MHT CET 2008 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया वक्र $y^2=2(x-3)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{1}{y}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -y$ है।
दी गई रेखा $y - 2x + 1 = 0$ है,जिसे $y = 2x - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $2$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए,अतः $-y = 2$,जिससे $y = -2$ प्राप्त होता है।
$y = -2$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $(-2)^2 = 2(x - 3) \Rightarrow 4 = 2(x - 3) \Rightarrow 2 = x - 3 \Rightarrow x = 5$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(5, -2)$ है।

(A) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$ है। यहाँ,$a^{2}=3$ और $b^{2}=2$ है।
$y-x+5=0$ के समांतर स्पर्श रेखा का समीकरण $y=x+c$ के रूप में होगा।
$y=mx+c$ से तुलना करने पर,हमें $m=1$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ है।
मान रखने पर,$c^{2}=3(1)^{2}-2 = 3-2 = 1$।
अतः,$c=\pm 1$।
स्पर्श रेखाओं के समीकरण $y=x+1$ या $y=x-1$ हैं,जिन्हें $x-y+1=0$ या $x-y-1=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$x-y-1=0$ सही विकल्प है।

(C) माना व्यास का दूसरा सिरा $(t, 3-t)$ है क्योंकि यह रेखा $x+y=3$ पर स्थित है।
माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
केंद्र,$(1, 1)$ और $(t, 3-t)$ सिरों वाले व्यास का मध्यबिंदु है।
अतः,$h = \frac{1+t}{2}$ और $k = \frac{1+3-t}{2} = \frac{4-t}{2}$ है।
इन समीकरणों से,$t = 2h-1$ और $t = 4-2k$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$2h-1 = 4-2k$
$2h+2k = 5$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदुपथ $2x+2y=5$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=13$ दिया गया है।
चूंकि बिंदुओं का भुज $x=2$ है,इसे वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$2^{2}+y^{2}=13$
$4+y^{2}=13$
$y^{2}=9$
$y=\pm 3$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(2, 3)$ और $(2, -3)$ हैं।
वृत्त $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$ होता है।
बिंदु $(2, 3)$ के लिए: $2x+3y=13$।
बिंदु $(2, -3)$ के लिए: $2x-3y=13$।
अतः,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $2x+3y=13$ और $2x-3y=13$ हैं।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के किसी भी अभिलंब का समीकरण $ax \sec \phi - by \operatorname{cosec} \phi = a^{2} - b^{2}$ होता है।
दी गई रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a \sec \phi}{\cos \alpha} = \frac{-b \operatorname{cosec} \phi}{\sin \alpha} = \frac{a^{2} - b^{2}}{p}$
$\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,परिणाम $p^{2} (a^{2} \sec^{2} \alpha + b^{2} \operatorname{cosec}^{2} \alpha) = (a^{2} - b^{2})^{2}$ प्राप्त होता है।

(C) हमें $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x - \sin x}{x + \cos^{2} x}}$ का मूल्यांकन करना है।
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$= \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sin x}{x}}{1 + \frac{\cos^{2} x}{x}}}$
चूंकि $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$ और $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\cos^{2} x}{x} = 0$ (क्योंकि $\sin x$ और $\cos^{2} x$ परिबद्ध फलन हैं):
$= \sqrt{\frac{1 - 0}{1 + 0}}$
$= \sqrt{1} = 1$

(B) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos C - \cos D = -2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos ax - \cos bx}{x^{2}} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin \left( \frac{ax+bx}{2} \right) \sin \left( \frac{ax-bx}{2} \right)}{x^{2}}$
$= -2 \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin \left( \frac{a+b}{2} x \right)}{x} \right) \left( \frac{\sin \left( \frac{a-b}{2} x \right)}{x} \right)$
मानक सीमा $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin k\theta}{\theta} = k$ का उपयोग करने पर:
$= -2 \left( \frac{a+b}{2} \right) \left( \frac{a-b}{2} \right) = -2 \left( \frac{a^{2} - b^{2}}{4} \right) = \frac{b^{2} - a^{2}}{2}$

(C) दी गई असमिका प्रणाली $x \geq 0$,$y \geq 0$,$y \leq 6$,और $x+y \leq 3$ है।
$1$. शर्तें $x \geq 0$ और $y \geq 0$ क्षेत्र को प्रथम चतुर्थांश तक सीमित करती हैं।
$2$. रेखा $x+y = 3$,$(3, 0)$ और $(0, 3)$ से होकर गुजरती है। असमिका $x+y \leq 3$ इस रेखा पर या इसके नीचे के क्षेत्र को दर्शाती है।
$3$. शर्त $y \leq 6$ प्रथम चतुर्थांश में $x+y \leq 3$ द्वारा परिभाषित क्षेत्र द्वारा संतुष्ट होती है,क्योंकि इस क्षेत्र में $y$ का अधिकतम मान $3$ है।
$4$. चूंकि यह क्षेत्र अक्षों और रेखा $x+y=3$ द्वारा घिरा हुआ है,इसलिए यह प्रथम चतुर्थांश में एक परिबद्ध (bounded) क्षेत्र है।

(D) दिए गए परिपथ में,ऊपरी शाखा में $\sim p$ और $q$ स्विच श्रेणीक्रम (series) में जुड़े हैं। इस शाखा के लिए बूलियन व्यंजक $(\sim p \wedge q)$ है।
निचली शाखा में $p$ और $\sim q$ स्विच श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। इस शाखा के लिए बूलियन व्यंजक $(p \wedge \sim q)$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर (parallel) जुड़ी हुई हैं,इसलिए परिपथ के लिए कुल बूलियन बहुपद दोनों व्यंजकों का वियोजन (disjunction) होगा:
$(\sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)$.

(B) मान लीजिए $p$ कथन है: "वर्षा होती है".
मान लीजिए $q$ कथन है: "मैं स्कूल जाऊँगा".
दिया गया प्रतिबंधात्मक कथन $p \Rightarrow q$ है.
एक प्रतिबंधात्मक कथन $p \Rightarrow q$ का निषेध $\sim(p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है.
यहाँ,$p \wedge \sim q$ का अर्थ है: "वर्षा होती है और मैं स्कूल नहीं जाऊँगा".
अतः,सही विकल्प $B$ है.

(A) बूलियन व्यंजक का द्वैत ज्ञात करने के लिए,हम $\vee$ को $\wedge$ से,$\wedge$ को $\vee$ से,$0$ को $1$ से और $1$ को $0$ से बदलते हैं।
दिए गए व्यंजक $\left(x^{\prime} \vee y^{\prime}\right) = x \wedge y$ के लिए,हम ऑपरेटरों को बदलते हैं:
$\vee$,$\wedge$ बन जाता है
$\wedge$,$\vee$ बन जाता है
अतः,द्वैत $\left(x^{\prime} \wedge y^{\prime}\right) = x \vee y$ है।

(C) सरल रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $Ax^{2}+2Hxy+By^{2}+2Gx+2Fy+C=0$ होता है। \\ रेखाओं के युग्म के परस्पर लंब होने के लिए,$x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए। \\ अर्थात,$A+B=0$। \\ दिए गए समीकरण $12x^{2}+7xy+ay^{2}+13x-y+3=0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $A=12$ और $B=a$ प्राप्त होता है। \\ इन मानों को $A+B=0$ में प्रतिस्थापित करने पर,$12+a=0$ प्राप्त होता है। \\ अतः,$a=-12$।

(B) दिया गया परवलय $y^{2}=16x$ है। $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=16$,अतः $a=4$ प्राप्त होता है।
माना परवलय पर बिंदु $(h, k)$ है।
दिया गया है कि कोटि,भुज की दोगुनी है,इसलिए $k=2h$ है।
परवलय के समीकरण में $k=2h$ रखने पर: $(2h)^{2}=16h$ $\Rightarrow 4h^{2}=16h$ $\Rightarrow 4h(h-4)=0$।
अतः,$h=0$ या $h=4$।
$h=0$ के लिए,$k=0$। $h=4$ के लिए,$k=8$।
बिंदु $(0,0)$ शीर्ष है,जहाँ नाभीय दूरी $a=4$ है।
बिंदु $(4,8)$ परवलय पर है,जहाँ नाभीय दूरी $h+a = 4+4 = 8$ है।
चूंकि प्रश्न में एक बिंदु की नाभीय दूरी पूछी गई है,इसलिए सही उत्तर $8$ है।

(A) दिया गया परवलय $y^{2}=8x$ है,इसलिए $4a=8 \Rightarrow a=2$ है।
परवलय की कोई भी स्पर्श रेखा $y=mx+\frac{a}{m}$ के रूप में होती है,जो $y=mx+\frac{2}{m}$ या $mx-y+\frac{2}{m}=0$ है।
यदि यह रेखा वृत्त $x^{2}+y^{2}=2$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{2}$) की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(0)-(0)+\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}$
$\frac{2}{|m|\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4}{m^{2}(m^{2}+1)}=2 \Rightarrow m^{2}(m^{2}+1)=2$
$m^{4}+m^{2}-2=0$
$(m^{2}+2)(m^{2}-1)=0$
चूंकि $m$ वास्तविक है,इसलिए $m^{2}=1 \Rightarrow m=\pm 1$।
$m=1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y=x+2$ है।
$m=-1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y=-x-2$ है।

(A) मान लीजिए $P(A)$ भौतिकी में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता है और $P(B)$ गणित में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता है।
दिया गया है $P(A) = \frac{20}{100} = 0.2$ और $P(B) = \frac{10}{100} = 0.1$।
यह मानते हुए कि घटनाएं स्वतंत्र हैं,कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.2 \times 0.1 = 0.02$।
अतः,$P(A \cup B) = 0.2 + 0.1 - 0.02 = 0.28$।
प्रतिशत में बदलने पर,$0.28 \times 100 = 28 \%$।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ है।
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-6x-9$।
चूँकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल शून्य होनी चाहिए:
$\frac{dy}{dx} = 0$।
अवकलन का मान रखने पर:
$3x^{2}-6x-9 = 0$।
$3$ से भाग देने पर:
$x^{2}-2x-3 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-3)(x+1) = 0$।
अतः,$x$ के मान (भुज) $x=3$ और $x=-1$ हैं।

(C) दिए गए वक्र $r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ और $r_2 = 2 \sin \theta$ हैं।
प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए,$r_1 = r_2$ रखें:
$\sin \theta + \cos \theta = 2 \sin \theta \Rightarrow \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.
$r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ के लिए,$\frac{dr_1}{d\theta} = \cos \theta - \sin \theta$। मान लीजिए $\phi_1$ स्पर्शरेखा और त्रिज्या सदिश के बीच का कोण है,तो $\tan \phi_1 = \frac{r_1}{dr_1/d\theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta}$।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan \phi_1 = \frac{1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2} - 1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{0} = \infty \Rightarrow \phi_1 = \frac{\pi}{2}$।
$r_2 = 2 \sin \theta$ के लिए,$\frac{dr_2}{d\theta} = 2 \cos \theta$। तब $\tan \phi_2 = \frac{r_2}{dr_2/d\theta} = \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} = \tan \theta$।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\tan \phi_2 = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \Rightarrow \phi_2 = \frac{\pi}{4}$।
प्रतिच्छेदन का कोण $\psi = |\phi_1 - \phi_2| = |\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}| = \frac{\pi}{4}$।

(B) माना $f(x) = x^{3} - 12x^{2} + 36x + 17$.
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^{2} - 24x + 36$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $3(x^{2} - 8x + 12) = 0 \Rightarrow 3(x - 2)(x - 6) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 6$ हैं।
क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के अंतिम बिंदुओं $[1, 10]$ पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(1) = (1)^{3} - 12(1)^{2} + 36(1) + 17 = 1 - 12 + 36 + 17 = 42$.
$f(2) = (2)^{3} - 12(2)^{2} + 36(2) + 17 = 8 - 48 + 72 + 17 = 49$.
$f(6) = (6)^{3} - 12(6)^{2} + 36(6) + 17 = 216 - 432 + 216 + 17 = 17$.
$f(10) = (10)^{3} - 12(10)^{2} + 36(10) + 17 = 1000 - 1200 + 360 + 17 = 177$.
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $177$ प्राप्त होता है।

(A) अभीष्ट क्षेत्रफल $x=-1$ से $x=2$ तक $|y|$ के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।
चूँकि $y=x$,इसलिए $|y|=|x|$ है।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{2} |x| dx$
$= \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$
$= \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx$
$= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$= (0 - (-1/2)) + (4/2 - 0)$
$= 1/2 + 2 = 5/2$ वर्ग इकाई।

(C) वक्र $y=x^{2}$ (या $x=\sqrt{y}$) और $x=y^{2}$ हैं।
वे $(0,0)$ और $(1,1)$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$y$-अक्ष के परितः घुमाने पर,आयतन $V$ का सूत्र $V = \pi \int_{a}^{b} (x_{outer}^{2} - x_{inner}^{2}) dy$ है।
यहाँ,$y \in [0,1]$ के लिए,बाहरी वक्र $x = \sqrt{y}$ है और आंतरिक वक्र $x = y^{2}$ है।
अतः,$V = \pi \int_{0}^{1} ((\sqrt{y})^{2} - (y^{2})^{2}) dy$
$V = \pi \int_{0}^{1} (y - y^{4}) dy$
$V = \pi \left[ \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{5}}{5} \right]_{0}^{1}$
$V = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5-2}{10} \right) = \frac{3}{10} \pi$.

(C) यदि फलन $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,तो शर्त $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ का पालन होना चाहिए।
दिया गया है कि $f(0) = k$ है।
अब,सीमा (limit) की गणना करते हैं: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$।
हम जानते हैं कि सभी $x \neq 0$ के लिए,$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ होता है।
$x$ से गुणा करने पर ($x > 0$ के लिए),हमें $-x \leq x \sin \frac{1}{x} \leq x$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,जैसे-जैसे $x \to 0$ होता है,$-x$ और $x$ दोनों $0$ की ओर अग्रसर होते हैं।
इसलिए,$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$ है।
अतः,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होने के कारण,$k = 0$ प्राप्त होता है।

(C) हम मानक परिणाम $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हैं।
माना $f(x) = \log \sin x$.
तब $f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ होता है।
अतः,समाकलन $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} e^x (f(x) + f'(x)) dx = [e^x f(x)]_{\pi / 4}^{\pi / 2}$ हो जाता है।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$= [e^x \log \sin x]_{\pi / 4}^{\pi / 2} = e^{\pi / 2} \log \sin(\pi / 2) - e^{\pi / 4} \log \sin(\pi / 4)$.
चूंकि $\sin(\pi / 2) = 1$ और $\log(1) = 0$ है,इसलिए पहला पद $0$ हो जाता है।
$= 0 - e^{\pi / 4} \log(1 / \sqrt{2}) = -e^{\pi / 4} \log(2^{-1/2})$.
$= -e^{\pi / 4} \cdot (-1/2) \log 2 = \frac{1}{2} e^{\pi / 4} \log 2$.

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} x \sin^{3} x \, dx$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin^{3}(\pi - x) \, dx = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin^{3} x \, dx$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi} (x + \pi - x) \sin^{3} x \, dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^{3} x \, dx$
$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^{3} x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^{3} x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$.
$2I = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\pi} (3 \sin x - \sin 3x) \, dx$
$2I = \frac{\pi}{4} \left[ -3 \cos x + \frac{\cos 3x}{3} \right]_{0}^{\pi}$
$2I = \frac{\pi}{4} \left[ (-3(-1) + \frac{-1}{3}) - (-3(1) + \frac{1}{3}) \right]$
$2I = \frac{\pi}{4} \left[ (3 - \frac{1}{3}) - (-3 + \frac{1}{3}) \right] = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \right] = \frac{\pi}{4} \times \frac{16}{3} = \frac{4 \pi}{3}$
$I = \frac{2 \pi}{3}$

(A) दिए गए समाकलन $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x}$ के लिए $n=4$ उप-अंतराल हैं।
स्टेप साइज $h = \frac{b-a}{n} = \frac{2-1}{4} = 0.25$ है।
$x_i$ के मान $x_0=1, x_1=1.25, x_2=1.5, x_3=1.75, x_4=2$ हैं।
$y_i = \frac{1}{x_i}$ के संगत मान:
$y_0 = \frac{1}{1} = 1$
$y_1 = \frac{1}{1.25} = 0.8$
$y_2 = \frac{1}{1.5} = 0.6667$
$y_3 = \frac{1}{1.75} = 0.5714$
$y_4 = \frac{1}{2} = 0.5$
सिम्पसन के $\frac{1}{3}$ नियम का उपयोग करते हुए: $\int_{a}^{b} y dx \approx \frac{h}{3} [y_0 + y_n + 4(y_1 + y_3 + \dots) + 2(y_2 + y_4 + \dots)]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [y_0 + y_4 + 4(y_1 + y_3) + 2(y_2)]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [1 + 0.5 + 4(0.8 + 0.5714) + 2(0.6667)]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 4(1.3714) + 1.3334]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 5.4856 + 1.3334] = \frac{0.25}{3} [8.319] = 0.69325 \approx 0.6932$.

(C) यहाँ $f(x) = \frac{1}{1+x}$,अंतराल $[0, 1]$,और उप-अंतरालों की संख्या $n = 4$ है।
प्रत्येक उप-अंतराल की चौड़ाई $h = \frac{b-a}{n} = \frac{1-0}{4} = 0.25$ है।

$i$	$x_i$	$y_i = \frac{1}{1+x_i}$
$0$	$0$	$1$
$1$	$0.25$	$0.8$
$2$	$0.5$	$0.6667$
$3$	$0.75$	$0.5714$
$4$	$1$	$0.5$

ट्रेपेज़ॉइडल नियम का उपयोग करते हुए:
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx \frac{h}{2} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + y_3) + y_4]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx \frac{0.25}{2} [1 + 2(0.8 + 0.6667 + 0.5714) + 0.5]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx 0.125 [1 + 2(2.0381) + 0.5]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx 0.125 [1 + 4.0762 + 0.5]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx 0.125 [5.5762] = 0.697025 \approx 0.6977$ (दिए गए विकल्पों के अनुसार राउंडिंग करने पर)।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4 \frac{dy}{dx} - 7x = 0$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें वर्गमूल के चिह्न को हटाना होगा।
समीकरण को $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4 \frac{dy}{dx} + 7x$ के रूप में लिखें।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\frac{dy}{dx}) = (4 \frac{dy}{dx} + 7x)^2$.
$(\frac{dy}{dx}) = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 49x^2 + 56x \frac{dy}{dx}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$16(\frac{dy}{dx})^2 + (56x - 1)\frac{dy}{dx} + 49x^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
उच्चतम अवकलज की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि $1$ और घात $2$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{3x^2v + x^2v^2}{x^2 + x^2v} = -\frac{3v + v^2}{1 + v}$।
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v + v^2}{1 + v} - v = -\frac{3v + v^2 + v + v^2}{1 + v} = -\frac{2v^2 + 4v}{1 + v} = -\frac{2v(v + 2)}{v + 1}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} dv = -\frac{2}{x} dx$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2} \Rightarrow v + 1 = A(v + 2) + Bv$।
$v = 0$ के लिए,$A = 1/2$ और $v = -2$ के लिए,$B = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int (\frac{1}{2v} + \frac{1}{2(v + 2)}) dv = -\int \frac{2}{x} dx$।
$\frac{1}{2} \ln|v| + \frac{1}{2} \ln|v + 2| = -2 \ln|x| + C'$।
$\ln|v(v + 2)x^4| = C'' \Rightarrow v(v + 2)x^4 = c^2$।
$v = y/x$ रखने पर: $\frac{y}{x}(\frac{y}{x} + 2)x^4 = c^2 \Rightarrow y(y + 2x)x^2 = c^2 \Rightarrow x^2(y^2 + 2xy) = c^2$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y+3}{2(x-y)+5}$ है।
माना $v = x-y$। तब $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{v+3}{2v+5}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{v+3}{2v+5} = \frac{2v+5-v-3}{2v+5} = \frac{v+2}{2v+5}$।
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{2v+5}{v+2} dv = \int dx$।
समाकल्य को फिर से लिखने पर: $\int \left( \frac{2(v+2) + 1}{v+2} \right) dv = \int dx$।
यह $\int (2 + \frac{1}{v+2}) dv = \int dx$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $2v + \log|v+2| = x + c$।
$v = x-y$ वापस रखने पर: $2(x-y) + \log|x-y+2| = x + c$।

(A) दिया गया समीकरण $x^{3}+y^{3}-3 a x y=0$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x}(x^{3}) + \frac{d}{d x}(y^{3}) - 3 a \frac{d}{d x}(x y) = 0$
$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d y}{d x} - 3 a \left( x \frac{d y}{d x} + y \right) = 0$
$3$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} + y^{2} \frac{d y}{d x} - a x \frac{d y}{d x} - a y = 0$
$\frac{d y}{d x}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$\frac{d y}{d x} (y^{2} - a x) = a y - x^{2}$
अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{a y - x^{2}}{y^{2} - a x}$.

(C) दिया गया है,$v = \frac{ds}{dt} = 6t - \frac{t^2}{6}$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$s = \int (6t - \frac{t^2}{6}) dt = 3t^2 - \frac{t^3}{18} + C$.
दिया गया है कि $t = 0$ पर $s = 0$ है,इसलिए स्थिरांक $C$ ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{18} + C \implies C = 0$.
अतः,विस्थापन फलन $s(t) = 3t^2 - \frac{t^3}{18}$ है।
$3 \ s$ में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $s(3)$ की गणना करते हैं:
$s(3) = 3(3)^2 - \frac{(3)^3}{18} = 3(9) - \frac{27}{18} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54 - 3}{2} = \frac{51}{2}$.

(B) दिया गया है,$x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ और $y=\frac{2 a t}{1+t^{2}}$.
$x$ और $y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{(1+t^{2})(-2t) - (1-t^{2})(2t)}{(1+t^{2})^{2}} = \frac{-2t - 2t^{3} - 2t + 2t^{3}}{(1+t^{2})^{2}} = \frac{-4t}{(1+t^{2})^{2}}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{(1+t^{2})(2a) - (2at)(2t)}{(1+t^{2})^{2}} = \frac{2a + 2at^{2} - 4at^{2}}{(1+t^{2})^{2}} = \frac{2a(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}} \times \frac{(1+t^{2})^{2}}{-4t}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2a(1-t^{2})}{-4t} = \frac{a(1-t^{2})}{-2t} = \frac{a(t^{2}-1)}{2t}$.

(A) दिया गया है,$y=x^{n} \log x+x(\log x)^{n}$।
दोनों पदों पर गुणन नियम $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ लागू करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^n \log x) + \frac{d}{dx}(x(\log x)^n)$
$= (x^n \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot nx^{n-1}) + (x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} + (\log x)^n \cdot 1)$
$= (x^{n-1} + nx^{n-1} \log x) + (n(\log x)^{n-1} + (\log x)^n)$
$= x^{n-1}(1 + n \log x) + (\log x)^{n-1}(n + \log x)$।

(A) दिया गया है,$y = \log_{10} x + \log_{x} 10 + \log_{x} x + \log_{10} 10$।
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a} b = \frac{\log_{e} b}{\log_{e} a}$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$y = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} 10} + \frac{\log_{e} 10}{\log_{e} x} + 1 + 1$।
$y = \frac{1}{\log_{e} 10} \cdot \log_{e} x + \log_{e} 10 \cdot (\log_{e} x)^{-1} + 2$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_{e} 10} \cdot \frac{d}{dx}(\log_{e} x) + \log_{e} 10 \cdot \frac{d}{dx}((\log_{e} x)^{-1}) + 0$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_{e} 10} \cdot \frac{1}{x} + \log_{e} 10 \cdot (-1)(\log_{e} x)^{-2} \cdot \frac{1}{x}$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_{e} 10} - \frac{\log_{e} 10}{x(\log_{e} x)^{2}}$।

(A) हम जानते हैं कि $\Delta \log f(x) = \log f(x+h) - \log f(x) = \log \left[\frac{f(x+h)}{f(x)}\right]$.
चूंकि $f(x+h) = (1 + \Delta) f(x)$,इसलिए $\Delta \log f(x) = \log \left[\frac{(1 + \Delta) f(x)}{f(x)}\right] = \log \left[1 + \frac{\Delta f(x)}{f(x)}\right]$.
दूसरे पद के लिए,$\Delta^{2}(3^{x}) = (E - 1)^{2} 3^{x} = (E^{2} - 2E + 1) 3^{x}$.
$= E^{2}(3^{x}) - 2E(3^{x}) + 3^{x} = 3^{x+2} - 2 \cdot 3^{x+1} + 3^{x}$.
$= 3^{x}(9 - 6 + 1) = 4 \cdot 3^{x}$.
दोनों पदों को जोड़ने पर,परिणाम $\log \left[1 + \frac{\Delta f(x)}{f(x)}\right] + 4 \cdot 3^{x}$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास $I = \int x \sin x \sec ^{3} x \, dx = \int x \tan x \sec ^{2} x \, dx$ है।
माना $u = x$ और $dv = \tan x \sec ^{2} x \, dx$ है।
तब $du = dx$ और $v = \int \tan x \sec ^{2} x \, dx = \frac{\tan ^{2} x}{2}$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$:
$I = x \cdot \frac{\tan ^{2} x}{2} - \int \frac{\tan ^{2} x}{2} \, dx$
$I = \frac{x \tan ^{2} x}{2} - \frac{1}{2} \int (\sec ^{2} x - 1) \, dx$
$I = \frac{x(\sec ^{2} x - 1)}{2} - \frac{1}{2} (\tan x - x) + c$
$I = \frac{x \sec ^{2} x}{2} - \frac{x}{2} - \frac{\tan x}{2} + \frac{x}{2} + c$
$I = \frac{1}{2} [x \sec ^{2} x - \tan x] + c$.

(C) माना $I = \int \frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^{e}+e^{x}} d x$ है।
$t = x^{e}+e^{x}$ प्रतिस्थापित करें।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = (e x^{e-1} + e^{x-1} \cdot \ln(e)) dx$ प्राप्त होता है। चूंकि $\ln(e) = 1$,इसलिए $dt = e(x^{e-1} + e^{x-1}) dx$ होता है।
अतः,$(x^{e-1} + e^{x-1}) dx = \frac{1}{e} dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{e} dt = \frac{1}{e} \int \frac{1}{t} dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{e} \log|t| + c$ प्राप्त होता है।
$t = x^{e}+e^{x}$ का मान वापस रखने पर,$I = \frac{1}{e} \log(x^{e}+e^{x}) + c$ प्राप्त होता है।

(A) प्रतिबंध $5x_{1} + 10x_{2} \geq 0$,$x_{1} + x_{2} \leq 1$,$x_{2} \leq 4$,और $x_{1}, x_{2} \geq 0$ हैं।
चूंकि $x_{1}, x_{2} \geq 0$,प्रतिबंध $5x_{1} + 10x_{2} \geq 0$ प्रथम चतुर्थांश में हमेशा संतुष्ट होता है।
सुसंगत क्षेत्र $x_{1} + x_{2} \leq 1$ और $x_{1}, x_{2} \geq 0$ के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित है।
यह क्षेत्र $(0, 0)$,$(1, 0)$,और $(0, 1)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज है।
चूंकि सुसंगत क्षेत्र एक बंद और परिबद्ध बहुभुज है,इसलिए $LPP$ का एक परिबद्ध हल है।

(B) व्यापारी चावल पर $Rs \ 40$ प्रति क्विंटल और गेहूं पर $Rs \ 25$ प्रति क्विंटल का लाभ कमाता है।
यह दिया गया है कि वह $x$ क्विंटल चावल और $y$ क्विंटल गेहूं का भंडारण करता है।
कुल लाभ $Z$ चावल और गेहूं से प्राप्त लाभ का योग है।
इसलिए,उद्देश्य फलन $Z = 40x + 25y$ है।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$
आव्यूहों का गुणा करने पर,हमें रैखिक समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:
$x + z = 1$ $(i)$
$-x + y = 1$ $(ii)$
$-y + z = 2$ $(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(-x + y) + (-y + z) = 1 + 2$
$-x + z = 3$ $(iv)$
अब,$(i)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर:
$(x + z) + (-x + z) = 1 + 3$
$2z = 4 \Rightarrow z = 2$
$z = 2$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$
$x = -1$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-(-1) + y = 1 \Rightarrow 1 + y = 1 \Rightarrow y = 0$
अतः,हल $(x, y, z) = (-1, 0, 2)$ है।

(A) माना $A = \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right]$.
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम आव्यूह का अस्तित्व है।
अब,हम सहखंड आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = +(2-3) = -1, C_{12} = -(1-9) = 8, C_{13} = +(1-6) = -5$.
$C_{21} = -(1-2) = 1, C_{22} = +(0-6) = -6, C_{23} = -(0-3) = 3$.
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(0-2) = 2, C_{33} = +(0-1) = -1$.
अतः,$\operatorname{adj}(A) = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right]$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{-2} \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$.

(C) मान लीजिए कि दो बच्चों के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ है,जहाँ $B$ का अर्थ लड़का और $G$ का अर्थ लड़की है। प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $1/4$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि कम से कम एक बच्चा लड़का है। तब $A = \{BB, BG, GB\}$,इसलिए $P(A) = 3/4$.
मान लीजिए $B$ वह घटना है कि दोनों बच्चे लड़के हैं। तब $B = \{BB\}$.
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A)$ ज्ञात करनी है,जो यह है कि कम से कम एक लड़का होने पर दोनों के लड़का होने की प्रायिकता क्या है।
$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$.
चूँकि $B \subset A$,इसलिए $B \cap A = B = \{BB\}$,अतः $P(B \cap A) = 1/4$.
इसलिए,$P(B|A) = \frac{1/4}{3/4} = 1/3$.

(B) दिया गया है,$E = \{x \text{ एक अभाज्य संख्या है}\} = \{2, 3, 5, 7\}$.
$P(E) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
दिया गया है,$F = \{x < 4\} = \{1, 2, 3\}$.
$P(F) = P(1) + P(2) + P(3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
सर्वनिष्ठ घटना $E \cap F = \{x \text{ अभाज्य है और } x < 4\} = \{2, 3\}$.
$P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
सूत्र $P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$ का उपयोग करने पर:
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(C) स्थिति सदिश $\vec{A} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{B} = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{C} = \hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}$ हैं।
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (3-2)\hat{i} + (-2-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (1-3)\hat{i} + (4-(-2))\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+36+16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (1-2)\hat{i} + (4-1)\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
चूंकि $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) + (-\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) = 0$,इसलिए $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AC}$ है,जिसका अर्थ है कि सदिश समानांतर हैं और बिंदु $A, B, C$ एक ही रेखा पर स्थित हैं।
अतः,बिंदु संरेख हैं।

(C) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $a, b, c$ हैं। चूँकि रेखा दोनों समतलों में स्थित है,यह दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत है। अतः,$3a + 2b + c = 0$ और $a + b - 2c = 0$।
क्रॉस प्रोडक्ट विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{a}{(2)(-2) - (1)(1)} = \frac{b}{(1)(1) - (3)(-2)} = \frac{c}{(3)(1) - (2)(1)}$
$\frac{a}{-5} = \frac{b}{7} = \frac{c}{1}$।
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए समतल समीकरणों में $z = 0$ रखते हैं:
$3x + 2y = 5$ और $x + y = 3$।
इन्हें हल करने पर,दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर: $2x + 2y = 6$।
पहले समीकरण से घटाने पर: $(3x - 2x) = 5 - 6 \Rightarrow x = -1$।
$x = -1$ को $x + y = 3$ में रखने पर,हमें $-1 + y = 3 \Rightarrow y = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(-1, 4, 0)$ है।
सममित समीकरण $\frac{x - (-1)}{-5} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z - 0}{1}$ है,जो कि $\frac{x+1}{-5} = \frac{y-4}{7} = \frac{z-0}{1}$ है।

(C) बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x+1) + b(y-3) + c(z+2) = 0$ है।
चूंकि समतल उस रेखा को समाहित करता है जिसके दिक अनुपात $(-3, 2, 1)$ हैं,इसलिए $-3a + 2b + c = 0$ प्राप्त होता है।
समतल बिंदु $(0, 7, -7)$ से भी गुजरता है,इसलिए इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर $a(0+1) + b(7-3) + c(-7+2) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $a + 4b - 5c = 0$ हो जाता है।
समीकरणों $-3a + 2b + c = 0$ और $a + 4b - 5c = 0$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{2(-5) - 1(4)} = \frac{b}{1(1) - (-3)(-5)} = \frac{c}{-3(4) - 2(1)}$
$\frac{a}{-14} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{-14} \implies a=1, b=1, c=1$.
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $1(x+1) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0 \implies x+y+z=0$।

(D) माना दो रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ हैं। रेखा $L_1$,$A = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c}$ और $B = -4 \overrightarrow{c}$ से होकर गुजरती है। $L_1$ का दिशा सदिश $\overrightarrow{d_1} = B - A = -6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c}$ है। $L_1$ का समीकरण $\overrightarrow{r} = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} + m(-6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c})$ ... $(i)$ है।
रेखा $L_2$,$C = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c}$ और $D = \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-5 \overrightarrow{c}$ से होकर गुजरती है। $L_2$ का दिशा सदिश $\overrightarrow{d_2} = D - C = 2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c}$ है। $L_2$ का समीकरण $\overrightarrow{r} = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c} + n(2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c})$ ... $(ii)$ है।
$\overrightarrow{r}$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} + m(-6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c}) = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c} + n(2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c})$
$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$6 - 6m = -1 + 2n \implies 6m + 2n = 7$ ... $(iii)$
$-4 + 4m = -2 + 4n \implies 4m - 4n = 2 \implies 2m - 2n = 1$ ... $(iv)$
$4 - 8m = -3 - 2n \implies 8m - 2n = 7$ ... $(v)$
$(iii)$ और $(iv)$ को जोड़ने पर: $8m = 8 \implies m = 1$. $(iv)$ में $m=1$ रखने पर: $2(1) - 2n = 1 \implies 2n = 1 \implies n = 1/2$. $(v)$ में जाँच करने पर: $8(1) - 2(1/2) = 8 - 1 = 7$. मान समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।
$(i)$ में $m=1$ रखने पर: $\overrightarrow{r} = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} - 6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c} = -4 \overrightarrow{c}$.

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $O(0), A(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}),$ और $B(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,$\text{Area} = \frac{1}{2} |(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})|$.
क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}$.
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$ और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$,इसलिए:
$= 0 - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - 0 = -2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$.
अतः,$\text{Area} = \frac{1}{2} |-2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
चूंकि $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$,$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin(90^{\circ}) = 2 \times 3 \times 1 = 6$.

(B) माना कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $\overrightarrow{d_1} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\overrightarrow{d_2} = -\hat{i} + 2\hat{j}$ हैं।
विकर्णों $\overrightarrow{d_1}$ और $\overrightarrow{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(0) - (2)(2)) - \hat{j}((1)(0) - (2)(-1)) + \hat{k}((1)(2) - (-3)(-1))$
$= -4\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ होगा।

(D) अदिश त्रिगुणन गुणनफल के गुणधर्म $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) \cdot \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{C})$ का उपयोग करने पर:
$(\overrightarrow{a} \times \hat{j}) \cdot (2 \hat{j} - 3 \hat{k}) = \overrightarrow{a} \cdot \{\hat{j} \times (2 \hat{j} - 3 \hat{k})\}$
$= \overrightarrow{a} \cdot \{2(\hat{j} \times \hat{j}) - 3(\hat{j} \times \hat{k})\}$
चूँकि $\hat{j} \times \hat{j} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ है:
$= \overrightarrow{a} \cdot \{2(0) - 3(\hat{i})\}$
$= \overrightarrow{a} \cdot (-3 \hat{i})$
$= -3(\overrightarrow{a} \cdot \hat{i})$
दिया गया है कि $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 4$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= -3(4) = -12$

(D) हम सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\overrightarrow{u} \times (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w})\overrightarrow{v} - (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{w}$.
सबसे पहले,आंतरिक भाग का मूल्यांकन करें: $\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b}$.
अब,इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:
$\overrightarrow{a} \times [\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})] = \overrightarrow{a} \times [(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b}]$
$= (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$
चूंकि $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,इसलिए पहला पद शून्य हो जाता है:
$= 0 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$
$= (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})$.