MHT CET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $4^{\text{th}}$ और $5^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज के बीच बनने वाली अदीप्त फ्रिंज $5^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज होती है।
$n^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए,पथांतर $\Delta x = (n - 0.5) \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 5$ और $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-8} \text{ cm} = 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$ है।
मान रखने पर:
$\Delta x = (5 - 0.5) \times 6 \times 10^{-5} \text{ cm}$
$\Delta x = 4.5 \times 6 \times 10^{-5} \text{ cm} = 27 \times 10^{-5} \text{ cm} = 2.7 \times 10^{-4} \text{ cm}$.

(D) व्यतिकरण पैटर्न में प्रकाश की तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
विनाशी व्यतिकरण के लिए, कलांतर $\phi = (2n+1)\pi$ होता है, जो $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ की ओर ले जाता है।
यदि आयाम अलग-अलग हैं, तो $I_1 \neq I_2$, जिसका अर्थ है कि $\sqrt{I_1} \neq \sqrt{I_2}$।
इसलिए, $I_{min} \neq 0$।
इसका मतलब यह है कि विनाशी व्यतिकरण के क्षेत्र में, तरंगें एक-दूसरे को पूरी तरह से रद्द नहीं करती हैं, और वहां प्रकाश की कुछ अवशिष्ट तीव्रता बनी रहती है।

(C) माध्यम में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{\mu}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\lambda_{\text{air}} = 6300 \,Å = 6300 \times 10^{-10} \,m$ और $\mu = 1.33$ है।
अतः, $\lambda_{\text{liquid}} = \frac{6300 \times 10^{-10}}{1.33} \,m$.
फ्रिंज की चौड़ाई $W$ का सूत्र $W = \frac{\lambda_{\text{liquid}} \times D}{d}$ है।
यहाँ $D = 1.33 \,m$ और $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है।
मान रखने पर:
$W = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}}$
$W = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} = 6300 \times 10^{-7} \,m = 6.3 \times 10^{-4} \,m$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए शर्त पथान्तर $\Delta x = n \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ के लिए,$n = 0$ होता है और प्रथम उच्चिष्ठ के लिए,$n = 1$ होता है।
दी गई तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6300 Å$ के लिए,प्रथम उच्चिष्ठ के लिए पथान्तर $\Delta x = 1 \times 6300 Å = 6300 Å$ होगा।

(D) माना प्रत्येक तरंग की तीव्रता $I'$ है। परिणामी तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = 4I' \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$
जहाँ $\phi$ कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता $I_0$ तब होती है जब $\cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) = 1$,इसलिए $I_0 = 4I'$।
दिए गए पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ के लिए,कलांतर $\phi$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$।
इसे तीव्रता के सूत्र में रखने पर:
$I = 4I' \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = 4I' \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = 4I' \times \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 4I' \times \frac{1}{2} = 2I'$।
अतः,अनुपात है:
$\frac{I}{I_0} = \frac{2I'}{4I'} = \frac{1}{2}$।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\lambda_1$ तरंगदैर्ध्य के साथ $n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $y_1 = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,$\lambda_2$ तरंगदैर्ध्य के साथ $(n/2)^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $y_2 = \frac{(n/2) \lambda_2 D}{d} = \frac{n \lambda_2 D}{2d}$ है।
अब,$y_1$ और $y_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{y_1}{y_2} = \frac{(n \lambda_1 D / d)}{(n \lambda_2 D / 2d)} = \frac{n \lambda_1 D}{d} \times \frac{2d}{n \lambda_2 D} = \frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$.
अतः,अनुपात $\frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$ है।

(C) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट्स से पर्दे की दूरी है, और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में, $\beta_1 = \frac{\lambda D_1}{d_1}$, जहाँ $D_1 = 75 \,cm$ है।
जब स्लिट की दूरी दोगुनी कर दी जाती है, तो $d_2 = 2d_1$ हो जाता है। फ्रिंज की चौड़ाई को स्थिर रखने के लिए $(\beta_2 = \beta_1)$, हमारे पास $\frac{\lambda D_2}{d_2} = \frac{\lambda D_1}{d_1}$ होना चाहिए।
$d_2 = 2d_1$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{D_2}{2d_1} = \frac{D_1}{d_1}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $D_2 = 2D_1$।
$D_2 = 2 \times 75 \,cm = 150 \,cm$।
पर्दे को $75 \,cm$ से $150 \,cm$ तक स्थानांतरित किया जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि इसे स्लिट्स से $150 \,cm - 75 \,cm = 75 \,cm$ दूर ले जाना चाहिए।

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{\text{th}}$ दीप्त फ्रिंज (उच्चिष्ठ) की स्थिति $Y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है और $d$ स्लिटों के बीच की दूरी है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए $10^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $Y_1 = \frac{10 \lambda_1 D}{d}$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए $5^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की दूरी $Y_2 = \frac{5 \lambda_2 D}{d}$ है।
$Y_1$ और $Y_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{10 \lambda_1 D / d}{5 \lambda_2 D / d} = \frac{10 \lambda_1}{5 \lambda_2} = \frac{2 \lambda_1}{\lambda_2}$.

(A) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में तीव्रता $I$ का सूत्र है: $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$,जहाँ $I_0$ प्रत्येक स्लिट की तीव्रता है और $\phi$ कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता $K$ तब होती है जब $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = 1$ हो,अतः $K = 4I_0$ है।
कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध है: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$।
यहाँ पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ दिया गया है,इसलिए कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होगा।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $I = K \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = K \cos^2(\frac{\pi}{3})$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $I = K (\frac{1}{2})^2 = \frac{K}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में,एक झिरी के ठीक सामने के बिंदु पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{d^2}{2D}$ होता है।
निम्निष्ठ (विनाशी व्यतिकरण) के लिए,पथ अंतर $\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{d^2}{2D} = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$।
इसे सरल करने पर $\lambda = \frac{d^2}{(2n-1)D}$ प्राप्त होता है।
$n=1, 2, 3, \ldots$ के लिए,$(2n-1)$ के मान $1, 3, 5, \ldots$ होते हैं।
अतः,$\lambda$ का मान $\frac{1}{D}, \frac{1}{3D}, \frac{1}{5D}, \ldots$ के समानुपाती है।
इसलिए,संभावित तरंगदैर्घ्य $D, 3D, 5D, \ldots$ के व्युत्क्रमानुपाती हैं।

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,व्यतिकरण फ्रिंज के निर्माण के लिए दो अलग-अलग स्लिटों से आने वाली कला-संबद्ध प्रकाश तरंगों का अध्यारोपण आवश्यक है।
जब एक स्लिट को काले अपारदर्शी कागज से ढक दिया जाता है,तो प्रकाश केवल शेष एक स्लिट से ही गुजर सकता है।
चूंकि अब दूसरी स्लिट से कोई प्रकाश नहीं आ रहा है,इसलिए व्यतिकरण की स्थिति समाप्त हो जाती है।
परिणामस्वरूप,पर्दे पर कोई व्यतिकरण पैटर्न (फ्रिंज) दिखाई नहीं देगा।

(B) $YDSE$ में फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र $W = \frac{\lambda D}{d}$ है, जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है, $D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है, और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
मान लीजिए कि मूल फ्रिंज चौड़ाई $W_1 = \frac{\lambda D_1}{d_1} = W$ है।
प्रश्न के अनुसार, नई दूरी $D_2 = D_1 + 0.25 D_1 = 1.25 D_1$ और नई स्लिट दूरी $d_2 = \frac{d_1}{2}$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $W_2 = \frac{\lambda D_2}{d_2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है $W_2 = \frac{\lambda (1.25 D_1)}{(d_1 / 2)} = 1.25 \times 2 \times \frac{\lambda D_1}{d_1}$।
चूंकि $W = \frac{\lambda D_1}{d_1}$, इसलिए $W_2 = 2.5 W$ है।

(B) केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $y_n = (n - 0.5) \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$4^{\text{th}}$ अदीप्त फ्रिंज के लिए,$n = 4$,अतः $y_4 = (4 - 0.5) \frac{\lambda D}{d} = 3.5 \frac{\lambda D}{d}$.
चूंकि अदीप्त फ्रिंज एक स्लिट के सामने बनती है,इसलिए केंद्रीय अक्ष से इसकी दूरी $y = \frac{d}{2}$ है।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $\frac{d}{2} = 3.5 \frac{\lambda D}{d}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर: $\lambda = \frac{d^2}{2 \times 3.5 D} = \frac{d^2}{7 D}$.

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में,केंद्रीय दीप्त फ्रिंज से $n^{\text{वीं}}$ अदीप्त फ्रिंज की स्थिति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$y_n = (n - \frac{1}{2}) \beta$
जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ अदीप्त फ्रिंज के क्रम को दर्शाता है।
अतः,दूरी $(n - 0.5) \beta$ है।

(D) व्यतिकरण पैटर्न में परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$।
अधिकतम तीव्रता $(I_{\max})$ के लिए,कलांतर $\phi = 0$ होता है,इसलिए $I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है:
$I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$।
न्यूनतम तीव्रता $(I_{\min})$ के लिए,कलांतर $\phi = \pi$ होता है,इसलिए $I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$।
$I_{\min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता क्रमशः $9I$ और $I$ है।

(D) पथ अंतर $\Delta x = \frac{57}{2} \lambda = 28.5 \lambda$ दिया गया है।
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त बैंड) के लिए,पथ अंतर $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = n \lambda$ जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है। चूँकि $28.5 \lambda$ एक पूर्णांक गुणज नहीं है,इसलिए यह दीप्त बैंड नहीं है।
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त बैंड) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = (n - \frac{1}{2}) \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
दोनों की तुलना करने पर: $28.5 \lambda = (n - 0.5) \lambda$।
$n$ के लिए हल करने पर: $n - 0.5 = 28.5$,जिससे $n = 29$ प्राप्त होता है।
अतः,यह बिंदु $29^{\text{वीं}}$ अदीप्त बैंड के अनुरूप है।

(A) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता वाली और $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकारी किरणों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
बिंदु $A$ पर,कलांतर $\phi_A = \pi / 2$ है। अतः,$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi / 2) = 5I + 4I(0) = 5I$.
बिंदु $B$ पर,कलांतर $\phi_B = \pi$ है। अतः,$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 4I(-1) = 5I - 4I = I$.
$A$ और $B$ पर परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर $I_A - I_B = 5I - I = 4I$ है।

(D) यंग के द्वि-झिरी प्रयोग $(YDSE)$ में,पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ दिया गया है।
मान लीजिए कि दोनों झिरियों की तीव्रता समान है,$I_1 = I_2 = I_s$।
कलांतर $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ होता है।
परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I = I_s + I_s + 2 \sqrt{I_s I_s} \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 I_s + 2 I_s (\frac{1}{2}) = 2 I_s + I_s = 3 I_s$।
अधिकतम तीव्रता $I_0$ तब होती है जब $\cos(\Delta \phi) = 1$ हो,इसलिए $I_0 = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_s} + \sqrt{I_s})^2 = (2 \sqrt{I_s})^2 = 4 I_s$।
अतः,अनुपात $\frac{I}{I_0} = \frac{3 I_s}{4 I_s} = \frac{3}{4}$ होगा।