ અને $m_2 = 8m$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{m}{8m} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \Rightarrow \frac{1}{8} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow r_2 = 2r_1$ મળે.
હવે,ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = (2)^2 = 4$ થાય.
આમ,$V_{T2} = 4V_{T1} = 4V$.

(A) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે ટર્મિનલ વેગ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $v \propto r^2$.
ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V$ છે અને $R$ ત્રિજ્યાના મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V'$ છે.
સમપ્રમાણતાના સંબંધ મુજબ:
$\frac{V'}{V} = \frac{R^2}{r^2}$
તેથી,મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $V' = \frac{V R^2}{r^2}$ થશે.

(C) રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ એ એક પરિમાણરહિત રાશિ છે જેનો ઉપયોગ પાઇપમાં પ્રવાહીના વહનનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે થાય છે. તે જડત્વના બળ અને શ્યાનતા બળના ગુણોત્તરને દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$R_e = \frac{\text{જડત્વનું બળ}}{\text{શ્યાનતા બળ}}$
$\rho$ ઘનતા ધરાવતું પ્રવાહી $V$ વેગ સાથે $d$ વ્યાસની નળીમાંથી વહેતું હોય અને $\eta$ શ્યાનતા ગુણાંક હોય,તો તેનું સૂત્ર:
$R_e = \frac{\rho V d}{\eta}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ટર્મિનલ વેગ $v_{T}$ માટેની શરત એ છે કે દડા પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે. ટર્મિનલ વેગ પર,દડાનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ અને સ્નિગ્ધ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
વજન $(W) = \rho V g$
ઉત્પ્લાવક બળ $(f) = \sigma V g$
સ્નિગ્ધ બળ $(F) = K v_{T}^2$
બળોને સરખાવતા: $W = f + F$
$\rho V g = \sigma V g + K v_{T}^2$
$K v_{T}^2 = V g (\rho - \sigma)$
$v_{T}^2 = \frac{V g (\rho - \sigma)}{K}$
$v_{T} = \sqrt{\frac{V g (\rho - \sigma)}{K}}$

(A) ધારો કે પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ અંતર $2d$ છે.
તેથી,પ્રથમ અડધું અંતર $d$ છે અને બીજું અડધું અંતર $d$ છે.
$u$ ઝડપથી પ્રથમ અડધું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{u}$ છે.
$v$ ઝડપથી બીજું અડધું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{v}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{u} + \frac{d}{v}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2d}{d(\frac{1}{u} + \frac{1}{v})} = \frac{2}{\frac{u+v}{uv}} = \frac{2uv}{u+v}$.

(B) ધારો કે વાહનનું પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u$ અને અંતિમ વેગ $v = 0$ છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u^2 - 2ad$,જે પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{u^2}{2d}$ આપે છે.
જો પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ હોય,તો પ્રતિરોધક બળ $F = m_1 a = m \left(\frac{u^2}{2d}\right)$ થાય.
બીજા કિસ્સામાં,દળ $m_2 = m + 0.4m = 1.4m$ થાય છે. પ્રતિપ્રવેગ $a$ સમાન રહે છે.
નવું અટકવાનું અંતર $d'$ એ $d' = \frac{u^2}{2a}$ દ્વારા મળે છે.
$a = \frac{u^2}{2d}$ મૂકતા,આપણને $d' = \frac{u^2}{2(u^2/2d)} = d$ મળે છે.
જો કે,જો પ્રતિરોધક બળ $F$ અચળ હોય (જેમ કે બ્રેકિંગ ફોર્સના સંદર્ભમાં),તો $F = m_1 a_1 = m_2 a_2$. $F$ અચળ હોવાથી,$a_2 = \frac{F}{m_2} = \frac{ma}{1.4m} = \frac{a}{1.4}$ થાય.
તેથી $d' = \frac{u^2}{2a_2} = \frac{u^2}{2(a/1.4)} = 1.4 \left(\frac{u^2}{2a}\right) = 1.4d$.

(B) પદાર્થનો પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0 \ m/s$ છે. ઊંચાઈ $h = 1960 \ m$ છે. ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2} gt^2$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ શોધી શકીએ છીએ:
$1960 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{1960 \times 2}{9.8} = 400$
$t = 20 \ s$
હવે,સમક્ષિતિજ વેગ $v$ ને $km/h$ માંથી $m/s$ માં રૂપાંતરિત કરો:
$v = 540 \times \frac{5}{18} = 150 \ m/s$
પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ અંતર $AB = v \times t$ દ્વારા મળે છે:
$AB = 150 \times 20 = 3000 \ m$

(C) $\text{પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:}$
$T = \frac{2u \sin \theta}{g}$
$\text{આપેલ કિંમતો:}$
$\text{પ્રારંભિક વેગ } u = 196 \,m/s$
$\text{પ્રક્ષેપણ કોણ } \theta = 30^{\circ}$
$\text{ગુરુત્વ પ્રવેગ } g = 9.8 \,m/s^2$
$\text{આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:}$
$T = \frac{2 \times 196 \times \sin(30^{\circ})}{9.8}$
$\text{કારણ કે } \sin(30^{\circ}) = 0.5 \text{ છે:}$
$T = \frac{2 \times 196 \times 0.5}{9.8}$
$T = \frac{196}{9.8} = 20 \,s$
$\text{તેથી,ઉડ્ડયન સમય } 20 \,s \text{ છે।}$

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ બિંદુ પર,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ હોય છે.
કણ વર્તુળાકાર ગતિ કરે તે માટે,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતા પ્રવેગ $g$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે,જે વેગને લંબ હોય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \frac{v^2}{R}$ છે.
અહીં,$v = v_x = u \cos \theta$ અને $a_c = g$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $g = \frac{(u \cos \theta)^2}{R}$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $R$ ને કર્તા બનાવતા,$R = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{g}$ મળે છે.

(A) સમાન વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક મૂલ્યો $m, v, r$ છે. પ્રારંભિક બળ $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આપેલ છે કે $m, v$ અને $r$ ત્રણેયમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવા મૂલ્યો:
$m' = m + 0.5m = 1.5m = \frac{3}{2}m$
$v' = v + 0.5v = 1.5v = \frac{3}{2}v$
$r' = r + 0.5r = 1.5r = \frac{3}{2}r$
નવું બળ $F'$ આ મુજબ છે:
$F' = \frac{m' (v')^2}{r'} = \frac{(\frac{3}{2}m) (\frac{3}{2}v)^2}{\frac{3}{2}r} = \frac{(\frac{3}{2}m) (\frac{9}{4}v^2)}{\frac{3}{2}r} = \frac{9}{4} \frac{mv^2}{r} = 2.25 F$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F' - F = 2.25F - F = 1.25F$ છે.
બળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta F}{F} \times 100 = \frac{1.25F}{F} \times 100 = 125 \%$ છે.

(D) $U.C.M.$ (નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ) માં,કણની ઝડપ $V$ અચળ રહે છે.
ત્રિજ્યા $R$ પણ અચળ હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega = V/R$ નું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ કોણીય વેગના ફેરફારનો દર છે,એટલે કે $\alpha = d\omega/dt$.
અહીં $\omega$ અચળ હોવાથી,સમયની સાપેક્ષે તેનું વિકલન શૂન્ય થાય છે.
તેથી,કણનો કોણીય પ્રવેગ $0$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 10 \text{ g} = 10^{-2} \text{ kg}$, ત્રિજ્યા $r = 6.4 \text{ cm} = 6.4 \times 10^{-2} \text{ m}$, ગતિઊર્જા $K = 8 \times 10^{-4} \text{ J}$.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે, તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
બે પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $s = 2 \times (2 \pi r) = 4 \pi r$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, સ્પર્શકીય બળ $F_t$ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = F_t \cdot s = \Delta K$
$F_t = m a_t$ હોવાથી, આપણને મળે:
$m a_t \cdot (4 \pi r) = K - 0$
$a_t = \frac{K}{m \cdot 4 \pi r}$
કિંમતો મૂકતા:
$a_t = \frac{8 \times 10^{-4} \text{ J}}{10^{-2} \text{ kg} \times 4 \times 3.14 \times 6.4 \times 10^{-2} \text{ m}}$
$a_t = \frac{8 \times 10^{-4}}{25.6 \pi \times 10^{-4}} = \frac{8}{25.6 \times 3.14} \approx 0.1 \text{ m/s}^2$.

(B) કણ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ $(U.C.M.)$ કરી રહ્યો છે.
$x$ પરિભ્રમણમાં કપાતો કુલ ખૂણો $\theta = 2 \pi x$ રેડિયન છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{\theta}{t} = \frac{2 \pi x}{t}$ દ્વારા મળે છે.
સ્પર્શકીય વેગ $v$ અને કોણીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \omega R$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $R = \frac{\pi}{2} \ m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \left( \frac{2 \pi x}{t} \right) \times \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^2 x}{t} \ m/s$.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ ગતિની દિશા માર્ગના દરેક બિંદુએ બદલાય છે.
વેગ $\vec{v}$ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,તેની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,તેથી વેગ અચળ નથી.
વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ એ વેગ સદિશ પર આધારિત હોવાથી,તે પણ સતત બદલાય છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે $a_c = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જોકે તેનું મૂલ્ય અચળ છે,પરંતુ તેની દિશા હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે સતત બદલાતી રહે છે. તેથી,પ્રવેગ અચળ નથી.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દળ $m$ અને ઝડપ $v = |\vec{v}|$ અચળ હોવાથી,ગતિ દરમિયાન ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ ગતિઊર્જા છે.

(A) ધારો કે ભારે પદાર્થ ($3m$ દળ) ની સ્પર્શકીય ઝડપ $v$ છે.
તેથી,હલકા પદાર્થ ($m$ દળ) ની સ્પર્શકીય ઝડપ $nv$ થશે.
કેન્દ્રગામી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $F_1 = \frac{m(nv)^2}{r} = \frac{mn^2v^2}{r}$.
બીજા પદાર્થ માટે: $F_2 = \frac{(3m)v^2}{(r/3)} = \frac{9mv^2}{r}$.
કેન્દ્રગામી બળ સમાન હોવાથી $(F_1 = F_2)$:
$\frac{mn^2v^2}{r} = \frac{9mv^2}{r}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $m, v^2$ અને $r$ ને દૂર કરતા:
$n^2 = 9$.
તેથી,$n = 3$.

(A) અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = r \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_r = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પર્શક પ્રવેગ અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_t}{a_r} = \frac{r \alpha}{v^2 / r}$ થાય છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{a_t}{a_r} = \frac{r^2 \alpha}{v^2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 4 \ rad/s^2$. પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$.
$1$. $t$ સમયે કોણીય વેગ $\omega = \omega_0 + \alpha t = \alpha t$ થાય.
$2$. કેન્દ્રત્યાગી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $a_c = \omega^2 r = (\alpha t)^2 r = \alpha^2 t^2 r$ છે.
$3$. સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = \alpha r$ છે.
$4$. આપણને આપેલ છે કે બંનેના મૂલ્યો સમાન છે: $a_c = a_t$.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $\alpha^2 t^2 r = \alpha r$.
$6$. બંને બાજુ $\alpha r$ વડે ભાગતા: $\alpha t^2 = 1$.
$7$. $t$ માટે ઉકેલતા: $t^2 = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{4}$.
$8$. તેથી,$t = \sqrt{\frac{1}{4}} = 0.5 \ s$.

(D) '$r$' ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર '$v$' ઝડપથી ગતિ કરતા કણનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ '$a$' નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{v^2}{r}$.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ એ ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $a \propto v^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ '$v_1 = v$' છે અને પ્રારંભિક પ્રવેગ '$a_1 = a$' છે.
ધારો કે અંતિમ ઝડપ '$v_2 = 2v$' છે અને અંતિમ પ્રવેગ '$a_2$' છે.
અંતિમ પ્રવેગ અને પ્રારંભિક પ્રવેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{a_2}{a_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{2v}{v}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,ફેરફાર પછી અને પહેલાના પ્રવેગનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) સાદા લોલકની આવૃત્તિનું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે આવૃત્તિ $n$ એ લંબાઈ $L$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $n \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$.
તેથી,આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$ થાય.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = \frac{3}{2}$ છે,લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\frac{n_1}{n_2})^2 = \frac{L_2}{L_1} \Rightarrow (\frac{3}{2})^2 = \frac{L_2}{L_1} \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{L_2}{L_1}$.
આમ,લંબાઈનો ગુણોત્તર $L_1 : L_2$ એ $4 : 9$ થાય.

(C) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$.
ધારો કે મૂળ લંબાઈ $l_1 = l$ છે અને મૂળ આવૃત્તિ $f_1 = f$ છે.
લંબાઈ તેની મૂળ લંબાઈ કરતા ત્રણ ગણી વધારવામાં આવે છે,તેથી નવી લંબાઈ $l_2 = l + 3l = 4l$ થાય.
સંબંધ $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{l}{4l}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,નવી આવૃત્તિ $f_2 = \frac{f}{2}$ થશે.

(A) જ્યારે બ્લોકને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી $x$ જેટલા નાના અંતરે ઉર્ધ્વ દિશામાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીનું વધારાનું સ્થાનાંતરિત કદ $V = A x$ થાય છે.
બ્લોક પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F = \rho V g = \rho (A x) g$ છે.
આ બળ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $F_{\text{restoring}} = -\rho A g x$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = M a$,જ્યાં $M$ એ બ્લોકનું દળ છે.
આમ,$M a = -\rho A g x$,જે $a = -(\frac{\rho A g}{M}) x$ આપે છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{\rho A g}{M}$ મળે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{\rho A g}{M}}$.
આવૃત્તિ $n = \frac{\omega}{2 \pi}$ હોવાથી,$n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\rho A g}{M}}$ થાય.
તેથી,$n \propto \sqrt{A}$.

(C) કેન્દ્રગામી બળ એ સ્થિત-વિદ્યુત બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $\frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2} \implies mv^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$. ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માટે,$mvr = \frac{h}{2\pi} \implies v = \frac{h}{2\pi mr}$.
બળના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $m(\frac{h}{2\pi mr})^2 = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \implies \frac{h^2}{4\pi^2 mr^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \implies r = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$.
ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનને કારણે પ્રવાહ $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ છે.
કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$ છે.
$v = \frac{h}{2\pi mr}$ અને $r = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 e}{4\pi r^2} \cdot \frac{h}{2\pi mr} = \frac{\mu_0 e h}{8\pi^2 m r^3}$.
$r^3 = (\frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2})^3 = \frac{\varepsilon_0^3 h^6}{\pi^3 m^3 e^6}$ મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 e h}{8\pi^2 m} \cdot \frac{\pi^3 m^3 e^6}{\varepsilon_0^3 h^6} = \frac{\mu_0 e^7 \pi m^2}{8 \varepsilon_0^3 h^5}$.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta E = h c R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
અહીં,સંક્રમણ $n_2 = 4$ થી $n_1 = 1$ સુધીનું છે.
$\Delta E = R h c \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) = R h c \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = \frac{15}{16} R h c$.
ફોટોનની ઉર્જાને તેના સાપેક્ષ દળ $m$ નો ઉપયોગ કરીને $E = m c^2$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.
ઉર્જા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $m c^2 = \frac{15}{16} R h c$.
બંને બાજુને $m c$ વડે ભાગતા,આપણને ફોટોનનો વેગ $c = \frac{15 R h}{16 m}$ મળે છે.

(A) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m} = I \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે અને $\vec{A}$ એ ક્ષેત્રફળ સદિશ છે. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત હોવાથી,સમતુલ્ય પ્રવાહ $I$ ની દિશા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\vec{m}$ ની દિશા કક્ષાના સમતલને લંબ હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{p} = m_e \vec{v}$ એ રેખીય વેગમાન છે. ક્રોસ પ્રોડક્ટ માટેના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\vec{L}$ ની દિશા પણ કક્ષાના સમતલને લંબ હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ વીજભાર હોવાથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m}$ ની દિશા કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે. તેથી,$m$ અને $L$ કક્ષાના સમતલને લંબ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(A) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,$n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $E \propto \frac{1}{n^2}$.
$n^{\text{મી}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $L \propto n$.
સંબંધ $L \propto n$ પરથી,આપણને મળે છે $n \propto L$.
આ કિંમતને ઉર્જાના સંબંધમાં મૂકતા: $E \propto \frac{1}{n^2} \implies E \propto \frac{1}{L^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે $\sqrt{E} \propto \frac{1}{L}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $L \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ મળે છે.

(C) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં,$r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ અને ગતિ ઉર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ વિરિયલ પ્રમેય દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
કુલંબ સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{kZe^2}{r}$ માટે,સ્થિત-વિદ્યુત બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{kZe^2}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
બંને બાજુ $\frac{r}{2}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\frac{kZe^2}{2r} = \frac{1}{2} mv^2 = K$
સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{kZe^2}{r}$ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $K = -\frac{U}{2}$ થાય.
અહીં સ્થિતિ ઉર્જા $U = -E$ આપેલી છે,તેથી ગતિ ઉર્જા:
$K = -\frac{(-E)}{2} = \frac{E}{2}$ થાય.

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોહરના મોડેલમાં,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v \propto \frac{1}{n}$ અને ત્રિજ્યા $r \propto n^2$ હોય છે.
આ પ્રમાણસરતાને પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $a \propto \frac{(1/n)^2}{n^2} = \frac{1}{n^4}$ મળે છે.
તેથી,$3^{\text{rd}}$ કક્ષા $(n_1 = 3)$ અને $5^{\text{th}}$ કક્ષા $(n_2 = 5)$ માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_3}{a_5} = \frac{n_2^4}{n_1^4} = \frac{5^4}{3^4}$ થાય.
કિંમતોની ગણતરી કરતા,આપણને $\frac{625}{81}$ મળે છે.

(C) પ્રવાહધારિત લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $T$ આવર્તકાળ સાથે ફરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{e}{T}$ છે.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$\mu = \left(\frac{e}{T}\right) \pi r^2$.
આવર્તકાળ $T$ એ કક્ષીય વેગ $v$ સાથે $T = \frac{2 \pi r}{v}$ દ્વારા સંબંધિત છે,તેથી $\frac{1}{T} = \frac{v}{2 \pi r}$.
આ કિંમત $\mu$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\mu = e \left(\frac{v}{2 \pi r}\right) \pi r^2 = \frac{evr}{2}$ મળે છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ છે,જેનો અર્થ છે કે $vr = \frac{L}{m}$.
$vr$ ની કિંમત $\mu$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{e}{2} \left(\frac{L}{m}\right) = \frac{e}{2m} L$ મળે છે.

(A) $n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો પરિભ્રમણ સમયગાળો $T_n = \frac{2 \pi r_n}{v_n}$ છે.
બોહરના મોડેલ મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \left(\frac{h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2}\right) n^2$ છે (જ્યાં $Z=1$ છે).
$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_n = \left(\frac{e^2}{2 h \varepsilon_0}\right) \frac{1}{n}$ છે.
આ કિંમતોને $T_n$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T_n = 2 \pi \left(\frac{h^2 \varepsilon_0 n^2}{\pi m e^2}\right) \div \left(\frac{e^2}{2 h \varepsilon_0 n}\right)$
$T_n = 2 \pi \left(\frac{h^2 \varepsilon_0 n^2}{\pi m e^2}\right) \times \left(\frac{2 h \varepsilon_0 n}{e^2}\right)$
$T_n = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m e^4}$.

(C) આપેલ છે કે બંને સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર સમાન વિદ્યુતભાર $q$ અને સમાન સ્થિતિમાન $V$ ધરાવે છે, તેથી તેમની કેપેસિટન્સ સમાન હશે કારણ કે $C = q/V$.
તેથી, $C_1 = C_2$.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરના કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
બંને કેપેસિટન્સને સરખાવતા: $\frac{\varepsilon_0 A_1}{d_1} = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d_2}$.
આના પરથી $d_2 = \frac{A_2}{A_1} d_1$ મળે છે.
અહીં $A_1 = 100 \,cm^2$, $A_2 = 500 \,cm^2$, અને $d_1 = 0.5 \,mm = 0.05 \,cm$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $d_2 = \frac{500}{100} \times 0.05 \,cm = 5 \times 0.05 \,cm = 0.25 \,cm$.

(B) ધારો કે પૃથ્વી $R$ ત્રિજ્યાનો એક નક્કર ગોળો છે.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ અને પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
કદ અને પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $\frac{V}{A} = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{4 \pi R^2} = \frac{R}{3}$ થાય.
આથી,ત્રિજ્યા $R = \frac{3V}{A}$ મળે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અલગ કરેલા ગોળાકાર સુવાહકનું કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 R$ છે.
$R$ ની કિંમત $V$ અને $A$ ના સ્વરૂપમાં મૂકતા,$C = 4 \pi \epsilon_0 \left( \frac{3V}{A} \right) = \frac{12 \pi \epsilon_0 V}{A}$ મળે.

(B) હવાથી ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \quad --- (1)$
જ્યારે કેપેસીટરની પ્લેટો વચ્ચે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક અને $t$ જાડાઈ ધરાવતી સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
ધાતુની શીટ માટે,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = \infty$ હોય છે. આપેલ છે કે $t = \frac{d}{2}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{\infty}} = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{d}{2} + 0} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$
$C_2 = 2 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = 2 C_1$
તેથી,ગુણોત્તર $C_2 : C_1 = 2 : 1$ થાય છે.

(A) જ્યારે એક અલગ કરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે સિસ્ટમ બેટરીથી અલગ થયેલી છે.
જેમ કેપેસીટન્સ વધીને $C' = KC$ થાય છે,તેમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = Q/C' = V/K$ ઘટે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E' = V'/d = E/K$ પણ ઘટે છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = Q^2/(2C') = U/K$ ઘટે છે.
તેથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર એ એકમાત્ર રાશિ છે જે બદલાતી નથી.

(A) હવાથી ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$.
આપેલ છે કે નવું કેપેસીટન્સ મૂળ મૂલ્યના એક-તૃતીયાંશ છે,એટલે કે $C' = \frac{C_0}{3}$:
$\frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1}{3} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$.
બંને બાજુથી $\varepsilon_0 A$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1}{3d}$.
$3d = d - t + \frac{t}{K}$.
$2d + t = \frac{t}{K}$.
$K = \frac{t}{2d + t}$.

(C) શરૂઆતમાં,બંને કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે. જ્યારે એક કેપેસિટરને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C_1 = KC$ થાય છે,જ્યારે બીજું કેપેસિટર $C_2 = C$ રહે છે.
કેપેસિટરો $V$ emf ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કેપેસિટર $C_2$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2$ વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V_2 = V \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = V \left( \frac{KC}{KC + C} \right) = V \left( \frac{KC}{C(K + 1)} \right)$
$V_2 = \frac{KV}{K + 1}$

(A) ધારો કે એક પરિપથ છે જેમાં $C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરને $V$ વોલ્ટેજની બેટરી દ્વારા ચાર્જ કરવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટર સંપૂર્ણ રીતે ચાર્જ થાય છે,ત્યારે તેના પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ હોય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $E_{\text{capacitor}} = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
આ ચાર્જ પૂરો પાડવા માટે બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W = QV = (CV)V = CV^2$ છે.
પરિપથમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતી ઉર્જા એ બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય અને કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$E_{\text{loss}} = W - E_{\text{capacitor}} = CV^2 - \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} CV^2$.
બેટરી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ કુલ ઉર્જા $(W = CV^2)$ સાથે તેની સરખામણી કરતા:
$\text{Percentage loss} = \frac{E_{\text{loss}}}{W} \times 100\% = \frac{\frac{1}{2} CV^2}{CV^2} \times 100\% = 50\%$.
આમ,બેટરી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉર્જાના $50\%$ ઉર્જાનો વ્યય થાય છે.

(B) જ્યારે કેપેસિટરને ચાર્જ કરવામાં આવે છે અને પછી બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે ચાર્જ વહેવા માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટોને એકબીજાથી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર $d$ વધે છે,જેના કારણે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
ચાર્જ $Q$ અચળ હોવાથી અને $Q = CV$ હોવાથી,વોલ્ટેજ $V = \frac{Q}{C}$ વધવો જોઈએ કારણ કે $C$ ઘટે છે.
તેથી,કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ વધે છે.

(D) આ પરિપથમાં બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે જે અન્ય બે કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
સૌ પ્રથમ,બે સમાંતર કેપેસિટરનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ગણો:
$C_{\|} = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$
હવે,આ પરિપથ $2 \mu F$,$4 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના શ્રેણી જોડાણ જેવો છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2 \mu F} + \frac{1}{4 \mu F} + \frac{1}{2 \mu F} = \frac{2 + 1 + 2}{4 \mu F} = \frac{5}{4 \mu F}$
$C_{eq} = \frac{4}{5} \mu F = 0.8 \times 10^{-6} \,F$
સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$U = \frac{1}{2} \times (0.8 \times 10^{-6} \,F) \times (10 \,V)^2$
$U = 0.4 \times 10^{-6} \times 100 \,J = 40 \times 10^{-6} \,J = 400 \times 10^{-7} \,J$

(D) શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$. શરૂઆતનો વિદ્યુતભાર $q = CV = \frac{\varepsilon_0 A V}{d}$.
શરૂઆતની ઉર્જા $U_i = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d}$.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
નવું અંતર $d' = 4d$ છે,તેથી નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{4d} = \frac{C}{4}$ થાય.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2(C/4)} = \frac{4q^2}{2C} = 4U_i$.
થયેલું કાર્ય $W = U_f - U_i = 4U_i - U_i = 3U_i$.
$U_i = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $W = 3 \times \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2d} = \frac{3 \varepsilon_0 A V^2}{2d}$ મળે છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર કુલ ક્ષેત્રના અડધા જેટલું હોય છે,તેથી એક પ્લેટને કારણે ક્ષેત્ર $E_1 = \frac{E}{2} = \frac{V}{2 d}$ થાય.
પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C V$ છે.
એક પ્લેટ દ્વારા બીજી પ્લેટ પર લાગતું બળ $F = Q \times E_1$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $F = (C V) \times \left( \frac{V}{2 d} \right) = \frac{C V^2}{2 d}$ મળે છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં ઉર્જા ઘનતા $u$ એ $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $V$ એ $V = A \times d$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ એ ઉર્જા ઘનતા અને કદનો ગુણાકાર છે.
$U = u \times V = (\frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2) \times (A d) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 A d$.

(D) ધારો કે દરેક સમાન કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા $n$ સમાન કેપેસિટર્સ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\|} = nC$ છે.
$n=4$ માટે,$C_{\|} = 4C$.
શ્રેણી જોડાણમાં જોડાયેલા $n$ સમાન કેપેસિટર્સ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{s} = \frac{C}{n}$ છે.
$n=4$ માટે,$C_{s} = \frac{C}{4}$.
શ્રેણી જોડાણ અને સમાંતર જોડાણના સમતુલ્ય કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C_{s}}{C_{\|}} = \frac{C/4}{4C} = \frac{1}{16}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1: 16$ છે.

(D) આ કેપેસિટરને સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. તેથી,$C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{2d}$.
બીજા ભાગ માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d+b$ છે. તેથી,$C_2 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d+b} = \frac{\epsilon_0 A}{2(d+b)}$.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ કેપેસિટન્સ $C = C_1 + C_2$ થશે.
$C = \frac{\epsilon_0 A}{2d} + \frac{\epsilon_0 A}{2(d+b)} = \frac{\epsilon_0 A}{2} \left[ \frac{1}{d} + \frac{1}{d+b} \right]$.
$C = \frac{\epsilon_0 A}{2} \left[ \frac{d+b+d}{d(d+b)} \right] = \frac{\epsilon_0 A}{2} \left[ \frac{2d+b}{d(d+b)} \right]$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $C = \frac{\epsilon_0 A}{2d} \left[ \frac{2d+b}{d+b} \right]$ મળે છે.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી,કેપેસિટર $C_1 = 1C$,$C_2 = 2C$,અને $C_3 = 3C$ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. આ શ્રેણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
$C_{eq} = \frac{6}{11}C$
આ શાખા $V$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે કેપેસિટર $C_4 = 4C$ ની સમાંતર જોડાયેલી હોવાથી,શ્રેણી શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે.
શ્રેણી શાખા પરનો વિદ્યુતભાર ($C_1, C_2,$ અને $C_3$ માટે સમાન) છે:
$Q_{series} = C_{eq} V = \frac{6}{11}CV$
કેપેસિટર $C_4$ પરનો વિદ્યુતભાર છે:
$Q_4 = C_4 V = (4C)V = 4CV$
$C_2$ પરના વિદ્યુતભાર અને $C_4$ પરના વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર છે:
$\frac{Q_2}{Q_4} = \frac{\frac{6}{11}CV}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$

(D) સમાંતર જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે.
ધારો કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 10 \ V$ છે.
કેપેસિટર પરનો વીજભાર $Q = C \Delta V$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણ કેપેસિટર માટે:
$Q_1 = C_1 \Delta V = (2C) \Delta V = 2C \Delta V$
$Q_2 = C_2 \Delta V = (C) \Delta V = C \Delta V$
$Q_3 = C_3 \Delta V = (C/2) \Delta V = 0.5C \Delta V$
હવે,$Q_1: Q_2: Q_3$ નો ગુણોત્તર:
$Q_1: Q_2: Q_3 = 2C \Delta V : C \Delta V : 0.5C \Delta V$
$C \Delta V$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$Q_1: Q_2: Q_3 = 2 : 1 : 0.5$
પૂર્ણાંકમાં દર્શાવવા માટે $2$ વડે ગુણતા:
$Q_1: Q_2: Q_3 = 4 : 2 : 1$.

(D) પરિપથની સંમિતિને કારણે સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતા નોડ્સને ઓળખીને પરિપથને સરળ બનાવી શકાય છે. ધારો કે મધ્યવર્તી નોડ્સ $P$ અને $Q$ છે.
સંમિતિનું વિશ્લેષણ કરીને,પરિપથને શ્રેણીમાં જોડાયેલ બે સમાંતર શાખાઓ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે.
દરેક શાખામાં સમાંતર જોડાણમાં કેપેસિટર હોય છે.
પ્રથમ ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1 = 3 C + 2 C + C = 6 C$ છે.
બીજા ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2 = 3 C + 2 C + C = 6 C$ છે.
આ બંને ભાગો શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{6 C} + \frac{1}{6 C} = \frac{2}{6 C} = \frac{1}{3 C}$.
તેથી,$C_{AB} = 3 C$.

(D) આકૃતિ પરથી,$2 C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસિટર્સ બિંદુ $A$ અને બિંદુ $P$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AP}$:
$C_{AP} = 2 C + 2 C + 2 C = 6 C$
હવે,આ સમતુલ્ય કેપેસિટર $C_{AP}$ એ બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે કેપેસિટર $C^{\prime}$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર્સ માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_{AP}} + \frac{1}{C^{\prime}}$
આપેલ છે કે $C_{AB} = 3 C$,તેથી:
$\frac{1}{3 C} = \frac{1}{6 C} + \frac{1}{C^{\prime}}$
$\frac{1}{C^{\prime}} = \frac{1}{3 C} - \frac{1}{6 C} = \frac{2 - 1}{6 C} = \frac{1}{6 C}$
તેથી,$C^{\prime} = 6 C$.

(A) આપેલ સર્કિટમાં,$P$ અને $M$ વચ્ચે,તથા $M$ અને $R$ વચ્ચે જોડાયેલા કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{PM R} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$ છે.
આ સંયોજન $P$ અને $R$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં છે. તેથી,$P$ અને $R$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{PR} = \frac{C}{2} + C = \frac{3C}{2}$ થાય.
હવે,આ સંયોજન $A-P$ અને $R-B$ વચ્ચે જોડાયેલા બે કેપેસિટર્સ સાથે શ્રેણીમાં છે. સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,$A$ અને $B$ વચ્ચે ત્રણ સમાંતર શાખાઓ મળે છે:
$1$. $A-P-M-R-B$ શાખા જેનું સમતુલ્ય $C/3$ છે.
$2$. $A-P-R-B$ શાખા જેનું સમતુલ્ય $C/2$ છે.
$3$. $A-B$ શાખા જેનું સમતુલ્ય $C/2$ છે.
આ બધાનો સરવાળો કરતા $C_{eq} = \frac{C}{3} + \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = \frac{4C}{3}$ મળે છે.

(A) $1$. જ્યારે $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા $n$ સમાન કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે અને $V$ પોટેન્શિયલ પર ચાર્જ કરવામાં આવે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $q = CV$ હોય છે. સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_p = n \times (1/2)CV^2 = (n/2)CV^2$ છે.
$2$. જ્યારે આ કેપેસિટરોને અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર તેનો ચાર્જ $q = CV$ જાળવી રાખે છે.
$3$. જ્યારે આ $n$ કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજન પરનો કુલ પોટેન્શિયલ તફાવત દરેક કેપેસિટર પરના પોટેન્શિયલ તફાવતનો સરવાળો થાય છે: $V_{total} = V + V + ... + V$ ($n$ વખત) $= nV$.
$4$. શ્રેણી સંયોજનમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_s = n \times (1/2)q^2/C = n \times (1/2)(CV)^2/C = (n/2)CV^2$ છે.
$5$. કારણ કે $U_p = U_s$,તેથી કુલ ઉર્જા સમાન રહે છે.

(A) કિરચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ, જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
ચાલો નેટવર્કમાં દાખલ થતા કુલ પ્રવાહ અને બહાર નીકળતા કુલ પ્રવાહનું વિશ્લેષણ કરીએ.
નેટવર્કમાં દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ:
$I_{\text{in}} = 1 \text{ A} + 2 \text{ A} + 3 \text{ A} + 0.8 \text{ A} = 6.8 \text{ A}$
નેટવર્કમાંથી બહાર નીકળતો કુલ પ્રવાહ:
$I_{\text{out}} = 1.2 \text{ A} + 0.5 \text{ A} + 1.7 \text{ A} + I = 3.4 \text{ A} + I$
બંનેને સરખાવતા:
$6.8 \text{ A} = 3.4 \text{ A} + I$
$I = 6.8 \text{ A} - 3.4 \text{ A} = 3.4 \text{ A}$

(D) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $e$ વીજભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ પ્રવાહ $i$ ને વીજભારના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$i = \frac{q}{T}$
અહીં,$q = e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે.
સમયગાળો $T$ એ $v$ ઝડપ સાથે $2 \pi r$ પરિઘ ધરાવતી વર્તુળાકાર કક્ષામાં એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે.
$T = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2 \pi r}{v}$
પ્રવાહના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{e v}{2 \pi r}$

(D) સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં એક મોટો અવરોધ $R$ જોડવો પડે છે.
ધારો કે $I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે.
તો,ગેલ્વેનોમીટરની વોલ્ટેજ રેન્જ $V_g = I_g G$ છે.
જ્યારે અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ અવરોધ $G + R$ થાય છે.
નવી વોલ્ટેજ રેન્જ $V$ એ $V = I_g(G + R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{V}{V_g} = \frac{I_g(G + R)}{I_g G} = \frac{G + R}{G}$.
$\frac{V}{V_g} = 1 + \frac{R}{G}$.
$\frac{R}{G} = \frac{V}{V_g} - 1$.
તેથી,$R = G \left( \frac{V}{V_g} - 1 \right)$.

(B) ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં એક શંટ અવરોધ $S$ જોડવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $R_g = R$
પૂર્ણ-સ્કેલ આવર્તન પ્રવાહ $i_g = 2 \ A$
માપવા માટેનો મહત્તમ પ્રવાહ $I = 10 \ A$
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$V_g = V_s$
$i_g R_g = (I - i_g) S$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$2 \times R = (10 - 2) \times S$
$2 R = 8 S$
$S = \frac{2 R}{8} = \frac{R}{4}$
તેથી,જરૂરી શંટ અવરોધ $\frac{R}{4}$ છે.

(B) ધારો કે $R$ એ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ છે અને $n$ એ વિભાગોની સંખ્યા છે. જ્યારે તેમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ $i_g$ વહે છે ત્યારે દરેક વિભાગ દ્વારા નોંધાયેલ વોલ્ટેજ $V$ નીચે મુજબ છે:
$i_g \times (R/n) = V$ --- $(1)$
જ્યારે વધારાનો અવરોધ $R_s = 1980 \ \Omega$ શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રતિ વિભાગ નવો વોલ્ટેજ $V'$ એ $100V$ થાય છે. સમાન વિચલન માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $i_g$ સમાન રહે છે:
$i_g \times ((R + 1980) / n) = 100V$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{i_g (R + 1980) / n}{i_g R / n} = \frac{100V}{V}$
$\frac{R + 1980}{R} = 100$
$R + 1980 = 100R$
$99R = 1980$
$R = \frac{1980}{99} = 20 \ \Omega$
આમ,વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $20 \ \Omega$ છે.

(C) બાહ્ય શન્ટ અવરોધ $R$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{E R}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતચાલક બળ (emf) છે અને $r$ એ કોષનો આંતરિક અવરોધ છે।
પોટેન્શિયોમીટર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપે છે, તેથી સંતુલન લંબાઈ $L$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $L \propto V$.
તેથી, $\frac{L_1}{L_2} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{R_1(R_2 + r)}{R_2(R_1 + r)}$.
આપેલ છે: $L_1 = 1 \, m$, $R_1 = 3 \, \Omega$, $L_2 = 1.5 \, m$, $R_2 = 6 \, \Omega$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{1.5} = \frac{3(6 + r)}{6(3 + r)}$
$\frac{2}{3} = \frac{6 + r}{2(3 + r)}$
$2(2)(3 + r) = 3(6 + r)$
$4(3 + r) = 18 + 3r$
$12 + 4r = 18 + 3r$
$r = 18 - 12 = 6 \, \Omega$.
આમ, કોષનો આંતરિક અવરોધ $6 \, \Omega$ છે।

(D) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ ને તારની એકમ લંબાઈ દીઠ સ્થિતિમાનના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$k = \frac{V}{L}$
ઓમના નિયમ મુજબ,$R$ અવરોધ ધરાવતા તાર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I R$ છે.
અવરોધ માટેનું સૂત્ર $R = \frac{\rho L}{A}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$V = I \left( \frac{\rho L}{A} \right)$
હવે,આ કિંમતને પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટના સૂત્રમાં મૂકતા:
$k = \frac{I (\rho L / A)}{L}$
$k = \frac{I \rho}{A}$
આમ,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $\frac{I \rho}{A}$ છે.

(B) ધારો કે પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $E_0$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_1 = \frac{E_0}{L}$ છે.
સંતુલન લંબાઈ $l_1 = \frac{L}{3}$ છે.
તેથી,કોષનું e.m.f. $E = k_1 l_1 = \left(\frac{E_0}{L}\right) \left(\frac{L}{3}\right) = \frac{E_0}{3} \quad \dots (1)$
બીજા કિસ્સામાં,તારની નવી લંબાઈ $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = \frac{E_0}{L'} = \frac{E_0}{3L/2} = \frac{2E_0}{3L}$ છે.
ધારો કે તે જ કોષ $E$ માટે નવી સંતુલન લંબાઈ $x$ છે.
તેથી,$E = k_2 x = \left(\frac{2E_0}{3L}\right) x \quad \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{E_0}{3} = \left(\frac{2E_0}{3L}\right) x$
$\Rightarrow x = \frac{L}{2}$.

(A) ધારો કે ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G$ છે અને શંટ અવરોધ $S = 5 \Omega$ છે.
મુખ્ય પ્રવાહને અપરિવર્તિત રાખવા માટે,પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ ગેલ્વેનોમીટરના મૂળ અવરોધ $G$ જેટલો જ રહેવો જોઈએ.
ધારો કે ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં જોડેલ અવરોધ $R$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધનું સમાંતર જોડાણ $R$ સાથે શ્રેણીમાં છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + \frac{G \cdot S}{G + S}$ થાય.
$R_{eq} = G$ લેતા,આપણને મળે છે:
$G = R + \frac{G \cdot S}{G + S}$
$R = G - \frac{G \cdot S}{G + S} = \frac{G(G + S) - GS}{G + S} = \frac{G^2 + GS - GS}{G + S} = \frac{G^2}{G + S}$.
$S = 5 \Omega$ મૂકતા,જરૂરી શ્રેણી અવરોધ $R = \frac{G^2}{G + 5}$ મળે છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે.
$k = \frac{V}{L} = \frac{3 \,V}{4 \,m} = 0.75 \,V/m$.
અહીં સંતુલન લંબાઈ $l = 100 \,cm = 1 \,m$ આપેલી છે.
કોષનું ઈ.એમ.એફ. $E$ એ $E = k \times l$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$E = 0.75 \,V/m \times 1 \,m = 0.75 \,V$.

(D) અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = E_1$ છે. સંતુલન લંબાઈ $l_{AB} = 300 \ cm$ છે. તેથી,$E_1 = k \cdot l_{AB} = k \cdot 300$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC} = E_1 - E_2$ છે (કારણ કે કોષો વિરોધમાં જોડાયેલા છે). સંતુલન લંબાઈ $l_{AC} = 100 \ cm$ છે. તેથી,$E_1 - E_2 = k \cdot l_{AC} = k \cdot 100$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{k \cdot 300}{k \cdot 100} = 3$
$E_1 = 3(E_1 - E_2)$
$E_1 = 3E_1 - 3E_2$
$3E_2 = 2E_1$
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{3}{2}$

(B) પોટેન્શિયોમીટરમાં,શૂન્ય બિંદુની લંબાઈ $l$ એ માપવામાં આવતા બિંદુઓ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત માટે,$EMF$ $E_1$ છે. તેથી,$E_1 = k(0.9)$.
$A$ અને $C$ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત માટે,કુલ $EMF$ $E_1 - E_2$ છે. તેથી,$E_1 - E_2 = k(0.3)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{E_1}{E_1 - E_2} = \frac{0.9}{0.3} = 3$
$E_1 = 3(E_1 - E_2)$
$E_1 = 3E_1 - 3E_2$
$3E_2 = 2E_1$
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{2}{3}$

(D) આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 200 \Omega$.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $i_g = 3 \% \text{ of } i = 0.03i$.
ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,તેની સાથે સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવો પડે છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$i_g G = (i - i_g) S$
$S$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$S = \frac{i_g G}{i - i_g}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{0.03i \times 200}{i - 0.03i}$
$S = \frac{6i}{0.97i}$
$S = \frac{6}{0.97} \approx 6.18 \Omega$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,શંટ અવરોધનું મૂલ્ય $6 \Omega$ થાય છે.

(B) પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x$ એ $x = \frac{V}{L} = \frac{E R}{(R + R') L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ડ્રાઈવર કોષનું e.m.f. છે,$R$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો અવરોધ છે,$R'$ એ મુખ્ય પરિપથમાં રહેલ અવરોધ છે અને $L$ એ વાયરની કુલ લંબાઈ છે.
$e.m.f.$ $\epsilon$ ધરાવતા આપેલ કોષ માટે,સંતુલન લંબાઈ $l$ એ $\epsilon = x \cdot l$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $l = \frac{\epsilon}{x}$.
તટસ્થ બિંદુને $7^{\text{th}}$ વાયરથી $9^{\text{th}}$ વાયર પર ખસેડવા માટે,સંતુલન લંબાઈ $l$ વધારવી જરૂરી છે.
$l = \frac{\epsilon}{x}$ હોવાથી,$l$ વધારવા માટે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x$ ઘટાડવો પડે.
$x = \frac{E R}{(R + R') L}$ સમીકરણ જોતા,$x$ ઘટાડવા માટે આપણે છેદમાં રહેલ પદ $(R + R')$ વધારવું પડે.
તેથી,આપણે મુખ્ય પરિપથમાં અવરોધ $R'$ વધારવો જોઈએ.

(D) કિસ્સો-$1$: $V$ રેન્જના વોલ્ટમીટર માટે,શ્રેણી અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{V}{I_G} - G$ છે,જ્યાં $I_G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે.
આના પરથી,આપણે $I_G$ ને $I_G = \frac{V}{R+G}$ તરીકે લખી શકીએ.
કિસ્સો-$2$: રેન્જ બદલીને $V' = \frac{V}{3}$ કરવા માટે,ધારો કે નવો શ્રેણી અવરોધ $R'$ છે.
સૂત્ર મુજબ $R' = \frac{V'}{I_G} - G$.
$V' = \frac{V}{3}$ અને $I_G = \frac{V}{R+G}$ કિંમતો મૂકતા:
$R' = \frac{V/3}{V/(R+G)} - G = \frac{R+G}{3} - G = \frac{R+G-3G}{3} = \frac{R-2G}{3}$.

(B) બિંદુ $E$ થી શરૂ કરીને $E \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E$ દિશામાં લૂપ $E B C D E$ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરતા:
$1$. $E_1$ અને $r_1$ ધરાવતી શાખામાંથી $E$ થી $B$ તરફ જતા,આપણે પહેલા $E_1$ ના ઋણ ટર્મિનલનો સામનો કરીએ છીએ,તેથી આપણને $+E_1$ જેટલો પોટેન્શિયલ ગેઇન મળે છે. ત્યારબાદ,$r_1$ માંથી પ્રવાહ $I_1$ ની દિશામાં જતા,આપણને $-I_1 r_1$ જેટલો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ મળે છે.
$2$. અવરોધ $R$ માંથી $C$ થી $D$ તરફ જતા,આપણે પ્રવાહ $(I_1 + I_2)$ ની દિશામાં જઈએ છીએ,જેના પરિણામે $-(I_1 + I_2) R$ જેટલો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ મળે છે.
$3$. બંધ લૂપની આસપાસ આ પોટેન્શિયલ ફેરફારોનો સરવાળો કરતા:
$E_1 - I_1 r_1 - (I_1 + I_2) R = 0$
આમ,સાચું સમીકરણ $E_1 - (I_1 + I_2) R - I_1 r_1 = 0$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે. ધારો કે અવરોધો $P=4 \ \Omega$,$Q=4 \ \Omega$,$R=1 \ \Omega$ અને $S=3 \ \Omega$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,વિરુદ્ધ ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ,એટલે કે $P/R = Q/S$.
અહીં,$4/1 = 4$ અને $4/3 = 1.33$ છે. $4 \neq 1.33$ હોવાથી,બ્રિજ અસંતુલિત છે.
ધારો કે $P$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_P$ અને $R$ પરનું પોટેન્શિયલ $V_R$ છે. $Q$ અને $S$ પરનું પોટેન્શિયલ વોલ્ટેજ ડિવાઈડરના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવશે.
$V_Q = V \cdot \frac{4}{4+4} = V/2$ અને $V_S = V \cdot \frac{3}{1+3} = 3V/4$.
$V_S > V_Q$ હોવાથી,પ્રવાહ ઉચ્ચ પોટેન્શિયલથી નીચા પોટેન્શિયલ તરફ વહેશે,એટલે કે $S$ થી $Q$ તરફ.

(A) અવાહકો એવા પદાર્થો છે જેમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ સરળતાથી વહી શકતો નથી.
આનું કારણ એ છે કે તેમની અવરોધકતા (resistivity) ખૂબ જ વધારે હોય છે અને પરિણામે,તેમની વિદ્યુત વાહકતા અત્યંત ઓછી હોય છે.
તેથી,અવાહકોની વિદ્યુત વાહકતા અત્યંત ઓછી હોય છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
ખ્યાલ: મીટર બ્રિજ પ્રયોગ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે અને ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
સંતુલિત બ્રિજ માટેની શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે,જ્યાં $R$ અને $S$ એ તારના બે ભાગોના અવરોધ છે.
તારનો અવરોધ તેની લંબાઈના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100 - l}$,જ્યાં $l$ એ ડાબા છેડાથી નલ પોઈન્ટનું અંતર છે.
કિસ્સો $1$: $P = X$,$Q = Y$,અને $l = 20 \,cm$.
$\frac{X}{Y} = \frac{20}{100 - 20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$.
કિસ્સો $2$: $P = 4X$,$Q = Y$,અને ધારો કે નવો નલ પોઈન્ટ $l'$ છે.
$\frac{4X}{Y} = \frac{l'}{100 - l'}$.
સમીકરણમાં $\frac{X}{Y} = \frac{1}{4}$ મૂકતા:
$4 \times (\frac{1}{4}) = \frac{l'}{100 - l'}$
$1 = \frac{l'}{100 - l'}$
$100 - l' = l'$
$2l' = 100$
$l' = 50 \,cm$.

(D) ધારો કે અજ્ઞાત અવરોધ $R$ છે અને શરૂઆતનું સંતુલન બિંદુ ડાબી બાજુથી $l \text{ cm}$ અંતરે છે.
મીટર બ્રિજના સિદ્ધાંત મુજબ,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$.
કિસ્સો $1$: $R_1 = 20 \Omega$ અને $R_2 = R$. તેથી,$\frac{20}{R} = \frac{l}{100-l} \quad --- (1)$
કિસ્સો $2$: $R_1 = R$ અને $R_2 = 20 \Omega$. કારણ કે $R > 20 \Omega$,સંતુલન બિંદુ જમણી તરફ ખસશે,તેથી $l' = l + 20 \text{ cm}$.
આમ,$\frac{R}{20} = \frac{l+20}{100-(l+20)} = \frac{l+20}{80-l} \quad --- (2)$
$(1)$ પરથી,$\frac{R}{20} = \frac{100-l}{l}$. આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$\frac{100-l}{l} = \frac{l+20}{80-l}$
$(100-l)(80-l) = l(l+20)$
$8000 - 100l - 80l + l^2 = l^2 + 20l$
$8000 = 200l \Rightarrow l = 40 \text{ cm}$.
$l = 40$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{20}{R} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$
$R = 30 \Omega$.

(C) મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{l_1}{l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P = 10 \ \Omega$ અને $Q = 30 \ \Omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{10}{30} = \frac{l_1}{l_2} \implies \frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{3} \implies l_2 = 3l_1$.
તારની કુલ લંબાઈ $100 \ cm$ હોવાથી,$l_1 + l_2 = 100 \ cm$ થાય.
$l_2 = 3l_1$ મૂકતા,$l_1 + 3l_1 = 100 \ cm \implies 4l_1 = 100 \ cm \implies l_1 = 25 \ cm$ મળે.
નલ પોઈન્ટ ડાબા છેડાથી $25 \ cm$ ના અંતરે છે.
તારનું કેન્દ્ર $50 \ cm$ પર છે.
કેન્દ્રથી નલ પોઈન્ટનું અંતર $|50 \ cm - 25 \ cm| = 25 \ cm$ થાય.

(B) પ્રથમ કિસ્સામાં: $R = 12 \ \Omega$ અને $S = 36 \ \Omega$.
સંતુલિત સ્થિતિમાં,$\frac{R}{S} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{36} = \frac{l_1}{100 - l_1} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{l_1}{100 - l_1}$.
$100 - l_1 = 3l_1 \Rightarrow 4l_1 = 100 \Rightarrow l_1 = 25 \ cm$.
બીજા કિસ્સામાં,અવરોધોની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે: $R = 36 \ \Omega$ અને $S = 12 \ \Omega$.
સંતુલિત સ્થિતિમાં: $\frac{36}{12} = \frac{l_2}{100 - l_2} \Rightarrow 3 = \frac{l_2}{100 - l_2}$.
$300 - 3l_2 = l_2 \Rightarrow 4l_2 = 300 \Rightarrow l_2 = 75 \ cm$.
સંતુલન બિંદુમાં થતું સ્થાનાંતર $\Delta l = l_2 - l_1 = 75 \ cm - 25 \ cm = 50 \ cm$.
$l_2 > l_1$ હોવાથી,સંતુલન બિંદુ $50 \ cm$ જમણી તરફ ખસશે.