MHT CET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) बंद पाइप की मूलभूत विधा में,वायु स्तंभ की लंबाई $L = \frac{\lambda}{4}$ होती है।
यह दिया गया है कि ध्वनि तरंग को लंबाई $L$ तय करने में लगा समय $t$ है।
चूंकि तरंग $t$ समय में $L = \frac{\lambda}{4}$ दूरी तय करती है,इसलिए पूर्ण तरंगदैर्ध्य $\lambda$ तय करने में लगा समय $T = 4t$ होगा।
यहाँ,$T$ कंपन का आवर्तकाल (time period) दर्शाता है।
कंपन की आवृत्ति $n$,आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है,जिसे $n = \frac{1}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
$T = 4t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n = \frac{1}{4t} = \frac{0.25}{t}$ प्राप्त होता है।

(A) खुली ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_o = \frac{v_2}{2 L_o}$ है। पहला ओवरटोन $f_{o1} = 2 f_o = \frac{v_2}{L_o}$ है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v_1}{4 L_c}$ है। पहला ओवरटोन $f_{c1} = 3 f_c = \frac{3 v_1}{4 L_c}$ है।
यह दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं,$f_{o1} = f_{c1}$,इसलिए $\frac{v_2}{L_o} = \frac{3 v_1}{4 L_c}$।
$L_o$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $L_o = \frac{4 L_c}{3} \frac{v_2}{v_1}$ प्राप्त होता है।
गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{1}{\rho \beta}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\beta$ संपीड्यता है। चूंकि दोनों गैसों के लिए $\beta$ समान है,इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$ होता है।
इस मान को $L_o$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $L_o = \frac{4 L_c}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$ प्राप्त होता है।

(B) एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $f_p = \frac{v}{4L_p}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v = 320 \,m/s$ और $L_p = 0.8 \,m$ है。
$f_p = \frac{320}{4 \times 0.8} = \frac{320}{3.2} = 100 \,Hz$.
अपने $2^{nd}$ हार्मोनिक में कंपन कर रही डोरी की आवृत्ति $f_s = 2 \times \frac{1}{2L_s} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $L_s = 0.5 \,m$, $T = 50 \,N$, और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है。
चूंकि डोरी पाइप के साथ अनुनाद करती है, इसलिए $f_s = f_p$.
$2 \times \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{50}{\mu}} = 100$.
$2 \times \sqrt{\frac{50}{\mu}} = 100 \implies \sqrt{\frac{50}{\mu}} = 50$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{50}{\mu} = 2500 \implies \mu = \frac{50}{2500} = 0.02 \,kg/m$.
डोरी का कुल द्रव्यमान $M = \mu \times L_s = 0.02 \,kg/m \times 0.5 \,m = 0.01 \,kg = 10 \,g$ है।

(B) माना पाइप की कुल लंबाई $L = 1.5 \,m$ है और पानी में डूबी हुई लंबाई $\ell$ है। पानी के ऊपर हवा के स्तंभ की लंबाई $L' = L - \ell = 1.5 - \ell$ होगी।
चूंकि पाइप अब एक सिरे पर बंद है, इसलिए यह एक बंद ऑर्गन पाइप की तरह कार्य करती है।
बंद पाइप के लिए $n$-वें ओवरटोन की आवृत्ति $f_n = \frac{(2n+1)v}{4L'}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $n$ ओवरटोन की संख्या है।
दूसरे ओवरटोन के लिए $n = 2$ रखने पर, आवृत्ति $f_2 = \frac{(2(2)+1)v}{4L'} = \frac{5v}{4L'}$ होगी।
दिया गया है कि $f_2 = 330 \,Hz$ और $v = 330 \,m/s$, इसलिए:
$330 = \frac{5 \times 330}{4(1.5 - \ell)}$
$1 = \frac{5}{4(1.5 - \ell)}$
$4(1.5 - \ell) = 5$
$6 - 4\ell = 5$
$4\ell = 1$
$\ell = 0.25 \,m$.

(A) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f = 500 \,Hz$ है और ध्वनि का वेग $v = 320 \,m/s$ है।
ध्वनि तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{320}{500} = 0.64 \,m = 64 \,cm$ है।
एक सिरे पर बंद नली के लिए, अनुनाद तब होता है जब वायु स्तंभ की लंबाई $L$ समीकरण $L = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ को संतुष्ट करती है, जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
अनुनाद के लिए संभावित लंबाइयाँ इस प्रकार हैं:
$n=1$ के लिए: $L_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{64}{4} = 16 \,cm$.
$n=2$ के लिए: $L_2 = \frac{3\lambda}{4} = 3 \times 16 = 48 \,cm$.
$n=3$ के लिए: $L_3 = \frac{5\lambda}{4} = 5 \times 16 = 80 \,cm$.
$n=4$ के लिए: $L_4 = \frac{7\lambda}{4} = 7 \times 16 = 112 \,cm$.
चूंकि नली की कुल लंबाई $1 \,m = 100 \,cm$ है, इसलिए केवल $16 \,cm, 48 \,cm,$ और $80 \,cm$ की लंबाइयाँ ही संभव हैं।
अतः, प्राप्त अनुनादों की कुल संख्या $3$ है।

(C) एक सिरे पर बंद नली के लिए,अनुनाद की लंबाई $L = \frac{(2k-1)\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$
पहला अनुनाद $L_1 = \frac{\lambda}{4}$ पर होता है।
दूसरा अनुनाद $L_2 = \frac{3\lambda}{4}$ पर होता है।
दोनों लंबाइयों को घटाने पर: $L_2 - L_1 = \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2}$.
इसलिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2(L_2 - L_1)$ है।
हवा में ध्वनि की गति $V$ का सूत्र $V = n\lambda$ है।
$\lambda$ का मान रखने पर: $V = n \times 2(L_2 - L_1) = 2n(L_2 - L_1)$.

(B) $L$ लंबाई की खुली पाइप में,अप्रगामी तरंगों के लिए स्थिति $L = n \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n$ लूप्स की संख्या (या हार्मोनिक्स) है।
दोनों सिरों पर खुली पाइप के लिए,खुले सिरों पर हमेशा प्रस्पंद (antinodes) बनते हैं।
यदि $4$ प्रस्पंद और $3$ निस्पंद हैं,तो बनने वाले लूप्स की संख्या $n = 3$ है।
पाइप की लंबाई $L = 3 \frac{\lambda}{2}$ है।
यह $3^{rd}$ हार्मोनिक के अनुरूप है।
खुली पाइप के लिए हार्मोनिक्स का क्रम $f_1, 2f_1, 3f_1, \dots$ (मूल आवृत्ति,$1^{st}$ ओवरटोन,$2^{nd}$ ओवरटोन,$\dots$) होता है।
अतः,$3f_1$ तीसरा हार्मोनिक है,जो $2^{nd}$ ओवरटोन है।

(C) एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n = \frac{v}{4 \ell_A}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $\ell_A$ पाइप '$A$' की लंबाई है।
दोनों सिरों पर खुली पाइप की आवृत्तियाँ $n_k = \frac{k v}{2 \ell_B}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ और $\ell_B$ पाइप '$B$' की लंबाई है।
पहला ओवरटोन $k=2$ के अनुरूप है,और दूसरा ओवरटोन $k=3$ के अनुरूप है।
अतः,खुली पाइप का दूसरा ओवरटोन $n' = \frac{3 v}{2 \ell_B}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$n = n'$,इसलिए $\frac{v}{4 \ell_A} = \frac{3 v}{2 \ell_B}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{4 \ell_A} = \frac{3}{2 \ell_B}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{2}{4 \times 3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$।
इसलिए,पाइप '$A$' की लंबाई और पाइप '$B$' की लंबाई का अनुपात $1: 6$ है।

(D) $\ell_1$ लंबाई वाली खुली नली की मूल आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{2\ell_1} = n$ है।
जब नली को पानी में लंबवत इस प्रकार डुबोया जाता है कि उसकी लंबाई का एक-चौथाई हिस्सा पानी में रहे, तो वायु स्तंभ की लंबाई $\ell_2 = \ell_1 - \frac{1}{4}\ell_1 = \frac{3}{4}\ell_1$ हो जाती है।
चूंकि नली अब पानी की सतह द्वारा एक सिरे पर बंद है, इसलिए यह एक बंद ऑर्गन पाइप की तरह कार्य करती है।
बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{4\ell_2}$ होती है।
$\ell_2 = \frac{3}{4}\ell_1$ का मान रखने पर:
$n_2 = \frac{v}{4(\frac{3}{4}\ell_1)} = \frac{v}{3\ell_1}$।
$n_2$ की तुलना $n_1$ से करने पर:
$n_2 = \frac{2}{3} \times (\frac{v}{2\ell_1}) = \frac{2}{3}n$।

(D) बंद पाइप की मूल आवृत्ति $n_{c} = \frac{v}{4L}$ है।
खुली पाइप की मूल आवृत्ति $n_{o} = \frac{v}{2L}$ है।
दिया गया है कि वे प्रति सेकंड $2$ विस्पंद उत्पन्न करती हैं:
$n_{o} - n_{c} = 2$
$\frac{v}{2L} - \frac{v}{4L} = 2$
$\frac{v}{4L} = 2 \implies \frac{v}{L} = 8$.
जब खुली पाइप की लंबाई आधी कर दी जाती है,तो नई आवृत्ति:
$n_{o}' = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L} = 8 \text{ Hz}$.
जब बंद पाइप की लंबाई दोगुनी कर दी जाती है,तो नई आवृत्ति:
$n_{c}' = \frac{v}{4(2L)} = \frac{v}{8L} = \frac{1}{8} \times \left(\frac{v}{L}\right) = \frac{1}{8} \times 8 = 1 \text{ Hz}$.
नई विस्पंद आवृत्ति $= n_{o}' - n_{c}' = 8 - 1 = 7 \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$.

(A) आदर्श गैस में ध्वनि का वेग $V = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए हाइड्रोजन $(V_H)$ और हीलियम $(V_{He})$ में ध्वनि के वेग का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{V_H}{V_{He}} = \sqrt{\frac{\gamma_H}{\gamma_{He}} \cdot \frac{M_{He}}{M_H}}$
दिए गए मान $\gamma_H = \frac{7}{5}$,$\gamma_{He} = \frac{5}{3}$,$M_H = 2$,और $M_{He} = 4$ रखने पर:
$\frac{V_H}{V_{He}} = \sqrt{\left(\frac{7/5}{5/3}\right) \cdot \left(\frac{4}{2}\right)}$
$\frac{V_H}{V_{He}} = \sqrt{\left(\frac{7}{5} \cdot \frac{3}{5}\right) \cdot 2} = \sqrt{\frac{21}{25} \cdot 2} = \sqrt{\frac{42}{25}} = \frac{\sqrt{42}}{5}$.

(B) गैस में ध्वनि की चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ है,जहाँ $B$ बल्क मॉडुलस (प्रत्यास्थता) है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
चूँकि ध्वनि की चाल $v = f \lambda$ होती है,जहाँ $f$ आवृत्ति है और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,इसलिए $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{1}{f} \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ प्राप्त होता है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ध्वनि स्रोत की आवृत्ति और माध्यम के भौतिक गुणों (घनत्व और प्रत्यास्थता) पर निर्भर करती है।
दिए गए विकल्पों में से,गैस का घनत्व और प्रत्यास्थता माध्यम के वे मूलभूत गुण हैं जो ध्वनि की चाल निर्धारित करते हैं,जो सीधे तरंगदैर्ध्य को प्रभावित करते हैं।

(A) एक आदर्श गैस में ध्वनि की गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है,जहाँ $P$ दबाव है और $\rho$ गैस का घनत्व है।
हम जानते हैं कि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ और आदर्श गैस के लिए $PV = nRT$ होता है,इसलिए $\rho = \frac{PM}{RT}$ होता है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
इस मान को गति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{PM/RT}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ प्राप्त होता है।
इस अंतिम समीकरण से स्पष्ट है कि ध्वनि की गति केवल तापमान $T$ और गैस की प्रकृति (मोलर द्रव्यमान $M$ और एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$) पर निर्भर करती है।
इसलिए,स्थिर तापमान पर,ध्वनि की गति दबाव से स्वतंत्र होती है। यदि दबाव दोगुना कर दिया जाए,तो भी ध्वनि की गति समान ही रहती है।

(C) कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ पथ अंतर $\Delta x = x$ और कलांतर $\phi = n\pi$ दिया गया है।
साथ ही,वेग $V$,आवृत्ति $f$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $V = f\lambda$ है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{V}{f}$।
इन मानों को कलांतर के सूत्र में रखने पर:
$n\pi = \frac{2\pi}{(V/f)} \cdot x$।
अतः,$n\pi = \frac{2\pi f x}{V}$।
आवृत्ति $f$ के लिए हल करने पर:
$f = \frac{nV}{2x}$।

(B) पहली तरंग का समीकरण $y_1 = A \sin (\omega t + kx + 0.57)$ है।
दूसरी तरंग $y_2 = A \cos (\omega t + kx)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \theta = \sin (\theta + \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करते हुए,हम $y_2$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y_2 = A \sin (\omega t + kx + \frac{\pi}{2})$.
पहली तरंग की कला $\phi_1 = \omega t + kx + 0.57$ है।
दूसरी तरंग की कला $\phi_2 = \omega t + kx + \frac{\pi}{2}$ है।
कलांतर $\Delta \phi = |\phi_2 - \phi_1| = |(\omega t + kx + \frac{\pi}{2}) - (\omega t + kx + 0.57)|$.
$\Delta \phi = \frac{\pi}{2} - 0.57$.
चूँकि $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,इसलिए:
$\Delta \phi = 1.57 - 0.57 = 1.0 \ \text{rad}$.

(C) कंपन करने वाले तार की आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है, जहाँ $p$ लूप्स (एंटीनोड्स) की संख्या है, $L$ लंबाई है, $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
चूंकि आवृत्ति $f$, लंबाई $L$ और प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं, इसलिए $p \propto \sqrt{T}$, जिसका अर्थ है $T \propto p^2$.
अतः, $T_1 p_1^2 = T_2 p_2^2$.
यहाँ $T_1 = 1 \,kg$ (भार के बराबर), $p_1 = 4$, और $p_2 = 2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $1 \times (4)^2 = M \times (2)^2$.
$16 = 4M$.
$M = 4 \,kg$.

(B) तार के दोनों खंडों के लिए कंपन की आवृत्ति $n$ समान होनी चाहिए।
तने हुए तार की आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
पहले तार के लिए (त्रिज्या $r$,लंबाई $L$): $n = \frac{p_1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$.
दूसरे तार के लिए (त्रिज्या $2r$,लंबाई $L$): $n = \frac{p_2}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi (2r)^2 \rho}} = \frac{p_2}{2L} \sqrt{\frac{T}{4 \pi r^2 \rho}} = \frac{p_2}{4L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$.
आवृत्तियों की तुलना करने पर: $\frac{p_1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{p_2}{4L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}}$.
सरल करने पर,$\frac{p_1}{2} = \frac{p_2}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{p_1}{p_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।

(D) कंपन करते हुए तार की आवृत्ति $f = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $p$ लूप्स (एंटीनोड्स) की संख्या है, $L$ लंबाई है, $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $f$ और लंबाई $L$ स्थिर रहती है, इसलिए $p \propto \sqrt{T}$ या $T \propto p^2$ होता है।
अतः, $T_1 p_1^2 = T_2 p_2^2$.
यहाँ $T_1 = 9 \,kg-wt$, $p_1 = 5$ और $p_2 = 3$ दिया गया है।
मान रखने पर: $9 \times 5^2 = M \times 3^2$.
$9 \times 25 = M \times 9$.
$M = 25 \,kg$.

(B) डोरी के कंपन की आवृत्ति का सूत्र इस प्रकार है:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{m}}$
जहाँ $T$ तनाव है,$L$ लंबाई है,और $m$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि $m = \pi r^2 \rho$ (जहाँ $r$ त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है),आवृत्ति $n$ होगी:
$n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि जब $T$,$L$,और $\rho$ स्थिर हों तो $n \propto \frac{1}{r}$ होता है।
यदि त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए $(r' = 2r)$,तो नई आवृत्ति $n'$ होगी:
$\frac{n'}{n} = \frac{r}{r'} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$
अतः,$n' = \frac{n}{2}$.

(D) सोनोमीटर तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu$ स्थिर हैं, इसलिए $n \propto \frac{1}{L}$, जिसका अर्थ है $nL = \text{स्थिरांक}$.
मान लीजिए ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n$ है।
प्रारंभ में, $n \times 25 = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
जब लंबाई $1 \,cm$ कम की जाती है, तो नई लंबाई $24 \,cm$ हो जाती है। आवृत्ति बढ़कर $(n + 6) \,Hz$ हो जाती है।
अतः, $(n + 6) \times 24 = k$.
$k$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$25n = 24(n + 6)$
$25n = 24n + 144$
$n = 144 \,Hz$.

(A) तने हुए तार की मूल आवृत्ति $n$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
जहाँ $L$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि $\mu = \text{Area} \times \text{density} = (\pi r^2) \rho$,हम लिख सकते हैं:
$n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi r^2 \rho}} = \frac{1}{2Lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $n \propto \frac{1}{Lr}$.
दिया गया है कि लंबाई $L$ को दोगुना कर दिया गया है $(L_2 = 2L_1)$ और व्यास $D$ को दोगुना कर दिया गया है (जिसका अर्थ है कि त्रिज्या $r$ भी दोगुनी हो जाती है,$r_2 = 2r_1$):
$\frac{n_2}{n_1} = \frac{L_1 r_1}{L_2 r_2} = \frac{L_1 r_1}{(2L_1)(2r_1)} = \frac{1}{4}$
इसलिए,$n_2 = \frac{n_1}{4} = \frac{n}{4}$.

(D) स्प्रिंग को संपीड़ित करने के लिए किया गया कार्य प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $(U_s = \frac{1}{2} k x^2)$ के रूप में संग्रहीत होता है।
दिया गया है कि बल $F = kx = 5 \,N$ और संपीड़न $x = 0.2 \,m$, इसलिए प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U_s = \frac{1}{2} Fx = \frac{1}{2} \times 5 \,N \times 0.2 \,m = 0.5 \,J$ है।
जब स्प्रिंग को छोड़ा जाता है, तो यह ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(U_g = mgh)$ में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा को संतुलित करने पर: $mgh = \frac{1}{2} Fx$.
मान रखने पर: $m = 25 \,g = 0.025 \,kg$, $g = 10 \,m/s^2$, $F = 5 \,N$, और $x = 0.2 \,m$.
$0.025 \,kg \times 10 \,m/s^2 \times h = 0.5 \,J$.
$0.25 \times h = 0.5$.
$h = \frac{0.5}{0.25} = 2 \,m$.

(A) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2} mu^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{1}{2} m(2u)^2 = \frac{1}{2} m(4u^2) = 2mu^2$ है।
किया गया कार्य $W = \Delta K = K_2 - K_1 = 2mu^2 - \frac{1}{2} mu^2 = \frac{3}{2} mu^2$ है।
शक्ति $P = \frac{W}{t} = \frac{3mu^2}{2t}$ होगी।

(C) सामान्य समायोजन में खगोलीय दूरदर्शी की आवर्धन क्षमता $(m)$ का सूत्र है: $m = \frac{f_o}{f_e}$,जहाँ $f_o$ अभिदृश्यक लेंस (objective lens) की फोकस दूरी है और $f_e$ नेत्रिका की फोकस दूरी है।
यदि नेत्रिका की फोकस दूरी को दोगुना कर दिया जाए,तो नई फोकस दूरी $f_e' = 2f_e$ हो जाएगी।
नई आवर्धन क्षमता $(m')$ होगी: $m' = \frac{f_o}{f_e'} = \frac{f_o}{2f_e} = \frac{1}{2} \left( \frac{f_o}{f_e} \right) = \frac{m}{2}$.
अतः,आवर्धन क्षमता मूल मान की आधी हो जाएगी।

(A) प्रिज्म के लिए,प्रिज्म का कोण $A = r_1 + r_2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि किरण दूसरे फलक से अभिलंबवत बाहर निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $r_2 = 0$।
अतः,$A = r_1$।
पहले फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $n = \frac{\sin i}{\sin r_1}$।
$r_1 = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $n = \frac{\sin i}{\sin A}$ प्राप्त होता है।
पतले प्रिज्म के लिए,कोण $i$ और $A$ बहुत छोटे होते हैं,इसलिए $\sin i \approx i$ और $\sin A \approx A$।
इस प्रकार,$n = \frac{i}{A}$,जिससे $i = An$ प्राप्त होता है।

(D) निर्गत किरण दूसरे फलक को स्पर्श करती हुई निकलती है,इसलिए निर्गत कोण $e = 90^{\circ}$ है।
दूसरे फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\mu = \frac{\sin e}{\sin r_2} = \frac{\sin 90^{\circ}}{\sin r_2} = \frac{1}{\sin r_2}$.
चूंकि $\mu = \sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $\sin r_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिससे $r_2 = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
समबाहु प्रिज्म के लिए,प्रिज्म कोण $A = 60^{\circ}$ होता है।
संबंध $A = r_1 + r_2$ का उपयोग करने पर,हमें $r_1 = A - r_2 = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
पहले फलक पर स्नेल के नियम का उपयोग करने पर: $\frac{\sin i}{\sin r_1} = \mu$.
अतः,$\sin i = \mu \sin r_1 = \sqrt{2} \sin 15^{\circ}$.
इस प्रकार,$i = \sin ^{-1}(\sqrt{2} \sin 15^{\circ})$।

(B) परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण '$i$' परावर्तन कोण '$r$' के बराबर होता है। अतः,$i = r$।
यह दिया गया है कि परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परावर्तन कोण और अपवर्तन कोण का योग $90^{\circ}$ है।
$i + r_1 = 90^{\circ} \implies r_1 = 90^{\circ} - i$।
स्नेल के नियम का उपयोग करते हुए,विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक '$\mu$' $\mu = \frac{\sin r_1}{\sin i}$ द्वारा दिया जाता है।
$r_1 = 90^{\circ} - i$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{\sin(90^{\circ} - i)}{\sin i} = \frac{\cos i}{\sin i} = \cot i$।
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक और क्रांतिक कोण '$C$' के बीच संबंध $\mu = \frac{1}{\sin C}$ है।
'$\mu$' के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\cot i = \frac{1}{\sin C}$।
अतः,$\tan i = \sin C$।
इसलिए,$i = \tan^{-1}(\sin C)$।

(A) मान लीजिए कि पहली सतह से हवा के बुलबुले की वास्तविक गहराई $x$ है।
पहली सतह से देखने पर,आभासी गहराई $d_1 = \frac{x}{\mu} = 10 \ cm$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$x = 10\mu$.
विपरीत सतह से देखने पर,बुलबुले की वास्तविक गहराई $(24 - x)$ है।
आभासी गहराई $d_2 = \frac{24 - x}{\mu} = 6 \ cm$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$24 - x = 6\mu$.
दूसरे समीकरण में $x = 10\mu$ प्रतिस्थापित करने पर:
$24 - 10\mu = 6\mu$
$24 = 16\mu$
$\mu = \frac{24}{16} = 1.5$.
इसलिए,कांच का अपवर्तनांक $1.5$ है।

(D) क्रांतिक कोण $\theta$ सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाने वाले प्रकाश के लिए परिभाषित होता है। मान लीजिए माध्यम $A$ सघन माध्यम है और माध्यम $B$ विरल माध्यम है।
क्रांतिक कोण पर स्नेल के नियम के अनुसार,माध्यम $B$ के सापेक्ष माध्यम $A$ का अपवर्तनांक इस प्रकार दिया जाता है:
${}_{B}\mu_{A} = \frac{1}{\sin \theta}$
हम जानते हैं कि अपवर्तनांक दोनों माध्यमों में प्रकाश की चाल का अनुपात होता है:
${}_{B}\mu_{A} = \frac{V_{B}}{V_{A}}$
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{V_{B}}{V_{A}} = \frac{1}{\sin \theta}$
अतः,माध्यम $B$ में प्रकाश की चाल है:
$V_{B} = \frac{V_{A}}{\sin \theta}$

(D) माध्यम '$Y$' के सापेक्ष माध्यम '$x$' का अपवर्तनांक इस प्रकार दिया जाता है: $n_{xy} = \frac{1}{\sin \theta}$.
साथ ही,अपवर्तनांक की परिभाषा के अनुसार: $n_{xy} = \frac{V_{Y}}{V_{x}}$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{V_{Y}}{V_{x}} = \frac{1}{\sin \theta}$.
अतः,माध्यम '$Y$' में प्रकाश की चाल: $V_{Y} = \frac{V_{x}}{\sin \theta}$ होगी।

(B) माध्यम $1$ के सापेक्ष माध्यम $2$ का अपवर्तनांक, माध्यम $1$ में प्रकाश की गति और माध्यम $2$ में प्रकाश की गति के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $v_a$, $v_w$, और $v_g$ क्रमशः हवा, पानी और कांच में प्रकाश की गति हैं।
दिया गया है:
$X = {}^a\mu_w = \frac{v_a}{v_w}$
$Y = {}^w\mu_g = \frac{v_w}{v_g}$
$Z = {}^g\mu_a = \frac{v_g}{v_a}$
इन तीनों मानों का गुणा करने पर:
$X \times Y \times Z = \left(\frac{v_a}{v_w}\right) \times \left(\frac{v_w}{v_g}\right) \times \left(\frac{v_g}{v_a}\right) = 1$
अतः, $X Y Z = 1$।

(A) मान लीजिए कि तरंगों की संख्या $N$ है। माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{d}{N}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ माध्यम की मोटाई है।
कांच के स्लैब के लिए,$\lambda_g = \frac{4}{N}$.
पानी के स्तंभ के लिए,$\lambda_w = \frac{5}{N}$.
हम जानते हैं कि माध्यम में तरंगदैर्ध्य उसके अपवर्तनांक के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda \propto \frac{1}{\mu}$.
इसलिए,$\frac{\lambda_w}{\lambda_g} = \frac{\mu_g}{\mu_w}$.
मान रखने पर: $\frac{5/N}{4/N} = \frac{5/3}{\mu_w}$.
$\frac{5}{4} = \frac{5}{3 \mu_w}$.
$3 \mu_w = 4$.
$\mu_w = \frac{4}{3} \approx 1.33$.

(C) माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda_m = \frac{\lambda_a}{n}$ है, जहाँ $\lambda_a$ हवा (या निर्वात) में तरंगदैर्ध्य है और $n$ माध्यम का अपवर्तनांक है。
यहाँ अपवर्तनांक $n = 1.6$ दिया गया है。
निचली सीमा के लिए: $\lambda_{m1} = \frac{480 \,nm}{1.6} = 300 \,nm$.
ऊपरी सीमा के लिए: $\lambda_{m2} = \frac{672 \,nm}{1.6} = 420 \,nm$.
अतः, कांच में तरंगदैर्ध्य की सीमा $300 \,nm - 420 \,nm$ होगी।

(D) डायोड इस प्रकार जुड़ा है कि p-सिरा $+5 \ V$ पर और n-सिरा $+3 \ V$ पर है।
चूंकि p-सिरे का विभव n-सिरे के विभव से अधिक है,इसलिए डायोड अग्र-अभिनत (forward-biased) है।
आदर्श डायोड मानते हुए,प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V = 5 \ V - 3 \ V = 2 \ V$ है।
प्रतिरोध $R = 200 \ \Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{2 \ V}{200 \ \Omega} = 0.01 \ A = 10^{-2} \ A$ प्राप्त होती है।

(C) डायोड फॉरवर्ड बायस में जुड़ा हुआ है क्योंकि $p$-सिरा $n$-सिरे $(-5 \text{ V})$ की तुलना में उच्च विभव $(+3 \text{ V})$ पर है।
फॉरवर्ड बायस में एक आदर्श जंक्शन डायोड के लिए, डायोड का प्रतिरोध शून्य होता है।
प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V = V_P - V_Q = 3 \text{ V} - (-5 \text{ V}) = 8 \text{ V}$ है।
प्रतिरोध $R = 2 \text{ k}\Omega = 2000 \text{ }\Omega$ है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, धारा $I = \frac{V}{R} = \frac{8 \text{ V}}{2000 \text{ }\Omega} = 4 \times 10^{-3} \text{ A}$ प्राप्त होती है।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
अर्धचालक के लिए सिग्नल का पता लगाने हेतु,आपतित फोटॉन की ऊर्जा बैंड गैप ऊर्जा $(E_g = 2.5 eV)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
थ्रेशोल्ड तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{hc}{E_g} = \frac{6.6 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2.5 \times 1.6 \times 10^{-19}} m$
$\lambda = \frac{19.8 \times 10^{-26}}{4.0 \times 10^{-19}} m = 4.95 \times 10^{-7} m = 4950 Å$.
शॉर्टकट सूत्र का उपयोग करते हुए: $\lambda(Å) = \frac{12400}{E(eV)} = \frac{12400}{2.5} = 4960 Å$.
चूंकि फोटोडायोड $E \ge 2.5 eV$ ऊर्जा वाले संकेतों का पता लगाता है,इसलिए तरंगदैर्ध्य $\lambda \le 4960 Å$ होनी चाहिए। दिए गए विकल्पों में से,$5000 Å$ सबसे निकटतम थ्रेशोल्ड मान है।

(B) परिपथ $(a)$ में,दो डायोड श्रेणीक्रम में इस प्रकार जुड़े हैं कि वे एक-दूसरे का विरोध करते हैं। विशेष रूप से,एक डायोड अग्र-अभिनत (forward-biased) है जबकि दूसरा पश्च-अभिनत (reverse-biased) है। चूंकि एक आदर्श पश्च-अभिनत डायोड एक खुले परिपथ (अनंत प्रतिरोध) के रूप में कार्य करता है,इसलिए परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः,एमीटर कोई विक्षेप नहीं दिखाएगा।
परिपथ $(b)$ में,दोनों डायोड अग्र-अभिनत हैं,जिससे धारा प्रवाहित हो सकती है।
परिपथ $(c)$ और $(d)$ में,डायोड समानांतर क्रम में हैं,और कम से कम एक पथ अग्र-अभिनत है,जिससे धारा प्रवाहित हो सकती है।

(C) परिपथ $X$ में,दोनों डायोड $D_1$ और $D_2$ अग्र अभिनत (forward biased) हैं,इसलिए दोनों धारा का चालन करेंगे।
$4 \ \Omega$ के दो प्रतिरोध समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
उनका तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = \frac{16}{8} = 2 \ \Omega$ है।
कुल धारा $I_X = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{8 \ V}{2 \ \Omega} = 4 \ A$ है।
परिपथ $Y$ में,डायोड $D_1$ अग्र अभिनत है,लेकिन डायोड $D_2$ उत्क्रम अभिनत (reverse biased) है।
इसलिए,केवल डायोड $D_1$ ही धारा का चालन करेगा।
परिपथ में प्रभावी प्रतिरोध $4 \ \Omega$ है।
कुल धारा $I_Y = \frac{V}{R} = \frac{8 \ V}{4 \ \Omega} = 2 \ A$ है।
अतः,धाराओं के मान क्रमशः $4 \ A$ और $2 \ A$ हैं।

(B) दिया गया है, आंतरिक वाहक सांद्रता $n_{i} = 1.6 \times 10^{16} \,m^{-3}$ है।
डोप्ड अर्धचालक में होल घनत्व $n_{h} = 4 \times 10^{22} \,m^{-3}$ है।
अर्धचालकों के लिए द्रव्यमान क्रिया के नियम (law of mass action) के अनुसार, $n_{e} n_{h} = n_{i}^2$ होता है।
अतः, इलेक्ट्रॉन घनत्व $n_{e}$ इस प्रकार होगा:
$n_{e} = \frac{n_{i}^2}{n_{h}} = \frac{(1.6 \times 10^{16})^2}{4 \times 10^{22}}$
$n_{e} = \frac{2.56 \times 10^{32}}{4 \times 10^{22}}$
$n_{e} = 0.64 \times 10^{10} \,m^{-3} = 6.4 \times 10^9 \,m^{-3}$.

(B) अर्धचालकों में,संयोजी बैंड और चालन बैंड एक छोटे ऊर्जा अंतराल द्वारा अलग होते हैं,जो आमतौर पर $1 \ eV$ के क्रम का होता है। यह कमरे के तापमान पर इलेक्ट्रॉनों को संयोजी बैंड से चालन बैंड में थर्मल रूप से उत्तेजित होने की अनुमति देता है,यही कारण है कि अर्धचालक,चालकों और कुचालकों की तुलना में मध्यम विद्युत चालकता प्रदर्शित करते हैं।

(A) चालकों में,संयोजी बैंड और चालन बैंड एक-दूसरे पर अतिव्यापन (overlap) करते हैं। यह अतिव्यापन इलेक्ट्रॉनों को कम तापमान पर भी संयोजी बैंड से चालन बैंड में स्वतंत्र रूप से जाने की अनुमति देता है,यही कारण है कि चालक उच्च विद्युत चालकता प्रदर्शित करते हैं।

(D) हम जानते हैं कि एक ट्रांजिस्टर के लिए,धारा प्रवर्धन गुणांक $\alpha_{DC} = \frac{I_C}{I_E}$ और $\beta_{DC} = \frac{I_C}{I_B}$ के रूप में परिभाषित होते हैं।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1}{\alpha_{DC}} - \frac{1}{\beta_{DC}} = \frac{I_E}{I_C} - \frac{I_B}{I_C}$
चूंकि $I_E = I_C + I_B$,इसलिए $I_E - I_B = I_C$ होता है।
अतः,$\frac{I_E - I_B}{I_C} = \frac{I_C}{I_C} = 1$।

(B) उत्सर्जक में प्रवेश करने वाला कुल आवेश $q = n \times e = 200 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 3.2 \times 10^{-17} \ C$ है।
उत्सर्जक धारा $I_e$ की गणना $I_e = \frac{q}{t} = \frac{3.2 \times 10^{-17} \ C}{10^{-8} \ s} = 3.2 \times 10^{-9} \ A$ के रूप में की जाती है।
यह दिया गया है कि $1 \%$ इलेक्ट्रॉन आधार में खो जाते हैं,इसलिए आधार धारा $I_b = 0.01 \times I_e$ होगी।
संग्राहक धारा (collector current) $I_c$ शेष धारा है,इसलिए $I_c = I_e - I_b = 0.99 \times I_e$ होगा।
धारा प्रवर्धन गुणांक $\beta$ को $\beta = \frac{I_c}{I_b} = \frac{0.99 \times I_e}{0.01 \times I_e} = 99$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

(B) एम्पलीफायर का पावर गेन, वोल्टेज गेन और करंट गेन के गुणनफल के बराबर होता है।
$\text{Power Gain} = \text{Voltage Gain} \times \text{Current Gain}$
दिया गया है:
वोल्टेज गेन $(A_v)$ = $40$
इनपुट इम्पीडेंस $(Z_i)$ = $100 \ \Omega$
आउटपुट इम्पीडेंस $(Z_o)$ = $400 \ \Omega$
सबसे पहले, हम करंट गेन $(\beta)$ की गणना करते हैं:
$\text{Current Gain} = \frac{\text{Output Current}}{\text{Input Current}} = \frac{V_o / Z_o}{V_i / Z_i} = \left( \frac{V_o}{V_i} \right) \times \left( \frac{Z_i}{Z_o} \right)$
$\text{Current Gain} = A_v \times \left( \frac{Z_i}{Z_o} \right) = 40 \times \left( \frac{100}{400} \right) = 40 \times 0.25 = 10$
अब, पावर गेन की गणना करते हैं:
$\text{Power Gain} = 40 \times 10 = 400$

(D) करंट गेन $\beta$ को कलेक्टर करंट में परिवर्तन और बेस करंट में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_b} = \frac{5 \text{ mA}}{0.2 \text{ mA}} = 25$
कॉमन एमिटर एम्पलीफायर के लिए वोल्टेज गेन $A_v$ का सूत्र है:
$A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$
यहाँ $A_v = 75$,$R_i = 2 \text{ k}\Omega$,और $\beta = 25$ दिया गया है,इसलिए लोड प्रतिरोध $R_L$ ज्ञात करने के लिए:
$75 = 25 \times \frac{R_L}{2 \text{ k}\Omega}$
$R_L$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$R_L = \frac{75 \times 2 \text{ k}\Omega}{25}$
$R_L = 3 \times 2 \text{ k}\Omega = 6 \text{ k}\Omega$
अतः,लोड प्रतिरोध $6 \text{ k}\Omega$ है।

(A) उत्सर्जक धारा, संग्राहक धारा और आधार धारा के बीच का संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta I_{E} = \Delta I_{C} + \Delta I_{B}$।
दिए गए मान $\Delta I_{E} = 8.0 \,mA$ और $\Delta I_{C} = 7.8 \,mA$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $8.0 \,mA = 7.8 \,mA + \Delta I_{B}$।
इसलिए, $\Delta I_{B} = 8.0 \,mA - 7.8 \,mA = 0.2 \,mA$।
माइक्रोएम्पियर में बदलने पर: $0.2 \,mA = 0.2 \times 1000 \mu A = 200 \mu A$।

(B) धारा लाभ $\beta_{dc}$ और धारा अनुपात $\alpha_{dc}$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\beta_{dc} = \frac{\alpha_{dc}}{1 - \alpha_{dc}}$.
दिया गया है $\alpha_{dc} = \frac{69}{70}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $\beta_{dc} = \frac{69/70}{1 - 69/70} = \frac{69/70}{1/70} = 69$।
अतः,धारा लाभ $\beta_{dc}$ का मान $69$ है।

(D) $OR$ गेट तार्किक योग (logical addition) की प्रक्रिया करता है। $A$ और $B$ इनपुट वाले $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = A + B$ है।
$OR$ गेट की सत्यता सारणी (truth table) के अनुसार:
- यदि $A = 0$ और $B = 0$ है,तो $Y = 0$ प्राप्त होता है।
- यदि $A = 0$ और $B = 1$ है,तो $Y = 1$ प्राप्त होता है।
- यदि $A = 1$ और $B = 0$ है,तो $Y = 1$ प्राप्त होता है।
- यदि $A = 1$ और $B = 1$ है,तो $Y = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,यदि इनपुट $A$ या इनपुट $B$ (या दोनों) में से कोई भी $1$ है,तो आउटपुट $1$ होता है।

(D) $AND$ गेट के लिए,आउटपुट $1$ तभी होता है जब दोनों इनपुट $1$ हों। अतः,$(0,1)$ और $(1,0)$ इनपुट के लिए आउटपुट $0$ प्राप्त होता है।
$OR$ गेट के लिए,आउटपुट $0$ तभी होता है जब दोनों इनपुट $0$ हों। अतः,$(0,1)$ और $(1,0)$ इनपुट के लिए आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
$NAND$ गेट के लिए,आउटपुट $0$ तभी होता है जब दोनों इनपुट $1$ हों। अतः,$(0,1)$ और $(1,0)$ इनपुट के लिए आउटपुट $1$ प्राप्त होता है।
$NOR$ गेट के लिए,आउटपुट $1$ तभी होता है जब दोनों इनपुट $0$ हों। अतः,$(0,1)$ और $(1,0)$ इनपुट के लिए आउटपुट $0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$AND$ और $NOR$ दोनों गेट दिए गए इनपुट संयोजनों $(0,1)$ और $(1,0)$ के लिए $0$ आउटपुट प्रदान करते हैं।

(C) दो $NAND$ गेट जिनके इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं, वे $NOT$ गेट की तरह कार्य करते हैं। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले दो $NAND$ गेटों के आउटपुट $y_1 = \overline{A}$ और $y_2 = \overline{B}$ हैं। इन्हें तीसरे $NAND$ गेट में इनपुट के रूप में दिया जाता है। अंतिम आउटपुट $y = \overline{y_1 \cdot y_2} = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ है। डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार, $y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$। यह एक $OR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है। सत्यता सारणी इस प्रकार है:
| $A$ | $B$ | $y_1$ | $y_2$ | $y$ |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ |
| $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ | $0$ | $1$ |
अतः, यह संयोजन एक $OR$ गेट के समतुल्य है।

(D) $X-OR$ (एक्सक्लूसिव-$OR$) गेट एक डिजिटल लॉजिक गेट है जो एक्सक्लूसिव डिसजंक्शन को लागू करता है।
इसका आउटपुट '$HIGH$' $(1)$ केवल तब होता है जब इनपुट अलग-अलग हों (अर्थात,एक इनपुट $0$ और दूसरा $1$ हो)।
यदि दोनों इनपुट समान हैं ($0,0$ या $1,1$),तो आउटपुट '$LOW$' $(0)$ होता है।
इसलिए,$X-OR$ गेट इस शर्त को पूरा करता है कि यह '$HIGH$' आउटपुट केवल तभी देता है जब इसके दो इनपुट टर्मिनल अलग-अलग लॉजिक स्तर पर हों।

(A) आइए प्रत्येक गेट का उसके सत्यता सारणी (truth table) के आधार पर विश्लेषण करें:
$(I)$ यह गेट $1, 1$ इनपुट वाला $NAND$ गेट है। आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$ प्राप्त होता है।
$(II)$ यह गेट $0, 0$ इनपुट वाला $NOR$ गेट है। आउटपुट $Y = \overline{A + B} = \overline{0 + 0} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
$(III)$ यह गेट $0, 1$ इनपुट वाला $NAND$ गेट है। आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$ प्राप्त होता है।
$(IV)$ यह गेट $1, 0$ इनपुट वाला $EX$-$NOR$ गेट है। आउटपुट $Y = A \odot B = 1 \odot 0 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,गेट $II$ और $III$ ' $1$ ' आउटपुट प्रदान करते हैं।

(B) दिए गए सर्किट में एक $OR$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट जुड़ा है, जो मिलकर एक $NOR$ गेट बनाते हैं।
मान लीजिए $OR$ गेट का आउटपुट $Y'$ है। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y = \overline{A + B}$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$ को ' $1$ ' होने के लिए, $NOT$ गेट का इनपुट ' $0$ ' होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $OR$ गेट का आउटपुट $Y' = A + B$ ' $0$ ' होना चाहिए।
$OR$ गेट केवल तभी ' $0$ ' आउटपुट देता है जब उसके दोनों इनपुट ' $0$ ' हों।
इसलिए, $A = 0$ और $B = 0$ होने चाहिए।

(C) दिए गए परिपथ में,हमारे पास $NOT$ गेट और $OR$ गेट का संयोजन है।
$NOT$ गेट के लिए,इनपुट $A$ है,इसलिए आउटपुट $X = \bar{A}$ प्राप्त होता है।
यह आउटपुट $X$,$OR$ गेट के एक इनपुट के रूप में कार्य करता है,जबकि $B$ दूसरा इनपुट है।
$OR$ गेट के लिए,आउटपुट $Y$ इसके इनपुट का योग है:
$Y = X + B$
$NOT$ गेट से $X$ का मान रखने पर:
$Y = \bar{A} + B$
अतः,दिए गए परिपथ के लिए बूलियन समीकरण $Y = \bar{A} + B$ है।

(B) $AND$ गेट के लिए लॉजिक ऑपरेशन बूलियन समीकरण $Y = A \cdot B$ द्वारा परिभाषित होता है।
इसका अर्थ है कि आउटपुट $Y$ केवल तभी $1$ होता है जब दोनों इनपुट $A$ और $B$ $1$ हों। अन्यथा,आउटपुट $Y$ $0$ होता है।
आइए दी गई प्रविष्टियों का मूल्यांकन करें:
प्रविष्टि $1$: $A=0, B=1$. $Y = 0 \cdot 1 = 0$. यह सही है।
प्रविष्टि $2$: $A=1, B=0$. $Y = 1 \cdot 0 = 0$. यह सही है।
प्रविष्टि $3$: $A=1, B=1$. $Y = 1 \cdot 1 = 1$. यह सही है।
प्रविष्टि $4$: $A=0, B=0$. $Y = 0 \cdot 0 = 0$. सारणी में $Y=1$ दिखाया गया है,जो गलत है।
इसलिए,प्रविष्टियाँ $1, 2$ और $3$ सही हैं।

(A) रेक्टिफायर एक विद्युत उपकरण है जो अल्टरनेटिंग करंट $(a.c.)$,जो समय-समय पर दिशा बदलता है,को डायरेक्ट करंट $(d.c.)$ में परिवर्तित करता है,जो केवल एक ही दिशा में प्रवाहित होता है। इस प्रक्रिया को रेक्टिफिकेशन कहा जाता है। इस रूपांतरण को प्राप्त करने के लिए यह आमतौर पर एक या अधिक $p-n$ जंक्शन डायोड का उपयोग करता है।

(C) $N \ Hz$ आवृत्ति वाले $AC$ सिग्नल में,प्रति सेकंड $N$ पूर्ण चक्र होते हैं।
हाफ-वेव रेक्टिफायर में,डायोड केवल इनपुट $AC$ सिग्नल के धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान ही चालन करता है और ऋणात्मक अर्ध-चक्र को अवरुद्ध करता है।
इसलिए,इनपुट $AC$ सिग्नल के प्रत्येक पूर्ण चक्र के लिए,रेक्टिफायर ठीक एक आउटपुट पल्स उत्पन्न करता है।
चूंकि प्रति सेकंड $N$ चक्र होते हैं,इसलिए हाफ-वेव रेक्टिफायर द्वारा $1 \ s$ में उत्पन्न आउटपुट पल्स की संख्या $N$ है।

(B) हाफ-वेव रेक्टिफायर में,डायोड केवल इनपुट $a.c.$ सिग्नल के धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान ही चालन करता है। इसलिए,आउटपुट आवृत्ति इनपुट आवृत्ति के बराबर होती है,जो $60 \,Hz$ है।
फुल-वेव रेक्टिफायर में,सर्किट इनपुट $a.c.$ सिग्नल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों अर्ध-चक्रों के दौरान चालन करता है। इसके परिणामस्वरूप प्रत्येक एक इनपुट चक्र के लिए दो आउटपुट पल्स प्राप्त होते हैं। इसलिए,आउटपुट आवृत्ति इनपुट आवृत्ति की दोगुनी होती है,जो $2 \times 60 \,Hz = 120 \,Hz$ है।

(A) कुचालकों में,संयोजी बैंड (valence band) और चालन बैंड (conduction band) के बीच का ऊर्जा बैंड गैप बहुत बड़ा होता है (आमतौर पर $> 3 \ eV$)।
इस बड़े ऊर्जा अंतराल के कारण,इलेक्ट्रॉन संयोजी बैंड से चालन बैंड में कूदने के लिए पर्याप्त तापीय ऊर्जा प्राप्त नहीं कर पाते हैं।
परिणामस्वरूप,चालन बैंड सभी तापमानों पर खाली रहता है,जिससे विद्युत धारा का प्रवाह रुक जाता है।

(C) चालक (जैसे कॉपर) की प्रतिरोधकता तापमान के सीधे समानुपाती होती है। जैसे-जैसे तापमान कम होता है,कॉपर की प्रतिरोधकता कम हो जाती है।
इसके विपरीत,अर्धचालक (जैसे सिलिकॉन) की प्रतिरोधकता तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है क्योंकि तापमान बढ़ने पर आवेश वाहकों (charge carriers) की संख्या बढ़ती है। जब तापमान कम होता है,तो मुक्त आवेश वाहकों की संख्या कम हो जाती है,जिससे सिलिकॉन की प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।
इसलिए,जब $300 \ K$ से $100 \ K$ तक ठंडा किया जाता है,तो कॉपर की प्रतिरोधकता कम हो जाती है और सिलिकॉन की प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।

(B) अर्धचालकों में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,तापीय उत्तेजना के कारण अधिक आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन और होल) उत्पन्न होते हैं। इससे चालकता में वृद्धि होती है। चूंकि चालकता प्रतिरोधकता का व्युत्क्रम है,इसलिए तापमान बढ़ने पर अर्धचालक की प्रतिरोधकता घटती है। अतः,यह कथन कि तापमान के साथ प्रतिरोधकता बढ़ती है,गलत है।

(D) एक अर्धचालक में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अधिक सहसंयोजक बंध टूटते हैं,जिससे आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या में वृद्धि होती है। आवेश वाहक घनत्व में यह वृद्धि विद्युत प्रतिरोध में कमी और विद्युत चालकता में वृद्धि का कारण बनती है। इसलिए,प्रतिरोध घटता है और चालकता बढ़ती है।

(C) $LED$ की उत्सर्जन तरंगदैर्ध्य उपयोग की गई अर्धचालक सामग्री के बैंड गैप पर निर्भर करती है। जिंक सेलेनाइड $(ZnSe)$ एक विस्तृत बैंड गैप वाला अर्धचालक है। जब $LED$ को जिंक सेलेनाइड का उपयोग करके बनाया जाता है,तो यह दृश्य स्पेक्ट्रम के नीले क्षेत्र में प्रकाश उत्सर्जित करता है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर पहले निम्निष्ठ के बीच की दूरी का सूत्र है: $\Delta y = \frac{2 \lambda D}{a}$
दिया गया है:
पहले निम्निष्ठ के बीच की दूरी $\Delta y = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$
पर्दे की दूरी $D = 80 \,cm = 0.8 \,m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6000 \mathring{A} = 6 \times 10^{-7} \,m$
सूत्र में मान रखने पर:
$5 \times 10^{-3} = \frac{2 \times (6 \times 10^{-7}) \times 0.8}{a}$
स्लिट की चौड़ाई $a$ के लिए हल करने पर:
$a = \frac{2 \times 6 \times 10^{-7} \times 0.8}{5 \times 10^{-3}}$
$a = \frac{9.6 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-3}}$
$a = 1.92 \times 10^{-4} \,m = 0.192 \,mm$

(C) दिया गया है: स्लिट की चौड़ाई $a = 0.2 \, mm = 0.2 \times 10^{-3} \, m$.
स्क्रीन की दूरी $D = 2 \, m$.
तरंग दैर्ध्य $\lambda = 5000 \, \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-7} \, m$.
एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n$-वें निम्निष्ठ की स्थिति $a \sin \theta = n \lambda$ द्वारा दी जाती है।
छोटे $\theta$ के लिए, $\sin \theta \approx \theta = \frac{y}{D}$.
अतः, $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर पहले निम्निष्ठ के बीच की दूरी केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई है, जो $w = y_1 - (-y_1) = 2 y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $w = \frac{2 \times (5 \times 10^{-7} \, m) \times (2 \, m)}{0.2 \times 10^{-3} \, m} = \frac{20 \times 10^{-7}}{0.2 \times 10^{-3}} = 100 \times 10^{-4} \, m = 10^{-2} \, m$.

(C) एकल-स्लिट विवर्तन प्रतिरूप में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,स्लिट की चौड़ाई $a$,केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w$ के बराबर है।
इसलिए,हम $a = \frac{2 \lambda D}{a}$ लिख सकते हैं।
$D$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $a^2 = 2 \lambda D$.
अतः,$D = \frac{a^2}{2 \lambda}$.

(B) एकल स्लिट विवर्तन प्रयोग में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2 \lambda}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि कोणीय चौड़ाई तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और स्लिट की चौड़ाई $a$ पर निर्भर करती है।
यह स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी $D$ पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न के लिए केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $(W)$ का सूत्र $W = \frac{2 \lambda D}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $W$,$\lambda$,$D$ और $a$ पर निर्भर करता है।
चूंकि $\lambda = \frac{c}{f}$ (जहाँ $c$ प्रकाश की गति है और $f$ आवृत्ति है),इसलिए चौड़ाई प्रकाश की आवृत्ति पर भी निर्भर करती है।
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई विकल्पों $A$,$B$ और $C$ में उल्लिखित सभी कारकों पर निर्भर करती है।
इसलिए,सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है (अर्थात यह दिए गए सभी कारकों पर निर्भर करता है)।

(A) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में $n^{\text{th}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए शर्त $y_n = (n + \frac{1}{2}) \frac{\lambda D}{a}$ है।
लाल प्रकाश $(\lambda_1 = 6000 \text{ Å})$ के $2^{\text{nd}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए, स्थिति $y_2 = (2 + \frac{1}{2}) \frac{\lambda_1 D}{a} = 2.5 \frac{\lambda_1 D}{a}$ है।
अज्ञात तरंग दैर्ध्य $\lambda_2$ के $3^{\text{rd}}$ द्वितीयक उच्चिष्ठ के लिए, स्थिति $y_3 = (3 + \frac{1}{2}) \frac{\lambda_2 D}{a} = 3.5 \frac{\lambda_2 D}{a}$ है।
चूंकि उच्चिष्ठ संपाती हैं, $y_2 = y_3$, जिसका अर्थ है $2.5 \lambda_1 = 3.5 \lambda_2$.
मान रखने पर: $2.5 \times 6000 = 3.5 \times \lambda_2$.
$\lambda_2 = \frac{2.5 \times 6000}{3.5} = \frac{15000}{3.5} \approx 4285.7 \text{ Å} \approx 4300 \text{ Å}$.

(C) दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5400 \text{ Å} = 5.4 \times 10^{-7} \text{ m}$.
स्लिट की चौड़ाई $a = 0.96 \text{ mm} = 0.96 \times 10^{-3} \text{ m}$.
स्क्रीन की दूरी $D = 2 \text{ m}$.
$n$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
पहली अदीप्त फ्रिंज $(n = 1)$ के लिए, केंद्र से दूरी $y_1 = \frac{\lambda D}{a}$ है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज के दोनों ओर पहली अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $2y_1 = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
मान रखने पर: $2y_1 = \frac{2 \times 5.4 \times 10^{-7} \times 2}{0.96 \times 10^{-3}} = 2.25 \text{ mm}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, $2.4 \text{ mm}$ सबसे निकटतम उत्तर है।

(B) $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के लिए $6^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_6 = \frac{6 \lambda_1 D}{d}$ है।
$m^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_m = \frac{(m - 0.5) \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के लिए $7^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_7 = \frac{(7 - 0.5) \lambda_2 D}{d} = \frac{6.5 \lambda_2 D}{d}$ है।
चूंकि फ्रिंज संपाती हैं,हम उनकी स्थितियों को बराबर करते हैं:
$\frac{6 \lambda_1 D}{d} = \frac{6.5 \lambda_2 D}{d}$.
समान पदों $\frac{D}{d}$ को हटाने पर,हमें $6 \lambda_1 = 6.5 \lambda_2$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{6.5}{6} = \frac{13}{12}$ है।

(A) क्षेत्र की चौड़ाई $L$ स्थिर रहती है और यह फ्रिंजों की संख्या $n$ और फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ के गुणनफल के बराबर होती है।
$L = n_1 \beta_1 = n_2 \beta_2$
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ होती है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$n_1 \frac{\lambda_1 D}{d} = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d}$
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
यहाँ $n_1 = 21$,$\lambda_1 = 4800 \text{ Å}$,और $\lambda_2 = 5600 \text{ Å}$ दिया गया है:
$21 \times 4800 = n_2 \times 5600$
$n_2 = \frac{21 \times 4800}{5600} = \frac{21 \times 48}{56} = \frac{21 \times 6}{7} = 3 \times 6 = 18$
अतः,देखी जाने वाली फ्रिंजों की संख्या $18$ है।

(D) दो कला-संबद्ध स्रोतों द्वारा उत्पन्न व्यतिकरण प्रतिरूप में,संपोषी व्यतिकरण (अधिकतम तीव्रता) के लिए शर्त पथांतर $\Delta x = n \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ उच्चिष्ठ का क्रम है $(n = 0, 1, 2, 3, \dots)$।
$10$ वें क्रम के उच्चिष्ठ के लिए,हम सूत्र में $n = 10$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,पथांतर $\Delta x = 10 \lambda$ होगा।