MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકાર તરફ ગતિ કરતો હોય ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $f$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
આપેલ છે:
$v = 340 \,m/s$ (ધ્વનિની ઝડપ)
$f_0 = 90 \,Hz$ (સ્ત્રોતની આવૃત્તિ)
$v_s = \frac{v}{10} = \frac{340}{10} = 34 \,m/s$ (સ્ત્રોતની ઝડપ)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$f = 90 \left( \frac{340}{340 - 34} \right)$
$f = 90 \left( \frac{340}{306} \right)$
$f = 90 \left( \frac{10}{9} \right)$
$f = 100 \,Hz$

(B) ખ્યાલ: સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જતા ઉદગમ માટે ડોપ્લર અસર.
સૂત્ર: $f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
જ્યાં:
$f$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ = $1152 \ Hz$
$v$ એ ધ્વનિનો વેગ = $340 \ m/s$
$v_s$ એ ઉદગમનો વેગ છે.
પ્રથમ,ઉદગમના વેગને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
$v_s = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$
હવે,કિંમતો સૂત્રમાં મૂકો:
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{340}{340 + 20} \right)$
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{340}{360} \right)$
$f^{\prime} = 1152 \times \left( \frac{17}{18} \right)$
$f^{\prime} = 64 \times 17 = 1088 \ Hz$
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $1088 \ Hz$ છે.

(B) પરિણામી તરંગ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે તરંગોના સંપાતીકરણ દ્વારા રચાય છે: $Y_1 = A \sin(\omega t - kx)$ અને $Y_2 = A \sin(\omega t + kx)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(C) + \sin(D) = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Y = Y_1 + Y_2 = 2A \sin(\omega t) \cos(kx)$.
આ એક સ્થિત તરંગ દર્શાવે છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ ત્યાં રચાય છે જ્યાં કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\cos(kx) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $kx = (2n+1) \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \ldots$.
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ મૂકતા,આપણને $\frac{2\pi}{\lambda} x = (2n+1) \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = (n + \frac{1}{2}) \frac{\lambda}{2}$ મળે છે.

(A) બીટ્સ એ એક એવી ઘટના છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સહેજ અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે ધ્વનિ તરંગો,જે સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે,એકબીજા પર સંપાત થાય છે.
આ સંપાતીકરણને કારણે પરિણામી ધ્વનિની તીવ્રતામાં સમયાંતરે ફેરફાર થાય છે,જેને વ્યતિકરણ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,બીટ્સનું નિર્માણ એ ધ્વનિ તરંગોના વ્યતિકરણનું સીધું પરિણામ છે.

(B) આપેલ છે કે,બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{1}$ છે.
તીવ્રતા $I \propto a^2$ હોવાથી,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે,આપણને મળે:
$\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \frac{9}{1}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{1} \Rightarrow a_1 = 3a_2$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$
$a_1 = 3a_2$ મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3a_2 + a_2)^2}{(3a_2 - a_2)^2} = \frac{(4a_2)^2}{(2a_2)^2} = \frac{16a_2^2}{4a_2^2} = \frac{4}{1}$.

(B) બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ $P_{O}$ માટે,$n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2 L_O}$ છે. બીજો ઓવરટોન એ $3^{rd}$ હાર્મોનિક $(n=3)$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_3 = \frac{3 v}{2 L_O}$.
એક છેડે બંધ પાઇપ $P_{C}$ માટે,$n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{(2n-1) v}{4 L_C}$ છે. બીજો ઓવરટોન એ $5^{th}$ હાર્મોનિક $(n=3)$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_5 = \frac{5 v}{4 L_C}$.
બંને પાઇપ એક જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,તેમની આવૃત્તિઓ સમાન છે: $f_3 = f_5$.
$\frac{3 v}{2 L_O} = \frac{5 v}{4 L_C}$
$\frac{3}{2 L_O} = \frac{5}{4 L_C}$
$\frac{L_C}{L_O} = \frac{5 \times 2}{4 \times 3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

(C) $L$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લંબાઈનો $\frac{3}{4}$ ભાગ પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે હવાના સ્તંભની બાકી રહેલી લંબાઈ $L' = L - \frac{3}{4}L = \frac{L}{4}$ થાય છે.
હવે એક છેડો પાણીની સપાટી દ્વારા બંધ હોવાથી,તે $\frac{L}{4}$ લંબાઈની બંધ પાઇપ તરીકે વર્તે છે.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_2 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(L/4)} = \frac{v}{L}$ થાય છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{v/2L}{v/L} = \frac{v}{2L} \times \frac{L}{v} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $l$ એ પાઇપની લંબાઈ છે અને $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$p^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_o = (p+1) \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$p^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_c = (2p+1) \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_o}{f_c} = \frac{(p+1) \frac{v}{2l}}{(2p+1) \frac{v}{4l}}$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{f_o}{f_c} = \frac{p+1}{2l} \times \frac{4l}{2p+1} = \frac{2(p+1)}{2p+1}$ મળે છે.

(A) બંને પાઇપ એક જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,તેમની કંપન આવૃત્તિ $f$ સમાન હશે.
એક છેડે બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f = \frac{(2n+1)v}{4l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોનનો ક્રમ છે. પ્રથમ ઓવરટોન $(n=1)$ માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{3v}{4l_1}$ છે.
બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n$-માં ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f = \frac{(n+1)v}{2l_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રીજા ઓવરટોન $(n=3)$ માટે,આવૃત્તિ $f = \frac{(3+1)v}{2l_2} = \frac{4v}{2l_2} = \frac{2v}{l_2}$ છે.
આવૃત્તિઓને સરખાવતા: $\frac{3v}{4l_1} = \frac{2v}{l_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2}$ શોધવા માટે ગોઠવતા: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{3}{8}$.

(A) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપમાં $m^{\text{મા}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_m = \frac{m v}{2 L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $(m=1)$ માટે, $f_1 = \frac{v}{2 L}$.
બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં $n^{\text{મા}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n^{\prime} = \frac{n v}{4 L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એકી સંખ્યા છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં $3^{\text{જા}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_3^{\prime} = \frac{3 v}{4 L}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $f_3^{\prime} - f_1 = 50 \,Hz$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{3 v}{4 L} - \frac{v}{2 L} = 50$.
$\frac{3 v - 2 v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{L} = 200$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2 L} = \frac{200}{2} = 100 \,Hz$ છે.

(A) બંધ ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 320 \ m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $L = 0.8 \ m$ એ પાઈપની લંબાઈ છે.
$f = \frac{320}{4 \times 0.8} = 100 \ Hz$.
દોરીની લંબાઈ $l = 0.5 \ m$ (આપેલ વિકલ્પો મુજબ) અને તે બીજા હાર્મોનિકમાં કંપન કરે છે. દોરીની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{1}{l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
$100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{\mu}}$
$50 = \sqrt{\frac{50}{\mu}} \Rightarrow 2500 = \frac{50}{\mu} \Rightarrow \mu = \frac{50}{2500} = 0.02 \ kg/m$.
દોરીનું દળ $M = \mu \times l = 0.02 \times 0.5 = 0.01 \ kg = 10 \ g$.

(A) ધારો કે અંતિમ સુધારો (end correction) $e$ છે. એક છેડે બંધ ટ્યુબ માટે રેઝોનન્સની શરત $l_n + e = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ $(n=1)$ માટે: $24.1 + e = \frac{\lambda}{4} \quad ---(1)$
દ્વિતીય રેઝોનન્સ $(n=2)$ માટે: $74.1 + e = \frac{3\lambda}{4} \quad ---(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(74.1 + e) - (24.1 + e) = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4}$
$50 = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 100 \ cm$
$\lambda$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$24.1 + e = \frac{100}{4} = 25$
$e = 25 - 24.1 = 0.9 \ cm$
અંતિમ સુધારો $e$ અને વ્યાસ $D$ વચ્ચેનો સંબંધ $e = 0.3D$ છે.
$0.9 = 0.3D$
$D = \frac{0.9}{0.3} = 3 \ cm$.

(C) $1$. એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_p = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 320 \ m/s$ અને $L = 0.8 \ m$ છે.
$f_p = \frac{320}{4 \times 0.8} = \frac{320}{3.2} = 100 \ Hz$.
$2$. દોરી તેના બીજા હાર્મોનિકમાં કંપન કરી રહી છે. બંને છેડે જડેલી દોરી માટે $n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_s = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $n=2$,$l = 0.5 \ m$,$T = 50 \ N$,અને $\mu = \frac{m}{l}$ છે.
$3$. દોરી પાઇપ સાથે અનુનાદ કરતી હોવાથી,$f_s = f_p = 100 \ Hz$.
$100 = \frac{2}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{50}{m/0.5}} = 2 \sqrt{\frac{25}{m}} = 2 \times 5 \sqrt{\frac{1}{m}} = \frac{10}{\sqrt{m}}$.
$4$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $100 = \frac{100}{m}$,જે દર્શાવે છે કે $m = 0.01 \ kg = 10 \ g$.

(A) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,હિલિયમ $(v_{He})$ અને નાઈટ્રોજન $(v_{N_2})$ માં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{\gamma_{He}}{M_{He}} \cdot \frac{M_{N_2}}{\gamma_{N_2}}}$
આપેલ કિંમતો $\gamma_{He} = 5/3$,$M_{He} = 4$,$\gamma_{N_2} = 7/5$,અને $M_{N_2} = 28$ મૂકતા:
$\frac{v_{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\left(\frac{5/3}{4}\right) \cdot \left(\frac{28}{7/5}\right)} = \sqrt{\frac{5}{12} \cdot 20} = \sqrt{\frac{100}{12}} = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}$.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: પથ તફાવત $(x)$ અને કળા તફાવત $(\phi)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\phi = \frac{2 \pi x}{\lambda}$
જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
આના પરથી, આપણે તરંગલંબાઈને $\lambda = \frac{2 \pi x}{\phi}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ.
તરંગનો વેગ $v = \lambda f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે.
વેગના સમીકરણમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = (\frac{2 \pi x}{\phi}) f$
આવૃત્તિ $f$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$f = \frac{v \phi}{2 \pi x}$
આપેલ કિંમતો: $x = 0.54 \, m$, $\phi = 1.8 \pi$, અને $v = 330 \, m/s$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{330 \times 1.8 \pi}{2 \pi \times 0.54}$
$f = \frac{330 \times 1.8}{2 \times 0.54}$
$f = \frac{594}{1.08} = 550 \, Hz$.

(A) વાયુ માધ્યમમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું આણ્વીય દળ છે.
બંને વાયુઓ મોનોએટોમિક હોવાથી,$\gamma$ નું મૂલ્ય બંને માટે સમાન $(\gamma = 5/3)$ રહેશે.
બંને વાયુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર હોવાથી,$\gamma, R$ અને $T$ અચળ રહે છે.
તેથી,ધ્વનિની ઝડપ આણ્વીય દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $v \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
આમ,વાયુ $A$ અને $B$ માં ધ્વનિની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ થાય.

(C) વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ છે.
આપેલ વાયુ માટે $\gamma$,$R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,ધ્વનિની ઝડપ નિરપેક્ષ તાપમાનના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $v \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $N.T.P.$ $(T = 273 \ K)$ પર ઝડપ $v$ છે અને $T'$ તાપમાને ઝડપ $v'$ છે.
આપેલ છે કે $v' = 1.5 v$,તેથી:
$\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{T'}{T}} = 1.5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T'}{T} = (1.5)^2 = 2.25$.
$T' = 2.25 \times 273 \ K = 614.25 \ K$.
આ તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા:
$T(^{\circ} C) = T(K) - 273 = 614.25 - 273 = 341.25^{\circ} C$.
આમ,તાપમાન આશરે $341^{\circ} C$ છે.

(A) સ્થિર તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = 2a \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{15} \right) \cos (48 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{15} \text{ cm}^{-1}$ મળે છે.
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{15}$ થાય.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 30 \text{ cm}$ મળે છે.
સ્થિર તરંગમાં નિસ્પંદ બિંદુ અને તેની પછીના પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{4}$ હોય છે.
તેથી,અંતર $= \frac{30}{4} = 7.5 \text{ cm}$ થાય.

(C) સ્થિર તરંગમાં,માધ્યમના કણો તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ $S.H.M.$ માં દોલન કરે છે.
બધા કણો (નિસ્પંદ બિંદુઓ પરના કણો સિવાય,જે સ્થિર રહે છે) ઉદગમની સમાન આવૃત્તિ (અને તેથી સમાન આવર્તકાળ) સાથે દોલન કરે છે.
જોકે,દોલનનો કંપવિસ્તાર દરેક કણ માટે અલગ-અલગ હોય છે,જે નિસ્પંદ બિંદુઓ પર શૂન્ય અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ પર મહત્તમ હોય છે.

(D) સ્થિત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 0.5 \sin(0.314 x) \cos(600 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.314 \ cm^{-1}$ મળે છે.
કારણ કે $0.314 \approx \frac{\pi}{10}$,તેથી $k = \frac{\pi}{10} \ cm^{-1}$ થાય.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{\lambda}$,જેનું સાદુરૂપ આપતા $\lambda = 20 \ cm$ મળે છે.
બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,$n$ માં હાર્મોનિક માટે લંબાઈ $L = n \frac{\lambda}{2}$ થાય.
ત્રીજા હાર્મોનિક માટે,$n = 3$ લેતા,$L = 3 \times \frac{20}{2} = 3 \times 10 = 30 \ cm$ મળે છે.

(C) સ્થિર તરંગનું આપેલ સમીકરણ $y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{4} \right) \cos (20 \pi t)$ છે.
સ્થિર તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = 2A \sin (kx) \cos (\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રસરણ અચળાંક $k = \frac{\pi}{4} \ cm^{-1}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રસરણ અચળાંક $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 8 \ cm$ મળે છે.
સ્થિર તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2}$.
તેથી,અંતર $\frac{8 \ cm}{2} = 4 \ cm$ છે.

(C) વિધાન $A$: સ્થિર તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે અને બે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર પણ $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
વિધાન $B$: ઓર્ગન પાઇપના ખુલ્લા છેડે,હવા મુક્તપણે કંપન કરી શકે છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થાનાંતર મહત્તમ (પ્રસ્પંદ બિંદુ) હોય છે. સ્થાનાંતર પ્રસ્પંદ બિંદુ પર દબાણનો ફેરફાર ન્યૂનતમ હોવાથી,ખુલ્લા છેડે દબાણ નિસ્પંદ બિંદુ રચાય છે. તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.
આમ,વિધાન $A$ અને $B$ બંને સાચા છે.

(B) ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-4} \sin(600t - 2x + \pi/3)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 600 \text{ rad/s}$
તરંગ સંખ્યા $k = 2 \text{ rad/m}$
તરંગની ઝડપ $v$ એ સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{600}{2} = 300 \text{ m/s}$.

(C) ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગનો વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \rho \cdot A$,જ્યાં $\rho$ એ દ્રવ્યની ઘનતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્ય (તાંબુ) ના બનેલા હોવાથી,$\rho$ અચળ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$\mu = \rho \cdot \pi r^2$ થાય.
આ કિંમત વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{T}{\rho \pi}}$.
અહીં $T$,$\rho$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,$v \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $r_1 > r_2$,તેથી પાતળા તાર $(r_2)$ માં વેગ જાડા તાર $(r_1)$ કરતા વધારે હશે.
આમ,લંબગત તરંગ પાતળા તારમાં ઝડપથી ગતિ કરશે.

(A) પ્રગામી તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = y_0 \sin(\omega t + kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-4} \sin(100t + 20x + \frac{\pi}{3})$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \ rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 20 \ rad/m$ મળે છે.
તરંગની ઝડપ $v$ એ કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યા સાથે $v = \frac{\omega}{k}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $v = \frac{100}{20} = 5 \ m/s$ મળે છે.

(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu$ ને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેને ઘનતા $\rho$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સંદર્ભમાં $\mu = A \rho$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
તારનો આડછેદ વર્તુળાકાર હોવાથી,વ્યાસ $D$ માટે ક્ષેત્રફળ $A = \pi \frac{D^2}{4}$ થાય.
આ કિંમત $\mu$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{\pi D^2 \rho}{4}$ મળે છે.
હવે,$\mu$ ની કિંમત આવૃત્તિના સૂત્રમાં મૂકતા: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\frac{\pi D^2 \rho}{4}}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{4T}{\pi D^2 \rho}} = \frac{1}{2L} \cdot \frac{2}{D} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}} = \frac{1}{LD} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $f \propto \frac{1}{LD}$.

(C) ખેંચાયેલા તાર પર લંબગત તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આપેલ છે કે તારનું દળ $M$,લંબાઈ $L$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{M}{L}$ થાય.
તારનું દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} = \rho \times A \times L$ હોવાથી,$\mu = \frac{\rho A L}{L} = \rho A$ મળે.
આ કિંમતને તરંગની ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \sqrt{\frac{T}{\rho A}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V^2 = \frac{T}{\rho A}$.
ઘનતા $\rho$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\rho = \frac{T}{V^2 A}$.

(A) દોરી પરના લંબગત તરંગનો વેગ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ દોરીની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે,જે $\mu = \frac{M}{L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વેગના સૂત્રમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{T}{M/L}} = \sqrt{\frac{TL}{M}}$ મળે છે.
વિક્ષોભને દોરીની $L$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v}$ દ્વારા મળે છે.
$v$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $t = \frac{L}{\sqrt{TL/M}} = L \sqrt{\frac{M}{TL}} = \sqrt{\frac{L^2 M}{TL}} = \sqrt{\frac{LM}{T}}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{5} \text{ rad}$, આવૃત્તિ $f = 25 \text{ Hz}$, વેગ $v = 75 \text{ m/s}$.
સૌ પ્રથમ, તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી $\lambda = \frac{v}{f}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો:
$\lambda = \frac{75 \text{ m/s}}{25 \text{ Hz}} = 3 \text{ m}$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $x$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} x$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\pi}{5} = \frac{2\pi}{3} x$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{\pi}{5} \times \frac{3}{2\pi} = \frac{3}{10} \text{ m} = 0.3 \text{ m}$.

(B) જ્યારે સમાન આવૃત્તિ અને વેગ ધરાવતા બે તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ સ્થિત તરંગ (standing wave) બનાવે છે.
સ્થિત તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $x = \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગનો વેગ $v$,આવૃત્તિ $n$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = n \lambda$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{v}{n}$.
અંતરના સૂત્રમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{v}{n} \right) = \frac{v}{2n}$.
અહીં $v = 20 \ m/s$ આપેલ છે,તેથી:
$x = \frac{20 \ m/s}{2n} = \frac{10}{n} \ m$.

(C) $L$ લંબાઈની એક છેડે બંધ નળી માટે,મૂળભૂત તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 4L$ છે. મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_A = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{4L}$ છે.
$L$ લંબાઈની બંને છેડે ખુલ્લી નળી માટે,મૂળભૂત તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = 2L$ છે. મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_B = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{2L}$ છે.
નળી $A$ અને નળી $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $\frac{f_A}{f_B} = \frac{v/4L}{v/2L} = \frac{2L}{4L} = \frac{1}{2}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(A) સોનોમીટર વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ ---$(1)$
જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
જ્યારે તણાવમાં $8 \,N$ નો વધારો કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવો તણાવ $(T + 8) \,N$ થાય છે અને નવી આવૃત્તિ $3n$ થાય છે। તેથી:
$3n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T + 8}{\mu}}$ ---$(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$\frac{3n}{n} = \frac{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T + 8}{\mu}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}}$
$3 = \sqrt{\frac{T + 8}{T}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9 = \frac{T + 8}{T}$
$9T = T + 8$
$8T = 8$
$T = 1 \,N$
તેથી, વાયર પર લાગુ કરવામાં આવેલ પ્રારંભિક તણાવ $1 \,N$ હતો।

(C) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,શક્ય આવૃત્તિઓ $f_n = (2n + 1)f_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, ...$ એ ઓવરટોન નંબર દર્શાવે છે.
$n$-મા ઓવરટોન માટે,નોડની સંખ્યા $(n + 1)$ છે અને એન્ટિનોડની સંખ્યા $(n + 1)$ છે.
અહીં હવાના સ્તંભ ચોથા ઓવરટોનમાં કંપન કરે છે,તેથી $n = 4$ છે.
તેથી,નોડની સંખ્યા = $4 + 1 = 5$.
એન્ટિનોડની સંખ્યા = $4 + 1 = 5$.
આમ,કંપન કરતા હવાના સ્તંભમાં $5$ નોડ અને $5$ એન્ટિનોડ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી, $f \propto \frac{1}{l}$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $f_1 l_1 = f_2 l_2$.
અહીં $f_1 = 800 \,Hz$, $l_1 = 50 \,cm$, અને $f_2 = 1000 \,Hz$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $800 \times 50 = 1000 \times l_2$.
$l_2 = \frac{800 \times 50}{1000} = 40 \,cm$.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l = l_1 - l_2 = 50 \,cm - 40 \,cm = 10 \,cm$ થશે.

(C) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તાર એક જ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે અનુનાદમાં હોવાથી,આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,તણાવ $T_1 = w$ છે,તેથી $f = \frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{\mu}}$.
બીજા કિસ્સામાં,વજનમાં $3w$ નો વધારો કરવામાં આવે છે,તેથી નવો તણાવ $T_2 = w + 3w = 4w$ થાય છે. તેથી,$f = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{4w}{\mu}}$.
$f$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{1}{2L_1} \sqrt{\frac{w}{\mu}} = \frac{1}{2L_2} \sqrt{\frac{4w}{\mu}}$
$\frac{1}{L_1} = \frac{1}{L_2} \sqrt{4}$
$\frac{1}{L_1} = \frac{2}{L_2}$
તેથી,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{1}{2}$.

(B) $L_O$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી પાઇપની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2 L_O}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક નંબર છે. બીજો ઓવરટોન એ $3^{rd}$ હાર્મોનિક $(n=3)$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,$f_{O,2} = \frac{3 v}{2 L_O}$.
$L_C$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ પાઇપ માટે,આવૃત્તિ $f_m = \frac{(2m-1) v}{4 L_C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m = 1, 2, 3, \dots$ એ ઓવરટોન નંબર છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ $m=2$ ($3^{rd}$ હાર્મોનિક) ને અનુરૂપ છે. તેથી,$f_{C,1} = \frac{3 v}{4 L_C}$.
આપેલ છે કે $f_{O,2} = f_{C,1}$,તેથી:
$\frac{3 v}{2 L_O} = \frac{3 v}{4 L_C}$
$\frac{1}{2 L_O} = \frac{1}{4 L_C}$
$L_C = \frac{L_O}{2} = \frac{1.5 \ m}{2} = 0.75 \ m$.

(A) $L$ લંબાઈની બંને છેડે ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં ધ્વનિની ઝડપ છે.
જ્યારે નળીને પાણીમાં શિરોલંબ એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની અડધી લંબાઈ પાણીમાં ડૂબેલી રહે,ત્યારે હવાના સ્તંભની અસરકારક લંબાઈ $L' = \frac{L}{2}$ થાય છે.
નળીનો નીચેનો છેડો હવે પાણીની સપાટી દ્વારા બંધ થઈ જાય છે,જેથી તે $L' = \frac{L}{2}$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઈપ બની જાય છે.
બંધ ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = \frac{v}{4L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $L' = \frac{L}{2}$ મૂકતા,આપણને $f' = \frac{v}{4(L/2)} = \frac{v}{2L}$ મળે છે.
કારણ કે $f = \frac{v}{2L}$,તેથી $f' = f$ થાય છે.
આમ,મૂળભૂત આવૃત્તિ સમાન રહે છે.

(D) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત મોડ લંબાઈ $L = \frac{\lambda}{4}$ ને અનુરૂપ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે.
આમ,તરંગલંબાઇ $\lambda = 4L$ છે.
ધ્વનિ તરંગને પાઇપની લંબાઈ $L$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ આપેલ છે. ધ્વનિની ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,$v = \frac{L}{t}$ મળે.
આવૃત્તિ $f$ એ $f = \frac{v}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $f = \frac{L/t}{4L} = \frac{1}{4t} = \frac{0.25}{t}$ મળે છે.
તેથી,હવાના સ્તંભના કંપનની આવૃત્તિ $\frac{0.25}{t}$ Hz છે.
વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
અહીં $l$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \sqrt{T}$ થાય.
ઓક્ટેવનો અર્થ એ છે કે આવૃત્તિ બમણી થાય છે,તેથી $n_2 = 2n_1$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \sqrt{\frac{T_2}{2 \ kgwt}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{T_2}{2 \ kgwt}$.
તેથી,$T_2 = 8 \ kgwt$.

(D) બંને છેડે ખુલ્લી $L$ લંબાઈની નળાકાર ટ્યુબ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{v}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ હવામાં અવાજની ઝડપ છે.
જ્યારે ટ્યુબને પાણીમાં ઊભી એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે તેની લંબાઈનો એક-તૃતીયાંશ ભાગ પાણીમાં ડૂબી જાય,ત્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ થાય છે.
હવે આ ટ્યુબ એક છેડે બંધ (પાણીની સપાટી) અને બીજા છેડે ખુલ્લી પાઇપ તરીકે કાર્ય કરે છે.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f' = \frac{v}{4L'}$ છે.
$L' = \frac{2L}{3}$ મૂકતા,આપણને $f' = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3v}{8L}$ મળે છે.
કારણ કે $f = \frac{v}{2L}$,આપણે લખી શકીએ કે $f' = \frac{3}{4} \times \frac{v}{2L} = \frac{3}{4}f$.

(D) બંને છેડે જડેલી દોરી પરના સ્થિત તરંગમાં,દોરી લૂપ્સ નામના વિભાગોમાં વહેંચાયેલી હોય છે.
દરેક લૂપ નોડ્સ (શૂન્ય સ્થાનાંતરના બિંદુઓ) દ્વારા અલગ પડે છે.
એક જ લૂપની અંદર,બધા કણો એકબીજા સાથે સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
પાસે-પાસેની લૂપ્સમાં રહેલા કણો એક નોડ દ્વારા અલગ પડે છે અને $\pi$ રેડિયનના કળા તફાવત સાથે દોલન કરે છે (એટલે કે,તેઓ વિરુદ્ધ કળામાં હોય છે).
તેથી,વૈકલ્પિક લૂપ્સમાં રહેલા કણો (જે બેકી સંખ્યામાં નોડ્સ દ્વારા અલગ પડે છે) સમાન કળામાં દોલન કરે છે.
દરેક એન્ટિનોડ લૂપના કેન્દ્રમાં સ્થિત હોવાથી,બધા એન્ટિનોડ્સ પરના કણો એકબીજા સાથે સમાન કળામાં દોલન કરે છે.

(D) શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં, દોરીમાં તણાવ તેના માર્ગના સૌથી નીચેના બિંદુએ મહત્તમ હોય છે.
સૌથી નીચેના બિંદુએ બળનું સમીકરણ: $T_{max} = m \omega_{max}^2 r + mg$ છે.
આપેલ છે: $T_{max} = 30 \,N$, $m = 0.5 \,kg$, $r = 2 \,m$, અને $g = 10 \,m/s^2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$30 = (0.5) \cdot \omega_{max}^2 \cdot (2) + (0.5) \cdot (10)$.
$30 = 1 \cdot \omega_{max}^2 + 5$.
$30 - 5 = \omega_{max}^2$.
$25 = \omega_{max}^2$.
$\omega_{max} = \sqrt{25} = 5 \,rad/s$.

(D) '$m$' દળ માટે ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો.
ક્ષિતિજ સમાંતર બળોનું સંતુલન લેતા,કેન્દ્રગામી બળ એ તણાવબળના ક્ષિતિજ સમાંતર ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$T \sin \theta = m \omega^2 R$
શંકુ આકારના લોલકની ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરતા,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = L \sin \theta$ છે.
$R$ ની કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T \sin \theta = m \omega^2 (L \sin \theta)$
$\therefore T = m \omega^2 L$
આપેલ છે કે,આવૃત્તિ $f = \frac{3}{\pi} \text{ r.p.s.}$
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left( \frac{3}{\pi} \right) = 6 \text{ rad/s}$.
તણાવબળના સમીકરણમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = m (6)^2 L = 36 \ mL$.

(C) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = \frac{\pi}{2} \text{ rev/s}$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left( \frac{\pi}{2} \right) = \pi^2 \text{ rad/s}$.
શંકુ આકારના લોલક માટે,$M$ દળ પર લાગતા બળો દોરીમાં તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ છે.
તણાવનો સમક્ષિતિજ ઘટક કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T \sin \theta = M R \omega^2$.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = L \sin \theta$ છે.
બળના સમીકરણમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા: $T \sin \theta = M (L \sin \theta) \omega^2$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $T = M L \omega^2$ મળે છે.
$\omega = \pi^2 \text{ rad/s}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = M L (\pi^2)^2 = M L \pi^4$.
નોંધ: જો આવૃત્તિ $\frac{2}{\pi} \text{ rev/s}$ આપવામાં આવી હોય,તો $\omega = 2 \pi (\frac{2}{\pi}) = 4 \text{ rad/s}$,જેનાથી $T = M L (4)^2 = 16 M L$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,હેતુપૂર્વકની આવૃત્તિ $\frac{2}{\pi} \text{ rev/s}$ છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: $\text{કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, પદાર્થ પર લાગતા તમામ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જા } (K.E.) \text{ માં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.}$
આપેલ છે: દળ $m = 5 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \,m/s$, અંતિમ વેગ $v = 20 \,m/s$.
કરેલું કાર્ય $W = \Delta K.E. = K.E._{final} - K.E._{initial}$.
$W = \frac{1}{2} mv^2 - \frac{1}{2} mu^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 5 \times (20)^2 - 0$.
$W = \frac{1}{2} \times 5 \times 400 = 5 \times 200 = 1000 \,J = 10^3 \,J$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ અને રેખીય વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $K = \frac{p^2}{2m}$.
આના પરથી,વેગમાનને આ રીતે દર્શાવી શકાય: $p = \sqrt{2mK}$.
અહીં બંને દળ માટે ગતિઊર્જા સમાન $(K_1 = K_2 = K)$ હોવાથી,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{2m_1K}}{\sqrt{2m_2K}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$.
આપેલ દળ $m_1 = 4 \,kg$ અને $m_2 = 1 \,kg$ મૂકતા:
$\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{2}{1}$.
આમ,તેમના રેખીય વેગમાનના મૂલ્યનો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(B) સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} K x^2$ છે,જ્યાં $K$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$x_1 = 1 \ cm$,તેથી $U = \frac{1}{2} K (1)^2 = \frac{1}{2} K$.
બીજા કિસ્સામાં,$x_2 = 4 \ cm$,તેથી નવી સ્થિતિઊર્જા $U'$ એ $U' = \frac{1}{2} K (4)^2 = 16 \times (\frac{1}{2} K)$ થશે.
$U'$ ના સમીકરણમાં $U$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $U' = 16 U$ મળે છે.

(D) અચળ બળ $F$ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = F \cdot S \cdot \cos(\theta)$, જ્યાં $S$ એ સ્થાનાંતર છે અને $\theta$ એ બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો છે।
આપેલ છે:
બળ $F = 30 \,kg-wt = 30 \times 9.8 \,N = 294 \,N$
સ્થાનાંતર $S = 20 \,m$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = 294 \times 20 \times \cos(60^{\circ})$
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = 0.5$, આપણને મળે છે:
$W = 294 \times 20 \times 0.5$
$W = 294 \times 10 = 2940 \,J$
તેથી, માળી દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $2940 \,J$ છે।

(A) નમૂનાનું કદ $V$ એ દળ અને ઘનતાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $V = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{2 \text{ g}}{4 \text{ g/cm}^3} = 0.5 \text{ cm}^3$.
કદને $SI$ એકમો $(m^3)$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $V = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $M = \frac{m_{net}}{V}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{8 \times 10^{-7} \text{ Am}^2}{0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 1.6 \text{ Am}^{-1}$.

$(A)$ ચુંબકીય ઇન્ડક્શન $B$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $B = \frac{\phi}{A}$.
આપેલ છે: $\phi = 2.4 \times 10^{-5} \,Wb$ અને $A = 0.3 \,cm^2 = 0.3 \times 10^{-4} \,m^2$.
$B$ ની ગણતરી: $B = \frac{2.4 \times 10^{-5}}{0.3 \times 10^{-4}} = 0.8 \,T$.
ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $\mu$ એ ચુંબકીય ઇન્ડક્શન $B$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ નો ગુણોત્તર છે: $\mu = \frac{B}{H}$.
જો $H = 1000 \,A/m$ લેવામાં આવે, તો $\mu = \frac{0.8}{1000} = 8 \times 10^{-4} \,T \cdot m/A$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ H/m$ અને $\chi_m = 349$.
નિરપેક્ષ પરમિએબિલિટી $\mu$,શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $\mu_0$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi_m$ વચ્ચેનો સંબંધ $\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = 4 \pi \times 10^{-7} \times (1 + 349)$
$\mu = 4 \pi \times 10^{-7} \times 350$
$\mu = 1400 \pi \times 10^{-7}$
$\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$\mu \approx 1400 \times 3.14159 \times 10^{-7}$
$\mu \approx 4398.22 \times 10^{-7} \ H/m$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,$\mu \approx 4400 \times 10^{-7} \ H/m$ મળે છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ માટે,$t$ સમયે બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau = 1/\lambda$ આપેલ છે,તેથી $t = \tau$ સમયે,$t = 1/\lambda$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $N = N_0 e^{-\lambda \times (1/\lambda)} = N_0 e^{-1} = N_0 / e$.
$e = 2.71$ આપેલ હોવાથી,બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 / 2.71 \approx 0.37 N_0$ છે.
વિઘટન પામેલો જથ્થો એ પ્રારંભિક જથ્થામાંથી બાકી રહેલો જથ્થો બાદ કરવાથી મળે છે.
વિઘટન પામેલો જથ્થો $= N_0 - 0.37 N_0 = 0.63 N_0$.
આમ,વિઘટન પામેલો અંશ આશરે $0.63 N_0$ છે,જે $(2/3) N_0$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $(T_{1/2})$ $25 \ min$ આપેલું છે.
$50 \%$ ક્ષય માટે,પદાર્થે એક અર્ધ-આયુષ્ય પૂર્ણ કર્યું હોય,તેથી $t_1 = 1 \times T_{1/2} = 25 \ min$.
$87.5 \%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $100 \% - 87.5 \% = 12.5 \%$ છે.
કારણ કે $12.5 \% = (1/2)^3$ જેટલો પ્રારંભિક જથ્થો છે,આ $3$ અર્ધ-આયુષ્ય દર્શાવે છે,તેથી $t_2 = 3 \times T_{1/2} = 3 \times 25 \ min = 75 \ min$.
$50 \%$ ક્ષય અને $87.5 \%$ ક્ષય વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1 = 75 \ min - 25 \ min = 50 \ min$ થશે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $A = A_0 e^{-\lambda t}$ અથવા $A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $t_1 = 3 \ days$ માં,એક્ટિવિટી $A_1 = \frac{A_0}{3}$ થાય છે.
સંબંધ $A = A_0 \left(\frac{1}{k}\right)^{t/\tau}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\tau$ એ મૂળ મૂલ્યના $\frac{1}{k}$ થવા માટેનો સમય છે:
$\frac{A_0}{3} = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^{3/3} \implies \frac{1}{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^1$.
આ સાબિત કરે છે કે દર $3 \ days$ માં એક્ટિવિટી $\frac{1}{3}$ ના ગુણાંકમાં ઘટે છે.
$t_2 = 9 \ days$ માટે,આવા અંતરાલોની સંખ્યા $n = \frac{9}{3} = 3$ છે.
તેથી,$9 \ days$ પછીની એક્ટિવિટી $A_2 = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^n = A_0 \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{A_0}{27}$ થશે.

(D) ગોળો જે ઊભી ઊંચાઈ $h$ સુધી ઉપર જાય છે તે $h = L(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સંતુલન સ્થિતિમાં મહત્તમ વેગ $v$ એ $v^2 = 2gh$ દ્વારા મળે છે.
$h = L(1 - \cos \theta)$ ની કિંમત મૂકતા અને ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = 2gL(2 \sin^2(\theta/2)) = 4gL \sin^2(\theta/2)$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $v = 2 \sin(\theta/2) \sqrt{gL}$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબરૂપે $v$ વેગથી ગતિ કરતા $L$ લંબાઈના વાહકમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય e.m.f. $V = BvL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$V_{\max} = B \cdot [2 \sin(\theta/2) \sqrt{gL}] \cdot L = 2BL \sin(\theta/2) \sqrt{gL} = 2BL \sin(\theta/2) (gL)^{1/2}$.

(A) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ એ એક એવી ઘટના છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે.
$TIR$ થવા માટે, બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. પ્રકાશનું કિરણ પ્રકાશીય ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પ્રકાશીય પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરતું હોવું જોઈએ.
$2$. આપાતકોણ $(i)$ એ આપેલ માધ્યમોની જોડી માટે ક્રાંતિકોણ $(i_{C})$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે અને $i > i_{C}$.

(C) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરતો નીચે મુજબ છે:
$1$) પ્રકાશે ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં ગતિ કરવી જોઈએ.
$2$) આપાતકોણ $i$ એ બે માધ્યમો માટેના ક્રાંતિકોણ $i_C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.

(D) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v$ એ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
અહીં $c_1 = 1.5 \times 10^8 \ m/s$ અને $c_2 = 2 \times 10^8 \ m/s$ આપેલ છે.
અહીં $c_1 < c_2$ હોવાથી,વક્રીભવનાંક $\mu_1 > \mu_2$ થશે. તેથી,માધ્યમ $1$ એ ઘટ્ટ માધ્યમ છે અને માધ્યમ $2$ એ પાતળું માધ્યમ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની શરત ત્યારે જ પૂરી થાય છે જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય.
ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ માટેનું સૂત્ર $\sin \theta_C = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ છે.
$\mu = \frac{c}{v}$ હોવાથી,$\frac{\mu_2}{\mu_1} = \frac{c/c_2}{c/c_1} = \frac{c_1}{c_2}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\sin \theta_C = \frac{1.5 \times 10^8}{2 \times 10^8} = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\theta_C = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(D) ધારો કે બે પાતળા લેન્સના પાવર $P_1$ અને $P_2$ છે.
આપેલ છે કે, સંપર્કમાં રહેલા લેન્સનો સંયુક્ત પાવર $P = P_1 + P_2 = 9 D$ ---$(1)$
જ્યારે લેન્સને $d = 20 \,cm = 0.2 \,m$ ના અંતરે રાખવામાં આવે છે, ત્યારે સમતુલ્ય પાવર $P_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P_{eq} = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{27}{5} = 9 - 0.2 P_1 P_2$
$5.4 = 9 - 0.2 P_1 P_2$
$0.2 P_1 P_2 = 9 - 5.4 = 3.6$
$P_1 P_2 = \frac{3.6}{0.2} = 18$ ---$(2)$
આપણી પાસે સરવાળો $P_1 + P_2 = 9$ અને ગુણાકાર $P_1 P_2 = 18$ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (P_1 + P_2)x + P_1 P_2 = 0$ ના બીજ છે, જે $x^2 - 9x + 18 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(x - 3)(x - 6) = 0$
તેથી, $x = 3$ અથવા $x = 6$.
આમ, વ્યક્તિગત પાવર $3 D$ અને $6 D$ છે.
સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં, $f = 20 \,cm$, $\mu = 1.55$, $R_1 = R$, અને $R_2 = -R$ (બહિર્ગોળ લેન્સ માટે).
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{20} = (1.55 - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right)$
$\frac{1}{20} = 0.55 \times \left( \frac{2}{R} \right)$
$\frac{1}{20} = \frac{1.1}{R}$
$R = 1.1 \times 20 = 22 \,cm$
આમ, જરૂરી વક્રતા ત્રિજ્યા $22 \,cm$ છે.

(D) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ પ્રથમ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1$ ધન $(+20 \,cm)$ અને બીજી સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_2$ ઋણ $(-20 \,cm)$ લેવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\mu = 1.5$, $R_1 = 20 \,cm$, $R_2 = -20 \,cm$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right)$
$\frac{1}{f} = (0.5) \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right)$
$\frac{1}{f} = 0.5 \times \frac{2}{20} = 0.5 \times 0.1 = 0.05$
$f = \frac{1}{0.05} = 20 \,cm$.
આપાત કિરણો અક્ષને સમાંતર હોવાથી, તેઓ મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થશે, જે ધ્રુવથી $L = f = 20 \,cm$ અંતરે આવેલું છે.

(A) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_l$ એ લેન્સનો વક્રીભવનાંક છે અને $n_m$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
અહીં આપેલ છે કે પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક લેન્સના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક જેટલો છે,તેથી $n_l = n_m$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{f} = (\frac{n_l}{n_l} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1 - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = 0$.
જેથી $\frac{1}{f} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અનંત થશે.
આનો અર્થ એ છે કે લેન્સ એક સમતલ કાચની પ્લેટ જેવું વર્તન કરશે.

(B) બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1 = 20 \,cm$ છે અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2 = -56 \,cm$ છે.
$d$ અંતરે રહેલા બે પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે, સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$
આપાત કિરણપુંજ સમાંતર છે અને નિર્ગમન કિરણપુંજ પણ સમાંતર હોવાથી, આ સંયોજન અનંત કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતી સિસ્ટમ તરીકે વર્તે છે, એટલે કે $F = \infty$, જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{F} = 0$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$0 = \frac{1}{20} + \frac{1}{-56} - \frac{d}{20 \times (-56)}$
$\frac{d}{20 \times 56} = \frac{1}{20} - \frac{1}{56}$
$\frac{d}{1120} = \frac{56 - 20}{1120}$
$d = 56 - 20 = 36 \,cm$.
આમ, અંતર $d$ નું મૂલ્ય $36 \,cm$ છે.

(D) ધારો કે પદાર્થનું અંતર $u$ $(u < 0)$ છે અને પ્રતિબિંબનું અંતર $v$ $(v > 0)$ છે. લેન્સનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
ધારો કે પદાર્થ અને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $L$ છે. પદાર્થ ડાબી બાજુ $(u < 0)$ અને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ જમણી બાજુ $(v > 0)$ હોવાથી,અંતર $L$ નીચે મુજબ મળે:
$L = v + |u| = v - u$
લેન્સના સૂત્ર પરથી,$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u} = \frac{u+f}{uf}$,તેથી $v = \frac{uf}{u+f}$.
આ કિંમત $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$L = \frac{uf}{u+f} - u = \frac{uf - u(u+f)}{u+f} = \frac{-u^2}{u+f}$
$u$ ઋણ હોવાથી,ધારો કે $u = -x$ જ્યાં $x > 0$. તેથી $L = \frac{-(-x)^2}{-x+f} = \frac{x^2}{x-f}$.
લઘુત્તમ અંતર શોધવા માટે,$L$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$\frac{dL}{dx} = \frac{(x-f)(2x) - x^2(1)}{(x-f)^2} = 0$
$2x^2 - 2xf - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 - 2xf = 0$
$x \neq 0$ હોવાથી,આપણને $x = 2f$ મળે છે.
$x = 2f$ ની કિંમત $L$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$L_{\text{min}} = \frac{(2f)^2}{2f-f} = \frac{4f^2}{f} = 4f$.

(B) ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_0} - \frac{1}{u_0} = \frac{1}{f_0}$
અહીં,$u_0$ એ વસ્તુ અંતર છે જે ઋણ લેવામાં આવે છે,તેથી $u_0 = -|u_0|$ લો.
$\frac{1}{v_0} + \frac{1}{|u_0|} = \frac{1}{f_0}$
આખા સમીકરણને $v_0$ વડે ગુણતા:
$1 + \frac{v_0}{|u_0|} = \frac{v_0}{f_0}$
મોટવણી $m_0 = \frac{v_0}{u_0}$ હોવાથી,અને વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે $m_0$ ઋણ હોય છે,આપણે $m_0 = -\frac{v_0}{|u_0|}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
લેન્સના સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{v_0}{|u_0|} = \frac{v_0}{f_0} - 1 = \frac{v_0 - f_0}{f_0}$.
વૈકલ્પિક રીતે,પ્રમાણિત મોટવણીના સૂત્ર $m = \frac{f}{f+u}$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $u$ એ વસ્તુ અંતર છે અને સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ $u < 0$ છે):
$m = \frac{f_0}{f_0 + u_0}$.

(A) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપ માટે,કુલ મોટવણી $M = m_o \times m_e$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતરે $(D = 25 \ cm)$ રચાય છે,ત્યારે આઈપીસની મોટવણી $m_e = (1 + D/f_e)$ થાય છે.
અહીં $M = 24$,$f_e = 5 \ cm$,અને $D = 25 \ cm$ આપેલ છે:
$m_e = 1 + \frac{25}{5} = 1 + 5 = 6$.
હવે,કુલ મોટવણીના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$24 = m_o \times 6$.
તેથી,$m_o = \frac{24}{6} = 4$.

(B) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપમાં,વસ્તુને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ $(O_1)$ ના મુખ્ય કેન્દ્ર $(F_0)$ ની સહેજ બહાર મૂકવામાં આવે છે.
આના પરિણામે એક પ્રતિબિંબ $(A^{\prime} B^{\prime})$ રચાય છે જે વાસ્તવિક,ઉલટું અને મોટું હોય છે.
આ પ્રતિબિંબ $(A^{\prime} B^{\prime})$ આઈપીસ $(O_2)$ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે અંતે આભાસી અને મોટું અંતિમ પ્રતિબિંબ બનાવે છે.

(B) સાદા માઇક્રોસ્કોપ માટે,લેન્સ બહિર્ગોળ લેન્સ હોય છે. વસ્તુને ઓપ્ટિકલ સેન્ટર અને મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
અહીં,અંતિમ પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતરે રચાય છે,તેથી $v = -D$ (ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ).
આ કિંમત લેન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{1}{-D} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$\frac{1}{u}$ માટે ગોઠવતા: $\frac{1}{u} = -\frac{1}{D} - \frac{1}{f} = -\left(\frac{f+D}{fD}\right)$.
મોટવણી $m$ એ $m = \frac{v}{u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = -D$ અને $\frac{1}{u} = -\left(\frac{f+D}{fD}\right)$ મૂકતા:
$m = (-D) \times \left[ -\left(\frac{f+D}{fD}\right) \right] = \frac{D(f+D)}{fD} = \frac{f+D}{f} = 1 + \frac{D}{f}$.

(B) આપેલ છે,વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{3}$.
લઘુત્તમ વિચલન માટેની શરત $\delta = A$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્રિઝમ કોણ છે.
પ્રિઝમના વક્રીભવનાંક માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+\delta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)}$ છે.
સૂત્રમાં $\delta = A$ મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin \left(\frac{A+A}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2}\right)} = \frac{\sin A}{\sin (A/2)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin (A/2) \cos (A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin (A/2) \cos (A/2)}{\sin (A/2)} = 2 \cos (A/2)$.
આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{3}$,તેથી $\sqrt{3} = 2 \cos (A/2) \Rightarrow \cos (A/2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $A/2 = 30^{\circ}$.
આમ,$A = 60^{\circ}$.

(D) આપેલ છે: પ્રિઝમનો કોણ $A = 30^{\circ}$,વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$,અને આપાતકોણ $i_1 = 0^{\circ}$ (કારણ કે કિરણ સપાટીને લંબ છે).
$i_1 = 0^{\circ}$ હોવાથી,વક્રીભવન કોણ $r_1$ પણ $0^{\circ}$ થશે.
સંબંધ $r_1 + r_2 = A$ નો ઉપયોગ કરતા,$0^{\circ} + r_2 = 30^{\circ}$,તેથી $r_2 = 30^{\circ}$ મળે.
બીજી સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\mu \sin(r_2) = 1 \cdot \sin(i_2)$.
$1.5 \cdot \sin(30^{\circ}) = \sin(i_2)$.
$1.5 \cdot 0.5 = \sin(i_2) \Rightarrow \sin(i_2) = 0.75$.
આપેલ છે કે $\sin(48.6^{\circ}) = 0.75$,તેથી $i_2 = 48.6^{\circ}$.
વિચલન કોણ $\delta$ નું સૂત્ર $\delta = (i_1 + i_2) - A$ છે.
$\delta = (0^{\circ} + 48.6^{\circ}) - 30^{\circ} = 18.6^{\circ}$.

(B) ધારો કે $s_1$ એ સપાટીથી સ્ત્રોતનું અંતર છે અને $c$ એ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ છે. સપાટી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T_1 = \frac{s_1}{c}$ છે.
ધારો કે $s_2$ એ કાચની સ્લેબની જાડાઈ $(5 \ cm)$ છે અને $v$ એ કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ છે. સ્લેબમાંથી પસાર થવા માટે લાગતો સમય $T_2 = \frac{s_2}{v}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = T_2$,તેથી $\frac{s_1}{c} = \frac{s_2}{v}$.
વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{c}{v}$ હોવાથી,આપણે $v = \frac{c}{\mu}$ લખી શકીએ.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{s_1}{c} = \frac{s_2}{c/\mu} = \frac{s_2 \times \mu}{c}$.
તેથી,$s_1 = s_2 \times \mu$.
અહીં $s_2 = 5 \ cm$ અને $\mu = 1.6$ હોવાથી,$s_1 = 5 \times 1.6 = 8 \ cm$ મળે છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
ધારો કે માછલીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $h$ છે અને આભાસી ઊંડાઈ $h'$ છે.
સમતલ સપાટી પર વક્રીભવનની ભૂમિતિ પરથી, આપાતકોણ $i$ અને વક્રીભૂતકોણ $r$ નાના હોય ત્યારે:
$\sin(i) \approx \tan(i) = \frac{P}{h}$
$\sin(r) \approx \tan(r) = \frac{P}{h'}$
સ્નેલના નિયમ મુજબ: $n_1 \sin(i) = n_2 \sin(r)$
અહીં, $n_1 = \mu = \frac{4}{3}$ (પાણી) અને $n_2 = 1$ (હવા).
તેથી, $\mu \times \frac{P}{h} = 1 \times \frac{P}{h'}$
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $h = \mu h'$ મળે છે.
આપેલ છે કે $h' = 30 \,cm$ અને $\mu = \frac{4}{3}$, તેથી:
$h = \frac{4}{3} \times 30 \,cm = 40 \,cm$.
આમ, માછલીની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $40 \,cm$ છે.

(A) ક્રાંતિકોણ $\theta$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે વક્રીભૂતકોણ $\frac{\pi}{2}$ હોય છે.
માધ્યમ $P$ અને માધ્યમ $Q$ વચ્ચે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$n_{P} \sin \theta = n_{Q} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)$
કારણ કે $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,તેથી $n_{P} \sin \theta = n_{Q}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{n_{P}}{n_{Q}} = \frac{1}{\sin \theta}$.
વક્રીભવનાંક $n$ એ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(n = \frac{c}{V})$,તેથી $\frac{n_{P}}{n_{Q}} = \frac{V_{Q}}{V_{P}}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{V_{Q}}{V_{P}} = \frac{1}{\sin \theta}$
તેથી,માધ્યમ $Q$ માં પ્રકાશની ઝડપ $V_{Q} = \frac{V_{P}}{\sin \theta}$ થશે.

(D) માધ્યમ $i$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $j$ નો વક્રીભવનાંક ${ }_{i} \mu_{j} = \frac{\mu_j}{\mu_i}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\mu$ એ માધ્યમનો નિરપેક્ષ વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ પદ: ${ }_2 \mu_1 \times { }_3 \mu_2 \times { }_4 \mu_3$.
વક્રીભવનાંકની વ્યાખ્યા મૂકતા:
$= \frac{\mu_1}{\mu_2} \times \frac{\mu_2}{\mu_3} \times \frac{\mu_3}{\mu_4}$.
અંશ અને છેદમાં સમાન પદો ઉડાડતા:
$= \frac{\mu_1}{\mu_4}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\frac{\mu_1}{\mu_4} = { }_4 \mu_1$ થાય.

(D) ધારો કે પ્લેટની જાડાઈ $t$ છે.
જ્યારે પ્રકાશ $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પ્લેટમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $\mu t$ થાય છે.
તેટલી જ અંતર $t$ માટે હવામાં ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $t$ છે.
ઓપ્ટિકલ પથમાં થતો ફેરફાર (ઓપ્ટિકલ પથ તફાવત) $\Delta = \mu t - t = (\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઓપ્ટિકલ પથમાં થતો આ ફેરફાર તરંગલંબાઈના અડધા જેટલો છે,એટલે કે $\Delta = \frac{\lambda}{2}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $(\mu - 1)t = \frac{\lambda}{2}$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{\lambda}{2(\mu - 1)}$ મળે છે.

(A) $t$ જાડાઈના માધ્યમમાં તરંગોની સંખ્યા $N = \frac{t}{\lambda_m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ છે અને $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ છે.
આમ, $N = \frac{t \cdot \mu}{\lambda_0}$.
આપેલ છે કે કાચના સ્લેબમાં તરંગોની સંખ્યા $(t_g = 4 \,cm, \mu_g = 5/3)$ એ પાણીના સ્તંભમાં તરંગોની સંખ્યા $(t_w = 5 \,cm, \mu_w = ?)$ જેટલી છે, તેથી:
$\frac{t_g \cdot \mu_g}{\lambda_0} = \frac{t_w \cdot \mu_w}{\lambda_0}$
$t_g \cdot \mu_g = t_w \cdot \mu_w$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$4 \times \frac{5}{3} = 5 \times \mu_w$
$\frac{20}{3} = 5 \times \mu_w$
$\mu_w = \frac{20}{3 \times 5} = \frac{4}{3}$.

(C) પ્રકાશનો ડાઘ એવા કિરણોને કારણે રચાય છે જે પ્રવાહી-હવાના આંતરપૃષ્ઠ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે. ક્રાંતિકોણ $\theta_C$ પર આપાત થતા કિરણો લંબ સાથે $90^\circ$ ના ખૂણે બહાર આવે છે.
ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે $\tan \theta_C = \frac{r}{h}$ છે.
ક્રાંતિકોણ માટે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mu \sin \theta_C = 1 \cdot \sin 90^\circ = 1$
$\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$
$\sin \theta_C = \frac{1}{\mu}$ હોવાથી,આપણે $\tan \theta_C = \frac{\sin \theta_C}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta_C}} = \frac{1/\mu}{\sqrt{1 - 1/\mu^2}} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને $\tan \theta_C$ શોધી શકીએ છીએ.
$\tan \theta_C$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$
$r = \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}}$
વર્તુળાકાર ડાઘનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{h}{\sqrt{\mu^2 - 1}} \right)^2 = \frac{\pi h^2}{\mu^2 - 1}$ થાય.

(B) ધારો કે $i$ એ આપાતકોણ છે,$r$ એ પરાવર્તનકોણ છે અને $r_F$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ એ પરાવર્તનકોણ જેટલો હોય છે,તેથી $i = r$.
સીધી રેખા (સપાટી) પરના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
આપેલ ભૂમિતિ મુજબ,પરાવર્તિત કિરણ,પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો વચ્ચેનો ખૂણો અને વક્રીભૂત કિરણના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$r + 90^{\circ} + r_F = 180^{\circ}$.
અહીં $r_F = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $r + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$r + 120^{\circ} = 180^{\circ}$.
$r = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
જેથી $i = r$ હોવાથી,આપાતકોણ $i = 60^{\circ}$ થશે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં $n^{\text{th}}$ કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(_1H^1)$ માટે,$Z_H = 1$ અને $n = 2$ છે. તેથી,$E_H = -13.6 \frac{1^2}{2^2} = -13.6 \times \frac{1}{4} \text{ eV}$.
હિલિયમ આયન $(He^+)$ માટે,$Z_{He} = 2$ અને $n = 2$ છે. તેથી,$E_{He} = -13.6 \frac{2^2}{2^2} = -13.6 \times 1 \text{ eV}$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ અને હિલિયમ આયનની કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર: $\frac{E_H}{E_{He}} = \frac{-13.6 \times (1/4)}{-13.6 \times 1} = \frac{1}{4}$ થાય છે.

(C)
ધારો કે કાચના સ્લેબની જાડાઈ $t$ છે અને એક બાજુથી પરપોટાનું વાસ્તવિક અંતર $x$ છે।
જ્યારે એક બાજુથી જોવામાં આવે ત્યારે આભાસી ઊંડાઈ $d_1 = x / \mu = 5 \,cm$ છે।
જ્યારે બીજી બાજુથી જોવામાં આવે ત્યારે આભાસી ઊંડાઈ $d_2 = (t - x) / \mu = 2 \,cm$ છે।
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$d_1 + d_2 = (x / \mu) + ((t - x) / \mu) = t / \mu$
અહીં $\mu = 1.5$, $d_1 = 5 \,cm$, અને $d_2 = 2 \,cm$ આપેલ છે:
$5 + 2 = t / 1.5$
$7 = t / 1.5$
$t = 7 \times 1.5 = 10.5 \,cm$
તેથી, સ્લેબની જાડાઈ $10.5 \,cm$ છે।

(A) $p-n$ જંકશન ડાયોડમાં,જ્યારે $p$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરને બાહ્ય બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે અને $n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરને ઋણ ટર્મિનલ સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે તેને ફોરવર્ડ બાયસ કહેવામાં આવે છે.
આ ગોઠવણી ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ ઘટાડે છે અને પોટેન્શિયલ બેરિયરને નીચું લાવે છે,જેનાથી ડાયોડમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ સરળતાથી વહી શકે છે.

(C) $PN$ જંકશન ડાયોડની ફોરવર્ડ બાયસ લાક્ષણિકતા અરેખીય અને ઘાતાંકીય (exponential) હોય છે.
જેમ જેમ ફોરવર્ડ વોલ્ટેજ $V$ વધે છે,તેમ પ્રવાહ $I$ શરૂઆતમાં ધીમેથી વધે છે અને ત્યારબાદ ની (knee) વોલ્ટેજ પછી ઝડપથી વધે છે.
આપેલા વક્રોમાંથી,વક્ર $D$ વોલ્ટેજ સાથે પ્રવાહમાં ઘાતાંકીય વધારો દર્શાવે છે,જે ડાયોડના ફોરવર્ડ બાયસ વિસ્તારની લાક્ષણિકતા છે.
વક્ર $A$ રેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે,$B$ ધીમો રેખીય વધારો દર્શાવે છે,અને $C$ રેખીય વધારો દર્શાવે છે.
તેથી,આલેખ $D$ ફોરવર્ડ બાયસ લાક્ષણિકતાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં, $10 \,V$ નો સ્ત્રોત સર્કિટ સાથે જોડાયેલ છે।
ડાયોડના જોડાણને જોતા:
- ડાયોડ $D_1$ નો કેથોડ ધન પોટેન્શિયલ બાજુ સાથે જોડાયેલ છે ($R_1$ દ્વારા), જે તેને રિવર્સ બાયસ બનાવે છે। આમ, $D_1$ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે ($R_2$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી)।
- ડાયોડ $D_2$ નો એનોડ ધન પોટેન્શિયલ બાજુ સાથે જોડાયેલ છે, જે તેને ફોરવર્ડ બાયસ બનાવે છે। આમ, $D_2$ બંધ સ્વીચ (શોર્ટ સર્કિટ) તરીકે વર્તે છે।
તેથી, સર્કિટ $10 \,V$ ની બેટરી, અવરોધ $R_1 = 2 \,\Omega$ અને અવરોધ $R_3 = 2 \,\Omega$ ના શ્રેણી જોડાણ તરીકે સરળ બને છે।
સર્કિટમાં કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_1 + R_3 = 2 \,\Omega + 2 \,\Omega = 4 \,\Omega$ છે।
$R_1$ માંથી વહેતો પ્રવાહ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{10 \,V}{4 \,\Omega} = 2.5 \,A$.

(D) જ્યારે $p-n$ જંકશન ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે,ત્યારે બેટરીનો ધન છેડો $n$-વિસ્તાર સાથે અને ઋણ છેડો $p$-વિસ્તાર સાથે જોડાયેલ હોય છે.
આ ગોઠવણી મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સને ($n$-વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રોન અને $p$-વિસ્તારમાં હોલ્સ) જંકશનથી દૂર ખેંચે છે.
પરિણામે,ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ વધે છે.
ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ વધવાને કારણે,પોટેન્શિયલ બેરિયરની ઊંચાઈ પણ વધે છે,જેનાથી મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ માટે જંકશન ઓળંગવું વધુ મુશ્કેલ બને છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: પ્રવાહ ગેઇન $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $\Delta I_C = 1.5 \ mA = 1.5 \times 10^{-3} \ A$ અને $\Delta I_B = 20 \ \mu A = 20 \times 10^{-6} \ A$.
$\beta$ ની ગણતરી: $\beta = \frac{1.5 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{1500}{20} = 75$.
વોલ્ટેજ ગેઇન $A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: લોડ અવરોધ $R_L = 2 \ k\Omega = 2000 \ \Omega$ અને ઇનપુટ અવરોધ $R_i = 150 \ \Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $A_v = 75 \times \frac{2000}{150} = 75 \times \frac{40}{3} = 25 \times 40 = 1000$.

(A) ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયરના કોમન એમિટર $(CE)$ કન્ફિગરેશનમાં,ઇનપુટ સિગ્નલ બેઝ-એમિટર જંકશન પર આપવામાં આવે છે અને આઉટપુટ કલેક્ટર-એમિટર જંકશન પરથી લેવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇનપુટ સિગ્નલ વોલ્ટેજ વધે છે,ત્યારે બેઝ કરંટ વધે છે,જેના પરિણામે કલેક્ટર કરંટમાં વધારો થાય છે.
કલેક્ટર સર્કિટમાં જોડાયેલા લોડ રઝિસ્ટર $R_C$ પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપને કારણે,કલેક્ટર વોલ્ટેજ ઘટે છે.
આમ,ઇનપુટ વોલ્ટેજમાં વધારો થવાથી આઉટપુટ વોલ્ટેજમાં ઘટાડો થાય છે અને તેનાથી ઉલટું પણ થાય છે.
આ વ્યસ્ત સંબંધ ઇનપુટ અને આઉટપુટ સિગ્નલ વચ્ચે $180^{\circ}$ અથવા $\pi$ રેડિયનના ફેઝ શિફ્ટને દર્શાવે છે.

(D) $n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટર $n$-પ્રકારનું,બેઝ $p$-પ્રકારનું અને કલેક્ટર $n$-પ્રકારનું હોય છે.
$1$. ઇલેક્ટ્રોન એમિટરમાં મુખ્ય ચાર્જ કેરિયર્સ છે અને તેઓ એમિટરથી બેઝ તરફ ગતિ કરે છે.
$2$. બેઝમાં,ઇલેક્ટ્રોન હોલ્સ સાથે પુનઃસંયોજિત થાય છે,પરંતુ બેઝ ખૂબ જ પાતળો અને હળવો ડોપ્ડ હોવાથી,મોટાભાગના ઇલેક્ટ્રોન કલેક્ટર વિસ્તારમાં જાય છે.
$3$. કલેક્ટર રિવર્સ-બાયસ્ડ હોય છે,જે બેઝમાંથી આવતા ઇલેક્ટ્રોનને આકર્ષે છે.
$4$. હોલ્સ બેઝમાં મુખ્ય ચાર્જ કેરિયર્સ છે,પરંતુ તેઓ મુખ્ય પ્રવાહ બનાવવા માટે બેઝથી કલેક્ટર તરફ મોટી સંખ્યામાં જતા નથી; તેના બદલે,કલેક્ટર પ્રવાહ મુખ્યત્વે એમિટરથી બેઝ દ્વારા કલેક્ટર સુધી ઇલેક્ટ્રોનના પ્રવાહને કારણે હોય છે.
$5$. વિધાન $D$ ખોટું છે કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન એમિટરથી કલેક્ટર તરફ જાય છે,કલેક્ટરથી બેઝ તરફ નહીં.

(C) કોમન એમિટર $(CE)$ કોન્ફિગરેશનમાં ટ્રાન્ઝિસ્ટરની આઉટપુટ લાક્ષણિકતાઓ એ આઉટપુટ કરંટ $(I_C)$ અને આઉટપુટ વોલ્ટેજ $(V_{CE})$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે,જ્યારે ઇનપુટ કરંટ $(I_B)$ ને અચળ રાખવામાં આવે છે.
આ કોન્ફિગરેશનમાં,કલેક્ટર કરંટ $I_C$ ને $y$-અક્ષ પર અને કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $V_{CE}$ ને $x$-અક્ષ પર બેઝ કરંટ $I_B$ ના વિવિધ નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે આલેખવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો આલેખ અચળ $I_B$ પર $I_C$ વિરુદ્ધ $V_{CE}$ ને આલેખીને મેળવવામાં આવે છે.

(B) કોમન એમિટર કોન્ફિગ્યુરેશનમાં ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો આઉટપુટ અવરોધ $(R_o)$ એ અચળ બેઝ પ્રવાહ પર કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજમાં થતા ફેરફાર $(\Delta V_{CE})$ અને કલેક્ટર પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર $(\Delta I_C)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$R_o = \frac{\Delta V_{CE}}{\Delta I_C}$
આપેલ છે:
$\Delta V_{CE} = 0.4 \, V$
$\Delta I_C = 0.04 \, mA = 0.04 \times 10^{-3} \, A$
કિંમતો મૂકતા:
$R_o = \frac{0.4}{0.04 \times 10^{-3}} = \frac{0.4}{4 \times 10^{-5}} = 0.1 \times 10^5 \, \Omega = 10,000 \, \Omega = 10 \, k\Omega$

(A) આપેલ સર્કિટમાં $A$ અને $B$ ઇનપુટ વાળું $NAND$ ગેટ, $C$ ઇનપુટ વાળું $NOT$ ગેટ અને તેમના આઉટપુટને જોડતું $OR$ ગેટ છે.
આઉટપુટ $Y$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = (\overline{A \cdot B}) + \overline{C}$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે ત્રણેય ઇનપુટ $A, B, C$ લો $(0, 0, 0)$ હોય:
$A = 0, B = 0 \implies A \cdot B = 0 \implies \overline{A \cdot B} = 1$.
$C = 0 \implies \overline{C} = 1$.
$Y = 1 + 1 = 1$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે ત્રણેય ઇનપુટ $A, B, C$ હાઇ $(1, 1, 1)$ હોય:
$A = 1, B = 1 \implies A \cdot B = 1 \implies \overline{A \cdot B} = 0$.
$C = 1 \implies \overline{C} = 0$.
$Y = 0 + 0 = 0$.
આમ, આઉટપુટ ક્રમ $1, 0$ છે.

(C) $NAND$ ગેટ એ $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ $NOT$ ગેટનું સંયોજન છે。
$NAND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે。
ચાલો $A$ અને $B$ ના તમામ શક્ય ઇનપુટ સંયોજનો માટે આઉટપુટ $Y$ ની ગણતરી કરીએ:
$1$. જો $A = 0, B = 0$ હોય, તો $A \cdot B = 0$, તેથી $Y = \overline{0} = 1$.
$2$. જો $A = 0, B = 1$ હોય, તો $A \cdot B = 0$, તેથી $Y = \overline{0} = 1$.
$3$. જો $A = 1, B = 0$ હોય, તો $A \cdot B = 0$, તેથી $Y = \overline{0} = 1$.
$4$. જો $A = 1, B = 1$ હોય, તો $A \cdot B = 1$, તેથી $Y = \overline{1} = 0$.
આપેલ કોષ્ટકો સાથે સરખામણી કરતા:
- કોષ્ટક $(P)$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે。
- કોષ્ટક $(Q)$ એ $XOR$ ગેટ દર્શાવે છે。
- કોષ્ટક $(R)$ એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે。
- કોષ્ટક $(S)$ એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે。
આમ, સાચું સત્યતા કોષ્ટક $(S)$ છે。

(D) આ લોજિક સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ જોડાયેલ છે.
$NOR$ ગેટના ઇનપુટ $B$ અને $C$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $\overline{B+C}$ મળે છે.
આ આઉટપુટને $A$ ઇનપુટ સાથે $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
તેથી,અંતિમ આઉટપુટ $Y$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ: $Y = A \cdot \overline{(B+C)}$ છે.
આઉટપુટ $Y$ ' $HIGH$ ' $(Y=1)$ હોવા માટે,$A=1$ હોવું જોઈએ અને $\overline{(B+C)}=1$ હોવું જોઈએ.
$\overline{(B+C)} = 1$ નો અર્થ છે કે $(B+C) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $B=0$ અને $C=0$ બંને હોવા જોઈએ.
આમ,જ્યારે $A=1, B=0$ અને $C=0$ હોય ત્યારે $Y=1$ મળે છે.

(A) યુનિવર્સલ ગેટ એ એક એવો લોજિક ગેટ છે જેનો ઉપયોગ અન્ય કોઈપણ પ્રકારના ગેટની જરૂર વગર કોઈપણ અન્ય લોજિક ગેટ અથવા બુલિયન ફંક્શન બનાવવા માટે થઈ શકે છે.
$NAND$ અને $NOR$ બંને ગેટને યુનિવર્સલ ગેટ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી $NOR$ ગેટ આ વ્યાખ્યાને અનુરૂપ હોવાથી,સાચો જવાબ $NOR$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટ છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A + B$ છે.
આ આઉટપુટ $Y$ એ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ પૈકીનું એક છે,અને બીજું ઇનપુટ $C$ છે.
$NAND$ ગેટનું અંતિમ આઉટપુટ $D = \overline{Y \cdot C} = \overline{(A + B) \cdot C}$ છે.
કિસ્સો $1$: $A=0, B=0, C=0$
$Y = 0 + 0 = 0$
$D = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
કિસ્સો $2$: $A=1, B=1, C=0$
$Y = 1 + 1 = 1$
$D = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
આમ,આઉટપુટ $D$ ની લોજિક સ્થિતિઓ $1, 1$ છે.

(C) $OR$ ગેટ એ એક પાયાનો લોજિક ગેટ છે જે તાર્કિક સરવાળો (logical addition) કરે છે.
$A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતા $OR$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y$ એ બુલિયન સમીકરણ $Y = A + B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$OR$ ગેટના ટ્રુથ ટેબલ મુજબ,જો ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જો ઇનપુટ $A$ એ $1$ હોય અથવા ઇનપુટ $B$ એ $1$ હોય,અથવા જો બંને ઇનપુટ $A$ અને $B$ એ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $Y$ એ $1$ થશે.

(B) આપેલ બુલિયન સમીકરણ: $\overline{(A+B) \cdot(A \cdot B)}=1$.
બંને બાજુ પૂરક (complement) લેતા,આપણને મળે છે: $(A+B) \cdot(A \cdot B) = 0$.
આપણે આપેલા વિકલ્પો ચકાસીએ:
વિકલ્પ $B$ $(A=0, B=0)$ માટે: $(0+0) \cdot (0 \cdot 0) = 0 \cdot 0 = 0$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી ઇનપુટ $(0, 0)$ છે.
વિકલ્પ $A$ $(A=1, B=0)$ માટે: $(1+0) \cdot (1 \cdot 0) = 1 \cdot 0 = 0$. આ પણ $0$ પરિણામ આપે છે,પરંતુ મૂળ સમીકરણમાં $\overline{0} = 1$ થાય છે.
વિકલ્પ $D$ $(A=1, B=1)$ માટે: $(1+1) \cdot (1 \cdot 1) = 1 \cdot 1 = 1$. તેથી $\overline{1} = 0 \neq 1$.
આમ,$(0, 0)$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) ધારો કે ઇનપુટ $A, B$ અને $C$ સર્કિટને આપવામાં આવે છે.
ગેટ-$I$ એ $AND$ ગેટ છે અને ગેટ-$II$ એ $NAND$ ગેટ છે.
$AND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = A \cdot B$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $X$ અને $C$ નું $NAND$ છે,તેથી $Y = \overline{X \cdot C} = \overline{(A \cdot B) \cdot C}$.
જ્યારે $A=1, B=1, C=1$ (બધા હાઈ):
$Y = \overline{(1 \cdot 1) \cdot 1} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
જ્યારે $A=0, B=0, C=0$ (બધા લો):
$Y = \overline{(0 \cdot 0) \cdot 0} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.

(B) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે. ધારો કે $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $X$ છે. તો $X = A + B$ થાય.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $AND$ ગેટ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $Y = X \cdot C = (A + B) \cdot C$ થાય.
આઉટપુટ $Y = 1$ મેળવવા માટે,$AND$ ગેટના બંને ઇનપુટ $1$ હોવા જોઈએ. તેથી,$X = 1$ અને $C = 1$ હોવું જરૂરી છે.
કારણ કે $X = A + B = 1$,તેથી $A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A) A=1, B=0, C=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 0$
$B) A=1, B=0, C=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1$
$C) A=1, B=1, C=0 \implies Y = (1+1) \cdot 0 = 0$
$D) A=0, B=0, C=1 \implies Y = (0+0) \cdot 1 = 0$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.