MHT CET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए कणों $P$ और $Q$ का विस्थापन $x_1 = a \sin(\omega t + \phi_1)$ और $x_2 = a \sin(\omega t + \phi_2)$ है।
उनके बीच की दूरी $d = |x_1 - x_2| = |a \sin(\omega t + \phi_1) - a \sin(\omega t + \phi_2)|$ है।
सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \sin(\frac{C-D}{2}) \cos(\frac{C+D}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $d = |2a \sin(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}) \cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})|$ प्राप्त होता है।
अधिकतम दूरी तब होती है जब $|\cos(\omega t + \frac{\phi_1 + \phi_2}{2})| = 1$ हो,इसलिए $d_{max} = |2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})|$,जहाँ $\Delta \phi = \phi_1 - \phi_2$ है।
दिया गया है कि $d_{max} = \sqrt{2} a$,इसलिए $\sqrt{2} a = 2a \sin(\frac{\Delta \phi}{2})$ है।
$\sin(\frac{\Delta \phi}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिससे $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \,g = 5 \times 10^{-3} \,kg$,आयाम $A = 0.3 \,m$,आवर्तकाल $T = \frac{\pi}{5} \,s$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/5} = 10 \,rad/s$।
सरल आवर्त गति में कण पर कार्य करने वाला अधिकतम बल $F_{max} = m\omega^2A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $F_{max} = (5 \times 10^{-3} \,kg) \times (10 \,rad/s)^2 \times (0.3 \,m)$।
$F_{max} = 5 \times 10^{-3} \times 100 \times 0.3 = 5 \times 10^{-1} \times 0.3 = 0.5 \times 0.3 = 0.15 \,N$।

(A) $S.H.M.$ कर रहे कण का अधिकतम वेग सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_{max} = \omega A = \frac{2 \pi}{T} A$.
यहाँ,$A$ आयाम है और $T$ आवर्तकाल है।
दिया गया है कि प्रारंभिक अधिकतम वेग $v = \frac{2 \pi A}{T}$ है।
यदि आयाम को तीन गुना $(A' = 3A)$ और आवर्तकाल को दोगुना $(T' = 2T)$ कर दिया जाए,तो नया अधिकतम वेग $V'_{max}$ होगा:
$V'_{max} = \frac{2 \pi A'}{T'} = \frac{2 \pi (3A)}{2T} = \frac{3}{2} \left( \frac{2 \pi A}{T} \right) = 1.5 v$.
अतः,नया अधिकतम वेग $1.5 v$ होगा।

(D) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ का आवर्तकाल $T$ सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जो दर्शाता है कि आवर्तकाल आयाम $A$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,आवर्तकाल में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
$S.H.M.$ में एक कण की कुल ऊर्जा $E$ सूत्र $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $E \propto A^2$,यदि आयाम $A$ को कम किया जाता है,तो कुल ऊर्जा $E$ भी कम हो जाएगी।
अतः,आवर्तकाल स्थिर रहता है जबकि कुल ऊर्जा कम हो जाती है।

(B) दिया गया है: $m = 0.4 \,kg$, $f = \frac{16}{\pi} \,Hz$, $K.E. = 2 \,J$, $P.E. = 1.2 \,J$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{16}{\pi} = 32 \,rad/s$.
कुल ऊर्जा $T.E. = K.E. + P.E. = 2 + 1.2 = 3.2 \,J$.
$S.H.M.$ में कुल ऊर्जा का सूत्र $T.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ है।
मान रखने पर: $3.2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times (32)^2 \times A^2$.
$3.2 = 0.2 \times 1024 \times A^2$.
$3.2 = 204.8 \times A^2$.
$A^2 = \frac{3.2}{204.8} = \frac{32}{2048} = \frac{1}{64}$.
$A = \sqrt{\frac{1}{64}} = 0.125 \,m$.

(B) $S.H.M.$ में कण का त्वरण $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ विस्थापन है।
दिया गया है $a = 0.5 \,m/s^2$ और $x = 0.02 \,m$।
$\omega^2 = \frac{a}{x} = \frac{0.5}{0.02} = 25 \,rad^2/s^2$।
वर्गमूल लेने पर,$\omega = 5 \,rad/s$ प्राप्त होता है।
अधिकतम वेग $V_{\max}$ का सूत्र $V_{\max} = A \omega$ है,जहाँ $A$ आयाम है।
दिया गया है $A = 0.1 \,m$।
अतः,$V_{\max} = 0.1 \times 5 = 0.5 \,m/s$।

(D) $S.H.M.$ में $x$ विस्थापन पर कण का वेग $V = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम चाल $V_{\max}$ माध्य स्थिति पर होती है और यह $V_{\max} = A\omega$ है।
प्रश्न के अनुसार,चाल $V$ अधिकतम चाल की एक-चौथाई है:
$V = \frac{1}{4} V_{\max}$
$\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \frac{1}{4} (A\omega)$
$\sqrt{A^2 - x^2} = \frac{A}{4}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$A^2 - x^2 = \frac{A^2}{16}$
$x^2 = A^2 - \frac{A^2}{16} = \frac{15A^2}{16}$
$x = \frac{A\sqrt{15}}{4}$

(C) विस्थापन के लिए दिया गया समीकरण $x = 5 \sin (3t + 3)$ है।
इसे $S.H.M.$ के मानक समीकरण $x = A \sin (\omega t + \phi)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
आयाम $A = 5 \ cm$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 3 \ rad/s$
$S.H.M.$ में कण के अधिकतम त्वरण का सूत्र $a_{max} = A \omega^2$ है।
मान रखने पर,हमें $a_{max} = 5 \times (3)^2$ प्राप्त होता है।
$a_{max} = 5 \times 9 = 45 \ cm \ s^{-2}$.

(C) प्रत्यानयन बल $F = kx$ के अंतर्गत $S.H.M.$ करने वाले पिंड के लिए,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है,जिसका अर्थ है $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$।
दिया गया है $F_1 = k_1 x$ और $F_2 = k_2 x$,इसलिए $k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$ और $k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$ है।
जब दोनों बल एक साथ एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो प्रभावी बल नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ होता है।
नया आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1 + k_2}$,इसलिए $\frac{1}{T^2} = \frac{k_1 + k_2}{4\pi^2 m} = \frac{k_1}{4\pi^2 m} + \frac{k_2}{4\pi^2 m}$।
$k_1$ और $k_2$ के मान रखने पर,हमें $\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}$।

(C) द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1$ के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$ है।
नए द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ के लिए,आवर्तकाल $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{k}}$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_1}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{m_1 + m_2}{m_1} = 1 + \frac{m_2}{m_1}$.
अनुपात ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{m_2}{m_1} = \frac{T_2^2}{T_1^2} - 1 = \frac{T_2^2 - T_1^2}{T_1^2}$.

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $T \propto \sqrt{\ell}$ है।
यदि घड़ी तेज चल रही है,तो इसका मतलब है कि इसका आवर्तकाल $T$ बहुत कम है (यह बहुत जल्दी दोलन पूरा कर रही है)।
समय को सही करने के लिए,हमें आवर्तकाल $T$ को बढ़ाने की आवश्यकता है।
चूंकि $T$,लंबाई $\ell$ के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है,इसलिए लंबाई $\ell$ को बढ़ाने से आवर्तकाल $T$ बढ़ जाएगा।
आवर्तकाल गोलक के द्रव्यमान और दोलन के आयाम से स्वतंत्र होता है (छोटे कोणों के लिए)।

(A) $m$ द्रव्यमान के कण का $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग के साथ आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली स्प्रिंग के लिए,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}$,इसलिए $T_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1}$।
दूसरी स्प्रिंग के लिए,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_2}}$,इसलिए $T_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_2}$।
जब दो स्प्रिंगों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k$ का मान $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$ होता है।
श्रेणी संयोजन के लिए आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 m \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$।
$T_1^2$ और $T_2^2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k_1} + 4\pi^2 \frac{m}{k_2} = T_1^2 + T_2^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$T = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$।

(A) श्रेणी संयोजन में,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_s$ इस प्रकार है:
$k_s = \frac{K \cdot K}{K + K} = \frac{K}{2}$
समांतर संयोजन में,प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $k_p$ इस प्रकार है:
$k_p = K + K = 2K$
द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली के लिए दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{M}}$ होती है।
श्रेणी संयोजन के लिए,आवृत्ति $f_s$ है:
$f_s = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K/2}{M}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{2M}}$
समांतर संयोजन के लिए,आवृत्ति $f_p$ है:
$f_p = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{M}}$
श्रेणी और समांतर संयोजन में आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{f_s}{f_p} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{K}{2M}}}{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2K}{M}}} = \sqrt{\frac{K}{2M} \cdot \frac{M}{2K}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान का एक पिंड जो $SHM$ करता है,उसके लिए बल $F = kx$ है,जहाँ $k$ बल नियतांक है। आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}$।
बल $F_1$ के लिए,$k_1 = \frac{4\pi^2 m}{T_1^2}$।
बल $F_2$ के लिए,$k_2 = \frac{4\pi^2 m}{T_2^2}$।
जब दोनों बल एक साथ एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो प्रभावी बल नियतांक $k_{eff} = k_1 + k_2$ होता है।
नया आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1 + k_2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = \frac{4\pi^2 m}{k_1 + k_2}$।
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{1}{T^2} = \frac{k_1 + k_2}{4\pi^2 m} = \frac{k_1}{4\pi^2 m} + \frac{k_2}{4\pi^2 m}$।
$k_1$ और $k_2$ के मान रखने पर,$\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$।
अतः,$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}$।

(C) मान लीजिए कि कोने $A$ पर $m$ द्रव्यमान है। अन्य दो द्रव्यमानों द्वारा उस पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_1$ और $F_2$ है,जहाँ $F_1 = F_2 = G \frac{m^2}{L^2}$ है।
इन दो बलों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। परिणामी बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{3} F_1 = \sqrt{3} G \frac{m^2}{L^2}$.
त्रिभुज के केंद्र से प्रत्येक द्रव्यमान की दूरी $r = \frac{L}{\sqrt{3}}$ है।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए,गुरुत्वाकर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$mr \omega^2 = F$
$m \left( \frac{L}{\sqrt{3}} \right) \omega^2 = \sqrt{3} G \frac{m^2}{L^2}$
$\omega^2 = 3 G \frac{m}{L^3}$
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए:
$\left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 = \frac{3Gm}{L^3}$
$T^2 = \frac{4\pi^2 L^3}{3Gm}$
$T \propto L^{3/2}$.

(A) सरल लोलक की आवृत्ति $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$.
सतह से $d$ गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ होता है।
यहाँ $d = \frac{R}{2}$ दिया गया है,इसलिए $g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
गहराई $d$ पर नई आवृत्ति $n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g'}{l}}$ होगी।
$g' = \frac{g}{2}$ रखने पर,$n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g/2}{l}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \right)$.
अतः,$n' = \frac{n}{\sqrt{2}}$.

(B) घूर्णी गतिज ऊर्जा $E$ को $E = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
इससे,हम लिख सकते हैं $L = \sqrt{2IE}$.
दिया गया है कि $I_1 = \frac{I_2}{3} \implies I_2 = 3I_1$ और $E_1 = 27E_2$.
कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{\sqrt{2I_1E_1}}{\sqrt{2I_2E_2}}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{L_1}{L_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{E_1}{E_2}} = \sqrt{\frac{I_1}{3I_1} \cdot \frac{27E_2}{E_2}}$.
$\frac{L_1}{L_2} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot 27} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$L_1 : L_2$ का अनुपात $3: 1$ है।

(C) घूर्णन करने वाली वस्तु की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
चूँकि $\omega = 2\pi f$,जहाँ $f$ आवृत्ति है,इसलिए $K \propto I f^2$ होता है।
दिया गया है कि $f_2 = 2f_1$ और $K_2 = \frac{K_1}{4}$,अतः:
$\frac{K_2}{K_1} = \frac{I_2 f_2^2}{I_1 f_1^2}$
$\frac{1}{4} = \frac{I_2}{I_1} \times (2)^2$
$\frac{1}{4} = \frac{I_2}{I_1} \times 4$
$\frac{I_2}{I_1} = \frac{1}{16}$
कोणीय संवेग $L = I \omega = I(2\pi f)$ है,इसलिए $L \propto I f$ होता है।
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{I_2 f_2}{I_1 f_1} = \left(\frac{I_2}{I_1}\right) \times \left(\frac{f_2}{f_1}\right)$
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{1}{16} \times 2 = \frac{1}{8}$
अतः,$L_2 = \frac{L}{8}$।

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{L^2}{2I}$ है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
चूँकि गतिज ऊर्जा समान है,इसलिए $K_P = K_Q$ होगा।
अतः,$\frac{L_P^2}{2I_P} = \frac{L_Q^2}{2I_Q}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{L_Q^2}{L_P^2} = \frac{I_Q}{I_P}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{L_Q}{L_P} = \sqrt{\frac{I_Q}{I_P}}$।
यह दिया गया है कि $I_Q > I_P$,इसलिए $\frac{I_Q}{I_P} > 1$ होगा।
इस प्रकार,$\sqrt{\frac{I_Q}{I_P}} > 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{L_Q}{L_P} > 1$।
अतः,$L_Q > L_P$।

(B) किसी कण का कोणीय संवेग उसके स्थिति सदिश और रैखिक संवेग के क्रॉस गुणनफल द्वारा परिभाषित होता है: $\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}$.
क्रॉस गुणनफल के गुणों के अनुसार,सदिश $\overrightarrow{L}$,$\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{p}$ दोनों के लंबवत होता है।
कोणीय संवेग का परिमाण $L = rp \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$,$\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{p}$ के बीच का कोण है।
परिमाण $L$ के अधिकतम होने के लिए,$\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए,जो $\theta = 90^{\circ}$ पर होता है।
इसलिए,$\overrightarrow{L}$ तब अधिकतम होता है जब $\overrightarrow{p}$,$\overrightarrow{r}$ के लंबवत होता है।

(A) निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ प्रारंभिक कोणीय वेग है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है: $L = I \omega = I^{\prime} \omega^{\prime}$।
यह दिया गया है कि नया जड़त्व आघूर्ण $I^{\prime} = 2I$ है,इसलिए $2I \omega^{\prime} = I \omega$,जिसका अर्थ है $\omega^{\prime} = \frac{\omega}{2}$।
नई गतिज ऊर्जा $K^{\prime} = \frac{1}{2} I^{\prime} \omega^{\prime 2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$K^{\prime} = \frac{1}{2} (2I) \left( \frac{\omega}{2} \right)^2 = I \left( \frac{\omega^2}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} I \omega^2 \right) = \frac{K}{2}$।

(C) घूर्णन त्रिज्या $K$ को संबंध $I = MK^2$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ द्रव्यमान है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार वलय के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{r} = MR^2$ होता है।
अतः,$MR^2 = MK_{r}^2$,जिससे $K_{r} = R$ प्राप्त होता है।
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार चकती के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{d} = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
अतः,$\frac{1}{2}MR^2 = MK_{d}^2$,जिससे $K_{d} = \frac{R}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
घूर्णन त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{K_{r}}{K_{d}} = \frac{R}{R/\sqrt{2}} = \sqrt{2} : 1$ है।

(C) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
जब गोले को $R'$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान की डिस्क में पुनर्गठित किया जाता है,तो डिस्क का उसके किनारे से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार $I' = I_{cm} + Md^2 = \frac{1}{2} MR'^2 + MR'^2 = \frac{3}{2} MR'^2$ होता है।
दिया गया है कि $I' = I$,इसलिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{3}{2} MR'^2 = \frac{2}{5} MR^2$.
दोनों पक्षों से $M$ को काटने पर,हमें $R'^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$R' = \sqrt{\frac{4}{15}} R = \frac{2}{\sqrt{15}} R$ प्राप्त होता है।

(A) डिस्क का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $M = 1 \,kg$ और $R = 2 \,m$ दिया गया है,इसलिए $I_{cm} = \frac{1}{2} \times 1 \times (2)^2 = 2 \,kg \cdot m^2$।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,$XY$ अक्ष के समानांतर और डिस्क के किनारे से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = I_{cm} + Md^2$ है,जहाँ $d = R$ दोनों अक्षों के बीच की दूरी है।
मान रखने पर,$I' = 2 + (1 \times 2^2) = 2 + 4 = 6 \,kg \cdot m^2$।

(B) $YY'$ अक्ष ऊपरी छल्ले के केंद्र से होकर गुजरती है और यह उस छल्ले का व्यास है। ऊपरी छल्ले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} MR^2$ है।
निचले दो छल्लों के लिए,$YY'$ अक्ष उनके अपने तल में एक स्पर्शरेखा (tangent) है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,छल्ले के तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tangent} = I_{cm} + MR^2 = \frac{1}{2} MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ होता है।
चूंकि ऐसे दो निचले छल्ले हैं,इसलिए उनका कुल जड़त्व आघूर्ण $I_2 + I_3 = \frac{3}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 = 3 MR^2$ होगा।
अतः,$YY'$ अक्ष के परितः निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{1}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 + \frac{3}{2} MR^2 = \frac{7}{2} MR^2$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda$ दिया गया है। पहली वलय का द्रव्यमान $M_1 = \lambda(2\pi R)$ और त्रिज्या $R_1 = R$ है।
अतः,$I_1 = M_1 R_1^2 = (2\pi R \lambda) R^2 = 2\pi \lambda R^3$.
दूसरी वलय का द्रव्यमान $M_2 = \lambda(2\pi nR)$ और त्रिज्या $R_2 = nR$ है।
अतः,$I_2 = M_2 R_2^2 = (2\pi nR \lambda) (nR)^2 = 2\pi \lambda n^3 R^3$.
अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$ दिया गया है।
व्यंजक रखने पर: $\frac{2\pi \lambda R^3}{2\pi \lambda n^3 R^3} = \frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$.
इसलिए,$n^3 = 8$,जिससे $n = 2$ प्राप्त होता है।

(A) किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण $I$,उसके द्रव्यमान $m$ और घूर्णन त्रिज्या $K$ के पदों में $I = mK^2$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय संवेग $L$,जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय वेग $\omega$ से $L = I\omega$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
$I$ के व्यंजक को कोणीय संवेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = (mK^2)\omega$ प्राप्त होता है।
कोणीय वेग $\omega$ के लिए इस समीकरण को व्यवस्थित करने पर,$\omega = \frac{L}{mK^2}$ प्राप्त होता है।

(A) ऊपरी गोले का उसके केंद्र से गुजरने वाली $YY'$ अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{2}{5} MR^2$ है।
नीचे के दो गोलों में से प्रत्येक के लिए,$YY'$ अक्ष उनके केंद्रों से $R$ दूरी पर है। समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,प्रत्येक निचले गोले के लिए जड़त्व आघूर्ण $I_2 = I_{cm} + MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5} MR^2$ है।
अतः,निकाय का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + 2 \times I_2 = \frac{2}{5} MR^2 + 2 \times \frac{7}{5} MR^2 = \frac{2}{5} MR^2 + \frac{14}{5} MR^2 = \frac{16}{5} MR^2$ होगा।

(C) किसी पिंड का किसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \sum m_i r_i^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_i$ घूर्णन अक्ष से $i$-वें कण की लंबवत दूरी है।
दिए गए द्रव्यमान वितरण के लिए,जड़त्व आघूर्ण तब अधिक होता है जब द्रव्यमान घूर्णन अक्ष से अधिक औसत दूरी पर वितरित होता है।
दिए गए त्रिकोणीय लैमिना $PQR$ में,अक्ष $QR$ त्रिभुज की एक भुजा है। लैमिना का संपूर्ण द्रव्यमान इस प्रकार वितरित है कि अधिकांश क्षेत्रफल (और इसलिए द्रव्यमान) अक्ष $PQ$ या $PR$ की तुलना में अक्ष $QR$ से अधिक औसत दूरी पर स्थित है।
अतः,अक्ष $QR$ के परितः जड़त्व आघूर्ण अधिकतम होगा।

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप का उसकी केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = MR^2$ होता है।
मान लीजिए कि तार का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m$ है। तब लूप के द्रव्यमान $M_P = 2\pi R_1 m$ और $M_Q = 2\pi R_2 m$ होंगे।
जड़त्व आघूर्ण $I_P = M_P R_1^2 = (2\pi R_1 m) R_1^2 = 2\pi m R_1^3$ और $I_Q = M_Q R_2^2 = (2\pi R_2 m) R_2^2 = 2\pi m R_2^3$ हैं।
अनुपात लेने पर: $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{2\pi m R_1^3}{2\pi m R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
दिया गया है कि $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{1}{8}$,इसलिए $\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{R_2}{R_1} = 2$.

(B) $M$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई वाली एक पतली एकसमान छड़ का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = ML^2/12$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,$I = I_{cm} + Md^2$,जहाँ $d$ द्रव्यमान केंद्र और नई अक्ष के बीच की दूरी है।
द्रव्यमान केंद्र एक सिरे से $L/2$ दूरी पर है। नई अक्ष उसी सिरे से $L/4$ दूरी पर है।
इसलिए,दूरी $d = |L/2 - L/4| = L/4$ है।
इन मानों को समांतर अक्ष प्रमेय में रखने पर:
$I = ML^2/12 + M(L/4)^2$
$I = ML^2/12 + ML^2/16$
$12$ और $16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $48$ लेने पर:
$I = (4ML^2 + 3ML^2) / 48 = 7ML^2/48$.

(D) ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} M R^2$ है। घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{\text{sphere}} = \frac{1}{2} I_{\text{sphere}} \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ है।
ठोस बेलन का उसकी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} M R^2$ है। दिया गया है कि $\omega_{\text{cylinder}} = 2 \omega_{\text{sphere}}$,अतः घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2} I_{\text{cylinder}} \omega_{\text{cylinder}}^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} M R^2 (2 \omega_{\text{sphere}})^2 = \frac{1}{4} M R^2 (4 \omega_{\text{sphere}}^2) = M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2$ है।
उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_{\text{sphere}}}{K_{\text{cylinder}}} = \frac{\frac{1}{5} M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2}{M R^2 \omega_{\text{sphere}}^2} = \frac{1}{5}$ होगा।

(C) दिया गया है: कोणीय त्वरण $\alpha = 4 \ rad/s^2$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0 = 0$ है।
अभिकेंद्री त्वरण $a_c = r\omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r\alpha$ द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया है कि $a_c = a_t$,इसलिए $r\omega^2 = r\alpha$ होगा।
यह $\omega^2 = \alpha$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\alpha} = \sqrt{4} = 2 \ rad/s$।
घूर्णी गति के लिए गतिज समीकरण का उपयोग करते हुए,$\omega = \omega_0 + \alpha t$ है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 = 0 + 4t$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = 2/4 = 1/2 \ s$।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $R = 0.4 \,m$,द्रव्यमान $M = 1 \,kg$,कोणीय त्वरण $\alpha = 10 \,rad \,s^{-2}$।
डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} MR^2$ होता है।
$I = \frac{1}{2} \times 1 \,kg \times (0.4 \,m)^2 = 0.5 \times 0.16 = 0.08 \,kg \,m^2$।
टॉर्क $\tau$ का मान $\tau = I \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
$\tau = 0.08 \,kg \,m^2 \times 10 \,rad \,s^{-2} = 0.8 \,N \,m$।
रिम पर लगाया गया स्पर्शरेखीय बल $F$,टॉर्क से $\tau = F \times R$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.8 \,N \,m}{0.4 \,m} = 2 \,N$।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $R = 0.4 \,m$,द्रव्यमान $M = 1 \,kg$,कोणीय त्वरण $\alpha = 10 \,rad/s^2$.
डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
मान रखने पर: $I = \frac{1 \times (0.4)^2}{2} = \frac{0.16}{2} = 0.08 \,kg \cdot m^2$.
टॉर्क $\tau = I\alpha$ द्वारा दिया जाता है। साथ ही,रिम पर लगाए गए स्पर्शरेखीय बल $F$ के लिए,$\tau = RF$.
दोनों को बराबर करने पर: $RF = I\alpha$.
$F$ के लिए हल करने पर: $F = \frac{I\alpha}{R} = \frac{0.08 \times 10}{0.4} = \frac{0.8}{0.4} = 2 \,N$.

(C) मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I = m(\frac{d}{2})^2 + m(\frac{d}{2})^2 = 2m(\frac{d^2}{4}) = \frac{md^2}{2}$ होता है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
$I$ का मान रखने पर,$K = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2 \omega^2}{4}$ प्राप्त होता है।
$\omega^2$ के लिए हल करने पर,$\omega^2 = \frac{4K}{md^2}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\omega = \sqrt{\frac{4K}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{K}{m}}$ प्राप्त होता है।

(A) एक दृढ़ पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$m$ द्रव्यमान और $d$ दूरी पर स्थित दो परमाणुओं वाले अणु के लिए,द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और परमाणुओं को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m(\frac{d}{2})^2 + m(\frac{d}{2})^2 = 2m(\frac{d^2}{4}) = \frac{md^2}{2}$ है।
ऊर्जा समीकरण में $I$ का मान रखने पर: $E = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2}{4} \omega^2$.
$\omega^2$ के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{4E}{md^2}$.
वर्गमूल लेने पर: $\omega = \sqrt{\frac{4E}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{E}{m}}$.

(C) पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र है: $K = \frac{1}{2} I \omega^2$।
यहाँ कोणीय वेग $\omega = 1 \ rad/s$ दिया गया है,इसलिए: $K = \frac{1}{2} I (1)^2 = \frac{1}{2} I$।
प्रश्न के अनुसार,जड़त्व आघूर्ण $(I)$,घूर्णन गतिज ऊर्जा $(K)$ के '$P$' गुना के बराबर है: $I = P \cdot K$।
$K$ का मान रखने पर: $I = P \cdot (\frac{1}{2} I)$।
दोनों पक्षों को $I$ से विभाजित करने पर: $1 = P \cdot \frac{1}{2}$।
अतः,$P = 2$।

(D) जब अपकेंद्री बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर हो जाता है,तो पिंड भूमध्य रेखा पर भारहीन हो जाता है,जिसे $R \omega^2 = g$ या $\omega^2 = \frac{g}{R}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
पृथ्वी की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
एक ठोस गोले के लिए (पृथ्वी को ठोस गोला मानते हुए),जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} MR^2$ होता है।
$I$ और $\omega^2$ के मानों को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} MR^2) \times (\frac{g}{R})$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$K = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times M \times R \times g = \frac{1}{5} MgR$.

(A) मीटर स्केल का गुरुत्व केंद्र $50 \text{ cm}$ के निशान पर होता है। वेज को इसी बिंदु पर रखा गया है।
वेज से '$W$' भार की दूरी $50 \text{ cm} - 20 \text{ cm} = 30 \text{ cm}$ है।
वेज से $25 \text{ g-wt}$ भार की दूरी $74 \text{ cm} - 50 \text{ cm} = 24 \text{ cm}$ है।
स्केल को क्षैतिज रहने के लिए, पिवट (वेज) के परितः दक्षिणावर्त आघूर्ण (clockwise moment) वामावर्त आघूर्ण (anticlockwise moment) के बराबर होना चाहिए:
$W \times 30 \text{ cm} = 25 \text{ g-wt} \times 24 \text{ cm}$
$W = \frac{25 \times 24}{30} \text{ g-wt}$
$W = \frac{600}{30} \text{ g-wt} = 20 \text{ g-wt}$

(B) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $Q = \frac{KA(\Delta \theta)t}{\ell}$.
यह ऊष्मा बर्फ को पिघलाने के लिए उपयोग की जाती है,इसलिए $Q = mL$,जहाँ $m$ पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान है और $L$ गलन की गुप्त ऊष्मा है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $mL = \frac{KA(\Delta \theta)t}{\ell}$.
दिए गए मान: $K = 96 \,cal/(s \cdot m \cdot ^{\circ}C)$,$A = 10^{-3} \,m^2$,$\Delta \theta = 100^{\circ}C$,$t = 60 \,s$,$\ell = 1 \,m$,और $L = 8 \times 10^4 \,cal/kg$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$m = \frac{96 \times 10^{-3} \times 100 \times 60}{1 \times 8 \times 10^4}$.
$m = \frac{96 \times 10^{-1} \times 60}{8 \times 10^4} = \frac{576}{8 \times 10^5} = 72 \times 10^{-4} \,kg = 7.2 \times 10^{-3} \,kg$.

(C) चालक के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = \frac{kA \Delta \theta}{d}$.
ऊष्मीय चालकता $k$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $k = \frac{Q}{tA} \cdot \frac{d}{\Delta \theta}$.
दिया गया है: ऊष्मा फ्लक्स $\frac{Q}{tA} = 900 \ kcal / (min \cdot m^2) = \frac{900}{60} \ kcal / (s \cdot m^2) = 15 \ kcal / (s \cdot m^2)$.
मोटाई $d = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$.
तापमान अंतर $\Delta \theta = 15^{\circ} C$.
मान रखने पर: $k = \frac{15 \times 3 \times 10^{-2}}{15} = 3 \times 10^{-2} \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ}C)$.

(B) माना प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है। जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{s} = R + R = 2R$ होता है।
श्रेणीक्रम में स्थानांतरित ऊष्मा $Q = \frac{\Delta T}{R_{s}} \times t_{s} = \frac{\Delta T}{2R} \times 8 = \frac{4 \Delta T}{R}$ है।
जब समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_{p} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ होता है।
समानांतर क्रम में स्थानांतरित ऊष्मा $Q = \frac{\Delta T}{R_{p}} \times t_{p} = \frac{\Delta T}{R/2} \times t_{p} = \frac{2 \Delta T}{R} \times t_{p}$ है।
चूंकि दोनों स्थितियों में स्थानांतरित ऊष्मा $Q$ समान है,इसलिए हम समीकरणों की तुलना करते हैं:
$\frac{4 \Delta T}{R} = \frac{2 \Delta T}{R} \times t_{p}$.
$t_{p}$ के लिए हल करने पर,हमें $t_{p} = \frac{4}{2} = 2 \ s$ प्राप्त होता है।

(C) छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{kA(\theta_1 - \theta_2)}{\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\ell$ छड़ की लंबाई है।
जब सभी रैखिक विमाओं को दोगुना किया जाता है,तो त्रिज्या $r$,$2r$ हो जाती है और लंबाई $\ell$,$2\ell$ हो जाती है।
नया क्षेत्रफल $A' = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A$ होगा।
नई लंबाई $\ell' = 2\ell$ होगी।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q'$ का मान $Q' = \frac{kA'(\theta_1 - \theta_2)}{\ell'}$ होगा।
नए मान रखने पर: $Q' = \frac{k(4A)(\theta_1 - \theta_2)}{2\ell} = 2 \left( \frac{kA(\theta_1 - \theta_2)}{\ell} \right) = 2Q$।

(B) ऊष्मीय प्रतिरोध $(R_{th})$ को तापमान अंतर $(\Delta T)$ और ऊष्मा प्रवाह की दर ($H$ या ऊष्मीय धारा) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $R_{th} = \frac{\Delta T}{H}$
दिया गया है:
तापमान अंतर $\Delta T = 28^{\circ} C$
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = 1400 \ cal s^{-1}$
गणना:
$R_{th} = \frac{28}{1400} \ ^{\circ} C s cal^{-1}$
$R_{th} = 0.02 \ ^{\circ} C s cal^{-1}$
अतः, ऊष्मीय प्रतिरोध $0.02 \ ^{\circ} C s cal^{-1}$ है।

(A) प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{At} = \frac{k \Delta \theta}{d}$.
दिया गया है:
ऊष्मा फ्लक्स $\frac{Q}{At} = 10 \ kcal / (s \cdot m^2)$
मोटाई $d = 1.8 \ cm = 1.8 \times 10^{-2} \ m$
तापमान अंतर $\Delta \theta = 9^{\circ} C$
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = k \times \frac{9}{1.8 \times 10^{-2}}$
$10 = k \times \frac{9}{0.018}$
$10 = k \times 500$
$k = \frac{10}{500} = \frac{1}{50} = 0.02 \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ} C)$.

(D) एक बेलनाकार छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $Q = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
अतः,$Q_1 = \frac{k \pi r_1^2 (T_1 - T_2)}{L_1}$ है।
जब लंबाई और त्रिज्या को दोगुना किया जाता है,तो $L_2 = 2L_1$ और $r_2 = 2r_1$ हो जाता है।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q_2 = \frac{k \pi r_2^2 (T_1 - T_2)}{L_2}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \cdot \left( \frac{L_1}{L_2} \right)$।
मान रखने पर: $\frac{Q_2}{Q_1} = (2)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$।
अतः,$Q_2 = 2 Q_1$।

(B) एक पूर्णतः कृष्णिका को ऐसी वस्तु के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी भी तरंग दैर्ध्य के सभी आपतित विकिरणों को अवशोषित कर लेती है। किरचॉफ के ऊष्मीय विकिरण के नियम के अनुसार,अपने परिवेश के साथ ऊष्मीय संतुलन में किसी भी वस्तु के लिए,उसकी उत्सर्जकता (emissivity) उसकी अवशोषकता (absorptivity) के बराबर होती है। चूंकि एक पूर्णतः कृष्णिका की अवशोषकता $1$ होती है,इसलिए इसकी उत्सर्जकता (उत्सर्जन गुणांक) भी $1$ होनी चाहिए,जिसे इकाई (unity) कहा जाता है।

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{m})$ और परम तापमान $(T)$ का गुणनफल एक स्थिरांक होता है,अर्थात $\lambda_{m} T = b$.
इसका अर्थ है कि $T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$.
नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से कम होती है $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{yellow}})$।
चूंकि तारा '$Q$' नीला प्रकाश उत्सर्जित करता है और तारा '$P$' पीला प्रकाश उत्सर्जित करता है,इसलिए $\lambda_{Q} < \lambda_{P}$ है।
अतः,$T_{Q} > T_{P}$,जिसे $T_{P} < T_{Q}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$E = \sigma A T^4$,जहाँ $T = 27^{\circ}C = 300 \ K$ है।
जब लंबाई और चौड़ाई को उनके प्रारंभिक मानों के $1/3$ तक कम किया जाता है,तो नया क्षेत्रफल $A' = (L/3) \times (B/3) = A/9$ हो जाता है।
नया तापमान $T' = 327^{\circ}C = 600 \ K$ है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित नई ऊर्जा $E' = \sigma A' (T')^4$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times \left(\frac{T'}{T}\right)^4$।
मान रखने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$।
अतः,$E' = \frac{16 E}{9}$।

(C) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,प्रकाश-विद्युत धारा आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है,बशर्ते आवृत्ति देहली आवृत्ति (threshold frequency) से अधिक हो। चूंकि आवृत्ति और त्वरक विभव को स्थिर रखा गया है,इसलिए आपतित प्रकाश की तीव्रता बढ़ाने से प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या बढ़ जाती है,जिससे प्रति इकाई समय में उत्सर्जित होने वाले प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की संख्या भी बढ़ जाती है। अतः,प्रकाश-विद्युत धारा बढ़ जाती है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,गतिज ऊर्जा $K = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए,गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W_0$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए,गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W_0$ है।
दिया गया है कि $K_2 = 3K_1$,इसलिए:
$\frac{hc}{\lambda_2} - W_0 = 3\left(\frac{hc}{\lambda_1} - W_0\right)$.
$\frac{hc}{\lambda_2} - W_0 = \frac{3hc}{\lambda_1} - 3W_0$.
$W_0$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3W_0 - W_0 = \frac{3hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2}$.
$2W_0 = hc\left(\frac{3}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\right)$.
$2W_0 = hc\left(\frac{3\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1\lambda_2}\right)$.
अतः,$W_0 = \frac{hc}{2}\left(\frac{3\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1\lambda_2}\right)$.

(A) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,प्रकाश-धारा प्रति इकाई समय में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है।
चूंकि प्रत्येक आपतित फोटॉन अधिकतम एक फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है,इसलिए उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या केवल प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या पर निर्भर करती है,जो आपतित प्रकाश की तीव्रता द्वारा निर्धारित होती है।
आपतित प्रकाश की आवृत्ति उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की गतिज ऊर्जा को निर्धारित करती है,बशर्ते आवृत्ति देहली आवृत्ति (threshold frequency) से अधिक हो,लेकिन यह प्रकाश-धारा के परिमाण को प्रभावित नहीं करती है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$(KE)_{\max} = h\nu - \phi_0$
जहाँ $\phi_0 = h\nu_0$ कार्य फलन (work function) है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर:
यहाँ,$y = (KE)_{\max}$,$x = \nu$,$m = h$ (ढाल),और $c = -h\nu_0$ ($Y$-अंतःखंड) है।
$1$. $X$-अंतःखंड $(A)$ तब प्राप्त होता है जब $(KE)_{\max} = 0$:
$0 = h\nu - h\nu_0 \implies \nu = \nu_0 = A$.
$2$. $Y$-अंतःखंड $(B)$ तब प्राप्त होता है जब $\nu = 0$:
$(KE)_{\max} = -h\nu_0 = B$। चूंकि $B$ अंतःखंड का परिमाण दर्शाता है,हम $|B| = h\nu_0$ लेते हैं।
इसलिए,$Y$-अंतःखंड के परिमाण और $X$-अंतःखंड का अनुपात है:
$\frac{|B|}{A} = \frac{h\nu_0}{\nu_0} = h$.
अतः,प्लांक नियतांक $h$ को $\frac{B}{A}$ द्वारा दिया जाता है (परिमाणों पर विचार करते हुए)।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E$ को $E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ पदार्थ का कार्य फलन (work function) है। यह दर्शाता है कि $E$ केवल आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ पर निर्भर करता है,विशेष रूप से $E \propto \frac{1}{\lambda}$।
प्रकाश की तीव्रता $I$ प्रति इकाई समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आपतित फोटॉनों की संख्या के समानुपाती होती है। चूँकि प्रत्येक फोटॉन उत्सर्जन का कारण बनने के लिए एक इलेक्ट्रॉन के साथ परस्पर क्रिया करता है,इसलिए उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $N$ आपतित प्रकाश की तीव्रता $I$ के सीधे समानुपाती होती है $(N \propto I)$।

(C) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,प्रेरित धारा $(i)$ $i = \frac{e}{R} = \frac{1}{R} \cdot \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ है।
चूंकि धारा आवेश के प्रवाह की दर है,इसलिए $i = \frac{\Delta q}{\Delta t}$ होता है।
धारा के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{1}{R} \cdot \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$।
अतः,कुल प्रेरित आवेश $\Delta q = \frac{\Delta \phi}{R}$ है।
यह दर्शाता है कि कुल प्रेरित आवेश केवल चुंबकीय फ्लक्स में कुल परिवर्तन $(\Delta \phi)$ और प्रतिरोध $(R)$ पर निर्भर करता है।

(C) $DC$ परिपथ में स्थिर अवस्था में,प्रेरक एक साधारण तार की तरह कार्य करता है।
चूंकि कुंडली को दो समान भागों में तोड़ा गया है,इसलिए प्रत्येक भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2}$ हो जाता है।
जब इन दो भागों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'} = \frac{2}{R/2} = \frac{4}{R}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{R}{4}$.
ओम के नियम के अनुसार बैटरी से प्रवाहित धारा $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{E}{R/4} = \frac{4 E}{R}$ होगी।

(D) एक प्रेरक में संचित चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2} LI^2$।
दिया गया है:
$U = 25 \ mJ = 25 \times 10^{-3} \ J$
$I = 50 \ mA = 50 \times 10^{-3} \ A$
प्रेरकत्व $L$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$L = \frac{2U}{I^2}$
मान रखने पर:
$L = \frac{2 \times 25 \times 10^{-3}}{(50 \times 10^{-3})^2}$
$L = \frac{50 \times 10^{-3}}{2500 \times 10^{-6}}$
$L = \frac{50 \times 10^{-3}}{2.5 \times 10^{-3}}$
$L = 20 \ H$.

(D) दिए गए परिपथ में,तीनों प्रेरकों के बाएं सिरे बिंदु $P$ से और दाएं सिरे बिंदु $Q$ से जुड़े हुए हैं।
इसका अर्थ है कि तीनों प्रेरक समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े प्रेरकों के तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$
यहाँ $L_1 = L_2 = L_3 = 6 \ H$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \ H^{-1}$
अतः,$L_{eq} = 2 \ H$।

(A) $L$ स्व-प्रेरकत्व वाली कुंडली में $I$ धारा प्रवाहित होने पर संचित ऊर्जा $E$ का सूत्र: $E = \frac{1}{2} LI^2$ है।
माना प्रारंभिक धारा $I_1$ है और प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} LI_1^2$ है।
माना नई धारा $I_2 = \frac{I_1}{2}$ है और नई ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} LI_2^2$ है।
दोनों ऊर्जाओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{1}{2} LI_2^2}{\frac{1}{2} LI_1^2} = \left( \frac{I_2}{I_1} \right)^2$।
$I_2 = \frac{I_1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{I_1 / 2}{I_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।
अतः,$E_2 = \frac{E_1}{4}$।

(C) प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} LI^2$ द्वारा दी जाती है।
जब परिपथ को बंद किया जाता है,तो स्पार्किंग को रोकने के लिए इस ऊर्जा को संधारित्र में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
संधारित्र द्वारा संचित ऊर्जा $W = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
दोनों ऊर्जाओं को बराबर करने पर: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI^2$.
$C$ के लिए हल करने पर: $C = \frac{LI^2}{V^2} = L\left(\frac{I}{V}\right)^2$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले चालक में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल (emf) का सूत्र $e = B_{H} l v$ होता है।
दिया गया है:
तार की लंबाई $l = 2500 \ m$
तार की गति $v = 10 \ m/s$
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_{H} = 2 \times 10^{-5} \ T$
तार का प्रतिरोध $R = 25 \ \Omega$
प्रेरित emf की गणना:
$e = (2 \times 10^{-5} \ T) \times (2500 \ m) \times (10 \ m/s) = 0.5 \ V$
अब,ओम के नियम का उपयोग करके प्रेरित धारा $I$ की गणना:
$I = e / R = 0.5 \ V / 25 \ \Omega = 0.02 \ A$
अतः,प्रेरित धारा $0.02 \ A$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कोणीय वेग $\omega$ से घूमने वाले $\ell$ लंबाई के चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$e = \frac{1}{2} B \omega \ell^2$
दी गई मान:
$B = 0.2 \times 10^{-4} \ T$
$\omega = 5 \ rad/s$
$\ell = 1 \ m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = \frac{1}{2} \times (0.2 \times 10^{-4}) \times 5 \times (1)^2$
$e = 0.5 \times 10^{-4} \ V$
$e = 50 \times 10^{-6} \ V = 50 \ \mu V$

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले चालक में प्रेरित विद्युत वाहक बल (e.m.f.) का सूत्र निम्नलिखित है:
$E = B \ell v$
जहाँ:
$B = 1.2 \, Wb \cdot m^{-2}$ (चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता)
$\ell = 0.6 \, m$ (चालक की लंबाई)
$v = 10 \, ms^{-1}$ (चालक की गति)
सूत्र में मान रखने पर:
$E = 1.2 \times 0.6 \times 10$
$E = 7.2 \, V$
अतः, चालक में प्रेरित e.m.f. $7.2 \, V$ है।

(B) लेंज़ के नियम के अनुसार,लूप में प्रेरित धारा हमेशा उस चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन का विरोध करती है जो इसे उत्पन्न करता है।
चूंकि बाहरी लूप में धारा दक्षिणावर्त है और बढ़ रही है,इसलिए आंतरिक लूप से गुजरने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं (तल के अंदर की ओर निर्देशित) बढ़ रही हैं।
इस आंतरिक चुंबकीय फ्लक्स में वृद्धि का विरोध करने के लिए,आंतरिक लूप को बाहर की ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना होगा।
दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,बाहर की ओर चुंबकीय क्षेत्र वामावर्त धारा द्वारा उत्पन्न होता है।
इसलिए,आंतरिक लूप में प्रेरित धारा वामावर्त होगी।

(A) जब कोई तार गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत $\ell$ ऊँचाई से मुक्त रूप से गिरता है,तो जमीन पर पहुँचने के क्षण उसका वेग $v$,गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2g\ell$ द्वारा प्राप्त होता है। चूँकि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए $v = \sqrt{2g\ell}$ होगा।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत $v$ वेग से गति करने वाले $L$ लंबाई के चालक में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल (emf) का सूत्र $E = BLv$ होता है।
अब,$v$ का मान emf के सूत्र में रखने पर,हमें $E = BL \sqrt{2g\ell}$ प्राप्त होता है।

(A) लेंज़ के नियम के अनुसार,एक बंद परिपथ में प्रेरित धारा हमेशा ऐसी दिशा में बहती है कि वह चुंबकीय फ्लक्स में होने वाले उस परिवर्तन का विरोध करती है जो इसे उत्पन्न करता है।
जब एक छड़ चुंबक के उत्तरी ध्रुव को कुंडली की ओर लाया जाता है,तो कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बढ़ जाता है।
फ्लक्स में इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,कुंडली को चुंबक के सामने वाले हिस्से पर उत्तरी ध्रुव की तरह व्यवहार करना चाहिए।
दाएं हाथ के नियम के अनुसार,उत्तरी ध्रुव की तरह व्यवहार करने वाले फलक में धारा वामावर्त (anticlockwise) दिशा में बहती है।
इसलिए,कुंडली में प्रेरित धारा वामावर्त दिशा में बहती है।

(D) एक लंबे सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A$ है, इसलिए $B = \frac{\phi}{A}$ होगा।
$B$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{\phi}{A} = \frac{\mu_0 NI}{L}$।
चुंबकीय आघूर्ण $M = NIA$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $NIA = \frac{\phi L}{\mu_0}$।
यहाँ $\phi = 1.57 \times 10^{-6} \, Wb$, $L = 0.6 \, m$, और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ दिया गया है।
मान रखने पर: $M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.6}{4 \pi \times 10^{-7}}$।
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर, $4 \pi \approx 12.56$ होगा।
$M = \frac{1.57 \times 10^{-6} \times 0.6}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{0.942 \times 10^{-6}}{12.56 \times 10^{-7}} = \frac{9.42}{12.56} \approx 0.75 \, Am^2$।

(B) गतिमान तार में प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) $e = B \ell v$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $e = 0.5 \, T \times 1 \, m \times 2 \, m/s = 1 \, V$।
तार को स्थिर गति से चलाने के लिए किए गए कार्य की दर प्रतिरोध $R$ में व्यय होने वाली शक्ति के बराबर होती है।
शक्ति $P = \frac{e^2}{R}$ द्वारा दी जाती है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P = \frac{(1 \, V)^2}{6 \, \Omega} = \frac{1}{6} \, W$।

(C) दिया गया है: $\phi = 5t^2 - 6t + 9$ और $R = 20 \ \Omega$।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$e = -\frac{d}{dt}(5t^2 - 6t + 9) = -(10t - 6)$।
प्रेरित विद्युत वाहक बल का परिमाण $|e| = |10t - 6|$ है।
$t = 0.2 \ s$ पर,$|e| = |10(0.2) - 6| = |2 - 6| = |-4| = 4 \ V$।
प्रेरित धारा $i$ का मान $i = \frac{|e|}{R}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$i = \frac{4 \ V}{20 \ \Omega} = 0.2 \ A$।

(B) $N$ फेरों वाली कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L$,संबंध $N\phi = LI$ द्वारा परिभाषित होता है,जहाँ $\phi$ प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स है।
अतः,प्रेरकत्व $L = \frac{N\phi}{I}$ है।
प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}LI^2$ होता है।
ऊर्जा के सूत्र में $L$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{N\phi}{I} \right) I^2$.
इसे सरल करने पर,हमें $U = \frac{1}{2} N\phi I$ या $U = \frac{N\phi I}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल (e.m.f) फैराडे के प्रेरण के नियम द्वारा दिया जाता है: $e = -N \frac{d\phi}{dt} = -N \frac{\phi_2 - \phi_1}{t}$.
दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 0.06 \ m^2$,फेरों की संख्या $N = 600$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 5 \times 10^{-5} \ Wb/m^2$,समय $t = 0.2 \ s$.
चुंबकीय फ्लक्स $\phi = BA \cos \theta$ है।
प्रारंभ में,कुंडली चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए $\theta_1 = 0^{\circ}$ और $\phi_1 = BA \cos 0^{\circ} = BA$.
$90^{\circ}$ घुमाने के बाद,कुंडली चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए $\theta_2 = 90^{\circ}$ और $\phi_2 = BA \cos 90^{\circ} = 0$.
प्रेरित औसत e.m.f का परिमाण है:
$|e| = N \frac{|\phi_2 - \phi_1|}{t} = N \frac{|0 - BA|}{t} = \frac{NBA}{t}$.
मान रखने पर:
$|e| = \frac{600 \times 5 \times 10^{-5} \times 0.06}{0.2} = \frac{1.8 \times 10^{-3}}{0.2} = 9 \times 10^{-3} \ V$.

(D) ओम के नियम के अनुसार, प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e)$ $e = I \times R$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: धारा $(I)$ = $1.5 \, mA = 1.5 \times 10^{-3} \, A$ और प्रतिरोध $(R)$ = $5 \, \Omega$।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $e = (1.5 \times 10^{-3} \, A) \times (5 \, \Omega) = 7.5 \times 10^{-3} \, V$।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित emf चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के बराबर होता है, अर्थात $e = \frac{d\phi}{dt}$।
अतः, जिस दर पर चालक चुंबकीय फ्लक्स को काटता है वह $\frac{d\phi}{dt} = 7.5 \times 10^{-3} \, Wb/s$ है।

(B) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित e.m.f. $(|e|)$ का परिमाण चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ के समय $(t)$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$|e| = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$
दिया गया है $\phi = 3t^2 + 4t + 7$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 4t + 7) = 6t + 4$
$t = 2 \ s$ पर:
$|e| = 6(2) + 4 = 12 + 4 = 16 \ V$
अतः, प्रेरित e.m.f. का परिमाण $16 \ V$ है।

(A) दिया गया है:
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.1 \, T$
भुजा $PQ$ की लंबाई, $\ell = 12 \, cm = 0.12 \, m$
भुजा का वेग, $v = 20 \, ms^{-1}$
लूप का प्रतिरोध, $R = 2 \, \Omega$
गतिशील भुजा में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल (emf) इस प्रकार है:
$e = B \ell v$
$e = 0.1 \, T \times 0.12 \, m \times 20 \, ms^{-1}$
$e = 0.24 \, V$
ओम के नियम के अनुसार लूप में प्रेरित धारा $I$:
$I = \frac{e}{R}$
$I = \frac{0.24 \, V}{2 \, \Omega} = 0.12 \, A$
अतः, लूप में प्रेरित धारा $0.12 \, A$ है।

(C) $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली से संबद्ध कुल चुंबकीय फ्लक्स $\phi$, फेरों की संख्या $N$, चुंबकीय क्षेत्र $B$ और कुंडली के क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ का गुणनफल है।
$\phi = N \cdot B \cdot A = N \cdot \left( \frac{\mu_0 NI}{2R} \right) \cdot \pi R^2 = \frac{\mu_0 N^2 \pi R I}{2}$.
स्व-प्रेरकत्व गुणांक $L$ को $L = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\phi$ का मान रखने पर, हमें $L = \frac{\mu_0 N^2 \pi R}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है:
परिनालिका की लंबाई,$\ell = 31.4 \ cm = 0.314 \ m$
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 10^{-3} \ m^2$
कुल फेरों की संख्या,$N = 500$
निर्वात की पारगम्यता,$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
परिनालिका के स्व-प्रेरकत्व का सूत्र:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$
मान रखने पर:
$L = \frac{(4 \times 3.14 \times 10^{-7}) \times (500)^2 \times 10^{-3}}{0.314}$
$L = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 250000 \times 10^{-3}}{0.314}$
$L = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 \times 10^{-3}}{0.314}$
$L = \frac{4 \times 3.14 \times 2.5 \times 10^{-5}}{0.314}$
$L = 4 \times 10 \times 2.5 \times 10^{-5} = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3} \ H$

(A) पास की कुंडली में प्रेरित emf $e$ का सूत्र $e = M \frac{dI}{dt}$ है।
दिया गया है $I = 10 \sin(100 \pi t)$, अतः धारा के परिवर्तन की दर:
$\frac{dI}{dt} = 10 \times 100 \pi \cos(100 \pi t) = 1000 \pi \cos(100 \pi t)$.
इस मान को emf के समीकरण में रखने पर:
$e = M \times 1000 \pi \cos(100 \pi t)$.
प्रेरित emf $e_0$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $\cos(100 \pi t) = 1$ हो, इसलिए $e_0 = 1000 \pi M$.
दिया गया है $e_0 = 5 \pi \text{ V}$, अतः $1000 \pi M = 5 \pi$.
$M$ के लिए हल करने पर: $M = \frac{5 \pi}{1000 \pi} = 0.005 \text{ H} = 5 \text{ mH}$.

(D) $n$ फेरों वाली कुंडली के लिए कुल चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $N\phi_{total} = L I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$\phi_{total}$ प्रति फेरा फ्लक्स है,$L$ स्व-प्रेरकत्व है और $I$ विद्युत धारा है।
यहाँ दिया गया है कि प्रति फेरा फ्लक्स $\phi$ है और फेरों की संख्या $n$ है,इसलिए कुल फ्लक्स लिंकेज $n\phi$ होगा।
अतः,संबंध $n\phi = LI$ है।
$\phi$ के लिए हल करने पर,हमें $\phi = \frac{LI}{n}$ प्राप्त होता है।

(D) $R$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा वाली बड़ी कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R \gg r$,हम मान सकते हैं कि छोटी कुंडली के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है।
$r$ त्रिज्या वाली छोटी कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = B \cdot (\pi r^{2})$ है।
$B$ का मान रखने पर,हमें $\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2R} \right) \cdot (\pi r^{2})$ प्राप्त होता है।
अन्योन्य प्रेरकत्व $M$ को $M = \frac{\phi}{I}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,$M = \frac{\mu_{0} \pi r^{2}}{2R}$ है।
चूंकि $\mu_{0}$,$\pi$ और $2$ स्थिरांक हैं,इसलिए $M \propto \frac{r^{2}}{R}$ है।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच का बल $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण समान हैं,मान लीजिए $q_1 = q_2 = q$। प्रारंभ में दूरी $r_1 = Y$ है,इसलिए $F_1 = k \frac{q^2}{Y^2} = F$ है।
जब दूरी को आधा कर दिया जाता है,तो नई दूरी $r_2 = \frac{Y}{2}$ हो जाती है।
नया बल $F_2 = k \frac{q^2}{(Y/2)^2} = k \frac{q^2}{Y^2 / 4} = 4 \left( k \frac{q^2}{Y^2} \right)$ होता है।
$F_1 = F$ का मान रखने पर,हमें $F_2 = 4F$ प्राप्त होता है।

(D) पॉलीथीन पर आवेश $q = 4 \times 10^{-7} \ C$ है।
आवेश के क्वांटीकरण के सिद्धांत के अनुसार,कुल आवेश $q = Ne$ होता है,जहाँ $N$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $e$ मूल आवेश है।
यहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ दिया गया है।
इलेक्ट्रॉनों की संख्या $N$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $N = \frac{q}{e}$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $N = \frac{4 \times 10^{-7}}{1.6 \times 10^{-19}}$।
$N = \frac{4}{1.6} \times 10^{-7 - (-19)} = 2.5 \times 10^{12}$।
अतः,स्थानांतरित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2.5 \times 10^{12}$ है।

(B) निकाय के संतुलन में रहने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि दो $+q$ आवेशों के बीच की दूरी $r$ है। आवेश $Q$ केंद्र पर रखा गया है,इसलिए प्रत्येक $+q$ आवेश से इसकी दूरी $r/2$ है।
दो $+q$ आवेशों के कारण केंद्रीय आवेश $Q$ पर लगने वाला बल समान और विपरीत है,इसलिए यह पहले से ही संतुलन में है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,किसी एक $+q$ आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
दूसरे $+q$ आवेश के कारण एक $+q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}$ (प्रतिकर्षण) है।
केंद्रीय आवेश $Q$ के कारण इस $+q$ आवेश पर लगने वाला बल $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{(r/2)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{4qQ}{r^2}$ है।
संतुलन के लिए,$F_1 + F_2 = 0$,जिसका अर्थ है $F_1 = -F_2$.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2} = -\left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{4qQ}{r^2} \right)$.
$q^2 = -4qQ$.
$Q = -\frac{q}{4}$.

(D) कूलम्ब के नियम के अनुसार,'$d$' दूरी पर स्थित दो '$q$' आवेशों के बीच प्रतिकर्षण बल है:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{d^2}$
चूंकि आयन धनात्मक हैं,प्रत्येक आयन पर आवेश '$n$' इलेक्ट्रॉनों के नुकसान के कारण है,इसलिए $q = ne$.
$q = ne$ को बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{(ne)^2}{d^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{n^2 e^2}{d^2}$
अब,'$n$' के लिए हल करने पर:
$n^2 = \frac{F \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \cdot d^2}{e^2}$
$n = \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 F d^2}{e^2}}$

(A) प्रारंभिक आवेश $q_1 = 3 \mu C$ और $q_2 = 8 \mu C$ हैं। कूलम्ब के नियम के अनुसार उनके बीच का बल: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 40 \ N$ है।
जब प्रत्येक में $-5 \mu C$ का आवेश जोड़ा जाता है,तो नए आवेश होंगे:
$q_1' = 3 \mu C - 5 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 8 \mu C - 5 \mu C = 3 \mu C$
नया बल $F'$ है:
$F' = k \frac{q_1' q_2'}{r^2} = k \frac{(-2)(3)}{r^2} = -6k \frac{1}{r^2}$
नए बल को प्रारंभिक बल से विभाजित करने पर:
$\frac{F'}{40} = \frac{k \frac{(-2)(3)}{r^2}}{k \frac{(3)(8)}{r^2}} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$
$F' = 40 \times (-\frac{1}{4}) = -10 \ N$.

(D) मान लीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर $q$ परिमाण के तीन आवेश स्थित हैं।
किसी एक शीर्ष पर स्थित आवेश पर विचार करें। यह अन्य दो आवेशों के कारण दो प्रतिकर्षण बल अनुभव करता है, जिनमें से प्रत्येक का परिमाण $F$ है।
इन दो बलों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है (समबाहु त्रिभुज का आंतरिक कोण)।
परिणामी बल $R$ सदिश योग के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \theta}$
यहाँ $F_1 = F$, $F_2 = F$, और $\theta = 60^{\circ}$ रखने पर:
$R = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 60^{\circ}}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$ है, इसलिए:
$R = \sqrt{2 F^2 + 2 F^2 (0.5)} = \sqrt{2 F^2 + F^2} = \sqrt{3 F^2} = \sqrt{3} F$.

(D) एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों $+q$ और $-q$ से बना होता है,जो $2\ell$ की दूरी पर स्थित होते हैं।
एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में,धनात्मक आवेश पर बल $F_+ = qE$ क्षेत्र की दिशा में होता है,और ऋणात्मक आवेश पर बल $F_- = -qE$ क्षेत्र की विपरीत दिशा में होता है।
द्विध्रुव पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_+ + F_- = qE - qE = 0$ होता है।
विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -P \cdot E = -PE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
जब द्विध्रुव आघूर्ण $P$ क्षेत्र की दिशा में होता है,तो कोण $\theta = 0^{\circ}$ होता है।
अतः,$U = -PE \cos(0^{\circ}) = -PE$,जो कि न्यूनतम संभव मान है (स्थिर संतुलन)।

(A) $r$ त्रिज्या और $\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व वाले चाप के कारण उसके केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2 k \lambda}{r} \sin \alpha$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $2\alpha$ चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कुल कोण है।
अर्धवृत्ताकार चाप के लिए,अंतरित कुल कोण $180^{\circ}$ है,इसलिए $2\alpha = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\alpha = 90^{\circ}$।
$k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ और $\alpha = 90^{\circ}$ को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{2 (\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}) \lambda}{r} \sin(90^{\circ})$
चूंकि $\sin(90^{\circ}) = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{2 \lambda}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$.

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = qE$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन बल की दिशा में गति कर रहा है,इसलिए $L$ दूरी तय करने में विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = F \times L = qEL$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है।
अतः,$\frac{1}{2} mv^2 = qEL$ है।
वेग $v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = \frac{2qEL}{m}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qEL}{m}}$।

(B) एक आवेशित गोले के केंद्र से '$r$' दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ कूलम्ब के नियम द्वारा इस प्रकार दी जाती है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \quad (1)$
'$r$' त्रिज्या और समान आयतन आवेश घनत्व '$\rho$' वाले एक ठोस गोले के लिए,कुल आवेश $q$ इस प्रकार है:
$q = \rho \times \text{आयतन} = \rho \times \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$q$ के इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\rho \times \frac{4}{3} \pi r^3}{r^2}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0}$

(B) चूंकि गोलों को धातु के तार से जोड़ा गया है,इसलिए उनके विभव समान होंगे।
मान लीजिए छोटे गोले की त्रिज्या $r_1$ है और बड़े गोले की त्रिज्या $r_2 = 4r_1$ है।
विभव समान होने के कारण,$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1}{r_1} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_2}{r_2}$।
अतः,$\frac{q_2}{q_1} = \frac{r_2}{r_1} = 4$।
गोलों की सतह के निकट विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{q_2}{q_1} \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right) \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \frac{r_1}{r_2}$।
$r_2 = 4r_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{E_2}{E_1} = \frac{r_1}{4r_1} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,बड़े गोले के निकट विद्युत क्षेत्र छोटे गोले के निकट के विद्युत क्षेत्र का एक-चौथाई है।

(A) $1$. स्थिर वैद्युत प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार,जब एक चालक कवच के केंद्र पर $-q$ आवेश रखा जाता है,तो चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र को शून्य बनाए रखने के लिए कवच की आंतरिक सतह पर समान और विपरीत आवेश $+q$ प्रेरित होता है।
$2$. अब कवच की आंतरिक सतह पर $+q$ आवेश है। आंतरिक सतह पर पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma_{inner} = \frac{q}{4 \pi r_1^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. चूंकि कवच पर कुल आवेश $Q$ है और आंतरिक सतह पर $+q$ आवेश है,इसलिए कुल आवेश के संरक्षण के लिए बाहरी सतह पर आवेश $Q_{outer} = Q - q$ होना चाहिए।
$4$. बाहरी सतह पर पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma_{outer} = \frac{Q-q}{4 \pi r_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$5$. अतः,पृष्ठ आवेश घनत्व $\frac{q}{4 \pi r_1^2}$ और $\frac{Q-q}{4 \pi r_2^2}$ हैं।

(B) गोले की सतह पर विभव $V_s = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ है।
केंद्र से $5R$ की दूरी पर विभव $V_p = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{5R}$ है।
विभवांतर $V = V_s - V_p = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{1}{R} - \frac{1}{5R}) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} (\frac{4}{5R}) = \frac{q}{5\pi\epsilon_0 R}$ है।
इससे,आवेश $q = \frac{5\pi\epsilon_0 RV}{1}$ प्राप्त होता है।
$r = 5R$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(5R)^2} = \frac{q}{100\pi\epsilon_0 R^2}$ है।
$q$ का मान $V$ के पदों में रखने पर: $E = \frac{1}{100\pi\epsilon_0 R^2} \cdot (5\pi\epsilon_0 RV) = \frac{5}{100} \frac{V}{R} = \frac{V}{20R}$।

(D) वलय के केंद्र पर एक छोटे आवेश तत्व $dq$ के कारण विद्युत विभव $dV = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{dq}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह एक अर्ध-वलय है,इसलिए कुल आवेश $q$,रैखिक आवेश घनत्व $\sigma$ और अर्ध-वलय की लंबाई $(L = \pi R)$ का गुणनफल है।
अतः,$q = \sigma \cdot \pi R$.
केंद्र पर कुल विभव $V$,पूरे अर्ध-वलय पर $dV$ का समाकलन है:
$V = \int dV = \int \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{dq}{R} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R} \int dq$.
कुल आवेश $q = \sigma \pi R$ प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 R} \cdot (\sigma \pi R) = \frac{\sigma}{4 \epsilon_0}$.

(D) मान लीजिए गोले पर आवेश $Q$ है।
गोले की सतह पर विभव $V_{surface} = \frac{kQ}{r}$ है।
केंद्र से $3r$ की दूरी पर विभव $V_{3r} = \frac{kQ}{3r}$ है।
विभवांतर $V$ इस प्रकार है:
$V = V_{surface} - V_{3r} = \frac{kQ}{r} - \frac{kQ}{3r} = \frac{2kQ}{3r}$.
इससे हमें $kQ = \frac{3Vr}{2}$ प्राप्त होता है।
केंद्र से $3r$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ है:
$E = \frac{kQ}{(3r)^2} = \frac{kQ}{9r^2}$.
$kQ$ का मान रखने पर:
$E = \frac{1}{9r^2} \cdot \frac{3Vr}{2} = \frac{3V}{18r} = \frac{V}{6r}$.

(A) दिया गया है कि दोनों गोलाकार चालक समान विभव $V$ पर हैं।
$r$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले गोलाकार चालक के लिए,विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V_1 = V_2$,इसलिए $\frac{q_1}{r_1} = \frac{q_2}{r_2}$,जिसका अर्थ है $\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1}{r_2}$।
पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ को $\sigma = \frac{q}{4 \pi r^2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,पृष्ठ आवेश घनत्वों का अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{q_1 / (4 \pi r_1^2)}{q_2 / (4 \pi r_2^2)} = \frac{q_1}{q_2} \cdot \frac{r_2^2}{r_1^2}$ है।
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1}{r_2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_2}{r_1}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r_1 = 4 \ cm$ और $r_2 = 5 \ cm$ दिए गए हैं,इसलिए अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{5}{4}$ है।

(A) $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले कण द्वारा $V$ विभवांतर से गिरने पर प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
$q$ आवेश वाले कण $A$ के लिए:
$\frac{1}{2}mv_A^2 = qV$ (समीकरण $1$)
$4q$ आवेश वाले कण $B$ के लिए:
$\frac{1}{2}mv_B^2 = 4qV$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v_A^2}{v_B^2} = \frac{qV}{4qV} = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
अतः,उनकी चालों का अनुपात $v_A : v_B$ $1:2$ होगा।

(C) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ में विद्युत विभव $V$ को संबंध $dV = -\overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{r}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका तात्पर्य यह है कि जैसे-जैसे हम विद्युत क्षेत्र की दिशा में आगे बढ़ते हैं,विद्युत विभव घटता जाता है।
दी गई आकृति में,बिंदु $B$ सबसे बाईं ओर स्थित है,जिसका अर्थ है कि यह तीनों बिंदुओं में सबसे अधिक विभव पर है।
बिंदु $A$ और $C$ विद्युत क्षेत्र की दिशा में बिंदु $B$ की तुलना में आगे हैं,इसलिए उनका विभव बिंदु $B$ से कम होगा।
अतः,विद्युत विभव बिंदु $B$ पर अधिकतम है।

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ द्वारा अनुभव किया गया बल $F$,सूत्र $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है और प्रोटॉन के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = 5 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (5 \times 10^{11} \ NC^{-1})$
$F = 8.0 \times 10^{-8} \ N$.
अतः,इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच बल का परिमाण $8 \times 10^{-8} \ N$ है।

(D) चालक की सतह पर विभव $V_s = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ है।
केंद्र से $3r$ की दूरी पर विभव $V_p = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (3r)}$ है।
विभवांतर $V = V_s - V_p = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} - \frac{q}{12\pi\varepsilon_0 r} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2q}{12\pi\varepsilon_0 r} = \frac{q}{6\pi\varepsilon_0 r}$ है।
अतः,$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{3}{2} Vr$ प्राप्त होता है।
$3r$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (3r)^2} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 (9r^2)}$ है।
$\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}$ का मान रखने पर,$E = \frac{3Vr}{2(9r^2)} = \frac{V}{6r}$ प्राप्त होता है।