MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) જ્યારે પ્રવાહીના સ્તંભને તેની સંતુલન સ્થિતિમાંથી $y$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને બાજુઓમાં પ્રવાહીની સપાટીની ઊંચાઈમાં તફાવતને કારણે પુનઃસ્થાપક બળ ઉદભવે છે.
બંને બાજુઓ વચ્ચેની ઊંચાઈનો તફાવત $2y$ થાય છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ $2y$ ઊંચાઈ ધરાવતા વધારાના પ્રવાહીના સ્તંભના વજન જેટલું હોય છે: $F = -(A \cdot 2y \cdot \rho \cdot g)$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
પ્રવાહીના સ્તંભનું દળ $m = A \cdot L \cdot \rho$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$:
$A \cdot L \cdot \rho \cdot \frac{d^2 y}{dt^2} = -2y \cdot A \cdot \rho \cdot g$
$\frac{d^2 y}{dt^2} = -(\frac{2g}{L})y$
આ સમીકરણની સરખામણી પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{dt^2} = -\omega^2 y$ સાથે કરતા,આપણને $\omega^2 = \frac{2g}{L}$ મળે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{2g}}$ થાય છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{L}$.
જો લોલક ઘડિયાળ ધીમી ચાલતી હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે આવર્તકાળ $T$ જરૂરી મૂલ્ય કરતા વધારે છે.
સમય સુધારવા માટે,આપણે આવર્તકાળ $T$ ઘટાડવાની જરૂર છે.
કારણ કે $T$ એ લંબાઈ $L$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી લંબાઈ $L$ ઘટાડવાથી આવર્તકાળ $T$ ઘટશે.
તેથી,આપણે લોલકની લંબાઈ ઘટાડવી જોઈએ.

(C) સાદા લોલક માટે,પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -mgL \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau \approx -mgL \theta$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{-mgL \theta}{mL^2} = -\frac{g}{L} \theta$ છે.
આને $SHM$ સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{g}{L}$ મળે છે.
દોલન કરતી સિસ્ટમ માટે બળ અચળાંક $k$ ને $k = m \omega^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\omega^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $k = m \left(\frac{g}{L}\right)$ મળે છે.
આમ,બળ અચળાંક $k$ એ બોબના દળ $m$ ના સમપ્રમાણમાં અને લોલકની લંબાઈ $L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,સૌથી યોગ્ય સંબંધ એ છે કે તે બોબના દળના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) $S$.$H$.$M$. કરતા પદાર્થની સ્થાનાંતર $x$ પરની સ્થિતિ ઊર્જા $P = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = m \omega^2$ છે.
આપેલ છે,$P_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies \sqrt{P_1} = x \sqrt{\frac{k}{2}}$ ---$(1)$
અને $P_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies \sqrt{P_2} = y \sqrt{\frac{k}{2}}$ ---$(2)$
ધારો કે સ્થાનાંતર $(x+y)$ પર સ્થિતિ ઊર્જા $P$ છે. તો,
$P = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{P} = (x+y) \sqrt{\frac{k}{2}}$
$\sqrt{P} = x \sqrt{\frac{k}{2}} + y \sqrt{\frac{k}{2}}$
આ સમીકરણમાં $(1)$ અને $(2)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{P} = \sqrt{P_1} + \sqrt{P_2}$

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા પદાર્થની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $y$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 y^2$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K$ એ કુલ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $K = E - U$.
સૂત્રો મૂકતા,$K = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 y^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - y^2)$.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$,તેથી તેને ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - (\frac{a}{2})^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - \frac{a^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3a^2}{4})$.
કારણ કે $E = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2$,આપણે લખી શકીએ કે $K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 a^2) = \frac{3E}{4}$.

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
$t = \frac{T}{12}$ સમયે,સ્થાનાંતર $x = A \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}\right) = A \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{A}{2}$ થાય છે.
સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}m\omega^2x^2 = \frac{1}{2}m\omega^2\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{1}{8}m\omega^2A^2$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}m\omega^2\left(A^2 - \frac{A^2}{4}\right) = \frac{1}{2}m\omega^2\left(\frac{3A^2}{4}\right) = \frac{3}{8}m\omega^2A^2$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U}{K} = \frac{\frac{1}{8}m\omega^2A^2}{\frac{3}{8}m\omega^2A^2} = \frac{1}{3}$ થાય છે.
આમ,ગુણોત્તર $1: 3$ છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.
ખ્યાલ: $SHM$ માટે,પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
વેગ એ સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$.
પ્રવેગ એ વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi)$.
અંતિમ સ્થાનો પર,સ્થાનાંતર $x = \pm A$ હોય છે,તેથી પ્રવેગ $a = \mp A\omega^2$ મહત્તમ (મૂલ્યમાં) હોય છે,અને વેગ $v = 0$ હોય છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,સ્થાનાંતર $x = 0$ હોય છે,તેથી પ્રવેગ $a = 0$ હોય છે,અને વેગ $v = \pm A\omega$ મહત્તમ હોય છે.
તેથી,જ્યારે '$a$' મહત્તમ હોય,ત્યારે '$v$' શૂન્ય હોય છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ખ્યાલ: $S.H.M.$ માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
મહત્તમ ઝડપ $V = A \omega$ છે.
એક સંપૂર્ણ સમયગાળા $T$ માં,કણ કુલ $4A$ જેટલું અંતર કાપે છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4A}{T}$.
જેમ કે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ અને $\omega = \frac{V}{A}$,તેથી $T = \frac{2\pi A}{V}$ મળે.
સરેરાશ ઝડપના સૂત્રમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{4A}{\left(\frac{2\pi A}{V}\right)} = \frac{4A \cdot V}{2\pi A} = \frac{2V}{\pi}$.

(B) સરળ આવર્ત પ્રગામી તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = A \sin(100 \pi t - 3x)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રસરણ અચળાંક $k = 3 \text{ rad/m}$ મળે છે.
કળા તફાવત $(\Delta \phi)$ અને પથ તફાવત $(\Delta x)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = k \cdot \Delta x$ છે.
અહીં કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{\pi}{18}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\pi}{18} = 3 \cdot \Delta x$ મળે છે.
તેથી,બે કણો વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = \frac{\pi}{18 \cdot 3} = \frac{\pi}{54} \text{ m}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સંતુલન સ્થાનથી શરૂ થતા કણનું સ્થાનાંતર $x = a \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t = \frac{T}{12}$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,સ્થાનાંતર $x = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12}\right) = a \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{a}{2}$ થશે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $\frac{1}{2}k(a^2 - x^2)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ $\frac{1}{2}kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - x^2}{x^2}$ છે.
$x = \frac{a}{2}$ કિંમત મૂકતા,$\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{a^2 - (a/2)^2}{(a/2)^2} = \frac{a^2 - a^2/4}{a^2/4} = \frac{3a^2/4}{a^2/4} = \frac{3}{1}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(A) શિરોલંબ સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવેલ $S.H.M.$ કરતા કણ માટે,સંતુલન સ્થિતિ તે છે જ્યાં સ્પ્રિંગ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે,એટલે કે $kx = mg$.
દોલનના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી નથી,જેનો અર્થ છે કે વિસ્તરણ $x = 0$ છે.
સંતુલન સ્થિતિ એ સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુથી $A$ (કંપવિસ્તાર) અંતરે નીચે હોવાથી,સંતુલન સમયે વિસ્તરણ $x = A$ થાય.
તેથી,$kA = mg$,જે કંપવિસ્તાર $A = \frac{mg}{k} = \frac{g}{\omega^2}$ આપે છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 5 \ Hz$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \ rad/s$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \frac{10}{(10 \pi)^2} = \frac{10}{100 \pi^2} = \frac{1}{10 \pi^2} \ m$.
મહત્તમ ઝડપ $V_{\max} = A \omega$ છે.
$V_{\max} = \left( \frac{1}{10 \pi^2} \right) \times (10 \pi) = \frac{1}{\pi} \ m/s$.

(A) રેખીય $S.H.M.$ માં એક સંપૂર્ણ દોલન દરમિયાન કણ દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $4A$ જેટલું હોય છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T$ એ આવૃત્તિ $n$ સાથે $T = \frac{1}{n}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
તેથી,સરેરાશ ઝડપ $v_{av} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{4A}{T} = \frac{4A}{1/n} = 4nA$.

(C) રેખીય $S.H.M$ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x = a \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 5 \sin(4t - \frac{\pi}{6})$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કંપવિસ્તાર $a = 5 \ cm$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 4 \ rad/s$ મળે છે.
$S.H.M$ માં $x$ સ્થાનાંતરે કણનો વેગ $v$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$
આપેલ કિંમતો $a = 5 \ cm$,$x = 3 \ cm$ અને $\omega = 4 \ rad/s$ મૂકતા:
$v = 4 \sqrt{5^2 - 3^2}$
$v = 4 \sqrt{25 - 9}$
$v = 4 \sqrt{16}$
$v = 4 \times 4 = 16 \ cm/s$.
આમ,કણનો વેગ $16 \ cm/s$ છે.

(D) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતા કણો માટે ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$X_A = A_1 \sin(\omega_A t) = A_1 \sin(\frac{2\pi}{T} t)$
$X_B = A_2 \sin(\omega_B t) = A_2 \sin(\frac{2\pi}{3T/2} t) = A_2 \sin(\frac{4\pi}{3T} t)$
કણ '$A$' ની કળા $\phi_A = \frac{2\pi}{T} t$ છે અને કણ '$B$' ની કળા $\phi_B = \frac{4\pi}{3T} t$ છે.
જ્યારે કણ '$A$' એક દોલન પૂર્ણ કરે,ત્યારે લાગતો સમય $t = T$ છે.
$t = T$ સમયે,કણ '$A$' ની કળા $\phi_A = \frac{2\pi}{T} \times T = 2\pi$ થાય.
$t = T$ સમયે,કણ '$B$' ની કળા $\phi_B = \frac{4\pi}{3T} \times T = \frac{4\pi}{3}$ થાય.
કળા તફાવત $\Delta \phi = |\phi_A - \phi_B| = |2\pi - \frac{4\pi}{3}| = \frac{2\pi}{3}$.

(D) $S.H.M.$ માં,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મધ્યમાન સ્થિતિ $(x = 0)$ પર,વેગ મહત્તમ $(v_{max} = A\omega)$ હોય છે.
પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. મધ્યમાન સ્થિતિ $(x = 0)$ પર,પ્રવેગ ન્યૂનતમ $(a = 0)$ હોય છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ હંમેશા મધ્યમાન સ્થિતિ તરફ હોય છે.
કુલ ઉર્જા $E = K.E. + P.E. = \frac{1}{2}kA^2$ દરેક સમયે અચળ રહે છે.
તેથી,વિધાન $D$ ખોટું છે કારણ કે મધ્યમાન સ્થિતિએ વેગ ન્યૂનતમ નહીં પણ મહત્તમ હોય છે.

(D) આપેલ છે કે,$y_1 = 10 \sin \omega t$ અને $y_2 = 10 \sin \omega t + 5 \cos \omega t$.
$y_1$ માટે,કંપવિસ્તાર $A_1 = 10$ છે.
$y_2$ માટે,સમીકરણ $A \sin \omega t + B \cos \omega t$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_2 = \sqrt{A^2 + B^2}$ થાય.
અહીં,$A = 10$ અને $B = 5$ છે,તેથી $A_2 = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ મળે.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $2 : \sqrt{5}$ છે.

(D) આપેલ છે,$x = A \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right)$.
જ્યારે $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) = -1$ થાય ત્યારે વેગનું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે.
આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે ફેઝ એંગલ $\left(\omega t + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3\pi}{2}$ થાય.
$\omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies \omega t = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.
$t = \frac{5\pi}{4\omega}$.
જોકે,આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,પ્રશ્ન એવા સમયની વાત કરે છે જ્યારે કણ સંતુલન સ્થિતિ $(x=0)$ પર પહોંચે છે. $\omega t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ લેતા,$\omega t = \frac{\pi}{4}$ મળે છે,તેથી $t = \frac{\pi}{4\omega}$.

(D) ધન અંતિમ સ્થાન $(x = +A)$ થી શરૂ થતા કણ માટે,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$x = A \cos(\omega t)$
આપેલ છે: $A = 6 \ cm$,$T = 3 \ s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3} \ rad/s$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે કણ ધન અંતિમ સ્થાનથી $3 \ cm$ અંતર કાપે છે. આનો અર્થ એ છે કે નવું સ્થાન $x = A - 3 = 6 - 3 = 3 \ cm$ છે.
સ્થાનાંતરના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$3 = 6 \cos(\omega t)$
$\cos(\omega t) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\omega t = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \ rad$
$\omega = \frac{2\pi}{3}$ મૂકતા:
$(\frac{2\pi}{3}) t = \frac{\pi}{3}$
$t = \frac{\pi}{3} \times \frac{3}{2\pi} = 0.5 \ s$
તેથી,જરૂરી સમય $0.5 \ s$ છે.

(C) ખ્યાલ: જો પાટિયાનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ કરતા વધી જાય,તો લાકડાનો સમઘન ઉપરના અંતિમ સ્થાને પાટિયાને છોડી દેશે.
બ્લોક પાટિયાને છોડે નહીં તે માટે,લંબબળ $N \geq 0$ હોવું જોઈએ.
બ્લોકના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,ગતિનું સમીકરણ: $mg - N = ma$.
બ્લોક સંપર્કમાં રહે તે માટે,$N \geq 0$,જેનો અર્થ છે $mg \geq ma$,અથવા $a \leq g$.
$S$.$H$.$M$. માં,મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બ્લોક પાટિયાને ન છોડે તે માટેની શરત $\omega^2 A \leq g$,અથવા $A \leq \frac{g}{\omega^2}$ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \left( \frac{3}{\pi} \right) = 6 \text{ rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા: $A \leq \frac{10}{6^2} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \text{ m}$.
આમ,મહત્તમ કંપવિસ્તાર $\frac{5}{18} \text{ m}$ છે.

(B) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ કરીને સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ હોય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{A}{2} = A \sin(\omega t)$.
આથી $\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$,તેથી $\omega t = \frac{\pi}{6}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા,$\left(\frac{2\pi}{T}\right) t = \frac{\pi}{6}$ મળે.
$t$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$t = \frac{T}{12}$ મળે છે.

(B) દોલનની પથ લંબાઈ એ બે અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેનું કુલ અંતર છે, જે $2a$ જેટલું હોય છે, જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે, $2a = 16 \,cm$, તેથી કંપવિસ્તાર $a = 8 \,cm$.
લોલકની લંબાઈ $l = 1 \,m$ છે.
સાદા લોલકની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g = \pi^2 \,m/s^2$ અને $l = 1 \,m$ મૂકતા, આપણને $\omega = \sqrt{\frac{\pi^2}{1}} = \pi \,rad/s$ મળે છે.
સરળ આવર્ત ગતિમાં મહત્તમ વેગ $v_{max} = a\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $v_{max} = 8 \,cm \times \pi \,rad/s = 8\pi \,cm/s$.

(B) બે $SHM$ નો પરિણામી કંપવિસ્તાર $R$,કળા તફાવત $\delta$ સાથે $R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2 A_1 A_2 \cos \delta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$. $A_1=A_2=A$ અને $\delta=0^{\circ}$ માટે:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 0^{\circ}} = \sqrt{4A^2} = 2A$. તેથી,$A-III$.
$B$. $A_1 \neq A_2$ અને $\delta=0^{\circ}$ માટે:
$R=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1 A_2 \cos 0^{\circ}} = \sqrt{(A_1+A_2)^2} = A_1+A_2$. તેથી,$B-I$.
$C$. $A_1=A_2=A$ અને $\delta=90^{\circ}$ માટે:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 90^{\circ}} = \sqrt{2A^2} = A\sqrt{2}$. તેથી,$C-IV$.
$D$. $A_1=A_2=A$ અને $\delta=180^{\circ}$ માટે:
$R=\sqrt{A^2+A^2+2A^2 \cos 180^{\circ}} = \sqrt{2A^2-2A^2} = 0$. તેથી,$D-II$.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ખ્યાલ: $S.H.M.$ માટેનું પ્રમાણિત વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2 x}{dt^2} + \alpha x = 0$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \alpha$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\alpha}$.
ગતિનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\alpha}}$ મળે છે.

(D) $S.H.M.$ માટે,પ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને તે કણની સરેરાશ સ્થિતિ (મધ્યમાન સ્થિતિ) તરફ હોય છે:
$a = -\omega^2 x = -px$
જ્યાં $\omega$ એ $S.H.M.$ ની કોણીય આવૃત્તિ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\omega^2 = p$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{p}$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2 \pi}{\omega}$
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi}{\sqrt{p}}$

(B) જ્યારે ગોળાને નાના ખૂણે $\theta$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળાનું કેન્દ્ર $(R-r)$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપ પર ગતિ કરે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ માર્ગના સ્પર્શક પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
વક્રતા કેન્દ્ર $O$ ની આસપાસ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક નીચે મુજબ છે:
$\tau = -mg(R-r) \sin \theta$
નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી $\tau \approx -mg(R-r) \theta$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમના રોટેશનલ એનાલોગનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I \alpha$,જ્યાં $I$ એ $O$ માંથી પસાર થતી પરિભ્રમણની ધરીની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
ગોળો સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$O$ ની આસપાસ અસરકારક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + m(R-r)^2 = \frac{2}{5}mr^2 + m(R-r)^2$ છે.
જો કે,સરળ દોલન સમસ્યા માટે જ્યાં આપણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,આપણે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરીએ છીએ: $F_{restoring} = -mg \sin \theta = m a_{cm}$.
કારણ કે $a_{cm} = (R-r) \alpha$,તેથી $m(R-r) \alpha = -mg \theta$.
$\alpha = -\left(\frac{g}{R-r}\right) \theta$.
આને $S$.$H$.$M$. ના સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{g}{R-r}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{R-r}{g}}$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેનું પ્રમાણિત વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 x}{d t^2} + \omega^2 x = 0$ છે,જેને $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\omega^2 x$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ સમીકરણ: $\alpha \frac{d^2 x}{d t^2} + \beta x = 0$.
આપેલ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\frac{\beta}{\alpha} x$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{d^2 x}{d t^2} = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{\beta}{\alpha}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$.
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ગ્રહ માટે,દળ $M_p = 2M_e$ અને ત્રિજ્યા $R_p = 2R_e$ છે.
તેથી,ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગ $g_p$ નીચે મુજબ થશે:
$g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2} = \frac{2GM_e}{4R_e^2} = \frac{1}{2} g_e$.
લોલકનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પૃથ્વી પર સેકન્ડ લોલક માટે,$T_e = 2 \ s$ અને પ્રવેગ $g_e$ છે.
ગ્રહ પર,નવો સમયગાળો $T_p$ નીચે મુજબ થશે:
$T_p = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_p}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_e/2}} = \sqrt{2} \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g_e}}) = \sqrt{2} \times T_e$.
$T_e = 2 \ s$ મૂકતા,આપણને $T_p = 2\sqrt{2} \ s$ મળે છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: $m$ દળ ધરાવતા કણનું કોણીય વેગમાન $L$,જે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરે છે,તે $L = I\omega = mr^2\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં દળ $m$ અને કોણીય વેગ $\omega$ અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,$L = m\omega r^2$.
જ્યારે દોરીની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ થાય છે.
નવું કોણીય વેગમાન $L'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L' = m\omega(r')^2 = m\omega\left(\frac{r}{2}\right)^2$
$L' = m\omega\left(\frac{r^2}{4}\right) = \frac{1}{4}(mr^2\omega)$
$L' = \frac{L}{4}$.

(C) એક છેડે લાગુ પાડવામાં આવેલ આઘાત $J$ તંત્રને રેખીય અને કોણીય વેગમાન બંને આપે છે.
$1$. રેખીય આઘાતનું સમીકરણ: $J = M_{total} v_{cm} \Rightarrow MV = (2M) v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = \frac{V}{2}$.
$2$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ ની સાપેક્ષે કોણીય આઘાતનું સમીકરણ: $J \times r = I_{cm} \omega$.
અહીં,$r = \frac{L}{2}$ અને $I_{cm} = M(\frac{L}{2})^2 + M(\frac{L}{2})^2 = \frac{ML^2}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $(MV) \times \frac{L}{2} = (\frac{ML^2}{2}) \omega$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા: $\frac{MVL}{2} = \frac{ML^2 \omega}{2} \Rightarrow \omega = \frac{V}{L}$.

(A) ખ્યાલ: સળિયા પર લાગતો કોણીય આઘાત તેના કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષે કોણીય આઘાત $J_{\theta} = P \cdot \frac{l}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L = I \omega$ છે,જ્યાં $I = \frac{m l^2}{12}$ એ સળિયાની તેના કેન્દ્રની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
કોણીય આઘાતને કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર સાથે સરખાવતા:
$P \cdot \frac{l}{2} = I \omega$
$P \cdot \frac{l}{2} = \left( \frac{m l^2}{12} \right) \omega$
કોણીય વેગ $\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{P \cdot l}{2} \cdot \frac{12}{m l^2} = \frac{6 P}{m l}$
સળિયો અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરે છે. $\Delta \theta = \frac{\pi}{2}$ જેટલા ખૂણે ફરવા માટે લાગતો સમય $\Delta t$:
$\Delta t = \frac{\Delta \theta}{\omega} = \frac{\pi / 2}{6 P / (m l)} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{m l}{6 P} = \frac{\pi m l}{12 P}$

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તારની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda$ છે.
લૂપ $P$ નું દળ $M_P = \lambda \cdot (2\pi r)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_P = r$ છે.
તેથી,$I_P = M_P R_P^2 = (2\pi r \lambda) r^2 = 2\pi \lambda r^3$.
લૂપ $Q$ નું દળ $M_Q = \lambda \cdot (2\pi nr)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R_Q = nr$ છે.
તેથી,$I_Q = M_Q R_Q^2 = (2\pi nr \lambda) (nr)^2 = 2\pi \lambda n^3 r^3$.
આપેલ છે કે $I_Q = 4 I_P$,તેથી $2\pi \lambda n^3 r^3 = 4(2\pi \lambda r^3)$.
બંને બાજુથી $2\pi \lambda r^3$ ને દૂર કરતા,આપણને $n^3 = 4$ મળે છે.
તેથી,$n = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$.

(D) ભ્રમણ કરતા પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $x = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થનું કોણીય વેગમાન $y = I \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ચાકગતિ ઉર્જાને કોણીય વેગમાનના પદોમાં આ રીતે લખી શકીએ:
$x = \frac{(I \omega)^2}{2 I} = \frac{y^2}{2 I}$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ શોધવા માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{y^2}{2 x}$.

(A) રીંગની તેના સમતલને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = MR^2 = 4 \,kg \,m^2$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ, તેના સમતલમાં રહેલા વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{2} MR^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \,kg \,m^2$ થાય.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, સમતલમાં રહેલા સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_t = I_d + MR^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $I_t = 2 \,kg \,m^2 + 4 \,kg \,m^2 = 6 \,kg \,m^2$.

(D) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} m r^2$ છે.
જે ત્રણ ગોળાઓના કેન્દ્રો પરિભ્રમણની ધરી $A-A'$ પર આવેલા છે,તે દરેક માટે આ ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5} m r^2$ થશે.
જે બે ગોળાઓના કેન્દ્રો પરિભ્રમણની ધરી $A-A'$ થી $r$ અંતરે આવેલા છે,તેમના માટે આપણે સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I = I_{cm} + m d^2$,જ્યાં $d = r$.
તેથી,$I_2 = \frac{2}{5} m r^2 + m r^2 = \frac{7}{5} m r^2$.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 3 \times I_1 + 2 \times I_2$ છે.
$I_{total} = 3 \left( \frac{2}{5} m r^2 \right) + 2 \left( \frac{7}{5} m r^2 \right) = \frac{6}{5} m r^2 + \frac{14}{5} m r^2 = \frac{20}{5} m r^2 = 4 m r^2$.

(D) નક્કર ગોળાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કેન્દ્રથી $d$ અંતરે આવેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$d = \frac{R}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R}{2}\right)^2$.
$I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R^2}{4}\right)$.
$I = \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{4}\right) MR^2$.
$I = \left(\frac{8 + 5}{20}\right) MR^2 = \frac{13}{20} MR^2$.

(A) ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ સાથે $I = mk^2$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે.
દરેક કિસ્સા માટે:
$(A)$ તેના સ્પર્શક પર ફરતો નક્કર ગોળો: $I = \frac{2}{5}mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$. તેથી,$k = \sqrt{\frac{7}{5}}R$. જે $(R)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(B)$ તેના સમતલને લંબ સ્પર્શક પર ફરતી રીંગ: $I = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$. તેથી,$k = \sqrt{2}R$. જે $(P)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ તેની મધ્ય અક્ષ પર ફરતો સમાન નક્કર લંબવૃત્તીય શંકુ: $I = \frac{3}{10}mR^2$. તેથી,$k = \sqrt{\frac{3}{10}}R$. જે $(S)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(D)$ તેના વ્યાસ પર ફરતી સમાન તકતી: $I = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2) = \frac{1}{4}mR^2$. તેથી,$k = \frac{R}{2}$. જે $(Q)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(R), (B)-(P), (C)-(S), (D)-(Q)$ છે.

(A) ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ નું સૂત્ર $K = \sqrt{\frac{I}{m}}$ છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે,તેના સમતલને લંબ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{ring, center}} = mR^2$ છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્ક માટે,તેના સમતલને લંબ કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{disc, center}} = \frac{1}{2}mR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સમતલને લંબ સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = I_{\text{center}} + mR^2$ થાય.
રીંગ માટે: $I'_{\text{ring}} = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$. તેથી,$K_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{2mR^2}{m}} = \sqrt{2}R$.
ડિસ્ક માટે: $I'_{\text{disc}} = \frac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \frac{3}{2}mR^2$. તેથી,$K_{\text{disc}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R$.
રીંગ અને ડિસ્કની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{\text{ring}}}{K_{\text{disc}}} = \frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3/2}R} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ થાય.

(D) $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} m r^2$ છે.
તકતી $A$ માટે,અક્ષ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = \frac{1}{2} m r^2$ છે.
તકતી $B$ માટે,અક્ષ તેના કેન્દ્રથી $d = 2r$ અંતરે છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_B = I_{cm} + m d^2 = \frac{1}{2} m r^2 + m(2r)^2 = \frac{1}{2} m r^2 + 4 m r^2 = \frac{9}{2} m r^2$.
આખા તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_A + I_B = \frac{1}{2} m r^2 + \frac{9}{2} m r^2 = \frac{10}{2} m r^2 = 5 m r^2$ થાય.

(D) ખ્યાલ: સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ.
નક્કર ગોળા માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{cm}} = \frac{2}{5} MR^2$
સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને સમાંતર અને $d$ અંતરે આવેલી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ મળે:
$I = I_{\text{cm}} + Md^2$
અહીં,અંતર $d = \frac{R}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{2}{5} MR^2 + M\left(\frac{R}{2}\right)^2$
$I = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{1}{4} MR^2$
$I = \left(\frac{8 + 5}{20}\right) MR^2$
$I = \frac{13}{20} MR^2$

(A) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{12} M L^2$ છે.
જ્યારે સળિયાને ચાર સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનું દળ $M' = \frac{M}{4}$ અને લંબાઈ $L' = \frac{L}{4}$ થાય છે.
દરેક ભાગની તેના પોતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ નીચે મુજબ છે:
$I' = \frac{1}{12} M' (L')^2$
$M'$ અને $L'$ ની કિંમતો મૂકતા:
$I' = \frac{1}{12} \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{L}{4} \right)^2$
$I' = \frac{1}{12} \left( \frac{M}{4} \right) \left( \frac{L^2}{16} \right)$
$I' = \frac{1}{64} \left( \frac{1}{12} M L^2 \right)$
$I = \frac{1}{12} M L^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$I' = \frac{I}{64}$

(C) તેમની કેન્દ્રીય અક્ષો પર જડત્વની આઘૂર્ણ માટેના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$I_{\text{Ring}} = M R^2 = 1.0 M R^2$
$I_{\text{Sphere}} = \frac{2}{5} M R^2 = 0.4 M R^2$
$I_{\text{Disc}} = \frac{1}{2} M R^2 = 0.5 M R^2$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $1.0 > 0.5 > 0.4$.
તેથી,રીંગની જડત્વની આઘૂર્ણ સૌથી વધુ છે કારણ કે તેનું દળ પરિભ્રમણની અક્ષથી મહત્તમ અંતર $(R)$ પર વિતરિત થયેલું છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
ખ્યાલ: કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ કોણીય ઝડપ $\omega_{rel} = \omega_{s} - \omega_{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સેકન્ડના કાંટાની કોણીય ઝડપ $\omega_{s} = \frac{2 \pi}{60} = \frac{\pi}{30} \ rad/s$ છે.
કલાકના કાંટાની કોણીય ઝડપ $\omega_{h} = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} = \frac{2 \pi}{43200} = \frac{\pi}{21600} \ rad/s$ છે.
તેથી,સાપેક્ષ કોણીય ઝડપ $\omega_{rel} = \omega_{s} - \omega_{h} = \frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{21600}$ છે.
છેદ સમાન કરતા: $\omega_{rel} = \frac{720 \pi - \pi}{21600} = \frac{719 \pi}{21600} \ rad/s$.

(D) એક કણ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર $v$ જેટલી સમાન ઝડપથી ગતિ કરે છે.
કણનો કોણીય વેગ $\omega$ એ સંબંધ $\omega = \frac{v}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ માં કણ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta$ એ $\theta = \omega t$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$t = 1 \ s$ માટે,આંતરાતો ખૂણો $\theta = \omega \times 1 = \frac{v}{r}$ રેડિયન થશે.

(B) કલાક કાંટાની કોણીય ઝડપ $(\omega_h)$ એ એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ ($2 \pi$ રેડિયન) માટે લાગતા સમય $(12 \text{ કલાક} = 12 \times 3600 \text{ સેકન્ડ})$ વડે મળે છે: $\omega_h = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$.
મિનિટ કાંટાની કોણીય ઝડપ $(\omega_m)$ એ એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ ($2 \pi$ રેડિયન) માટે લાગતા સમય $(1 \text{ કલાક} = 3600 \text{ સેકન્ડ})$ વડે મળે છે: $\omega_m = \frac{2 \pi}{3600} \text{ rad/s}$.
સાપેક્ષ કોણીય ઝડપ એ બંને કાંટાની કોણીય ઝડપનો તફાવત છે: $\Delta \omega = \omega_m - \omega_h$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \omega = \frac{2 \pi}{3600} - \frac{2 \pi}{12 \times 3600} = \frac{2 \pi}{3600} \left(1 - \frac{1}{12}\right) = \frac{2 \pi}{3600} \left(\frac{11}{12}\right) = \frac{22 \pi}{43200} = \frac{11 \pi}{21600} \text{ rad/s}$.

(B) કોણીય વેગ $\omega$ એટલે એકમ સમયમાં કપાયેલો ખૂણો.
ઘડિયાળના મિનિટ કાંટા માટે,તે $60$ મિનિટમાં એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ $(360^{\circ})$ પૂર્ણ કરે છે.
$1$ મિનિટ $= 60$ સેકન્ડ હોવાથી,એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $60 \times 60 = 3600 \ s$ થાય.
તેથી,કોણીય વેગ $\omega = \frac{360^{\circ}}{3600 \ s} = 0.1^{\circ}/s$ થાય.

(D) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R^2$ છે. તેની ચાકગતિ ઉર્જા $K_{\text{sphere}} = \frac{1}{2} I_{\text{sphere}} \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ છે.
નક્કર નળાકારની તેની ભૌમિતિક ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} M R^2$ છે. આપેલ છે કે $\omega_{\text{cylinder}} = 2 \omega_{\text{sphere}}$,તેથી તેની ચાકગતિ ઉર્જા $K_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} I_{\text{cylinder}} \omega_{\text{cylinder}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} M R^2 (2 \omega_{\text{sphere}})^2 = \frac{1}{4} M R^2 (4 \omega_{\text{sphere}}^2) = M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ છે.
તેમની ચાકગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{\text{sphere}}}{K_{\text{cylinder}}} = \frac{\frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2}{M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2} = \frac{1}{5}$ થશે.

(C) અથડામણ પહેલાં,ગોળી $v$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. મિજાગરા બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $J = m v L$ છે.
ગોળી સળિયામાં ખૂંપી ગયા પછી,ધારો કે તંત્ર $\omega$ કોણીય વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષની સાપેક્ષે ગોળી-સળિયા તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = I_{\text{bullet}} + I_{\text{rod}} = m L^2 + \frac{1}{3} M L^2 = \left( \frac{M + 3m}{3} \right) L^2$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન = અંતિમ કોણીય વેગમાન:
$J = J' \implies m v L = I \omega$
$m v L = \left( \frac{M + 3m}{3} \right) L^2 \omega$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \frac{3 m v}{(M + 3m) L}$.

(D) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 240 \ r.p.m. = \frac{240 \times 2\pi}{60} \ rad/s = 8\pi \ rad/s$ છે.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\omega = \omega_0 - \alpha t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0$ અને $t = 20 \ s$ છે:
$0 = 8\pi - \alpha(20) \Rightarrow \alpha = \frac{8\pi}{20} = 0.4\pi \ rad/s^2$.
ટોર્ક $\tau = I\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં તકતી માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
અહીં $M = 25 \ kg$ અને $R = 0.2 \ m$ આપેલ છે,તેથી $I = \frac{1}{2} \times 25 \times (0.2)^2 = 0.5 \ kg \cdot m^2$.
ટોર્ક $\tau = F \cdot R$ પણ થાય છે,જ્યાં $F$ એ સ્પર્શક બળ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $F \cdot R = I \alpha
\Rightarrow F = \frac{I \alpha}{R} = \frac{0.5 \times 0.4\pi}{0.2} = \frac{0.2\pi}{0.2} = \pi \ N$.

(C) દરવાજાને ખોલવા કે બંધ કરવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau$ અચળ રહેશે.
ટોર્કની વ્યાખ્યા મુજબ, $\tau = r_1 \times F_1 = r_2 \times F_2$.
અહીં $r_1 = 1.2 \,m$, $F_1 = 1 \,N$, અને $r_2 = 0.2 \,m$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $1.2 \,m \times 1 \,N = 0.2 \,m \times F_2$.
તેથી, $F_2 = \frac{1.2}{0.2} \,N = 6 \,N$.

(C) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T^{\circ} C$ છે.
બંધ અને અલગ કરેલા પાત્રમાં,ગરમ વાયુ $(O_2)$ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા એ ઠંડા વાયુ $(CO_2)$ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
$CO_2$ (અરેખીય ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V, CO_2} = 3R$ છે.
$O_2$ (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V, O_2} = \frac{5}{2}R$ છે.
મોલની સંખ્યા: $\mu_{CO_2} = \frac{22}{44} = 0.5 \ mol$ અને $\mu_{O_2} = \frac{16}{32} = 0.5 \ mol$.
કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ: $\mu_{CO_2} C_{V, CO_2} (T - 27) = \mu_{O_2} C_{V, O_2} (37 - T)$.
$0.5 \times 3R \times (T - 27) = 0.5 \times \frac{5}{2}R \times (37 - T)$.
$3(T - 27) = 2.5(37 - T)$.
$3T - 81 = 92.5 - 2.5T$.
$5.5T = 173.5$.
$T = \frac{173.5}{5.5} \approx 31.5^{\circ} C$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ પર પ્રવેશતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2.1 \text{ A}$ છે.
ધારો કે ઉપરની શાખા ($PQ$ અને $QR$) માંથી વહેતો પ્રવાહ $i$ છે.
તેથી,નીચેની શાખા ($PS$ અને $SR$) માંથી વહેતો પ્રવાહ $(I - i) = (2.1 - i) \text{ A}$ થશે.
બંને માર્ગો પર $P$ અને $R$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$V_{PR} = i(R_{PQ} + R_{QR}) = (I - i)(R_{PS} + R_{SR})$
$V_{PR} = i(5 + 1) = (2.1 - i)(12.5 + 2.5)$
$6i = (2.1 - i)(15)$
$6i = 31.5 - 15i$
$21i = 31.5$
$i = \frac{31.5}{21} = 1.5 \text{ A}$.
આમ,$1 \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $1.5 \text{ A}$ છે.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ છે. મીટર બ્રિજની સંતુલન શરત $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l}{100-l}$ છે.
આપેલ છે કે $l = 20 \ cm$,તેથી $\frac{R_1}{R_2} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,જે સૂચવે છે કે $R_2 = 4R_1$.
અહીં $R_2 = 4R_1$ હોવાથી,$R_1$ એ નાનો અવરોધ છે.
જ્યારે $R_1$ સાથે શ્રેણીમાં $15 \ \Omega$ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_1' = R_1 + 15$ થાય છે.
નવું તટસ્થ બિંદુ $l' = 40 \ cm$ છે.
ફરીથી સંતુલન શરતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_1 + 15}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
$R_2 = 4R_1$ મૂકતા: $\frac{R_1 + 15}{4R_1} = \frac{2}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(R_1 + 15) = 8R_1 \Rightarrow 3R_1 + 45 = 8R_1 \Rightarrow 5R_1 = 45 \Rightarrow R_1 = 9 \ \Omega$.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
$p = mv$ અને ગતિઊર્જા $E_K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,આપણને $p = \sqrt{2mE_K}$ મળે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં,$n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $\frac{1}{n^2}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E_K \propto \frac{1}{n^2}$.
તેથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mE_K} \propto \sqrt{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{n}$.
કારણ કે $\lambda = \frac{h}{p}$,તેથી $\lambda \propto n$ થાય.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n = 4)$ થી ધરા અવસ્થા $(n = 1)$ માં કૂદકો મારે છે,ત્યારે નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_{final}$ અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_{initial}$ નો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{final}}{\lambda_{initial}} = \frac{n_{final}}{n_{initial}} = \frac{1}{4}$ થાય છે.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{4}$ ગણી થાય છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી પરિકલ્પના મુજબ,કણની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $v$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $mv = \frac{h}{\lambda} \quad --- (1)$.
કોણીય વેગમાનના ક્વોન્ટાઇઝેશન માટે બોહરના પૂર્વધારણા મુજબ,$n^{\text{th}}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $mv$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $mv = \frac{nh}{2\pi r} \quad --- (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ માંથી $mv$ માટેના પદોને સરખાવતા:
$\frac{h}{\lambda} = \frac{nh}{2\pi r}$.
બંને બાજુથી $h$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{\lambda} = \frac{n}{2\pi r}$.
તેથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{2\pi r}{n}$ છે.

(B) કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m$ દળ અને $E$ ઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગમાન $p_e = \sqrt{2mE}$ થાય. તેથી,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
$E$ ઊર્જા ધરાવતા ફોટોન માટે,વેગમાન $p_p = \frac{E}{c}$ થાય. તેથી,$\lambda_p = \frac{h}{p_p} = \frac{hc}{E}$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \frac{E}{\sqrt{2mE}} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}} = \frac{1}{c} \left[\frac{E}{2m}\right]^{1/2}$ થાય.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
આ કિંમત ડી-બ્રોગ્લી સમીકરણમાં મૂકતા: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\lambda^2 = \frac{h^2}{2mE}$,તેથી $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
ઉત્સર્જિત $X$-કિરણોની કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જાને અનુરૂપ છે,જે આપાત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $E$ જેટલી હોય છે: $E = \frac{hc}{\lambda_0}$.
$E$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{hc}{\lambda_0} = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
$\lambda_0$ માટે ઉકેલતા: $\lambda_0 = \frac{hc \cdot 2m\lambda^2}{h^2} = \frac{2mc\lambda^2}{h}$.

(C) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = V$ છે અને અંતિમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = 2V$ છે.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{2V}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
તેથી,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ના અવયવ જેટલી ઘટે છે.

(B) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત '$V$' દ્વારા પ્રવેગિત વીજભારિત કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
'$m$' દળ અને '$q$' વીજભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ ---$(1)$
'$M$' દળ અને '$q$' વીજભાર ધરાવતા પ્રોટોન માટે (કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન પરના વીજભારનું મૂલ્ય સમાન હોય છે):
$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2Mq(9V)}}$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda}{\lambda_p} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2mqV}}}{\frac{h}{\sqrt{2Mq(9V)}}} = \sqrt{\frac{2Mq(9V)}{2mqV}} = \sqrt{\frac{9M}{m}} = 3\sqrt{\frac{M}{m}}$
તેથી,પ્રોટોન સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઇ:
$\lambda_p = \frac{\lambda}{3} \sqrt{\frac{m}{M}}$

(D) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $P = \sqrt{2mK}$ છે.
જો ગતિઊર્જા ત્રણ ગણી કરવામાં આવે,તો નવી ગતિઊર્જા $K' = 3K$ થાય.
નવું વેગમાન $P'$ એ $P' = \sqrt{2m(3K)} = \sqrt{3} \sqrt{2mK} = \sqrt{3}P$ દ્વારા મળે છે.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = h/P$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નવી તરંગલંબાઈ $\lambda'$ એ $\lambda' = h/P' = h/(\sqrt{3}P) = \lambda / \sqrt{3}$ થાય.
આમ,તરંગલંબાઈ $1/\sqrt{3}$ ના ગુણાંકમાં બદલાશે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $p$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,વેગમાનને $p = \sqrt{2mK}$ તરીકે લખી શકાય.
આ કિંમત તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
જો ગતિઊર્જા $K$ ને બમણી કરીને $K' = 2K$ કરવામાં આવે,તો નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(2K)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2mK}} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$ થાય.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ના અવયવથી બદલાય છે.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{p^2}{2m} = qV$ હોવાથી,વેગમાન $p = \sqrt{2mqV}$ થાય.
આ કિંમતને તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}} = \left( \frac{h}{\sqrt{2mq}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{V}} \right)$ મળે છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \lambda$ અને $x = \frac{1}{\sqrt{V}}$,ઢાળ $\text{slope} = \frac{h}{\sqrt{2mq}}$ મળે છે.
અહીં $h$ અને $q$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\text{slope} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
તેથી,જેનો ઢાળ વધારે તેનું દળ ઓછું.
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $m_4$ માટેની રેખાનો ઢાળ સૌથી વધારે છે.
આમ,$m_4$ એ સૌથી ઓછું દળ ધરાવતો કણ છે.

(B) ખ્યાલ: ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ દિશામાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારની ગતિ.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ છે:
$K = E - W_0$
$K = \frac{1}{2} m v^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$v = \sqrt{\frac{2(E - W_0)}{m}}$
જ્યારે $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો ઈલેક્ટ્રોન $v$ વેગથી $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે વર્તે છે,જેનાથી તે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે:
$e v B = \frac{m v^2}{r}$
$r$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$r = \frac{m v}{e B}$
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{m}{e B} \sqrt{\frac{2(E - W_0)}{m}} = \frac{\sqrt{m^2 \cdot \frac{2(E - W_0)}{m}}}{e B} = \frac{\sqrt{2m(E - W_0)}}{e B}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે ($\lambda$ તરંગલંબાઈ): $K_1 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
બીજા કિસ્સા માટે ($\frac{\lambda}{2}$ તરંગલંબાઈ): $K_2 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
આપેલ છે કે $K_1 = \frac{1}{3} K_2$,તેથી $3K_1 = K_2$.
સમીકરણો મૂકતા: $3(\frac{hc}{\lambda} - \phi) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
$\frac{3hc}{\lambda} - 3\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$.
$\frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 3\phi - \phi$.
$\frac{hc}{\lambda} = 2\phi$.
તેથી,$\phi = \frac{hc}{2\lambda}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2} m v^2 = E_p - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_p$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે $\phi = 0.8 eV$.
$E_1 = 1.3 eV$ ઊર્જા ધરાવતા પ્રથમ ફોટોન માટે:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = 1.3 eV - 0.8 eV = 0.5 eV$ --- $(1)$
$E_2 = 2.8 eV$ ઊર્જા ધરાવતા બીજા ફોટોન માટે:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = 2.8 eV - 0.8 eV = 2.0 eV$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{0.5 eV}{2.0 eV}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{1}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
તેથી,મહત્તમ ઝડપનો ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(C) ખ્યાલ: સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ એ આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરના સમીકરણ દ્વારા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ સાથે સંબંધિત છે:
$eV = K_{\max} = hv - hv_0$
તેથી,
$V = \left(\frac{h}{e}\right)v - \left(\frac{h}{e}\right)v_0$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
અહીં,ઢાળ $m = \frac{h}{e}$ ધન છે,અને $V$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $-\left(\frac{h}{e}\right)v_0$ છે.
જ્યારે $v = v_0$ હોય,ત્યારે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V = 0$ થાય છે.
આમ,આલેખ એ $v = v_0$ બિંદુથી શરૂ થતી અને આવૃત્તિ સાથે રેખીય રીતે વધતી સીધી રેખા છે.
આલેખ $(A)$ આ સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E._{max})$ નીચે મુજબ છે:
$K.E._{max} = E - \phi$
જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે કટ-ઓફ આવૃત્તિ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ) $v$ છે,તેથી વર્ક ફંક્શન $\phi = hv$ થાય.
$2v$ આવૃત્તિ ધરાવતા આપાત વિકિરણની ઊર્જા $E = h(2v) = 2hv$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = 2hv - hv$
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = hv$
$v_{max}^2 = \frac{2hv}{m}$
$v_{max} = \sqrt{\frac{2hv}{m}}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ આ મુજબ છે: $e V = \frac{h c}{\lambda} - \phi$,જેને $\frac{h c}{\lambda} = \phi + e V$ તરીકે લખી શકાય.
$\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_1$ છે:
$\frac{h c}{\lambda} = \phi + e V_1$ --- $(1)$
$\frac{\lambda}{2}$ તરંગલંબાઈ માટે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_2$ છે:
$\frac{h c}{\lambda / 2} = \phi + e V_2 \Rightarrow \frac{2 h c}{\lambda} = \phi + e V_2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $\frac{h c}{\lambda}$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$2(\phi + e V_1) = \phi + e V_2$
$2 \phi + 2 e V_1 = \phi + e V_2$
$e V_2 = 2 e V_1 + \phi$
$e$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$V_2 = 2 V_1 + \frac{\phi}{e}$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોન્સની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h v - h v_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $K_{max} = e V_s$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,આપણને મળે છે $e V_s = h v - h v_0$ ... $(1)$.
બીજા કિસ્સા માટે,$v/2$ આવૃત્તિ અને $V_s/4$ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ સાથે,આપણને મળે છે $e(V_s/4) = h(v/2) - h v_0$ ... $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$e V_s = h v - h v_0$. આ કિંમતને સમીકરણ $(2)$ ને $4$ વડે ગુણીને મૂકતા:
$e V_s = 4(h v/2 - h v_0) = 2h v - 4h v_0$.
$e V_s$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$h v - h v_0 = 2h v - 4h v_0$.
પદોને ગોઠવતા: $3h v_0 = h v$.
તેથી,$v_0 = v/3$.

(D) ફોટોનની ઊર્જાનું સૂત્ર $E = h\nu$ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $\nu = 10^{12} \text{ MHz} = 10^{12} \times 10^6 \text{ Hz} = 10^{18} \text{ Hz}$ છે.
પ્લાન્કનો અચળાંક $h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}$ છે.
ઊર્જાને જૂલ $(J)$ માંથી ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ (eV) માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે તેને પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ વડે ભાગીએ છીએ.
$E(\text{eV}) = \frac{h\nu}{e} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 10^{18}}{1.6 \times 10^{-19}}$.
$E(\text{eV}) = \frac{6.63}{1.6} \times 10^{-34 + 18 + 19} = 4.14375 \times 10^3 \text{ eV}$.
સાર્થક અંકોને ધ્યાનમાં લેતા,$E \approx 4.14 \times 10^3 \text{ eV}$ મળે છે.

(D) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $h = 6.63 \times 10^{-34} J s$, $c = 3 \times 10^8 m/s$, અને $\lambda = 4100 \times 10^{-10} m$.
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4100 \times 10^{-10}} J = 4.85 \times 10^{-19} J$.
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે $e = 1.6 \times 10^{-19} C$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{4.85 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 3.03 eV$.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જો આપાત ફોટોનની ઊર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે હોય.
ધાતુ $A$ માટે: $\Phi_A = 1.92 eV < 3.03 eV$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $B$ માટે: $\Phi_B = 2.0 eV < 3.03 eV$ (ઉત્સર્જન થશે).
ધાતુ $C$ માટે: $\Phi_C = 5 eV > 3.03 eV$ (ઉત્સર્જન થશે નહીં).
તેથી, ધાતુ $A$ અને $B$ ફોટોઈલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરશે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$eV = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$ --- $(1)$
જ્યાં $V$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,$\lambda$ એ આપાત તરંગલંબાઈ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
જ્યારે આપાત તરંગલંબાઈ બદલીને $2\lambda$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V'$ ધારો. સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$eV' = \frac{hc}{2\lambda} - \Phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$eV - eV' = \left( \frac{hc}{\lambda} - \Phi \right) - \left( \frac{hc}{2\lambda} - \Phi \right)$
$e(V - V') = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{2\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$V - V' = \frac{hc}{2e\lambda}$
$V' = V - \frac{hc}{2e\lambda}$

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = h\nu - \phi$
જ્યાં $\phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે કે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu$ છે, તેથી વર્ક ફંક્શન $\phi = h\nu$ થશે.
જ્યારે $2\nu$ આવૃત્તિનું વિકિરણ ધાતુ પર આપાત થાય છે, ત્યારે મહત્તમ ગતિઊર્જા:
$K_{max} = h(2\nu) - h\nu = h\nu$
આપણે જાણીએ છીએ કે $K_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$, તેથી:
$\frac{1}{2}mv_{max}^2 = h\nu$
$v_{max}^2 = \frac{2h\nu}{m}$
$v_{max} = \sqrt{\frac{2h\nu}{m}}$
તેથી, વિકલ્પ $A$ સાચો છે।

(C) ધાતુની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $f_0 = 15 \times 10^{14} \, Hz$ આપેલ છે।
આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = 6000 \, \text{Å} = 6000 \times 10^{-10} \, m$ માટે આવૃત્તિ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \, m/s}{6000 \times 10^{-10} \, m} = \frac{3 \times 10^8}{6 \times 10^{-7}} \, Hz = 0.5 \times 10^{15} \, Hz = 5 \times 10^{14} \, Hz$.
અહીં આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $(f = 5 \times 10^{14} \, Hz)$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(f_0 = 15 \times 10^{14} \, Hz)$ કરતા ઓછી હોવાથી, આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શનને પાર કરવા માટે પૂરતી નથી।
તેથી, ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં।

(B) સૌથી ઝડપી ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V$ એ આ સૌથી ઝડપી ઈલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે જરૂરી પોટેન્શિયલ છે,જેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય મહત્તમ ગતિઊર્જા જેટલું થાય:
$e V = K_{max}$
$e V = \frac{1}{2} m v^2$
$V$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે:
$V = \frac{m v^2}{2 e}$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
આપેલ ધાતુ માટે $h$ અને $\Phi$ અચળ હોવાથી, ગતિઊર્જા $K_{max}$ સીધી રીતે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ $\nu$ પર આધાર રાખે છે.
પ્રકાશની તીવ્રતા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાને અસર કરે છે, પરંતુ તેમની વ્યક્તિગત ગતિઊર્જાને નહીં.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $e$ નીચે મુજબ છે:
$e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$
જો ગૂંચળાનો અવરોધ $R$ હોય,તો પ્રેરિત પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{|e|}{R} = \frac{\Delta \phi}{R \cdot \Delta t}$
$\Delta t$ સમયમાં પરિપથમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = I \cdot \Delta t$
$I$ ની કિંમત મૂકતા:
$Q = \left( \frac{\Delta \phi}{R \cdot \Delta t} \right) \cdot \Delta t$
$Q = \frac{\Delta \phi}{R}$
આમ,પ્રેરિત વિદ્યુતભારનું કુલ મૂલ્ય $\frac{\Delta \phi}{R}$ છે.

(C) ઇન્ડક્ટર (કોઈલ) માં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} L I^2$ છે,જ્યાં $L$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = I$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
જો પ્રવાહ $50 \%$ ઘટાડવામાં આવે,તો નવો પ્રવાહ $I_2 = I - 0.5 I = 0.5 I = \frac{I}{2}$ થાય.
કોઈલમાં સંગ્રહિત નવી ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} L (I_2)^2 = \frac{1}{2} L (\frac{I}{2})^2 = \frac{1}{2} L (\frac{I^2}{4}) = \frac{1}{4} E_1$ થાય.
ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E = E_1 - E_2 = E_1 - \frac{1}{4} E_1 = \frac{3}{4} E_1$ છે.
અહીં $\frac{3}{4} = 0.75$ હોવાથી,ઉર્જામાં $75 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(B) ઇન્ડક્ટર (કોઈલ) માં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} L I^2$ છે,જ્યાં $L$ એ કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ (self-inductance) છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $E \propto I^2$.
શરૂઆતમાં,જ્યારે પ્રવાહ $I$ હોય,ત્યારે ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ ઘટાડીને $I' = I/2$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} L (I/2)^2 = \frac{1}{2} L (I^2/4) = \frac{1}{4} E_1$ થાય છે.
ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E = E_1 - E_2$ છે.
$E_2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta E = E_1 - \frac{E_1}{4} = \frac{3E_1}{4}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: પ્રવાહ $i = 5 \, A$, અવરોધ $R = 1 \, \Omega$, ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \, mH = 5 \times 10^{-3} \, H$, વિદ્યુતચાલક બળ $E = 15 \, V$.
પ્રવાહ ઘટી રહ્યો છે, તેથી $\frac{di}{dt} = -10^3 \, A/s$.
બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$V_A - iR + E - L\left(\frac{di}{dt}\right) = V_B$
$V_A - V_B = iR + L\left(\frac{di}{dt}\right) - E$
કિંમતો મૂકતા:
$V_A - V_B = (5 \, A \times 1 \, \Omega) + (5 \times 10^{-3} \, H \times -10^3 \, A/s) - 15 \, V$
$V_A - V_B = 5 - 5 - 15 = -15 \, V$
તેથી, $V_B - V_A = 15 \, V$.

(B) જ્યારે $S_1$ બંધ હોય છે,ત્યારે કેપેસિટર $C$ એ $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સુધી ચાર્જ થાય છે.
જ્યારે $S_1$ ને ખુલ્લું રાખવામાં આવે છે અને $S_2$ ને બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $C$ અને ઇન્ડક્ટર $L$ એક $LC$ ઓસિલેટિંગ પરિપથ બનાવે છે.
કેપેસિટરમાં શરૂઆતમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
જેમ જેમ કેપેસિટર ડિસ્ચાર્જ થાય છે,તેમ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા $U_B = \frac{1}{2} L I^2$ તરીકે સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે તમામ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા ચુંબકીય ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L}$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.
આમ,પરિપથમાં તત્કાલિન પ્રવાહ આ મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચી શકે છે.

(B) કોઈલ $P$ માં પ્રવાહના ફેરફારને કારણે કોઈલ $S$ માં પ્રેરિત e.m.f. ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = -M \frac{dI}{dt}$.
આપેલ છે,અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = 3 \times 10^{-3} \ H$ અને પ્રવાહ $I = 20 \sin(50 \pi t) \ A$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં પ્રવાહનું વિકલન કરતા: $\frac{dI}{dt} = 20 \times 50 \pi \cos(50 \pi t) = 1000 \pi \cos(50 \pi t) \ A/s$.
e.m.f. ના સમીકરણમાં આ કિંમતો મૂકતા: $E = -(3 \times 10^{-3}) \times (1000 \pi \cos(50 \pi t)) = -3 \pi \cos(50 \pi t) \ V$.
પ્રેરિત e.m.f. નું મહત્તમ મૂલ્ય $|E_{max}| = 3 \pi \ V$ છે.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,આપણને $|E_{max}| = 3 \times 3.14 = 9.42 \ V$ મળે છે.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારને કારણે પરિપથમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ સૂત્ર $q = \frac{\Delta \phi}{R_{total}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R_{total} = R_{galvanometer} + R_{coil} = 200 \ \Omega + 400 \ \Omega = 600 \ \Omega$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = N A \Delta B$ છે,જ્યાં $N = 1000$ અને $A = \pi r^2$.
વ્યાસ $20 \ mm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 10 \ mm = 0.01 \ m$.
આમ,$A = \pi \times (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફાર $\Delta B = |0 - 0.012| = 0.012 \ T$.
આ કિંમતોને વિદ્યુતભારના સૂત્રમાં મૂકતા:
$q = \frac{1000 \times \pi \times 10^{-4} \times 0.012}{600}$
$q = \frac{1000 \times 3.14159 \times 10^{-4} \times 0.012}{600}$
$q = \frac{3.14159 \times 0.012}{600} \times 1000 = \frac{0.037699}{600} \times 1000 \approx 0.0628 \times 10^{-3} \ C = 62.8 \ \mu C$.
નજીકની કિંમત લેતા,$q \approx 63 \ \mu C$ મળે છે.

(D) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
અહીં, $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $I$ એ પ્રવાહ છે。
સોલેનોઇડની અંદર અક્ષને લંબ રૂપે મૂકેલા $A$ ક્ષેત્રફળના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A = \mu_0 n I A$ છે。
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત emf $e = -\frac{d\phi}{dt} = -\mu_0 n A \frac{dI}{dt}$ છે。
આપેલ કિંમતો:
$n = 15 \text{ આંટા/cm} = 1500 \text{ આંટા/m}$.
$A = 2.0 \text{ cm}^2 = 2.0 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
$\frac{dI}{dt} = \frac{4.0 - 2.0}{0.1} = 20 \text{ A/s}$.
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$|e| = (4 \times 3.14 \times 10^{-7}) \times 1500 \times (2.0 \times 10^{-4}) \times 20$.
$|e| = 12.56 \times 10^{-7} \times 1500 \times 2.0 \times 10^{-4} \times 20$.
$|e| = 7.536 \times 10^{-6} \text{ V} \approx 7.54 \times 10^{-6} \text{ V}$.

(C) વર્તુળાકાર ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ તેના કેન્દ્ર પર ગૂંચળાના સમતલને લંબ હોય છે.
બે ગૂંચળા $A$ અને $B$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,ગૂંચળા $A$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ગૂંચળા $B$ ના સમતલમાં હશે અને તેનાથી ઉલટું.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ એ $\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે ગૂંચળાના સમતલને લંબ હોય છે) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ બીજા ગૂંચળાના સમતલને સમાંતર હોવાથી,તે તે ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ સદિશને લંબ હોય છે. આમ,$\theta = 90^\circ$ અને $\cos 90^\circ = 0$ થાય છે.
તેથી,બીજા ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = -d\Phi/dt$ છે. $\Phi = 0$ હોવાથી,પ્રેરિત $EMF$ અને પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય હશે.

(B) કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,$\theta = 0^\circ$ અને $\cos(0^\circ) = 1$ થાય,તેથી $\phi = BA$.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_i = B \cdot A$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $25 \%$ સુધી ઘટાડવામાં આવે છે,તેથી અંતિમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_f = 0.25 B = \frac{B}{4}$ થાય.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_f = \frac{B}{4} \cdot A = \frac{BA}{4}$ થાય.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_i - \phi_f = BA - \frac{BA}{4} = \frac{3BA}{4}$ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $e = \left| \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right|$ છે.
અહીં $\Delta t = 1 \ s$ આપેલ છે,તેથી $e = \frac{3BA/4}{1} = \frac{3AB}{4} \ V$ મળે.

(B) ભ્રમણ કરતા સળિયામાં ઉદ્ભવતું e.m.f. $e$ એ સળિયા દ્વારા ઘેરાતા ક્ષેત્રફળ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ ના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$e = \frac{d\phi}{dt} = B \frac{dA}{dt}$
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણમાં,સળિયો $A = \pi l^2$ જેટલું ક્ષેત્રફળ ઘેરે છે.
જો સળિયો પ્રતિ સેકન્ડ $f$ પરિભ્રમણ કરતો હોય,તો એકમ સમયમાં ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ $\frac{dA}{dt} = f \cdot A = f \cdot \pi l^2$ થાય.
આ કિંમત e.m.f. ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$e = B \cdot (f \cdot \pi l^2)$
આવૃત્તિ $f$ (પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની સંખ્યા) માટે સૂત્ર બનાવતા:
$f = \frac{e}{B \pi l^2}$

(D) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = 4t^2 + 3t + 7$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત e.m.f. $(e)$ નું મૂલ્ય $e = |\frac{d\Phi}{dt}|$ છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં $\Phi$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 + 3t + 7) = 8t + 3$.
તેથી,પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $e = |8t + 3|$ છે.
$t = 2 \ s$ સમયે,સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$e = 8(2) + 3 = 16 + 3 = 19 \ V$.
આમ,$t = 2 \ s$ સમયે પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $19 \ V$ છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ અનુસાર,પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon$ ને $\varepsilon = -N \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,$N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે અને $\frac{d\phi}{dt}$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર છે.
ફ્લક્સમાં ફેરફારનો દર $\frac{d\phi}{dt}$ એ ચુંબકની ઝડપ,ચુંબકીય ક્ષેત્રની પ્રબળતા અને ગૂંચળાના ભૌમિતિક આકાર પર આધાર રાખે છે.
પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon$ એ ગૂંચળાના અવરોધ $(R)$ પર આધાર રાખતું નથી.
નોંધ: જોકે પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R}$ એ અવરોધ પર આધાર રાખે છે,પરંતુ પ્રેરિત e.m.f. પોતે સર્કિટના અવરોધથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
આપણે તકતીને તકતીના કેન્દ્ર અને ધાર વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલા પાતળા સળિયાઓના સમૂહ તરીકે કલ્પી શકીએ છીએ. તેથી,જો આપણે તેની અક્ષની આસપાસ ફરતા પાતળા સળિયા પર પ્રેરિત e.m.f. ની ગણતરી કરીએ,તો તે તકતીના e.m.f. જેટલું જ હોવું જોઈએ.
કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $dr$ લંબાઈના સૂક્ષ્મ ખંડ પર ઉદ્ભવતું ગતિકીય e.m.f. નીચે મુજબ લખી શકાય:
$dE = Bv dr$
રેખીય વેગ $v = \omega r$ લેતા,આપણને મળે છે:
$dE = B \omega r dr$
સળિયા પર $r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરતા:
$E = \int_0^{R} B \omega r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{R} = \frac{B \omega R^2}{2}$

(B) લૂપમાં પ્રેરિત ગતિકીય emf નીચે મુજબ છે: $V = B v l$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ લૂપમાં પ્રવાહ $i = \frac{V}{R} = \frac{B v l}{R}$ છે.
જેમ લૂપ નીચે પડે છે,તેમ તેના પર ઉપરની તરફ ચુંબકીય બળ $F_m = i l B$ લાગે છે. લૂપ અચળ ટર્મિનલ વેગ $v$ સાથે નીચે પડે તે માટે,ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
તેથી,$i l B = m g$.
$i$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$B \left( \frac{B v l}{R} \right) l = m g$
$\frac{B^2 l^2 v}{R} = m g$
$v = \frac{m g R}{B^2 l^2}$.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
ખ્યાલ: ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને આત્મ-પ્રેરકત્વનો ગુણાંક $L$ એ $L = \frac{N\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $I$ એ ગૂંચળામાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$N$ આંટાવાળા ગૂંચળા માટે,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_N = N \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right)$ થાય છે.
દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1 = B_N A = N \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right) A$ છે.
$N$ આંટાઓ માટે કુલ ફ્લક્સ લિંકેજ $\Phi = N \phi_1 = N^2 \left( \frac{\mu_0 I A}{2r} \right)$ છે.
$L = \frac{\Phi}{I}$ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $L = N^2 \left( \frac{\mu_0 A}{2r} \right)$ મળે છે.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ આંટાની સંખ્યાના વર્ગના પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $L \propto N^2$.

(D) લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' નું સૂત્ર $B = \mu_0 n i$ છે,જ્યાં '$n$' એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને '$i$' એ વિદ્યુત પ્રવાહ છે.
'$d$' વ્યાસ ધરાવતા સોલેનોઈડનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ '$A$' એ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
એક આંટા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ '$\phi$' એ $\phi = B \cdot A = (\mu_0 n i) \left( \frac{\pi d^2}{4} \right)$ છે.
સોલેનોઈડની '$l$' લંબાઈ માટે,કુલ આંટાની સંખ્યા $N = n \cdot l$ થાય.
'$l$' લંબાઈ સાથે સંકળાયેલ કુલ ફ્લક્સ '$\Phi$' એ $\Phi = N \cdot \phi = (n l) \left( \mu_0 n i \frac{\pi d^2}{4} \right) = \mu_0 n^2 i l \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
કારણ કે $\Phi = L \cdot i$,તેથી '$l$' લંબાઈ માટે કુલ ઇન્ડક્ટન્સ '$L$' એ $L = \frac{\mu_0 n^2 i l \pi d^2}{4 i} = \frac{\mu_0 n^2 l \pi d^2}{4}$ થાય.
તેથી,એકમ લંબાઈ દીઠ ઇન્ડક્ટન્સ $\frac{L}{l} = \frac{\mu_0 \pi n^2 d^2}{4}$ મળે.

(D) કોઈલ $A$ માં વહેતા પ્રવાહ $i_1$ ને કારણે કોઈલ $B$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\Phi = M i_1$.
અહીં, $M$ એ મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક છે.
આપેલ છે કે પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta i_1 = 0.8 \,A$ છે, જેના પરિણામે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \Phi = 0.16 \,Wb$ છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$M = \frac{\Delta \Phi}{\Delta i_1} = \frac{0.16 \,Wb}{0.8 \,A} = 0.2 \,H$.

(B) $N$ જેટલા નિશ્ચિત આંટા ધરાવતા $\lambda$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\lambda}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $L$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં અને લંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$L$ વધવા માટે,ક્ષેત્રફળ $A$ વધવું જોઈએ અને લંબાઈ $\lambda$ ઘટવી જોઈએ.

(C) જ્યારે $L_1$ અને $L_2$ આત્મ-પ્રેરકત્વ અને $M$ અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ ધરાવતા બે ગૂંચળા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સમતુલ્ય પ્રેરકત્વ $L_{eq}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$L_{eq} = L_1 + L_2 + 2M$
આપેલ છે:
$L_1 = 1 H$
$L_2 = 3 H$
$M = 5 H$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$L_{eq} = 1 H + 3 H + 2(5 H)$
$L_{eq} = 1 H + 3 H + 10 H$
$L_{eq} = 14 H$
તેથી,આ સંયોજનનું સમતુલ્ય આત્મ-પ્રેરકત્વ $14 H$ છે.

(C) પ્રાથમિક ગૂંચળામાં પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $di_1 = (8 - 4) \,A = 4 \,A$ છે.
સમયગાળો $dt = 0.6 \,s$ છે.
ગૌણ ગૂંચળામાં પ્રેરિત e.m.f. $E_2 = 50 \,mV = 50 \times 10^{-3} \,V$ છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ માટેનું સૂત્ર $E_2 = M \cdot \frac{di_1}{dt}$ છે.
$M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, $M = \frac{E_2 \cdot dt}{di_1}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{50 \times 10^{-3} \,V \times 0.6 \,s}{4 \,A}$.
$M = \frac{30 \times 10^{-3}}{4} \,H = 7.5 \times 10^{-3} \,H = 7.5 \,mH$.

(B) આત્મ-પ્રેરકત્વને કારણે કોઈલમાં ઉદભવતા પ્રેરિત emf નું સૂત્ર $e = L \left| \frac{dI}{dt} \right|$ છે。
આપેલ છે:
પ્રેરિત emf $e = 0.5 \,V$
પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = 10 \,A$
અંતિમ પ્રવાહ $I_2 = -10 \,A$ (વિરુદ્ધ દિશા)
પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I = I_2 - I_1 = -10 \,A - 10 \,A = -20 \,A$
સમયગાળો $\Delta t = 0.8 \,s$
પ્રવાહના ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $|\frac{\Delta I}{\Delta t}| = \frac{|-20 \,A|}{0.8 \,s} = \frac{20}{0.8} \,A/s = 25 \,A/s$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$0.5 = L \times 25$
$L = \frac{0.5}{25} \,H = \frac{1}{50} \,H = 0.02 \,H$.
મિલીહેન્રીમાં રૂપાંતર કરતા: $0.02 \,H = 0.02 \times 1000 \,mH = 20 \,mH$.

(D) આત્મ-પ્રેરકત્વનો ગુણાંક $L$ એ $L = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\phi$ એ કોઈલ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $I$ એ તેમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે.
$N$ આંટા ધરાવતા ટોરોઇડ માટે,કુલ ફ્લક્સ $\phi = N \cdot A \cdot B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ટોરોઇડનો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $B$ એ તેની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે,જ્યાં $n = \frac{N}{2 \pi R}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આ કિંમતોને ફ્લક્સના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\phi = N (\pi r^2) (\mu_0 \frac{N}{2 \pi R} I) = \frac{\mu_0 N^2 r^2 I}{2 R}$.
અંતે,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\phi}{I} = \frac{\mu_0 N^2 r^2}{2 R}$ મળે છે.

(C) સોલેનોઇડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 (N/l) I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ આંટાઓની સંખ્યા છે,$l$ લંબાઈ છે અને $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સોલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A N = \mu_0 (N^2/l) A I$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આત્મ-પ્રેરકત્વની વ્યાખ્યા મુજબ,$\phi = L I$.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ મળે છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $L$ એ આંટાઓની સંખ્યા $N$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને લંબાઈ $l$ પર આધાર રાખે છે,પરંતુ તે સોલેનોઇડમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ પર આધાર રાખતું નથી.

(B) સોલેનોઇડના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 (N/l) i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સોલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = N B A = N (\mu_0 N i A / l) = (\mu_0 N^2 A / l) i$ છે.
સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને $L = \Phi / i = \mu_0 N^2 A / l$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $N = 500$,$l = 0.3 \ m$,$A = 25 \times 10^{-4} \ m^2$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$.
$L = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times (500)^2 \times 25 \times 10^{-4}}{0.3} \approx 2.618 \times 10^{-3} \ H$.
સરેરાશ બેક e.m.f. $e = L (\Delta i / \Delta t)$ છે.
અહીં $\Delta i = 2.5 \ A$ અને $\Delta t = 10^{-3} \ s$ આપેલ છે.
$e = (2.618 \times 10^{-3}) \times (2.5 / 10^{-3}) = 2.618 \times 2.5 \approx 6.545 \ V$.
નજીકની કિંમત લેતા,$e \approx 6.5 \ V$.