MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) Ex-$OR$ ગેટ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:
| ઇનપુટ $A$ | ઇનપુટ $B$ | આઉટપુટ $Y = A \oplus B$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ |
Ex-$OR$ ગેટ માટેનું આઉટપુટ સમીકરણ $Y = A \oplus B = (\bar{A} \cdot B) + (A \cdot \bar{B})$ છે.
યાદ રાખવા જેવી મુખ્ય બાબતો:
$(1)$ જ્યારે બંને ઇનપુટ સમાન હોય ત્યારે આઉટપુટ લો $(0)$ હોય છે.
$(2)$ જ્યારે બંને ઇનપુટ અલગ હોય ત્યારે આઉટપુટ હાઈ $(1)$ હોય છે.

(A) આપેલ ઇનપુટ $P = 0$,$Q = 1$,$R = 0$ અને $S = 1$ છે.
$1$. આઉટપુટ $X$ એ $P$ અને $Q$ ઇનપુટ ધરાવતા $AND$ ગેટ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. તેથી,$X = P \cdot Q = 0 \cdot 1 = 0$.
$2$. $NOT$ ગેટનો ઇનપુટ એ $R$ અને $S$ ઇનપુટ ધરાવતા $AND$ ગેટનું આઉટપુટ છે. ધારો કે આ $W$ છે. તેથી,$W = R \cdot S = 0 \cdot 1 = 0$. આઉટપુટ $Y$ એ $W$ નું $NOT$ છે,તેથી $Y = \overline{W} = \overline{0} = 1$.
$3$. આઉટપુટ $Z$ એ $X$ અને $Y$ ઇનપુટ ધરાવતા $NOR$ ગેટ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. તેથી,$Z = \overline{X + Y} = \overline{0 + 1} = \overline{1} = 0$.
આમ,આઉટપુટ $X = 0$,$Y = 1$ અને $Z = 0$ છે.

(D) Exclusive-$OR$ (Ex-$OR$) ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$Y = A \oplus B = \bar{A} \cdot B + A \cdot \bar{B}$
Ex-$OR$ ગેટનું આઉટપુટ ત્યારે જ $HIGH$ $(1)$ મળે છે જ્યારે તેના બંને ઇનપુટ અલગ-અલગ લોજિક લેવલ પર હોય. જો બંને ઇનપુટ સમાન હોય ($0,0$ અથવા $1,1$),તો આઉટપુટ $LOW$ $(0)$ મળે છે.
ટ્રુથ ટેબલની ગણતરી:
$1$. $A=0, B=0$ માટે: $Y = 0 \oplus 0 = 0$
$2$. $A=0, B=1$ માટે: $Y = 0 \oplus 1 = 1$
$3$. $A=1, B=0$ માટે: $Y = 1 \oplus 0 = 1$
$4$. $A=1, B=1$ માટે: $Y = 1 \oplus 1 = 0$
આ પરિણામોને આપેલા કોષ્ટકો સાથે સરખાવતા,કોષ્ટક $(S)$ આ ટ્રુથ ટેબલ સાથે મેળ ખાય છે.

(B) $NAND$ ગેટ માટે બુલિયન અભિવ્યક્તિ $Y = \overline{A \cdot B}$ છે.
$1$. $A = 0, B = 1$ માટે: $Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$. આમ, $C = 1$.
$2$. $A = 0, B = 0$ માટે: $Y = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$. આમ, $D = 1$.
$3$. $A = 1, B = 0$ માટે: $Y = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$. આમ, $E = 1$.
$4$. $A = 1, B = 1$ માટે: $Y = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$. આમ, $F = 0$.
તેથી, મૂલ્યો $C = 1, D = 1, E = 1, F = 0$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ $NOT$ ગેટ તરીકે (કારણ કે તેમના ઇનપુટ્સ શોર્ટ કરેલા છે) અને ત્યારબાદ એક $NAND$ ગેટનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે) $\bar{A}$ છે.
બીજા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ (જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે) $\bar{B}$ છે.
આ બંને આઉટપુટ ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $Y = \overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{(\bar{A} \cdot \bar{B})} = \overline{\bar{A}} + \overline{\bar{B}} = A + B$.
આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
તેથી,આ સંયોજન $OR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(A) ફૂલ-વેવ રેક્ટિફાયર ઇનપુટ $AC$ સાયકલના બંને અર્ધ ભાગોને એક જ ધ્રુવીયતામાં રૂપાંતરિત કરે છે. ફિલ્ટર વિના,આઉટપુટમાં ધબકતા પલ્સની શ્રેણી હોય છે જે હંમેશા એક જ દિશામાં હોય છે (એકદિશીય). જો કે,પ્રવાહનું મૂલ્ય સમય સાથે બદલાતું હોવાથી,તે સ્થિર કે અચળ $DC$ નથી. તેથી,આઉટપુટ એકદિશીય છે પરંતુ અસ્થિર પ્રવાહ છે.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
$p$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,પદાર્થ ટેટ્રાવેલેન્ટ સેમિકન્ડક્ટર ($Si$ અથવા $Ge$ જેવા) ને ટ્રાયવેલેન્ટ અશુદ્ધિના અણુઓ ($B$,$Al$,$Ga$,અથવા $In$ જેવા) સાથે ડોપિંગ કરીને બનાવવામાં આવે છે.
ટ્રાયવેલેન્ટ અણુઓમાં ત્રણ વેલેન્સ ઇલેક્ટ્રોન હોવાથી,જ્યારે તેઓ ટેટ્રાવેલેન્ટ અણુઓ સાથે બંધ બનાવે છે ત્યારે તેઓ સ્ફટિક લેટીસમાં ખાલી જગ્યા અથવા 'હોલ' બનાવે છે.
તેથી,હોલ મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ બને છે અને ઇલેક્ટ્રોન માઇનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ બને છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) $n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર મેળવવા માટે,શુદ્ધ સિલિકોન (સમૂહ $IV$ નું તત્વ) માં આવર્ત કોષ્ટકના સમૂહ $V$ ના પેન્ટાવેલેન્ટ (દાતા) પરમાણુઓ જેવા કે આર્સેનિક $(As)$ અથવા ફોસ્ફરસ $(P)$ ઉમેરવા જોઈએ.
$p$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર મેળવવા માટે,શુદ્ધ સિલિકોનમાં આવર્ત કોષ્ટકના સમૂહ $III$ ના ટ્રાયવેલેન્ટ (સ્વીકારનાર) પરમાણુઓ જેવા કે બોરોન $(B)$ અથવા ગેલિયમ $(Ga)$ ઉમેરવા જોઈએ.
તેથી,$n$-પ્રકાર અને $p$-પ્રકાર માટે અનુક્રમે આપણે સિલિકોનમાં આર્સેનિક અને બોરોન ઉમેરવા જોઈએ.

(A) જે ચાર્જ કેરિયર્સ મોટી સંખ્યામાં હાજર હોય તેને મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ કહેવામાં આવે છે.
$p$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ હોલ્સ હોય છે કારણ કે ટ્રાયવેલેન્ટ અશુદ્ધિના પરમાણુઓ વેલેન્સ બેન્ડમાં ખાલી જગ્યાઓ (હોલ્સ) બનાવે છે.
$n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન હોય છે કારણ કે પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિના પરમાણુઓ કન્ડક્શન બેન્ડમાં વધારાના ઇલેક્ટ્રોન પૂરા પાડે છે.

(C) આંતરિક સેમિકન્ડક્ટરમાં,ઓરડાના તાપમાને વાહકની તુલનામાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ખૂબ ઓછી હોય છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વધુ સહસંયોજક બંધ તૂટે છે,જેના પરિણામે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યામાં વધારો થાય છે.
પરમ શૂન્ય તાપમાને $(T = 0 \ K)$,આંતરિક સેમિકન્ડક્ટર સંપૂર્ણ અવાહક તરીકે વર્તે છે કારણ કે સહસંયોજક બંધ તોડવા માટે પૂરતી ઉષ્મીય ઉર્જા હોતી નથી.
તેથી,પરમ શૂન્ય તાપમાને કોઈ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન હોતા નથી.
વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે પરમ શૂન્યથી ઉપરના તાપમાને મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(A) આંતરિક સેમિકન્ડક્ટર માટે,દ્રવ્યમાન ક્રિયાનો નિયમ જણાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન અને હોલની સાંદ્રતાનો ગુણાકાર એ આંતરિક વાહક સાંદ્રતાના વર્ગ જેટલો હોય છે: $n_e n_h = n_i^2$.
આપેલ છે:
આંતરિક વાહક સાંદ્રતા $n_i = 1.5 \times 10^{16} \ m^{-3}$.
નવી હોલ સાંદ્રતા $n_h = 4.5 \times 10^{22} \ m^{-3}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$n_e = \frac{n_i^2}{n_h}$
$n_e = \frac{(1.5 \times 10^{16})^2}{4.5 \times 10^{22}}$
$n_e = \frac{2.25 \times 10^{32}}{4.5 \times 10^{22}}$
$n_e = 0.5 \times 10^{10} \ m^{-3} = 5 \times 10^9 \ m^{-3}$.

(C) ખ્યાલ: $p$-પ્રકારનો સેમિકન્ડક્ટર આંતરિક સેમિકન્ડક્ટરમાં ટ્રાયવેલેન્ટ અશુદ્ધિઓ ઉમેરીને બનાવવામાં આવે છે.
આ અશુદ્ધિઓ વેલેન્સ બેન્ડની બરાબર ઉપર એક્સેપ્ટર ઉર્જા સ્તરો બનાવે છે.
ઓરડાના તાપમાને,આ એક્સેપ્ટર સ્તરો વેલેન્સ બેન્ડમાંથી ઇલેક્ટ્રોન સ્વીકારે છે,જેનાથી વેલેન્સ બેન્ડમાં મોટી સંખ્યામાં હોલ્સ ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,$p$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ હોલ્સ છે અને માઇનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન છે.

(B) આ ઉપકરણોનો કાર્યકારી સિદ્ધાંત નીચે મુજબ છે:
$(1)$ ફોટોવોલ્ટેઇક સેલ સૌર ઊર્જાનું સીધું વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતર કરે છે.
$(2)$ ફોટો-થર્મલ ઉપકરણો ગરમી ઉત્પન્ન કરવા માટે સૌર વિકિરણોનું શોષણ કરે છે.
$(3)$ ફોટોડાયોડ એ પ્રકાશ-સંવેદનશીલ ઉપકરણ છે જે પ્રકાશના સંપર્કમાં આવતા વિદ્યુત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે,પરંતુ તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે ડિટેક્ટર તરીકે થાય છે.
$(4)$ $LED$ (લાઇટ એમિટિંગ ડાયોડ) વિદ્યુત ઊર્જાનું પ્રકાશ ઊર્જામાં રૂપાંતર કરે છે,જે સોલર સેલથી વિરુદ્ધ છે.
તેથી,જે ઉપકરણો મુખ્યત્વે સૌર ઊર્જા પર કામ કરે છે તે ફોટોવોલ્ટેઇક સેલ અને ફોટો-થર્મલ ઉપકરણો છે.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં કેન્દ્રીય અધિકતમની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{2\lambda D}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટથી પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{red})$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda_{blue})$ કરતા વધારે હોવાથી,વિવર્તન પટ્ટાઓની પહોળાઈ $\beta$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યારે વાદળી પ્રકાશને લાલ પ્રકાશ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે વિવર્તન પટ્ટાઓ પહોળા બને છે.

(A) એક સ્લિટ વિવર્તન માટે, $n$ માં ક્રમના મહત્તમ માટેની શરત $a \sin \theta = (n + 1/2) \lambda$ છે।
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = x/D$, જ્યાં $x$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે અને $D$ એ પડદા સુધીનું અંતર છે।
તેથી, $a(x/D) = (n + 1/2) \lambda$.
દ્વિતીય ક્રમના મહત્તમ માટે, $n = 2$, તેથી $a = \frac{(2 + 1/2) \lambda D}{x} = \frac{2.5 \lambda D}{x}$.
આપેલ છે: $\lambda = 580 \times 10^{-9} \,m$, $D = 2.5 \,m$, $x = 14.5 \times 10^{-3} \,m$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{2.5 \times 580 \times 10^{-9} \times 2.5}{14.5 \times 10^{-3}} \,m$.
$a = \frac{3625 \times 10^{-9}}{14.5 \times 10^{-3}} \,m = 250 \times 10^{-6} \,m = 0.25 \times 10^{-3} \,m \approx 0.26 \times 10^{-3} \,m$.

(B) $n$-માં વિવર્તન ન્યૂનતમ માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ ન્યૂનતમનો ક્રમ છે.
બીજા ન્યૂનતમ માટે,આપણે $n = 2$ લઈએ છીએ,જે પથ તફાવત $\Delta x = 2\lambda$ આપે છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
બીજા ન્યૂનતમ માટે $\Delta x$ ની કિંમત મૂકતા:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} (2\lambda) = 4\pi$.
તેથી,બીજા ન્યૂનતમ પર સ્લિટની બે ધારમાંથી આવતા કિરણો વચ્ચેનો કળા તફાવત $4\pi$ છે.

(B) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કોણીય પહોળાઈ $\theta$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $d$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\theta \propto \frac{1}{d}$).
તેથી,જેમ સ્લિટની પહોળાઈ $d$ વધે છે,તેમ મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ ઘટે છે.

(D) એક સ્લિટ વિવર્તન માટે,ન્યૂનતમની શરત $d \sin \theta = n\lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
પ્રથમ ન્યૂનતમ $(n=1)$ માટે,$d \sin 30^{\circ} = \lambda$.
$\sin 30^{\circ} = 0.5$ હોવાથી,$d(0.5) = \lambda$,જેનો અર્થ છે કે $d = 2\lambda$.
ગૌણ અધિકતમ માટેની શરત $d \sin \theta = (n + \frac{1}{2})\lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
પ્રથમ ગૌણ અધિકતમ $(n=1)$ માટે,$d \sin \theta = (1 + \frac{1}{2})\lambda = \frac{3}{2}\lambda$.
સમીકરણમાં $d = 2\lambda$ મૂકતા:
$2\lambda \sin \theta = \frac{3}{2}\lambda$
$\sin \theta = \frac{3}{4}$
$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મુખ્ય અધિકતમની રેખીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{2 \lambda D}{d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મુખ્ય અધિકતમની રેખીય પહોળાઈ સ્લિટની પહોળાઈ જેટલી છે,તેથી $\beta = d$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $d = \frac{2 \lambda D}{d}$ મળે છે.
$D$ ને કર્તા બનાવતા,$D = \frac{d^{2}}{2 \lambda}$ મળે છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે જ્યારે એક તરંગનું શૃંગ બીજા તરંગના શૃંગ સાથે સંપાત થાય છે,ત્યારે કંપવિસ્તારનો સરવાળો થાય છે,જેના પરિણામે સહાયક વ્યતિકરણ રચાય છે,વિનાશક વ્યતિકરણ નહીં.
વિધાન $B$ સાચું છે કારણ કે,વ્યાખ્યા મુજબ,સુસંબદ્ધ ઉદગમો એવા ઉદગમો છે જે સમાન આવૃત્તિના પ્રકાશના તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.

(A) વ્યતિકરણમાં,શલાકાઓ સમાન તેજસ્વી અને સમાન અંતરે હોય છે,અને પ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા દરેક આપાત તરંગની તીવ્રતા કરતા ચાર ગણી હોય છે.
કોઈ બિંદુ પર પરિણામી તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}\cos\delta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_1$ અને $I_2$ એ બે સ્ત્રોતોમાંથી આવતા તરંગોની તીવ્રતા છે.
સહાયક વ્યતિકરણ માટે,એક તરંગનું શૃંગ બીજા તરંગના શૃંગ સાથે સંપાત થાય છે,અથવા ગર્ત ગર્ત સાથે સંપાત થાય છે. વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે વર્ણવેલ સ્થિતિ (શૃંગ અને ગર્તનું સંપાત) વિનાશક વ્યતિકરણ તરફ દોરી જાય છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમ પર સહાયક વ્યતિકરણ માટે,કળા તફાવત $\delta = 0$ હોય છે.
જો $I_1 = I_2 = I$ હોય,તો $I_{\max} = I + I + 2\sqrt{I}\sqrt{I}\cos(0) = 4I$.
આમ,વિધાનો $A$ અને $B$ સાચા છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત એ છે કે પથ તફાવત $\Delta x$ એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = (2n-1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \ldots$.
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પથ તફાવતનું સૂત્ર કળા તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (2n-1) \frac{\lambda}{2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\Delta \phi = (2n-1) \pi$ રેડિયન.
આમ,$n$ મી અપ્રકાશિત શલાકા માટે કળા તફાવત $(2n-1) \pi$ છે.

(A) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right)$.
કારણ કે $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $I = I_0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{I_0}{2}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{I_0}{I} = \frac{I_0}{I_0/2} = 2$,એટલે કે $2: 1$ થાય.

(B) સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$
વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{87}{2} \lambda = 87 \left( \frac{\lambda}{2} \right)$ છે.
આને અપ્રકાશિત શલાકાની શરત સાથે સરખાવતા: $(2n - 1) \frac{\lambda}{2} = 87 \frac{\lambda}{2}$.
$2n - 1 = 87$
$2n = 88$
$n = 44$.
તેથી,આ બિંદુ $44^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકા દર્શાવે છે.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તનમાં $n$-માં ગૌણ મહત્તમ માટે,સ્લિટની ધાર પરથી આવતા કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ ગૌણ મહત્તમનો ક્રમ દર્શાવે છે.
પ્રથમ ગૌણ મહત્તમ $(n = 1)$ માટે,પથ તફાવત $x_1 = (2(1) + 1) \frac{\lambda}{2} = \frac{3\lambda}{2}$ થાય.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} x$ છે.
$x_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \frac{3\lambda}{2} \right) = 3\pi$ મળે છે.

(D) ધારો કે બે તરંગોના કંપવિસ્તાર $A_1 = 5x$ અને $A_2 = x$ છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max}$ એ કંપવિસ્તારના સરવાળાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2 = (5x + x)^2 = (6x)^2 = 36x^2$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min}$ એ કંપવિસ્તારના તફાવતના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2 = (5x - x)^2 = (4x)^2 = 16x^2$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{36x^2}{16x^2} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$ થાય.

(B) પડદા પરના કોઈ બિંદુ $P$ પર,જે કેન્દ્રથી $y$ અંતરે છે,ત્યાં પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \left( \frac{y}{D} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત એ તરંગલંબાઈના અડધા ભાગનો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ: $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે $n = 1$ લેતા,$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$ મળે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા એક સ્લિટની બરાબર સામે જોવા મળે છે. કેન્દ્રથી સ્લિટનું અંતર $d/2$ છે. તેથી,$y = d/2$.
આ કિંમતોને પથ તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{d}{2} \cdot \frac{d}{D} = \frac{\lambda}{2}$
$\frac{d^2}{D} = \lambda$
તેથી,પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{d^2}{D}$ છે.

(D) માઈકા ફિલ્મ દ્વારા ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,ફ્રિન્જ પેટર્નમાં સ્થાનાંતર $\Delta y$ એ પથ તફાવત સાથે $\Delta y = \frac{D}{d} \Delta x = \frac{D}{d} (\mu - 1)t$ સંબંધ ધરાવે છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ હોવાથી,આપણે સ્થાનાંતરને $\Delta y = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1)t$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર ફ્રિન્જની પહોળાઈ જેટલું છે,$\Delta y = \beta$,તેથી $\beta = \frac{\beta}{\lambda} (\mu - 1)t$.
આ સમીકરણ $(\mu - 1)t = \lambda$ માં પરિણમે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\mu - 1 = \frac{\lambda}{t} = \frac{6 \times 10^{-5} \text{ cm}}{12 \times 10^{-5} \text{ cm}} = 0.5$.
તેથી,$\mu = 0.5 + 1 = 1.5$.

(B) ફ્રિન્જ વચ્ચેનું કોણીય અંતર $\theta$ એ સૂત્ર $\theta = \frac{\beta}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ ફ્રિન્જની પહોળાઈ છે અને $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ હોવાથી,તેને $\theta$ ના સમીકરણમાં મૂકતા $\theta = \frac{(\frac{D \lambda}{d})}{D} = \frac{\lambda}{d}$ મળે છે.
અહીં,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જેમ કે $\theta$ ના સમીકરણમાં $D$ પદનો સમાવેશ થતો નથી,તેથી કોણીય અંતર એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેના અંતરથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જ્યારે અંતર બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોણીય અંતર સમાન રહે છે.

(C) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ શલાકાઓની સંખ્યા $n$ એ શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,$n \propto \frac{1}{\beta}$ મળે.
તેથી,$n \propto \frac{1}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
અહીં $n_1 = 15$ શલાકા/$cm$,$\lambda_1 = 5600$ Å,અને $\lambda_2 = 7000$ Å આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $15 \times 5600 = n_2 \times 7000$.
$n_2 = \frac{15 \times 5600}{7000} = \frac{15 \times 56}{70} = \frac{15 \times 8}{10} = \frac{120}{10} = 12$.
આમ,પ્રતિ $cm$ $12$ શલાકાઓ મળશે.

(D) શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $d$ એ બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રથમ સ્થિતિ માટે: $W_1 = \frac{\lambda D_1}{d}$
બીજી સ્થિતિ માટે: $W_2 = \frac{\lambda D_2}{d}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $W_1 - W_2 = \frac{\lambda}{d}(D_1 - D_2)$
$d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $d = \frac{\lambda(D_1 - D_2)}{(W_1 - W_2)}$

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ થાય છે.
આપેલ તીવ્રતા $K = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ છે.
હવે,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
નવી તીવ્રતા $K'$ એ $K' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $K' = 4I_0 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$ મળે છે.
કારણ કે $K = 4I_0$,તેથી $2I_0 = \frac{K}{2}$ થાય.
તેથી,તીવ્રતા $\frac{K}{2}$ હશે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\omega = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ્સથી પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે।
પડદાના અંતરમાં ફેરફાર $\Delta D = 5 \times 10^{-2} \, m$ અને ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં ફેરફાર $\Delta \omega = 3 \times 10^{-5} \, m$ આપેલ છે, તેથી સંબંધ $\Delta \omega = \frac{\lambda (\Delta D)}{d}$ થશે।
$\lambda$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\lambda = \frac{d \cdot \Delta \omega}{\Delta D}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{(10^{-3} \, m)(3 \times 10^{-5} \, m)}{5 \times 10^{-2} \, m} = \frac{3 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-2}} = 0.6 \times 10^{-6} \, m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં રૂપાંતર કરતા: $\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \times 10^{10} \, \text{\AA} = 6000 \, \text{\AA}$.

(B) ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\theta = \frac{\lambda}{d}$
આપેલ છે કે,હવામાં $\theta = 0.20$ રેડિયન છે.
જ્યારે આખી સિસ્ટમને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે,જ્યાં $\mu$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
નવી કોણીય ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\theta'$ છે:
$\theta' = \frac{\lambda'}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta}{\mu}$
આપેલ છે કે $\mu = \frac{4}{3}$,તેથી:
$\theta' = \frac{0.20}{4/3} = 0.20 \times \frac{3}{4} = 0.15$ રેડિયન.
આમ,પાણીમાં ફ્રિન્જની કોણીય પહોળાઈ $0.15$ રેડિયન થશે.

(D) ખ્યાલ: બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં,$n^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d}$.
અહીં આપેલ છે કે $4^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકા એક સ્લિટની સામે રચાય છે,તેથી મધ્યસ્થ અક્ષથી સ્લિટનું અંતર $y = \frac{d}{2}$ થાય.
$n = 4$ માટે,સ્થાન $y_4 = (2(4) - 1) \frac{\lambda D}{2d} = \frac{7 \lambda D}{2d}$ થશે.
$y_4$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{7 \lambda D}{2d} = \frac{d}{2}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $7 \lambda D = d^2 \implies \lambda = \frac{d^2}{7D}$.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,$\beta = \frac{\lambda D}{d}$.
નવી પરિસ્થિતિમાં,ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d' = 2d$ થાય છે અને સ્લિટ તથા આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર $D' = 2D$ થાય છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{(2d)} = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\beta' = \beta$,જેનો અર્થ છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર: $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં આપેલ છે કે સ્લિટનું અંતર $d$ ત્રણ ગણું કરવામાં આવે છે,એટલે કે $d' = 3d$,જ્યારે $\lambda$ અને $D$ અચળ રહે છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ આ મુજબ થશે: $\beta' = \frac{\lambda D}{d'} = \frac{\lambda D}{3d} = \frac{1}{3} \beta$.
તેથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ મૂળ પહોળાઈ કરતા $\frac{1}{3}$ ગણી થઈ જશે.

(D) જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાતળી પારદર્શક પ્લેટને વ્યતિકરણ પામતા તરંગોમાંથી એકના માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ઉદ્ભવતો વધારાનો પ્રકાશીય પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ પથ તફાવત પ્રકાશની તરંગલંબાઈના અડધા જેટલો છે,એટલે કે $\Delta x = \frac{\lambda}{2}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $(\mu - 1)t = \frac{\lambda}{2}$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{\lambda}{2(\mu - 1)}$ મળે છે.

(C) $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં $L$ ભૌતિક પથ લંબાઈ માટે ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $\Delta = \mu L$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિરણ માટે,ઓપ્ટિકલ પથ $\Delta_1 = \mu_1 L_1$ છે.
બીજા કિરણ માટે,ઓપ્ટિકલ પથ $\Delta_2 = \mu_2 L_2$ છે.
બે કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x = |\Delta_1 - \Delta_2| = |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,કળા તફાવત $\frac{2 \pi}{\lambda} |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સૂત્ર $\frac{2 \pi}{\lambda} [\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2]$ છે.

(B) ધારો કે બે તરંગોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે.
આપેલ છે: $I_1/I_2 = 49/16$.
તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\sqrt{I_1}/\sqrt{I_2} = A_1/A_2 = \sqrt{49}/\sqrt{16} = 7/4$ થશે.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{7 + 4}{7 - 4}\right)^2 = \left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $121:9$ છે.

(B) વિનાશક વ્યતિકરણ માટેની શરત એ છે કે પથ તફાવત $\Delta x$ એ $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = 31.5 \lambda = \frac{63}{2} \lambda = 63 \left( \frac{\lambda}{2} \right)$ છે.
અહીં $63$ એ એકી પૂર્ણાંક હોવાથી,પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક છે.
તેથી,આ બિંદુ વિનાશક વ્યતિકરણ દર્શાવે છે,જે અંધારું બિંદુ બનાવે છે.

(C) શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે,તેથી $Q_1 = Q_2$.
ધારો કે બિંદુ $D$ આગળનું સ્થિતિમાન $V$ છે.
કેપેસિટર $C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1(V_1 - V)$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2(V - V_2)$ છે.
વિદ્યુતભારોને સરખાવતા: $C_1(V_1 - V) = C_2(V - V_2)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $C_1 V_1 - C_1 V = C_2 V - C_2 V_2$.
$V$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $C_1 V_1 + C_2 V_2 = V(C_1 + C_2)$.
તેથી,બિંદુ $D$ આગળનું સ્થિતિમાન $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ થશે.