MHT CET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक पूर्णतः कृष्णिका द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,जिसे $P = \sigma A T^4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यहाँ शक्ति का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = 16$ दिया गया है।
संबंध $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ का उपयोग करते हुए,हम मान रखते हैं:
$16 = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:
$\left(2^4\right)^{1/4} = \frac{T_2}{T_1}$
$2 = \frac{T_2}{T_1}$
अतः,$T_2 = 2 \ T_1$।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $E = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है,$A$ क्षेत्रफल है और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
प्रारंभिक स्थिति: $E = \sigma A T_1^4$,जहाँ $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम स्थिति: $E' = \sigma A' T_2^4$,जहाँ $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
क्षेत्रफल $A = \ell \times b$ है। यदि लंबाई और चौड़ाई को उनके प्रारंभिक मानों के $\frac{1}{3}$ तक कम कर दिया जाए,तो नया क्षेत्रफल $A' = (\frac{\ell}{3}) \times (\frac{b}{3}) = \frac{A}{9}$ होगा।
अनुपात लेने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{A'}{A} \times (\frac{T_2}{T_1})^4$.
मान रखने पर: $\frac{E'}{E} = \frac{1}{9} \times (\frac{600}{300})^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
अतः,$E' = \frac{16 E}{9}$.

(B) वीन के विस्थापन नियम (Wien's displacement law) के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्ध्य और परम तापमान का गुणनफल एक नियतांक होता है:
$\lambda_m T = \text{constant}$
अतः,$\lambda_m \propto \frac{1}{T}$.
यहाँ $T_1 = 2000 \ K$ और $T_2 = 3000 \ K$ दिया गया है,और प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_m$ है:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_m} = \frac{T_1}{T_2}$
$\frac{\lambda_2}{\lambda_m} = \frac{2000}{3000} = \frac{2}{3}$
$\lambda_2 = \frac{2}{3} \lambda_m$
इस प्रकार,$3000 \ K$ तापमान पर संगत तरंगदैर्ध्य $\frac{2}{3} \lambda_m$ होगी।

(D) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) से ऊर्जा उत्सर्जन की दर $R$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,जिसे $R \propto T^4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी स्थिर रहती है,इसलिए पृथ्वी द्वारा प्राप्त ऊर्जा की दर सूर्य से उत्सर्जित ऊर्जा की दर के सीधे समानुपाती होती है।
मान लीजिए प्रारंभिक तापमान $T_1$ है और अंतिम तापमान $T_2 = 2T_1$ है।
प्राप्त ऊर्जा की दरों का अनुपात $\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{R_2}{R_1} = (2)^4 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,पृथ्वी द्वारा प्राप्त ऊर्जा की दर $16$ गुना बढ़ जाएगी।

(A) उत्सर्जक शक्ति $E$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ और प्रति इकाई समय $t$ में विकिरित ऊष्मा ऊर्जा $Q$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसका सूत्र $E = \frac{Q}{A \cdot t}$ है।
कुल विकिरित ऊष्मा $Q$ ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं: $Q = E \cdot A \cdot t$.
दिए गए मान $E = 0.7 \,kcal \,s^{-1} \,m^{-2}$, $A = 0.04 \,m^2$, और $t = 20 \,s$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $Q = 0.7 \times 0.04 \times 20$.
$Q = 0.7 \times 0.8 = 0.56 \,kcal$.
अतः, विकिरित ऊष्मा की मात्रा $0.56 \,kcal$ है।

(C) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,विकिरण की दर $R$ कृष्णिका के परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है: $R \propto T^4$.
माना प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ है और प्रारंभिक विकिरण दर $R_1$ है।
तापमान में $50 \%$ की वृद्धि होने पर,नया तापमान $T_2 = T + 0.5T = 1.5T$ होगा।
नई विकिरण दर $R_2$ इस प्रकार होगी:
$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 = (1.5)^4 = 5.0625 \approx 5$.
अतः,$R_2 \approx 5R_1$.
विकिरण की दर में प्रतिशत वृद्धि:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \left(\frac{R_2 - R_1}{R_1}\right) \times 100 = \left(\frac{5R_1 - R_1}{R_1}\right) \times 100 = 4 \times 100 = 400 \%$.

(B) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर वस्तु और उसके परिवेश के बीच के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$.
प्रथम स्थिति के लिए,$T_1 = 80^{\circ} C$ और $T_s = 30^{\circ} C$ है। ठंडा होने की दर $1.5^{\circ} C / min$ है।
$1.5 = k(80 - 30) = k(50) \implies k = \frac{1.5}{50} = 0.03 \ min^{-1}$.
दूसरी स्थिति के लिए,$T_2 = 50^{\circ} C$ और $T_s = 30^{\circ} C$ है। मान लीजिए दर $r$ है।
$r = k(50 - 30) = k(20)$.
$k$ का मान रखने पर:
$r = 0.03 \times 20 = 0.6^{\circ} C / min$.

(A) दिया गया है: सतह का तापमान $T = 6000 \,K$,वीन का नियतांक $b = 2.897 \times 10^{-3} \,m-K$ है।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda_{max} T = b$ होता है।
इसलिए,$\lambda_{max} = \frac{b}{T} = \frac{2.897 \times 10^{-3}}{6000} \,m$ है।
$\lambda_{max} = 4.828 \times 10^{-7} \,m$ है।
चूंकि $1 \,Å = 10^{-10} \,m$ होता है,इसलिए $4.828 \times 10^{-7} \,m = 4828 \times 10^{-10} \,m = 4828 \,Å$ होगा।

(D) मान लीजिए कि तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ है। पहली छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L_1 = L_1 \alpha_1 \Delta T$ है।
दूसरी छड़ की लंबाई में परिवर्तन $\Delta L_2 = L_2 \alpha_2 \Delta T$ है।
यह दिया गया है कि $(L_2 - L_1)$ सभी तापमानों पर स्थिर रहता है,इसलिए दोनों छड़ों की लंबाई में परिवर्तन समान होना चाहिए।
अतः,$\Delta L_1 = \Delta L_2$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L_1 \alpha_1 \Delta T = L_2 \alpha_2 \Delta T$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $\Delta T$ को हटाने पर,हमें $L_1 \alpha_1 = L_2 \alpha_2$ संबंध प्राप्त होता है।

(C) सेल्सियस पैमाने में,पानी का हिमांक $0^{\circ} C$ और क्वथनांक $100^{\circ} C$ होता है। परास $100 - 0 = 100$ है।
दिए गए काल्पनिक '$W$' पैमाने में,हिमांक $39^{\circ} W$ और क्वथनांक $239^{\circ} W$ है। परास $239 - 39 = 200$ है।
दो तापमान पैमानों के बीच रैखिक रूपांतरण सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{C - C_{freezing}}{C_{boiling} - C_{freezing}} = \frac{W - W_{freezing}}{W_{boiling} - W_{freezing}}$
मान रखने पर:
$\frac{C - 0}{100 - 0} = \frac{W - 39}{239 - 39}$
$\frac{C}{100} = \frac{W - 39}{200}$
$C = 39^{\circ} C$ के लिए:
$\frac{39}{100} = \frac{W - 39}{200}$
$39 \times 2 = W - 39$
$78 = W - 39$
$W = 78 + 39 = 117^{\circ} W$.

(B) सेल्सियस $(C)$ और केल्विन $(K)$ में तापमान के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$T(K) = T(^{\circ}C) + 273.15$
यहाँ $T(^{\circ}C) = -197^{\circ}C$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$T(K) = -197 + 273 = 76 K$
अतः,तापमान $76 K$ है।

(A) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
संबंध $C_v = \frac{R}{\gamma-1}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma-1} \right) \Delta T$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ से,स्थिर दाब $P$ पर,हमारे पास $P \Delta V = nR \Delta T$ है।
इसे आंतरिक ऊर्जा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta U = \frac{P \Delta V}{\gamma-1}$।
यहाँ आयतन $V$ से बदलकर $2V$ हो जाता है,इसलिए आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 2V - V = V$ है।
अतः,$\Delta U = \frac{P(V)}{\gamma-1} = \frac{PV}{\gamma-1}$।

(B) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = n \frac{f}{2} RT$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,$f$ स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
$f_1 = 5$ के साथ $T$ तापमान पर $n_1$ मोल हाइड्रोजन $(H_2)$ के लिए:
$U_1 = n_1 \times \frac{5}{2} \times R \times T$
$f_2 = 3$ के साथ $2T$ तापमान पर $n_2$ मोल हीलियम $(He)$ के लिए:
$U_2 = n_2 \times \frac{3}{2} \times R \times (2T)$
दिया गया है कि $U_1 = U_2$:
$n_1 \times \frac{5}{2} \times RT = n_2 \times \frac{3}{2} \times R \times 2T$
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}$,$R$ और $T$ को हटाने पर:
$5n_1 = 6n_2$
अतः,अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = \frac{6}{5}$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दबाव और आयतन के बीच का संबंध $PV^{\gamma} = \text{constant}$ के रूप में दिया जाता है। यहाँ, $\gamma = 3/2$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके, हम $P = nRT/V$ लिख सकते हैं।
इसे रुद्धोष्म समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(nRT/V)V^{\gamma} = \text{constant}$, जो सरल होकर $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ हो जाता है।
चूँकि $\gamma = 3/2$ है, संबंध $TV^{(3/2 - 1)} = TV^{1/2} = \text{constant}$ बन जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक अवस्था $(T_1, V_1)$ है और अंतिम अवस्था $(T_2, V_2)$ है।
दिया गया है कि $T_1 = T$ और $V_2 = V_1/2$ है।
$T_1 V_1^{1/2} = T_2 V_2^{1/2}$ का उपयोग करने पर:
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{1/2} = T (V_1 / (V_1/2))^{1/2} = T (2)^{1/2} = \sqrt{2}T$.

(B) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $T \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$ के अनुसार,हम इसे $T \propto V^{-1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $TV^{1/2} = \text{constant}$।
दोनों व्यंजकों $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ और $TV^{1/2} = \text{constant}$ की तुलना करने पर,हमें $\gamma - 1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\gamma$ के लिए हल करने पर,हमें $\gamma = 1 + 0.5 = 1.5$ प्राप्त होता है।

(D) एकपरमाणुक गैस के लिए,मोलर विशिष्ट ऊष्माएँ $C_p = \frac{5}{2}R$ और $C_v = \frac{3}{2}R$ होती हैं।
नियत दाब पर किया गया कार्य $W = nR \Delta T$ है।
नियत आयतन पर दी गई ऊष्मा $Q_v = nC_v \Delta T = n \left( \frac{3}{2}R \right) \Delta T$ है।
$nR \Delta T = W$ को $Q_v$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $Q_v = \frac{3}{2} W$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए,स्थिर दाब $(C_p)$ और स्थिर आयतन $(C_v)$ पर विशिष्ट ऊष्माओं के बीच का संबंध मेयर के संबंध द्वारा दिया जाता है: $C_p - C_v = R$।
यह दिया गया है कि विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं $C_p = \gamma C_v$।
इस मान को मेयर के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $\gamma C_v - C_v = R$।
$C_v$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $C_v(\gamma - 1) = R$।
अतः,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$।

(D) समदाबी प्रक्रिया एक ऊष्मागतिक प्रक्रिया है जिसमें पूरी प्रक्रिया के दौरान निकाय का दबाव स्थिर रहता है।
परिभाषा के अनुसार,यदि दबाव $P$ स्थिर है,तो दबाव में परिवर्तन $\Delta P$ शून्य के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,समदाबी प्रक्रिया को निर्दिष्ट करने वाला समीकरण $\Delta P=0$ है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए,संबंध $P_1 V_1 = P_2 V_2$ है। दिया गया है कि $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 2V$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P \times V = P_2 \times 2V$,जिससे $P_2 = \frac{P}{2}$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,संबंध $P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$ है। दिया गया है कि $V_2 = 2V$,$V_3 = 16V$,और $\gamma = \frac{5}{3}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P_3 = P_2 \left(\frac{V_2}{V_3}\right)^\gamma = \frac{P}{2} \left(\frac{2V}{16V}\right)^{5/3}$।
$P_3 = \frac{P}{2} \left(\frac{1}{8}\right)^{5/3} = \frac{P}{2} \times \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^{5/3} = \frac{P}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{P}{2} \times \frac{1}{32} = \frac{P}{64}$।

(A) सम-आयतनिक प्रक्रिया को एक ऐसी प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें निकाय का आयतन स्थिर रहता है $(dV = 0)$।
चूंकि किया गया कार्य $dW = P dV$ होता है,यदि $dV = 0$ है,तो $dW = 0$ होगा। अतः,इस प्रक्रिया में कोई कार्य नहीं किया जाता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$। चूंकि $dW = 0$ है,इसलिए विनिमय की गई ऊष्मा $(dQ)$ पूरी तरह से निकाय की आंतरिक ऊर्जा $(dU)$ को बदलने के लिए उपयोग की जाती है।
इसलिए,कथन $(A)$ गलत है क्योंकि विनिमय की गई ऊर्जा का उपयोग कार्य करने के लिए नहीं किया जाता है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ को $\Delta Q = \Delta U + dW$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\Delta Q$ निकाय को दी गई ऊष्मा है और $dW$ निकाय द्वारा किया गया कार्य है।
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया में,परिवेश के साथ ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है,इसलिए $\Delta Q = 0$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $0 = \Delta U + dW$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta U = -dW$ होता है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ दिया गया है कि गैस को उसके प्रारंभिक आयतन के $(1/8)$ भाग तक संपीड़ित किया जाता है,इसलिए $V_2 = V_1 / 8$,जिसका अर्थ है कि $V_1 / V_2 = 8$ है।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 4/3$ दिया गया है।
इन मानों को रुद्धोष्म समीकरण में रखने पर:
$P_2 / P_1 = (V_1 / V_2)^\gamma$
$P_2 / P_0 = (8)^{4/3}$
$P_2 / P_0 = (2^3)^{4/3} = 2^4 = 16$
अतः,नया दाब $P_2 = 16 P_0$ होगा।

(D) समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए बॉयल का नियम लागू होता है: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
यह दिया गया है कि दबाव $10 \%$ कम हो जाता है,इसलिए नया दबाव $P_2$ होगा:
$P_2 = P_1 - 0.10 P_1 = 0.9 P_1 = \frac{9}{10} P_1$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$P_1 V_1 = (\frac{9}{10} P_1) V_2$।
$V_2$ के लिए हल करने पर:
$V_2 = \frac{10}{9} V_1 \approx 1.111 V_1$।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_2 - V_1 = 1.111 V_1 - V_1 = 0.111 V_1$ है।
प्रतिशत में व्यक्त करने पर,आयतन में लगभग $11.1 \%$ की वृद्धि होती है,जो $11 \%$ के सबसे निकट है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma-1} = \text{स्थिरांक}$ है।
अतः,$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$.
यहाँ $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ और $V_2 = \frac{8}{27} V_1$ दिया गया है,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
चूंकि $\gamma = 5/3$,इसलिए $\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
मान रखने पर: $\frac{T_2}{300} = \left(\frac{27}{8}\right)^{2/3} = \left(\left(\frac{3}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
$T_2 = \frac{9}{4} \times 300 = 9 \times 75 = 675 \ K$.
तापमान में वृद्धि $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 \ K - 300 \ K = 375 \ K$ है।

(D) स्थिर दाब पर, किया गया कार्य $W = P \Delta V$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस के लिए, $PV = nRT$, इसलिए $P \Delta V = nR \Delta T$।
अतः, $W = nR \Delta T$।
स्थिर आयतन पर दी गई ऊष्मा $Q = \Delta U = nC_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए, स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2}R$ होती है।
इस मान को ऊष्मा के समीकरण में रखने पर, हमें प्राप्त होता है $Q = n \left( \frac{3}{2}R \right) \Delta T = \frac{3}{2} (nR \Delta T)$।
चूंकि $W = nR \Delta T$, इसलिए $Q$ के समीकरण में $W$ का मान रखने पर:
$Q = \frac{3}{2} W$।

(B) समतापीय विस्तार के लिए,प्रक्रिया बॉयल के नियम का पालन करती है: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
यहाँ $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 2V$ दिया गया है।
अतः,$P_i = P \times (V / 2V) = P / 2$।
रुद्धोष्म विस्तार के लिए,प्रक्रिया $P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$ संबंध का पालन करती है।
यहाँ $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 2V$ दिया गया है।
अतः,$P_a = P \times (V / 2V)^{\gamma} = P / 2^{\gamma}$।
अब,अनुपात $\frac{P_i}{P_a}$ की गणना करने पर:
$\frac{P_i}{P_a} = \frac{P/2}{P/2^{\gamma}} = \frac{2^{\gamma}}{2} = 2^{\gamma-1}$।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ होता है। चूंकि द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए $\rho \propto \frac{1}{V}$ होता है।
यह दिया गया है कि अंतिम घनत्व प्रारंभिक घनत्व का दोगुना है,$\rho_2 = 2\rho_1$,जिसका अर्थ है $V_2 = \frac{V_1}{2}$ या $\frac{V_1}{V_2} = 2$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच का संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ है।
इसलिए,अंतिम दाब $P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P_2 = p \times (2)^{7/5} = p \times (2)^{1.4}$ प्राप्त होता है।
मान की गणना करने पर,$2^{1.4} \approx 2.639$ होता है।
अतः,अंतिम दाब लगभग $2.63p$ है।

(C) समदाबी प्रक्रिया एक ऐसी ऊष्मागतिकीय प्रक्रिया है जिसमें निकाय का दाब स्थिर रहता है $(P = \text{constant})$।
आदर्श गैस नियम के अनुसार, $PV = nRT$। चूंकि $P$ स्थिर है, इसलिए $V \propto T$।
अतः, यदि प्रक्रिया के दौरान आयतन में परिवर्तन होता है, तो निकाय का तापमान भी बदलना चाहिए।
कथन $(C)$ कहता है कि तापमान स्थिर रहता है, जो समदाबी प्रक्रिया के लिए गलत है; यह समतापीय (isothermal) प्रक्रिया की विशेषता है।

(C) दिया गया है: $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{3}{2}$.
स्थिति $I$: समतापीय प्रक्रिया $(T = \text{नियत})$
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
यहाँ $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = 9V$ है।
$P \times V = P_2 \times 9V$
$P_2 = \frac{P}{9}$.
स्थिति $II$: रुद्धोष्म प्रक्रिया $(PV^\gamma = \text{नियत})$
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,$P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
यहाँ $P_2 = \frac{P}{9}$,$V_2 = 9V$,और $V_3 = V$ है।
$\frac{P}{9} \times (9V)^{3/2} = P_3 \times (V)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times \left(\frac{9V}{V}\right)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times (9)^{3/2}$
$P_3 = \frac{P}{9} \times (3^2)^{3/2} = \frac{P}{9} \times 3^3 = \frac{P}{9} \times 27 = 3P$.
अतः,अंतिम दाब $3P$ है।

(B) समआयतनिक प्रक्रिया में,पूरी प्रक्रिया के दौरान निकाय का आयतन (volume) स्थिर रहता है।
$p-V$ आरेख पर,जहाँ दाब $p$ को $y$-अक्ष पर और आयतन $V$ को $x$-अक्ष पर आलेखित किया जाता है,एक स्थिर आयतन प्रक्रिया को एक ऊर्ध्वाधर (vertical) रेखा द्वारा दर्शाया जाता है।
यह ऊर्ध्वाधर रेखा दर्शाती है कि दाब में किसी भी परिवर्तन के लिए,$V$ का मान समान रहता है।
दिए गए आरेखों को देखने पर,जो आरेख एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है,वह समआयतनिक प्रक्रिया के अनुरूप है।
अतः,सही विकल्प $II$ है।

(A) दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1$,अंतिम आयतन $V_2 = V_1/8$,रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 5/3$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब और आयतन के बीच संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ है।
अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब के अनुपात के लिए: $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma$।
मान रखने पर: $\frac{P_2}{P_1} = (8)^{5/3}$।
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $(2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$।
अतः,अंतिम दाब और प्रारंभिक दाब का अनुपात $32$ है।

(B) $\text{घनत्व} = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}}$
$\text{द्रव्यमान का SI मात्रक किलोग्राम } (kg) \text{ है।}$
$\text{आयतन का SI मात्रक घन मीटर } (m^3) \text{ है।}$
$\text{अतः, घनत्व का SI मात्रक } \frac{kg}{m^3} \text{ या } kg \cdot m^{-3} \text{ होता है।}$

(A) ध्वनि तरंगें यांत्रिक तरंगें हैं जिन्हें यात्रा करने के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है। हवा में,कण तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर दोलन करते हैं,जिससे वे अनुदैर्ध्य (longitudinal) तरंगें बन जाती हैं।
प्रकाश तरंगें विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं जिन्हें किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है। इनमें प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करने वाले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र होते हैं,जिससे वे अनुप्रस्थ (transverse) तरंगें बन जाती हैं।
इसलिए,सही कथन यह है कि हवा में ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य होती हैं जबकि हवा में प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ होती हैं।

(D) दिया गया तरंग समीकरण $y = 10 \sin \left(\frac{2 \pi t}{30} + \alpha\right)$ है।
$t = 0 \ s$ पर,विस्थापन $y = 5 \ cm$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $5 = 10 \sin \left(\frac{2 \pi (0)}{30} + \alpha\right) \implies 5 = 10 \sin \alpha \implies \sin \alpha = \frac{1}{2}$.
अतः,प्रारंभिक कला नियतांक $\alpha = \frac{\pi}{6} \ rad$ प्राप्त होता है।
किसी भी समय $t$ पर कुल कला कोण $\phi = \frac{2 \pi t}{30} + \alpha$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 7.5 \ s$ पर,कुल कला कोण $\phi = \frac{2 \pi (7.5)}{30} + \frac{\pi}{6}$ होगा।
$\phi = \frac{15 \pi}{30} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{3 \pi + \pi}{6} = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3} \ rad$.

(C) कलांतर $\Delta \phi$ और समयांतराल $\Delta t$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \omega \Delta t = (2\pi f) \Delta t$
दी गई आवृत्ति $f = 50 \,Hz$ और समयांतराल $\Delta t = 0.01 \,s$ है।
मान रखने पर:
$\Delta \phi = 2 \times \pi \times 50 \times 0.01$
$\Delta \phi = 100 \pi \times 0.01$
$\Delta \phi = \pi \,rad$.

(B) दिया गया तरंग समीकरण $Y = Y_0 \sin(2 \pi n t - \frac{2 \pi x}{\lambda})$ है।
इसे मानक रूप $Y = Y_0 \sin(\omega t - kx)$ से तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi n$ प्राप्त होती है।
कण का अधिकतम वेग $v_{p, \text{max}} = Y_0 \omega = Y_0 (2 \pi n) = 2 \pi n Y_0$ होता है।
तरंग का वेग $v = n \lambda$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,तरंग का वेग कण के अधिकतम वेग का $(1/8)$ गुना है:
$v = \frac{1}{8} v_{p, \text{max}}$
$n \lambda = \frac{1}{8} (2 \pi n Y_0)$
$n \lambda = \frac{\pi n Y_0}{4}$
$\lambda = \frac{\pi Y_0}{4}$.

(D) तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin 2 \pi \left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$ है।
पहली तरंग के लिए: $Y_1 = 2 \sin 2 \pi \left(\frac{4t}{0.2} - \frac{4x}{2}\right) = 2 \sin 2 \pi \left(\frac{t}{0.05} - \frac{x}{0.5}\right)$.
यहाँ,$T_1 = 0.05 \text{ s}$ और $\lambda_1 = 0.5 \text{ m}$ है।
वेग $v_1 = \frac{\lambda_1}{T_1} = \frac{0.5}{0.05} = 10 \text{ m/s}$ है।
दूसरी तरंग के लिए: $Y_2 = 4 \sin 2 \pi \left(\frac{4t}{0.16} - \frac{4x}{1.6}\right) = 4 \sin 2 \pi \left(\frac{t}{0.04} - \frac{x}{0.4}\right)$.
यहाँ,$T_2 = 0.04 \text{ s}$ और $\lambda_2 = 0.4 \text{ m}$ है।
वेग $v_2 = \frac{\lambda_2}{T_2} = \frac{0.4}{0.04} = 10 \text{ m/s}$ है।
चूँकि $v_1 = v_2 = 10 \text{ m/s}$ है,इसलिए दोनों तरंगों का वेग समान है।

(A) प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y=A \sin (kx+\omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $y=4 \sin (3x+60t)$ के साथ तुलना करने पर,तरंग संख्या $k=3 \,m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega=60 \,rad/s$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $V = \frac{\omega}{k} = \frac{60}{3} = 20 \,m/s$ है।
तनावग्रस्त डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$V^2 = \frac{T}{\mu}$,जिसका अर्थ है $\mu = \frac{T}{V^2}$।
दिए गए मान $T = 0.4 \,N$ और $V = 20 \,m/s$ रखने पर:
$\mu = \frac{0.4}{(20)^2} = \frac{0.4}{400} = \frac{4 \times 10^{-1}}{4 \times 10^2} = 10^{-3} \,kg \,m^{-1}$।

(A) कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} x$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$\lambda = \frac{v}{f}$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें,जहाँ $v = 330 \,m/s$ और $f = 50 \,Hz$ है।
$\lambda = \frac{330}{50} = 6.6 \,m$.
अब,$x$ के लिए कलांतर के सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें: $x = \frac{\phi \lambda}{2 \pi}$.
मान रखने पर: $x = \frac{(\pi/3) \times 6.6}{2 \pi} = \frac{6.6}{6} = 1.1 \,m$.
अतः,दो बिंदुओं के बीच की दूरी $1.1 \,m$ है।

(D) अनुप्रस्थ तरंग का दिया गया समीकरण $y=2 \sin (0.01 x+30 t)$ है।
इसे मानक तरंग समीकरण $y=A \sin (kx+\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k=0.01 \ rad/cm$ और कोणीय आवृत्ति $\omega=30 \ rad/s$ प्राप्त होती है।
तरंग की गति $v$ की गणना $v = \frac{\omega}{k} = \frac{30}{0.01} = 3000 \ cm/s$ के रूप में की जाती है।
गति को $SI$ इकाइयों में बदलने पर,$v = 30 \ m/s$ प्राप्त होता है।
डोरी की लंबाई तय करने में लगा समय $t = 0.5 \ s$ है।
इसलिए,डोरी की लंबाई $L = v \times t = 30 \ m/s \times 0.5 \ s = 15 \ m$ है।

(A) दिया गया है: आवृत्ति $f = 160 \,Hz$, वेग $v = 320 \,m/s$।
सबसे पहले, $\lambda = v/f$ सूत्र का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = 320 / 160 = 2 \,m = 200 \,cm$।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi x}{\lambda}$ है।
दिया गया कलांतर $\phi = 90^{\circ} = \pi/2$ रेडियन है।
मान रखने पर: $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi x}{200}$।
$x$ के लिए हल करने पर: $x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{200}{2\pi} = \frac{200}{4} = 50 \,cm$।

(C) ध्वनि तरंग की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{V}{f}$ है,जहाँ $V$ ध्वनि का वेग है और $f$ आवृत्ति है।
पहले ट्यूनिंग फोर्क के लिए,$f_1 = 320 \,Hz$,इसलिए $\lambda_1 = \frac{320 \,ms^{-1}}{320 \,Hz} = 1 \,m$.
दूसरे ट्यूनिंग फोर्क के लिए,$f_2 = 480 \,Hz$,इसलिए $\lambda_2 = \frac{320 \,ms^{-1}}{480 \,Hz} = \frac{2}{3} \,m \approx 0.67 \,m$.
तरंगदैर्घ्य के बीच का अंतर $\Delta\lambda = \lambda_1 - \lambda_2 = 1 \,m - 0.67 \,m = 0.33 \,m$ है।
सेंटीमीटर में बदलने पर,$0.33 \,m = 33 \,cm$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: आवृत्ति $f = 220 \,Hz$, वेग $v = 330 \,m/s$।
सबसे पहले, सूत्र $v = f \lambda$ का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करें:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{330}{220} = 1.5 \,m$।
एक कंपन में, ध्वनि तरंग एक तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बराबर दूरी तय करती है।
इसलिए, $80$ कंपनों के लिए, कुल दूरी $d$ होगी:
$d = 80 \times \lambda = 80 \times 1.5 = 120 \,m$।

(A) डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = f \lambda = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि स्पंद के आगे बढ़ने पर आवृत्ति $f$ स्थिर रहती है,इसलिए $\lambda \propto \sqrt{T}$ होता है।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ है।
निचले सिरे पर,तनाव $T_1$ ब्लॉक के द्रव्यमान $(2 \ kg)$ के कारण है: $T_1 = 2g$।
रस्सी के ऊपरी सिरे पर,तनाव $T_2$ ब्लॉक $(2 \ kg)$ और रस्सी $(6 \ kg)$ दोनों का भार उठाता है: $T_2 = (2 + 6)g = 8g$।
दिया गया है $\lambda_1 = 0.06 \ m$,इसलिए $\lambda_2$ की गणना इस प्रकार है:
$\lambda_2 = \lambda_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = 0.06 \times \sqrt{\frac{8g}{2g}} = 0.06 \times \sqrt{4} = 0.06 \times 2 = 0.12 \ m$।

(A) तरंग का सामान्य समीकरण $y = a \sin(2 \pi n t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ आवृत्ति है।
पहली तरंग के लिए,$2 \pi n_1 = 2000 \pi$,जिससे $n_1 = 1000 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
दूसरी तरंग के लिए,$2 \pi n_2 = 2008 \pi$,जिससे $n_2 = 1004 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_{\text{beat}} = |n_2 - n_1| = |1004 - 1000| = 4 \text{ Hz}$।
अतः,प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या $4$ है।

(C) दिया गया है कि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्तियाँ $n_A, n_B, n_C$ हैं जहाँ $n_A > n_B > n_C$ है।
जब फोर्क $A$ और $B$ को एक साथ बजाया जाता है,तो बीट आवृत्ति $n_1 = n_A - n_B$ होती है (समीकरण $i$)।
जब फोर्क $A$ और $C$ को एक साथ बजाया जाता है,तो बीट आवृत्ति $n_2 = n_A - n_C$ होती है (समीकरण $ii$)।
हमें $B$ और $C$ को एक साथ बजाने पर बीट आवृत्ति ज्ञात करनी है,जो $n_B - n_C$ है।
समीकरण $ii$ में से समीकरण $i$ को घटाने पर:
$(n_A - n_C) - (n_A - n_B) = n_2 - n_1$
$n_A - n_C - n_A + n_B = n_2 - n_1$
$n_B - n_C = n_2 - n_1$.
अतः,प्रति सेकंड उत्पन्न बीट्स की संख्या $n_2 - n_1$ है।

(A) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 5.0 \ m$ और $\lambda_2 = 5.5 \ m$। ध्वनि का वेग $v = 300 \ m/s$।
तरंग की आवृत्ति $n$,सूत्र $n = \frac{v}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
पहली तरंग की आवृत्ति: $n_1 = \frac{300}{5.0} = 60 \ Hz$।
दूसरी तरंग की आवृत्ति: $n_2 = \frac{300}{5.5} = \frac{3000}{55} \approx 54.55 \ Hz$।
प्रति सेकंड उत्पन्न होने वाले विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों का अंतर है: $n_{beats} = |n_1 - n_2| = |60 - 54.55| = 5.45 \ Hz$।
निकटतम पूर्णांक में,विस्पंदों की संख्या लगभग $5 \ Hz$ या $6 \ Hz$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$6 \ Hz$ सबसे सटीक उत्तर है।

(A) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n = 264 \,Hz$ है और ध्वनि की गति $V = 330 \,m/s$ है।
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,अनुनाद $\ell = (2k-1) \frac{\lambda}{4}$ लंबाई पर होता है,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{V}{n} = \frac{330}{264} = 1.25 \,m = 125 \,cm$ है।
अतः,संभावित लंबाई $\ell = (2k-1) \frac{125}{4} = (2k-1) \times 31.25 \,cm$ है।
$k=1$ के लिए,$\ell = 31.25 \,cm$ है।
$k=2$ के लिए,$\ell = 3 \times 31.25 = 93.75 \,cm$ है।
$k=3$ के लिए,$\ell = 5 \times 31.25 = 156.25 \,cm$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$62.50 \,cm$ का मान $31.25 \,cm$ का विषम गुणज नहीं है,इसलिए यह संभव नहीं है।

(D) एक सिरे पर बंद पाइप में, केवल मूल आवृत्ति के विषम गुणज ही उत्पन्न होते हैं $(f_n = (2n-1)f_0)$, जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है।
ये आवृत्तियाँ $f_1 = f_0$, $f_2 = 3f_0$, $f_3 = 5f_0$, $f_4 = 7f_0$ आदि हैं।
एक बंद पाइप में दो क्रमागत हार्मोनिक्स के बीच का अंतर $2f_0$ होता है।
यहाँ दी गई क्रमागत आवृत्तियाँ $150 \,Hz$ और $250 \,Hz$ हैं, इसलिए उनका अंतर $250 \,Hz - 150 \,Hz = 100 \,Hz$ है।
अतः, $2f_0 = 100 \,Hz$, जिससे मूल आवृत्ति $f_0 = 50 \,Hz$ प्राप्त होती है।

(C) एक कंपन का आवर्तकाल $T = \frac{1}{n} \ s$ होता है।
$x$ कंपनों के लिए लगा कुल समय $t = x \times T = \frac{x}{n} \ s$ है।
समय $t$ में तरंग द्वारा तय की गई दूरी $d = V \times t$ द्वारा दी जाती है।
$t$ का मान रखने पर,हमें $d = V \times \frac{x}{n} = \frac{xV}{n} \ m$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ आवेशों के सभी युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग द्वारा दी जाती है: $U = \sum \frac{k q_i q_j}{r_{ij}}$.
चूंकि आवेश $-q, Q, -q$ को $x$ दूरी पर रखा गया है,युग्म इस प्रकार हैं: $(-q, Q)$ दूरी $x$ पर,$(Q, -q)$ दूरी $x$ पर,और $(-q, -q)$ दूरी $2x$ पर।
कुल स्थितिज ऊर्जा है:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{(-q)(Q)}{x} + \frac{(Q)(-q)}{x} + \frac{(-q)(-q)}{2x} \right) = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 x}$ से विभाजित करने पर (मान लें $x \neq 0$):
$-qQ - qQ + \frac{q^2}{2} = 0$
$-2qQ + \frac{q^2}{2} = 0$
$2qQ = \frac{q^2}{2}$
दोनों पक्षों को $2q$ से विभाजित करने पर (मान लें $q \neq 0$):
$Q = \frac{q}{4}$
अतः,अनुपात $\frac{Q}{q} = \frac{1}{4}$ है।

(D) मान लीजिए कि वर्ग $ABCD$ है जिसकी भुजा की लंबाई $2L$ है। $+q$ आवेश $A$ और $B$ पर हैं,और $-q$ आवेश $D$ और $C$ पर हैं। बिंदु $P$,$AB$ का मध्य बिंदु है।
दूरी $AP = PB = L$ है।
$P$ से $D$ और $C$ तक की दूरी पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके $\triangle ADP$ और $\triangle BCP$ में ज्ञात की जा सकती है:
$PD = PC = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{4L^2 + L^2} = \sqrt{5}L$.
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$,चारों आवेशों के कारण उत्पन्न विभव का योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q}{AP} + \frac{q}{BP} + \frac{-q}{PD} + \frac{-q}{PC} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{\sqrt{5}L} - \frac{q}{\sqrt{5}L} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{2q}{L} - \frac{2q}{\sqrt{5}L} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2q}{L} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$

(C) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,किसी भी बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ का रेखीय समाकल,लूप से गुजरने वाली कुल धारा $I_{\text{enclosed}}$ के $\mu_0$ गुना के बराबर होता है।
$\oint \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}}$
दिए गए चित्र में,$5 \ A$ और $2 \ A$ धारा ले जाने वाले दो तार लूप के अंदर हैं। चूंकि ये धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए लूप द्वारा परिबद्ध कुल धारा $I_{\text{enclosed}} = 5 \ A - 2 \ A = 3 \ A$ है।
$3 \ A$ धारा ले जाने वाला तार लूप के बाहर स्थित है,इसलिए यह कुल परिबद्ध धारा में योगदान नहीं देता है।
अतः,रेखीय समाकल का मान $\oint \overrightarrow{B} \cdot d\overrightarrow{l} = \mu_0 \times 3 \ A = 3 \mu_0$ है।

(C) दो समानांतर लंबे चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$.
प्रारंभ में,बल $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$ है।
जब एक चालक में धारा को दोगुना $(I_1' = 2I_1)$ किया जाता है और उसकी दिशा उलट दी जाती है,तो नई धारा $-2I_1$ हो जाती है। दूरी को बढ़ाकर $d' = 3d$ कर दिया जाता है।
नया बल $F'$ इस प्रकार है: $F' = \frac{\mu_0 (-2I_1) I_2}{2 \pi (3d)}$.
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $F' = -\frac{2}{3} \left( \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} \right)$.
प्रारंभिक बल $F$ का मान रखने पर,हमें मिलता है: $F' = -\frac{2F}{3}$.

(D) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $r$ दूरी पर स्थित दो समानांतर चालकों के बीच प्रति इकाई लंबाई बल $f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. $B$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $F_1$:
चूंकि $A$ और $B$ में धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए बल आकर्षक ( $B$ की ओर) होगा।
$F_1 = \frac{\mu_0 I \cdot I}{2 \pi x} \cdot L = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi x}$.
$2$. $C$ द्वारा $A$ पर लगाया गया बल $F_2$:
चूंकि $A$ और $C$ में धाराएं विपरीत दिशा में हैं,इसलिए बल प्रतिकारक ($C$ से दूर) होगा।
$A$ और $C$ के बीच की दूरी $2x$ है।
$F_2 = \frac{\mu_0 I \cdot 2I}{2 \pi (2x)} \cdot L = \frac{\mu_0 I^2 L}{2 \pi x}$.
परिमाणों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $F_1 = F_2$ है। हालांकि,चूंकि बल विपरीत दिशाओं में हैं (एक $B$ की ओर आकर्षक और दूसरा $C$ से दूर प्रतिकारक),सदिश रूप में $F_1 = -F_2$ होगा।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही लूप पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = N i A B \sin \theta$.
यहाँ,$N$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,$A$ लूप का क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,और $\theta$ लूप के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि बल आघूर्ण $N, i, A, B,$ और $\theta$ पर निर्भर करता है।
यह लूप के आकार पर निर्भर नहीं करता है,जब तक कि क्षेत्रफल $A$ स्थिर रहता है।

(A) बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा के लिए,$\cos \theta$ अधिकतम होना चाहिए,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर होता है। अतः,$U_{\text{min}} = -MB \cos 0^{\circ} = -MB(1) = -MB$.
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा के लिए,$\cos \theta$ न्यूनतम होना चाहिए,जो $\theta = 180^{\circ}$ पर होता है। अतः,$U_{\text{max}} = -MB \cos 180^{\circ} = -MB(-1) = +MB$.
इसलिए,न्यूनतम और अधिकतम मान क्रमशः $-MB$ और $+MB$ हैं।

(C) एक लंबी परिनालिका के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है,$n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है,और $I$ धारा है।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ को $H = B / \mu_0$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$B$ का मान रखने पर,हमें $H = (\mu_0 n I) / \mu_0 = n I$ प्राप्त होता है।
अतः,एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $n I$ है।

(A) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$।
यहाँ,धारा $I$ को प्रति इकाई समय आवेश के रूप में परिभाषित किया गया है,$I = \frac{e}{T}$।
एक चक्कर के लिए समय अवधि $T = \frac{2 \pi r}{V}$ है।
$T$ का मान धारा के समीकरण में रखने पर,हमें $I = \frac{e}{(2 \pi r / V)} = \frac{eV}{2 \pi r}$ प्राप्त होता है।
अब,$I$ का मान चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0}{2r} \left( \frac{eV}{2 \pi r} \right) = \frac{\mu_0 eV}{4 \pi r^2}$।

(D) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \mu_0 n I$
जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ परिनालिका में प्रवाहित धारा है।
प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ है।
प्रश्न के अनुसार,फेरों की नई संख्या $n' = 2n$ और नई धारा $I' = \frac{1}{3}I$ है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B'$ इस प्रकार होगा:
$B' = \mu_0 n' I'$
$B' = \mu_0 (2n) \left(\frac{1}{3}I\right)$
$B' = \frac{2}{3} (\mu_0 n I)$
$B' = \frac{2}{3} B$
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का नया मान $\frac{2B}{3}$ होगा।

(A) वृत्तीय धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन $T$ आवर्तकाल के साथ घूमता है, इसलिए समतुल्य धारा $I = \frac{e}{T}$ है।
चूंकि $T = \frac{2\pi r}{v}$, इसलिए $I = \frac{ev}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
इस मान को चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर: $B = \frac{\mu_0 (ev/2\pi r)}{2r} = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए मूल अवस्था $(n=1)$ में, बोहर के सिद्धांत के अनुसार वेग $v$ और त्रिज्या $r$ इस प्रकार हैं:
$v = \frac{e^2}{2\epsilon_0 h}$ और $r = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m e^2}$।
इन मानों को $B$ के व्यंजक में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 e}{4\pi} \cdot \left( \frac{e^2}{2\epsilon_0 h} \right) \cdot \left( \frac{\pi m e^2}{\epsilon_0 h^2} \right)^2$
$B = \frac{\mu_0 e^3}{8\pi \epsilon_0 h} \cdot \frac{\pi^2 m^2 e^4}{\epsilon_0^2 h^4} = \frac{\mu_0 e^7 \pi m^2}{8 \epsilon_0^3 h^5}$।

(B) $r$ त्रिज्या और $i$ धारा वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों लूपों के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r_1}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r_2}$ हैं।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,केंद्र पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 - B_2$ है (मानते हुए कि $B_1 > B_2$ है)।
दिया गया है कि $B = \frac{B_1}{2}$,इसलिए:
$\frac{B_1}{2} = B_1 - B_2$
$B_2 = \frac{B_1}{2}$
$B_1$ और $B_2$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{\mu_0 i_2}{2r_2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\mu_0 i_1}{2r_1} \right)$
$\frac{i_2}{r_2} = \frac{i_1}{2r_1}$
$r_2 = 2r_1$ दिया गया है,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{i_2}{2r_1} = \frac{i_1}{2r_1}$
$\frac{i_2}{i_1} = 1$.

(D) जब बैटरी को वर्गाकार फ्रेम के विकर्ण के सिरों पर जोड़ा जाता है,तो धारा दो समान पथों में विभाजित हो जाती है।
प्रत्येक पथ वर्ग की दो भुजाओं से बना होता है।
परिपथ की समरूपता के कारण,प्रत्येक भुजा से बहने वाली धारा वर्ग के केंद्र पर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
वर्ग की किसी भी भुजा के लिए,केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण उसके ठीक विपरीत भुजा द्वारा उत्पन्न क्षेत्र के बराबर होता है,लेकिन दिशा में विपरीत होता है।
चूंकि इन विपरीत खंडों में धाराएं समान हैं और वे इस प्रकार बहती हैं कि केंद्र पर उनके चुंबकीय क्षेत्र का योगदान एक-दूसरे को निरस्त कर देता है,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।

(A) धारा $I$ ले जाने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,आवेश $q = 100e$ आवृत्ति $f = 1 \ r.p.s$ के साथ घूम रहा है।
तुल्य धारा $I = qf = 100e \times 1 = 100e \ A$ है।
दी गई त्रिज्या $r = 0.8 \ m$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 \times 100e}{2 \times 0.8} = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6}$.
$B = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = 100 \times 10^{-19} \mu_0 = 10^{-17} \mu_0 \ T$.

(B) टोरोइडल सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \mu_0 n I$,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है,और $I$ सोलेनोइड से बहने वाली धारा है।
चूंकि $B \propto I$,यदि धारा को तीन गुना $(I_2 = 3I_1)$ कर दिया जाए,तो चुंबकीय क्षेत्र भी मूल मान का तीन गुना हो जाएगा।
दिया गया है $B_1 = 0.2 \ mT$ और $I_2 = 3I_1$,इसलिए:
$B_2 = 3 \times B_1 = 3 \times 0.2 \ mT = 0.6 \ mT$.

(C) $I$ धारा वहन करने वाली $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है: $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$.
चूंकि रिंग पर $q$ आवेश है जो $f$ आवृत्ति (चक्कर प्रति सेकंड) के साथ घूम रहा है, इसलिए समतुल्य धारा $I$ को प्रति इकाई समय में गुजरने वाले आवेश के रूप में परिभाषित किया जाता है。
अतः, $I = q \times f$.
$I$ के इस मान को चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_0 (qf)}{2 R}$.
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(A) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $I$ धारा है।
प्रारंभ में,$B_1 = \mu_0 n_1 I_1$ है।
दिया गया है कि धारा को घटाकर $20 \%$ कर दिया गया है,इसलिए नई धारा $I_2 = 0.2 I_1$ है।
प्रति $cm$ फेरों की संख्या पांच गुना बढ़ा दी गई है,इसलिए नई फेरों की घनत्व $n_2 = 5 n_1$ है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \mu_0 n_2 I_2$ है।
मान रखने पर: $B_2 = \mu_0 (5 n_1) (0.2 I_1) = \mu_0 n_1 I_1 (5 \times 0.2) = \mu_0 n_1 I_1 (1) = B_1$ है।
अतः,नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2$,$B_1$ के बराबर है।

(B) एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार, $I$ धारा प्रवाहित करने वाले एक लंबे सीधे बेलनाकार तार की अक्ष से $R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है (तार के बाहर के बिंदुओं के लिए, जहाँ $R \ge \text{तार की त्रिज्या}$)।
चूंकि दोनों स्थितियों में धारा $I$ समान है और दूरी $R$ भी समान है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र केवल धारा और तार से दूरी पर निर्भर करता है。
अतः, तार का व्यास तार के बाहर $R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र को प्रभावित नहीं करता है。
इसलिए, $B_1 = B_2$।

(C) एक लंबी परिनालिका के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n I$ है।
यहाँ,$n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
कुल फेरों की संख्या $N = 4 \times 1000 = 4000$.
परिनालिका की लंबाई $L = 2 \,m$.
इसलिए,$n = \frac{N}{L} = \frac{4000}{2} = 2000 \text{ turns/m}$.
धारा $I = 5 \,A$.
सूत्र में मान रखने पर:
$B = (4 \pi \times 10^{-7} \,Wb/Am) \times (2000 \text{ turns/m}) \times (5 \,A)$.
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 10000$.
$B = 4 \pi \times 10^{-3} \,T$.

(A) वृत्ताकार कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ कुंडली की त्रिज्या है।
इससे,त्रिज्या $R = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ प्राप्त होती है।
$I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ होता है।
धारा $I$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$I = \frac{2 B R}{\mu_0}$ प्राप्त होता है।
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ को $M = I A$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I$ और $R$ के व्यंजकों को $M$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \left( \frac{2 B R}{\mu_0} \right) A = \frac{2 B A}{\mu_0} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
इसे सरल करने पर,$M = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_0 \sqrt{\pi}}$ प्राप्त होता है।

(B) बोर के सिद्धांत के अनुसार,'$n^{th}$' कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग '$L$',$L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
परिक्रमण करते हुए इलेक्ट्रॉन से संबंधित चुंबकीय आघूर्ण '$M$',$M = \frac{e}{2m_e} L$ द्वारा दिया जाता है।
'$M$' के समीकरण में '$L$' का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \frac{e}{2m_e} \left( \frac{nh}{2\pi} \right) = \frac{enh}{4\pi m_e}$।
चूंकि '$e$','$h$','$m_e$',और '$\pi$' स्थिरांक हैं,इसलिए $M \propto n$ प्राप्त होता है।

(D) जाइरोमैग्नेटिक अनुपात को कक्षीय इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय आघूर्ण $(\mu_L)$ और कोणीय संवेग $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{जाइरोमैग्नेटिक अनुपात} = \frac{\mu_L}{L} = \frac{e}{2m}$.
दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन का आवेश-द्रव्यमान अनुपात $\frac{e}{m} = A \ C/kg$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{जाइरोमैग्नेटिक अनुपात} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{e}{m}\right) = \frac{A}{2} \ C/kg$.

(C) मान लीजिए कि $e$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाला एक इलेक्ट्रॉन $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ गति और $T$ आवर्तकाल के साथ परिक्रमण कर रहा है।
इस परिक्रमण करते इलेक्ट्रॉन से जुड़ी धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi r / v} = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A = I \times (\pi r^2)$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $M = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr$ होता है।
अतः,$vr = \frac{L}{m}$ है।
इस मान को $M$ के व्यंजक में रखने पर,$M = \frac{e}{2} \times \left(\frac{L}{m}\right) = \frac{eL}{2m}$ प्राप्त होता है।

(D) चालक की लंबाई $L$ वृत्ताकार लूप की परिधि बनाती है।
$L = 2 \pi r$,जहाँ $r$ लूप की त्रिज्या है।
इसलिए,$r = \frac{L}{2 \pi}$।
वृत्ताकार लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{L^2}{4 \pi^2} \right) = \frac{L^2}{4 \pi}$।
धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $M = I \left( \frac{L^2}{4 \pi} \right) = \frac{IL^2}{4 \pi}$।

(D) वृत्ताकार कक्षा में गति करते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $i = \frac{e}{T}$ है,जहाँ $T$ परिक्रमण काल है। चूँकि $T = \frac{2 \pi r}{v}$,इसलिए $i = \frac{ev}{2 \pi r}$ है।
धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA$ होता है,जहाँ $A = \pi r^2$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
मान रखने पर,$M = \left(\frac{ev}{2 \pi r}\right) (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $m_{e}$ से गुणा और भाग करने पर,$M = \frac{e}{2 m_{e}} (m_{e}vr)$ प्राप्त होता है।
बोर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $L = m_{e}vr = \frac{nh}{2 \pi}$ है।
इस मान को $M$ के समीकरण में रखने पर,$M = \frac{e}{2 m_{e}} \left(\frac{nh}{2 \pi}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = I \times A$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन के कारण धारा $I = qf = ef$ है, जहाँ $f$ परिक्रमा की आवृत्ति है।
वृत्ताकार कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें $M = (ef)(\pi r^2)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $r = 0.05 \,nm = 0.05 \times 10^{-9} \,m = 5 \times 10^{-11} \,m$, $f = 10^{16} \,Hz$, और $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$.
$M = (1.6 \times 10^{-19} \,C) \times (10^{16} \,s^{-1}) \times (3.14) \times (5 \times 10^{-11} \,m)^2$.
$M = 1.6 \times 10^{-3} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-22}$.
$M = 1.6 \times 3.14 \times 25 \times 10^{-25}$.
$M = 125.6 \times 10^{-25} = 1.256 \times 10^{-23} \,A-m^2 \approx 1.26 \times 10^{-23} \,A-m^2$.

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ में एक आवेश $q$ पर कार्य करने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया आवेश $q = 2e$ और विद्युत क्षेत्र $E$ है,इसलिए बल $F = 2eE$ होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार त्वरण $a = \frac{F}{m_{total}}$ होता है।
दिया गया द्रव्यमान $m_{total} = 4m$ है,इसलिए त्वरण $a = \frac{2eE}{4m}$ होगा।
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $a = \frac{eE}{2m}$ प्राप्त होता है।

(C) विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों की उपस्थिति में गतिमान आवेश पर कार्य करने वाले बल को लोरेंत्ज़ बल कहा जाता है।
विद्युत क्षेत्र के कारण बल $\overrightarrow{F}_{e} = q\overrightarrow{E}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र के कारण बल $\overrightarrow{F}_{m} = q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,आवेश पर कार्य करने वाला कुल बल $\overrightarrow{F}$ इन दोनों बलों का सदिश योग है:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_{e} + \overrightarrow{F}_{m} = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$.

(D) एक वृत्ताकार धारा-वाही लूप द्वारा उसकी अक्ष पर किसी भी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र लूप की अक्ष की दिशा में होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को उसी अक्ष के अनुदिश प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए उसका वेग सदिश $\vec{v}$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है।
अतः,वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta$ या तो $0^{\circ}$ है या $180^{\circ}$ है।
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेन्ज बल सूत्र $F = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin(0^{\circ}) = 0$ या $\sin(180^{\circ}) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$F = 0$। इलेक्ट्रॉन कोई बल अनुभव नहीं करेगा।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में छड़ चुंबक की दोलन आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ द्वारा दी जाती है।
चुंबक $P$ के लिए: $f_{P} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M_{P} B}{I_{P}}}$.
चुंबक $Q$ के लिए: $f_{Q} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M_{Q} B}{I_{Q}}}$.
दिया गया है कि $f_{P} = 2 f_{Q}$ और $I_{P} = 2 I_{Q}$.
इन मानों को अनुपात में रखने पर: $\frac{f_{P}}{f_{Q}} = \sqrt{\frac{M_{P} I_{Q}}{M_{Q} I_{P}}} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{M_{P} I_{Q}}{M_{Q} I_{P}} = 4$.
चूंकि $I_{P} = 2 I_{Q}$,इसलिए $\frac{I_{Q}}{I_{P}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{M_{P}}{M_{Q}} \cdot \frac{1}{2} = 4$,जिसका अर्थ है कि $\frac{M_{P}}{M_{Q}} = 8$,या $M_{P} = 8 M_{Q}$.

(C) सापेक्ष पारगम्यता $\mu_{r}$ और चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\mu_{r} = 1 + \chi$.
दिया गया है कि सापेक्ष पारगम्यता $\mu_{r} = 0.85$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $0.85 = 1 + \chi$.
अतः,$\chi = 0.85 - 1 = -0.15$.
इस प्रकार,माध्यम की चुंबकीय प्रवृत्ति $-0.15$ है।

(A) दिया है,धातु की पारगम्यता $\mu = 0.1256 \ TmA^{-1}$ है।
हम जानते हैं कि मुक्त स्थान (free space) की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ TmA^{-1}$ होती है।
$\pi = 3.14$ रखने पर,$\mu_0 = 4 \times 3.14 \times 10^{-7} = 12.56 \times 10^{-7} \ TmA^{-1}$ प्राप्त होता है।
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r$ को माध्यम की पारगम्यता और मुक्त स्थान की पारगम्यता के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\mu_r = \frac{\mu}{\mu_0} = \frac{0.1256}{12.56 \times 10^{-7}}$.
$\mu_r = \frac{12.56 \times 10^{-2}}{12.56 \times 10^{-7}} = 10^{-2} \times 10^7 = 10^5$.
अतः,सापेक्ष पारगम्यता $10^5$ है।

(C) निरपेक्ष पारगम्यता $\mu$ का सूत्र $\mu = \mu_r \mu_0$ होता है।
यहाँ सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 2000$ और निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\mu = 2000 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \text{ T m/A}$.
$\mu = 8000 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$.
$\mu = 8 \pi \times 10^{-4} \text{ T m/A}$.

(D) दिया गया है: लंबाई $L = 3 \,cm = 3 \times 10^{-2} \,m$, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 2 \,cm^2 = 2 \times 10^{-4} \,m^2$, चुंबकीय आघूर्ण $M = 3 \,Am^2$।
चुंबकन की तीव्रता $I$ को प्रति इकाई आयतन चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आयतन $V = L \times A = (3 \times 10^{-2} \,m) \times (2 \times 10^{-4} \,m^2) = 6 \times 10^{-6} \,m^3$।
चुंबकन की तीव्रता $I = \frac{M}{V} = \frac{3 \,Am^2}{6 \times 10^{-6} \,m^3}$।
$I = 0.5 \times 10^6 \,A/m = 5 \times 10^5 \,A/m$।

(C) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि नाभिक प्रारंभ में स्थिर था,तो दोनों भागों का संवेग समान और विपरीत होगा।
$m_1 v_1 = m_2 v_2$
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{2}$
चूंकि नाभिकीय द्रव्यमान $m$ आयतन के समानुपाती होता है,जो त्रिज्या $r$ के घन $(r^3)$ के समानुपाती होता है (अर्थात $m \propto r^3$):
$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$
द्रव्यमान अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{1}{2}$
$\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} = \frac{1}{2^{1/3}}$

(A) दिया गया है: नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $N_0 = 8 \times 10^{16}$,अर्ध-आयु $T = 15 \text{ दिन}$,और कुल समय $t = 60 \text{ दिन}$।
सबसे पहले,अर्ध-आयु की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{t}{T} = \frac{60}{15} = 4$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष बचे नाभिकों की संख्या $N$ इस प्रकार है:
$N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 8 \times 10^{16} \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 8 \times 10^{16} \times \frac{1}{16} = 0.5 \times 10^{16}$.
क्षयित हुए नाभिकों की संख्या प्रारंभिक और शेष नाभिकों के बीच का अंतर है:
$\text{क्षयित नाभिक} = N_0 - N = 8 \times 10^{16} - 0.5 \times 10^{16} = 7.5 \times 10^{16}$.

(D) मान लीजिए कि दोनों पदार्थों के लिए प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
$t$ समय के बाद,$X_1$ के लिए शेष नाभिकों की संख्या $N_1 = N_0 e^{-5 \lambda t}$ है।
$t$ समय के बाद,$X_2$ के लिए शेष नाभिकों की संख्या $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$ है।
नाभिकों की संख्या का अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-5 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-5 \lambda t + \lambda t} = e^{-4 \lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-4 \lambda t = -1$।
अतः,$t = \frac{1}{4 \lambda}$।

(C) मान लीजिए कि रेडियोधर्मी पदार्थ की प्रारंभिक मात्रा $N_i = 100 \%$ है।
$40 \%$ क्षय पर, शेष मात्रा $N_1 = 100 \% - 40 \% = 60 \%$ है।
$85 \%$ क्षय पर, शेष मात्रा $N_2 = 100 \% - 85 \% = 15 \%$ है।
हम जानते हैं कि $t$ समय के बाद शेष मात्रा $N(t) = N_i \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T_{1/2} = 30 \text{ मिनट}$ है।
$N_1$ और $N_2$ के बीच के अंतराल के लिए, शेष नाभिकों का अनुपात $\frac{N_2}{N_1} = \frac{15 \%}{60 \%} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$, इसलिए लगा समय दो अर्ध-आयु के बराबर है।
अतः, लगा समय $t = 2 \times T_{1/2} = 2 \times 30 \text{ मिनट} = 60 \text{ मिनट}$ है।

(C) कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5 = \frac{3}{2}$ है।
जल का अपवर्तनांक $\mu_w = 1.33 = \frac{4}{3}$ है।
जल के सापेक्ष कांच का अपवर्तनांक ${}_w\mu_g = \frac{\mu_g}{\mu_w} = \frac{3/2}{4/3} = \frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$ है।
क्रांतिक कोण $C$ के लिए सूत्र $\sin C = \frac{1}{{}_w\mu_g}$ है।
मान रखने पर,$\sin C = \frac{1}{9/8} = \frac{8}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रांतिक कोण $C = \sin^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$ होगा।

(C) प्रथम स्थिति में,$\theta$ कांच-हवा इंटरफेस के लिए क्रांतिक कोण है।
क्रांतिक कोण की परिभाषा के अनुसार,$\sin \theta = \frac{1}{\mu}$।
दूसरी स्थिति में,प्रकाश हवा से कांच में जाता है। स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin i}{\sin r} = \mu$,जहाँ $i = \theta$ है।
इसलिए,$\sin r = \frac{\sin \theta}{\mu}$।
समीकरण में $\sin \theta = \frac{1}{\mu}$ रखने पर,हमें $\sin r = \frac{1/\mu}{\mu} = \frac{1}{\mu^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अपवर्तन कोण $r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu^2}\right)$ होगा।

(D) 'Circle of least confusion' प्रकाशिकी में उपयोग किया जाने वाला एक शब्द है जो लेंस या दर्पण प्रणाली से गुजरने वाली प्रकाश किरण के सबसे छोटे अनुप्रस्थ काट क्षेत्र का वर्णन करता है।
यह विशेष रूप से 'गोलीय विपथन' (Spherical aberration) से जुड़ा है,जहाँ लेंस के किनारों से गुजरने वाली प्रकाश किरणें केंद्र से गुजरने वाली किरणों की तुलना में एक अलग बिंदु पर केंद्रित होती हैं।
चूंकि किरणें एक बिंदु पर अभिसरित नहीं होती हैं,इसलिए छवि धुंधली दिखाई देती है,और न्यूनतम धुंधलेपन वाले इस क्षेत्र को 'Circle of least confusion' कहा जाता है।

(D) हवा में लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = (n_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(1)$
जहाँ $n_g = \frac{3}{2}$ और $f = 15 \,cm$ है।
$n_l$ अपवर्तनांक वाले द्रव में उसी लेंस की फोकस दूरी इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{f'} = \left( \frac{n_g}{n_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f'}{f} = \frac{(n_g - 1)}{\left( \frac{n_g}{n_l} - 1 \right)}$
दिए गए मान $n_g = \frac{3}{2}$ और $n_l = \frac{9}{5}$ रखने पर:
$\frac{f'}{15} = \frac{(\frac{3}{2} - 1)}{(\frac{3/2}{9/5} - 1)} = \frac{1/2}{(\frac{3}{2} \times \frac{5}{9} - 1)} = \frac{1/2}{(\frac{5}{6} - 1)} = \frac{1/2}{-1/6} = -3$
अतः, $f' = -3 \times 15 = -45 \,cm$।

(B) आवर्धन,$m = -\frac{1}{4}$ (चूंकि प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा है,इसलिए आवर्धन ऋणात्मक लिया जाता है)।
आवर्धन सूत्र का उपयोग करते हुए,$m = \frac{v}{u} = -\frac{1}{4}$,जिससे $v = -\frac{u}{4}$ प्राप्त होता है।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$v$ का मान रखने पर: $\frac{1}{-u/4} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$-\frac{4}{u} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$-\frac{5}{u} = \frac{1}{f}$।
अतः,$u = -5f$।
वस्तु की दूरी का परिमाण $5f$ है।

(A) प्रतिबिंब वास्तविक है और इसलिए उल्टा है।
अतः,आवर्धन $m = \frac{v}{u} = -n$,जिसका अर्थ है $u = -\frac{v}{n}$।
लेंस सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$।
$u$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{v} - (-\frac{n}{v}) = \frac{1}{f}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1+n}{v} = \frac{1}{f}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिबिंब की दूरी $v = f(n+1)$ है।

(C) दिया गया है: फोकस दूरी $f = 8 \,cm$। कण की माध्य स्थिति $u_0 = -14 \,cm$ है। कण का आयाम $A_p = 1 \,cm$ है।
सबसे पहले, जब कण माध्य स्थिति पर हो तो प्रतिबिंब की स्थिति $v_0$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{v_0} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u_0} = \frac{1}{8} - \frac{1}{14} = \frac{7-4}{56} = \frac{3}{56}$
$v_0 = \frac{56}{3} \approx 18.67 \,cm$.
इसके बाद, जब कण चरम स्थिति $u_1 = -14 - 1 = -15 \,cm$ पर हो तो प्रतिबिंब की स्थिति $v_1$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{f} + \frac{1}{u_1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{15} = \frac{15-8}{120} = \frac{7}{120}$
$v_1 = \frac{120}{7} \approx 17.14 \,cm$.
दोलनशील प्रतिबिंब का आयाम प्रतिबिंब की स्थितियों के बीच का अंतर है:
$A_i = |v_0 - v_1| = |18.67 - 17.14| = 1.53 \,cm$.
निकटतम पूर्णांक में, आयाम लगभग $2 \,cm$ है।

(C) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,जहाँ $\mu_{rel} = \frac{\mu_{lens}}{\mu_{liquid}}$ है।
दिया गया है कि द्रव का अपवर्तनांक लेंस के पदार्थ के अपवर्तनांक के बराबर है,इसलिए $\mu_{lens} = \mu_{liquid}$,जिसका अर्थ है कि $\mu_{rel} = 1$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{f} = (1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{f} = 0$,जिसका अर्थ है कि $f = \infty$ (फोकस दूरी अनंत हो जाएगी)।

(C) द्वि-उत्तल लेंस के लिए,लेंस निर्माता का सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।
यहाँ $R_1 = 30 \ cm$ और $R_2 = -30 \ cm$ (चिह्न परिपाटी के अनुसार),और $\mu = 1.6$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = (1.6 - 1) \left( \frac{1}{30} - \frac{1}{-30} \right) = 0.6 \times \left( \frac{2}{30} \right) = \frac{1.2}{30} = \frac{1}{25}$.
अतः,लेंस की फोकस दूरी $f = 25 \ cm$ है।
चूंकि अवतल दर्पण की फोकस दूरी लेंस की फोकस दूरी के बराबर है,इसलिए $f_{mirror} = 25 \ cm$.
अवतल दर्पण की वक्रता त्रिज्या $R = 2f = 2 \times 25 \ cm = 50 \ cm$ होती है।

(D) एक उत्तल लेंस के लिए,वस्तु के समान आकार का प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए,आवर्धन $m = -1$ होना चाहिए।
यह तब होता है जब वस्तु को लेंस से $2f$ दूरी पर रखा जाता है और प्रतिबिंब दूसरी तरफ $2f$ दूरी पर बनता है।
चूंकि प्रतिबिंब लेंस से $d$ दूरी पर स्थित दीवार पर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब दूरी $v = d$ है।
चूंकि प्रतिबिंब का आकार वस्तु के आकार के बराबर है,इसलिए वस्तु दूरी $u$ भी $d$ होनी चाहिए।
अतः,दोनों दीवारों के बीच की कुल दूरी $u + v = d + d = 2d$ है।
समान आकार के वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,वस्तु और पर्दे के बीच की दूरी कम से कम $4f$ होनी चाहिए।
इसलिए,$4f = 2d$,जिससे हमें $f = \frac{d}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) लेंस मेकर सूत्र $P = 1/f = (\mu - 1)(1/R_1 - 1/R_2)$ द्वारा दिया जाता है।
समान वक्रता त्रिज्या वाले उत्तल लेंस के लिए,$R_1 = R$ और $R_2 = -R$ होता है।
अतः,$P = (\mu - 1)(1/R + 1/R) = (\mu - 1)(2/R)$।
जब एक सतह को समतल बना दिया जाता है,तो नई त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ हो जाती हैं।
नई शक्ति $P' = (\mu - 1)(1/R - 1/\infty) = (\mu - 1)/R$ होगी।
$P'$ की तुलना $P$ से करने पर,हमें $P' = P/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f' = 1/P'$,इसलिए $f' = 1/(P/2) = 2/P = 2f$ होगा।
अतः,नई फोकस दूरी $2f$ और नई शक्ति $P/2$ है।

(A) समतल-उत्तल लेंस के लिए,लेंस निर्माता के सूत्र द्वारा फोकस दूरी $f_1$ है: $\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu_1 - 1}{R}$.
समतल-अवतल लेंस के लिए,फोकस दूरी $f_2$ है: $\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1)(\frac{1}{-\infty} - \frac{1}{-R}) = \frac{\mu_2 - 1}{-R} = -\frac{\mu_2 - 1}{R}$.
संयोजन की फोकस दूरी $f$ के लिए सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{f} = \frac{\mu_1 - 1}{R} - \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1}{R} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R}$.
अतः,$f = \frac{R}{\mu_1 - \mu_2}$.