MHT CET 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) जब पारे की दो बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो पारे का कुल आयतन संरक्षित रहता है।
मान लीजिए $R$ परिणामी बड़ी बूंद की त्रिज्या है।
पहली बूंद का आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ है।
दूसरी बूंद का आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$ है।
परिणामी बूंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
चूंकि कुल आयतन संरक्षित रहता है,इसलिए $V = V_1 + V_2$ होगा।
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_1^3 + \frac{4}{3} \pi R_2^3$।
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें $R^3 = R_1^3 + R_2^3$ प्राप्त होता है।
अतः,परिणामी बूंद की त्रिज्या $R = (R_1^3 + R_2^3)^{1/3}$ है।

(B) $r$ त्रिज्या वाली एक समतल वृत्ताकार प्लेट को $T$ पृष्ठ तनाव वाले द्रव की सतह से बाहर निकालने के लिए आवश्यक बल $F$ का सूत्र $F = 2 \pi r T$ है।
यहाँ,$r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$ और $T = 70 \times 10^{-3} \ Nm^{-1}$ है।
मान रखने पर:
$F = 2 \times \frac{22}{7} \times (2 \times 10^{-2}) \times (70 \times 10^{-3})$
$F = 2 \times 22 \times 2 \times 10^{-2} \times 10^{-2}$
$F = 88 \times 10^{-4} \ N = 8.8 \times 10^{-3} \ N$.

(B) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव (excess pressure) $P_{excess} = \frac{4T}{R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
चूंकि बुलबुले के अंदर का कुल दबाव $P_{in} = P_{atm} + P_{excess} = P_{atm} + \frac{4T}{R}$ होता है, यह स्पष्ट है कि बुलबुले के अंदर का दबाव उसकी त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
जब त्रिज्या $R$ से बढ़कर $2R$ हो जाती है, तो अतिरिक्त दबाव कम हो जाता है।
इसलिए, बुलबुले के अंदर का कुल दबाव घट जाता है।

(C) पृष्ठ तनाव को द्रव की सतह पर प्रति इकाई लंबाई पर कार्य करने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह द्रव के अणुओं के बीच ससंजक बलों (cohesive forces) के कारण उत्पन्न होता है।
जैसे-जैसे द्रव का तापमान बढ़ता है,अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ती है,जिससे उनके बीच के ससंजक बल कमजोर हो जाते हैं।
परिणामस्वरूप,तापमान बढ़ने के साथ अधिकांश द्रवों का पृष्ठ तनाव कम हो जाता है।

(B) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है:
$8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3$
$2r = R \implies r = \frac{R}{2}$
बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
छोटी बूंद के लिए: $\Delta P_{S} = \frac{2T}{r}$
बड़ी बूंद के लिए: $\Delta P_{B} = \frac{2T}{R}$
अनुपात लेने पर:
$\frac{\Delta P_{B}}{\Delta P_{S}} = \frac{2T/R}{2T/r} = \frac{r}{R}$
$r = \frac{R}{2}$ रखने पर:
$\frac{\Delta P_{B}}{\Delta P_{S}} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$
अतः,$\Delta P_{B} = \frac{1}{2} \Delta P_{S}$।

(A) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र इस प्रकार है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
इस व्यंजक से, हम देख सकते हैं कि द्रव स्तंभ की ऊँचाई गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$h \propto \frac{1}{g}$
$h$ को $10 \,cm$ से काफी अधिक बनाने के लिए, $g$ का मान पृथ्वी पर $g$ के मान से काफी कम होना चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से, गुरुत्वीय त्वरण का मान चंद्रमा की सतह पर न्यूनतम होता है $(g_{moon} \approx \frac{g_{earth}}{6})$।
इसलिए, चंद्रमा पर पानी अधिक ऊँचाई तक चढ़ेगा।

(C) साबुन के बुलबुले के लिए, अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ होता है। अंदर का कुल दबाव $P_{in} = P + \frac{4T}{r}$ है।
समतापीय स्थितियों में, हवा के मोलों की संख्या $n$ संरक्षित रहती है, और $PV = nR_g\theta$ (जहाँ $R_g$ गैस नियतांक है)।
पहले बुलबुले के लिए: $(P + \frac{4T}{r_1}) \cdot \frac{4}{3}\pi r_1^3 = n_1 R_g \theta$.
दूसरे बुलबुले के लिए: $(P + \frac{4T}{r_2}) \cdot \frac{4}{3}\pi r_2^3 = n_2 R_g \theta$.
संयुक्त बुलबुले के लिए: $(P + \frac{4T}{R}) \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = (n_1 + n_2) R_g \theta$.
$n_1$ और $n_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(P + \frac{4T}{R}) R^3 = (P + \frac{4T}{r_1}) r_1^3 + (P + \frac{4T}{r_2}) r_2^3$.
$PR^3 + 4TR^2 = Pr_1^3 + 4Tr_1^2 + Pr_2^3 + 4Tr_2^2$.
$P(R^3 - r_1^3 - r_2^3) = 4T(r_1^2 + r_2^2 - R^2)$.
$T = \frac{P(R^3 - r_1^3 - r_2^3)}{4(r_1^2 + r_2^2 - R^2)}$.

(D) $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूँकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,$\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
अतः,$W_1 = 8 \pi r^2 T$,जहाँ $T$ कमरे के तापमान पर पृष्ठ तनाव है।
गर्म घोल से बने $2r$ त्रिज्या वाले दूसरे बुलबुले के लिए,किया गया कार्य $W_2 = 8 \pi (2r)^2 T'$ है,जहाँ $T'$ उच्च तापमान पर पृष्ठ तनाव है।
$W_2 = 8 \pi (4r^2) T' = 32 \pi r^2 T'$।
चूँकि साबुन का घोल गर्म है,इसका पृष्ठ तनाव कम हो जाता है,जिसका अर्थ है $T' < T$।
$W_1$ और $W_2$ की तुलना करने पर: $W_2 = 4 W_1 \times (T'/T)$।
चूँकि $T' < T$,इसलिए $W_2 < 4 W_1$ प्राप्त होता है।

(D) बूंद निम्नलिखित बलों के प्रभाव में संतुलन में है:
बूंद का भार,$W = Mg = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$ (नीचे की ओर)।
उत्प्लावन बल = विस्थापित द्रव का भार = $\frac{2}{3} \pi r^3 d g$ (ऊपर की ओर)।
पृष्ठ तनाव के कारण बल,$F = 2 \pi r T$ (ऊपर की ओर)।
संतुलन के लिए,नीचे की ओर लगने वाला बल ऊपर की ओर लगने वाले बलों के योग के बराबर होना चाहिए:
$Mg = F + F_{t}$
$F = Mg - F_{t}$
$2 \pi r T = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g - \frac{2}{3} \pi r^3 d g$
$2 \pi r T = \frac{2}{3} \pi r^3 (2 \rho - d) g$
$T = \frac{1}{3} r^2 (2 \rho - d) g$
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 \rho - d)}$
$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 \rho - d)}}$
व्यास $D = 2r = 2 \sqrt{\frac{3 T}{g(2 \rho - d)}} = \sqrt{\frac{12 T}{g(2 \rho - d)}}$.

(A) सुई का भार पृष्ठ तनाव के कारण लगने वाले ऊपर की ओर के बल द्वारा संतुलित होता है,जो सुई की लंबाई के दोनों ओर कार्य करता है।
$W = 2 \times T \times L$
दिया गया है:
$T = 70 \ dyne/cm$
$L = 7 \ cm$
$W = 2 \times 70 \times 7 = 980 \ dyne$
चूंकि $1 \ g \ wt = 980 \ dyne$,इसलिए सुई का भार $1 \ g \ wt$ है।

(A) डिस्क का भार पृष्ठ तनाव के कारण लगने वाले बल और पानी के उत्प्लावन बल (upthrust) द्वारा संतुलित होता है।
पृष्ठ तनाव $T$ परिधि $2 \pi r$ पर ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर कार्य करता है।
पृष्ठ तनाव बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F_s = T \cdot (2 \pi r) \cdot \cos \theta$ है।
उत्प्लावन बल विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है,जो $W$ दिया गया है।
डिस्क के संतुलन में रहने के लिए,कुल नीचे की ओर लगने वाला बल (डिस्क का भार $W_{disc}$) कुल ऊपर की ओर लगने वाले बल के बराबर होना चाहिए।
अतः,$W_{disc} = F_s + W$.
$W_{disc} = 2 \pi r T \cos \theta + W$.

(A) साबुन के बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $r = (\frac{3V}{4\pi})^{1/3}$।
$r$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W$,पृष्ठ तनाव $T$ और सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन के गुणनफल के बराबर होता है। चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल $2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
अतः,$W = 8 \pi r^2 T$।
$r$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W = 8 \pi (\frac{3V}{4\pi})^{2/3} T$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $W \propto V^{2/3}$।
$2V$ आयतन के बुलबुले के लिए,नया कार्य $W'$ इस प्रकार है: $\frac{W'}{W} = (\frac{2V}{V})^{2/3} = 2^{2/3}$।
इसलिए,$W' = 2^{2/3} W$।

(A) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए इसकी त्रिज्या को $r_1$ से $r_2$ तक बदलने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A \times 2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\Delta A = 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$ है।
अतः, $W = 8\pi T(r_2^2 - r_1^2)$।
दिया गया है: $T = 0.03 \ Nm^{-1}$, $r_1 = 3 \ cm = 0.03 \ m$, $r_2 = 5 \ cm = 0.05 \ m$।
मान रखने पर:
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times ((0.05)^2 - (0.03)^2)$
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times (0.0025 - 0.0009)$
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times 0.0016$
$W = 0.24 \pi \times 0.0016 = 0.000384 \pi \ J$
$W = 0.384 \pi \ mJ \approx 0.4 \pi \ mJ$।

(B) केशिका नली में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है, उसका सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
यहाँ $T$, $\theta$, $\rho$, और $g$ अचर हैं, इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$, जिसका अर्थ है $h_1 r_1 = h_2 r_2$।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है, इसलिए $A \propto r^2$ या $r \propto \sqrt{A}$।
अतः, $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}$।
दिया गया है कि नया क्षेत्रफल $A_2 = \frac{1}{16} A_1$, इसलिए $\frac{A_1}{A_2} = 16$।
इस प्रकार, $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{16} = 4$, जिसका अर्थ है $r_1 = 4 r_2$।
संबंध $h_2 = h_1 \left( \frac{r_1}{r_2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$h_2 = 2 \,cm \times 4 = 8 \,cm$।

(A) दिया गया है,घन का किनारा $x = 1 \ cm$ है।
घन का आयतन $V = x^3 = (1 \ cm)^3 = 1 \ cm^3$ है।
चूंकि बर्फ गुरुत्वाकर्षण-मुक्त कंटेनर में पिघलती है,इसलिए पानी एक गोलाकार बूंद का रूप ले लेता है।
गोलाकार बूंद का आयतन = घन का आयतन = $1 \ cm^3$।
माना गोलाकार बूंद की त्रिज्या $r$ है।
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 1 \implies r^3 = \frac{3}{4 \pi} \implies r = \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{1/3}$।
गोलाकार बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है।
$A = 4 \pi \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{2/3} = 4 \pi \frac{3^{2/3}}{(4 \pi)^{2/3}}$।
$A = (4 \pi)^{1/3} \times (3^2)^{1/3} = (4 \pi \times 9)^{1/3} = (36 \pi)^{1/3} \ cm^2$।

(A) पानी कांच की छड़ और केशिका नली के बीच के स्थान में ऊपर चढ़ता है। संपर्क रेखा की कुल लंबाई नली की आंतरिक परिधि और छड़ की बाहरी परिधि का योग है,जो $L = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 = 2\pi(r_1 + r_2)$ है।
पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल $F = L \cdot T \cos \theta = 2\pi(r_1 + r_2) T \cos \theta$ है।
वलयाकार स्थान में पानी के स्तंभ का भार $W = \text{आयतन} \times \rho \times g = \pi(r_2^2 - r_1^2) h \rho g$ है।
ऊपर की ओर लगने वाले बल को तरल स्तंभ के भार के बराबर करने पर: $\pi(r_2^2 - r_1^2) h \rho g = 2\pi(r_1 + r_2) T \cos \theta$.
सर्वसमिका $r_2^2 - r_1^2 = (r_2 - r_1)(r_2 + r_1)$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\pi(r_2 - r_1)(r_2 + r_1) h \rho g = 2\pi(r_1 + r_2) T \cos \theta$.
शुद्ध पानी के लिए,$\theta = 0^{\circ}$,इसलिए $\cos \theta = 1$। $h$ के लिए सरल करने पर:
$h = \frac{2T}{(r_2 - r_1)\rho g}$.

(D) केशिका नली के निचले सिरे पर दबाव,नली की गहराई के कारण हाइड्रोस्टेटिक दबाव और केशिका वृद्धि के कारण दबाव का योग होता है।
दिया गया है कि निचले सिरे की गहराई $8 \,cm$ है और केशिका वृद्धि $4 \,cm$ है।
निचले सिरे पर कुल दबाव $P = h_{depth} + h_{rise}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$P = 8 \,cm + 4 \,cm = 12 \,cm$ पानी।
इसलिए,निचले सिरे पर हवा का बुलबुला फुलाने के लिए आवश्यक दबाव $12 \,cm$ पानी है।
अतः,$X = 12$.

(B) गोलाकार साबुन के बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $V \propto r^3$ या $r \propto V^{1/3}$।
साबुन के बुलबुले के लिए,इसे $r$ त्रिज्या तक फुलाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ है,जहाँ $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ (क्योंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं)।
इसलिए,$W \propto r^2$।
$r \propto V^{1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W \propto (V^{1/3})^2 = V^{2/3}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $V_1 = V$ आयतन के लिए $W_1 = W$ है,और $V_2 = 2V$ आयतन के लिए कार्य $W_2$ है।
तब,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3} = (2)^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$।
अतः,$W_2 = 4^{1/3}W$।

(B) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = P_{i} - P_{0} = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $P_{0} = 1 \, atm$, तो अतिरिक्त दबाव हैं:
$\Delta P_{1} = 1.01 \, atm - 1 \, atm = 0.01 \, atm$
$\Delta P_{2} = 1.03 \, atm - 1 \, atm = 0.03 \, atm$
चूंकि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$, इसलिए $\frac{\Delta P_{1}}{\Delta P_{2}} = \frac{r_{2}}{r_{1}}$.
मान रखने पर: $\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{0.03}{0.01} = 3$.
आयतन का अनुपात $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}$ है।
चूंकि $\frac{r_{2}}{r_{1}} = 3$, इसलिए $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{1}{3}$.
अतः, $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = \frac{1}{27}$.
इस प्रकार, उनके आयतन का अनुपात $V_{1}:V_{2} = 1:27$ या $V_{2}:V_{1} = 27:1$ है।

(D) मान लीजिए वस्तु का आयतन $V$ है। जब वस्तु $h$ ऊँचाई से गिरती है,तो पानी में प्रवेश करने से ठीक पहले उसका वेग $v^2 = 2gh$ द्वारा दिया जाता है।
जब वस्तु पानी में प्रवेश करती है,तो वह ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F_B = V \delta g$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $W = V \rho g$ का अनुभव करती है।
शुद्ध ऊपर की ओर बल (अवमंदक बल) $F_{net} = F_B - W = Vg(\delta - \rho)$ है।
पानी में वस्तु का मंदन $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{Vg(\delta - \rho)}{V \rho} = g \left( \frac{\delta - \rho}{\rho} \right)$ है।
मान लीजिए अधिकतम गहराई $d$ है। गति के समीकरण $v^2 = 2ad$ का उपयोग करते हुए (जहाँ $v$ सतह पर वेग है और $a$ मंदन है),हमें $2gh = 2 \left[ g \left( \frac{\delta - \rho}{\rho} \right) \right] d$ प्राप्त होता है।
$d$ के लिए हल करने पर,हमें $d = \frac{h \rho}{(\delta - \rho)}$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि गेंद का वेग स्थिर हो जाता है,इसका अर्थ है कि गेंद ने सीमांत वेग (terminal velocity) प्राप्त कर लिया है। इस स्थिति में,गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
गेंद पर नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(Mg)$,ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $(F_B)$ और ऊपर की ओर श्यान बल $(F_V)$ कार्य करते हैं।
संतुलन की स्थिति के अनुसार:
$F_V + F_B = Mg$
हम जानते हैं कि उत्प्लावन बल $F_B = V d_2 g$,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
चूंकि गेंद का द्रव्यमान $M = V d_1$ है,इसलिए आयतन $V = \frac{M}{d_1}$ होगा।
उत्प्लावन बल के समीकरण में $V$ का मान रखने पर:
$F_B = \frac{M}{d_1} d_2 g$
अब,संतुलन के समीकरण में $F_B$ का मान रखने पर:
$F_V + \frac{M}{d_1} d_2 g = Mg$
$F_V = Mg - \frac{M d_2 g}{d_1}$
$F_V = Mg(1 - \frac{d_2}{d_1})$

(B) $r$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का $\rho_L$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में टर्मिनल वेग $V$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \rho_L)}{\eta}$
चूंकि गोले समान आकार के हैं ($r$ स्थिर है) और एक ही द्रव में हैं ($\eta$ और $\rho_L$ स्थिर हैं),टर्मिनल वेग घनत्व के अंतर के सीधे आनुपातिक है:
$V \propto (\rho - \rho_L)$
अतः,टर्मिनल वेग का अनुपात:
$\frac{V_A}{V_B} = \frac{\rho_A - \rho_L}{\rho_B - \rho_L}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{0.4}{V_B} = \frac{7.5 - 1.5}{3 - 1.5} = \frac{6.0}{1.5} = 4$
$V_B = \frac{0.4}{4} = 0.1 \ ms^{-1}$

(B) गेंद नियत वेग से गति कर रही है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
माना गेंद का घनत्व $\rho_{b}$ है और द्रव का घनत्व $\rho_{\ell}$ है।
दिया गया है कि $\rho_{\ell} = 4\rho_{b}$।
गेंद का भार $W = V \rho_{b} g$ है,जो नीचे की ओर कार्य करता है।
उत्प्लावन बल (buoyant force) $F_{B} = V \rho_{\ell} g$ है,जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
चूंकि गेंद नियत वेग से ऊपर आ रही है,इसलिए श्यान बल $F_{v}$ नीचे की ओर कार्य करता है।
बलों को संतुलित करने पर: $F_{B} = W + F_{v}$।
अतः,$F_{v} = F_{B} - W = V \rho_{\ell} g - V \rho_{b} g = V g (4\rho_{b} - \rho_{b}) = 3 V \rho_{b} g$।
चूंकि $W = V \rho_{b} g$,इसलिए $F_{v} = 3W$।
इस प्रकार,श्यान बल गेंद के भार से $3$ गुना अधिक है।

(B) पाइप से बहने वाले तरल के लिए रेनॉल्ड्स संख्या $(R_{n})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$R_{n} = \frac{v_{c} \rho d}{\eta}$
जहाँ:
$v_{c}$ क्रांतिक वेग है,
$\rho$ तरल का घनत्व $(10^3 \,kg/m^3)$ है,
$d$ नली का व्यास $(2 \times r = 2 \times 1 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m)$ है,
$\eta$ श्यानता गुणांक $(1 \times 10^{-3} \,Ns/m^2)$ है,
$R_{n}$ क्रांतिक रेनॉल्ड्स संख्या $(2500)$ है।
$v_{c}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$v_{c} = \frac{R_{n} \eta}{\rho d}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$v_{c} = \frac{2500 \times 10^{-3}}{10^3 \times 2 \times 10^{-2}}$
$v_{c} = \frac{2.5}{20} = 0.125 \,m/s$
अतः, धारा रेखीय प्रवाह को अशांत प्रवाह में बदलने के लिए आवश्यक प्रवाह की गति $0.125 \,m/s$ है।

(C) स्टोक्स के नियम के अनुसार, एक श्यान द्रव में गिरते हुए गोलाकार पिंड का सीमांत वेग (terminal velocity) $V$ इस प्रकार दिया जाता है: $V = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि सीमांत वेग गेंद की त्रिज्या के वर्ग के सीधे आनुपातिक होता है, अर्थात $V \propto r^2$।
दिया गया है:
त्रिज्या $r_1 = 2 \,cm$, वेग $V_1 = 20 \,cm / s$।
त्रिज्या $r_2 = 1 \,cm$, वेग $V_2 = ?$।
आनुपातिकता $V \propto r^2$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$\frac{V_2}{20} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$\frac{V_2}{20} = \frac{1}{4}$
$V_2 = \frac{20}{4} = 5 \,cm / s$।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
संलयन के दौरान आयतन स्थिर रहता है:
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$
स्टोक्स के नियम के अनुसार टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ होता है।
अतः,$v_t \propto r^2$।
मान लीजिए $v_1 = 5 \ cm/s$ छोटी बूंद का टर्मिनल वेग है और $v_2$ बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग है।
$\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (n^{1/3})^2 = n^{2/3}$।
$v_2 = v_1 \times n^{2/3} = 5 n^{2/3} \ cm/s$।

(A) जब पिंड विराम अवस्था से $h$ ऊँचाई से गिरता है,तो वह $V$ वेग प्राप्त करता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करते हुए:
$V^2 = 0^2 + 2gh$
$\therefore h = \frac{V^2}{2g}$
यदि यह और नीचे गिरता है और $3V$ का अंतिम वेग प्राप्त करता है,तो मान लीजिए कि कुल तय की गई ऊँचाई $h'$ है।
उसी समीकरण का उपयोग करते हुए:
$(3V)^2 = 0^2 + 2gh'$
$9V^2 = 2gh'$
$\therefore h' = \frac{9V^2}{2g} = 9h$
अतिरिक्त अंतराल में तय की गई दूरी कुल ऊँचाई और प्रारंभिक ऊँचाई के बीच का अंतर है:
$\text{दूरी} = h' - h = 9h - h = 8h$.

(D) प्रारंभिक वेग $u = 15 \ m/s$,मंदन $a = -0.3 \ m/s^2$,और अंतिम वेग $v = 0 \ m/s$ (जब वाहन रुक जाता है)।
सबसे पहले,रुकने में लगा समय ज्ञात करें: $t = \frac{v-u}{a} = \frac{0-15}{-0.3} = 50 \ s$.
चूंकि वाहन $50 \ s$ में रुक जाता है,जो $60 \ s$ (एक मिनट) से कम है,इसलिए $60 \ s$ के बाद का विस्थापन $50 \ s$ के बाद के विस्थापन के बराबर ही रहेगा।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$s = (15 \times 50) + \frac{1}{2} \times (-0.3) \times (50)^2$
$s = 750 - 0.15 \times 2500 = 750 - 375 = 375 \ m$.
ट्रैफिक लाइट से प्रारंभिक दूरी $400 \ m$ थी।
अतः,एक मिनट बाद ट्रैफिक लाइट से वाहन की दूरी $400 \ m - 375 \ m = 25 \ m$ होगी।

(A) पिंड $A$ के लिए जो विरामावस्था से शुरू होता है (प्रारंभिक वेग $u=0$):
$S_A = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$
पिंड $B$ के लिए जो एकसमान वेग $V$ के साथ गति करता है:
$S_B = Vt$
चूंकि वे $t$ समय के बाद एक ही बिंदु पर मिलते हैं,इसलिए उनका विस्थापन समान होना चाहिए:
$S_A = S_B$
$\frac{1}{2}at^2 = Vt$
दोनों पक्षों को $t$ से विभाजित करने पर ($t \neq 0$ मानते हुए):
$\frac{1}{2}at = V$
$t = \frac{2V}{a}$

(A) माना गेंद का प्रारंभिक वेग $u$ है। अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = 3 \ s$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करने पर: $v = u - gt$.
मान रखने पर: $0 = u - (10 \ m/s^2)(3 \ s)$.
अतः,$u = 30 \ m/s$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $h$ ज्ञात करने के लिए गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 = u^2 - 2gh$.
$v = 0$ और $u = 30 \ m/s$ रखने पर: $0 = (30)^2 - 2(10)h$.
$20h = 900$.
$h = 45 \ m$.

(C) हवाई जहाज क्षैतिज दिशा में उड़ रहा है,इसलिए बम के वेग का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 0 \text{ m/s}$ है।
ऊर्ध्वाधर दिशा के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $h = \frac{1}{2} gt^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $980 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$.
$t^2 = \frac{980 \times 2}{9.8} = 100 \times 2 = 200$.
$t = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ s}$.
बम का क्षैतिज वेग $v_x = 200 \text{ km/hr} = 200 \times \frac{5}{18} = \frac{1000}{18} \text{ m/s}$ है।
बम द्वारा अपने पतन के दौरान तय की गई क्षैतिज दूरी $d = v_x \times t$ है।
$d = \frac{1000}{18} \times 10\sqrt{2} = \frac{10000}{9\sqrt{2}} \text{ m}$.

(B) उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ अधिकतम ऊँचाई है।
ऊर्ध्वाधर रूप से प्रक्षेपित पहले पत्थर के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $\theta_1 = 90^{\circ}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $h_1 = \frac{V^2 \sin^2 90^{\circ}}{2g} = \frac{V^2}{2g}$ है।
दूसरे पत्थर के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए क्षैतिज के साथ कोण $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $h_2 = \frac{V^2 \sin^2 30^{\circ}}{2g} = \frac{V^2 (1/2)^2}{2g} = \frac{V^2}{8g}$ है।
स्थितिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{mgh_1}{mgh_2} = \frac{h_1}{h_2} = \frac{V^2/2g}{V^2/8g} = \frac{8}{2} = 4:1$ है।

(A) प्रारंभिक वेग $\vec{u} = a \hat{i} + b \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
वेग का क्षैतिज घटक,$u_x = a$.
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक,$u_y = b$.
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{b^2}{2g}$ है।
प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R = \frac{2 u_x u_y}{g} = \frac{2ab}{g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,परास अधिकतम ऊँचाई की दोगुनी है: $R = 2H$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2ab}{g} = 2 \left( \frac{b^2}{2g} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{2ab}{g} = \frac{b^2}{g}$.
दोनों पक्षों को $b/g$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $b \neq 0$): $2a = b$,या $b = 2a$।

(B) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है। इसलिए,अधिकतम ऊंचाई पर प्रक्षेप्य की गति उसके क्षैतिज वेग घटक के बराबर होती है,जो $v = u \cos \theta$ है।
प्रश्न के अनुसार,अधिकतम ऊंचाई पर गति प्रारंभिक गति की आधी है:
$u \cos \theta = \frac{u}{2} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है कि $\theta = 60^{\circ}$।
अधिकतम ऊंचाई $H_{\max}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
$\theta = 60^{\circ}$ और $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$H_{\max} = \frac{u^2 (\sqrt{3}/2)^2}{2g} = \frac{u^2 (3/4)}{2g} = \frac{3u^2}{8g}$.

(D) कोणीय वेग $\omega$ को सूत्र $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
घड़ी की घंटे वाली सुई के लिए,आवर्तकाल $T_1 = 12 \text{ घंटे}$ है।
पृथ्वी के लिए,आवर्तकाल $T_2 = 24 \text{ घंटे}$ है।
अतः,घंटे वाली सुई का कोणीय वेग $\omega_1 = \frac{2\pi}{12}$ और पृथ्वी का कोणीय वेग $\omega_2 = \frac{2\pi}{24}$ है।
अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2\pi / 12}{2\pi / 24} = \frac{24}{12} = 2$ है।
इस प्रकार,अनुपात $\omega_1 : \omega_2$ का मान $2 : 1$ है।

(D) कोणीय विस्थापन $\theta = 5 \sin \frac{\pi t}{6}$ दिया गया है।
कोणीय वेग $\omega$ कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\theta$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\omega = \frac{d}{dt} \left( 5 \sin \frac{\pi t}{6} \right) = 5 \cdot \cos \left( \frac{\pi t}{6} \right) \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi t}{6} \right)$.
$t = 3 \ s$ पर:
$\omega = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi \times 3}{6} \right) = \frac{5\pi}{6} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right)$.
चूंकि $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,इसलिए $\omega = \frac{5\pi}{6} \times 0 = 0 \ rad/s$.

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति में,किसी भी बिंदु पर वस्तु की चाल $V$ ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
जब डोरी क्षैतिज होती है,तो वस्तु वृत्त के केंद्र के समान ऊर्ध्वाधर स्तर पर होती है।
यह मानते हुए कि वस्तु को शीर्ष से छोड़ा गया है या वृत्त को पूरा करने के लिए पर्याप्त वेग दिया गया है,क्षैतिज स्थिति पर वेग $V = \sqrt{3gr}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c$ को $a_c = \frac{V^2}{r}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$V$ का मान रखने पर,हमें $a_c = \frac{(\sqrt{3gr})^2}{r} = \frac{3gr}{r} = 3g$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: व्यास $d = 50 \ cm = 0.5 \ m$।
त्रिज्या $r = d/2 = 0.25 \ m = 25 \times 10^{-2} \ m$।
आवृत्ति $f = 2 \ Hz$।
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \ rad/s$।
$U.C.M.$ में अभिकेंद्र त्वरण $a = r \omega^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = (25 \times 10^{-2}) \times (4 \pi)^2$।
$a = 0.25 \times 16 \pi^2$।
$a = 4 \pi^2 \ m/s^2$।

(D) '$r$' त्रिज्या वाले वृत्ताकार पथ पर '$v$' चाल से गति कर रहे कण का अभिकेंद्र त्वरण '$a$' सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = \frac{v^2}{r}$.
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि अभिकेंद्र त्वरण चाल के वर्ग के सीधे आनुपातिक है: $a \propto v^2$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक चाल '$v_1 = v$' है और प्रारंभिक त्वरण '$a_1 = a$' है।
मान लीजिए कि अंतिम चाल '$v_2 = 2v$' है और अंतिम त्वरण '$a_2$' है।
अंतिम त्वरण और प्रारंभिक त्वरण का अनुपात लेने पर:
$\frac{a_2}{a_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{2v}{v}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
अतः,परिवर्तन के बाद और पहले त्वरण का अनुपात $4:1$ है।

(A) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
प्रारंभिक बल $F_1 = \frac{mV^2}{r}$ है।
नई चाल $v_2 = \frac{V}{2}$ और नई त्रिज्या $r_2 = 3r$ है।
नया बल $F_2 = \frac{m(V/2)^2}{3r} = \frac{mV^2/4}{3r} = \frac{mV^2}{12r} = \frac{F_1}{12}$ है।
बल में परिवर्तन $\Delta F = F_2 - F_1 = \frac{F_1}{12} - F_1 = -\frac{11}{12}F_1$ है।
ऋणात्मक चिह्न बल के परिमाण में कमी को दर्शाता है। अतः,बल $\frac{11}{12}$ गुना कम हो जाता है।

(A) परिक्रमण के आधे आवर्तकाल में,कण अपनी प्रारंभिक स्थिति से व्यास के विपरीत बिंदु पर पहुँच जाता है।
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की न्यूनतम दूरी है,जो वृत्त का व्यास है: $2 R$.
तय की गई दूरी पथ की लंबाई है,जो वृत्त की परिधि की आधी है: $\frac{1}{2} \times (2 \pi R) = \pi R$.
अतः,विस्थापन $2 R$ है और तय की गई दूरी $\pi R$ है।

(D) सरल आवर्त गति करने वाले कण की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र है:
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
यहाँ $x = \frac{A}{2}$ दिया गया है,इसलिए:
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - (\frac{A}{2})^2)$
$K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{3 A^2}{4}) = \frac{3}{8} m \omega^2 A^2$
चूंकि कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,इस मान को रखने पर:
$K.E. = \frac{3}{8} m (\frac{2 \pi}{T})^2 A^2$
$K.E. = \frac{3}{8} m (\frac{4 \pi^2}{T^2}) A^2$
$K.E. = \frac{3 m \pi^2 A^2}{2 T^2}$

(C) झूला न्यूनतम ऊँचाई $(h_{min} = 0.75 \,m)$ और अधिकतम ऊँचाई $(h_{max} = 2 \,m)$ के बीच $S.H.M$ करता है।
उच्चतम बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है,और निम्नतम बिंदु पर यह स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
प्रभावी ऊर्ध्वाधर विस्थापन (आयाम ऊँचाई) $h = h_{max} - h_{min} = 2 \,m - 0.75 \,m = 1.25 \,m$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2} mv^2 = mgh$
$v^2 = 2gh$
$v^2 = 2 \times 10 \,m/s^2 \times 1.25 \,m$
$v^2 = 25 \,m^2/s^2$
$v = 5 \,m/s$.

(C) दिया गया समीकरण $x = P \sin \omega t + Q \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$ है।
चूंकि $\sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \omega t$,इसलिए समीकरण $x = P \sin \omega t + Q \cos \omega t$ हो जाता है।
यह $P$ और $Q$ आयामों वाली दो सरल आवर्त गतियों के अध्यारोपण को दर्शाता है जिनके बीच का कलांतर $\frac{\pi}{2}$ है।
परिणामी आयाम $R = \sqrt{P^2 + Q^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$S$.$H$.$M$. करने वाले कण की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} m \omega^2 R^2$ द्वारा दी जाती है।
$R^2 = P^2 + Q^2$ का मान रखने पर,हमें $E = \frac{1}{2} m \omega^2 (P^2 + Q^2)$ प्राप्त होता है।

(D) $S.H.M.$ में कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$ होती है, जहाँ $k = m \omega^2$ बल नियतांक है और $A$ आयाम है।
दिया गया है कि गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ बराबर हैं, अर्थात $K = U = \frac{E}{2}$।
विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ होती है।
अतः, $\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2) \implies x^2 = \frac{A^2}{2} \implies x = \frac{A}{\sqrt{2}}$।
विस्थापन $x$ पर कण पर कार्य करने वाला बल $F = kx = m \omega^2 x$ है।
अधिकतम बल $F_m = k A = 50 \,N$ है।
विस्थापन $x$ पर बल का परिमाण $F' = kx = k (\frac{A}{\sqrt{2}}) = \frac{F_m}{\sqrt{2}}$ होगा।
$F_m = 50 \,N$ रखने पर, हमें $F' = \frac{50}{\sqrt{2}} = 25 \sqrt{2} \,N$ प्राप्त होता है।

(B) गतिज ऊर्जा माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर अधिकतम होती है।
स्थितिज ऊर्जा चरम स्थितियों ($x = +A$ या $x = -A$) पर अधिकतम होती है।
माध्य स्थिति से चरम स्थिति तक पिंड का विस्थापन आयाम $A$ के बराबर होता है।
अतः,विस्थापन $\pm A$ है।

(C) सरल आवर्त गति ($S$.$H$.$M$.) करने वाले कण के लिए,विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $E$ को $E = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ बल नियतांक है।
विस्थापन $x$ पर कण पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F$,$F = -k x$ द्वारा दिया जाता है।
स्थितिज ऊर्जा के व्यंजक से,हमारे पास $2 E = k x^2$ है।
इस समीकरण को बल $F = -k x$ के व्यंजक से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2 E}{F} = \frac{k x^2}{-k x}$
व्यंजक को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2 E}{F} = -x$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2 E}{F} + x = 0$
अतः,सही संबंध $\frac{2 E}{F} + x = 0$ है।

(C) दिया गया है: आयाम $A = 0.06 \,m$,गतिज ऊर्जा $K.E. = 10 \,J$,स्थितिज ऊर्जा $P.E. = 8 \,J$।
कुल ऊर्जा $T.E. = K.E. + P.E. = 10 \,J + 8 \,J = 18 \,J$।
स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $P.E. = \frac{1}{2} kx^2$ है और कुल ऊर्जा $T.E. = \frac{1}{2} kA^2$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{P.E.}{T.E.} = \frac{\frac{1}{2} kx^2}{\frac{1}{2} kA^2} = \frac{x^2}{A^2}$।
मान रखने पर: $\frac{8}{18} = \frac{x^2}{(0.06)^2}$।
$\frac{4}{9} = \frac{x^2}{(0.06)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{2}{3} = \frac{x}{0.06}$।
$x = \frac{2}{3} \times 0.06 = 2 \times 0.02 = 0.04 \,m$।

(A) ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग से लटके $S.H.M.$ करते कण के लिए,संतुलन स्थिति वह है जहाँ स्प्रिंग बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है,अर्थात $kx = mg$।
दोलन के उच्चतम बिंदु पर स्प्रिंग में कोई खिंचाव नहीं है,जिसका अर्थ है कि विस्तार $x = 0$ है।
चूंकि संतुलन स्थिति उच्चतम बिंदु से $A$ (आयाम) की दूरी पर नीचे होती है,इसलिए संतुलन पर विस्तार $x = A$ होता है।
अतः,$kA = mg$,जिससे आयाम $A = \frac{mg}{k} = \frac{g}{\omega^2}$ प्राप्त होता है।
दी गई आवृत्ति $f = 5 \ Hz$ के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \ rad/s$ है।
मान रखने पर,$A = \frac{10}{(10 \pi)^2} = \frac{10}{100 \pi^2} = \frac{1}{10 \pi^2} \ m$।
अधिकतम गति $V_{\max} = A \omega$ है।
$V_{\max} = \left( \frac{1}{10 \pi^2} \right) \times (10 \pi) = \frac{1}{\pi} \ m/s$।

(B) दिया गया है: आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \text{ s}$, कुल पथ लंबाई $= 4 \text{ cm}$।
आयाम $A = \frac{\text{पथ लंबाई}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}$।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2 \pi / \sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ rad/s}$।
त्वरण का परिमाण $a = \omega^2 |x|$ और वेग का परिमाण $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$।
दिया गया है कि $v = a$, इसलिए $\omega \sqrt{A^2 - x^2} = \omega^2 |x|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\omega^2 (A^2 - x^2) = \omega^4 x^2$।
$\omega^2$ से विभाजित करने पर: $A^2 - x^2 = \omega^2 x^2$।
मान रखने पर: $2^2 - x^2 = (\sqrt{3})^2 x^2$।
$4 - x^2 = 3x^2 \implies 4x^2 = 4 \implies x^2 = 1$।
अतः, $x = 1 \text{ cm}$।

(C) प्रारंभ में,दोनों संधारित्रों की धारिता $C$ है। जब एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में रखा जाता है,तो उसकी नई धारिता $C_1 = KC$ हो जाती है,जबकि दूसरा संधारित्र $C_2 = C$ ही रहता है।
चूंकि संधारित्र $V$ emf की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए संधारित्र $C_2$ के सिरों पर विभवांतर $V_2$ वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा प्राप्त होता है:
$V_2 = V \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right)$
मान रखने पर:
$V_2 = V \left( \frac{KC}{KC + C} \right) = V \left( \frac{KC}{C(K + 1)} \right)$
$V_2 = \frac{KV}{K + 1}$

(D) जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो संधारित्र की प्लेटों पर आवेश $q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
जब प्लेटों के बीच $k$ परावैद्युतांक वाला एक परावैद्युत स्लैब रखा जाता है,तो संधारित्र की धारिता $C$ से बढ़कर $C' = kC$ हो जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{q^2}{2C}$ होता है।
चूंकि $q$ स्थिर है और $C$ का मान बढ़ रहा है,इसलिए अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{q^2}{2kC}$ प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{q^2}{2C}$ से कम होगी।
अतः,संचित ऊर्जा घट जाती है।

(D) यह व्यवस्था श्रेणीक्रम में जुड़े तीन संधारित्रों से बनी है।
$t$ मोटाई और $k$ परावैद्युत स्थिरांक वाले परावैद्युत स्लैब के साथ एक समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,धारिता $C = \frac{k \varepsilon_0 A}{t}$ होती है।
चूंकि स्लैब श्रेणीक्रम में रखे गए हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ को $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{t_1}{k_1 \varepsilon_0 A} + \frac{t_2}{k_2 \varepsilon_0 A} + \frac{t_3}{k_3 \varepsilon_0 A}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{\varepsilon_0 A}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{\varepsilon_0 A} \left[\frac{t_1}{k_1} + \frac{t_2}{k_2} + \frac{t_3}{k_3}\right]$।
अतः,परिणामी धारिता $C_{eq} = \frac{A \varepsilon_0}{\left[\frac{t_1}{k_1} + \frac{t_2}{k_2} + \frac{t_3}{k_3}\right]}$ है।

(D) $C_1$ संधारित्र पर संचित प्रारंभिक आवेश $Q = C_1 V_1$ है।
जब अनावेशित संधारित्र $C_2$ को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q$ दोनों संधारित्रों में पुनर्वितरित हो जाता है।
समानांतर संयोजन की कुल समतुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2$ होती है।
चूंकि आवेश संरक्षित रहता है,इसलिए नया विभव $V_2 = \frac{Q}{C_{eq}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,हमें $V_2 = \frac{C_1 V_1}{C_1 + C_2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए परिपथ में,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच $15 \ V$ का विभवांतर लगाया गया है।
प्रत्येक $C = 5 \mu F$ धारिता वाले चारों संधारित्र बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर समान यानी $V = 15 \ V$ होगा।
प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$ का मान सूत्र $q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $q = 5 \mu F \times 15 \ V = 75 \mu C$ प्राप्त होता है।

(A) माना संधारित्र पर मूल आवेश $Q$ है और धारिता $C$ है। संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
जब आवेश को $2 \text{ C}$ से बढ़ाया जाता है, तो नया आवेश $Q' = Q + 2$ हो जाता है।
नई संचित ऊर्जा $U' = \frac{(Q + 2)^2}{2C}$ है।
दिया गया है कि ऊर्जा $21 \% $ बढ़ जाती है, इसलिए $U' = U + 0.21U = 1.21U$ है।
$U$ और $U'$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{(Q + 2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{Q^2}{2C}$।
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2C}$ को हटाने पर, $(Q + 2)^2 = 1.21Q^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $Q + 2 = 1.1Q$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, $0.1Q = 2$, जिससे $Q = \frac{2}{0.1} = 20 \text{ C}$ प्राप्त होता है।

(D) एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच कुल विद्युत क्षेत्र '$E$',प्रत्येक प्लेट द्वारा व्यक्तिगत रूप से उत्पन्न क्षेत्रों का योग होता है।
चूंकि प्लेटें समान हैं,प्रत्येक प्लेट $\frac{E}{2}$ परिमाण का विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करती है।
एक प्लेट पर बल '$F$',दूसरी प्लेट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र के कारण होता है।
इसलिए,$F = Q \times (\text{दूसरी प्लेट द्वारा उत्पन्न क्षेत्र}) = Q \times \frac{E}{2} = \frac{QE}{2}$.

(A) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V_1^2 + \frac{1}{2} C V_2^2$ है।
जब संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q = Q_1 + Q_2 = C V_1 + C V_2$ पुनर्वितरित हो जाता है।
निकाय की तुल्य धारिता $C_{eq} = C + C = 2C$ है।
जुड़ने के बाद उभयनिष्ठ विभव $V = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{C(V_1 + V_2)}{2C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ है।
निकाय की अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} (2C) V^2 = C \left( \frac{V_1 + V_2}{2} \right)^2 = \frac{C}{4} (V_1 + V_2)^2$ है।
ऊर्जा में कमी $\Delta U = U_i - U_f = \frac{1}{2} C (V_1^2 + V_2^2) - \frac{1}{4} C (V_1 + V_2)^2$ है।
$\Delta U = \frac{C}{4} [2V_1^2 + 2V_2^2 - (V_1^2 + V_2^2 + 2V_1V_2)]$.
$\Delta U = \frac{1}{4} C (V_1 - V_2)^2$.

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $W = \frac{1}{2} CV^2$ है, जहाँ $C$ धारिता है और $V$ विभवांतर है।
प्रारंभिक ऊर्जा $W_1 = \frac{1}{2} CV_1^2$, जहाँ $V_1 = 5 \,V$ है।
अंतिम ऊर्जा $W_2 = \frac{1}{2} CV_2^2$, जहाँ $V_2 = 15 \,V$ है।
अंतिम ऊर्जा और प्रारंभिक ऊर्जा का अनुपात $\frac{W_2}{W_1} = \frac{\frac{1}{2} CV_2^2}{\frac{1}{2} CV_1^2} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2$ है।
मान रखने पर, हमें $\frac{W_2}{W_1} = \left(\frac{15}{5}\right)^2 = (3)^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः, अनुपात $9 : 1$ है।

(B) मान लीजिए कि संधारित्र की धारिता $C$ है और बैटरी का e.m.f. $V$ है।
जब संधारित्र पूरी तरह से आवेशित हो जाता है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ होता है।
संधारित्र पर संचित आवेश $q = CV$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} qV$ है।
आवेश $q$ की आपूर्ति करने में बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = qV = CV^2$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा और बैटरी द्वारा किए गए कार्य का अनुपात $\frac{U}{W} = \frac{\frac{1}{2} qV}{qV} = \frac{1}{2}$ है।

(B) माना प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 6 \mu F$ है।
परिपथ को देखने पर,$C_1$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{13} = 3 \mu F$ प्राप्त होती है।
अब,$C_{13}$ संधारित्र $C_2$ के साथ समांतर क्रम में है। अतः उनकी तुल्य धारिता $C_{123} = C_{13} + C_2 = 3 + 6 = 9 \mu F$ होगी।
अंत में,$C_{123}$ संधारित्र $C_4$ के साथ श्रेणीक्रम में है। अतः $A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{18}{5} = 3.6 \mu F$ प्राप्त होती है।

(C) $1$. नीचे दाईं ओर $C$ धारिता वाले दो संधारित्र समानांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = C + C = 2 C$ है।
$2$. यह $C_p = 2 C$ इसके ऊपर स्थित $2 C$ के संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_s$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{2 C} + \frac{1}{2 C} = \frac{2}{2 C} = \frac{1}{C}$,अतः $C_s = C$ है।
$3$. यह $C_s = C$ बीच में स्थित $C$ के संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_p' = C + C = 2 C$ है।
$4$. यह $C_p' = 2 C$ इसके ऊपर स्थित $2 C$ के संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_s'$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_s'} = \frac{1}{2 C} + \frac{1}{2 C} = \frac{1}{C}$,अतः $C_s' = C$ है।
$5$. अंत में,यह $C_s' = C$ बाईं ओर स्थित $2 C$ के संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है। अतः कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C + 2 C = 3 C$ है।

(C) संधारित्र $C_2$ और $C_3$ समानांतर क्रम में हैं। अतः उनकी तुल्य धारिता है:
$C_p = C_2 + C_3 = 8 \ \mu F + 4 \ \mu F = 12 \ \mu F$
अब,$C_p$ और $C_1$ श्रेणी क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{eq}$ है:
$C_{eq} = \frac{C_1 \times C_p}{C_1 + C_p} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \ \mu F$
संयोजन द्वारा संग्रहीत कुल आवेश है:
$q = C_{eq} \times V_{AB} = 4 \ \mu F \times 900 \ V = 3600 \ \mu C$
श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है। इसलिए,$C_1$ पर आवेश $3600 \ \mu C$ है।
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर है:
$V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{3600 \ \mu C}{6 \ \mu F} = 600 \ V$
चूंकि $V_A - V_P = V_1$,इसलिए:
$900 \ V - V_P = 600 \ V$
$V_P = 900 \ V - 600 \ V = 300 \ V$

(C) श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य धारिता $C$ को $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{C} = \frac{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}{C_1 C_2 C_3}$.
अतः,$C = \frac{C_1 C_2 C_3}{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}$.
संयोजन द्वारा संग्रहित कुल आवेश $Q$ का मान $Q = CV = \frac{C_1 C_2 C_3 V}{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है और कुल आवेश $Q$ के बराबर होता है।
इसलिए,संधारित्र $C_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_1 = \frac{Q}{C_1}$ है।
$Q$ का मान रखने पर,हमें $V_1 = \frac{C_1 C_2 C_3 V}{C_1 (C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2)} = \frac{C_2 C_3 V}{C_2 C_3 + C_1 C_3 + C_1 C_2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $x$ विभवमापी तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है। सेल का emf $E$,संतुलन लंबाई $l$ के समानुपाती होता है,अर्थात $E = xl$।
श्रेणीक्रम में $A, B, C$ सेल के लिए: $E_A + E_B + E_C = x(420) \quad (1)$
श्रेणीक्रम में $A, B$ सेल के लिए: $E_A + E_B = x(220) \quad (2)$
श्रेणीक्रम में $B, C$ सेल के लिए: $E_B + E_C = x(320) \quad (3)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $E_C = x(420 - 220) = x(200)$।
$E_C$ का मान समीकरण $(3)$ में रखने पर: $E_B + x(200) = x(320) \implies E_B = x(120)$।
$E_B$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर: $E_A + x(120) = x(220) \implies E_A = x(100)$।
अतः,अनुपात $E_A : E_B : E_C = 100 : 120 : 200 = 1 : 1.2 : 2$ है।

(D) फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार,जब किसी चालक से गुजरने वाला चुंबकीय क्षेत्र बदलता है,तो चालक के भीतर विद्युत धारा के लूप उत्पन्न होते हैं जिन्हें भंवर धाराएँ कहा जाता है। जब एक मोटी धातु की प्लेट को बदलते चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो प्लेट से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बदल जाता है,जो विद्युत वाहक बल $(EMF)$ को प्रेरित करता है और परिणामस्वरूप भंवर धाराएँ उत्पन्न होती हैं।

(B) गैल्वेनोमीटर को $I_{range}$ रेंज के एमीटर में बदलने के लिए आवश्यक शंट प्रतिरोध $S$ का सूत्र $S = \frac{I_g G}{I_{range} - I_g}$ है।
प्रथम स्थिति में,रेंज $3I$ है,इसलिए $S_1 = \frac{I_g G}{3I - I_g}$ है।
द्वितीय स्थिति में,रेंज $4I$ है,इसलिए $S_2 = \frac{I_g G}{4I - I_g}$ है।
अनुपात $S_2:S_1$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{I_g G}{4I - I_g}}{\frac{I_g G}{3I - I_g}} = \frac{3I - I_g}{4I - I_g}$.

(B) पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) $k$, $k = V/L$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $V$ तार के सिरों पर विभवांतर है और $L$ तार की कुल लंबाई है।
जब ड्राइविंग स्रोत को स्थिर रखते हुए पोटेंशियोमीटर तार की लंबाई बढ़ाई जाती है, तो तार का कुल प्रतिरोध बढ़ जाता है।
चूंकि ड्राइविंग वोल्टेज $V$ स्थिर रहता है, इसलिए धारा $I = V/R_{total}$ घट जाती है।
परिणामस्वरूप, विभव प्रवणता $k = I \cdot \rho$ (जहाँ $\rho$ प्रति इकाई लंबाई का प्रतिरोध है) घट जाती है।
$E$ विद्युत वाहक बल $(EMF)$ वाले सेल के लिए, संतुलन लंबाई $l$ को $E = k \cdot l$ या $l = E/k$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
चूंकि $k$ का मान घटता है, इसलिए समान विद्युत वाहक बल $E$ को संतुलित करने के लिए संतुलन लंबाई $l$ बढ़ जाएगी।

(B) जब एक गैल्वेनोमीटर को एमीटर में परिवर्तित किया जाता है,तो गैल्वेनोमीटर के प्रतिरोध $G$ के साथ समानांतर क्रम में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाता है।
एमीटर का प्रभावी प्रतिरोध $R$ समानांतर संयोजन के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{G} + \frac{1}{S}$
यहाँ $G = 50 \Omega$ और $R = 2.5 \Omega = \frac{5}{2} \Omega$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{2.5} = \frac{1}{50} + \frac{1}{S}$
$\frac{1}{S} = \frac{1}{2.5} - \frac{1}{50}$
$\frac{1}{S} = \frac{20}{50} - \frac{1}{50} = \frac{19}{50}$
अतः,$S = \frac{50}{19} \Omega$।

(A) गैल्वेनोमीटर (प्रतिरोध $G$ और पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा $I_g$) को $I$ रेंज के एमीटर में बदलने के लिए आवश्यक शंट प्रतिरोध $S$ का सूत्र है: $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$।
प्रथम स्थिति में, रेंज $I_1 = 0.04 \,A$ है और शंट $S_1 = 3r$ है। अतः, $3r = \frac{I_g G}{0.04 - I_g} \quad \dots(1)$।
द्वितीय स्थिति में, रेंज $I_2 = 0.08 \,A$ है और शंट $S_2 = r$ है। अतः, $r = \frac{I_g G}{0.08 - I_g} \quad \dots(2)$।
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3r}{r} = \frac{I_g G}{0.04 - I_g} \times \frac{0.08 - I_g}{I_g G}$
$3 = \frac{0.08 - I_g}{0.04 - I_g}$
$3(0.04 - I_g) = 0.08 - I_g$
$0.12 - 3I_g = 0.08 - I_g$
$0.12 - 0.08 = 3I_g - I_g$
$0.04 = 2I_g$
$I_g = 0.02 \,A$।
अतः, गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित होने वाली अधिकतम धारा $0.02 \,A$ है।

(D) संतुलन लंबाई $\ell_1$ सेल के $EMF$ $E$ के समानुपाती होती है,इसलिए $E = k\ell_1$।
जब सेल को $R = 2 \ \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध के साथ जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V = k\ell_2$ होता है,जहाँ $\ell_2$ नई संतुलन लंबाई है।
दिया गया है कि $\ell_1 = 240 \ cm$ और $\ell_2 = \frac{\ell_1}{2} = 120 \ cm$।
टर्मिनल वोल्टेज का सूत्र $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$ है,जहाँ $r$ आंतरिक प्रतिरोध है।
संबंधों को प्रतिस्थापित करने पर,$k\ell_2 = k\ell_1 \left( \frac{R}{R+r} \right)$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \frac{R}{R+r}$ में सरल हो जाता है।
मान रखने पर: $\frac{120}{240} = \frac{2}{2+r}$।
$\frac{1}{2} = \frac{2}{2+r} \implies 2+r = 4 \implies r = 2 \ \Omega$।

(C) पोटेंशियोमीटर प्रयोग में,संतुलन लंबाई $\ell$ सेल के e.m.f. के समानुपाती होती है,अर्थात $E \propto \ell$ या $E = k\ell$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल समान ध्रुवता के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 + E_2 = k\ell_1$ होता है,जहाँ $\ell_1 = 64 \ cm$ है।
जब $E_2$ की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो प्रभावी e.m.f. $E_1 - E_2 = k\ell_2$ होता है,जहाँ $\ell_2 = 32 \ cm$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{E_1 + E_2}{E_1 - E_2} = \frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{64}{32} = 2$।
योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{(E_1 + E_2) + (E_1 - E_2)}{(E_1 + E_2) - (E_1 - E_2)} = \frac{2 + 1}{2 - 1}$।
यह सरल होकर $\frac{2E_1}{2E_2} = \frac{3}{1}$ हो जाता है,अतः $\frac{E_1}{E_2} = 3: 1$।

(D) पोटेंशियोमीटर का उपयोग करके सेल के आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{\ell_1}{\ell_2} - 1 \right)$ है,जहाँ $\ell_1$ ओपन सर्किट के लिए संतुलन लंबाई है और $\ell_2$ प्रतिरोध $R$ के साथ शंट होने पर संतुलन लंबाई है।
दिया गया है:
स्थिति $1$: $R_1 = 3 \ \Omega$,$\ell_2 = 1 \ m$
स्थिति $2$: $R_2 = 6 \ \Omega$,$\ell_2' = 1.5 \ m$
चूंकि सेल का $EMF$ स्थिर रहता है,इसलिए दोनों स्थितियों में संतुलन लंबाई $\ell_1$ समान रहेगी।
$r = 3 \left( \frac{\ell_1}{1} - 1 \right) = 6 \left( \frac{\ell_1}{1.5} - 1 \right)$
$3 \ell_1 - 3 = 4 \ell_1 - 6$
$\ell_1 = 3 \ m$
$\ell_1$ का मान पहले समीकरण में रखने पर:
$r = 3 \left( \frac{3}{1} - 1 \right) = 3 \times 2 = 6 \ \Omega$.

(A) मान लीजिए कि नोड $E$ पर विभव $0 \,V$ है। नोड $B$ पर विभव $6 \,V$ है।
नोड $B$ पर किरचॉफ का धारा नियम लागू करने पर:
$A$ से $B$ की ओर बहने वाली धारा $I_1 = \frac{V_A - V_B}{R_1} = \frac{-8 - 6}{28} = \frac{-14}{28} = -0.5 \,A$ है।
$C$ से $B$ की ओर बहने वाली धारा $I_2 = \frac{V_C - V_B}{R_2} = \frac{12 - 6}{54} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9} \,A$ है।
मान लीजिए कि धारा $I$, $B$ से $E$ की ओर नीचे की दिशा में बहती है। नोड $B$ पर किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार:
$I = I_1 + I_2 = -0.5 + \frac{1}{9} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{9} = \frac{-9 + 2}{18} = -\frac{7}{18} \,A$.

(A) किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ बताता है कि एक जंक्शन पर मिलने वाली धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि जंक्शन पर कोई आवेश जमा नहीं होता है। अतः,यह आवेश के संरक्षण के नियम पर आधारित है।
किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ बताता है कि एक बंद लूप में विभवांतर का बीजगणितीय योग शून्य होता है,जो विद्युत क्षेत्र की संरक्षी प्रकृति का परिणाम है। अतः,यह ऊर्जा के संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(D) मान लीजिए कि $8 \Omega$ प्रतिरोध में धारा $I_1 = 1.5 \text{ A}$ है।
$8 \Omega$ प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर $(V_p)$ $V_p = I_1 \times R_1 = 1.5 \text{ A} \times 8 \Omega = 12 \text{ V}$ है।
चूंकि $3 \Omega$ प्रतिरोध,$8 \Omega$ प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है,इसलिए इसके सिरों पर भी विभवांतर $12 \text{ V}$ होगा।
$3 \Omega$ प्रतिरोध से बहने वाली धारा $(I_2)$ $I_2 = \frac{V_p}{R_2} = \frac{12 \text{ V}}{3 \Omega} = 4 \text{ A}$ है।
परिपथ में बहने वाली कुल धारा $(I)$ समानांतर शाखाओं में धाराओं का योग है: $I = I_1 + I_2 = 1.5 \text{ A} + 4 \text{ A} = 5.5 \text{ A}$।

(C) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार,किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग,उससे बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
पहले जंक्शन पर $KCL$ लागू करने पर:
$I_4 = 1 \text{ A} + 2 \text{ A} + 3 \text{ A} = 6 \text{ A}$
दूसरे जंक्शन पर $KCL$ लागू करने पर:
$I_6 = I_4 - 1.2 \text{ A} = 6 \text{ A} - 1.2 \text{ A} = 4.8 \text{ A}$
तीसरे जंक्शन पर $KCL$ लागू करने पर:
$I_8 = I_6 + 0.8 \text{ A} = 4.8 \text{ A} + 0.8 \text{ A} = 5.6 \text{ A}$
अंतिम जंक्शन पर $KCL$ लागू करने पर:
$I = I_8 - 0.5 \text{ A} - 1.7 \text{ A} = 5.6 \text{ A} - 2.2 \text{ A} = 3.4 \text{ A}$

(B) मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर प्रवेश करने वाली कुल धारा $I = 2.1 \text{ A}$ है।
मान लीजिए कि ऊपरी शाखा ($PQ$ और $QR$) से बहने वाली धारा $i$ है।
अतः,निचली शाखा ($PS$ और $SR$) से बहने वाली धारा $(I - i) = (2.1 - i) \text{ A}$ होगी।
दोनों रास्तों पर $P$ और $R$ के बीच विभवांतर समान होता है:
$V_{PR} = i(R_{PQ} + R_{QR}) = (I - i)(R_{PS} + R_{SR})$
$V_{PR} = i(5 + 1) = (2.1 - i)(12.5 + 2.5)$
$6i = (2.1 - i)(15)$
$6i = 31.5 - 15i$
$21i = 31.5$
$i = \frac{31.5}{21} = 1.5 \text{ A}$.
इस प्रकार,$1 \Omega$ प्रतिरोध से बहने वाली धारा $1.5 \text{ A}$ है।

(B) मीटर ब्रिज में, संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{\ell}{100 - \ell}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में, $\frac{5}{R} = \frac{\ell_1}{100 - \ell_1}$ --- $(1)$
जब $R$ को समान प्रतिरोध $R$ के साथ शंट किया जाता है, तो तुल्य प्रतिरोध $R' = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ हो जाता है।
नया संतुलन बिंदु $1.6 \ell_1$ पर है, इसलिए:
$\frac{5}{R/2} = \frac{1.6 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1} \implies \frac{10}{R} = \frac{1.6 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1} \implies \frac{5}{R} = \frac{0.8 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1}$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{\ell_1}{100 - \ell_1} = \frac{0.8 \ell_1}{100 - 1.6 \ell_1}$
$100 - 1.6 \ell_1 = 0.8(100 - \ell_1)$
$100 - 1.6 \ell_1 = 80 - 0.8 \ell_1$
$20 = 0.8 \ell_1 \implies \ell_1 = \frac{20}{0.8} = 25 \, cm$.
$\ell_1 = 25$ को $(1)$ में रखने पर:
$\frac{5}{R} = \frac{25}{100 - 25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$
$R = 15 \, \Omega$.

(A) मीटर ब्रिज में,अंतरालों में प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\ell_A}{\ell_B}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\ell_A = 40 \ cm$ और $\ell_B = 100 - 40 = 60 \ cm$ है,इसलिए $\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ है।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ विशिष्ट प्रतिरोधकता है,$L$ लंबाई है और $r$ त्रिज्या है।
चूंकि लंबाई समान है,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2$ होगा।
व्यास का अनुपात $3:1$ है,इसलिए त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_A}{r_B} = 3$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{3}$।
मान रखने पर: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2$.
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \cdot \frac{1}{9}$.
अतः,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$.
विशिष्ट प्रतिरोधकता का अनुपात $6:1$ है।

(C) संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ है,जहाँ $S$ चौथी भुजा का प्रतिरोध है।
इस मामले में,चौथी भुजा में दो प्रतिरोध $S_1$ और $S_2$ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर क्रम में दो प्रतिरोधों का तुल्य प्रतिरोध $S$ इस प्रकार दिया जाता है: $\frac{1}{S} = \frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{S_1 + S_2}{S_1 S_2}$।
इसलिए,$S = \frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}$।
$S$ के इस मान को संतुलन स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ में रखने पर,हमें $\frac{P}{Q} = \frac{R}{\left(\frac{S_1 S_2}{S_1 + S_2}\right)}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{P}{Q} = \frac{R(S_1 + S_2)}{S_1 S_2}$ प्राप्त होता है।

(B) तार का प्रतिरोध $1 \Omega \text{ cm}^{-1}$ है।
तार के $40 \text{ cm}$ खंड का प्रतिरोध $= 40 \Omega$.
तार के $60 \text{ cm}$ खंड का प्रतिरोध $= 60 \Omega$.
चूंकि ब्रिज संतुलित है, इसलिए गैल्वेनोमीटर से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। अतः, गैल्वेनोमीटर वाली शाखा को परिपथ से हटाया जा सकता है।
संतुलित ब्रिज के लिए, शर्त $\frac{4}{40} = \frac{Y}{60}$ है।
$Y = \frac{4 \times 60}{40} = 6 \Omega$.
अब, परिपथ में $6 \text{ V}$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाएं हैं।
ऊपरी शाखा में $4 \Omega$ और $Y = 6 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए $R_1 = 4 + 6 = 10 \Omega$.
निचली शाखा में $40 \Omega$ और $60 \Omega$ के तार के खंड श्रेणीक्रम में हैं, इसलिए $R_2 = 40 + 60 = 100 \Omega$.
समानांतर संयोजन का कुल समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{100} = \frac{10 + 1}{100} = \frac{11}{100}$.
$R_{eq} = \frac{100}{11} \Omega$.
बैटरी से ली गई कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{100/11} = \frac{66}{100} = 0.66 \text{ A}$.

(A) दिया गया परिपथ एक संतुलित व्हीटस्टोन सेतु है क्योंकि भुजाओं में प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि सेतु संतुलित है,इसलिए मध्य के $5 \Omega$ प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।
अतः,$5 \Omega$ के प्रतिरोधक को परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,ऊपरी शाखा में $3 \Omega$ और $2 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $3 + 2 = 5 \Omega$ प्राप्त होता है।
निचली शाखा में भी $3 \Omega$ और $2 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे कुल प्रतिरोध $3 + 2 = 5 \Omega$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएं $6 \text{ V}$ की बैटरी के समांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
समांतर क्रम में जुड़े दो $5 \Omega$ प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{5 \times 5}{5 + 5} = 2.5 \Omega$ है।
बैटरी से ली गई धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{2.5} = 2.4 \text{ A}$ है।

(D) डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
इससे, ऊर्जा को $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 1 \,nm$ है और अंतिम तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = 0.5 \,nm$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $E_1 = \frac{h^2}{2m\lambda_1^2}$ है।
अंतिम ऊर्जा $E_2 = \frac{h^2}{2m\lambda_2^2} = \frac{h^2}{2m(0.5\lambda_1)^2} = \frac{h^2}{2m(0.25\lambda_1^2)} = 4E_1$ है।
आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E_1 - E_1 = 3E_1$ है।
अतः, दी जाने वाली अतिरिक्त ऊर्जा उसकी प्रारंभिक ऊर्जा की तीन गुना है।

(C) $0 \leq x \leq 1$ क्षेत्र में,कण की स्थितिज ऊर्जा $U = E$ है। कुल ऊर्जा $E_{total} = nE$ है।
चूंकि $E_{total} = K.E. + P.E.$,गतिज ऊर्जा $K_1 = nE - E = (n-1)E$ है।
संवेग $p_1 = \sqrt{2mK_1} = \sqrt{2m(n-1)E}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda_1 = \frac{h}{p_1} = \frac{h}{\sqrt{2m(n-1)E}}$ है।
$x > 1$ क्षेत्र में,स्थितिज ऊर्जा $U = 0$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा $K_2 = nE - 0 = nE$ है।
संवेग $p_2 = \sqrt{2mK_2} = \sqrt{2mnE}$ है।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda_2 = \frac{h}{p_2} = \frac{h}{\sqrt{2mnE}}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2m(n-1)E}}{h / \sqrt{2mnE}} = \sqrt{\frac{2mnE}{2m(n-1)E}} = \sqrt{\frac{n}{n-1}}$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W$ होती है,जहाँ $W$ कार्य फलन है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के लिए,$E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - W$ --- $(1)$
तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ के लिए,$E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} - W$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$hc = \lambda_1(E_1 + W)$।
समीकरण $(2)$ से,$hc = \lambda_2(E_2 + W)$।
$hc$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\lambda_1(E_1 + W) = \lambda_2(E_2 + W)$
$\lambda_1 E_1 + \lambda_1 W = \lambda_2 E_2 + \lambda_2 W$
$\lambda_1 E_1 - \lambda_2 E_2 = W(\lambda_2 - \lambda_1)$
$W = \frac{\lambda_1 E_1 - \lambda_2 E_2}{\lambda_2 - \lambda_1}$

(B) विभवांतर $V$ द्वारा त्वरित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$।
यहाँ,$h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $q$ कण का आवेश है।
प्रोटॉन के लिए,द्रव्यमान $m_p = m$ और आवेश $q_p = e$ लें।
अल्फा कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m$ और आवेश $q_{\alpha} = 2e$ है।
चूंकि दोनों समान विभवांतर $V$ से त्वरित होते हैं,इसलिए उनकी तरंगदैर्ध्य का अनुपात होगा:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_{\alpha} q_{\alpha} V}}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_p q_p}}$
मान रखने पर:
$\frac{\lambda_p}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{4m \times 2e}{m \times e}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।
अतः,अनुपात $2\sqrt{2}: 1$ है।

(A) गतिज ऊर्जा $E$ वाले प्रोटॉन के लिए,संवेग $p$ को $E = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है।
अतः,$p = \sqrt{2mE}$।
प्रोटॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ है।
ऊर्जा $E$ वाले फोटॉन के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ को $E = \frac{hc}{\lambda_2}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$।
दोनों तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$।
इसलिए,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^{1/2}$।
इसकी तुलना $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto E^n$ से करने पर,हमें $n = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) $\text{फोटॉन का संवेग } p \text{ ज्ञात करने का सूत्र } p = \frac{h}{\lambda} \text{ है।}
\text{यहाँ } h = 6.63 \times 10^{-34} \,Js \text{ और } \lambda = 3 \,nm = 3 \times 10^{-9} \,m \text{ दिया गया है।}
\text{अतः, } p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3 \times 10^{-9}} = 2.21 \times 10^{-25} \,kg \,m/s.
\text{फोटॉन की ऊर्जा } E \text{ ज्ञात करने का सूत्र } E = \frac{hc}{\lambda} = pc \text{ है।}
\text{अतः, } E = (2.21 \times 10^{-25} \,kg \,m/s) \times (3 \times 10^8 \,m/s) = 6.63 \times 10^{-17} \,J.$

(C) $E$ गतिज ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,संवेग $p$ इस प्रकार है: $E = \frac{p^2}{2m}$,जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mE}$।
इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda_e = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ होती है।
फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E$ और तरंगदैर्घ्य $\lambda_p$ के बीच संबंध $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ है,जिसका अर्थ है $\lambda_p = \frac{hc}{E}$।
तरंगदैर्घ्य का अनुपात $\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \times \frac{E}{hc} = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{E}{2m}}$ है।

(A) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} = \frac{1.228}{\sqrt{V}} \text{ nm}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = \lambda$ है जब विभव $V_1 = V$ है।
मान लीजिए कि नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2$ है जब विभव $V_2 = 4V$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V}{4V}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{2}$.
इस प्रकार,तरंगदैर्ध्य अपने मूल मान की आधी हो जाती है।

(B) उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दी जाती है:
$(KE)_{\max} = h\nu - \phi = 4.2 \text{ eV} - 2.4 \text{ eV} = 1.8 \text{ eV}$.
उत्सर्जन तब रुक जाता है जब गोले का विभव $V$ ऐसे मान तक पहुँच जाता है कि इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा उसकी अधिकतम गतिज ऊर्जा के बराबर हो जाती है:
$eV = (KE)_{\max} \implies V = 1.8 \text{ V}$.
$r$ त्रिज्या वाले धात्विक गोले का विभव $V = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $1.8 = (9 \times 10^9) \times \frac{q}{0.1}$.
आवेश $q$ के लिए हल करने पर: $q = \frac{1.8 \times 0.1}{9 \times 10^9} = 2 \times 10^{-11} \text{ C}$.
उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = \frac{q}{e} = \frac{2 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.25 \times 10^8$.

(C) एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
यदि $t$ समय में $n$ फोटॉन उत्सर्जित होते हैं,तो कुल उत्सर्जित ऊर्जा $E_{total} = n \times \frac{hc}{\lambda}$ होगी।
शक्ति $P$ को प्रति इकाई समय में उत्सर्जित कुल ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $P = \frac{E_{total}}{t} = \frac{nhc}{\lambda t}$।
$n$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $n = \frac{P \lambda t}{hc}$ प्राप्त होता है।

(C) प्रारंभिक आवृत्ति $v = 2v_0$ है,जहाँ $v_0$ देहली आवृत्ति है।
जब आपतित आवृत्ति को $\left(\frac{1}{3}\right)$ गुना किया जाता है,तो नई आवृत्ति $v' = \frac{1}{3} \times 2v_0 = \frac{2}{3}v_0$ हो जाती है।
चूंकि $v' < v_0$,आपतित प्रकाश की आवृत्ति अब प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन के लिए आवश्यक देहली आवृत्ति से कम है।
प्रकाश-विद्युत प्रभाव के नियमों के अनुसार,यदि आपतित आवृत्ति देहली आवृत्ति से कम है,तो प्रकाश की तीव्रता चाहे कितनी भी हो,कोई भी प्रकाश-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होते हैं।
इसलिए,प्रकाश-विद्युत धारा शून्य होगी।

(D) निरोधी विभव $(V_0)$ उत्सर्जित प्रकाशिक इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा द्वारा निर्धारित होता है, जिसे आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण द्वारा दिया जाता है: $K_{max} = h\nu - \Phi = eV_0$
यहाँ, $h$ प्लांक नियतांक है, $\nu$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है, $\Phi$ सतह का कार्य फलन है, और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
चूंकि निरोधी विभव केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति और पदार्थ की प्रकृति (कार्य फलन) पर निर्भर करता है, इसलिए यह आपतित विकिरण की तीव्रता से स्वतंत्र है।
अतः, आपतित विकिरण की तीव्रता बढ़ाने से निरोधी विभव में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{max}$ इस प्रकार दी जाती है:
$(K.E.)_{max} = h v - h v_0$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
आवृत्तियों $v_1$ और $v_2$ के लिए,हमारे पास है:
$(K.E.)_1 = h v_1 - h v_0$ ....$(1)$
$(K.E.)_2 = h v_2 - h v_0$ ....$(2)$
दिया गया है कि अधिकतम गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{1}{K}$ है।
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{K} = \frac{h v_1 - h v_0}{h v_2 - h v_0} = \frac{v_1 - v_0}{v_2 - v_0}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$v_2 - v_0 = K(v_1 - v_0)$
$v_2 - v_0 = K v_1 - K v_0$
$K v_0 - v_0 = K v_1 - v_2$
$v_0(K - 1) = K v_1 - v_2$
$v_0 = \frac{K v_1 - v_2}{K - 1}$

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E.)_{max}$ इस प्रकार है:
$(K.E.)_{max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0$,जहाँ $W_0$ कार्य फलन (work function) है।
प्रथम स्थिति के लिए:
$(K.E.)_1 = \frac{1}{2}mV^2 = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ ... $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{2\lambda}{3}$ लेने पर:
$(K.E.)_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{hc}{\lambda'} - W_0 = \frac{hc}{(2\lambda/3)} - W_0 = \frac{3}{2}\frac{hc}{\lambda} - W_0$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ से,$\frac{hc}{\lambda} = \frac{1}{2}mV^2 + W_0$. इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2 + W_0) - W_0$
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2) + \frac{3}{2}W_0 - W_0$
$(K.E.)_2 = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2) + \frac{1}{2}W_0$
चूंकि $W_0 > 0$,इसलिए $(K.E.)_2 > \frac{3}{2}(K.E.)_1$ होगा।
$\frac{1}{2}mv_2^2 > \frac{3}{2}(\frac{1}{2}mV^2)$
$v_2^2 > 1.5 V^2$
$v_2 > \sqrt{1.5} V = (1.5)^{1/2} V$.

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = 10 eV$ है।
देहली आवृत्ति $\nu_0 = 2 \times 10^{15} Hz$ है।
कार्य फलन $W_0$ का सूत्र $W_0 = h\nu_0$ है।
मान रखने पर: $W_0 = (6.63 \times 10^{-34} Js) \times (2 \times 10^{15} Hz) = 13.26 \times 10^{-19} J$.
इसे $eV$ में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} C)$ से विभाजित करें:
$W_0 = \frac{13.26 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} eV \approx 8.2875 eV \approx 8.3 eV$.
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - W_0$ है।
$K_{max} = 10 eV - 8.3 eV = 1.7 eV$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max}$ इस प्रकार है:
$K_{\max} = E - \phi$
जहाँ $E = \frac{hc}{\lambda}$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} mv_{\max}^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2} mv_{\max}^2 = \frac{hc - \phi \lambda}{\lambda}$
दोनों पक्षों को $\frac{2}{m}$ से गुणा करने पर:
$v_{\max}^2 = \frac{2(hc - \phi \lambda)}{m \lambda}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2(hc - \phi \lambda)}{m \lambda}}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ फोटॉन की आवृत्ति है।
जब एक फोटॉन एक माध्यम से दूसरे माध्यम में यात्रा करता है,तो उसकी आवृत्ति $\nu$ स्थिर रहती है क्योंकि यह प्रकाश के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है।
चूंकि आवृत्ति नहीं बदलती है,इसलिए फोटॉन की ऊर्जा $E$ भी अपरिवर्तित रहती है।
इसके विपरीत,जब फोटॉन हवा से कांच जैसे सघन माध्यम में प्रवेश करता है तो उसका वेग,तरंगदैर्ध्य और संवेग बदल जाते हैं।