MHT CET 2022 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \frac{l}{KA}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે,એટલે કે $A_A = A_B = A$.
ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{3}{2}$ આપેલ છે.
બંને સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ સમાન હોવાથી,$R_A = R_B$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{l_A}{K_A A} = \frac{l_B}{K_B A}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{l_A}{l_B} = \frac{K_A}{K_B}$ મળે.
આપેલ ગુણોત્તર કિંમત મૂકતા,$\frac{l_A}{l_B} = \frac{3}{2}$ થાય.

(A) ઉષ્મા વહનનો દર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\frac{Q}{t} = \frac{k A (T_1 - T_2)}{l}$.
ઓગાળતી વખતે અને નવો આકાર આપતી વખતે પદાર્થનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$A_1 l_1 = A_2 l_2$ થાય.
આપેલ છે કે નવી લંબાઈ $l_2 = 4 l_1$ છે,તેથી કદના સમીકરણમાં મૂકતા: $A_1 l_1 = A_2 (4 l_1)$,જે આપણને $A_2 = \frac{A_1}{4}$ આપે છે.
નવા સળિયા માટે,'$t$' સમયમાં વહન પામતી ઉષ્મા $Q_2 = \frac{k A_2 (T_1 - T_2) t}{l_2}$ છે.
$A_2 = \frac{A_1}{4}$ અને $l_2 = 4 l_1$ ને $Q_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Q_2 = \frac{k (A_1 / 4) (T_1 - T_2) t}{4 l_1} = \frac{1}{16} \frac{k A_1 (T_1 - T_2) t}{l_1}$.
કારણ કે $Q_1 = \frac{k A_1 (T_1 - T_2) t}{l_1}$,તેથી આપણને $Q_2 = \frac{1}{16} Q_1$ મળે છે.
તેથી,$\frac{Q_1}{Q_2} = 16$ થાય.

(B) ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણાંક $(K)$ એ સળિયાના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે પદાર્થની ઉષ્મા વહન કરવાની ક્ષમતા દર્શાવે છે.
તે સળિયાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,લંબાઈ અથવા દળ જેવા ભૌતિક પરિમાણો પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,તે માત્ર સળિયાના દ્રવ્ય પર જ આધાર રાખે છે.

(B) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $\dot{Q}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\dot{Q} = \frac{KA \Delta T}{l}$.
અહીં,$K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $l$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે બંને સળિયા $P$ અને $Q$ માટે લંબાઈ $l$ અને તાપમાનનો તફાવત $\Delta T$ સમાન છે,તેથી ઉષ્મા વહનનો દર $KA$ ના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સળિયા $Q$ માંથી ઉષ્મા વહનનો દર સળિયા $P$ કરતા ત્રણ ગણો છે:
$(\dot{Q})_Q = 3 (\dot{Q})_P$
સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{K_2 A_2 \Delta T}{l} = 3 \left( \frac{K_1 A_1 \Delta T}{l} \right)$
કારણ કે $l$ અને $\Delta T$ સમાન છે,તેથી તે બંને બાજુથી ઉડી જશે:
$K_2 A_2 = 3 K_1 A_1$ અથવા $3 K_1 A_1 = K_2 A_2$.

(A) પ્રથમ સ્લેબમાંથી પસાર થતો ઉષ્મા પ્રવાહ $\dot{Q}_1 = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{d_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજા સ્લેબ માટે,ઉષ્મા પ્રવાહ $\dot{Q}_2 = \frac{K_2 A (T - T_2)}{d_2}$ છે.
જેમ કે સ્લેબ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,બંનેમાંથી સમાન ઉષ્મા પ્રવાહ વહે છે,તેથી $\dot{Q}_1 = \dot{Q}_2$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{K_1 A (T_1 - T)}{d_1} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{d_2}$.
બંને બાજુથી $A$ દૂર કરતા: $\frac{K_1 (T_1 - T)}{d_1} = \frac{K_2 (T - T_2)}{d_2}$.
ગુણાકાર કરતા: $K_1 d_2 (T_1 - T) = K_2 d_1 (T - T_2)$.
વિસ્તરણ કરતા: $K_1 d_2 T_1 - K_1 d_2 T = K_2 d_1 T - K_2 d_1 T_2$.
$T$ માટે ગોઠવતા: $K_1 d_2 T_1 + K_2 d_1 T_2 = T (K_1 d_2 + K_2 d_1)$.
આમ,$T = \frac{K_1 T_1 d_2 + K_2 T_2 d_1}{K_1 d_2 + K_2 d_1}$.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ખ્યાલ:
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થની ઉત્સર્જક શક્તિ $(E)$ નું સૂત્ર $E = e \sigma T^4$ છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓની ઉત્સર્જક શક્તિ સમાન છે,તેથી $E_1 = E_2$.
તેથી,$e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$.
આના પરથી $\frac{T_1^4}{T_2^4} = \frac{e_2}{e_1}$ મળે.
ઉત્સર્જકતાનો ગુણોત્તર $e_1 : e_2 = 1 : 4$ આપેલ છે,તેથી $\frac{e_2}{e_1} = \frac{4}{1} = 4$.
આમ,$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4 = 4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,$\frac{T_1}{T_2} = (4)^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.
તેથી,$T_1 : T_2$ નો ગુણોત્તર $\sqrt{2} : 1$ થાય.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ,$\lambda_m T = b$,જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે.
જો $v_m$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda_m$ ને અનુરૂપ આવૃત્તિ હોય,તો $\lambda_m = \frac{c}{v_m}$ થાય.
આ કિંમત સ્થાનાંતરના નિયમમાં મૂકતા,આપણને $\left(\frac{c}{v_m}\right) T = b$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$v_m = \left(\frac{c}{b}\right) T$ મળે છે.
અહીં $c$ (પ્રકાશની ઝડપ) અને $b$ (વીનનો અચળાંક) અચળ હોવાથી,$v_m \propto T$ થાય.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જે આલેખમાં $B$ રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો જવાબ છે.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,જે તરંગલંબાઇ પર વિકિરણ ઉર્જા ઘનતા મહત્તમ હોય $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$\lambda_m T = \text{constant}$
આપેલ છે કે તાપમાન $T$ પર,મહત્તમ મૂલ્ય $\lambda_0$ પર છે,તેથી:
$\lambda_0 T = \lambda' T'$
અહીં,$T' = 2T$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda_0 T = \lambda' (2T)$
$\lambda' = \frac{\lambda_0 T}{2T} = \frac{\lambda_0}{2}$
તેથી,તાપમાન $2T$ પર,મહત્તમ ઉર્જા ઘનતા $\frac{\lambda_0}{2}$ તરંગલંબાઇ પર જોવા મળશે.

(C) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર: $\frac{dT}{dt} = -k(T_{avg} - T_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{avg} = \frac{T_1 + T_2}{2}$ અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
કિસ્સો $(1)$: $75^{\circ} C$ થી $65^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ થવા માટે $2 \text{ min}$ લાગે છે.
$T_{avg} = \frac{75 + 65}{2} = 70^{\circ} C$.
ઠંડા થવાનો દર = $\frac{75 - 65}{2} = \frac{10}{2} = 5^{\circ} C/\text{min}$.
તેથી,$5 = k(70 - 30) = k(40) \Rightarrow k = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} \text{ min}^{-1}$.
કિસ્સો $(2)$: $55^{\circ} C$ થી $45^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ થવા માટે $t \text{ min}$ લાગે છે.
$T_{avg} = \frac{55 + 45}{2} = 50^{\circ} C$.
ઠંડા થવાનો દર = $\frac{55 - 45}{t} = \frac{10}{t} ^{\circ} C/\text{min}$.
નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{10}{t} = k(50 - 30) = k(20)$.
$k = \frac{1}{8}$ મૂકતા:
$\frac{10}{t} = \frac{1}{8} \times 20 = 2.5$.
$t = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ min}$.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ વર્ણપટની તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$
આવૃત્તિ $f$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $f = \frac{c}{\lambda}$ છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,તેથી $\lambda \propto \frac{1}{f}$.
આ કિંમત વીનના નિયમમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} \propto \frac{1}{T} \Rightarrow f \propto T$
તેથી,જો તાપમાન $T$ બમણું કરવામાં આવે,તો જે આવૃત્તિએ વર્ણપટની તીવ્રતા મહત્તમ બને છે તે આવૃત્તિ $f$ પણ બમણી થશે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$T$ તાપમાને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા કાળા ગોળામાંથી ઉત્સર્જિત વિકિરણનો દર $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4\pi R^2$ એ ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
આમ,$E \propto R^2 T^4$.
ધારો કે પ્રારંભિક દર $E_1 = E$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $R_1 = R$ અને તાપમાન $T_1 = T$ છે.
નવો દર $E_2$ માટે ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{R}{3}$ અને તાપમાન $T_2 = 3T$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E} = \left(\frac{R/3}{R}\right)^2 \left(\frac{3T}{T}\right)^4 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 (3)^4 = \frac{1}{9} \times 81 = 9$.
તેથી,$E_2 = 9E$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર: $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ છે.
ગોળાઓ સમાન તાપમાન $T$ પર અને સમાન વાતાવરણ $T_0$ માં હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,$dQ/dt \propto R^2$.
ઠંડા થવાનો દર $dT/dt = (dQ/dt) / (mc)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $m$ એ દળ અને $c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
દળ $m = \rho V = \rho (4/3 \pi R^3)$,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે.
તેથી,ઠંડા થવાનો દર $dT/dt \propto R^2 / R^3 = 1/R$.
આમ,પ્રારંભિક ઠંડા થવાના દરનો ગુણોત્તર $(dT/dt)_1 / (dT/dt)_2 = R_2 / R_1$ થાય છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થનો કુલ ઉત્સર્જક પાવર $E = \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
વિનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T = \frac{b}{\lambda_m}$,જ્યાં $b$ એ વિનનો અચળાંક છે.
$E$ ના સમીકરણમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E \propto (\frac{1}{\lambda_m})^4 = \frac{1}{\lambda_m^4}$ મળે છે.
નોંધો કે કૃષ્ણ પદાર્થનો ઉત્સર્જક પાવર $E$ ફક્ત તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તેના ક્ષેત્રફળ કે ત્રિજ્યા પર નહીં.
આપેલ છે: $\lambda_x = 200 \ nm, \lambda_y = 300 \ nm, \lambda_z = 400 \ nm$.
$E \propto \frac{1}{\lambda_m^4}$ હોવાથી:
$E_x \propto \frac{1}{200^4}$
$E_y \propto \frac{1}{300^4}$
$E_z \propto \frac{1}{400^4}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$200 < 300 < 400$ હોવાથી,$\frac{1}{200^4} > \frac{1}{300^4} > \frac{1}{400^4}$ થાય.
તેથી,$E_x > E_y > E_z$,જેનો અર્થ છે કે $E_x$ મહત્તમ છે.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની ઉત્સર્જક શક્તિ $E$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ (કેલ્વિનમાં) ના ચતુર્થ ઘાત ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$E = \sigma T^4$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273^{\circ} C = 273 + 273 = 546 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 0^{\circ} C = 0 + 273 = 273 \ K$.
પ્રારંભિક ઉત્સર્જક શક્તિ $E_1 = R$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
$\frac{E_2}{R} = \left( \frac{273}{546} \right)^4$
$\frac{E_2}{R} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$
$E_2 = \frac{R}{16}$.

(C) વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઊર્જા ઉત્સર્જન માટેની તરંગલંબાઇ $\lambda_m$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\lambda_m T = b$ (જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક છે).
તેથી,$\lambda_{mA} T_A = \lambda_{mB} T_B$.
આપેલ છે કે $T_A = 3 T_B$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda_{mA} (3 T_B) = \lambda_{mB} T_B \implies \lambda_{mB} = 3 \lambda_{mA}$.
આપણને તરંગલંબાઇનો તફાવત પણ આપેલ છે:
$\lambda_{mB} - \lambda_{mA} = 4 \mu m$.
$\lambda_{mB} = 3 \lambda_{mA}$ ને તફાવતના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3 \lambda_{mA} - \lambda_{mA} = 4 \mu m \implies 2 \lambda_{mA} = 4 \mu m \implies \lambda_{mA} = 2 \mu m$.
હવે,$\lambda_{mB}$ ની ગણતરી કરતા:
$\lambda_{mB} = 3 \lambda_{mA} = 3(2 \mu m) = 6 \mu m$.

(C) ખ્યાલ: સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,તાપમાન $T$ પર $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ વિકિરણ ઉર્જા $E = \sigma A T^4$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર તારા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
તેથી,$E = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
તારા $(P)$ માટે: ત્રિજ્યા $= R$,તાપમાન $= T$.
તેથી,$E_P = \sigma (4 \pi R^2) T^4$.
તારા $(Q)$ માટે: ત્રિજ્યા $= 8R$,તાપમાન $= T/4$.
તેથી,$E_Q = \sigma (4 \pi (8R)^2) (T/4)^4$.
ગુણોત્તરની ગણતરી:
$\frac{E_P}{E_Q} = \frac{\sigma (4 \pi R^2) T^4}{\sigma (4 \pi (64 R^2)) (T^4 / 256)} = \frac{T^4}{64 R^2 \cdot (T^4 / 256)} = \frac{256}{64} = 4$.
આમ,$(P)$ અને $(Q)$ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) કૃષ્ણ પદાર્થ એ એક આદર્શ ભૌતિક પદાર્થ છે જે તમામ આપાત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોનું શોષણ કરે છે.
પ્લાન્કના કૃષ્ણ પદાર્થના વિકિરણના નિયમ અનુસાર,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા તરંગલંબાઇ સાથે બદલાય છે.
ઉત્સર્જન વર્ણપટ સતત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે તમામ તરંગલંબાઇઓ પર વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
જો કે,તીવ્રતા તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે અચળ હોતી નથી; તે એક ચોક્કસ વિતરણ વક્ર (પ્લાન્કનું વિતરણ) ને અનુસરે છે જે પદાર્થના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તેથી,એવું વિધાન કે તમામ તરંગલંબાઇઓ માટે તીવ્રતા સમાન હોય છે,તે ખોટું છે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,તાપમાન $T$ એ મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $T \propto \frac{1}{\lambda_{\max }}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
ડિસ્ક માટે $A = \pi r^2$ હોવાથી (બંને બાજુથી ઉત્સર્જન ગણતા,$A = 2\pi r^2$),આપણને $P \propto r^2 T^4$ મળે છે.
$T \propto \frac{1}{\lambda_{\max }}$ મૂકતા,આપણને $P \propto \frac{r^2}{\lambda_{\max }^4}$ મળે છે.
આપેલ ત્રિજ્યા $r_x = 2 \ m, r_y = 2 \ m, r_z = 6 \ m$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda_x = 3 \ \mu m, \lambda_y = 4 \ \mu m, \lambda_z = 5 \ \mu m$ માટે:
$P_x \propto \frac{2^2}{3^4} = \frac{4}{81} \approx 0.049$
$P_y \propto \frac{2^2}{4^4} = \frac{4}{256} = 0.0156$
$P_z \propto \frac{6^2}{5^4} = \frac{36}{625} = 0.0576$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$P_z > P_x > P_y$ મળે છે. તેથી,$P_z$ મહત્તમ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ખ્યાલ: તાપમાન $T$ પર ધાતુના સળિયાની લંબાઈ $l = l_0(1 + \alpha \Delta T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_0$ એ પ્રારંભિક લંબાઈ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
ધારો કે તાપમાન $T$ પર પિત્તળ અને સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ અનુક્રમે $l_b$ અને $l_s$ છે.
$l_b = l_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$
$l_s = l_2(1 + \alpha_2 \Delta T)$
લંબાઈનો તફાવત $l_s - l_b = l_2(1 + \alpha_2 \Delta T) - l_1(1 + \alpha_1 \Delta T)$ દ્વારા મળે છે.
$l_s - l_b = (l_2 - l_1) + (l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1) \Delta T$.
કારણ કે તફાવત $(l_2 - l_1)$ તમામ તાપમાને અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T$ વાળું પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,$l_2 \alpha_2 - l_1 \alpha_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $l_1 \alpha_1 = l_2 \alpha_2$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલન લેતા,આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$,તેથી $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \theta = 20^{\circ} C - 15^{\circ} C = 5^{\circ} C$ છે.
એક દિવસમાં કુલ સમય $T = 24 \times 60 \times 60 = 86,400 \ s$ છે.
પ્રતિ દિવસ સમયમાં થતી ભૂલ $\Delta T = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta \times T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta T = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 5 \times 86,400$.
$\Delta T = 0.6 \times 10^{-5} \times 5 \times 86,400 = 3 \times 10^{-5} \times 86,400 = 2.592 \ s \approx 2.6 \ s$.

(A) કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta V = V \times \gamma \times \Delta T$, જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે。
કારણ કે $\gamma = 3\alpha$, તેથી સૂત્ર આ મુજબ થશે: $\Delta V = V \times (3\alpha) \times \Delta T$.
આપેલ છે: $V = 500 \,cm^3$, $\alpha = 12 \times 10^{-6} /^{\circ} C$, અને $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta V = 500 \times (3 \times 12 \times 10^{-6}) \times 100$
$\Delta V = 500 \times (36 \times 10^{-6}) \times 100$
$\Delta V = 500 \times 0.0036 = 1.8 \,cm^3$.

(C) કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} = \gamma \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે.
અહીં $\frac{\Delta V}{V} = 0.30 \% = 0.003$ અને $\Delta T = 50^{\circ} C$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.003 = \gamma (50^{\circ} C) \Rightarrow \gamma = \frac{0.003}{50} = 6 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ અને રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 3\alpha$ છે.
તેથી,$\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{6 \times 10^{-5}}{3} = 2 \times 10^{-5} /^{\circ} C$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે. જ્યારે કોઈ કાર્ય કરવામાં આવતું નથી,ત્યારે પ્રક્રિયા સમકદ (constant volume) હોય છે,તેથી $\Delta W = 0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
$\Delta W = 0$ હોવાથી,આપેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે: $\Delta Q = \Delta U = n C_V \Delta T$.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
અહીં $n = 2$ મોલ,$\Delta T = 373 \ K - 273 \ K = 100 \ K$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 2 \times \frac{3}{2} R \times 100 = 300 R$.

(D) વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $P-V$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$V_1$ થી $V_2$ સુધીના કદમાં ફેરફાર માટે,સમતાપી અથવા એડિબેટિક પ્રક્રિયાની તુલનામાં સમદાબી પ્રક્રિયામાં દબાણ $P$ વધારે રહે છે.
કારણ કે $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$,આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સમદાબી પ્રક્રિયા માટે સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી,જ્યારે વિસ્તરણ સમદાબી હોય ત્યારે વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય મહત્તમ હોય છે.

(C) એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે અચળ દબાણે થયેલ કાર્ય $W = p \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $W = nR \Delta T$ મળે છે.
અચળ કદ પર,આપેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે,જે $Q = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
આ કિંમતને ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $Q = n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T$ મળે છે.
કારણ કે $W = nR \Delta T$ છે,તેથી આપણે $nR \Delta T$ ની જગ્યાએ $W$ મૂકી શકીએ છીએ.
તેથી,$Q = \frac{3}{2} W$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta U = \Delta Q - \Delta W$
આપેલ છે:
સિસ્ટમ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા,$\Delta Q = 68 \,J$
સિસ્ટમ દ્વારા થયેલ કાર્ય,$\Delta W = 30 \,J$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = 68 \,J - 30 \,J = 38 \,J$
તેથી,$A$ અને $C$ વચ્ચે સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $38 \,J$ છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,તાપમાનનો ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$ થાય.
મોનોએટોમિક આદર્શ વાયુ માટે,એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
આમ,$\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$ થાય.
વાયુ અચળ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા સિલિન્ડરમાં હોવાથી,કદ $V = A \times L$ થાય. તેથી,$V_1 = A L_1$ અને $V_2 = A L_2$.
આ કિંમતોને તાપમાનના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{A L_1}{A L_2}\right)^{2/3} = \left(\frac{L_1}{L_2}\right)^{2/3}$.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ તેના આસપાસના વાતાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સિસ્ટમમાં કે સિસ્ટમમાંથી કોઈ ઉષ્માનું વહન થતું નથી $(dQ = 0)$.
કારણ: આ પ્રક્રિયા સામાન્ય રીતે ખૂબ ઝડપથી થાય છે,જેના કારણે સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની આપ-લે થવા માટે પૂરતો સમય મળતો નથી.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ માત્ર તાપમાનના ફેરફાર પર આધાર રાખે છે અને તે સૂત્ર $\Delta U = nC_v\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આદર્શ વાયુ માટે, અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{R}{\gamma-1}$ છે।
આ કિંમતને આંતરિક ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને મળે છે: $\Delta U = n \left(\frac{R}{\gamma-1}\right) (T_2 - T_1)$।
તેથી, આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\frac{nR}{\gamma-1}(T_2 - T_1)$ છે।

(D) અચાનક થતા સંકોચન માટે,પ્રક્રિયા એડિબેટિક (અદ્રાવ્ય) હોય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ છે.
આપેલ છે: $V_1 = V$,$V_2 = \frac{V}{4}$,$P_1 = P$ અને $\gamma = \frac{5}{2}$.
આ કિંમતોને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$P \cdot V^{\gamma} = P_2 \cdot \left(\frac{V}{4}\right)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot \left(\frac{V}{V/4}\right)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot (4)^{\gamma}$
$P_2 = P \cdot (4)^{5/2}$
$P_2 = P \cdot (2^2)^{5/2}$
$P_2 = P \cdot 2^5$
$P_2 = 32 P$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ એ $\Delta Q = \Delta U + W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta Q$ એ સિસ્ટમને આપવામાં આવેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
આ કિંમતને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + W$.
તેથી,$\Delta U = -W$.

(C) આઈસોકોરિક પ્રક્રિયામાં,વાયુનું કદ અચળ રહે છે.
ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ પર વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
તેથી,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{T_1}{T_2}$.
પ્રથમ,તાપમાનને સેલ્સિયસમાંથી કેલ્વિનમાં ફેરવો:
$T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 127 + 273 = 400 \ K$
આ કિંમતોને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{300}{400} = \frac{3}{4}$.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયામાં,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T = 0$ થાય છે. જો કે,ઉષ્માનો વિનિમય $Q$ શૂન્ય હોવો જરૂરી નથી; તે કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે $(Q = W)$.
એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયામાં,ઉષ્માનો વિનિમય $Q$ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,વિધાન 'સમતાપી પ્રક્રિયામાં,$Q = 0$' ખોટું છે.

(A) i. મુક્ત પ્રસરણ એ એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) પ્રક્રિયાઓ છે જેમાં સિસ્ટમ અને તેના પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $Q=0$ છે.
ii. મુક્ત પ્રસરણમાં,વાયુ શૂન્યાવકાશમાં વિસ્તરે છે,જેનો અર્થ છે કે સામે કોઈ બાહ્ય દબાણ નથી,તેથી સિસ્ટમ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી,$W=0$ છે.
iii. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$. કારણ કે $Q=0$ અને $W=0$ છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
iv. ઉદાહરણ તરીકે,ફુગ્ગો અથવા ટાયર અચાનક ફાટી જાય ત્યારે,વાયુ પિસ્ટન કે અન્ય કોઈ સપાટી પર કાર્ય કર્યા વિના ઝડપથી બહાર નીકળી જાય છે.
v. મુક્ત પ્રસરણ એ એક અનિયંત્રિત,અપ્રતિવર્તી અને ત્વરિત ફેરફાર છે જ્યાં પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમ થર્મોડાયનેમિક સંતુલનમાં હોતી નથી,અને તેને $p-V$ આલેખ પર સતત માર્ગ તરીકે દર્શાવી શકાતી નથી.

(B) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$.
તેથી,$PV = \frac{m}{M}RT$,જેનો અર્થ થાય છે $m = \frac{PVM}{RT}$.
પાત્ર $A$ માટે:
$m_A = \frac{PVM}{RT} \quad (1)$
પાત્ર $B$ માટે:
$m_B = \frac{(2P)(2V)M}{R(T/2)} = \frac{4PVM}{RT/2} = \frac{8PVM}{RT} \quad (2)$
$m_A$ અને $m_B$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{m_A}{m_B} = \frac{PVM/RT}{8PVM/RT} = \frac{1}{8}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 8$ છે.

(A) આઈસોકોરિક (સમકદ) પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા છે જે અચળ કદ પર થાય છે.
કારણ કે પ્રક્રિયા દરમિયાન કદ અચળ રહે છે,તેથી કદમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે.
તેથી,આઈસોકોરિક પ્રક્રિયા માટેનું સમીકરણ $\Delta V = 0$ છે.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $p$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $p V^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $p$ અને પ્રારંભિક કદ $V$ છે.
અંતિમ કદ $V' = \frac{V}{8}$ છે.
સમોષ્મી સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $p V^{\gamma} = P' (V')^{\gamma}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $p V^{4/3} = P' \left(\frac{V}{8}\right)^{4/3}$.
$P' = p \left(\frac{V}{V/8}\right)^{4/3} = p (8)^{4/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $P' = p (2^3)^{4/3} = p (2^4) = 16p$.
આમ,નવું દબાણ $16p$ થશે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ છે.
એડિબેટિક માર્ગ $BC$ માટે,બિંદુઓ $B$ અને $C$ એ $T_1$ અને $T_2$ આઈસોથર્મલ રેખાઓને જોડતા એડિબેટિક વક્ર પર આવેલા છે. તેથી:
$T_1 V_b^{\gamma-1} = T_2 V_c^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_2}{T_1} \quad ---(1)$
એડિબેટિક માર્ગ $AD$ માટે,બિંદુઓ $A$ અને $D$ એ $T_1$ અને $T_2$ આઈસોથર્મલ રેખાઓને જોડતા એડિબેટિક વક્ર પર આવેલા છે. તેથી:
$T_1 V_a^{\gamma-1} = T_2 V_d^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_2}{T_1} \quad ---(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\left(\frac{V_b}{V_c}\right)^{\gamma-1} = \left(\frac{V_a}{V_d}\right)^{\gamma-1}$
$\Rightarrow \frac{V_b}{V_c} = \frac{V_a}{V_d}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{V_b}{V_a} = \frac{V_c}{V_d}$
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
$1$. એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,વ્યાખ્યા મુજબ $Q = 0$ હોય છે,તેથી તે શરતનું પાલન કરતી નથી.
$2$. આઈસોથર્મલ પ્રક્રિયામાં,તાપમાન અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે આદર્શ વાયુ માટે $\Delta U = 0$ હોય છે,તેથી તે શરતનું પાલન કરતી નથી.
$3$. આઈસોકોરિક પ્રક્રિયામાં,કદ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $W = P \Delta V = 0$ હોય છે,તેથી તે શરતનું પાલન કરતી નથી.
$4$. આઈસોબારિક પ્રક્રિયામાં,દબાણ અચળ રહે છે. વિસ્તરણ દરમિયાન,કદ બદલાય છે $(W \neq 0)$,તાપમાન બદલાય છે $(\Delta U \neq 0)$,અને આસપાસ સાથે ઉષ્માની આપ-લે થાય છે $(Q \neq 0)$. તેથી,ત્રણેય રાશિઓ શૂન્યતર છે.

(C) બોઈલના નિયમ મુજબ, અચળ તાપમાને, $PV = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે。
જો દબાણ $20 \%$ ઘટાડવામાં આવે, તો નવું દબાણ $P_2 = P - 0.20P = 0.8P$ થાય。
સંબંધ $P_1 V_1 = P_2 V_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P \cdot V = (0.8P) \cdot V_2$
$V_2 = \frac{PV}{0.8P} = \frac{V}{0.8} = 1.25V$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = 1.25V - V = 0.25V$ છે。
કદમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = \frac{0.25V}{V} \times 100 = 25 \%$ છે。
કિંમત ધન હોવાથી, કદમાં $25 \%$ નો વધારો થાય છે。

(B) વાયુ દ્વારા અથવા વાયુ પર થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $\Delta W = P \Delta V$ છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $\Delta V$ એ કદમાં થતો ફેરફાર છે.
કાર્ય શૂન્ય થવા માટે,કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રક્રિયા દરમિયાન કદ $V$ અચળ રહે છે.
જે થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયામાં કદ અચળ રહે છે તેને આઈસોકોરિક પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
તેથી,આઈસોકોરિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(C) સંકોચન અચાનક થતું હોવાથી,આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,$V_1 = V$,$V_2 = V/8$,અને $\gamma = 5/3$.
કિંમતો મૂકતા:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$
$T_2 = 300 \times \left( \frac{V}{V/8} \right)^{(5/3) - 1}$
$T_2 = 300 \times (8)^{2/3}$
$T_2 = 300 \times (2^3)^{2/3} = 300 \times 2^2 = 300 \times 4 = 1200 \ K$.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બે અલગ-અલગ અવસ્થાઓ $(P_1, V_1, T_1)$ અને $(P_2, V_2, T_2)$ માટે,આ સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અણુઓને બિંદુવત દળ માનવામાં આવે છે જેની વચ્ચે કોઈ આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ કે અપાકર્ષણ બળ હોતું નથી.
આંતરઆણ્વિય બળો ન હોવાને કારણે,અણુઓની ગોઠવણી સાથે કોઈ સ્થિતિ ઉર્જા સંકળાયેલી હોતી નથી.
તેથી,આદર્શ વાયુની કુલ આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગતિને કારણે ઉદ્ભવતી ગતિ ઉર્જાનો બનેલો હોય છે.
આમ,આંતરિક ઉર્જા માત્ર ગતિ ઉર્જા છે.

(A) દબાણ $P$ નું પરિમાણ $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.
કદ $V$ નું પરિમાણ $[L^3]$ છે.
તેથી,ગુણાકાર $PV$ નું પરિમાણ $[M^1 L^{-1} T^{-2}] \times [L^3] = [M^1 L^2 T^{-2}]$ થાય છે.
ઉર્જા (કાર્ય) નું પરિમાણ $[M^1 L^2 T^{-2}]$ હોવાથી,$PV$ નું પરિમાણ ઉર્જાના પરિમાણ સમાન છે.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = Y_0 \sin(2 \pi n t - \frac{2 \pi x}{\lambda})$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y = Y_0 \sin(\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi n$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p, \text{max}} = Y_0 \omega = Y_0 (2 \pi n) = 2 \pi n Y_0$ થાય.
તરંગનો વેગ $v = n \lambda$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,તરંગનો વેગ એ કણના મહત્તમ વેગના $(1/8)$ ગણો છે:
$v = \frac{1}{8} v_{p, \text{max}}$
$n \lambda = \frac{1}{8} (2 \pi n Y_0)$
$n \lambda = \frac{\pi n Y_0}{4}$
$\lambda = \frac{\pi Y_0}{4}$.

(B) બંને છેડે જડિત દોરી માટે,$n^{th}$ ઓવરટોન એ $(n+1)^{th}$ હાર્મોનિકને અનુરૂપ છે.
અહીં,પાંચમો ઓવરટોન એ છઠ્ઠો હાર્મોનિક $(n=6)$ છે.
દોરીની લંબાઈ $L = 2.4 \ m$ છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિક માટેની શરત $L = n \frac{\lambda}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2.4 = 6 \times \frac{\lambda}{2}$.
આનાથી $\frac{\lambda}{2} = \frac{2.4}{6} = 0.4 \ m$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = 0.8 \ m$.
નિસ્પંદ બિંદુ અને ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુ વચ્ચેનું અંતર હંમેશા $\frac{\lambda}{4}$ હોય છે.
તેથી,અંતર $= \frac{0.8 \ m}{4} = 0.2 \ m$ થાય.

(A) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = 2 \pi f$.
આપેલ છે $y_1 = 0.35 \sin(316 t)$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$. આમ,આવૃત્તિ $f_1 = \frac{\omega_1}{2 \pi} = \frac{316}{2 \pi} \text{ Hz}$.
આપેલ છે $y_2 = 0.35 \sin(310 t)$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$. આમ,આવૃત્તિ $f_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi} = \frac{310}{2 \pi} \text{ Hz}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા એટલે કે બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_1 - f_2|$.
$f_b = \frac{316}{2 \pi} - \frac{310}{2 \pi} = \frac{6}{2 \pi} = \frac{3}{\pi} \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.

(D) ધારો કે મૂળ આવૃત્તિ $f$ છે. દેખીતી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ માં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $f^{\prime} = f - 0.2f = 0.8f = \frac{4}{5}f$ થાય.
આવૃત્તિમાં ઘટાડો થતો હોવાથી,સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે.
સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જતા સ્ત્રોત માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર:
$f^{\prime} = f \left[ \frac{V}{V + V_s} \right]$
જ્યાં $V = 350 \ m/s$ એ અવાજની ઝડપ છે અને $V_s$ એ એન્જિનની ઝડપ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4}{5}f = f \left[ \frac{350}{350 + V_s} \right]$
$\frac{4}{5} = \frac{350}{350 + V_s}$
$4(350 + V_s) = 5(350)$
$1400 + 4V_s = 1750$
$4V_s = 350$
$V_s = 87.5 \ m/s$.

(B) ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત નજીક આવતો હોય ત્યારે અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $n_{\text{before}} = \left(\frac{V}{V - v_c}\right) n$ છે.
જ્યારે સ્ત્રોત દૂર જતો હોય,ત્યારે સંભળાતી આવૃત્તિ $n_{\text{after}} = \left(\frac{V}{V + v_c}\right) n$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{n_{\text{before}}}{n_{\text{after}}} = \frac{11}{9}$ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{\frac{V}{V - v_c} n}{\frac{V}{V + v_c} n} = \frac{V + v_c}{V - v_c} = \frac{11}{9}$.
ગુણાકાર કરતા: $9(V + v_c) = 11(V - v_c)$.
$9V + 9v_c = 11V - 11v_c$.
$20v_c = 2V$.
$v_c = \frac{2V}{20} = \frac{V}{10}$.

(C) પ્રકાશ સ્વભાવે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને તેમના પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.
તેથી,'પ્રકાશને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે' તે વિધાન ખોટું છે અને તે પ્રકાશનો ગુણધર્મ નથી.

(D) માધ્યમની નિરપેક્ષ પરમિટિવિટી $(\varepsilon)$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $(\varepsilon_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $(\varepsilon_r)$ ના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ છે: $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$.
આ સંબંધ પરથી,સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $(\varepsilon_r)$ ને આ રીતે લખી શકાય: $\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \frac{q_1 q_2}{l^2}$.
જ્યારે એક વિદ્યુતભાર બમણો $(q_1' = 2q_1)$ અને અંતર અડધું $(l' = l/2)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે:
$F' = k \frac{(2q_1) q_2}{(l/2)^2}$
$F' = k \frac{2q_1 q_2}{l^2 / 4}$
$F' = 8 \left( k \frac{q_1 q_2}{l^2} \right)$
$F' = 8F$.
આમ,બળનું મૂલ્ય મૂળ બળ કરતાં $8$ ગણું થાય છે,તેથી $n = 8$.

(B) બે સમાન વીજભાર $Q$ ધરાવતા ગોળાઓ વચ્ચે $r$ અંતરે લાગતું પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ મુજબ: $F = \frac{kQ^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે એક સમાન વીજભાર રહિત ગોળો વીજભારિત ગોળાને સ્પર્શે છે,ત્યારે વીજભાર $Q$ બંને વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ,સ્પર્શ કરેલા ગોળા પર હવે $Q/2$ વીજભાર છે અને ત્રીજો ગોળો પણ $Q/2$ વીજભાર મેળવે છે.
ત્રીજા ગોળાને મધ્યબિંદુ પર (દરેકથી $r/2$ અંતરે) મૂકવામાં આવે છે. ધારો કે વીજભારો $q_1 = Q/2$ (સ્પર્શ કરેલો ગોળો),$q_2 = Q$ (અસ્પર્શિત ગોળો),અને $q_3 = Q/2$ (ત્રીજો ગોળો) છે.
પ્રથમ ગોળાને કારણે ત્રીજા ગોળા પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{k(Q/2)(Q/2)}{(r/2)^2} = \frac{kQ^2/4}{r^2/4} = \frac{kQ^2}{r^2} = F$ (પ્રથમ ગોળાથી દૂરની દિશામાં).
બીજા ગોળાને કારણે ત્રીજા ગોળા પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{k(Q)(Q/2)}{(r/2)^2} = \frac{kQ^2/2}{r^2/4} = \frac{2kQ^2}{r^2} = 2F$ (બીજા ગોળાથી દૂરની દિશામાં).
બળો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = |F_2 - F_1| = |2F - F| = F$ થશે.

(D) ગોળાકાર વાહક કે જેની ત્રિજ્યા $R$ છે,તેના પરનું મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{max}}$ જે તે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં ધારણ કરી શકે છે,તે સૂત્ર $Q_{\text{max}} = 4 \pi \varepsilon_0 R^2 E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 6 \ mm$,તેથી ત્રિજ્યા $R = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 2 \times 10^7 \ N/C$.
અચળાંક $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$Q_{\text{max}} = \frac{1}{9 \times 10^9} \times (3 \times 10^{-3})^2 \times (2 \times 10^7)$
$Q_{\text{max}} = \frac{1}{9 \times 10^9} \times (9 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^7)$
$Q_{\text{max}} = 10^{-15} \times 2 \times 10^7 = 2 \times 10^{-8} \ C$
$Q_{\text{max}} = 0.02 \times 10^{-6} \ C = 0.02 \ \mu C$.

(A) ખ્યાલ: જ્યારે કોઈ વાહકને ચાર્જ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સમાન ચાર્જ વચ્ચેના પરસ્પર અપાકર્ષણને કારણે ચાર્જ સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
બંને ગોળાઓની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,તેમની બહારની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે.
તેથી,આસપાસના માધ્યમનું ડાયઇલેક્ટ્રિક બ્રેકડાઉન થાય તે પહેલાં સપાટી પર સંગ્રહિત કરી શકાય તેવો મહત્તમ ચાર્જ બંને માટે સમાન હોય છે.
આમ,બંને ધાતુના ગોળાઓ (નક્કર અથવા પોલા) ને સમાન રીતે ચાર્જ કરી શકાય છે.

(B) કુલંબના નિયમ મુજબ, બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k Q q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં, $F_1 = \frac{k Q q}{r^2} = 100 \,N$.
જ્યારે $Q$ માં $10 \%$ નો વધારો થાય, ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $Q' = Q + 0.1 Q = 1.1 Q$ થાય.
જ્યારે $q$ માં $10 \%$ નો ઘટાડો થાય, ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q' = q - 0.1 q = 0.9 q$ થાય.
નવું બળ $F_2$ એ $F_2 = \frac{k (1.1 Q) (0.9 q)}{r^2} = (1.1 \times 0.9) \frac{k Q q}{r^2}$ છે.
$F_2 = 0.99 \times F_1 = 0.99 \times 100 \,N = 99 \,N$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F_1 - F_2 = 100 \,N - 99 \,N = 1 \,N$ છે.
તેથી, બળ $1 \,N$ જેટલું ઘટશે.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. પાસપાસેના ખૂણાઓ વચ્ચેનું અંતર $a$ છે અને સામસામેના ખૂણાઓ (વિકર્ણ) વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{2}a$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r^2}$ છે.
$q_1$ અને $q_2$ પાસપાસેના ખૂણાઓ પર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = a$ છે. તેથી,$F_{12} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{a^2}$.
$q_1$ અને $q_3$ સામસામેના ખૂણાઓ પર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{2}a$ છે. તેથી,$F_{13} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_3}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_3}{2a^2}$.
આપેલ છે કે $q_1 = q_2 = q_3 = q$,તેથી:
$\frac{F_{12}}{F_{13}} = \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2}}{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{2a^2}} = \frac{1}{1/2} = 2$.

(C) ધારો કે વિદ્યુતભારોને અનુક્રમે $x=0$,$x=\frac{d}{2}$ અને $x=d$ સ્થાનો પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
$x=0$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય કરવા માટે,$Q$ દ્વારા લાગતું બળ અને $+4q$ દ્વારા લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
કૂલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F_Q = \frac{k q Q}{(d/2)^2}$ છે અને $+4q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F_{+4q} = \frac{k q (4q)}{d^2}$ છે.
પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,આ બળોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\frac{k q Q}{(d/2)^2} + \frac{k q (4q)}{d^2} = 0$
$\frac{k q Q}{d^2/4} + \frac{4 k q^2}{d^2} = 0$
$\frac{4 k q Q}{d^2} + \frac{4 k q^2}{d^2} = 0$
$\frac{4 k q}{d^2}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $q \neq 0$):
$Q + q = 0$
$Q = -q$

(A) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{E} = -pE \cos \theta$ છે.
શરૂઆતમાં,ડાયપોલ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી $\theta_1 = 0^{\circ}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_1 = -pE \cos 0^{\circ} = -pE(1) = -pE$.
અંતે,ડાયપોલને $90^{\circ}$ જેટલો ફેરવવામાં આવે છે,તેથી $\theta_2 = 90^{\circ}$.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_2 = -pE \cos 90^{\circ} = -pE(0) = 0$.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_2 - U_1$.
$W = 0 - (-pE) = pE$.

(D) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ડાયપોલ માટે,બિંદુ $P$ નું $-q$ વિદ્યુતભારથી અંતર $(x+a)$ છે અને $+q$ વિદ્યુતભારથી અંતર $(x-a)$ છે.
$-q$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_{-q} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(-q)}{(x+a)}$ છે.
$+q$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V_{+q} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(+q)}{(x-a)}$ છે.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ સ્થિતિમાન $V_P$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V_P = V_{-q} + V_{+q} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a} \right]$.
$V_P = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{(x+a) - (x-a)}{(x-a)(x+a)} \right] = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{2a}{x^2-a^2} \right]$.
$V_P = \frac{2aq}{4 \pi \epsilon_0(x^2-a^2)} = \frac{aq}{2 \pi \epsilon_0(x^2-a^2)}$.

(B) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $e$ છે,તેથી બળ $F_e = eE$ છે. તેનો પ્રવેગ $a_e = \frac{F_e}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$ થાય.
પ્રોટોન માટે,વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય પણ $e$ છે,તેથી બળ $F_p = eE$ છે. તેનો પ્રવેગ $a_p = \frac{F_p}{m_p} = \frac{eE}{m_p}$ થાય.
ઇલેક્ટ્રોનના પ્રવેગ અને પ્રોટોનના પ્રવેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{a_e}{a_p} = \frac{eE / m_e}{eE / m_p} = \frac{m_p}{m_e}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ એ વિદ્યુતક્ષેત્રને દર્શાવતી કાલ્પનિક રેખાઓ છે.
$1$. તેઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી કારણ કે છેદબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની બે દિશાઓ મળે,જે અશક્ય છે.
$2$. સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં તેઓ વાહકની અંદરથી પસાર થતી નથી કારણ કે વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
$3$. તેઓ ધન વીજભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વીજભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
$4$. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ અવાહક (ડાયઇલેક્ટ્રિક) માંથી પસાર થઈ શકે છે,કારણ કે અવાહકોમાં ક્ષેત્રને નાબૂદ કરવા માટે મુક્ત વીજભારો હોતા નથી.
તેથી,તે અવાહકમાંથી પસાર થતી નથી તે વિધાન ખોટું છે.

(D) અંતરે રહેલી બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ પર લાગતું બળ $F = qE = \frac{qV}{d}$ છે.
ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m}$ થાય.
$F$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $a = \frac{qV}{md}$ મળે છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
જ્યારે ફુગ્ગાને ફૂલાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ વધે છે,પરંતુ ફુગ્ગાની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર બદલાતો ન હોવાથી,સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{T} = \frac{q}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ સપાટીની અંદર રહેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ પોલા નળાકાર માટે,કુલ ફ્લક્સ એ બે સમતલ સપાટીઓ ($A$ અને $C$) અને વક્ર સપાટી $(B)$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે.
ધારો કે $\phi_A$,$\phi_B$,અને $\phi_C$ એ અનુક્રમે સપાટી $A$,$B$,અને $C$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ છે.
આપેલ છે કે $\phi_B = \phi$. નળાકારની સંમિતિને કારણે,બંને સમતલ છેડાઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હોવું જોઈએ,એટલે કે $\phi_A = \phi_C$.
તેથી,$\phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\epsilon_0}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ મળે છે.
$\phi_A$ માટે ઉકેલતા,$2\phi_A = \frac{q}{\epsilon_0} - \phi$,જેનો અર્થ છે કે $\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\epsilon_0} - \phi\right)$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટી સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,બંધ સપાટીની અંદર રહેલા વિદ્યુતભારો $2.35 \ C$,$5 \ C$,$2 \ C$ અને $-0.5 \ C$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = (2.35 + 5 + 2 - 0.5) \ C = 8.85 \ C$.
આપેલ છે કે $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\phi = \frac{8.85 \ C}{8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}} = 10^{12} \ N m^2 C^{-1}$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,$Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ છે.
વિદ્યુતભાર ઘનના કેન્દ્રમાં હોવાથી,સંમિતિને કારણે ફ્લક્સ તેની $6$ સપાટીઓ પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{one} = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{Q}{6 \varepsilon_0}$ થાય.
બે સામસામેની સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ એ આ બંને સપાટીઓના ફ્લક્સનો સરવાળો છે,જે $\phi_{two} = 2 \times \phi_{one} = 2 \times \frac{Q}{6 \varepsilon_0} = \frac{Q}{3 \varepsilon_0}$ થાય.

(C) ગાઉસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતો વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$
અહીં,$Q_{\text{enclosed}}$ એ ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિદ્યુત ફ્લક્સ માત્ર સપાટીની અંદર રહેલા વિદ્યુતભારના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.
તે ગાઉસિયન સપાટીના આકાર કે કદ (ત્રિજ્યા $R$) પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો ગાઉસિયન સપાટીની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન રહે છે,અને પરિણામે,બહારની તરફનો વિદ્યુત ફ્લક્સ તેટલો જ રહેશે.

(A) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{enclosed}$ એ ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
જેમ કે બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ગોળાકાર ગૌસિયન સપાટીની ત્રિજ્યાને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન રહે છે,તેથી ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enclosed} = q$ અચળ રહે છે.
તેથી,જ્યારે સપાટીની ત્રિજ્યા વધારવામાં આવે ત્યારે વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0}$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઉર્જા ઘનતા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ છે,જ્યાં $E$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
$Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $r$ ત્રિજ્યાના અલગ કરેલા વાહક ગોળા માટે,તેની સપાટીની બરાબર બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ છે.
આ કિંમત ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \right)^2 = \frac{Q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0 r^4}$.
અહીં $Q$ અચળ હોવાથી,$U \propto \frac{1}{r^4}$ મળે છે.
આપેલ ત્રિજ્યાઓ $R_A = R$,$R_B = 2R$,અને $R_C = 3R$ માટે:
$U_A \propto \frac{1}{R^4}$,$U_B \propto \frac{1}{(2R)^4} = \frac{1}{16R^4}$,અને $U_C \propto \frac{1}{(3R)^4} = \frac{1}{81R^4}$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,સ્પષ્ટ થાય છે કે $U_A > U_B > U_C$.

(B) વિધાન $A$ મૂળ પ્રશ્નમાં અધૂરું હતું,પરંતુ સામાન્ય રીતે,વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચની બહારના બિંદુ $(r > R)$ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ છે,જે કેન્દ્રથી અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. જોકે,કવચની અંદર $(r < R)$ વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ સામાન્ય સંદર્ભમાં અસ્પષ્ટ છે.
વિધાન $B$ સાચું છે. $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $V \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,માત્ર વિધાન $B$ સાચું છે.

(C) ધારો કે ચોરસના ખૂણાઓ $A, B, C, D$ છે,જ્યાં $A$ અને $B$ પર $+q$ વિદ્યુતભાર છે અને $C$ અને $D$ પર $-q$ વિદ્યુતભાર છે. ચોરસની બાજુની લંબાઈ $2r$ છે. બિંદુ $P$ એ બાજુ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,અંતર: $DP = PC = r$.
$A$ અને $B$ થી $P$ સુધીનું અંતર: $AP = BP = \sqrt{AD^2 + DP^2} = \sqrt{(2r)^2 + r^2} = \sqrt{5r^2} = r\sqrt{5}$.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_P$ એ ચારેય વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{CP} + \frac{-q}{DP} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{r\sqrt{5}} + \frac{q}{r\sqrt{5}} - \frac{q}{r} - \frac{q}{r} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2q}{r\sqrt{5}} - \frac{2q}{r} \right]$
$V_P = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2q}{r} \left[ \frac{1}{\sqrt{5}} - 1 \right]$

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{l}$.
આપેલ છે કે $\vec{E} = 20x^2 \hat{i}$ અને $d\vec{l} = dx \hat{i}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $dV = -(20x^2 \hat{i}) \cdot (dx \hat{i}) = -20x^2 dx$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_0$ શોધવા માટે,આપણે $x=0$ થી $x=3 \ m$ સુધી સંકલન કરીશું:
$V_A - V_0 = \int_{V_0}^{V_A} dV = \int_{0}^{3} -20x^2 dx$.
$V_A - V_0 = -20 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
$V_A - V_0 = -20 \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = -20 \left( \frac{27}{3} \right) = -20 \times 9 = -180 \ V$.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની કુલ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ અલગ-અલગ વિદ્યુતભારની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
આપેલ ગોઠવણી માટે,જોડીઓ $(Q, +q)$,$(+q, +q)$ અને $(Q, +q)$ છે,જેમના અંતર અનુક્રમે $l$,$l$ અને $\sqrt{2}l$ છે.
કુલ સ્થિતિઊર્જા નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{kQq}{l} + \frac{kq^2}{l} + \frac{kQq}{\sqrt{2}l} = 0$
$k/l$ વડે ભાગતા ($k \neq 0$ અને $l \neq 0$ ધારીને):
$Qq + q^2 + \frac{Qq}{\sqrt{2}} = 0$
$Qq(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Qq(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}) = -q^2$
$Q = -q^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{q(\sqrt{2}+1)}$
$Q = -\frac{\sqrt{2}q}{\sqrt{2}+1}$

(B) અંતરે રહેલા $I_1$ અને $I_2$ પ્રવાહ ધરાવતા બે લાંબા સમાંતર તાર વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ નીચે મુજબ છે: $f = \frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
શરૂઆતમાં,બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવો પ્રવાહ $I_1' = 3 I_1$,નવું અંતર $d' = 2 d$ છે અને $I_2$ સમાન રહે છે (દિશા બદલવાથી બળના પ્રકારમાં ફેરફાર થાય છે,મૂલ્યમાં નહીં).
નવું બળ $F'$ આ મુજબ મળે: $F' = \frac{\mu_0 (3 I_1) I_2 l}{2 \pi (2 d)}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $F' = \frac{3}{2} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2 l}{2 \pi d} \right)$.
શરૂઆતના બળ $F$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે: $F' = \frac{3}{2} F$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N i A B \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\theta$ એ લૂપના સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$L$ લંબાઈના તારમાંથી $N$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળાકાર ગૂંચળું બનાવતા,પરિઘ $L = N(2 \pi r)$ થાય,તેથી $r = \frac{L}{2 \pi N}$.
ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi N} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi N^2}$ થાય.
ટોર્કના સમીકરણમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $\tau = N i \left( \frac{L^2}{4 \pi N^2} \right) B \sin \theta = \frac{i L^2 B \sin \theta}{4 \pi N}$.
ટોર્કને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\sin \theta = 1$ લઈએ છીએ અને આંટાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $N = 1$ પસંદ કરીએ છીએ.
તેથી,મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{\max} = \frac{i L^2 B}{4 \pi}$ થશે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = NIAB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રિજ્યાવર્તી ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે,કોઈલનું સમતલ હંમેશા ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોય છે,તેથી $\theta = 90^{\circ}$ અને $\sin 90^{\circ} = 1$ થાય.
આમ,ચુંબકીય ટોર્ક $\tau_m = NIAB$ છે.
સસ્પેન્શન ફાઈબર દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau_r = K \phi$ છે,જ્યાં $K$ એ ટોર્સનલ અચળાંક છે અને $\phi$ એ પરિભ્રમણનો ખૂણો છે.
સંતુલન માટે બંને ટોર્કને સરખાવતા: $NIAB = K \phi$.
આપેલ છે: $A = 0.05 \ m^2$,$B = 0.01 \ Wb/m^2$,$K = 5 \times 10^{-9} \ Nm/\text{degree}$,$I = 300 \ \mu A = 300 \times 10^{-6} \ A$,અને $N = 1$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = \frac{NIAB}{K} = \frac{1 \times 300 \times 10^{-6} \times 0.01 \times 0.05}{5 \times 10^{-9}}$.
$\phi = \frac{300 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-9}} = \frac{1500 \times 10^{-10}}{5 \times 10^{-9}} = 300 \times 10^{-1} = 30^{\circ}$.
તેથી,પરિભ્રમણનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.

(C) બે લાંબા સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકો વચ્ચે એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r$ એ વાહકો વચ્ચેનું અંતર છે અને $I_1$ તથા $I_2$ એ વાહકોમાં વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,જ્યારે બે સમાંતર તારમાં સમાન દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો હોય,ત્યારે તેઓ એકબીજા પર આકર્ષી બળ લગાડે છે.
આપેલ છે કે $I_1 = I_2 = I$,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ બળનું મૂલ્ય $F = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$ થાય છે.
તેથી,તાર એકબીજાને એકમ લંબાઈ દીઠ $\frac{\mu_0 I^2}{2\pi r}$ બળથી આકર્ષશે.

(A) બે સમાંતર તાર કે જેમાંથી $I_1$ અને $I_2$ વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ છે,તેમની વચ્ચે લાગતું એકમ લંબાઈ દીઠ બળનું સૂત્ર: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ છે.
બંને તારમાં વિદ્યુતપ્રવાહ સમાન રહેતો હોવાથી,બળ એ તેમની વચ્ચેના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $F \propto \frac{1}{d}$.
જો નવું અંતર $d' = \frac{d}{3}$ કરવામાં આવે,તો નવું બળ $F'$ આ મુજબ થશે: $F' = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi (d/3)} = 3 \times \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right) = 3F$.
તેથી,બળનું મૂલ્ય મૂળ મૂલ્ય કરતા $3$ ગણું થાય છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
ખ્યાલ: કોઈ વાયર પર કોઈ બળ ન લાગે તે માટે, અન્ય બે વાયરને કારણે તેના સ્થાન પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા વાયરને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે વાયર $A$ થી વાયર $C$ નું અંતર $x$ છે. વાયર $B$ થી વાયર $C$ નું અંતર $(15 - x) \,cm$ છે.
$C$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે, વાયર $A$ અને વાયર $B$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
$\frac{\mu_0 I_A}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 I_B}{2 \pi (15 - x)}$
$\frac{I_A}{x} = \frac{I_B}{15 - x}$
અહીં $I_A = 15 \,A$ અને $I_B = 10 \,A$ આપેલ છે:
$\frac{15}{x} = \frac{10}{15 - x}$
$15(15 - x) = 10x$
$225 - 15x = 10x$
$25x = 225$
$x = 9 \,cm$.

(B) બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સીધા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત વાહકની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. તેથી,સીધા વિભાગો $AO$,$OC$,$DE$ અને $FG$ ને કારણે બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
પૂર્ણ વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
કેન્દ્ર પર $\theta$ ખૂણો આંતરતી વર્તુળાકાર ચાપ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R}$ છે.
અહીં,બંને ચાપ $CD$ અને $EF$ બિંદુ $O$ પર $90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે છે.
$R_1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ચાપ $CD$ માટે:
$B_{CD} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi R_1} = \frac{\mu_0 I}{8 R_1}$ (કાગળના સમતલની અંદરની દિશામાં).
$R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ચાપ $EF$ માટે:
$B_{EF} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi R_2} = \frac{\mu_0 I}{8 R_2}$ (કાગળના સમતલની અંદરની દિશામાં).
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,$O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B = B_{CD} + B_{EF} = \frac{\mu_0 I}{8 R_1} + \frac{\mu_0 I}{8 R_2} = \frac{\mu_0 I}{8} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = \frac{\mu_0 I}{8} \left( \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} \right)$.

(D) ધારો કે તાર વચ્ચેનું અંતર $2r$ છે. દરેક તારથી મધ્યબિંદુનું અંતર $r$ છે. લાંબા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ સમાન દિશામાં હોય,ત્યારે મધ્યબિંદુએ ક્ષેત્રો વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. કુલ ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi r} (I_1 - I_2) = 6 \times 10^{-6} \ T$ છે.
જ્યારે $I_2$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે મધ્યબિંદુએ ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હોય છે. કુલ ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi r} (I_1 + I_2) = 3 \times 10^{-5} \ T$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{I_1 - I_2}{I_1 + I_2} = \frac{6 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-5}} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
$5(I_1 - I_2) = I_1 + I_2 \implies 5I_1 - 5I_2 = I_1 + I_2 \implies 4I_1 = 6I_2$.
તેથી,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $B_1 = B_2$,તેથી $\frac{i_1}{r_1} = \frac{i_2}{r_2}$.
કારણ કે $r_1 = 2r_2$,આપણને મળે છે $\frac{i_1}{2r_2} = \frac{i_2}{r_2}$,જેનો અર્થ છે $i_1 = 2i_2$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ છે. બંને ગૂંચળા એક જ તારમાંથી બનેલા હોવાથી,$\rho$ અને $A$ અચળ છે. લંબાઈ $L = 2\pi r$.
તેથી,$R_1 = 2\pi r_1$ અને $R_2 = 2\pi r_2$. $r_1 = 2r_2$ હોવાથી,$R_1 = 2R_2$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = iR$ છે. તેથી,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{i_1 R_1}{i_2 R_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{(2i_2)(2R_2)}{i_2 R_2} = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(B) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધવા માટે,આપણે એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ટોરોઇડની અંદર $r$ ત્રિજ્યાનો એક એમ્પીયરીયન લૂપ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $r = \frac{r_1 + r_2}{2}$ છે.
એમ્પીયરના નિયમ મુજબ: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વર્તુળાકાર પથ પર સમાન છે અને લંબાઈના ઘટક $d\vec{l}$ ને સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે.
તેથી,$B \oint dl = \mu_0 N I$.
લૂપનો પરિઘ $2 \pi r = 2 \pi \left( \frac{r_1 + r_2}{2} \right) = \pi(r_1 + r_2)$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $B \cdot \pi(r_1 + r_2) = \mu_0 N I$.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{\pi(r_1 + r_2)}$ મળે છે.

(A) $N$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તારની કુલ લંબાઈ $L$ છે.
એક આંટા માટે $(N_1 = 1)$,પરિઘ $2 \pi r_1 = L$ છે,તેથી $r_1 = \frac{L}{2 \pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ છે.
ત્રણ આંટા માટે $(N_2 = 3)$,કુલ લંબાઈ $3(2 \pi r_2) = L$ છે,તેથી $r_2 = \frac{L}{6 \pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 (3) I}{2 (L / 6 \pi)} = \frac{9 \mu_0 I \pi}{L}$ છે.
ચુંબકીય પ્રેરણનો ગુણોત્તર $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I \pi / L}{9 \mu_0 I \pi / L} = \frac{1}{9}$ છે.

(C) લાંબા સીધા પ્રવાહધારિત તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રવાહ $I_1$ અને $I_2$ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય,ત્યારે જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,મધ્યબિંદુએ બંને તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એક જ દિશામાં હશે.
તેથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ક્ષેત્રોનો સરવાળો થશે: $B_{net} = B_1 + B_2$.
દરેક તારથી મધ્યબિંદુનું અંતર $r = \frac{d}{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi(d/2)} + \frac{\mu_0 I_2}{2\pi(d/2)}$.
સાદુરૂપ આપતા: $B_{net} = \frac{\mu_0 I_1}{\pi d} + \frac{\mu_0 I_2}{\pi d} = \frac{\mu_0(I_1+I_2)}{\pi d}$.

(D) $N$ આંટા,$r$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{N \mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,એક આંટા $(N=1)$ અને $r$ ત્રિજ્યા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
જ્યારે $L = 2 \pi r$ લંબાઈના તે જ તારને $n$ આંટામાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r^{\prime}$ એ $L = n(2 \pi r^{\prime})$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^{\prime} = \frac{r}{n}$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B^{\prime} = \frac{n \mu_0 I}{2r^{\prime}}$ છે.
$B^{\prime}$ ના સમીકરણમાં $r^{\prime} = \frac{r}{n}$ મૂકતા:
$B^{\prime} = \frac{n \mu_0 I}{2(r/n)} = n^2 \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right) = n^2 B$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $I$ પ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર $(x = 0)$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,બિંદુ $P$ આગળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેન્દ્રના ક્ષેત્ર કરતા $\frac{1}{8}$ ગણું છે: $B_P = \frac{1}{8} B_0$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right)$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R} \Rightarrow \frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8}$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $\frac{R}{(R^2 + x^2)^{1/2}} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{R^2}{R^2 + x^2} = \frac{1}{4}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $4R^2 = R^2 + x^2 \Rightarrow x^2 = 3R^2 \Rightarrow x = \sqrt{3}R$.

(A) ધારો કે વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{A/\pi}}$ મળે.
પ્રવાહ $I$ માટે ઉકેલતા,$I = \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ મળે.
લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ને $M = I A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$I$ નું પદ મૂકતા,$M = \left( \frac{2B}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર એ કણની ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M_0)$ અને કોણીય વેગમાન $(L_0)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$\text{ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર} = \frac{M_0}{L_0}$
કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતા ઈલેક્ટ્રોન માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_0 = \frac{e}{2m} L_0$ છે,જ્યાં $e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $m$ એ ઈલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{M_0}{L_0} = \frac{e}{2m}$ થાય છે,જે એક અચળાંક છે.

(D) $l$ લંબાઈના ચુંબકીય તારની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m l$ છે,જ્યાં $m$ એ દરેક છેડાની ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
જ્યારે તારને $L$-આકારમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે $l/2$ લંબાઈના બે ભાગ એકબીજાને લંબ રહે છે.
અસરકારક લંબાઈ (ધ્રુવો વચ્ચેનું સ્થાનાંતર) એ $l/2$ અને $l/2$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ બને છે.
અસરકારક લંબાઈ $l' = \sqrt{(l/2)^2 + (l/2)^2} = \sqrt{l^2/4 + l^2/4} = \sqrt{l^2/2} = \frac{l}{\sqrt{2}}$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ $M' = m l' = m \left( \frac{l}{\sqrt{2}} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $M = m l$,તેથી આપણને $M' = \frac{M}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે તારની લંબાઈ $l$ છે. ચોરસ લૂપ માટે,ચોરસની બાજુ $a = l/4$ છે.
તેથી,તેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{sq} = i A = i (l/4)^2 = i l^2 / 16$ છે.
વર્તુળાકાર લૂપ માટે,પરિઘ $2 \pi r = l$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = l / (2 \pi)$ છે.
તેથી,તેની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{cir} = i A = i \pi r^2 = i \pi (l / (2 \pi))^2 = i \pi (l^2 / 4 \pi^2) = i l^2 / (4 \pi)$ છે.
વર્તુળની ચુંબકીય મોમેન્ટ અને ચોરસની ચુંબકીય મોમેન્ટનો ગુણોત્તર:
$\frac{M_{cir}}{M_{sq}} = \frac{i l^2 / (4 \pi)}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$.

(D) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ લંબચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે, ત્યારે તે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{mv^2}{R} = qvB$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $v = \frac{qBR}{m}$ મળે છે.
ગતિ ઉર્જા $E$ નીચે મુજબ છે: $E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{qBR}{m}\right)^2 = \frac{q^2B^2R^2}{2m}$.
અહીં $q$, $m$, અને $R$ અચળ હોવાથી, $E \propto B^2$ થાય.
જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને $4$ ગણું કરવામાં આવે $(B' = 4B)$, તો નવી ગતિ ઉર્જા $E'$ નીચે મુજબ થશે:
$E' \propto (4B)^2 = 16B^2$.
તેથી, $E' = 16E$. આમ, ગતિ ઉર્જા $16$ ગણી વધશે.

(C) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા અનુભવાતું ચુંબકીય બળ $F = evB = eB\sqrt{\frac{2eV}{m}}$ છે.
આ દર્શાવે છે કે $F \propto \sqrt{V}$.
આપેલ છે કે જ્યારે સ્થિતિમાન $V^{\prime}$ હોય ત્યારે નવું બળ $F^{\prime} = 2F$ થાય છે,તેથી $\frac{F^{\prime}}{F} = \sqrt{\frac{V^{\prime}}{V}}$.
કિંમતો મૂકતા,$2 = \sqrt{\frac{V^{\prime}}{V}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = \frac{V^{\prime}}{V}$,જેનો અર્થ છે કે $V^{\prime} = 4V$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{V}{V^{\prime}} = \frac{V}{4V} = \frac{1}{4}$ થાય છે.

(D) સ્થિર વિદ્યુતભાર તેની આસપાસના અવકાશમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભાર સમાન વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વિદ્યુત પ્રવાહની રચના કરે છે.
ઓર્સ્ટેડના પ્રયોગ મુજબ,વિદ્યુત પ્રવાહ તેની આસપાસના અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
વિદ્યુતભાર ગતિમાં હોવાથી,તે તેનું મૂળભૂત વિદ્યુત ક્ષેત્ર ધરાવે છે અને સાથે સાથે તેની ગતિને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,સમાન વેગથી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે,તેથી ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
જોકે,ગતિ દરમિયાન વેગ સદિશની દિશા સતત બદલાતી હોવાથી,વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ બદલાય છે.
તેથી,વેગમાન બદલાય છે જ્યારે ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.

(D) જ્યારે $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
આના પરથી,માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ એક પૂર્ણ વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે,જે પરિઘ અને વેગનો ગુણોત્તર છે:
$T = \frac{2 \pi r}{v} = \frac{2 \pi (mv/qB)}{v} = \frac{2 \pi m}{qB}$.
સૂત્ર $T = \frac{2 \pi m}{qB}$ પરથી જોઈ શકાય છે કે,આવર્તકાળ $T$ માત્ર દળ $m$,વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પર આધાર રાખે છે.
તે વિદ્યુતભારના વેગ $v$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = Bqv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ થાય છે.
આના પરથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ મળે છે.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા,$F = B e \sqrt{\frac{2eV}{m}} = B e \sqrt{\frac{2e}{m}} \sqrt{V}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $F \propto \sqrt{V}$.
જો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વધારીને $2V$ કરવામાં આવે,તો નવું બળ $F' \propto \sqrt{2V}$ થશે.
તેથી,$\frac{F'}{F} = \frac{\sqrt{2V}}{\sqrt{V}} = \sqrt{2}$.
આમ,$F' = \sqrt{2}F$.

(B) $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ જ્યારે સમાન લંબચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની વક્રતા ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{Bq} = \frac{p}{Bq}$ છે.
અહીં,$p$ એ વિદ્યુતભારિત કણનું વેગમાન છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને માટે વેગમાન $p$ સમાન છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પણ સમાન છે,તેથી વક્રતા ત્રિજ્યા માત્ર કણના વિદ્યુતભાર $q$ પર આધાર રાખે છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંનેના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય સમાન $(|q_e| = |q_p| = e)$ હોય છે.
તેથી,$r_e = \frac{p}{Be}$ અને $r_p = \frac{p}{Be}$,જેનો અર્થ છે કે $r_e = r_p$.
આમ,પરિભ્રમણની દિશાને અવગણતા,બંને કણો સમાન ત્રિજ્યાવાળા વક્ર માર્ગ પર ગતિ કરશે.